Determination and Analysis of Joule Heat and Ponderomotive Force in a Hollow Copper Cylinder Under the Action of an Electromagnetic Impulse

A physical-mathematical model is proposed for determining and analyzing the patterns of Joule heat and ponderomotive force behavior in a non-ferromagnetic, long, hollow, electrically conductive cylinder under a homogeneous, transient electromagnetic field. An electrodynamic problem is formulated to...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2026
Автори:	Мусій, Роман, Кунинець, Андрій, Свідрак, Інга, Тимошенко, Надія, Шиндер, Валентин
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2026
Онлайн доступ:	https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/360490
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences
Завантажити файл:

Репозитарії

Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences

_version_	1867479061824012288
author	Мусій, Роман Кунинець, Андрій Свідрак, Інга Тимошенко, Надія Шиндер, Валентин
author_facet	Мусій, Роман Кунинець, Андрій Свідрак, Інга Тимошенко, Надія Шиндер, Валентин
author_institution_txt_mv	[ { "author": "Роман Мусій", "institution": "Національний університет «Львівська політехніка»" }, { "author": "Андрій Кунинець", "institution": "Національний університет «Львівська політехніка»" }, { "author": "Інга Свідрак", "institution": "Національний університет «Львівська політехніка»" }, { "author": "Надія Тимошенко", "institution": "Національний університет «Львівська політехніка»" }, { "author": "Валентин Шиндер", "institution": "Національний університет «Львівська політехніка»" } ]
author_sort	Мусій, Роман
baseUrl_str	http://mcm-math.kpnu.edu.ua/oai
collection	OJS
datestamp_date	2026-06-08T08:10:39Z
description	A physical-mathematical model is proposed for determining and analyzing the patterns of Joule heat and ponderomotive force behavior in a non-ferromagnetic, long, hollow, electrically conductive cylinder under a homogeneous, transient electromagnetic field. An electrodynamic problem is formulated to obtain the determining function – the axial component of the magnetic field intensity vector. An initial-boundary value problem in electrodynamics has been formulated to determine the defining function – the axial component of the magnetic field intensity vector. The initial relations for determining the specific heat densities of Joule heat and the ponderomotive force are derived. These two physical factors arise in the cylinder due to the flow of induced currents and the interaction of these currents with an external non-stationary electromagnetic field. We used a cubic approximation for the distribution of the defining function along the radial coordinate to find the determining function. The coefficients of the cubic approximation polynomial are expressed as a linear combination of the integral characteristics of the determining function with respect to the radial variable and its boundary values on the inner and external surfaces of the cylinder. As a result, the initial-boundary value problem for the determining function is reduced to a Cauchy problem for its integral characteristics. The solution to the Cauchy problem is obtained using the Laplace integral transform with respect to time. We found the expressions for the axial component of the magnetic field intensity vector and for the specific densities, Joule heat, and ponderomotive force under the action of a single electromagnetic impuls. For a hollow copper cylinder, the time evolution of the above quantities and their distributions along the thickness of the cylinder have been numerically analyzed. It has been established that the maximum values of the Joule heat and the radial component of the ponderomotive force vector on the mid-surface of the cylinder are approximately 1000 and 100 times smaller, respectively, than their values on the external surfaces of the cylinder. We found that as the thickness of the hollow cylinder under consideration increases – while the radius of its mid-surface remains constant – the maximum values of the Joule heat and the ponderomotive force decrease (by approximately a factor of 0.6) for every one-millimeter increase in the cylinder’s thickness.
doi_str_mv	10.32626/2308-5878.2026-30.91-104
first_indexed	2026-06-09T01:00:17Z
format	Article
fulltext	ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 91-104. 91 УДК 536.26 DOІ: 10.32626/2308-5878.2026-30.91-104 Мусій Р. С. ORCІD: 0000-0002-7169-2206, д-р фіз.-мат. наук, професор, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: musiy@lp.edu.ua Кунинець А. В. ORCІD: 0000-0003-2481-3236, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: andrii.v.kunynets@lpnu.ua Свідрак І. Г. ORCІD: 0000-0003-1811-2011, канд. техн. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: inha.h.svidrak@lpnu.ua Тимошенко Н. М. ORCІD: 0000-0002-5595-6531, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: nadiia.m.tymoshenko@lpnu.ua Шиндер В. К. ORCІD: 0000-0002-9414-5619, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: valentyn.k.shynder@lpnu.ua ВИЗНАЧЕННЯ ТА АНАЛІЗ ТЕПЛА ДЖОУЛЯ І ПОНДЕРОМОТОРНОЇ СИЛИ У ПОРОЖНИСТОМУ МІДНОМУ ЦИЛІНДРІ ЗА ДІЇ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ІМПУЛЬСА Запропоновано фізико-математичну модель для визначен- ня та аналізу закономірностей поведінки тепла Джоуля і пон- деромоторної сили у неферомагнітному довгому порожнисто- му електропровідному циліндрі за однорідної нестаціонарної електромагнітної дії. Сформульовано початково-крайову зада- 6 Стаття надійшла до редакції: 9.05.2026 Рекомендовано до друку: 22.05.2026 Оприлюднено (online): 29.05.2026 Ця стаття розповсюджується на умовах ліцензії CC Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 © Мусій Р. С., Кунинець А. В., Свідрак І. Г., Тимошенко Н. М., Шиндер В. К., 2026 ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 91-104. 