Application of the Method of Two-Sided Approximations for Finding Positive Axially Symmetric Solutions of Boundary Value Problems with Monotone Nonlinearities
This paper considers the application of the method of two-sided approximations for finding positive solutions to boundary value problems for nonlinear elliptic differential equations with axial symmetry. The case of Dirichlet boundary conditions (first kind) is considered, with a power-type monotone...
Gespeichert in:
| Datum: | 2024 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2024
|
| Online Zugang: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/313371 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1856543281211506688 |
|---|---|
| author | Пархоменко, Владислав Сидоров, Максим |
| author_facet | Пархоменко, Владислав Сидоров, Максим |
| author_sort | Пархоменко, Владислав |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-10-14T20:11:23Z |
| description | This paper considers the application of the method of two-sided approximations for finding positive solutions to boundary value problems for nonlinear elliptic differential equations with axial symmetry.
The case of Dirichlet boundary conditions (first kind) is considered, with a power-type monotone nonlinearity, where the exponent ranges from 0 to 1. By transitioning to polar coordinates in the boundary value problem for the elliptic equation, due to the axial symmetry of the solution, the problem is reduced to a boundary value problem for an ordinary differential equation on an interval with respect to a function that depends only on the polar radius, thus eliminating the dependence on the angle. The pole of the polar coordinate system becomes a singular point, where a boundedness condition must be imposed.
For the boundary value problem, a Green's function is constructed to further reduce the problem to a Hammerstein integral equation. The integral equation is treated as a nonlinear operator equation in a Banach space of continuous functions on the interval, partially ordered by a cone of non-negative continuous functions on this interval. The operator is examined for properties such as monotonicity (isotonicity), positivity, boundedness, and concavity.
Next, the initial approximation is found as the endpoints of the invariant conical segment for the isotone operator in such a way as to ensure the highest convergence rate of the iterative process. The following iterative sequences of two-sided approximations are constructed: the first sequence, which is non-decreasing with respect to the cone, and the second sequence, which is non-increasing with respect to the cone. At each iteration, the arithmetic mean of the upper and lower approximations is taken as the next approximation. The iterative process is terminated when the error estimate of the solution satisfies the specified accuracy.
The theoretical results obtained in this work were validated through a computational experiment. The dependence of the solution on the parameters in the right-hand side was analyzed and illustrated with corresponding graphs. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:44:07Z |
| format | Article |
| id | mcm-mathkpnueduua-article-313371 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:44:07Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3133712024-10-14T20:11:23Z Application of the Method of Two-Sided Approximations for Finding Positive Axially Symmetric Solutions of Boundary Value Problems with Monotone Nonlinearities Застосування методу двобічних наближень до знаходження додатних аксіально-симетричних розв’язків крайових задач з монотонними нелінійностями Пархоменко, Владислав Сидоров, Максим This paper considers the application of the method of two-sided approximations for finding positive solutions to boundary value problems for nonlinear elliptic differential equations with axial symmetry. The case of Dirichlet boundary conditions (first kind) is considered, with a power-type monotone nonlinearity, where the exponent ranges from 0 to 1. By transitioning to polar coordinates in the boundary value problem for the elliptic equation, due to the axial symmetry of the solution, the problem is reduced to a boundary value problem for an ordinary differential equation on an interval with respect to a function that depends only on the polar radius, thus eliminating the dependence on the angle. The pole of the polar coordinate system becomes a singular point, where a boundedness condition must be imposed. For the boundary value problem, a Green's function is constructed to further reduce the problem to a Hammerstein integral equation. The integral equation is treated as a nonlinear operator equation in a Banach space of continuous functions on the interval, partially ordered by a cone of non-negative continuous functions on this interval. The operator is examined for properties such as monotonicity (isotonicity), positivity, boundedness, and concavity. Next, the initial approximation is found as the endpoints of the invariant conical segment for the isotone operator in such a way as to ensure the highest convergence rate of the iterative process. The following iterative sequences of two-sided approximations