Analysis By the Method of Two-Sided Approximations of Positive Axially Symmetric Solutions of the First Boundary Value Problem for the Helmholtz Equation with a Monotone Power Nonlinearity
The paper presents an analysis, using the method of two-sided approximations, of positive axially symmetric solutions to the first boundary value problem for a semilinear elliptic differential equation with the Helmholtz operator. The domain in which the problem is considered is a disk, on the bound...
Gespeichert in:
| Datum: | 2025 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2025
|
| Online Zugang: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/346580 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1856543297861844992 |
|---|---|
| author | Пархоменко, Владислав Сидоров, Максим |
| author_facet | Пархоменко, Владислав Сидоров, Максим |
| author_sort | Пархоменко, Владислав |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-01-25T14:19:53Z |
| description | The paper presents an analysis, using the method of two-sided approximations, of positive axially symmetric solutions to the first boundary value problem for a semilinear elliptic differential equation with the Helmholtz operator.
The domain in which the problem is considered is a disk, on the boundary of which a homogeneous first boundary condition is imposed. The nonlinearity is monotone and is described by a power dependence on the unknown function, where the exponent varies from 0 to 1. By passing to polar coordinates and taking into account that the solution is axially symmetric (that is, it does not depend on the angular variable and depends only on the distance from the center of the disk), we obtain a boundary value problem for a semilinear ordinary differential equation. The pole of the polar coordinate system is a singular point of this equation, which necessitates imposing a boundedness condition on the solution at this point.
For the boundary value problem, a Green’s function is constructed and a transition is made to an equivalent Hammerstein integral equation, which is considered as a nonlinear operator equation in a Banach space of functions continuous on an interval, semi-ordered by the cone of nonnegative functions on this interval. The properties of the corresponding integral operator, such as monotonicity (isotonicity), positivity, boundedness, and concavity are investigated.
At the next stage of the study, the endpoints of an invariant conical segment are determined, which serve as initial approximations for the iterative process. After that, two parallel iterative processes are constructed. The first iterative sequence is nondecreasing with respect to the cone (lower approximations), while the second is nonincreasing with respect to the cone (upper approximations). At each iteration, the current approximation is chosen as the arithmetic mean of the upper and lower approximations. Thus, at each step, the iterative process provides an a posteriori error estimate. As a result, the existence and uniqueness of a positive axially symmetric solution to the considered problem are established.
The theoretical results obtained in the paper were confirmed by conducting a computational experiment. The dependence of the solution and the convergence rate of the iterative process on the parameters of the equation were analyzed and illustrated by the corresponding graphs |
| first_indexed | 2026-02-08T08:00:59Z |
| format | Article |
| id | mcm-mathkpnueduua-article-346580 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-02-08T08:00:59Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3465802026-01-25T14:19:53Z Analysis By the Method of Two-Sided Approximations of Positive Axially Symmetric Solutions of the First Boundary Value Problem for the Helmholtz Equation with a Monotone Power Nonlinearity Аналіз методом двобічних наближень додатних аксіально-симетричних розв’язків першої крайової задачі для рівняння Гельмгольца з монотонною степеневою нелінійністю Пархоменко, Владислав Сидоров, Максим The paper presents an analysis, using the method of two-sided approximations, of positive axially symmetric solutions to the first boundary value problem for a semilinear elliptic differential equation with the Helmholtz operator. The domain in which the problem is considered is a disk, on the boundary of which a homogeneous first boundary condition is imposed. The nonlinearity is monotone and is described by a power dependence on the unknown function, where the exponent varies from 0 to 1. By passing to polar coordinates and taking into account that the solution is axially symmetric (that is, it does not depend on the angular variable and depends only on the distance from the center of the disk), we obtain a boundary value problem for a semilinear ordinary differential equation. The pole of the polar coordinate system is a singular point of this equation, which necessitates imposing a boundedness condition on the solution at this point. For the boundary value problem, a Green’s function is constructed and a transition is made to an equivalent Hammerstein integral equation, which is considered as a nonlinear operator equation in a Banach space of functions continuous on an interval, semi-ordered by the cone of nonnegative functions on this interval. The properties of the corresponding integral operator, such as monotonicity (isotonicity), positivity, boundedness, and concavity are investigated. At the next stage of the study, the endpoints of an invariant conical segment are determined, which serve as initial approximations for the iterative process. After that, two parallel iterative processes are constructed. The first iterative sequence is nondecreasing with respect to the cone (lower approximations), while the second is nonincreasing with respect