Extreme Values of the Best Approximations of Linear Combinations оf Harmonic Functions
Extreme problems and their practical applications have been under the scrutiny of mathematicians since ancient times. An important step in the development of extreme problems was made by P. L. Chebyshev, who in the 50s of the 19th century laid the foundations of a section of destructive function the...
Збережено в:
| Видавець: | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
|---|---|
| Дата: | 2023 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2023
|
| Онлайн доступ: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/296479 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Репозиторії
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| id |
mcm-mathkpnueduua-article-296479 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| institution |
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| baseUrl_str |
|
| datestamp_date |
2024-01-09T23:35:17Z |
| collection |
OJS |
| language |
Ukrainian |
| format |
Article |
| author |
Сорич, Віктор Сорич, Ніна |
| spellingShingle |
Сорич, Віктор Сорич, Ніна Extreme Values of the Best Approximations of Linear Combinations оf Harmonic Functions |
| author_facet |
Сорич, Віктор Сорич, Ніна |
| author_sort |
Сорич, Віктор |
| title |
Extreme Values of the Best Approximations of Linear Combinations оf Harmonic Functions |
| title_short |
Extreme Values of the Best Approximations of Linear Combinations оf Harmonic Functions |
| title_full |
Extreme Values of the Best Approximations of Linear Combinations оf Harmonic Functions |
| title_fullStr |
Extreme Values of the Best Approximations of Linear Combinations оf Harmonic Functions |
| title_full_unstemmed |
Extreme Values of the Best Approximations of Linear Combinations оf Harmonic Functions |
| title_sort |
extreme values of the best approximations of linear combinations оf harmonic functions |
| title_alt |
Екстремальні значення найкращих наближень лінійних комбінацій гармонічних функцій |
| description |
Extreme problems and their practical applications have been under the scrutiny of mathematicians since ancient times. An important step in the development of extreme problems was made by P. L. Chebyshev, who in the 50s of the 19th century laid the foundations of a section of destructive function theory – the theory of approximation.
A significant role of the formation of the theory of approximation of functions was played by Carl Weierstrass’s theorem on the convergence to zero of best approximations by polynomials of a continuous function. As is well known, Weierstrass’s theorem is not constructive – it does not contained estimates of the approach speed. Thanks to the work of D. Jackson, S. N. Bernstein, Vallee-Poussin and others, such estimates began to appear in works on approximation theory.
At the same time, at the first stages of the development of the theory of approximation, approximations of individual functions were studied. That beginning of a new period, a dipper study of the deviation values of functions from their approximating polynomials, dates back to the 30s and 40s of the 20th century and is associated with the names of A. M. Kolmogorov, S. M. Nikolsky, J. Favard, N. I. Achieser, M. G. Crane and B. Nagy. Thanks to their works, the main emphasis in the theory of approximations is shifted to the study of the best approximations or other approximation characteristics of functions that have certain differential-difference or smoothness properties. In particular, in 1936, J. Favard calculated the exact values of the best uniform approximations by trigonometric polynomials of order no higher than n – 1 on classes of differentiable 2π-periodic functions, whose r-th (r – natural) derivatives are in a unit sphere of the space of essentially bounded functions. The problem of obtaining exact values of the best approximations in uniform and integral metrics for various functional compacts was in sight of many prominent mathematicians of the XX century.
General issues related to the study of the best approximation functional: the existence of a polynomial of the best approximation, its characteristic properties, are destribed in detail in many monographs, in particular, for example, in the book by M. P. Korneichuk [1]. In the 80s and 90s of the XX century, O. I. Stepanets (see, [2, section III]) developed a new approach to the classification of periodic functions, which allowed for a fairly fine classification of extremely wide sets of periodic functions. At the same time, the results obtained for these classes are, on the one hand, general, and on the other hand, they give a number of new, hitherto unknown results that were impossible to obtain on previously known classes. Following the approaches to the requirements of function classification, we can consider a linear combination of function classes of a more complex nature. And then the problem of finding the exact values of the upper bounds of the best joint approximations will be reduced to the problem of the best approximation of this composite class corresponding to convolutions with the composite kernel. |
| publisher |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| publishDate |
2023 |
| url |
http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/296479 |
| work_keys_str_mv |
AT soričvíktor extremevaluesofthebestapproximationsoflinearcombinationsofharmonicfunctions AT soričnína extremevaluesofthebestapproximationsoflinearcombinationsofharmonicfunctions AT soričvíktor ekstremalʹníznačennânajkraŝihnabliženʹlíníjnihkombínacíjgarmoníčnihfunkcíj AT soričnína ekstremalʹníznačennânajkraŝihnabliženʹlíníjnihkombínacíjgarmoníčnihfunkcíj |
| first_indexed |
2024-04-21T19:24:55Z |
| last_indexed |
2024-04-21T19:24:55Z |
| _version_ |
1810777047759323136 |
| spelling |
