Evolution Equations for Cumulants of Distribution Functions of Particle Systems with Topological Interaction
The article formulates the concept of a cumulant representation for distribution functions that describe the state of many-particle systems with topological interaction, i.e., using the interaction potential determined by the proximity rank of particles. Cumulants of probability distribution functio...
Gespeichert in:
| Datum: | 2024 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2024
|
| Online Zugang: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/317402 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1856543284367720448 |
|---|---|
| author | Герасименко, Віктор Гап’як, Ігор |
| author_facet | Герасименко, Віктор Гап’як, Ігор |
| author_sort | Герасименко, Віктор |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-09-16T17:21:15Z |
| description | The article formulates the concept of a cumulant representation for distribution functions that describe the state of many-particle systems with topological interaction, i.e., using the interaction potential determined by the proximity rank of particles. Cumulants of probability distribution functions are interpreted as correlations of particle states and are defined as solutions of the corresponding cluster expansions of probability distribution functions. We emphasize that the correlations that arise during the evolution of a system of particles with topological interaction naturally differ from the structure of correlations of many-particle systems, the state of which is traditionally described by symmetric probability distribution functions. The article establishes a hierarchy of evolution nonlinear equations for correlation functions (hierarchy of recursive Liouville equations). In the space sequences of integrated functions, a non-perturbative solution of the Cauchy problem for a hierarchy of such nonlinear evolution equations is constructed. Typical properties of the expansion of such a solution, which are generated by the properties of its generating operators, namely, cumulants of groups of operators of Liouville equations, are investigated. Based on the dynamics of correlations, the structure of series expansions is established, which determines reduced distribution functions, as well as reduced correlation functions, which, in particular, made it possible to substantiate the structure of generating operators of the solution of the Cauchy problem for the hierarchy of BBGKY equations (Bogolyubov–Born–Green–Kirkwood–Yvon). It is proved that the structure of expansions for correlation functions, the generating operators of which are cumulants of groups of operators of the corresponding order of Liouville equations, induces the cumulant structure of series expansions for reduced distribution functions and reduced correlation functions. Thus, the dynamics of state correlations generate the dynamics of many-particle systems with topological interaction. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:44:11Z |
| format | Article |
| id | mcm-mathkpnueduua-article-317402 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-09-17T09:26:23Z |
| publishDate | 2024 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3174022025-09-16T17:21:15Z Evolution Equations for Cumulants of Distribution Functions of Particle Systems with Topological Interaction Еволюційні рівняння для кумулянтів функцій розподілу систем частинок з топологічною взаємодією Герасименко, Віктор Гап’як, Ігор The article formulates the concept of a cumulant representation for distribution functions that describe the state of many-particle systems with topological interaction, i.e., using the interaction potential determined by the proximity rank of particles. Cumulants of probability distribution functions are interpreted as correlations of particle states and are defined as solutions of the corresponding cluster expansions of probability distribution functions. We emphasize that the correlations that arise during the evolution of a system of particles with topological interaction naturally differ from the structure of correlations of many-particle systems, the state of which is traditionally described by symmetric probability distribution functions. The article establishes a hierarchy of evolution nonlinear equations for correlation functions (hierarchy of recursive Liouville equations). In the space sequences of integrated functions, a non-perturbative solution of the Cauchy problem for a hierarchy of such nonlinear evolution equations is constructed. Typical properties of the expansion of such a solution, which are generated by the properties of its generating operators, namely, cumulants of groups of operators of Liouville equations, are