Stability of Deterministic and Averaged Systems of Radiophysical Processes in UAV Microcontroller Systems
The article presents a theoretical study and mathematical modeling of the stability of complex radiophysical processes occurring in microcontroller control systems of modern UAVs. The relevance of the work is due to the need to ensure stable operation of on-board electronics in conditions of intense...
Gespeichert in:
| Datum: | 2026 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2026
|
| Online Zugang: | https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/360512 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1867479061648900096 |
|---|---|
| author | Нікітін, Анатолій Шведюк, Володимир |
| author_facet | Нікітін, Анатолій Шведюк, Володимир |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Анатолій Нікітін",
"institution": "Національного університету “Острозька академія”"
},
{
"author": "Володимир Шведюк",
"institution": "Національного університету “Острозька академія”"
}
] |
| author_sort | Нікітін, Анатолій |
| baseUrl_str | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-06-08T08:10:39Z |
| description | The article presents a theoretical study and mathematical modeling of the stability of complex radiophysical processes occurring in microcontroller control systems of modern UAVs. The relevance of the work is due to the need to ensure stable operation of on-board electronics in conditions of intense electromagnetic interference and non-stationary loads. The object of the study is state vectors, which include the signal amplitude, carrier phase and microcontroller supply voltage level.
The scientific novelty of the work lies in the application of the averaging principle to the analysis of evolutionary systems with fast Markov switching. This approach allowed us to move from complex stochastic models to an equivalent deterministic system that operates with parameters averaged over a stationary distribution: damping coefficient, instantaneous frequency and intensity of losses in the power supply circuit.
The work uses a set of methods from the theory of stability of linear systems. By analyzing the eigenvalues of the coefficient matrix, the necessary conditions for process stabilization were established. Using the construction of the quadratic Lyapunov function, an original sufficient condition for the asymptotic stability of the averaged system was derived, which takes into account the cross-coupling between the amplitude and energy supply channels. A critical threshold of the intensity of this coupling was established, exceeding which leads to the loss of system stability even with the stability of its individual components.
The results obtained have direct practical application in the development of filtering and voltage stabilization algorithms in UAV autopilot systems. The proposed analytical dependencies allow at the design stage to optimize the parameters of hardware filters and software means of protecting the microcontroller from failures caused by fluctuations in the radio signal and engine load. |
| doi_str_mv | 10.32626/2308-5878.2026-30.105-114 |
| first_indexed | 2026-06-09T01:00:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 105-114.
105
УДК 517.9381
DOІ: 10.32626/2308-5878.2026-30.105-114
Нікітін А. В.
ORCІD: 0000-0001-5137-0114,
д-р фіз.-мат. наук, професор, Національний університет
«Острозька академія», м. Острог, Україна,
E-maіl: anatolii.nikitin@oa.edu.ua
Шведюк В. В.
ORCІD: 0009-0002-2906-0958,
аспірант, Національний університет
«Острозька академія», м. Острог, Україна,
E-maіl: volodymyr.v.shvediuk@oa.edu.ua
СТІЙКІСТЬ ДЕТЕРМІНОВАНОЇ ТА УСЕРЕДНЕНОЇ
СИСТЕМ РАДІОФІЗИЧНИХ ПРОЦЕСІВ
У МІКРОКОНТРОЛЕРНИХ СИСТЕМАХ БПЛА
У статті проведено теоретичне дослідження та математичне
моделювання стійкості складних радіофізичних процесів, що про-
тікають у мікроконтролерних системах керування сучасних
БПЛА. Актуальність роботи зумовлена необхідністю забезпечен-
ня стабільної роботи бортової електроніки в умовах інтенсивних
електромагнітних завад та нестаціонарних навантажень. Об’єктом
дослідження є вектори стану, що включають амплітуду сигналу,
фазу несучої та рівень напруги живлення мікроконтролера.
Наукова новизна роботи полягає у застосуванні принципу
усереднення для аналізу еволюційних систем із швидкими ма-
рковськими переключеннями. Такий підхід дозволив перейти
від складних стохастичних моделей до еквівалентної детермі-
нованої системи, що оперує усередненими за стаціонарним
розподілом параметрами: коефіцієнтом затухання, миттєвою
частотою та інтенсивністю втрат у колі живлення.
