Smoothness Effects on Numerical Integration Accuracy for Rapidly Oscillating Bivariate Functions on Sparse Grids
One of the key tasks in modern applied mathematics, without which it is impossible to model and analyze complex processes, particularly in digital image processing, is the numerical integration of functions of several variables. The main problem of numerical integration of functions of several varia...
Gespeichert in:
| Datum: | 2025 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Englisch |
| Veröffentlicht: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2025
|
| Online Zugang: | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/347682 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1856543297138327552 |
|---|---|
| author | Нечуйвітер, Олеся Іванов, Владислав Шніцар, Андрій Гіщак, Остап |
| author_facet | Нечуйвітер, Олеся Іванов, Владислав Шніцар, Андрій Гіщак, Остап |
| author_sort | Нечуйвітер, Олеся |
| baseUrl_str | |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-01-25T14:19:53Z |
| description | One of the key tasks in modern applied mathematics, without which it is impossible to model and analyze complex processes, particularly in digital image processing, is the numerical integration of functions of several variables. The main problem of numerical integration of functions of several variables is the increase in computational costs with increasing dimension of the integration domain.
Of particular interest are numerical integration methods developed using information operators that restore intermediate values of quantities based on a given set of known values of a function of several variables at points, lines, planes, etc. Based on such operators, economical schemes for interpolating functions of several variables are constructed. The use of economical schemes in the numerical integration of functions of two and three variables allows one to construct sparse grids and calculate approximate integrals with less data and with a predetermined accuracy compared to classical methods.
The purpose of this article is to demonstrate the use of economical interpolation schemes for approximate calculation of double integrals of rapidly oscillating functions of general form on different classes of smoothness. The paper analyzes the influence of the order of differentiability of a function on the rate of decay of the theoretical error of approximation of cubature formulas. It is shown that as the smoothness of the function increases, the estimates of the error of numerical integration improve, which allows the effective use of sparse grids without loss of accuracy. The results obtained establish a quantitative relationship between the class of differentiability of a function, the discretization parameters, and the frequency of oscillations, and can be used to justify the choice of numerical methods for integrating rapidly oscillating functions of two variables. |
| first_indexed | 2026-02-08T08:00:59Z |
| format | Article |
| id | mcm-mathkpnueduua-article-347682 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| language | English |
| last_indexed | 2026-02-08T08:00:59Z |
| publishDate | 2025 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3476822026-01-25T14:19:53Z Smoothness Effects on Numerical Integration Accuracy for Rapidly Oscillating Bivariate Functions on Sparse Grids Вплив гладкості на точність чисельного інтегрування швидкоосцильованих функцій двох змінних на розріджених сітках Нечуйвітер, Олеся Іванов, Владислав Шніцар, Андрій Гіщак, Остап One of the key tasks in modern applied mathematics, without which it is impossible to model and analyze complex processes, particularly in digital image processing, is the numerical integration of functions of several variables. The main problem of numerical integration of functions of several variables is the increase in computational costs with increasing dimension of the integration domain. Of particular interest are numerical integration methods developed using information operators that restore intermediate values of quantities based on a given set of known values of a function of several variables at points, lines, planes, etc. Based on such operators, economical schemes for interpolating functions of several variables are constructed. The use of economical schemes in the numerical integration of functions of two and three variables allows one to construct sparse grids and calculate approximate integrals with less data and with a predetermined accuracy compared to classical methods. The purpose of this article is to demonstrate the use of economical interpolation schemes for approximate calculation of double integrals of rapidly oscillating functions of general form on different classes of smoothness. The paper analyzes the influence of the order of differentiability of a function on the rate of decay of the theoretical error of approximation of cubature formulas. It is shown that as the smoothness of the