Algorithms for Solving Nonlinear Problems on Grids Parameterized by the Golden Ratio
The properties of powers and polynomials with a golden ratio parameter are studied. An important problem in the theory of interpolation polynomials is the smoothing of cubic polynomials of one variable at junction points. It is proposed to perform such smoothing on periodic grids parameterized by th...
Збережено в:
| Дата: | 2026 |
|---|---|
| Автори: | , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2026
|
| Онлайн доступ: | https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/357497 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Репозитарії
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1865667109812436992 |
|---|---|
| author | Абрамчук, Василь Абрамчук, Ігор Тютюн, Любов Соя, Олена Бабюк, Дмитро |
| author_facet | Абрамчук, Василь Абрамчук, Ігор Тютюн, Любов Соя, Олена Бабюк, Дмитро |
| author_sort | Абрамчук, Василь |
| baseUrl_str | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-05-12T19:53:08Z |
| description | The properties of powers and polynomials with a golden ratio parameter are studied. An important problem in the theory of interpolation polynomials is the smoothing of cubic polynomials of one variable at junction points. It is proposed to perform such smoothing on periodic grids parameterized by the golden ratio. For the minimization of functions of two and three variables, cubic polynomials are constructed on 10-point and 20-point stencils, respectively. The linear systems for determining the polynomial coefficients, of orders 10 and 20, respectively, are decomposed into third-order subsystems.
It is substantiated that there exists an optimal correspondence between the order of interpolation cubic polynomials in two and three variables and the dimension of grids with a golden ratio parameter, which leads to a high rate of coefficient computation and minimizes computational errors.
Methods for solving nonlinear equations of one variable and systems of nonlinear equations with continuous functions are developed. These methods are based on the principle that the study of a nonlinear problem may provide a more accurate solution in fewer steps than the iterative solution of its linearized model. Since the solution of a nonlinear problem on a given continuous domain is, as a rule, not obtainable analytically, it is necessary to pass from a continuous model to a discrete one on symmetric grids with a golden ratio parameter. The rapid contraction of such domains with a minimal number of function evaluations is achieved by partitioning the domain into 3n subdomains in the space Rn, n ≥ 2. The main task is to determine the subdomain containing the solution of the nonlinear system, which is accomplished by the equilibrium point method that does not require the use of differential calculus. The convergence rate is determined by the golden ratio parameter and corresponds to an exponential rate of convergence. |
| doi_str_mv | 10.32626/2308-5878.2026-29.5-28 |
| first_indexed | 2026-05-20T01:00:05Z |
| format | Article |
| id | mcm-mathkpnueduua-article-357497 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-05-20T01:00:05Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3574972026-05-12T19:53:08Z Algorithms for Solving Nonlinear Problems on Grids Parameterized by the Golden Ratio Алгоритми розв’язування нелінійних задач на сітках із параметром золотого перерізу Абрамчук, Василь Абрамчук, Ігор Тютюн, Любов Соя, Олена Бабюк, Дмитро The properties of powers and polynomials with a golden ratio parameter are studied. An important problem in the theory of interpolation polynomials is the smoothing of cubic polynomials of one variable at junction points. It is proposed to perform such smoothing on periodic grids parameterized by the golden ratio. For the minimization of functions of two and three variables, cubic polynomials are constructed on 10-point and 20-point stencils, respectively. The linear systems for determining the polynomial coefficients, of orders 10 and 20, respectively, are decomposed into third-order subsystems. It is substantiated that there exists an optimal correspondence between the order of interpolation cubic polynomials in two and three variables and the dimension of grids with a golden ratio parameter, which leads to a high rate of coefficient computation and minimizes computational errors. Methods for solving nonlinear equations of one variable and systems of nonlinear equations with continuous functions are developed. These methods are based on the principle that the study of a nonlinear problem may provide a more accurate solution in fewer steps than the iterative solution of its linearized model. Since the solution of a nonlinear problem on a given continuous domain is, as a rule, not obtainable analytically, it is necessary to pass from a continuous model to a discrete