У роботі використано комплекс методів теорії стійкості лі-
нійних систем. Шляхом аналізу власних значень матриці кое-
фіцієнтів встановлено необхідні умови стабілізації процесів.
За допомогою побудови квадратичної функції Ляпунова виве-
дено оригінальну достатню умову асимптотичної стійкості
усередненої системи, яка враховує перехресний зв’язок між
каналами амплітуди та енергозабезпечення. Встановлено кри-
тичний поріг інтенсивності цього зв’язку, перевищення якого
1 Стаття надійшла до редакції: 10.05.2026
Рекомендовано до друку: 27.05.2026
Оприлюднено (online): 29.05.2026
Ця стаття розповсюджується на умовах ліцензії CC Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0
© Нікітін А. В., Шведюк В. В., 2026
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 105-114.
106
веде до втрати стійкості системи навіть при стабільності її ок-
ремих компонентів.
Отримані результати мають безпосереднє практичне засто-
сування при розробці алгоритмів фільтрації та стабілізації на-
пруги в системах автопілотування БПЛА. Запропоновані ана-
літичні залежності дозволяють на етапі проектування оптимі-
зувати параметри апаратних фільтрів та програмних засобів
захисту мікроконтролера від збоїв, спричинених флуктуаціями
радіосигналу та навантаження двигунів.
Ключові слова: БПЛА, стійкість детермінованої систе-
ми, власні значення, метод Ляпунова, радіофізичні процеси,
мікроконтролер, простір станів.
Вступ. Безпілотні літальні апарати (БПЛА) є складними системами,
де мікроконтролер (МК) виступає центральним вузлом керування. На-
дійне функціонування МК визначається стабільністю радіофізичних
процесів – насамперед амплітуди та фази сигналів, а також рівня напру-
ги живлення. У реальних умовах на ці процеси впливають тягова систе-
ма, електромагнітні завади та нестаціонарні навантаження, що спонукає
до побудови математичних моделей відповідної складності.
Перш ніж переходити до стохастичного аналізу, необхідно дос-
лідити стійкість детермінованії моделі. Саме детермінована лінійна
система диференціальних рівнянь у просторі станів є базовою конст-
рукцією, на якій надалі будуються стохастичні розширення. Без ро-
зуміння власних значень матриці коефіцієнтів та умов стійкості ну-
льового розв'язку неможливо коректно інтерпретувати стохастичні
параметри – коефіцієнт релаксації α та інтенсивність дифузії σ –
отримані при експериментальній ідентифікації.
Аналіз останніх досліджень і публікацій. Теорія стійкості лі-
нійних систем диференціальних рівнянь є класичним розділом мате-
матичного аналізу. Фундаментальні результати щодо стійкості за Ля-
пуновим [1] та методу першого наближення [2] становлять базу для
аналізу динаміки будь-яких інженерних систем. Класифікація особ-
ливих точок лінійних систем та поведінки фазових кривих детально
розглянута у навчальній літературі [3].
Детерміністичні моделі динаміки сигналів у просторі станів за-
стосовуються в роботах із синтезу систем керування польотом. Пере-
хід від детерміністичної моделі до стохастичної з марківськими пере-
ключеннями та дифузійним наближенням висвітлений у монографі-
ях [4, 5]. Попередньою умовою коректності таких розширень є забез-
печення стійкості детермінованої базової моделі, чому в прикладній
літературі приділяється недостатньо уваги.
Мета дослідження. Мета роботи – дослідження умов стійкості
нульового розв'язку детермінованої лінійної системи диференціаль-
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 105-114.
107
них рівнянь, що моделює еволюцію радіофізичних процесів (амплі-
туди сигналу, фази та напруги живлення) у МК системах БПЛА з ме-
тою подальшого застосування результатів для підвищення завадос-
тійкості керуючих систем БПЛА. Для досягнення мети застосовують-
ся: аналіз власних значень матриці коефіцієнтів, метод першого на-
ближення та метод функцій Ляпунова.
Постановка задачі. Детермінована модель у просторі станів.