92 чу електродинаміки для знаходження визначальної функції – осьової компоненти вектора напруженості магнітного поля. Записано вихідні співвідношення для визначення питомих гу- стин тепла Джоуля і пондеромоторної сили. Ці два фізичні фа- ктори виникають у циліндрі внаслідок протікання індукованих струмів та взаємодії цих струмів із зовнішнім нестаціонарним електромагнітним полем. Для знаходження визначальної фун- кції використано кубічну апроксимацію її розподілу по радіа- льній координаті. Коефіцієнти апроксимаційного кубічного полінома подаються у вигляді лінійної комбінації інтеграль- них за радіальною змінною характеристик визначальної функ- ції та її граничних значень на внутрішній і зовнішній поверх- нях циліндра. У результаті вихідна початково-крайова задача на визначальну функцію зведена до задачі Коші на її інтегра- льні характеристики. Розв’язок задачі Коші знайдено з допо- могою інтегрального перетворення Лапласа за часом. Записано вирази осьової компоненти вектора напруженості магнітного поля та питомих густин тепла Джоуля і пондеромоторної сили за дії одиночного електромагнітного імпульса. Для мідного порожнистого циліндра чисельно проаналізовано зміну в часі зазначених вище величин та їх розподіли по товщині даного циліндра. Встановлено, що максимальні значення тепла Джоу- ля і радіальної компоненти вектора пондеромоторної сили на серединній поверхні циліндра менші за їх значення на зовніш- ніх поверхнях циліндра приблизно у 1000 та 100 разів відпо- відно. Виявлено, що зі збільшенням товщини розглядуваного порожнистого циліндра при фіксованому радіусі його сере- динної поверхні максимальні значення тепла Джоуля і понде- ромоторної сили зменшуються (приблизно в 0,6 разів) при збі- льшенні товщини циліндра на один міліметр. Ключові слова: порожнистий електропровідний циліндр, електромагнітний імпульс, осьова компонента вектора напру- женості магнітного поля, тепло Джоуля, пондеромоторна сила. Вступ. Вивчення електромагнітних процесів в електропровідних тілах має важливе значення для оптимізації обробки таких тіл з до- помогою електромагнітних полів (ЕМП) [1]. В сучасних технологіях обробки електропровідних елементів використовують ЕМП для інду- кційної термообробки [2] і для магніто-імпульсної обробки [3; 4, c. 35-39] з допомогою одиничних електромагнітних імпульсів (ЕМІ). Питання генерації імпульсних ЕМП та їх вплив на фізичні процеси нагріву і деформації на основі експериментальних досліджень дета- льно розглянуто в роботах [5, 6]. У монографії [7] викладено варіант теорії термомеханіки неферомагнітних електропровідних тіл за дії імпульсних ЕМП. Для електропровідних тіл канонічної форми дослі- ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 91-104. 93 джено якісні та кількісні закономірності їх термомеханічної поведін- ки за дії ЕМІ. У роботі [8, с. 1110-1122] описано термодинамічні ос- нови процесів деформування електропровідних тіл імпульсними ЕМП. Досліджено динамічні термопружні процеси в електропровід- ній пластині за дії імпульсних ЕМП мікро- та наносекундної тривало- сті. Однак в літературі недостатньо висвітлено процеси нагріву і де- формування трубчастих електропровідних елементів, які використо- вують в різноманітних електротехнічних пристроях. Метою даної роботи є дослідження зміни в часі і по товщині тепла Джоуля і пондермоторної сили у довгому порожнистому мід- ному циліндрі за дії ЕМІ мікросекундної тривалості. 1. Вихідні положення. Розглядається порожнистий електропро- відний циліндр, віднесений до циліндричної системи координат Or z . Вісь Oz співпадає з віссю симетрії циліндра з внутрішнім 0r r і зовнішнім 1r r радіусами. Матеріал циліндра однорідний, ізотропний і неферомагнітний. Його електрофізичні параметри:  – коефіцієнт електропровідності та  – магнітна проникливість приймаються сталими. Циліндр зна- ходиться під дією електромагнітного імпульса (ЕМІ). Дію ЕМІ математично описуємо виразом       0 0 1 2exp expzH t kH t t     . (1) Тут 0H – максимальне значення напруженості магнітного поля, створюваного на внутрішній 0r r і зовнішній 1r r поверхнях ци- ліндра дією ЕМІ; 1 , 2 – параметри, що характеризують часи фрон- тів наростання і спадання ЕМІ; k – нормувальний множник, t – час. Дія ЕМІ на циліндр проявляється двома фізичними чинниками – теплом Джоуля Q і пондеромоторною силою   , ; 0; 0rF F r t . Відповідно цій фізичній моделі для визначення тепла Джоуля Q і пондеромоторної сили   , ; 0; 0rF F r t , спочатку необхідно ви- значити в циліндрі відмінну від нуля осьову компоненту zH вектора напруженості магнітного поля   0; 0; ,zH H r t . Ця компонента є функцією радіальної змінної r та часу t . Для знаходження функції  ,zH r t у циліндрі зі співвідношень Максвелла отримуємо рівняння 2 2 1 0 z z zH H H r r tr          . (2) ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 91-104. 94 Рівняння (2) розв’язуємо за крайових умов    0 ,z zH r t H t ,    1,z zH r t H t . (3) на внутрішній 0r r і зовнішній 1r r поверхнях циліндра. В момент часу 0t  початкова умова має вигляд  ,0 0zH r  . (4) Знайшовши розв’язок початково-крайової задачі (2)-(4), отриму- ємо вираз компоненти zH у циліндрі. За знайденою функцією zH згідно співвідношень Максвелла записуємо вирази питомих густин тепла Джоуля і пондеромоторної сили 2 1 zH Q r        , (5) z r z H F H r       . (6) 2. Визначення осьової компоненти вектора напруженості ма- гнітного поля. Для побудови розв’язку початково-крайової задачі (2)-(4) апроксимуємо розподіл функції zH по радіальній змінній ку- бічним поліномом   3 0 , ( ) i z i i H r t a t r   . (7) Коефіцієнти апроксимаційного полінома (7) подаються у вигляді лінійної комбінації інтегральних характеристик ( )zsH t за радіальною змінною 1 0 ( ) ( , ) , 1,2 r s zs z r H t H r t r dr s   (8) функції zH та її граничних значень на внутрішній і зовнішній повер- хнях циліндра, тобто 1 1 2 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i z i z i z i za t a H t a H t a H t a H t         . (9) Для знаходження інтегральних характеристик ( )zsH t функції zH вихідне рівняння (2) інтегруємо відповідно до формули (8). У результаті перетворень з використанням виразів (7) і (9) отримуємо за часовою змінною t таку систему диференціальних рівнянь                     1 1 1 2 2 3 4 2 5 1 6 2 7 8 , . z z z z dH t d H t d H t d H t d H t dt dH t d H t d H t d H t d H t dt                  (10) ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 91-104. 