Best Approximation in the Integral Metric of a Linear Combination of Periodic Functions of Different Parity
In many areas of mathematics, extremal problems often arise related to approximation characteristics of both the approximating functions and the properties of the elements being approximated. For example, in the case of polynomials, the problem can involve the number of points where the values of th...
Gespeichert in:
| Datum: | 2024 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2024
|
| Online Zugang: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/313375 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1856543280532029440 |
|---|---|
| author | Сорич, Віктор Сорич, Ніна |
| author_facet | Сорич, Віктор Сорич, Ніна |
| author_sort | Сорич, Віктор |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2024-10-14T20:49:29Z |
| description | In many areas of mathematics, extremal problems often arise related to approximation characteristics of both the approximating functions and the properties of the elements being approximated. For example, in the case of polynomials, the problem can involve the number of points where the values of the function coincide with the values of the polynomial used to replace the function on the studied interval. In practice, the problem of approximating a function from a given set R is reduced to replacing it, according to a defined algorithm, with a function (polynomial) of a fixed degree that is close to it in a certain sense.
In uniform and integral metrics, the problem of finding the exact values of the best approximations for classes of r-times differentiable functions, where r is a natural number, has been explored in the works of J. Favard [1], N. I. Akhiezer, M. G. Krein [2], B. Nadi, S. M. Nikolsky [3], V. K. Dzyadyk [4], S. B. Stechkin, Sun Yun-shen, and others.
The final results concerning the solution of the best approximation problem on Weyl-Nagy classes for arbitrary values of the parameters defining these classes belong to the Ukrainian mathematician V. K. Dzyadyk [4]. In his works on function classes generated by the well-known Bernoulli kernels, it was established that the number of coincidence points between the kernel and the approximating polynomial of degree n − 1, including their multiplicities, does not exceed 2n, which allowed for obtaining final results. The work [5] presents cases of such linear combinations of even or odd kernels for which the number of uniformly distributed interpolation points equals 2n + 2 for a polynomial of degree n − 1 that deviates the least in the metric of the L – space from the studied linear combination.
The idea of studying composite kernels expressed as a linear combination of component terms belongs to O. I. Stepanyets [6], and it was implemented in problems of joint approximation of functions and their derivatives. In the 1980s and 1990s, O. I. Stepanets developed a new approach to classifying periodic functions, which allowed for a fine classification of extremely broad sets of periodic functions. The results obtained for these classes are, on one hand, of a general nature, and on the other, they provide a whole series of new, previously unknown results that could not be achieved with previously known classes. Following the approaches to function classification, we can consider a linear combination of function classes as a certain single class of a more complex nature. Then, the problem of finding the exact values of the upper bounds of the best approximations reduces to the problem of the best approximation for this composite class, which corresponds to convolutions with the generating composite kernel.
In this work, we investigate linear combinations of three continuous 2π-periodic kernels of different parity, and it is established that there exist such composite kernels that their trigonometric polynomial of the best approximation of order n − 1 in the integral metric interpolates the kernel at 2n + 2 uniformly distributed points. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:44:08Z |
| format | Article |
| id | mcm-mathkpnueduua-article-313375 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:44:08Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3133752024-10-14T20:49:29Z Best Approximation in the Integral Metric of a Linear Combination of Periodic Functions of Different Parity Найкраще наближення в інтегральній метриці лінійної комбінації періодичних функцій різної парності Сорич, Віктор Сорич, Ніна In many areas of mathematics, extremal problems often arise related to approximation characteristics of both the approximating functions and the properties of the elements being approximated. For example, in the case of polynomials, the problem can involve the number of points where the values of the function coincide with the values of the polynomial used to replace the function on the studied interval. In practice, the problem of approximating a function from a given set R is reduced to replacing it, according to a defined algorithm, with a function (polynomial) of a fixed degree that is close to it in a certain sense. In uniform and integral metrics, the problem of finding the exact values of the best approximations for classes of r-times differentiable functions, where r is a natural number, has been explored in the works of J. Favard [1], N. I. Akhiezer, M. G. Krein [2], B. Nadi, S. M. Nikolsky [3], V. K. Dzyadyk [4], S. B. Stechkin, Sun Yun-shen, and others. The final results concerning the solution of the best approximation problem on Weyl-Nagy classes for arbitrary values of the parameters defining these classes belong to the Ukrainian mathematician V. K. Dzyadyk [4]. In his works on function classes generated by the well-known Bernoulli kernels, it was established that the number of coincidence points between the kernel and the approximating polynomial of degree n − 1, including their multiplicities, does not exceed 2n, which allowed for obtaining final results. The work [5] presents cases of such linear combinations of even or odd kernels for which the number of uniformly distributed interpolation points equals 2n + 2 for a polynomial of degree n − 1 that deviates the least in the metric of the L – space from the studied linear combination. The