Еволюція радіофізичних процесів у МК системі БПЛА описується
вектором стану:
, , ,
Т
u t As t t P t (1)
де As(t) – амплітуда сигналу, φ(t) – фаза несучої, P(t) – рівень напруги
живлення МК. Еволюція вектора стану визначається лінійним дифе-
ренціальним рівнянням:
,
du t
Cu t
dt
(2)
де матриця коефіцієнтів:
0 0
0 0 ,
0
t
C t
t t
(3)
Тут α(t) > 0 – коефіцієнт затухання амплітуди сигналу, ω(t) – миттєва
кутова частота несучої, γ(t) – коефіцієнт втрат потужності, β(t) – кое-
фіцієнт зв'язку між амплітудою та потужністю.
Математична модель системи з випадковими збуреннями у
схемі усереднення. Для врахування впливу зовнішніх завад та неста-
ціонарних режимів роботи БПЛА, розглянемо еволюційну систему з
випадковими збуреннями у схемі серій з малим параметром
0 0 :
, / , 0,
du t
C u t x t t
dt
(4)
де u t – вектор стану системи, а x t – зовнішні збурення, що
описуються рівномірно ергодичним марковським процесом у фазо-
вому просторі ,X з генератором Q. Згідно з принципом усеред-
нення, при 0 траєкторія збуреної системи u t слабко збігаєть-
ся до граничної еволюції 0u t , яка визначається розв'язком детермі-
нованого усередненого рівняння:
0
0 , 0,ˆ
du t
C u t t
dt
(5)
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 105-114.
108
де усереднена функція швидкості (матриця коефіцієнтів) визнача-
ється інтегралом за стаціонарним розподілом dx марковського
процесу
:x t ˆ ; .
X
C u dx C u x (6)
У нашому випадку матриця ;C u x залежить від випадкового
стану середовища ,x який змінює фізичні параметри системи:
, ,x x x та x . Усереднена матриця Ĉ зберігає блочно-
трикутну структуру:
0 0
0 0 ,
0
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
C
(7)
де ˆ , ˆ
X X
x dx x dx тощо. Таким чином, досліджен-
ня стійкості системи з випадковими переключеннями у схемі усеред-
нення зводиться до аналізу детермінованої системи з усередненими
параметрами.
Аналіз власних значень матриці C. Умови стійкості розв'язків
лінійної однорідної системи ˆu Cu зі сталою матрицею Ĉ визнача-
ються її власними значеннями i . Нульовий розв'язок є асимптотич-
но стійким тоді і тільки тоді, коли всі власні значення мають від'ємну
дійсну частину: Re 0i для всіх 1 , 2, 3i .
Характеристичне рівняння et 0ˆd C I для блочно-трикут-
ної матриці Ĉ розкладається у добуток:
ˆ ˆ ˆ 0. (8)
Для усередненої системи (5) власні значення прямо залежать від
усереднених характеристик марковського процесу:
1 .ˆ (9)
Умова 1Re 0 виконується при ˆ 0 , що відповідає наяв-
ності затухання в амплітудному каналі 2
ˆ . Оскільки параметр ̂
описує частотну компоненту (фазовий зсув), він зазвичай є суто уяв-
ним у комплексному просторі станів або відповідає консервативному
обертанню. Для стійкості енергетичних параметрів цей член не пови-
нен призводити до експоненціального зростання 3
ˆ .
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 105-114.
109
Умова 3Re 0 виконується при ˆ 0 , що відповідає фізич-
ній дисипації енергії у колі живлення мікроконтролера. Отже, необ-
хідною умовою асимптотичної стійкості системи є ˆ 0 та ˆ 0 . Це
означає, що система здатна самостійно повертатися до стану рівнова-
ги після зовнішніх збурень, якщо в обох каналах (інформаційному та
енергетичному) переважають процеси втрат та затухання. Характерну
динаміку перехідних процесів за виконання цих умов проілюстрова-
но на рис. 1.
Рис. 1. Динаміка перехідних процесів у детермінованій
системі МК БПЛА: згасання амплітуди сигналу 1u t
та відповідна стабілізація напруги
живлення 3u t при виконанні умов стійкості 0, 0
Метод першого наближення. Метод першого наближення за-
стосовується для аналізу нелінійних або нестаціонарних систем у
малому околі точки рівноваги. Нехай u* – стаціонарна точка системи.
Для лінійної системи матриця першого наближення збігається з мат-
рицею C, а єдина точка рівноваги – u* = 0.