95 Тут числові коефіцієнти 1 8d d визначаються через електрофізичні характеристики матеріалу циліндра та його геометричні параметри. Відповідно до початкової умови (4) на інтегральні характерис- тики ( )zsH t отримуємо нульові початкові умови. Застосовуючи до системи (10) інтегральне перетворення Лапласа за часом t , записує- мо вирази інтегральних характеристик ( )zsH t у вигляді згорток фун- кцій, що описують граничні значення функції zH на внутрішній та зовнішній поверхнях циліндра і однорідні розв’язки системи (10)         2 1 2 1 0 ( ) ( ) k t p t zs s z s z k H t A k H A k H e d             , 1,2s  . (11) Тут     6 3 2 7 11 1 6 ( ) 2 k k p d d d d A k p d d      ,     6 4 2 8 12 1 6 ( ) 2 k k p d d d d A k p d d      ,     1 7 3 5 21 1 6 ( ) 2 k k p d d d d A k p d d      ,     1 8 4 5 22 1 6 ( ) 2 k k p d d d d A k p d d      , де kp ( 1,2k  ) – корені характеристичного рівняння системи (10): 2 1 6 1 6 2 5( ) 0p p d d d d d d     . Запишемо вираз осьової компоненти  ,zH r t вектора напруже- ності магнітного поля у циліндрі        3 2 2 1 2 =0 =1 =10 3 4 , = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . t p t k z is s z s z i s k i i z i z H r t a A k H t A k H t e d a H t a H t r                         (12) 3. Визначення тепла Джоуля і пондеромоторної сили за дії електромагнітного імпульса. Підставляючи у формулу (12) замість функцій ( )zH t і ( )zH t вираз (1), що математично описує дію ЕМІ, отримуємо вираз компоненти  ,zH r t вектора напруженості магніт- ного поля у вигляді    1 2 1 2 2 0 1 2 3 4 0 , 2 t t p t p t i z i i i i i kH H r t B e B e B e B e r        . (13) Підставляючи вираз (13) у формули (5) і (6) записуємо вирази питомих густин тепла Джоуля  ,Q r t і радіальної компоненти  ,rF r t пондеромоторної сили в циліндрі ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 91-104. 96   2 2 2 2 10 20 1 1 1 1 , 4 lt i j ijl i j l k H Q r t ij C e r           , (14)   2 2 2 2 10 10 1 1 1 , 4 lt i j ijl i j l k H F r t i C e r          . (15) Тут: вирази isB ( 0,2i  , 1,4s  ), ijlC , ( 1,2i  , 1,2j  , 1,10l  ), l ( 1,10l  ) залежать від геометричних параметрів цилінд- ра, параметрів 1 і 2 електромагнітного імпульса та електрофізич- них характеристик  ,  матеріалу циліндра. 4. Комп’ютерний аналіз тепла Джоуля і пондеромоторної сили. Обчислення проводили для циліндра з радіусами циліндричних повер- хонь 0 0.009r m , 1 0.011r m . Час тривалості it ЕМІ приймали рівним 410it s . За матеріал циліндра вибрали мідь [9]. Обчислено зміни в часі осьової компоненти   0 ,zH r t H вектора напруженості магнітного поля, тепла Джоуля   2 0 ,Q r t H і радіальної компоненти 2 0 ( , )rF r t H вектора пондеромоторної сили   , ; 0; 0rF F r t на зовнішніх і серединній поверхнях циліндра та розподіли цих величин по товщині циліндра. На рис. 1 показано зміну в часі функції   0 ,zH r t H на зовнішніх поверхнях циліндра (лінія 1) та на його серединній поверхні (лінія 2). Рис. 1. Зміна в часі функції   0 ,zH r t H на зовнішній поверхні (лінія 1) та на серединній поверхні циліндра (лінія 2) ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 91-104. 97 Розподіл функції   0 ,zH r t H по товщині циліндра в моменти часу 0,1 ; 0,25 ; 0,05 .i i it t t t t t   (лінії 1-3) зображено на рис. 2. Рис. 2. Розподіл функції   0 ,zH r t H по товщині циліндра в моменти часу 0,05 it t ; 0,1 it t ; 0, 25 it t (лінії 1-3) На рис. 3a, 3b показано зміну в часі тепла Джоуля 2 0 Q H на внут- рішній 0r r і зовнішній 1r r поверхнях циліндра та на його сере- динній поверхні. Лінії 1, 2 на рис. 3a відповідають значенню тепла Джоуля на внутрішній і зовнішній поверхнях циліндра. Рис. 3a. Зміна в часі тепла Джоуля 2 0 Q H на внутрішній 0r r (лінія 1) і зовнішній 1r r (лінія 2) поверхнях циліндра ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 91-104. 98 Рис. 3b. Зміна в часі тепла Джоуля 2 0 Q H на серединній * r r поверхні циліндра Розподіл тепла Джоуля 2 0 Q H по товщині циліндра в моменти ча- су 0,1 ; 0,05 ; 0,25i i it t t t t t   показано на рис. 4. Рис. 4. Розподіл тепла Джоуля 2 0 Q H по товщині циліндра в моменти часу 0,05 it t ; 0,1 it t ; 0, 25 it t (лінії 1-3) На рис. 5a, 5b показано зміну в часі пондеромоторної сили 2 0 rF H на внутрішній 0r r і зовнішній 1r r поверхнях циліндра та на його серединній r r поверхні. Лінії 1, 2 на рис. 5a відповідають значенню пондеромоторної сили на внутрішній і зовнішній поверх- нях циліндра. ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 91-104. 99 Рис. 5a. Зміна в часі пондеромоторної сили 2 0 rF H на внутрішній (лінія 1) і зовнішній (лінія 2) поверхнях циліндра Рис. 5b. Зміна в часі пондеромоторної сили 2 0 rF H на серединній поверхні циліндра Розподіл пондеромоторної сили 2 0 rF H по товщині циліндра в мо- менти часу 0,05 it t ; 0,1 it t ; 0,25 it t показано на рис. 6. Рис. 6. Розподіл пондеромоторної сили 2 0 rF H по товщині циліндра в моменти часу 0,05 it t ; 0,1 it t ; 0, 25 it t (лінії 1-3) ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 91-104. 100 У результаті досліджень проілюстрованих на рис. 1-6 встанов- лено такі закономірності. 1. Значення функції   0 ,zH r t H на серединній поверхні циліндра прибли- зно в два рази менше за її значення на його зовнішніх поверхнях. 2. Розподіл функції   0 ,zH r t H по товщині циліндра в моменти часу дії ЕМІ, що відповідають часу фронту його наростання має симет- ричний (квадратичний) розподіл. У момент часу, що дорівнює по- ловині часу фронту спадання ЕМІ розподіл функції   0 ,zH r t H бли- зький до рівномірного, а сама функція приймає значення прибли- зно вдвічі менші. 