Застосування методів R-функцій та нелінійного методу Гальоркіна у математичному моделюванні плоских стаціонарних в’язких течій: Application of R-Function Methods and the Nonlinear Galerkin Method in the Mathematical Modeling of Plane Steady Viscous Flows
The paper considers a plane–parallel flow of a viscous incompressible fluid in a bounded simply connected domain with a piecewise smooth boundary. Such studies are relevant both from the standpoint of the development of theoretical methods of hydrodynamics and mathematical physics and for solving a...
Gespeichert in:
| Datum: | 2026 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2026
|
| Online Zugang: | https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/354829 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1865667109938266112 |
|---|---|
| author | Сидоров, Максим Чумаченко, Світлана Шпакович, Максим |
| author_facet | Сидоров, Максим Чумаченко, Світлана Шпакович, Максим |
| author_sort | Сидоров, Максим |
| baseUrl_str | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-05-12T19:53:08Z |
| description | The paper considers a plane–parallel flow of a viscous incompressible fluid in a bounded simply connected domain with a piecewise smooth boundary. Such studies are relevant both from the standpoint of the development of theoretical methods of hydrodynamics and mathematical physics and for solving a wide range of applied problems in modern science and engineering.
When analyzing plane-parallel flows, it is convenient to pass from the system of Navier-Stokes equations in natural variables to a problem formulated in terms of the stream function. The stream function is related to the velocity vector and is introduced in such a way that the continuity equation is satisfied identically and the pressure is eliminated from the governing equations by cross differentiation.
The mathematical model of the considered process is a nonlinear boundary value problem with a fourth-order elliptic equation for the stream function. For its numerical analysis, it is proposed to use the R-function method with approximation of the unknown component by the nonlinear Galerkin method. The use of the R-function and Galerkin methods made it possible to obtain an approximate solution of the problem in a numerical-analytical form (which simplifies the procedure for determining various flow characteristics, in particular the velocity field, vorticity, and pressure) and to exactly incorporate the geometry of the domain and the boundary conditions into the numerical algorithm.
A computational experiment was carried out in a unit square for different values of the Reynolds number. The results are presented in the form of contour lines of the stream function, vorticity, and pressure, as well as the velocity vector field, and in the form of tables comparing numerical characteristics of the flow for different Reynolds numbers. The obtained results are in good agreement with the results of physical experiments and with numerical results reported in the literature. |
| doi_str_mv | 10.32626/2308-5878.2026-29.151-169 |
| first_indexed | 2026-05-20T01:00:05Z |
| format | Article |
| id | mcm-mathkpnueduua-article-354829 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-05-20T01:00:05Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3548292026-05-12T19:53:08Z Застосування методів R-функцій та нелінійного методу Гальоркіна у математичному моделюванні плоских стаціонарних в’язких течій: Application of R-Function Methods and the Nonlinear Galerkin Method in the Mathematical Modeling of Plane Steady Viscous Flows Сидоров, Максим Чумаченко, Світлана Шпакович, Максим The paper considers a plane–parallel flow of a viscous incompressible fluid in a bounded simply connected domain with a piecewise smooth boundary. Such studies are relevant both from the standpoint of the development of theoretical methods of hydrodynamics and mathematical physics and for solving a wide range of applied problems in modern science and engineering. When analyzing plane-parallel flows, it is convenient to pass from the system of Navier-Stokes equations in natural variables to a problem formulated in terms of the stream function. The stream function is related to the velocity vector and is introduced in such a way that the continuity equation is satisfied identically and the pressure is eliminated from the governing equations by cross differentiation. The mathematical model of the considered process is a nonlinear boundary value problem with a fourth-order elliptic equation for the stream function. For its numerical analysis, it is proposed to use the R-function method with approximation of the unknown component by the nonlinear Galerkin method. The use of the R-function and Galerkin methods made it possible to obtain an approximate solution of the problem in a numerical-analytical form (which simplifies the procedure for determining various flow characteristics, in particular the velocity field, vorticity, and pressure) and to exactly incorporate the geometry of the domain and the boundary conditions into the numerical algorithm. A computational experiment was carried out in a unit square for different values of the Reynolds number. The results are presented in the form of contour lines of the stream function, vorticity, and pressure, as well as the velocity vector