Розглянемо числовий приклад для системи з параметрами α₀ > 0,
γ₀ < 0, |γ₀| = α₀:
0 0 0, , ·2 , 0.i f (10)
Власні значення: λ₁ = −α₀, λ₂ = i·2πf₀, λ₃ = −α₀. Нульовий розв'язок
стійкий (Re(λ₁,₃) < 0), компонента фази – нейтрально стійка. Відпові-
дні часові залежності наведено на рис. 2.
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 105-114.
110
Рис. 2 Вплив коефіцієнта зв'язку на стабілізацію напруги при 0 0
Метод функцій Ляпунова. Для встановлення достатніх умов
асимптотичної стійкості усередненої системи застосуємо прямий ме-
тод Ляпунова. Побудуємо додатно визначену квадратичну функцію
Ляпунова у вигляді:
22 2 2
1 2 3
1 1
.
2 2
V u u u u u (11)
Похідна цієї функції вздовж траєкторій усередненої системи ви-
значається виразом:
ˆ
ˆ, , .
2
TC C
V u u Cu u u
(12)
Для асимптотичної стійкості необхідно, щоб симетрична части-
на матриці коефіцієнтів / 2ˆ T
symC C C була від’ємно визначе-
ною. Структура цієї матриці має вигляд:
ˆˆ
ˆ
ˆ
0 / 2
0 1 0 .
2
/ ˆ2 0
TC C
(13)
Згідно з критерієм Сильвестра, від’ємна визначеність цієї мат-
риці (за виключенням консервативної фазової компоненти 2u ) гаран-
тується при виконанні умов:
2
4
ˆ
ˆ ˆ
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 105-114.
111
Отримана нерівність
2
4
ˆ
ˆ ˆ
встановлює фундаментальне об-
меження на допустимий коефіцієнт зв’язку між амплітудним та енерге-
тичним каналами мікроконтролерної системи. Фізичний зміст цієї умови
полягає в тому, що для збереження стійкості системи в схемі усереднен-
ня інтенсивність взаємодії каналів ( ˆ) повинна повністю нівелюватися
сумарною дисипацією в обох підсистемах ˆ та . Геометричну інтерп-
ретацію еволюції функції Ляпунова та візуалізацію області стійкості в
просторі параметрів наведено на рис. 3.
Рис. 3. Область асимптотичної стійкості усередненої системи
в просторі параметрів ˆˆ , при фіксованому ̂
На рис. 3 візуалізовано область асимптотичної стійкості усеред-
неної системи в площині параметрів ˆˆ , при фіксованому значен-
ні коефіцієнта втрат у колі живлення ̂ . Крива, що обмежує заштри-
ховану область, відповідає критичному значенню коефіцієнта зв’язку
ˆ 2 ˆ ˆ , отриманому з критерію Сильвестра для від’ємної визна-
ченості матриці Ляпунова. Математично це означає, що для двовимі-
рної підсистеми ,sA P з матрицею 2
0
A
, характер поведі-
нки фазових траєкторій визначається власними значеннями 1
та 2 . Стійкий вузол спостерігається при , коли обидва
корені є дійсними, від’ємними та різними. Стійкий вироджений вузол
виникає у випадку кратного кореня . Фізичний зміст зображе-
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 105-114.
112
ної залежності полягає у тому, що при збільшенні коефіцієнта зату-
хання в амплітудному каналі ˆ , система стає здатною витримувати
значно вищі рівні паразитного зв’язку ̂ без втрати стійкості. Проте,
вихід за межі заштрихованої області (верхня частина графіка) приз-
водить до того, що дисипативні властивості окремих каналів уже не
можуть компенсувати їхню взаємну дестабілізуючу дію, що спричи-
няє зростання амплітуди коливань напруги живлення МК.
У реальних умовах польоту параметри системи x та x мо-
жуть миттєво набувати значень, що не задовольняють умовам стійкості
(наприклад, при різких стрибках споживання струму сервоприводами).
Проте, завдяки ергодичності марковського процесу збурень, система
зберігає загальну працездатність, якщо баланс усереднених характерис-
тик залишається в межах визначеної норми (див. рис. 4).