3. Тепло Джоуля 2 0 Q H , що виникає в циліндрі за дії ЕМІ має харак- тер двох послідовних теплових імпульсів. Перший з них відпові- дає зміні на протязі часу фронту наростання ЕМІ, а другий – зміні на протязі часу фронту спадання. Максимальні значення тепла Джоуля на серединній поверхні циліндра приблизно в 1000 разів менші за його значення на зовнішніх поверхнях циліндра. 4. Розподіл тепла Джоуля 2 0 Q H має симетричний характер по товщи- ні циліндра суттєво нелінійний (квадратичний) в моменти часу, що відповідають фронту наростання ЕМІ і близький до рівномір- ного на середині фронту спадання ЕМІ. 5. Максимальне значення стискальної пондеромоторної сили 2 0 rF H на серединній поверхні приблизно у 100 разів менше за таке ж зна- чення на зовнішній поверхні, а максимальне розтягальне значення на цій поверхні приблизно у 200 разів менше за таке ж розтягаль- не значення на внутрішній поверхні циліндра. 6. Розподіл пондеромоторної сили 2 0 rF H по товщині циліндра має анти- симетричний характер, близький до кубічної параболи. Відповідно її максимальні значення, які досягаються в моменти часу, що відпові- дають фронту наростання ЕМІ на два порядки більші за такі ж її зна- чення в моменти часу, що відповідають фронту спадання ЕМІ. ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 91-104. 101 Крім приведених на рис. 1-6 результатів дослідження тепла Джоуля і пондеромоторної сили для порожнистого мідного циліндра з радіусами внутрішньої 0 0,009r m , серединної 0,010r m і зов- нішньої 1 0,011r m поверхонь (товщина циліндра 0,002h m ) ви- конано також числові дослідження розглядуваних величин і для мід- них циліндрів з таким же радіусом серединної поверхні * 0,010r m , але з товщинами 0,001h m ( 0 0,0095r m ; 1 0,0105r m ) та 0,003h m ( 0 0,0085r m ; 1 0,0115r m ). Результати виконаних чис- лових досліджень для порожнистих мідних циліндрів з радіусом се- рединної * 0,010r m поверхні і товщинами 0,001h m ; 0,002h m ; 0,003h m подано у вигляді таких таблиць максималь- них значень досліджуваних величин на зовнішній поверхні циліндра залежно від значення величини 0H напруженості магнітного поля, створюваного дією ЕМІ. Таблиця 1 Товщина циліндра 0,001h m 0H , A/m max Q , J max rF , N 10^3 161 KJ 3.5 KN 10^4 16.1 MJ 350 KN 10^5 161 MJ 35 MN 10^6 161 GJ 35 GN 10^7 16.1 TJ 350 GN Таблиця 2 Товщина циліндра 0,002h m 0H , A/m max Q , J max rF , N 10^3 97 KJ 3 KN 10^4 9.7 MJ 300 KN 10^5 970 MJ 30 MN 10^6 97 GJ 3 GN 10^7 9.7 TJ 300 GN Таблиця 3 Товщина циліндра 0,003h m 0H , A/m max Q , J max rF , N 10^3 57 KJ 2.8 KN 10^4 5.7 MJ 280 KN 10^5 570 MJ 28 MN 10^6 57 GJ 28 GN 10^7 5.7 TJ 280 GN ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 91-104. 102 Дані таблиці дають можливість оцінити максимальні значення тепла Джоуля (у Джоулях) і пондеромоторної сили (у Ньютонах), які виникають у розглядуваних порожнистих мідних циліндрах за дії ЕМІ тривалістю 410it s залежно від величини 0H напруженості магнітного поля, створюваного дією ЕМІ. Зауважимо, що у проаналізованих трьох випадках серединна по- верхня циліндрів однакова, але їх товщина різна. Виявлено, що зі збільшенням товщини порожнистого циліндра при фіксованому радіусі серединної поверхні максимальні значення тепла Джоуля і пондеромоторної сили зменшуються (приблизно в 0,6 разів) при збільшенні товщини циліндра на величину 0,001m . Висновки. Сформульовано початково-крайову задачу електро- динаміки для довгого порожнистого неферомагнітного електропро- відного циліндра за дії нестаціонарного електромагнітного поля. Для побудови її розв’язку використано кубічну апроксимацію за радіаль- ною змінною осьової компоненти вектора напруженості магнітного поля. У результаті вихідна початково-крайова задача на визначальну функцію зведена до задачі Коші на інтегральні характеристики цієї функції. З використанням перетворення Лапласа за часовою змінною отримано загальні розв’язки задачі Коші і вихідної задачі для визна- чальної функції. На основі загальних розв’язків записано розв’язок вихідної початково-крайової задачі за дії ЕМІ, а також вирази тепла Джоуля і пондеромоторної сили. Проведено комп’ютерний аналіз зміни в часі осьової компонен- ти вектора напруженості магнітного поля тепла Джоуля і пондеромо- торної сили та розподілів цих величин по товщині циліндра залежно від його геометричних параметрів в моменти часу, що відповідають фронту наростання і фронту спадання ЕМІ. Побудовано таблиці максимальних значень тепла Джоуля і пон- деромоторної сили для мідних порожнистих циліндрів з однаковим радіусом серединних поверхонь і різними товщинами залежно від величини напруженості магнітного поля. Виявлені нові закономірності нагріву і поведінки пондеромоторної сили мідних порожнистих циліндрів є науковою основою для прогнозу- вання термосилової поведінки трубчастих мідних елементів, що підда- ються технологічній обробці електромагнітними імпульсами. Список використаних джерел: 1. Asai S. Electromagnetic Processing of Materials. Springer, Netherlands. 2012. 2. Rudnev V., Loveless D., Cook R.L. Handbook of induction heating. CRC press. 2017. 3. Batygin Yu. V., Lavinsky V. I., Himenko L. T. Impulse magnetic fields for advanced technologies. Harkov: MOST-Tornado Publ., 2003, 288 p. ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 91-104. 103 4. Batygin Y. V., Chaplygin E. A., Sabokar O. S. Magnetic pulsed processing of metals for advanced technologies of modernity – a brief review. Electrical En- gineering & Electromechanics. 2016. Vol. 5. P. 35-39. 5. Shneerson G. A., Dolotenko M. I., Krivosheev S. I. Strong and Superstrong Pulsed Magnetic Fields Generation. Walter De Gruyter Incorporated. 2014. 439 p. 6. Strong and Ultrastrong Magnetic Fields and their Applications. Topics in Ap- plied Physics / editor: F. Herlach. Berlin; Heidelberg; New York; Tokyo: Springer Verlag, 1985. Vol. 67. 362 p. 7. Мусій Р. С. Динамічні задачі термомеханіки електропровідних тіл кано- нічної форми. Львів: Видавництво «Растр-7», 2010. 216 с. 8. Hachkevych O. R., Musii R. S., Melnyk N. B., Dmytruk V. A. Dynamic ther- moelastic processes in a conductive plate under the action of electromagnetic pulses of microsecond and nanosecond durations. Journal of Thermal Stresses. 