field, and in the form of tables comparing numerical characteristics of the flow for different Reynolds numbers. The obtained results are in good agreement with the results of physical experiments and with numerical results reported in the literature. У роботі розглядається плоскопаралельна течія в’язкої нестисливої рідини в обмеженій однозв’язній області з кусково-гладкою межею. Такі дослідження є актуальними як з точки зору розвитку теоретичних методів гідродинаміки та математичної фізики, так і для розв’язання широкого кола прикладних задач сучасної науки і техніки. При аналізі плоскопаралельних течій від системи Нав’є-Стокса у природних змінних зручно переходити до задачі відносно функції течії. Функція течії пов’язана з вектором швидкостей і вводиться так, щоб тотожно задовільнити рівняння неперервності, а також щоб перехресним диференціюванням виключити у вихідних рівняннях тиск. Математичною моделлю розглядуваного процесу є нелінійна крайова задача з еліптичним рівнянням четвертого порядку для функції течії. Для її чисельного аналізу запропоновано використати метод R-функцій з апроксимацією невизначеної компоненти нелінійним методом Гальоркіна. Використання методів R-функцій та Гальоркіна дозволило отримати наближений розв’язок задачі у чисельно-аналітичному вигляді (що спрощує процедуру знаходження різних характеристик течії, зокрема, поля швидкостей, завихореності та тиску) і дозволило точно врахувати у чисельному алгоритмі геометрію області та крайові умови задачі. Обчислювальний експеримент було проведено у одиничному квадраті для різних чисел Рейнольдса. Результати наведено у вигляді ліній рівня функції течії, завохореності, тиску та векторного поля швидкості, а також у вигляді таблиць з порівнянням числових характеристик течії для різних значень чисел Рейнольдса. Отримані результати добре узгоджуються з результатами фізичних експериментів та з числовими результатами, відомими з літератури. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2026-05-15 Article Article Рецензована Стаття application/pdf https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/354829 10.32626/2308-5878.2026-29.151-169 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2026: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 29; 151-169 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2026: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 29; 151-169 2308-5878 10.32626/2308-5878.2026-29 uk https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/354829/346848 Авторське право (c) 2026 Максим Сидоров, Світлана Чумаченко, Максим Шпакович |
| spellingShingle | Сидоров, Максим Чумаченко, Світлана Шпакович, Максим Застосування методів R-функцій та нелінійного методу Гальоркіна у математичному моделюванні плоских стаціонарних в’язких течій: Application of R-Function Methods and the Nonlinear Galerkin Method in the Mathematical Modeling of Plane Steady Viscous Flows |
| title | Застосування методів R-функцій та нелінійного методу Гальоркіна у математичному моделюванні плоских стаціонарних в’язких течій: Application of R-Function Methods and the Nonlinear Galerkin Method in the Mathematical Modeling of Plane Steady Viscous Flows |
| title_full | Застосування методів R-функцій та нелінійного методу Гальоркіна у математичному моделюванні плоских стаціонарних в’язких течій: Application of R-Function Methods and the Nonlinear Galerkin Method in the Mathematical Modeling of Plane Steady Viscous Flows |
| title_fullStr | Застосування методів R-функцій та нелінійного методу Гальоркіна у математичному моделюванні плоских стаціонарних в’язких течій: Application of R-Function Methods and the Nonlinear Galerkin Method in the Mathematical Modeling of Plane Steady Viscous Flows |
| title_full_unstemmed | Застосування методів R-функцій та нелінійного методу Гальоркіна у математичному моделюванні плоских стаціонарних в’язких течій: Application of R-Function Methods and the Nonlinear Galerkin Method in the Mathematical Modeling of Plane Steady Viscous Flows |
| title_short | Застосування методів R-функцій та нелінійного методу Гальоркіна у математичному моделюванні плоских стаціонарних в’язких течій: Application of R-Function Methods and the Nonlinear Galerkin Method in the Mathematical Modeling of Plane Steady Viscous Flows |
| title_sort | застосування методів r-функцій та нелінійного методу гальоркіна у математичному моделюванні плоских стаціонарних в’язких течій: application of r-function methods and the nonlinear galerkin method in the mathematical modeling of plane steady viscous flows |
| url | https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/354829 |
| work_keys_str_mv | AT sidorovmaksim zastosuvannâmetodívrfunkcíjtanelíníjnogometodugalʹorkínaumatematičnomumodelûvanníploskihstacíonarnihvâzkihtečíjapplicationofrfunctionmethodsandthenonlineargalerkinmethodinthemathematicalmodelingofplanesteadyviscousflows AT čumačenkosvítlana zastosuvannâmetodívrfunkcíjtanelíníjnogometodugalʹorkínaumatematičnomumodelûvanníploskihstacíonarnihvâzkihtečíjapplicationofrfunctionmethodsandthenonlineargalerkinmethodinthemathematicalmodelingofplanesteadyviscousflows AT špakovičmaksim zastosuvannâmetodívrfunkcíjtanelíníjnogometodugalʹorkínaumatematičnomumodelûvanníploskihstacíonarnihvâzkihtečíjapplicationofrfunctionmethodsandthenonlineargalerkinmethodinthemathematicalmodelingofplanesteadyviscousflows |