The Normed Algebra of Binary Numbers
The richness of the theory of functions of a complex variable, the effectiveness of its methods have always served as a stimulus and a source of ideas when constructing a theory of the function of a hypercomplex variable. It should be noted that hypercomplex number systems are an extension of the fi...
Збережено в:
| Дата: | 2024 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2024
|
| Онлайн доступ: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/315305 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Репозитарії
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1856543280820387840 |
|---|---|
| author | Вотякова, Леся Наконечна, Людмила |
| author_facet | Вотякова, Леся Наконечна, Людмила |
| author_sort | Вотякова, Леся |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-09-16T17:21:15Z |
| description | The richness of the theory of functions of a complex variable, the effectiveness of its methods have always served as a stimulus and a source of ideas when constructing a theory of the function of a hypercomplex variable. It should be noted that hypercomplex number systems are an extension of the field of complex numbers. Modern hypercomplex studies can be divided into algebraic and analytical; the latter are often called hypercomplex analysis in the broad sense.
In this paper, a new system of hypercomplex numbers is constructed by establishing an isomorphism to a specific matrix algebra.
The matrix algebra is studied using classical methods of matrix theory and endowed with a norm, enabling the construction of analysis elements within it using matrix analysis techniques. The obtained results for matrices are transferred to elements of the isomorphic algebra of finite rank, namely, hypercomplex numbers called "binary numbers." This allows endowing the algebra of binary numbers with a topological structure and laying the foundations for analysis within it, including the construction of functions of a binary variable. The article introduces the concept of convergent sequences of binary numbers, and through them, convergent binary series.
The novelty of our approach is that the set of hypercomplex numbers is considered as an algebra of rank 2 over the field R and through the found matrix representation, the n-th power of a binary number, and therefore the sum of certain power series, is determined in algebraic form. Functions of a binary variable are defined by sums of corresponding power series. And as a result, a general formula for constructing elementary functions of a binary variable is derived.
Key words: finite rank algebra, binary number, norm, binary power series, function of a binary variable. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:44:10Z |
| format | Article |
| id | mcm-mathkpnueduua-article-315305 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-09-17T09:26:22Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3153052025-09-16T17:21:15Z The Normed Algebra of Binary Numbers Нормована алгебра бінарних чисел Вотякова, Леся Наконечна, Людмила The richness of the theory of functions of a complex variable, the effectiveness of its methods have always served as a stimulus and a source of ideas when constructing a theory of the function of a hypercomplex variable. It should be noted that hypercomplex number systems are an extension of the field of complex numbers. Modern hypercomplex studies can be divided into algebraic and analytical; the latter are often called hypercomplex analysis in the broad sense. In this paper, a new system of hypercomplex numbers is constructed by establishing an isomorphism to a specific matrix algebra. The matrix algebra is studied using classical methods of matrix theory and endowed with a norm, enabling the construction of analysis elements within it using matrix analysis techniques. The obtained results for matrices are transferred to elements of the isomorphic algebra of finite rank, namely, hypercomplex numbers called "binary numbers." This allows endowing the algebra of binary numbers with a topological structure and laying the foundations for analysis within it, including the construction of functions of a binary variable. The article introduces the concept of convergent sequences of binary numbers, and through them, convergent binary series. The novelty of our approach is that the set of hypercomplex numbers is considered as an algebra of rank 2 over the field R and through the found matrix representation, the n-th power of a binary number, and therefore the sum of certain power series, is determined in algebraic form. Functions of a binary variable are defined by sums of corresponding power series. And as a result, a general formula for constructing elementary functions of a binary variable is derived. Key words: finite rank algebra, binary number, norm, binary power series, function of a binary variable. Багатство теорії функцій комплексної змінної, ефективність її методів завжди слугували стимулом і джерелом ідей при побудові теорії функції гіперкомплексної змінної. Необхідно відзначити, що гіперкомплексні числові системи є розширенням поля комплексних чисел. Сучасні гіперкомплексні дослідження можна поділити на алгебраїчні та аналітичні; останні часто називають гіперкомплексним аналізом у широкому розумінні. В роботі побудовано нову систему гіперкомплексних чисел за допомогою встановлення ізоморфізму повній матричній алгебрі. Точніше: з повної матричної алгебри виділяється деяка підалгебра, яка є матричним поданням алгебри скінченного рангу. Матрична алгебра досліджується класичними методами теорії матриць, наділяється нормою і це дає можливість будувати елементи аналізу в ній, використовуючи методи матричного аналізу. Одержані для матриць результати переносяться на елементи ізоморфної алгебри скінченного рангу, тобто на гіперкомплексні числа, названі бінарними. І це дало можливість наділити алгебру бінарних чисел топологічною структурою і закласти початки аналізу в ній, побудувати функції бінарної змінної. У статті введено поняття збіжних послідовностей бінарних чисел, через них збіжних бінарних рядів. Новизна нашого підходу у тому, що множина гіперкомплексних чисел розглядається як алгебра рангу 2 над полем і через знайдене матричне подання визначається n-й степінь бінарного числа, а отже і суми певних степеневих рядів, в алгебраїчній формі. Функції бінарної змінної означаються через суми відповідних степеневих рядів. І як результат – виведено загальну формулу для конструювання елементарних функцій бінарної змінної. Ключові слова: алгебра скінченного рангу, гіперкомплексна система, бінарне число, , норма, бінарний степеневий ряд, функція бінарної змінної. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2024-11-16 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/315305 10.32626/2308-5878.2024-26.5-19 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2024: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 26; 5-19 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2024: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 26; 5-19 2308-5878 10.32626/2308-5878.2024-26 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/315305/312883 Авторське право (c) 2025 Леся Вотякова, Людмила Наконечна |
| spellingShingle | Вотякова, Леся Наконечна, Людмила The Normed Algebra of Binary Numbers |
| title | The Normed Algebra of Binary Numbers |
| title_alt | Нормована алгебра бінарних чисел |
| title_full | The Normed Algebra of Binary Numbers |
| title_fullStr | The Normed Algebra of Binary Numbers |
| title_full_unstemmed | The Normed Algebra of Binary Numbers |
| title_short | The Normed Algebra of Binary Numbers |
| title_sort | normed algebra of binary numbers |
| url | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/315305 |
| work_keys_str_mv | AT votâkovalesâ thenormedalgebraofbinarynumbers AT nakonečnalûdmila thenormedalgebraofbinarynumbers AT votâkovalesâ normovanaalgebrabínarnihčisel AT nakonečnalûdmila normovanaalgebrabínarnihčisel AT votâkovalesâ normedalgebraofbinarynumbers AT nakonečnalûdmila normedalgebraofbinarynumbers |