mcm-mathkpnueduua-article-2964792024-01-09T23:35:17Z Extreme Values of the Best Approximations of Linear Combinations оf Harmonic Functions Екстремальні значення найкращих наближень лінійних комбінацій гармонічних функцій Сорич, Віктор Сорич, Ніна Extreme problems and their practical applications have been under the scrutiny of mathematicians since ancient times. An important step in the development of extreme problems was made by P. L. Chebyshev, who in the 50s of the 19th century laid the foundations of a section of destructive function theory – the theory of approximation. A significant role of the formation of the theory of approximation of functions was played by Carl Weierstrass’s theorem on the convergence to zero of best approximations by polynomials of a continuous function. As is well known, Weierstrass’s theorem is not constructive – it does not contained estimates of the approach speed. Thanks to the work of D. Jackson, S. N. Bernstein, Vallee-Poussin and others, such estimates began to appear in works on approximation theory. At the same time, at the first stages of the development of the theory of approximation, approximations of individual functions were studied. That beginning of a new period, a dipper study of the deviation values of functions from their approximating polynomials, dates back to the 30s and 40s of the 20th century and is associated with the names of A. M. Kolmogorov, S. M. Nikolsky, J. Favard, N. I. Achieser, M. G. Crane and B. Nagy. Thanks to their works, the main emphasis in the theory of approximations is shifted to the study of the best approximations or other approximation characteristics of functions that have certain differential-difference or smoothness properties. In particular, in 1936, J. Favard calculated the exact values of the best uniform approximations by trigonometric polynomials of order no higher than n – 1 on classes of differentiable 2π-periodic functions, whose r-th (r – natural) derivatives are in a unit sphere of the space of essentially bounded functions. The problem of obtaining exact values of the best approximations in uniform and integral metrics for various functional compacts was in sight of many prominent mathematicians of the XX century. General issues related to the study of the best approximation functional: the existence of a polynomial of the best approximation, its characteristic properties, are destribed in detail in many monographs, in particular, for example, in the book by M. P. Korneichuk [1]. In the 80s and 90s of the XX century, O. I. Stepanets (see, [2, section III]) developed a new approach to the classification of periodic functions, which allowed for a fairly fine classification of extremely wide sets of periodic functions. At the same time, the results obtained for these classes are, on the one hand, general, and on the other hand, they give a number of new, hitherto unknown results that were impossible to obtain on previously known classes. Following the approaches to the requirements of function classification, we can consider a linear combination of function classes of a more complex nature. And then the problem of finding the exact values of the upper bounds of the best joint approximations will be reduced to the problem of the best approximation of this composite class corresponding to convolutions with the composite kernel. Екстремальні задачі та їх практичні застосування знаходилися під пильною увагою математиків з давніх часів. Важливий крок в розвиток екстремальних задач зробив П. Л. Чебишев, який ще у 50-х роках ХIХ століття заклав основи розділу конструктивної теорії функцій – теорії наближення. Суттєву роль у формуванні теорії наближення функцій відіграла теорема Карла Вейєрштрасса про збіжність до нуля послідовності найкращих наближень многочленами неперервної функції. Як відомо, теорема Вейєрштрасса є неконструктивною – вона не містить оцінок швидкості наближення. Завдяки роботам Д. Джексона, С. Н. Бернштейна, Валле-Пуссена та ін. такі оцінки стали з’являтися в роботах по теорії наближення. При цьому на перших етапах розвитку теорії наближення проводилось вивчення наближень окремих функцій. Початок нового періоду, більш глибокого дослідження величин відхилень функцій від їх наближаючих многочленів, відноситься до 30-40-х років ХХ століття і пов’язаний з іменами А. М. Колмогорова, С. М. Нікольського, Ж. Фавара, Н. І. Ахієзера, М. Г. Крейна, Б. Надя. Завдяки їхнім працям основний акцент в теорії наближень зміщується в бік вивчення найкращих наближень чи інших апроксимаційних характеристик для класів функцій, які мають певні диференціально-різницеві чи гладкісні властивості. Зокрема, у 1936 році Ж. Фавар обчислив точні значення найкращих рівномірних наближень тригонометричними многочленами порядку не вищого n – 1 на класах диференційовних 2π-періодичних функцій, r-ті (r – натуральне) похідні яких знаходяться в одиничній сфері простору суттєво обмежених функцій. Питання отримання точних значень найкращих наближень в рівномірній та інтегральній метриках для різноманітних функціональних компактів знаходилось у полі зору багатьох видатних математиків XX сторіччя. Загальні питання, пов’язані з вивченням функціоналу найкращого наближення: існування многочлена найкращого наближення, його характеристичних властивостей, детально викладені у багатьох монографіях, зокрема, наприклад, в книзі М. П. Корнєйчука [1]. У 80-90-х роках XX сторіччя О. І. Степанцем (див., напр. [2, розд. ІІІ] був розроблений новий підхід до класифікації періодичних функцій, який дозволив здійснювати досить тонку класифікацію надзвичайно широких множин періодичних функцій. При цьому отримані результати для вказаних класів з одного боку мають загальний характер, а з іншого – дають цілу низку нових, невідомих до цього часу, результатів, які на відомих раніше класах отримати було неможливо. Притримуючись підходів до вимог класифікації функцій, ми можемо розглядати лінійну комбінацію класів функцій як деякий один клас – більш складнішого характеру. І тоді задача знаходження точних значень верхніх граней найкращих сумісних наближень зведеться до задачі найкращого наближення цього складеного класу, що відповідає згорткам з твірним складеним ядром. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2023-11-09 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/296479 10.32626/2308-5878.2023-24.108-118 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2023: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 24; 108-118 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2023: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 24; 108-118 2308-5878 10.32626/2308-5878.2023-24 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/296479/289475 |