The Conditions of Extremality of an Admissible Element in the Problem of Finding a Steiner Point of Several Closed Balls of a Certain Polynormed Space with Respect to a Set of this Space Based on the Dual Representation of the Directional Derivative of the Equivalent Best-Approximation Problem
As is well known (see, for example, [1, p. 47]), the classical Steiner problem in a linear normed space consists in finding, within a given set of this space, a point (the Steiner point) for which the sum of distances to several fixed points of the space is minimal, that is, does not exceed the sum...
Gespeichert in:
| Datum: | 2025 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2025
|
| Online Zugang: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/345840 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1856543295206850560 |
|---|---|
| author | Гудима, Уляна |
| author_facet | Гудима, Уляна |
| author_sort | Гудима, Уляна |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-01-25T14:19:53Z |
| description | As is well known (see, for example, [1, p. 47]), the classical Steiner problem in a linear normed space consists in finding, within a given set of this space, a point (the Steiner point) for which the sum of distances to several fixed points of the space is minimal, that is, does not exceed the sum of distances from the given points to any other point of this set.
In practice, one often encounters the so-called «weighted» Steiner problems, in which the distances mentioned above are assigned various «weight» characteristics (see, for example, [1, p. 47]).
If, in a «weighted» Steiner problem, the «weighted distances» between the fixed points of a linear normed space and the points of its set are replaced by distances generated, generally speaking, by different norms defined on the considered linear space, then we obtain a Steiner problem in a polynormed space, which is a generalization of the «weighted» Steiner problem (see, for example, [2]).
In paper [2], for the case when the set of a polynormed space with respect to which the generalized Steiner problem is considered is convex, duality relations and extremality conditions for an admissible solution of this problem are established. These conditions are based on a duality relation that generalizes the known results obtained for the problem of best approximation of an element of a linear normed space by a convex set of this space (see, for example, [3]).
The problem considered in the present work is obtained by replacing, in the generalized Steiner problem in a polynormed space, the fixed points of a linear space over the field of real numbers with closed balls determined by the corresponding norms of this space. As distances between the resulting balls and the points of a fixed set of the linear space, we take the Hausdorff distances between them generated by the corresponding norms. |
| first_indexed | 2026-02-08T08:00:57Z |
| format | Article |
| id | mcm-mathkpnueduua-article-345840 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-02-08T08:00:57Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3458402026-01-25T14:19:53Z The Conditions of Extremality of an Admissible Element in the Problem of Finding a Steiner Point of Several Closed Balls of a Certain Polynormed Space with Respect to a Set of this Space Based on the Dual Representation of the Directional Derivative of the Equivalent Best-Approximation Problem Умови екстремальності допустимого елемента задачі відшукання точки Штейнера кількох замкнених куль деякого полінормованого простору відносно множини цього простору основані на двоїстому поданні похідної за напрямом еквівалентної їй задачі найкращого наближення Гудима, Уляна As is well known (see, for example, [1, p. 47]), the classical Steiner problem in a linear normed space consists in finding, within a given set of this space, a point (the Steiner point) for which the sum of distances to several fixed points of the space is minimal, that is, does not exceed the sum of distances from the given points to any other point of this set. In practice, one often encounters the so-called «weighted» Steiner problems, in which the distances mentioned above are assigned various «weight» characteristics (see, for example, [1, p. 47]). If, in a «weighted» Steiner problem, the «weighted distances» between the fixed points of a linear normed space and the points of its set are replaced by distances generated, generally speaking, by different norms defined on the considered linear space, then we obtain a Steiner problem in a polynormed space, which is a generalization of the «weighted» Steiner problem (see, for example, [2]). In paper [2], for the case when the set of a polynormed space with respect to which the generalized Steiner problem is considered is convex, duality relations and extremality conditions for an admissible solution of this problem are established. These conditions are based on a duality relation that generalizes the known results obtained for the problem of best approximation of an element of a linear normed space by a convex set of this space (see, for example, [3]). The problem considered in the present work is obtained by replacing, in the generalized Steiner problem in a polynormed space, the fixed points of a linear space over the field of real numbers with closed balls determined by the corresponding norms of this space. As distances between the resulting balls and the points of a fixed set of the linear space, we take the Hausdorff distances between them generated by the corresponding norms. Як відомо (див., наприклад, [1, с. 47]), класична задача