Block-Symmetric Bases and Multidimensional Newton Formulas
In this work we develop a construction of block-symmetric invariants for sequences of multidimensional blocks and obtain multidimensional Newton formulas that link three natural systems of bases. The study relies on introducing block power sums as well as complete and elementary block-symmetric poly...
Gespeichert in:
| Datum: | 2025 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2025
|
| Online Zugang: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/339155 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1856543291294613504 |
|---|---|
| author | Ясельський, Андрій |
| author_facet | Ясельський, Андрій |
| author_sort | Ясельський, Андрій |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-01-25T14:19:53Z |
| description | In this work we develop a construction of block-symmetric invariants for sequences of multidimensional blocks and obtain multidimensional Newton formulas that link three natural systems of bases. The study relies on introducing block power sums as well as complete and elementary block-symmetric polynomials, for which generating functions are built and a fundamental vector identity is established. It is shown that the logarithmic form of this identity leads to a system of Newton-Girard recurrence relations with explicit combinatorial coefficients, which ensures a correct accounting of monomials in the multidimensional setting. The obtained relations are consistent with the classical formulas and do not require additional assumptions concerning the commutativity of transformations or any special normalization of coefficients. It is proved that transitions between the indicated bases have a triangular character with respect to the natural partial order on multi-indices, which entails the uniqueness of expansions and the invertibility of the corresponding linear transformations. The results include the statement that block power sums form a basis of the invariant subalgebra, while complete and elementary functions provide alternative expansions with clear coefficient conversion rules.
Special attention is paid to the infinite-dimensional situation with truncation by the number of blocks. It is shown that the truncated representations form a sequence that is monotone with respect to inclusion and uniformly bounded on balls, which ensures uniform convergence on compact sets to the original invariant. On the basis of these properties, a conclusion is formulated about a minimal generating set for each fixed total degree. For any such degree, all invariants are generated by elements of the same degree from any of the three systems, while truncated series by the number of blocks converge to full polynomials uniformly on compact sets. The proposed scheme generalizes the classical theory of symmetric functions to the block case and forms a unified methodology for constructing bases, performing mutual transitions, and controlling convergence, which creates a foundation for further research in combinatorics and the algebraic analysis of invariants |
| first_indexed | 2026-02-08T08:00:53Z |
| format | Article |
| id | mcm-mathkpnueduua-article-339155 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-02-08T08:00:53Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3391552026-01-25T14:19:53Z Block-Symmetric Bases and Multidimensional Newton Formulas Блочно-симетричні базиси і багатовимірні формули Ньютона Ясельський, Андрій In this work we develop a construction of block-symmetric invariants for sequences of multidimensional blocks and obtain multidimensional Newton formulas that link three natural systems of bases. The study relies on introducing block power sums as well as complete and elementary block-symmetric polynomials, for which generating functions are built and a fundamental vector identity is established. It is shown that the logarithmic form of this identity leads to a system of Newton-Girard recurrence relations with explicit combinatorial coefficients, which ensures a correct accounting of monomials in the multidimensional setting. The obtained relations are consistent with the classical formulas and do not require additional assumptions concerning the commutativity of transformations or any special normalization of coefficients. It is proved that transitions between the indicated bases have a triangular character with respect to the natural partial order on multi-indices, which entails the uniqueness of expansions and the invertibility of the corresponding linear transformations. The results include the statement that block power sums form a basis of the invariant subalgebra, while complete and elementary functions provide alternative expansions with clear coefficient conversion rules. Special attention is paid to the infinite-dimensional situation with truncation by the number of blocks. It is shown that the truncated representations form a sequence that is monotone with respect to inclusion and uniformly bounded on balls, which ensures uniform convergence on compact sets to the original invariant. On the basis of these properties, a conclusion is formulated about a minimal generating set for each fixed total degree. For any such degree, all invariants are generated by elements of the same degree from any of the three systems, while truncated series by the number of blocks converge to full polynomials uniformly on compact sets. The proposed scheme generalizes the classical theory of symmetric functions to the block case and forms a unified methodology for constructing bases, performing mutual transitions, and controlling convergence, which creates a foundation for further research in combinatorics and the algebraic analysis of invariants У роботі розвинена конструкція блочно-симетричних інваріантів для послідовностей багатовимірних блоків та отримані багатовимірні формули Ньютона, які пов’язують три природні системи базисів. Дослідження спирається на введення блочних степеневих сум, а також повних і елементарних блочно-симетричних багаточленів, для яких побудовані багатозмінні формальні генеруючі степеневі ряди і встановлено фундаментальну тотожність векторного типу. Показано, що логарифмічна форма цієї тотожності призводить до системи рекурентних співвідношень Ньютона-Жирара з явними комбінаторними коефіцієнтами, що забезпечує коректний облік мономів у багатовимірному випадку. Отримані співвідношення сумісні з класичними формулами та не потребують додаткових припущень щодо комутативності перетворень або спеціальної нормалізації коефіцієнтів. Доведено, що переходи між зазначеними базисами мають трикутний характер щодо природного часткового порядку на мультиіндексах, що забезпечує єдність розкладів і оберненість відповідних лінійних перетворень. Доведено, що блочні степеневі суми утворюють базис інваріантної підалгебри, а повні і елементарні функції надають альтернативні розкладання з чіткими правилами перерахунку коефіцієнтів. Детально розглянуто нескінченновимірний випадок із усіченням за кількістю блоків. Показано, що усічені представлення утворюють зростаючу за включенням послідовність (кожне наступне містить попереднє) і є рівномірно обмеженими на будь-якій фіксованій множині, що забезпечує рівномірну на компактних множинах збіжність до вихідного інваріанту. На основі цих властивостей сформульовано висновок про мінімальний набір твірних для кожного фіксованого сумарного ступеня. Для будь-якого фіксованого степеня всі інваріанти цього степеня генеруються елементами того ж степеня з будь-якої з трьох систем, при цьому усічені за кількістю блоків ряди рівномірно на компактах сходяться до відповідних повних блочно-симетричних багаточленів. Розроблена схема узагальнює класичну теорію симетричних функцій на блоковий випадок та формує єдину методологію для побудови базисів, взаємних переходів та контролю збіжності, що створює основу для подальших досліджень у галузі комбінаторики та алгебраїчного аналізу інваріантів Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2025-09-12 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/339155 10.32626/2308-5878.2025-28.163-176 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2025: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 28; 163-176 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2025: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 28; 163-176 2308-5878 10.32626/2308-5878.2025-28 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/339155/338476 Авторське право (c) 2026 Андрій Ясельський |
| spellingShingle | Ясельський, Андрій Block-Symmetric Bases and Multidimensional Newton Formulas |
| title | Block-Symmetric Bases and Multidimensional Newton Formulas |
| title_alt | Блочно-симетричні базиси і багатовимірні формули Ньютона |
| title_full | Block-Symmetric Bases and Multidimensional Newton Formulas |
| title_fullStr | Block-Symmetric Bases and Multidimensional Newton Formulas |
| title_full_unstemmed | Block-Symmetric Bases and Multidimensional Newton Formulas |
| title_short | Block-Symmetric Bases and Multidimensional Newton Formulas |
| title_sort | block-symmetric bases and multidimensional newton formulas |
| url | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/339155 |
| work_keys_str_mv | AT âselʹsʹkijandríj blocksymmetricbasesandmultidimensionalnewtonformulas AT âselʹsʹkijandríj bločnosimetričníbazisiíbagatovimírníformulinʹûtona |