Realization of Lipschitz Geometry at Infinity on Complex Analytic Sets
The article provides an in-depth analysis of the development and application of Lipschitz geometry at infinity in the study of complex analytic sets, aimed at establishing the relationship between their algebraic nature and the global metric structure. A generalized definition of Lipschitz and Bialp...
Збережено в:
| Дата: | 2025 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2025
|
| Онлайн доступ: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/341604 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Репозитарії
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1856543291833581569 |
|---|---|
| author | Стахів, Ростислав |
| author_facet | Стахів, Ростислав |
| author_sort | Стахів, Ростислав |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-01-25T14:19:53Z |
| description | The article provides an in-depth analysis of the development and application of Lipschitz geometry at infinity in the study of complex analytic sets, aimed at establishing the relationship between their algebraic nature and the global metric structure. A generalized definition of Lipschitz and Bialpischitz homeomorphisms at infinity in terms of metric spaces is considered, which provides the possibility of classifying analytic sets according to their asymptotic behavior and introducing the concept of Lipschitz equivalence outside compact domains. A class of pure d-dimensional entire complex analytic subsets is investigated, for which a criterion of algebraicity is formulated and proven due to the existence of a unique tangent cone at infinity, which turns out to be a d-dimensional complex algebraic set. The equivalence of three fundamental properties is proved: algebraicity of an analytic set; uniqueness of its tangent cone at infinity; of the Bialpischitz homeomorphism at infinity to a complex algebraic set. Special attention is paid to the role of the Meeks’ Conjecture III, which concerns the uniqueness of tangent cones of minimal surfaces in R3 with quadratic growth of area, and its connection with the concept of Lipschitz regularity at infinity. It is shown that metric invariants, in particular Bialpischitz homeomorphisms, allow us to describe the asymptotic rigidity and stability of analytic structures. The results obtained generalize and deepen the theorems of Chow, Stoll-Bishop, and Lojasevich, introducing new criteria for identifying algebraic sets by their global metric characteristics. The proposed approach forms a conceptual basis for further studies of the asymptotic rigidity, stability, and deformations of complex analytic objects within the framework of modern complex and differential geometry |
| first_indexed | 2026-02-08T08:00:54Z |
| format | Article |
| id | mcm-mathkpnueduua-article-341604 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-02-08T08:00:54Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3416042026-01-25T14:19:53Z Realization of Lipschitz Geometry at Infinity on Complex Analytic Sets Реалізація геометрії Ліпшиця на нескінченності комплексних аналітичних множин Стахів, Ростислав The article provides an in-depth analysis of the development and application of Lipschitz geometry at infinity in the study of complex analytic sets, aimed at establishing the relationship between their algebraic nature and the global metric structure. A generalized definition of Lipschitz and Bialpischitz homeomorphisms at infinity in terms of metric spaces is considered, which provides the possibility of classifying analytic sets according to their asymptotic behavior and introducing the concept of Lipschitz equivalence outside compact domains. A class of pure d-dimensional entire complex analytic subsets is investigated, for which a criterion of algebraicity is formulated and proven due to the existence of a unique tangent cone at infinity, which turns out to be a d-dimensional complex algebraic set. The equivalence of three fundamental properties is proved: algebraicity of an analytic set; uniqueness of its tangent cone at infinity; of the Bialpischitz homeomorphism at infinity to a complex algebraic set. Special attention is paid to the role of the Meeks’ Conjecture III, which concerns the uniqueness of tangent cones of minimal surfaces in R3 with quadratic growth of area, and its connection with the concept of Lipschitz regularity at infinity. It is shown that metric invariants, in particular Bialpischitz homeomorphisms, allow us to describe the asymptotic rigidity and stability of analytic structures. The results obtained generalize and deepen the theorems of Chow, Stoll-Bishop, and Lojasevich, introducing new criteria for identifying algebraic sets by their global metric characteristics. The proposed approach forms a conceptual basis for further studies of the asymptotic rigidity, stability, and deformations of complex analytic objects within the framework of modern complex and differential geometry У статті здійснено поглиблений аналіз розвитку та застосування ліпшицевої геометрії на нескінченності у дослідженні комплексних аналітичних множин, спрямований на встановлення взаємозв’язку між їхньою алгебраїчною природою та глобальною метричною структурою. Розглянуто узагальнене визначення ліпшицевих і біліпшицевих гомеоморфізмів на нескінченності у термінах метричних просторів, що забезпечує можливість класифікації аналітичних множин за їхньою асимптотичною поведінкою та введення поняття ліпшицевої еквівалентності поза компактними областями. Досліджено клас чистих d-вимірних цілих комплексних аналітичних підмножин, для яких сформульовано та доведено критерій алгебраїчності через існування єдиного дотичного конуса на нескінченності, який виявляється d-вимірною комплексною алгебраїчною множиною. Доведено еквівалентність трьох фундаментальних властивостей: алгебраїчності аналітичної множини; унікальності її дотичного конуса на нескінченності; біліпшицевої гомеоморфності на нескінченності комплексній алгебраїчній множині. Особливу увагу приділено ролі гіпотези Мікса III, яка стосується унікальності дотичних конусів мінімальних поверхонь у R3 із квадратичним зростанням площі, та її зв’язку з поняттям ліпшицевої регулярності на нескінченності. Показано, що метричні інваріанти, зокрема біліпшицеві гомеоморфізми, дозволяють описати асимптотичну жорсткість і стабільність аналітичних структур. Отримані результати узагальнюють і поглиблюють теореми Чоу, Столла-Бішопа та Лоясевича, вводячи нові критерії для ідентифікації алгебраїчних множин за їхніми глобальними метричними характеристиками. Запропонований підхід формує концептуальну основу для подальших досліджень асимптотичної жорсткості, стабільності та деформацій комплексних аналітичних об’єктів у межах сучасної комплексної та диференціальної геометрії Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2025-12-04 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/341604 10.32626/2308-5878.2025-28.121-136 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2025: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 28; 121-136 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2025: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 28; 121-136 2308-5878 10.32626/2308-5878.2025-28 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/341604/337852 Авторське право (c) 2026 Ростислав Стахів |
| spellingShingle | Стахів, Ростислав Realization of Lipschitz Geometry at Infinity on Complex Analytic Sets |
| title | Realization of Lipschitz Geometry at Infinity on Complex Analytic Sets |
| title_alt | Реалізація геометрії Ліпшиця на нескінченності комплексних аналітичних множин |
| title_full | Realization of Lipschitz Geometry at Infinity on Complex Analytic Sets |
| title_fullStr | Realization of Lipschitz Geometry at Infinity on Complex Analytic Sets |
| title_full_unstemmed | Realization of Lipschitz Geometry at Infinity on Complex Analytic Sets |
| title_short | Realization of Lipschitz Geometry at Infinity on Complex Analytic Sets |
| title_sort | realization of lipschitz geometry at infinity on complex analytic sets |
| url | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/341604 |
| work_keys_str_mv | AT stahívrostislav realizationoflipschitzgeometryatinfinityoncomplexanalyticsets AT stahívrostislav realízacíâgeometríílípšicânaneskínčennostíkompleksnihanalítičnihmnožin |