Штейнера в лінійному нормованому просторі полягає у відшуканні в заданій множині цього простору такої точки (точки Штейнера), сума відстаней до якої від кожної з кількох фіксованих точок цього простору була б найменшою, тобто не перевищувала суми відстаней заданих точок до будь-якої іншої точки цієї множини. На практиці доводиться мати справу з, так званими, «зваженими» задачами Штейнера, в яких відстаням, про які йшла мова вище, приписують різні «вагові» характеристики (див., наприклад, [1, с. 47]). Якщо у «зваженій» задачі Штейнера «зважені відстані» між фіксованими точками лінійного нормованого простору і точками його множини замінити на відстані між цими точками, породжені, взагалі кажучи, різними нормами, заданими на розглядуваному лінійному просторі, то отримаємо задачу Штейнера в полінормованому просторі, яка є узагальненням «зваженої» задачі Штейнера (див., наприклад, [2]). У роботі [2] для випадку, коли множина полінормованого простору, відносно якої розглядається узагальнена задача Штейнера, є опуклою, встановлено співвідношення двоїстості та умови екстремальності допустимого розв’язку цієї задачі, основані на співвідношенні двоїстості, що узагальнюють відомі результати, отримані для задачі найкращого наближення елемента лінійного нормованого простору опуклою множиною цього простору (див., наприклад, [3]). Задача, що розглядається в роботі, отримується внаслідок заміни в узагальненій задачі Штейнера в полінормованому просторі фіксованих точок лінійного над полем дійсних чисел простору замкненими кулями, що визначаються відповідними нормами цього простору. В якості відстаней між отриманими кулями та точками фіксованої множини лінійного простору приймаються гаусдорфові відстані між ними, породжені відповідними нормами Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2025-12-08 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/345840 10.32626/2308-5878.2025-28.32-53 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2025: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 28; 32-53 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2025: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 28; 32-53 2308-5878 10.32626/2308-5878.2025-28 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/345840/337793 Авторське право (c) 2026 Уляна Гудима |
| spellingShingle | Гудима, Уляна The Conditions of Extremality of an Admissible Element in the Problem of Finding a Steiner Point of Several Closed Balls of a Certain Polynormed Space with Respect to a Set of this Space Based on the Dual Representation of the Directional Derivative of the Equivalent Best-Approximation Problem |
| title | The Conditions of Extremality of an Admissible Element in the Problem of Finding a Steiner Point of Several Closed Balls of a Certain Polynormed Space with Respect to a Set of this Space Based on the Dual Representation of the Directional Derivative of the Equivalent Best-Approximation Problem |
| title_alt | Умови екстремальності допустимого елемента задачі відшукання точки Штейнера кількох замкнених куль деякого полінормованого простору відносно множини цього простору основані на двоїстому поданні похідної за напрямом еквівалентної їй задачі найкращого наближення |
| title_full | The Conditions of Extremality of an Admissible Element in the Problem of Finding a Steiner Point of Several Closed Balls of a Certain Polynormed Space with Respect to a Set of this Space Based on the Dual Representation of the Directional Derivative of the Equivalent Best-Approximation Problem |
| title_fullStr | The Conditions of Extremality of an Admissible Element in the Problem of Finding a Steiner Point of Several Closed Balls of a Certain Polynormed Space with Respect to a Set of this Space Based on the Dual Representation of the Directional Derivative of the Equivalent Best-Approximation Problem |
| title_full_unstemmed | The Conditions of Extremality of an Admissible Element in the Problem of Finding a Steiner Point of Several Closed Balls of a Certain Polynormed Space with Respect to a Set of this Space Based on the Dual Representation of the Directional Derivative of the Equivalent Best-Approximation Problem |
| title_short | The Conditions of Extremality of an Admissible Element in the Problem of Finding a Steiner Point of Several Closed Balls of a Certain Polynormed Space with Respect to a Set of this Space Based on the Dual Representation of the Directional Derivative of the Equivalent Best-Approximation Problem |
| title_sort | conditions of extremality of an admissible element in the problem of finding a steiner point of several closed balls of a certain polynormed space with respect to a set of this space based on the dual representation of the directional derivative of the equivalent best-approximation problem |
| url | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/345840 |
| work_keys_str_mv | AT gudimaulâna theconditionsofextremalityofanadmissibleelementintheproblemoffindingasteinerpointofseveralclosedballsofacertainpolynormedspacewithrespecttoasetofthisspacebasedonthedualrepresentationofthedirectionalderivativeoftheequivalentbestapproximationproblem AT gudimaulâna umoviekstremalʹnostídopustimogoelementazadačívídšukannâtočkištejnerakílʹkohzamknenihkulʹdeâkogopolínormovanogoprostoruvídnosnomnožinicʹogoprostoruosnovanínadvoístomupodannípohídnoízanaprâmomekvívalentnoííjzadačínajkraŝogonabližennâ AT gudimaulâna conditionsofextremalityofanadmissibleelementintheproblemoffindingasteinerpointofseveralclosedballsofacertainpolynormedspacewithrespecttoasetofthisspacebasedonthedualrepresentationofthedirectionalderivativeoftheequivalentbestapproximationproblem |