Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of Positive Axially Symmetric Solutions of the First Boundary Value Problem for the Helmholtz Equation with a Singular Power Nonlinearity
The paper analyzes, by means of the method of two-sided approximations, positive axially symmetric solutions of the first boundary value problem for a semilinear elliptic differential equation with the Helmholtz operator and a singular power nonlinearity. The problem is considered in a circular doma...
Saved in:
| Date: | 2026 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2026
|
| Online Access: | https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/354815 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1865667110022152192 |
|---|---|
| author | Пархоменко, Владислав |
| author_facet | Пархоменко, Владислав |
| author_sort | Пархоменко, Владислав |
| baseUrl_str | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-05-12T19:53:08Z |
| description | The paper analyzes, by means of the method of two-sided approximations, positive axially symmetric solutions of the first boundary value problem for a semilinear elliptic differential equation with the Helmholtz operator and a singular power nonlinearity.
The problem is considered in a circular domain with a homogeneous Dirichlet condition on the boundary. The nonlinearity has an antimonotonic character and is described by a power dependence, where the exponent takes values from −1 to 0. By transforming to polar coordinates and taking into account that the solution is axially symmetric (that is, there is no dependence on the rotation angle and only the dependence on the distance from the center of the circle remains), a boundary value problem for a semilinear ordinary differential equation is obtained. In this case, the pole of the polar coordinate system is a singular point of this equation, which necessitates imposing a boundedness condition on the solution at this point.
For the problem under consideration, the Green's function is constructed, followed by a reduction to an equivalent Hammerstein integral equation, which is treated as a nonlinear operator equation in a Banach space of functions continuous on a segment and semi-ordered by the cone of nonnegative functions on this segment. The properties of the corresponding integral operator, such as antimonotonicity (antitonicity), positivity, boundedness, and pseudoconcavity, are investigated.
The next stage of the study involves determining the endpoints of a strongly invariant conical segment, which serve as initial approximations for the iterative process. After that, two parallel iterative processes are constructed. The first iterative sequence is nondecreasing with respect to the cone (a sequence of lower approximations), while the second is nonincreasing with respect to the cone (a sequence of upper approximations). At each iteration, the arithmetic mean of the upper and lower approximations is chosen as the current approximation. In this way, an a posteriori error estimate is obtained at every step of the iterative process. A conclusion is drawn about the existence and uniqueness of a positive axially symmetric solution to the problem under consideration.
The theoretical results obtained in the paper were confirmed by conducting a computational experiment. The dependence of the solution and the convergence rate of the iterative process on the parameters of the equation were analyzed, and the corresponding results are presented in the relevant graphs. |
| doi_str_mv | 10.32626/2308-5878.2026-29.100-112 |
| first_indexed | 2026-05-20T01:00:05Z |
| format | Article |
| id | mcm-mathkpnueduua-article-354815 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-05-20T01:00:05Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3548152026-05-12T19:53:08Z Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of Positive Axially Symmetric Solutions of the First Boundary Value Problem for the Helmholtz Equation with a Singular Power Nonlinearity Аналіз методом двобічних наближень додатних аксіально-симетричних розв’язків першої крайової задачі для рівняння Гельмгольца з сингулярною степеневою нелінійністю Пархоменко, Владислав The paper analyzes, by means of the method of two-sided approximations, positive axially symmetric solutions of the first boundary value problem for a semilinear elliptic differential equation with the Helmholtz operator and a singular power nonlinearity. The problem is considered in a circular domain with a homogeneous Dirichlet condition on the boundary. The nonlinearity has an antimonotonic character and is described by a power dependence, where the exponent takes values from −1 to 0. By transforming to polar coordinates and taking into account that the solution is axially symmetric (that is, there is no dependence on the rotation angle and only the dependence on the distance from the center of the circle remains), a boundary value problem for a semilinear ordinary differential equation is obtained. In this case, the pole of the polar coordinate system is a singular point of this equation, which necessitates imposing a boundedness condition on the solution at this point. For the problem under consideration, the Green's function is constructed, followed by a reduction to an equivalent Hammerstein integral equation, which is treated as a nonlinear operator equation in a Banach space of functions continuous on a segment and semi-ordered by the cone of nonnegative functions on this segment. The properties of the corresponding integral operator, such as antimonotonicity (antitonicity), positivity, boundedness, and pseudoconcavity, are investigated. The next stage of the study involves determining the endpoints of a strongly invariant conical segment, which serve as initial approximations for the iterative process. After that, two parallel iterative