2019. Vol. 42 (9). P. 1110-1122. 9. Thompson M. Base Metals Handbook. Cambridge: Woodhead Publishing, 2006. References: 1. Asai S. Electromagnetic Processing of Materials. Springer, Netherlands. 2012. 2. Rudnev V., Loveless D., Cook R.L. Handbook of induction heating. CRC press. 2017. 3. Batygin Yu. V., Lavinsky V. I., Himenko L. T. Impulse magnetic fields for advanced technologies. Harkov: MOST-Tornado Publ., 2003, 288 p. 4. Batygin Y. V., Chaplygin E. A., Sabokar O. S. Magnetic pulsed processing of metals for advanced technologies of modernity – a brief review. Electrical En- gineering & Electromechanics. 2016. Vol. 5. P. 35-39. 5. Shneerson G. A., Dolotenko M. I., Krivosheev S. I. Strong and Superstrong Pulsed Magnetic Fields Generation. Walter De Gruyter Incorporated. 2014. 439 p. 6. Strong and Ultrastrong Magnetic Fields and their Applications. Topics in Ap- plied Physics / editor: F. Herlach. Berlin; Heidelberg; New York; Tokyo: Springer Verlag, 1985. Vol. 67. 362 p. 7. Musii R. S. Dynamichni zadachi termomekhaniky elektroprovidnykh til ka- nonichnoi formy. Lviv: Vydavnytstvo «Rastr-7», 2010. 216 p. 8. Hachkevych O. R., Musii R. S., Melnyk N. B., Dmytruk V. A. Dynamic ther- moelastic processes in a conductive plate under the action of electromagnetic pulses of microsecond and nanosecond durations. Journal of Thermal Stresses. 2019. Vol. 42 (9). P. 1110-1122. 9. Thompson M. Base Metals Handbook. Cambridge: Woodhead Publishing, 2006. DETERMINATION AND ANALYSIS OF JOULE HEAT AND PONDEROMOTIVE FORCE IN A HOLLOW COPPER CYLINDER UNDER THE ACTION OF AN ELECTROMAGNETIC IMPULSE A physical-mathematical model is proposed for determining and ana- lyzing the patterns of Joule heat and ponderomotive force behavior in a non-ferromagnetic, long, hollow, electrically conductive cylinder under a homogeneous, transient electromagnetic field. An electrodynamic problem ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 91-104. 104 is formulated to obtain the determining function – the axial component of the magnetic field intensity vector. An initial-boundary value problem in electrodynamics has been formulated to determine the defining function – the axial component of the magnetic field intensity vector. The initial rela- tions for determining the specific heat densities of Joule heat and the pon- deromotive force are derived. These two physical factors arise in the cylin- der due to the flow of induced currents and the interaction of these currents with an external non-stationary electromagnetic field. We used a cubic ap- proximation for the distribution of the defining function along the radial coordinate to find the determining function. The coefficients of the cubic approximation polynomial are expressed as a linear combination of the in- tegral characteristics of the determining function with respect to the radial variable and its boundary values on the inner and external surfaces of the cylinder. As a result, the initial-boundary value problem for the determin- ing function is reduced to a Cauchy problem for its integral characteristics. The solution to the Cauchy problem is obtained using the Laplace integral transform with respect to time. We found the expressions for the axial component of the magnetic field intensity vector and for the specific densi- ties, Joule heat, and ponderomotive force under the action of a single elec- tromagnetic impuls. For a hollow copper cylinder, the time evolution of the above quantities and their distributions along the thickness of the cylinder have been numerically analyzed. It has been established that the maximum values of the Joule heat and the radial component of the ponderomotive force vector on the mid-surface of the cylinder are approximately 1000 and 100 times smaller, respectively, than their values on the external surfaces of the cylinder. We found that as the thickness of the hollow cylinder under consideration increases – while the radius of its mid-surface remains con- stant – the maximum values of the Joule heat and the ponderomotive force decrease (by approximately a factor of 0.6) for every one-millimeter in- crease in the cylinder’s thickness. Key words: hollow conductive cylinder, electromagnetic impulse, axi- al component of the magnetic field intensity vector, Joule heating, pon- deromotive force. Математичне та комп'ютерне моделювання Серія: Фізико-математичні науки Редакційна колегія: Zb_F-M_1.pdf Гвоздєв М. І. ORCІD: 0000-0003-4022-9777, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: mykyta.hvozdev@nure.ua Сидоров М. В. ORCІD: 0000-0001-8022-866X, д-р фіз.-мат. наук, професор, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: maxim.sidorov@nure.ua метод двобічних наближень у ЧИСЕЛЬНОМУ аналізі задачі Нав’є, що є математичноЮ моделлю одновимірної мікроелектромеханічної системи Ключові слова: мікробалка, задача Нав’є, ізотонний опертор, інваріантний конусний відрізок, крайова задача, математичне моделювання, мікроелектромеханічна система, метод двобічних наближень, напівлінійне звичайне диференціальне рівняння четвертого пор... Список використаних джерел: References: The Method of Two-Sided Approximations in the Numerical Analysis of the Navier Problem as a Mathematical Model of a One-Dimensional Microelectromechanical System Key words: boundary value problem, deflection, fourth-order semilinear ordinary differential equation, Green’s function, Hammerstein equation, invariant cone segment, isotone operator, mathematical modeling, method of two-sided approximations, microbe... Громик А. П. ORCID: 0000-0003-3071-9756, канд. техн. наук, Заклад вищої освіти «Подільський державний університет», м. Кам’янець-Подільський, Україна, E-mail: gapon74@gmail.com Конет І. М. ORCID: 0000-0002-4241-0548, д-р фіз.-мат. наук, професор, Волинський національний університет імені Лесі Українки, м. Луцьк, Україна, E-mail: konet51@ukr.net Пилипюк Т. М. ORCID: 0000-0002-4676-9830, канд. фіз.