Asymptotics of the Solution to a Multidimensional Renewal Equation in Matrix Form
The paper investigates multidimensional renewal equations, which represent an important class of integral equations associated with stochastic processes possessing renewal moments. Such equations naturally arise in the theory of random evolutions, Markov and semi-Markov processes, as well as in the...
Saved in:
| Date: | 2025 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2025
|
| Online Access: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/342050 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1856543292112502784 |
|---|---|
| author | Ярова, Оксана |
| author_facet | Ярова, Оксана |
| author_sort | Ярова, Оксана |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-01-25T14:19:53Z |
| description | The paper investigates multidimensional renewal equations, which represent an important class of integral equations associated with stochastic processes possessing renewal moments. Such equations naturally arise in the theory of random evolutions, Markov and semi-Markov processes, as well as in the modeling of systems that periodically return to their initial state. Particular attention is given to the case where the equation is represented in matrix form, which makes it possible to generalize classical scalar relations to systems of equations suitable for describing multicomponent processes.
A renewal equation with a nonlinear normalizing factor is considered. This factor complicates analytical analysis but makes the model more flexible and closer to real-world applications. To obtain the solution, the Laplace transform method is applied, allowing the transition from the integral form of the renewal equation to an algebraic matrix representation suitable for further analysis. An explicit expression for the Laplace transform of the solution to the renewal equation is derived, which is a key step toward recovering the time-dependent behavior of the solution.
In addition to the theoretical analysis, the paper presents an example for a specific renewal function illustrating the effectiveness of the proposed approach. The main characteristics of the solution are calculated, and the influence of the renewal function parameters on the system’s behavior is analyzed. The obtained results can be applied to the study of stochastic systems with a renewal structure, as well as in problems of applied probability, reliability theory, and modeling of complex processes with multidimensional dynamics |
| first_indexed | 2026-02-08T08:00:54Z |
| format | Article |
| id | mcm-mathkpnueduua-article-342050 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-02-08T08:00:54Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3420502026-01-25T14:19:53Z Asymptotics of the Solution to a Multidimensional Renewal Equation in Matrix Form Асимптотика розв’язку багатовимірного рівняння відновлення в матричній формі Ярова, Оксана The paper investigates multidimensional renewal equations, which represent an important class of integral equations associated with stochastic processes possessing renewal moments. Such equations naturally arise in the theory of random evolutions, Markov and semi-Markov processes, as well as in the modeling of systems that periodically return to their initial state. Particular attention is given to the case where the equation is represented in matrix form, which makes it possible to generalize classical scalar relations to systems of equations suitable for describing multicomponent processes. A renewal equation with a nonlinear normalizing factor is considered. This factor complicates analytical analysis but makes the model more flexible and closer to real-world applications. To obtain the solution, the Laplace transform method is applied, allowing the transition from the integral form of the renewal equation to an algebraic matrix representation suitable for further analysis. An explicit expression for the Laplace transform of the solution to the renewal equation is derived, which is a key step toward recovering the time-dependent behavior of the solution. In addition to the theoretical analysis, the paper presents an example for a specific renewal function illustrating the effectiveness of the proposed approach. The main characteristics of the solution are calculated, and the influence of the renewal function parameters on the system’s behavior is analyzed. The obtained results can be applied to the study of stochastic systems with a renewal structure, as well as in problems of applied probability, reliability theory, and modeling of complex processes with multidimensional dynamics У статті досліджуються багатовимірні рівняння відновлення, що становлять важливий клас інтегральних рівнянь, пов’язаних із стохастичними процесами з моментами відновлення. Такі рівняння природно виникають у теорії випадкових еволюцій, марковських і напівмарковських процесів, а також у моделюванні систем, які періодично повертаються до початкового стану. Особливу увагу приділено випадку, коли рівняння подано в матричній формі, що дозволяє узагальнити класичні скалярні співвідношення на системи рівнянь, придатні для опису багатокомпонентних процесів. Розглянуто рівняння відновлення з нелінійним нормуючим множником, який ускладнює аналітичне дослідження, проте робить модель більш гнучкою та близькою до реальних прикладних задач. Для отримання розв’язку застосовано метод перетворення Лапласа, що дало змогу перейти від інтегрального рівняння до алгебраїчної матричної форми, придатної для подальшого аналізу. Отримано явний вираз для перетворення Лапласа розв’язку рівняння відновлення, що є ключовим кроком для подальшого відновлення часової залежності розв’язку. Крім теоретичного аналізу, у статті наведено приклад для конкретної функції відновлення, який ілюструє ефективність застосованого підходу. Розраховано основні характеристики розв’язку та проаналізовано вплив параметрів функції відновлення на поведінку системи. Отримані результати можуть бути використані при дослідженні стохастичних систем, що допускають структуру відновлення, а також у задачах прикладної ймовірності, теорії надійності та моделюванні складних процесів з багатовимірною динамікою Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2025-10-24 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/342050 10.32626/2308-5878.2025-28.155-162 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2025: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 28; 155-162 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2025: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 28; 155-162 2308-5878 10.32626/2308-5878.2025-28 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/342050/337858 Авторське право (c) 2026 Оксана Ярова |
| spellingShingle | Ярова, Оксана Asymptotics of the Solution to a Multidimensional Renewal Equation in Matrix Form |
| title | Asymptotics of the Solution to a Multidimensional Renewal Equation in Matrix Form |
| title_alt | Асимптотика розв’язку багатовимірного рівняння відновлення в матричній формі |
| title_full | Asymptotics of the Solution to a Multidimensional Renewal Equation in Matrix Form |
| title_fullStr | Asymptotics of the Solution to a Multidimensional Renewal Equation in Matrix Form |
| title_full_unstemmed | Asymptotics of the Solution to a Multidimensional Renewal Equation in Matrix Form |
| title_short | Asymptotics of the Solution to a Multidimensional Renewal Equation in Matrix Form |
| title_sort | asymptotics of the solution to a multidimensional renewal equation in matrix form |
| url | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/342050 |
| work_keys_str_mv | AT ârovaoksana asymptoticsofthesolutiontoamultidimensionalrenewalequationinmatrixform AT ârovaoksana asimptotikarozvâzkubagatovimírnogorívnânnâvídnovlennâvmatričníjformí |