investigated. Based on the dynamics of correlations, the structure of series expansions is established, which determines reduced distribution functions, as well as reduced correlation functions, which, in particular, made it possible to substantiate the structure of generating operators of the solution of the Cauchy problem for the hierarchy of BBGKY equations (Bogolyubov–Born–Green–Kirkwood–Yvon). It is proved that the structure of expansions for correlation functions, the generating operators of which are cumulants of groups of operators of the corresponding order of Liouville equations, induces the cumulant structure of series expansions for reduced distribution functions and reduced correlation functions. Thus, the dynamics of state correlations generate the dynamics of many-particle systems with topological interaction. У статті сформульовано концепцію кумулянтного зображення для функцій розподілу, якими описується стан систем багатьох частинок з топологічною взаємодією, тобто за допомогою потенціалу взаємодії який визначається рангом близькості частинок. Кумулянти функцій розподілу ймовірностей інтерпретуються як кореляції станів частинок та визначаються як розв’язки відповідних кластерних розкладів функцій розподілу ймовірностей. Підкреслимо, що кореляції які виникають при еволюції системи частинок з топологічною взаємодією природно відрізняються від структури кореляцій систем багатьох частинок, стан яких традиційно описується симетричними функціями розподілу ймовірностей. У статті встановлено ієрархію еволюційних нелінійних рівнянь для кореляційних функцій (ієрархія рекурсивних рівнянь Ліувілля). У просторі послідовностей інтегрованих функцій побудовано непертурбативний розв’язок задачі Коші для ієрархії таких нелінійних еволюційних рівнянь. Досліджено типові властивості розкладу такого розв’язку, які породжуються властивостями його твірних операторів, а саме, кумулянтами груп операторів рівнянь Ліувілля. На основі динаміки кореляцій встановлено структуру розкладів в ряд, якими визначаються редуковані функції розподілу, а також редуковані кореляційні функції, що, зокрема, дозволило обґрунтувати структуру твірних операторів розв’язку задачі Коші для ієрархії рівнянь ББҐКІ (Боголюбов – Борн – Ґрiн – Кiрквуд – Iвон). Доведено, що структура розкладів для кореляційних функцій, твірними операторами яких є відповідного порядку кумулянти груп операторів рівнянь Ліувілля, індукує кумулянтну структуру розкладів в ряд для редукованих функцій розподілу та редукованих кореляційних функцій. Таким чином, динаміка систем багатьох частинок з топологічною взаємодією породжується динамікою кореляцій станів. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2024-12-11 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/317402 10.32626/2308-5878.2024-26.20-36 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2024: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 26; 20-36 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2024: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 26; 20-36 2308-5878 10.32626/2308-5878.2024-26 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/317402/312884 Авторське право (c) 2025 Віктор Герасименко, Ігор Гап’як |
| spellingShingle | Герасименко, Віктор Гап’як, Ігор Evolution Equations for Cumulants of Distribution Functions of Particle Systems with Topological Interaction |
| title | Evolution Equations for Cumulants of Distribution Functions of Particle Systems with Topological Interaction |
| title_alt | Еволюційні рівняння для кумулянтів функцій розподілу систем частинок з топологічною взаємодією |
| title_full | Evolution Equations for Cumulants of Distribution Functions of Particle Systems with Topological Interaction |
| title_fullStr | Evolution Equations for Cumulants of Distribution Functions of Particle Systems with Topological Interaction |
| title_full_unstemmed | Evolution Equations for Cumulants of Distribution Functions of Particle Systems with Topological Interaction |
| title_short | Evolution Equations for Cumulants of Distribution Functions of Particle Systems with Topological Interaction |
| title_sort | evolution equations for cumulants of distribution functions of particle systems with topological interaction |
| url | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/317402 |
| work_keys_str_mv | AT gerasimenkovíktor evolutionequationsforcumulantsofdistributionfunctionsofparticlesystemswithtopologicalinteraction AT gapâkígor evolutionequationsforcumulantsofdistributionfunctionsofparticlesystemswithtopologicalinteraction AT gerasimenkovíktor evolûcíjnírívnânnâdlâkumulântívfunkcíjrozpodílusistemčastinokztopologíčnoûvzaêmodíêû AT gapâkígor evolûcíjnírívnânnâdlâkumulântívfunkcíjrozpodílusistemčastinokztopologíčnoûvzaêmodíêû |