to the cone (upper approximations). At each iteration, the current approximation is chosen as the arithmetic mean of the upper and lower approximations. Thus, at each step, the iterative process provides an a posteriori error estimate. As a result, the existence and uniqueness of a positive axially symmetric solution to the considered problem are established. The theoretical results obtained in the paper were confirmed by conducting a computational experiment. The dependence of the solution and the convergence rate of the iterative process on the parameters of the equation were analyzed and illustrated by the corresponding graphs У роботі проведено аналіз методом двобічних наближень додатних аксіально-симетричних розв’язків першої крайової задачі для напівлінійного еліптичного диференціального рівняння з оператором Гельмгольца. Область, у якій розглядається задача, є кругом, на межі якого поставлено однорідну першу крайову умову. Характер нелінійності є монотонним, описується степеневою залежністю від шуканої функції, де показник змінюється від 0 до 1. Переходячи до полярних координат і враховуючи, що розв’язок має аксіальну симетрію (тобто залежність від кута повороту відсутня, а наявна лише залежність від відстані до центру круга), отримаємо, крайову задачу для напівлінійного звичайного диференціального рівняння. Полюс полярної системи координат є особливою точкою цього рівняння, що приводить до необхідності накласти в цій точці на розв’язок умову обмеженості. Для задачі будується функція Гріна і здійснюється перехід до еквівалентного інтегрального рівняння Гаммерштейна, що розглядається як нелінійне операторне рівняння в банаховому просторі неперервних на відрізку функцій, напівупорядкованому конусом невід’ємних на цьому відрізку функцій. Досліджено властивості відповідного інтегрального оператора такі, як монотонність (ізотонність), додатність, обмеженість і увігнутість На наступному етапі дослідження знаходяться кінці інваріантного конусного відрізка, що є початковими наближеннями для ітераційного процесу. Після цього будуються два паралельних ітераційних процеси. Перша ітераційна послідовність не спадає за конусом (нижні наближення), а друга – не зростає за конусом (верхні наближення). За поточне наближення на кожній ітерації обирається середнє арифметичне верхнього та нижнього наближень. Отже, на кожному своєму кроці ітераційний процес дає нам апостеріорну оцінку похибки. Зроблено висновок про існування та єдиність додатного аксіально-симетричного розв’язку розглядуваної задачі. Теоретичні результати, отримані в роботі, було підтверджено шляхом проведення обчислювального експерименту. Проаналізовано залежність розв’язку і швидкість збіжності ітераційного процесу від параметрів рівняння, що проілюстровано відповідними графіками Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2025-12-14 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/346580 10.32626/2308-5878.2025-28.81-92 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2025: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 28; 81-92 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2025: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 28; 81-92 2308-5878 10.32626/2308-5878.2025-28 uk http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/346580/337846 Авторське право (c) 2026 Владислав Пархоменко, Максим Сидоров |
| spellingShingle | Пархоменко, Владислав Сидоров, Максим Analysis By the Method of Two-Sided Approximations of Positive Axially Symmetric Solutions of the First Boundary Value Problem for the Helmholtz Equation with a Monotone Power Nonlinearity |
| title | Analysis By the Method of Two-Sided Approximations of Positive Axially Symmetric Solutions of the First Boundary Value Problem for the Helmholtz Equation with a Monotone Power Nonlinearity |
| title_alt | Аналіз методом двобічних наближень додатних аксіально-симетричних розв’язків першої крайової задачі для рівняння Гельмгольца з монотонною степеневою нелінійністю |
| title_full | Analysis By the Method of Two-Sided Approximations of Positive Axially Symmetric Solutions of the First Boundary Value Problem for the Helmholtz Equation with a Monotone Power Nonlinearity |
| title_fullStr | Analysis By the Method of Two-Sided Approximations of Positive Axially Symmetric Solutions of the First Boundary Value Problem for the Helmholtz Equation with a Monotone Power Nonlinearity |
| title_full_unstemmed | Analysis By the Method of Two-Sided Approximations of Positive Axially Symmetric Solutions of the First Boundary Value Problem for the Helmholtz Equation with a Monotone Power Nonlinearity |
| title_short | Analysis By the Method of Two-Sided Approximations of Positive Axially Symmetric Solutions of the First Boundary Value Problem for the Helmholtz Equation with a Monotone Power Nonlinearity |
| title_sort | analysis by the method of two-sided approximations of positive axially symmetric solutions of the first boundary value problem for the helmholtz equation with a monotone power nonlinearity |
| url | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/346580 |
| work_keys_str_mv | AT parhomenkovladislav analysisbythemethodoftwosidedapproximationsofpositiveaxiallysymmetricsolutionsofthefirstboundaryvalueproblemforthehelmholtzequationwithamonotonepowernonlinearity AT sidorovmaksim analysisbythemethodoftwosidedapproximationsofpositiveaxiallysymmetricsolutionsofthefirstboundaryvalueproblemforthehelmholtzequationwithamonotonepowernonlinearity AT parhomenkovladislav analízmetodomdvobíčnihnabliženʹdodatnihaksíalʹnosimetričnihrozvâzkívperšoíkrajovoízadačídlârívnânnâgelʹmgolʹcazmonotonnoûstepenevoûnelíníjnístû AT sidorovmaksim analízmetodomdvobíčnihnabliženʹdodatnihaksíalʹnosimetričnihrozvâzkívperšoíkrajovoízadačídlârívnânnâgelʹmgolʹcazmonotonnoûstepenevoûnelíníjnístû |