-мат. наук, Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський, Україна, E-mail: pylypyuk.tetiana@kpnu.edu.ua ГІПЕРБОЛІЧНІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ В КУСКОВО-ОДНОРІДНОМУ КЛИНОВИДНОМУ ЦИЛІНДРИЧНО-КРУГОВОМУ ШАРІ З ПОРОЖНИНОЮ Ключові слова: гіперболічне рівняння, початкові та крайові умови, умови спряження, інтегральні перетворення, гібридні інтегральні перетворення, головні розв’язки. Список використаних джерел: References: HYPERBOLIC BOUNDARY VALUE PROBLEMS OF MATHEMATICAL PHYSICS IN A PIECEWISE HOMOGENEOUS WEDGE-SHAPED CYLINDRICAL- CIRCULAR LAYER WITH А CAVITY Key words: hyperbolic equation, initial and boundary conditions, conjugation conditions, integral transforms, hybrid integral transforms, main solutions. Гук Н. А. ORCID: 0000-0001-7937-1039, д-р фіз.-мат. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: huk_n@365.dnu.edu.ua Сіліч-Балгабаєва В. Б. ORCID: 0000-0002-9490-3600, канд. техн. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: v_silichbalgabaeva@365.dnu.edu.ua Степанова Н. І. ORCID: 0000-0002-9490-3600, канд. фіз.-мат. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: stepanova_n@365.dnu.edu.ua DATA-DRIVEN ПІДХІД ДО ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ БІФУРКАЦІЇ ТОНКОСТІННИХ СИСТЕМ НА ОСНОВІ НЕЙРОННИХ МЕРЕЖ Ключові слова: тонкостінні системи, біфуркація, втрата стійкості, обернені задачі, нейронні мережі, data-driven підхід, динамічні системи, прогнозування, нелінійна динаміка, ідентифікація параметрів, інформаційні технології. Список використаних джерел: References: DATA-DRIVEN APPROACH TO INVERSE BIFURCATION PROBLEMS OF THIN-WALLED SYSTEMS BASED ON NEURAL NETWORKS Key words: thin-walled systems, bifurcation, loss of stability, inverse problems, neural networks, data-driven approach, dynamic systems, prediction, nonlinear dynamics, parameter identification, information technologies. Жолтовський О. О. ORCID: 0009-0009-9245-1725, аспірант, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці, Україна, E-mail: olekszholt@gmail.com Черевко І. М. ORCID: 0000-0002-2690-2091, д-р фіз-мат. наук, професор, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці, Україна, E-mail: i.cherevko@chnu.edu.ua ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ СПЛАЙН-ФУНКЦІЙ ДО МОДЕЛЮВАННЯ ЛІНІЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ Ключові слова: крайова задача, запізнення, метод сплайн-колокацій, кубічні сплайни, комп’ютерне моделювання. Список використаних джерел: References: THE APPLICATION OF SPLINE FUNCTION METHOD TO THE MODELING OF LINEAR BOUNDARY VALUE PROBLEMS WITH DELAY Key words: boundary value problem, delayed argument, spline collocation method, cubic splines, computer modeling. Zelenskiy O. V. ORCІD: 0000-0002-4969-0132, Cand. of Phys. and Math. Sciences, Kamianets-Podilskyi Ivan Ohiienko National University, Kamianets-Podilskyi, Ukraine, E-maіl: esteticcode@gmail.com ULTRA EXPONENT MATRICES Key words: exponent matrix, reduced exponent matrix, admissible quiver, ultra exponent matrix, rigid quiver, weight function, mathematical modelling. References: УЛЬТРА МАТРИЦІ ПОКАЗНИКІВ Ключові слова: матриця показників, зведена матриця показників, допустимий сагайдак, ультра матриця показників, жорсткий сагайдак, вагова функція, математичне моделювання. Мусій Р. С. ORCІD: 0000-0002-7169-2206, д-р фіз.-мат. наук, професор, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: musiy@lp.edu.ua Кунинець А. В. ORCІD: 0000-0003-2481-3236, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: andrii.v.kunynets@lpnu.ua Свідрак І. Г. ORCІD: 0000-0003-1811-2011, канд. техн. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: inha.h.svidrak@lpnu.ua Тимошенко Н. М. ORCІD: 0000-0002-5595-6531, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: nadiia.m.tymoshenko@lpnu.ua Шиндер В. К. ORCІD: 0000-0002-9414-5619, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: valentyn.k.shynder@lpnu.ua ВИЗНАЧЕННЯ ТА АНАЛІЗ ТЕПЛА ДЖОУЛЯ І ПОНДЕРОМОТОРНОЇ СИЛИ У ПОРОЖНИСТОМУ МІДНОМУ ЦИЛІНДРІ ЗА ДІЇ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ІМПУЛЬСА Ключові слова: порожнистий електропровідний циліндр, електромагнітний імпульс, осьова компонента вектора напруженості магнітного поля, тепло Джоуля, пондеромоторна сила. Список використаних джерел: References: DETERMINATION AND ANALYSIS OF JOULE HEAT AND PONDEROMOTIVE FORCE IN A HOLLOW COPPER CYLINDER UNDER THE ACTION OF AN ELECTROMAGNETIC IMPULSE Key words: hollow conductive cylinder, electromagnetic impulse, axial component of the magnetic field intensity vector, Joule heating, ponderomotive force. Zb_F-M_2.pdf Нікітін А. В. ORCІD: 0000-0001-5137-0114, д-р фіз.-мат. наук, професор, Національний університет «Острозька академія», м. Острог, Україна, E-maіl: anatolii.nikitin@oa.edu.ua Шведюк В. В. ORCІD: 0009-0002-2906-0958, аспірант, Національний університет «Острозька академія», м. Острог, Україна, E-maіl: volodymyr.v.shvediuk@oa.edu.ua СТІЙКІСТЬ ДЕТЕРМІНОВАНОЇ ТА УСЕРЕДНЕНОЇ СИСТЕМ РАДІОФІЗИЧНИХ ПРОЦЕСІВ У МІКРОКОНТРОЛЕРНИХ СИСТЕМАХ БПЛА Ключові слова: БПЛА, стійкість детермінованої системи, власні значення, метод Ляпунова, радіофізичні процеси, мікроконтролер, простір станів. Список використаних джерел: References: STABILITY OF DETERMINISTIC AND AVERAGED SYSTEMS OF RADIOPHYSICAL PROCESSES IN UAV MICROCONTROLLER SYSTEMS Key words: UAV, stability of deterministic system, eigenvalues, Lyapunov functions, radiophysical processes, microcontroller, state space. Пархоменко В. Г. ORCІD: 0009-0008-7309-0875, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: vladyslav.parkhomenko1@nure.ua аналіз методОМ двобічних наближень стаціонарної реактивно-дифузивної моделі у сферичній гранулі з кінетикою арреніуса Ключові слова: гетеротонний оператор, інтегральне рівняння Гаммерштейна, метод двобічних наближень, напівлінійне еліптичне рівняння з оператором Лапласа, нелінійна крайова