A Criterion for the Equivalence of Exponent Matrices
The paper establishes a criterion for the equivalence of reduced exponent matrices in terms of weighted admissible quivers. Exponent matrices arise naturally in the theory of tiled orders over discrete valuation rings and determine a number of structural properties of such orders, including their qu...
Saved in:
| Date: | 2026 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | English |
| Published: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2026
|
| Online Access: | https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/360336 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1865667111729233920 |
|---|---|
| author | Журавльов, Віктор Зеленський, Олексій |
| author_facet | Журавльов, Віктор Зеленський, Олексій |
| author_sort | Журавльов, Віктор |
| baseUrl_str | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-05-12T19:53:08Z |
| description | The paper establishes a criterion for the equivalence of reduced exponent matrices in terms of weighted admissible quivers. Exponent matrices arise naturally in the theory of tiled orders over discrete valuation rings and determine a number of structural properties of such orders, including their quivers. Therefore, the problem of recognizing when two reduced exponent matrices are equivalent is important both for the classification of algebraic objects and for the comparison of their associated graph models.
The article proves that two reduced exponent matrices are equivalent if and only if their admissible quivers are isomorphic and the weights of the corresponding simple cycles coincide. This result strengthens the known necessary invariants of equivalence, such as equality of the sums of matrix entries and isomorphism of quivers, which are not sufficient by themselves. The criterion is formulated in the language of weight functions and cycle weights, which makes it convenient for use in combinatorial and graph-theoretic analysis of algebraic data.
© Zhuravlev V. M., Zelenskiy O. V., 2026
From the viewpoint of mathematical modelling, an exponent matrix may be interpreted as an integer-valued directed distance model satisfying triangle-type constraints. In this interpretation, elementary transformations preserve cycle weights and correspond to gauge-type changes of vertex potentials. Thus the obtained criterion can be used to identify equivalent weighted directed graph models, to reduce redundant representations in algebraic modelling, and to compare discrete structures that arise in network models, optimization problems, representation-theoretic constructions, and other discrete models whose meaningful invariants are encoded by directed cycles. The result also gives a practical test for comparing representations without reconstructing the corresponding tiled orders. |
| doi_str_mv | 10.32626/2308-5878.2026-29.77-86 |
| first_indexed | 2026-05-20T01:00:07Z |
| format | Article |
| id | mcm-mathkpnueduua-article-360336 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | English |
| last_indexed | 2026-05-20T01:00:07Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3603362026-05-12T19:53:08Z A Criterion for the Equivalence of Exponent Matrices Критерій еквівалентності матриць показників Журавльов, Віктор Зеленський, Олексій The paper establishes a criterion for the equivalence of reduced exponent matrices in terms of weighted admissible quivers. Exponent matrices arise naturally in the theory of tiled orders over discrete valuation rings and determine a number of structural properties of such orders, including their quivers. Therefore, the problem of recognizing when two reduced exponent matrices are equivalent is important both for the classification of algebraic objects and for the comparison of their associated graph models. The article proves that two reduced exponent matrices are equivalent if and only if their admissible quivers are isomorphic and the weights of the corresponding simple cycles coincide. This result strengthens the known necessary invariants of equivalence, such as equality of the sums of matrix entries and isomorphism of quivers, which are not sufficient by themselves. The criterion is formulated in the language of weight functions and cycle weights, which makes it convenient for use in combinatorial and graph-theoretic analysis of algebraic data. © Zhuravlev V. M., Zelenskiy O. V., 2026 From the viewpoint of mathematical modelling, an exponent matrix may be interpreted as an integer-valued directed distance model satisfying triangle-type constraints. In this interpretation, elementary transformations preserve cycle weights and correspond to gauge-type changes of vertex potentials. Thus the obtained criterion can be used to identify equivalent weighted directed graph models, to reduce redundant representations in algebraic modelling, and to compare discrete structures that arise in network models, optimization problems, representation-theoretic constructions, and other discrete models whose meaningful invariants are encoded by directed cycles. The result also gives a practical test for comparing representations without reconstructing the corresponding tiled orders. У статті встановлено критерій еквівалентності зведених матриць показників у термінах зважених допустимих сагайдаків. Матриці показників природно виникають у теорії черепичних порядків над дискретно нормованими кільцями та визначають низку структурних властивостей таких порядків, зокрема їхні сагайдаки. Тому задача розпізнавання еквівалентності двох зведених матриць показників є важливою як для класифікації алгебраїчних об’єктів, так і для порівняння пов’язаних із ними графових моделей. Доведено, що дві зведені матриці показників є еквівалентними тоді і тільки тоді, коли їхні допустимі сагайдаки ізоморфні, а ваги відповідних простих циклів збігаються. Цей результат посилює відомі необхідні інваріанти еквівалентності, зокрема рівність сум елементів матриць та ізоморфізм сагайдаків, які самі по собі не є достатніми. Запропонований критерій сформульовано мовою вагових функцій і ваг циклів, що робить його зручним для комбінаторного та графо-теоретичного аналізу алгебраїчних даних. З погляду математичного моделювання матрицю показників можна інтерпретувати як цілочислову модель напрямлених відстаней, що задовольняє обмеження трикутникового типу. У такій інтерпретації елементарні перетворення зберігають ваги циклів і відповідають калібрувальним змінам вершинних потенціалів. Отже, отриманий критерій можна використовувати для виявлення еквівалентних зважених орієнтованих графових моделей, усунення надлишкових представлень в алгебраїчному моделюванні та порівняння дискретних структур, суттєві інваріанти яких кодуються напрямленими циклами. Зокрема, результат дає практичний тест для порівняння таких представлень без реконструкції відповідних черепичних порядків. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2026-05-15 Article Article Рецензована Стаття application/pdf https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/360336 10.32626/2308-5878.2026-29.77-86 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2026: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 29; 77-86 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2026: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 29; 77-86 2308-5878 10.32626/2308-5878.2026-29 en https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/360336/346854 Авторське право (c) 2026 Віктор Журавльов, Олексій Зеленський |
| spellingShingle | Журавльов, Віктор Зеленський, Олексій A Criterion for the Equivalence of Exponent Matrices |
| title | A Criterion for the Equivalence of Exponent Matrices |
| title_alt | Критерій еквівалентності матриць показників |
| title_full | A Criterion for the Equivalence of Exponent Matrices |
| title_fullStr | A Criterion for the Equivalence of Exponent Matrices |
| title_full_unstemmed | A Criterion for the Equivalence of Exponent Matrices |
| title_short | A Criterion for the Equivalence of Exponent Matrices |
| title_sort | criterion for the equivalence of exponent matrices |
| url | https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/360336 |
| work_keys_str_mv | AT žuravlʹovvíktor acriterionfortheequivalenceofexponentmatrices AT zelensʹkijoleksíj acriterionfortheequivalenceofexponentmatrices AT žuravlʹovvíktor kriteríjekvívalentnostímatricʹpokaznikív AT zelensʹkijoleksíj kriteríjekvívalentnostímatricʹpokaznikív AT žuravlʹovvíktor criterionfortheequivalenceofexponentmatrices AT zelensʹkijoleksíj criterionfortheequivalenceofexponentmatrices |