one on symmetric grids with a golden ratio parameter. The rapid contraction of such domains with a minimal number of function evaluations is achieved by partitioning the domain into 3n subdomains in the space Rn, n ≥ 2. The main task is to determine the subdomain containing the solution of the nonlinear system, which is accomplished by the equilibrium point method that does not require the use of differential calculus. The convergence rate is determined by the golden ratio parameter and corresponds to an exponential rate of convergence. Досліджені властивості степенів і многочленів з параметром золотого перерізу. Важливою задачею в теорії інтерполяційних многочленів є згладжування кубічних многочленів однієї змінної у точках з’єднання. Запропоновано згладжування виконувати на періодичних сітках з параметром золотого перерізу. Для мінімізації функції двох і трьох змінних побудовані кубічні многочлени, відповідно, на десяти-, двадцяти- точкових шаблонах. Системи лінійних рівнянь для визначення коефіцієнтів многочленів, відповідно, 10-го, 20-го порядків розкладаються на підсистеми третього порядку. Обґрунтовано, що між порядком інтерполяційних кубічних многочленів двох і трьох змінних і розмірністю сіток з параметром золотого перерізу існує оптимальна узгодженість, яка приводить до високої швидкості обчислення коефіцієнтів, мінімізації похибки обчислень. Побудовані методи розв’язування нелінійних рівнянь однієї змінної і системи нелінійних рівнянь з неперервними функціями, які засновані на принципі, що дослідження нелінійної задачі може дати більш точний і за меншу кількість кроків розв’язок, ніж ітераційне розв’язання лінійної моделі цієї задачі. Оскільки розв’язання нелінійної задачі на заданій неперервній області, як правило, аналітично не можливе, то необхідно перейти від неперервної моделі до дискретної на симетричних сітках з параметром золотого перерізу. Швидке стиснення таких областей з мінімальним числом значень функції виконується шляхом розбиття області задання на 3n підобластей у просторі Rn, n ≥ 2. Основною задачею є задача визначення тієї підобласті розбиття, яка містить розв’язок системи нелінійних рівнянь і яка розв’язується методом точки рівноваги, який не потребує застосування диференціального числення. Швидкість збіжності визначається параметром золотого перерізу і відповідає експоненційній швидкості збіжності Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2026-05-15 Article Article Рецензована Стаття application/pdf https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/357497 10.32626/2308-5878.2026-29.5-28 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2026: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 29; 5-28 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2026: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 29; 5-28 2308-5878 10.32626/2308-5878.2026-29 uk https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/357497/346858 Авторське право (c) 2026 Василь Абрамчук, Ігор Абрамчук, Любов Тютюн, Олена Соя, Дмитро Бабюк |
| spellingShingle | Абрамчук, Василь Абрамчук, Ігор Тютюн, Любов Соя, Олена Бабюк, Дмитро Algorithms for Solving Nonlinear Problems on Grids Parameterized by the Golden Ratio |
| title | Algorithms for Solving Nonlinear Problems on Grids Parameterized by the Golden Ratio |
| title_alt | Алгоритми розв’язування нелінійних задач на сітках із параметром золотого перерізу |
| title_full | Algorithms for Solving Nonlinear Problems on Grids Parameterized by the Golden Ratio |
| title_fullStr | Algorithms for Solving Nonlinear Problems on Grids Parameterized by the Golden Ratio |
| title_full_unstemmed | Algorithms for Solving Nonlinear Problems on Grids Parameterized by the Golden Ratio |
| title_short | Algorithms for Solving Nonlinear Problems on Grids Parameterized by the Golden Ratio |
| title_sort | algorithms for solving nonlinear problems on grids parameterized by the golden ratio |
| url | https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/357497 |
| work_keys_str_mv | AT abramčukvasilʹ algorithmsforsolvingnonlinearproblemsongridsparameterizedbythegoldenratio AT abramčukígor algorithmsforsolvingnonlinearproblemsongridsparameterizedbythegoldenratio AT tûtûnlûbov algorithmsforsolvingnonlinearproblemsongridsparameterizedbythegoldenratio AT soâolena algorithmsforsolvingnonlinearproblemsongridsparameterizedbythegoldenratio AT babûkdmitro algorithmsforsolvingnonlinearproblemsongridsparameterizedbythegoldenratio AT abramčukvasilʹ algoritmirozvâzuvannânelíníjnihzadačnasítkahízparametromzolotogopererízu AT abramčukígor algoritmirozvâzuvannânelíníjnihzadačnasítkahízparametromzolotogopererízu AT tûtûnlûbov algoritmirozvâzuvannânelíníjnihzadačnasítkahízparametromzolotogopererízu AT soâolena algoritmirozvâzuvannânelíníjnihzadačnasítkahízparametromzolotogopererízu AT babûkdmitro algoritmirozvâzuvannânelíníjnihzadačnasítkahízparametromzolotogopererízu |