задача, радіально-симетричний додатний розв’язок, реакційно-дифузійна система, ... Список використаних джерел: References: Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of a Stationary Reaction–Diffusion Model in a Spherical Pellet with Arrhenius Kinetics Key words: Green’s function, Hammerstein integral equation, heterotone operator, method of two-sided approximations, nonlinear boundary value problem, positive radially symmetric solution, reaction–diffusion system, semilinear elliptic equation with t... Савченко А. В. ORCІD: 0009-0004-7547-8655, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: anton.savchenko@nure.ua Застосування методу двобічних наближень до аналізу впливу типів закріплення кінців на статичний прогин балки в моделях мікроелектромеханічних систем Ключові слова: балка, жорстке закріплення, ізотонний оператор, інваріантний конусний відрізок, консольна балка, крайова задача, крайові умови для балки, математичне моделювання, метод двобічних наближень, мікроелектромеханічна система, прогин, рівнянн... Список використаних джерел: References: APPLICATION OF THE METHOD OF TWO-SIDED APPROXIMATIONS TO THE ANALYSIS OF THE INFLUENCE OF BEAM END CONDITIONS ON THE STATIC DEFLECTION OF A BEAM IN MICROELECTROMECHANICAL SYSTEMS Key words: beam, clamped support, isotone operator, invariant cone segment, cantilever beam, boundary value problem, beam boundary conditions, mathematical modeling, method of two-sided approximations, microelectromechanical system, deflection, Hammer... Сеньо П. С. ORCІD: 0009-0005-7979-2905, д-р фіз.-мат. наук, професор, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів, Україна E-maіl: petro.seno@lnu.edu.ua Заяць А. Р. ORCІD: 0009-0004-7793-0238, аспірант, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів, Україна E-maіl: artur.zaiats@lnu.edu.ua МОДИФІКАЦІЯ БАЗОВОГО ДВОСТОРОННЬОГО МЕТОДУ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ Ключові слова: функціональні інтервали, інтегральні рівняння, двосторонні апроксимації, параболічний паралелограм, математичне моделювання, системний аналіз. Список використаних джерел: References: MODIFICATION OF THE BASIC TWO-SIDED METHOD FOR SOLVING INTEGRAL EQUATIONS Key words: functional intervals, integral equations, two-sided approximations, parabolic parallelogram, mathematical modelling, system analysis. Янбеков Р. Я. ORCІD: 0009-0004-6588-7121, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: ravil.yanbekov@nure.ua дослідження одновимірних стаціонарних задач термохімії методом двобічних наближень на основі використання функції Гріна Ключові слова: математичне моделювання, термохімічні процеси, метод двобічних наближень, функція Гріна, перша крайова задача, напівлінійне звичайне диференціальне рівняння. Список використаних джерел: References: Analysis of One-Dimensional Steady-State Thermochemical Problems Using the Method of Two-Sided Approximations with Green’s Function Key words: mathematical modelling, thermochemical processes, two-sided approximation method, Green’s function, first boundary value problem, semilinear ordinary differential equation. Відомості про авторів Алфавітний покажчик авторів Зміст end.pdf Математичне та комп’ютерне моделювання Серія: Фізико-математичні науки
id	mcm-mathkpnueduua-article-360490
institution	Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-06-09T01:00:17Z
publishDate	2026
publisher	Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
record_format	ojs
resource_txt_mv	mcm-mathkpnueduua/08/7c4a3a30afff3dd73118571dde029b08.pdf
spelling	mcm-mathkpnueduua-article-3604902026-06-08T08:10:39Z Determination and Analysis of Joule Heat and Ponderomotive Force in a Hollow Copper Cylinder Under the Action of an Electromagnetic Impulse Визначення та аналіз тепла Джоуля і пондеромоторної сили у порожнистому мідному циліндрі за дії електромагнітного імпульса Мусій, Роман Кунинець, Андрій Свідрак, Інга Тимошенко, Надія Шиндер, Валентин A physical-mathematical model is proposed for determining and analyzing the patterns of Joule heat and ponderomotive force behavior in a non-ferromagnetic, long, hollow, electrically conductive cylinder under a homogeneous, transient electromagnetic field. An electrodynamic problem is formulated to obtain the determining function – the axial component of the magnetic field intensity vector. An initial-boundary value problem in electrodynamics has been formulated to determine the defining function – the axial component of the magnetic field intensity vector. The initial relations for determining the specific heat densities of Joule heat and the ponderomotive force are derived. These two physical factors arise in the cylinder due to the flow of induced currents and the interaction of these currents with an external non-stationary electromagnetic field. We used a cubic approximation for the distribution of the defining function along the radial coordinate to find the determining function. The coefficients of the cubic approximation polynomial are expressed as a linear combination of the integral characteristics of the determining function with respect to the radial variable and its boundary values on the inner and external surfaces of the cylinder. As a result, the initial-boundary value problem for the determining function is reduced to a Cauchy problem for its integral characteristics. The solution to the Cauchy problem is obtained using the Laplace integral transform with respect to time. We found the expressions for the axial component of the magnetic field intensity vector and for the specific densities, Joule heat, and ponderomotive force under the action of a single electromagnetic impuls. For a hollow copper cylinder, the time evolution of the above quantities and their distributions along the thickness of the cylinder have been numerically analyzed. It has been established that the maximum values of the Joule heat and the radial component of the ponderomotive force vector on the mid-surface of the