idea of studying composite kernels expressed as a linear combination of component terms belongs to O. I. Stepanyets [6], and it was implemented in problems of joint approximation of functions and their derivatives. In the 1980s and 1990s, O. I. Stepanets developed a new approach to classifying periodic functions, which allowed for a fine classification of extremely broad sets of periodic functions. The results obtained for these classes are, on one hand, of a general nature, and on the other, they provide a whole series of new, previously unknown results that could not be achieved with previously known classes. Following the approaches to function classification, we can consider a linear combination of function classes as a certain single class of a more complex nature. Then, the problem of finding the exact values of the upper bounds of the best approximations reduces to the problem of the best approximation for this composite class, which corresponds to convolutions with the generating composite kernel. In this work, we investigate linear combinations of three continuous 2π-periodic kernels of different parity, and it is established that there exist such composite kernels that their trigonometric polynomial of the best approximation of order n − 1 in the integral metric interpolates the kernel at 2n + 2 uniformly distributed points. У багатьох розділах математики часто виникають екстремальні задачі пов’язані із апроксимаційними характеристиками як наближаючих функцій, так і властивостями елементів, якими наближають. Наприклад, для поліномів кількістю точок співпадання значень функції та значень полінома, яким замінюють цю функцію на досліджуваному проміжку. На практиці задача наближення функції f із визначеної множини R зводиться до заміни її за визначеним алгоритмом до близької до неї, в певному розумінні, функції (многочлена) фіксованого степеня. У рівномірній та, відповідно, інтегральній метриках задача знаходження точних значень найкращих наближень класів r разів диференційовних функцій, r – натуральне число, отримала своє висвітлення в роботах Ж. Фавара [1], Н. І. Ахієзера, М. Г. Крейна [2], Б. Надя, С. М. Нікольського [3], В. К. Дзядика [4], С. Б. Стєчкіна, Сунь Юн-шена та ін. Остаточні результати по розв’язанню задачі найкращого наближення на класах Вейля-Надя при довільних значення параметрів, що визначають ці класи, належать українському математику В. К. Дзядику [4]. У його роботах на класах функцій, які породжені відомими ядрами Бернуллі, встановлено той факт, що кількість точок співпадання ядра та наближаючого полінома степеня n – 1 не перевищує 2n, враховуючи їх кратність, що і дозволило отримати остаточні результати. В роботі [5] наведені випадки таких лінійних комбінацій парних або ж непарних ядер, для яких кількість рівномірно розташованих точок інтерполяції рівна 2n + 2 для полінома степеня n – 1, який найменше відхилений в метриці простору L від досліджуваної лінійної комбінації. Ідея дослідження складених ядер, що записуються у вигляді лінійної комбінації складових доданків, належить О. І. Степанцю [6] і отримала відповідне втілення в задачах сумісного наближення функцій та їх похідних. У 80-90-х роках XX сторіччя О. І. Степанцем був розроблений новий підхід до класифікації періодичних функцій, який дозволив здійснювати досить тонку класифікацію надзвичайно широких множин періодичних функцій. При цьому отримані результати для вказаних класів з одного боку мають загальний характер, а з іншого – дають цілу низку нових, невідомих до цього часу, результатів, які на відомих раніше класах отримати було неможливо. Притримуючись підходів до вимог класифікації функцій, ми можемо розглядати лінійну комбінацію класів функцій як деякий один клас – більш складнішого характеру. І тоді задача знаходження точних значень верхніх граней найкращих наближень зведеться до задачі найкращого наближення цього складеного класу, що відповідає згорткам з твірним складеним ядром. У роботі досліджуються лінійні комбінації трьох неперервних 2π-періодичних ядер різної парності і встановлено, що існують такі складені ядра, що їх тригонометричний поліном найкращого наближення порядку n – 1 в інтегральній метриці інтерполює ядро в 2n + 2 рівномірно розташованих точках. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2024-09-13 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/313375 10.32626/2308-5878.2024-25.140-150 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2024: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 25; 140-150 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2024: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 25; 140-150 2308-5878 10.32626/2308-5878.2024-25 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/313375/304379 |
| spellingShingle | Сорич, Віктор Сорич, Ніна Best Approximation in the Integral Metric of a Linear Combination of Periodic Functions of Different Parity |
| title | Best Approximation in the Integral Metric of a Linear Combination of Periodic Functions of Different Parity |
| title_alt | Найкраще наближення в інтегральній метриці лінійної комбінації періодичних функцій різної парності |
| title_full | Best Approximation in the Integral Metric of a Linear Combination of Periodic Functions of Different Parity |
| title_fullStr | Best Approximation in the Integral Metric of a Linear Combination of Periodic Functions of Different Parity |
| title_full_unstemmed | Best Approximation in the Integral Metric of a Linear Combination of Periodic Functions of Different Parity |
| title_short | Best Approximation in the Integral Metric of a Linear Combination of Periodic Functions of Different Parity |
| title_sort | best approximation in the integral metric of a linear combination of periodic functions of different parity |
| url | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/313375 |
| work_keys_str_mv | AT soričvíktor bestapproximationintheintegralmetricofalinearcombinationofperiodicfunctionsofdifferentparity AT soričnína bestapproximationintheintegralmetricofalinearcombinationofperiodicfunctionsofdifferentparity AT soričvíktor najkraŝenabližennâvíntegralʹníjmetricílíníjnoíkombínacííperíodičnihfunkcíjríznoíparností AT soričnína najkraŝenabližennâvíntegralʹníjmetricílíníjnoíkombínacííperíodičnihfunkcíjríznoíparností |