processes are constructed. The first iterative sequence is nondecreasing with respect to the cone (a sequence of lower approximations), while the second is nonincreasing with respect to the cone (a sequence of upper approximations). At each iteration, the arithmetic mean of the upper and lower approximations is chosen as the current approximation. In this way, an a posteriori error estimate is obtained at every step of the iterative process. A conclusion is drawn about the existence and uniqueness of a positive axially symmetric solution to the problem under consideration. The theoretical results obtained in the paper were confirmed by conducting a computational experiment. The dependence of the solution and the convergence rate of the iterative process on the parameters of the equation were analyzed, and the corresponding results are presented in the relevant graphs. У роботі проведено аналіз методом двобічних наближень додатних аксіально-симетричних розв’язків першої крайової задачі для напівлінійного еліптичного диференціального рівняння з оператором Гельмгольца та сингулярною степеневою нелінійністю. Задача розглядається у круговій області з однорідною умовою Діріхле на межі. Нелінійність носить антимонотонний характер і описується степеневою залежністю, де показник степеню набуває значень від –1 до 0. Шляхом переходу до полярних координат і з урахуванням того, що розв’язок має аксіальну симетрію (тобто залежність від кута повороту відсутня, а наявна лише залежність від відстані до центру круга), одержано крайову задачу для напівлінійного звичайного диференціального рівняння. При цьому полюс полярної системи координат є особливою точкою цього рівняння, і тоді постає необхідність у накладанні на розв’язок умови обмеженості в цій точці. Для задачі будується функція Гріна з подальшим зведенням до еквівалентного інтегрального рівняння Гаммерштейна, що розглядається як нелінійне операторне рівняння в банаховому просторі неперервних на відрізку функцій, напівупорядкованому конусом невід’ємних на цьому відрізку функцій. Досліджено властивості відповідного інтегрального оператора такі, як антимонотонність (антитонність), додатність, обмеженість і псевдоувігнутість. Наступним етапом дослідження є знаходження кінців сильно інваріантного конусного відрізка, що є початковими наближеннями для ітераційного процесу. Після цього здійснюється побудова двох паралельних ітераційних процесів. Перша ітераційна послідовність є неспадною за конусом (послідовність нижніх наближень), а друга – незростаючою за конусом (послідовність верхніх наближень). За поточне наближення на кожній ітерації обирається середнє арифметичне верхнього та нижнього наближень. Таким чином, на кожному кроці ітераційного процесу одержується апостеріорна оцінка похибки. Зроблено висновок про існування та єдиність додатного аксіально-симетричного розв’язку розглядуваної задачі. Теоретичні результати, отримані в роботі, було підтверджено шляхом проведення обчислювального експерименту. Проаналізовано залежність розв’язку і швидкість збіжності ітераційного процесу від параметрів рівняння, що наведено на відповідних графіках. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2026-05-15 Article Article Рецензована Стаття application/pdf https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/354815 10.32626/2308-5878.2026-29.100-112 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2026: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 29; 100-112 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2026: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 29; 100-112 2308-5878 10.32626/2308-5878.2026-29 uk https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/354815/346852 Авторське право (c) 2026 Владислав Пархоменко |
| spellingShingle | Пархоменко, Владислав Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of Positive Axially Symmetric Solutions of the First Boundary Value Problem for the Helmholtz Equation with a Singular Power Nonlinearity |
| title | Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of Positive Axially Symmetric Solutions of the First Boundary Value Problem for the Helmholtz Equation with a Singular Power Nonlinearity |
| title_alt | Аналіз методом двобічних наближень додатних аксіально-симетричних розв’язків першої крайової задачі для рівняння Гельмгольца з сингулярною степеневою нелінійністю |
| title_full | Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of Positive Axially Symmetric Solutions of the First Boundary Value Problem for the Helmholtz Equation with a Singular Power Nonlinearity |
| title_fullStr | Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of Positive Axially Symmetric Solutions of the First Boundary Value Problem for the Helmholtz Equation with a Singular Power Nonlinearity |
| title_full_unstemmed | Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of Positive Axially Symmetric Solutions of the First Boundary Value Problem for the Helmholtz Equation with a Singular Power Nonlinearity |
| title_short | Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of Positive Axially Symmetric Solutions of the First Boundary Value Problem for the Helmholtz Equation with a Singular Power Nonlinearity |
| title_sort | analysis by the method of two-sided approximations of positive axially symmetric solutions of the first boundary value problem for the helmholtz equation with a singular power nonlinearity |
| url | https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/354815 |
| work_keys_str_mv | AT parhomenkovladislav analysisbythemethodoftwosidedapproximationsofpositiveaxiallysymmetricsolutionsofthefirstboundaryvalueproblemforthehelmholtzequationwithasingularpowernonlinearity AT parhomenkovladislav analízmetodomdvobíčnihnabliženʹdodatnihaksíalʹnosimetričnihrozvâzkívperšoíkrajovoízadačídlârívnânnâgelʹmgolʹcazsingulârnoûstepenevoûnelíníjnístû |