cylinder are approximately 1000 and 100 times smaller, respectively, than their values on the external surfaces of the cylinder. We found that as the thickness of the hollow cylinder under consideration increases – while the radius of its mid-surface remains constant – the maximum values of the Joule heat and the ponderomotive force decrease (by approximately a factor of 0.6) for every one-millimeter increase in the cylinder’s thickness. Запропоновано фізико-математичну модель для визначення та аналізу закономірностей поведінки тепла Джоуля і пондеромоторної сили у неферомагнітному довгому порожнистому електропровідному циліндрі за однорідної нестаціонарної електромагнітної дії. Сформульовано початково-крайову задачу електродинаміки для знаходження визначальної функції – осьової компоненти вектора напруженості магнітного поля. Записано вихідні співвідношення для визначення питомих густин тепла Джоуля і пондеромоторної сили. Ці два фізичні фактори виникають у циліндрі внаслідок протікання індукованих струмів та взаємодії цих струмів із зовнішнім нестаціонарним електромагнітним полем. Для знаходження визначальної функції використано кубічну апроксимацію її розподілу по радіальній координаті. Коефіцієнти апроксимаційного кубічного полінома подаються у вигляді лінійної комбінації інтегральних за радіальною змінною характеристик визначальної функції та її граничних значень на внутрішній і зовнішній поверхнях циліндра. У результаті вихідна початково-крайова задача на визначальну функцію зведена до задачі Коші на її інтегральні характеристики. Розв’язок задачі Коші знайдено з допомогою інтегрального перетворення Лапласа за часом. Записано вирази осьової компоненти вектора напруженості магнітного поля та питомих густин тепла Джоуля і пондеромоторної сили за дії одиночного електромагнітного імпульса. Для мідного порожнистого циліндра чисельно проаналізовано зміну в часі зазначених вище величин та їх розподіли по товщині даного циліндра. Встановлено, що максимальні значення тепла Джоуля і радіальної компоненти вектора пондеромоторної сили на серединній поверхні циліндра менші за їх значення на зовнішніх поверхнях циліндра приблизно у 1000 та 100 разів відповідно. Виявлено, що зі збільшенням товщини розглядуваного порожнистого циліндра при фіксованому радіусі його серединної поверхні максимальні значення тепла Джоуля і пондеромоторної сили зменшуються (приблизно в 0,6 разів) при збільшенні товщини циліндра на один міліметр. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2026-05-29 Article Article Рецензована Стаття application/pdf https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/360490 10.32626/2308-5878.2026-30.91-104 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2026: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 30; 91-104 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2026: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 30; 91-104 2308-5878 10.32626/2308-5878.2026-30 uk https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/360490/349673 Авторське право (c) 2026 Роман Мусій, Андрій Кунинець, Інга Свідрак, Надія Тимошенко, Валентин Шиндер
spellingShingle	Мусій, Роман Кунинець, Андрій Свідрак, Інга Тимошенко, Надія Шиндер, Валентин Determination and Analysis of Joule Heat and Ponderomotive Force in a Hollow Copper Cylinder Under the Action of an Electromagnetic Impulse
title	Determination and Analysis of Joule Heat and Ponderomotive Force in a Hollow Copper Cylinder Under the Action of an Electromagnetic Impulse
title_alt	Визначення та аналіз тепла Джоуля і пондеромоторної сили у порожнистому мідному циліндрі за дії електромагнітного імпульса
title_full	Determination and Analysis of Joule Heat and Ponderomotive Force in a Hollow Copper Cylinder Under the Action of an Electromagnetic Impulse
title_fullStr	Determination and Analysis of Joule Heat and Ponderomotive Force in a Hollow Copper Cylinder Under the Action of an Electromagnetic Impulse
title_full_unstemmed	Determination and Analysis of Joule Heat and Ponderomotive Force in a Hollow Copper Cylinder Under the Action of an Electromagnetic Impulse
title_short	Determination and Analysis of Joule Heat and Ponderomotive Force in a Hollow Copper Cylinder Under the Action of an Electromagnetic Impulse
title_sort	determination and analysis of joule heat and ponderomotive force in a hollow copper cylinder under the action of an electromagnetic impulse
url	https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/360490
work_keys_str_mv	AT musíjroman determinationandanalysisofjouleheatandponderomotiveforceinahollowcoppercylinderundertheactionofanelectromagneticimpulse AT kuninecʹandríj determinationandanalysisofjouleheatandponderomotiveforceinahollowcoppercylinderundertheactionofanelectromagneticimpulse AT svídrakínga determinationandanalysisofjouleheatandponderomotiveforceinahollowcoppercylinderundertheactionofanelectromagneticimpulse AT timošenkonadíâ determinationandanalysisofjouleheatandponderomotiveforceinahollowcoppercylinderundertheactionofanelectromagneticimpulse AT šindervalentin determinationandanalysisofjouleheatandponderomotiveforceinahollowcoppercylinderundertheactionofanelectromagneticimpulse AT musíjroman viznačennâtaanalíztepladžoulâíponderomotornoísiliuporožnistomumídnomucilíndrízadííelektromagnítnogoímpulʹsa AT kuninecʹandríj viznačennâtaanalíztepladžoulâíponderomotornoísiliuporožnistomumídnomucilíndrízadííelektromagnítnogoímpulʹsa AT svídrakínga viznačennâtaanalíztepladžoulâíponderomotornoísiliuporožnistomumídnomucilíndrízadííelektromagnítnogoímpulʹsa AT timošenkonadíâ viznačennâtaanalíztepladžoulâíponderomotornoísiliuporožnistomumídnomucilíndrízadííelektromagnítnogoímpulʹsa AT šindervalentin viznačennâtaanalíztepladžoulâíponderomotornoísiliuporožnistomumídnomucilíndrízadííelektromagnítnogoímpulʹsa

Determination and Analysis of Joule Heat and Ponderomotive Force in a Hollow Copper Cylinder Under the Action of an Electromagnetic Impulse

Репозитарії

Схожі ресурси