function increases, the estimates of the error of numerical integration improve, which allows the effective use of sparse grids without loss of accuracy. The results obtained establish a quantitative relationship between the class of differentiability of a function, the discretization parameters, and the frequency of oscillations, and can be used to justify the choice of numerical methods for integrating rapidly oscillating functions of two variables. Однією з ключових задач у сучасній прикладній математиці, без якої неможливе моделювання та аналіз складних процесів, зокрема в цифровій обробці зображень, є чисельне інтегрування функцій багатьох змінних. Основна проблема чисельного інтегрування функцій багатьох змінних полягає в зростанні обчислювальних витрат зі збільшенням розмірності області інтегрування. Особливий інтерес становлять методи чисельного інтегрування, розроблені з використанням інформаційних операторів, які відновлюють проміжні значення величин за наявним набором відомих значень функції багатьох змінних в точках, на лініях, площинах, тощо. На основі таких операторів будуються економні схеми інтерполяції функцій декількох змінних. Застосування економних схем в чисельному інтегруванні функцій двох та трьох змінних дозволяє будувати розріджені сітки та обчислювати наближено інтеграли з меншою кількістю даних та із заданою наперед точністю порівняно з класичними методами. Метою даної статті є демонстрація використання економних схем інтерполяції для наближеного обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцильованих функцій загального виду на різних класах гладкості. В роботі проаналізовано вплив порядку диференційовності функції на швидкість спадання теоретичної похибки наближення кубатурної формул. Показано, що зі зростанням гладкості функції покращуються оцінки похибки чисельного інтегрування, що дозволяє ефективно використовувати розріджені сітки без втрати точності. Отримані результати встановлюють кількісний зв’язок між класом диференційовності функції, параметрами дискретизації та частотою осциляцій і можуть бути використані для обґрунтування вибору чисельних методів інтегрування швидкоосцилюючих функцій двох змінних Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2025-12-12 Article Article Рецензована Стаття application/pdf http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/347682 10.32626/2308-5878.2025-28.67-80 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2025: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 28; 67-80 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2025: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 28; 67-80 2308-5878 10.32626/2308-5878.2025-28 en http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/347682/337795 Авторське право (c) 2026 Олеся Нечуйвітер, Владислав Іванов, Андрій Шніцар, Остап Гіщак |
| spellingShingle | Нечуйвітер, Олеся Іванов, Владислав Шніцар, Андрій Гіщак, Остап Smoothness Effects on Numerical Integration Accuracy for Rapidly Oscillating Bivariate Functions on Sparse Grids |
| title | Smoothness Effects on Numerical Integration Accuracy for Rapidly Oscillating Bivariate Functions on Sparse Grids |
| title_alt | Вплив гладкості на точність чисельного інтегрування швидкоосцильованих функцій двох змінних на розріджених сітках |
| title_full | Smoothness Effects on Numerical Integration Accuracy for Rapidly Oscillating Bivariate Functions on Sparse Grids |
| title_fullStr | Smoothness Effects on Numerical Integration Accuracy for Rapidly Oscillating Bivariate Functions on Sparse Grids |
| title_full_unstemmed | Smoothness Effects on Numerical Integration Accuracy for Rapidly Oscillating Bivariate Functions on Sparse Grids |
| title_short | Smoothness Effects on Numerical Integration Accuracy for Rapidly Oscillating Bivariate Functions on Sparse Grids |
| title_sort | smoothness effects on numerical integration accuracy for rapidly oscillating bivariate functions on sparse grids |
| url | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/347682 |
| work_keys_str_mv | AT nečujvíterolesâ smoothnesseffectsonnumericalintegrationaccuracyforrapidlyoscillatingbivariatefunctionsonsparsegrids AT ívanovvladislav smoothnesseffectsonnumericalintegrationaccuracyforrapidlyoscillatingbivariatefunctionsonsparsegrids AT šnícarandríj smoothnesseffectsonnumericalintegrationaccuracyforrapidlyoscillatingbivariatefunctionsonsparsegrids AT gíŝakostap smoothnesseffectsonnumericalintegrationaccuracyforrapidlyoscillatingbivariatefunctionsonsparsegrids AT nečujvíterolesâ vplivgladkostínatočnístʹčiselʹnogoíntegruvannâšvidkooscilʹovanihfunkcíjdvohzmínnihnarozrídženihsítkah AT ívanovvladislav vplivgladkostínatočnístʹčiselʹnogoíntegruvannâšvidkooscilʹovanihfunkcíjdvohzmínnihnarozrídženihsítkah AT šnícarandríj vplivgladkostínatočnístʹčiselʹnogoíntegruvannâšvidkooscilʹovanihfunkcíjdvohzmínnihnarozrídženihsítkah AT gíŝakostap vplivgladkostínatočnístʹčiselʹnogoíntegruvannâšvidkooscilʹovanihfunkcíjdvohzmínnihnarozrídženihsítkah |