are constructed: the first sequence, which is non-decreasing with respect to the cone, and the second sequence, which is non-increasing with respect to the cone. At each iteration, the arithmetic mean of the upper and lower approximations is taken as the next approximation. The iterative process is terminated when the error estimate of the solution satisfies the specified accuracy. The theoretical results obtained in this work were validated through a computational experiment. The dependence of the solution on the parameters in the right-hand side was analyzed and illustrated with corresponding graphs. У роботі розглядається застосування методу двобічних наближень для знаходження додатних розв’язків крайових задач для нелінійних еліптичних диференціальних рівнянь, які мають аксіальну симетрію. Розглянуто випадок задання крайових умов першого роду, або умов Діріхле. У якості монотонної нелінійності розглядається степенева функція з показником від 0 до 1. Шляхом переходу до полярних координат у крайовій задачі для еліптичного рівняння за рахунок аксіальної симетрії розв’язку розглядувана задача зводиться до крайової задачі для звичайного диференціального рівняння на відрізку відносно функції, що залежить лише від полярного радіусу, тобто залежність від кута повороту зникає. Полюс полярної системи координат при цьому стає особливою точкою, у якій необхідно поставити умову обмеженості. Для крайової задачі будується функція Гріна для подальшого зведенням задачі до інтегрального рівняння Гаммерштейна. Інтегральне рівняння розглядається як нелінійне операторне рівняння у банаховому просторі неперервних на відрізку функцій, напівупорядкованому конусом невід’ємних на цьому відрізку неперервних функцій. Оператор досліджується на такі властивості, як монотонність (ізотонність), додатність, обмеженість і увігнутість. Далі знаходиться початкове наближення як кінці інваріантного конусного відрізка для ізотонного оператора так, щоб забезпечити найвищу швидкість збіжності ітераційного процесу. Будуються наступні ітераційні послідовності двобічних наближень: перша послідовність, що не спадає за конусом, і друга послідовність, що не зростає за конусом. За наближення на кожній ітерації береться середнє арифметичне верхнього і нижнього наближень. Ітераційний процес завершується, коли оцінка похибки розв’язку задовольняє заданій точності. Отримані у роботі теоретичні результати перевірено за допомогою обчислювального експерименту. Проаналізовано залежність розв’язку від параметрів у правій частині, що проілюстровано відповідними графіками. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2024-09-08 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/313371 10.32626/2308-5878.2024-25.121-133 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2024: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 25; 121-133 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2024: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 25; 121-133 2308-5878 10.32626/2308-5878.2024-25 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/313371/304376 |
| spellingShingle | Пархоменко, Владислав Сидоров, Максим Application of the Method of Two-Sided Approximations for Finding Positive Axially Symmetric Solutions of Boundary Value Problems with Monotone Nonlinearities |
| title | Application of the Method of Two-Sided Approximations for Finding Positive Axially Symmetric Solutions of Boundary Value Problems with Monotone Nonlinearities |
| title_alt | Застосування методу двобічних наближень до знаходження додатних аксіально-симетричних розв’язків крайових задач з монотонними нелінійностями |
| title_full | Application of the Method of Two-Sided Approximations for Finding Positive Axially Symmetric Solutions of Boundary Value Problems with Monotone Nonlinearities |
| title_fullStr | Application of the Method of Two-Sided Approximations for Finding Positive Axially Symmetric Solutions of Boundary Value Problems with Monotone Nonlinearities |
| title_full_unstemmed | Application of the Method of Two-Sided Approximations for Finding Positive Axially Symmetric Solutions of Boundary Value Problems with Monotone Nonlinearities |
| title_short | Application of the Method of Two-Sided Approximations for Finding Positive Axially Symmetric Solutions of Boundary Value Problems with Monotone Nonlinearities |
| title_sort | application of the method of two-sided approximations for finding positive axially symmetric solutions of boundary value problems with monotone nonlinearities |
| url | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/313371 |
| work_keys_str_mv | AT parhomenkovladislav applicationofthemethodoftwosidedapproximationsforfindingpositiveaxiallysymmetricsolutionsofboundaryvalueproblemswithmonotonenonlinearities AT sidorovmaksim applicationofthemethodoftwosidedapproximationsforfindingpositiveaxiallysymmetricsolutionsofboundaryvalueproblemswithmonotonenonlinearities AT parhomenkovladislav zastosuvannâmetodudvobíčnihnabliženʹdoznahodžennâdodatnihaksíalʹnosimetričnihrozvâzkívkrajovihzadačzmonotonniminelíníjnostâmi AT sidorovmaksim zastosuvannâmetodudvobíčnihnabliženʹdoznahodžennâdodatnihaksíalʹnosimetričnihrozvâzkívkrajovihzadačzmonotonniminelíníjnostâmi |