Рис. 4. Динаміка усередненої системи БПЛА при різних значеннях зв'язку
Коефіцієнт ̂ у моделі відіграє роль паразитного зв’язку. У мік-
роконтролерних системах БПЛА це може відповідати просіданню
напруги живлення при посиленні передавального сигналу або наве-
денням від силових ланцюгів на аналогові входи МК. Отримана нері-
вність дає інженерам чіткий критерій: для забезпечення стійкості не-
обхідно або збільшувати дисипацію в системі (фільтрація, стабіліза-
ція напруги – параметри ˆ ˆ, ), або мінімізувати взаємний вплив ка-
налів (екранування, розв’язка живлення – параметр ̂ ).
Перспективи подальших досліджень полягають у переході від схе-
ми усереднення до дифузійної апроксимації, що дозволить оцінити не
лише середні значення, а й величину відхилень (флуктуацій) від усеред-
неної траєкторії, що є критичним для прецизійних сенсорів БПЛА.
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 105-114.
113
Висновки. У роботі проведено комплексне дослідження стійко-
сті радіофізичних процесів у мікроконтролерних системах БПЛА для
детермінованого випадку та в схемі усереднення. На основі проведе-
ного аналізу отримано наступні результати:
Застосовано принцип усереднення для опису еволюції системи в
умовах швидких марковських збурень. Показано, що гранична дете-
рмінована система оперує усередненими характеристиками ˆˆ ˆ ˆ, , , ,
що дозволяє нівелювати вплив короткочасних флуктуацій.
Шляхом аналізу власних значень матриці коефіцієнтів Ĉ . вста-
новлено необхідні умови асимптотичної стійкості усередненої систе-
ми 0, 0ˆ ˆ що фізично відповідає переважанню процесів диси-
пації енергії над збуреннями.
За допомогою методу функцій Ляпунова виведено достатню
умову стійкості у формі нерівності ² / 4 . Встановлено, що
стійкість системи суттєво залежить від усередненого коефіцієнта
зв’язку між амплітудним та енергетичним каналами: перевищення
критичного порогу взаємодії ̂ може призвести до дестабілізації
навіть при стійкості окремих підсистем.
Отримані аналітичні залежності мають практичне значення для
проектування алгоритмів керування БПЛА, оскільки дозволяють визна-
чити допустимі межі параметрів кіл живлення та завадостійкості прийо-
мо-передавальних модулів у складних електромагнітних умовах.
Список використаних джерел:
1. Мартинюк А. А. Стійкість руху: метод функцій Ляпунова. Київ: Наукова
думка, 2012. 320 с.
2. Колянова Т. В. Динаміка популяційних систем: навчальний посібник.
Київ: КНУ імені Тараса Шевченка, 2016. 104 с.
3. Боголюбов М. М., Митропольський Ю. О., Самойленко А. М. Метод усе-
реднення в нелінійній механіці. Київ: Наукова думка, 2003. 410 с.
4. Korolyuk V. S., Limnios N. Stochastic Systems in Merging Phase Space.
World Scientific. 2005. 330 p. DOI: https://doi.org/10.1142/5979.
5. Chabanyuk Y. M., Nikitin A. V., Khimka U. T. Asymptotic Analyses for
Complex Evolutionary Systems with Markov and Semi-Markov Switching
Using Approximation Schemes. London: Wiley-ISTE, 2020. 240 p. DOI:
https://doi.org/10.1002/9781119779759.
6. Uhlenbeck G. E., Ornstein L. S. On the theory of Brownian motion. Phys. Rev.
1930. Vol. 36. P. 823-841. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRev.36.823.
References:
1. Martyniuk A. A. Stiikist rukhu: metod funktsii Liapunova. Kyiv: Naukova
dumka, 2012. 320 s.
2. Kolianova T. V. Dynamika populiatsiinykh system: navchalnyi posibnyk.
Kyiv: KNU imeni Tarasa Shevchenka, 2016. 104 s.
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 105-114.
114
3. Boholiubov M. M., Mytropolskyi Yu. O., Samoilenko A. M. Metod
userednennia v neliniinii mekhanitsi. Kyiv: Naukova dumka, 2003. 410 s.
4. Korolyuk V. S., Limnios N. Stochastic Systems in Merging Phase Space.
World Scientific. 2005. 330 p. DOI: https://doi.org/10.1142/5979.
5. Chabanyuk Y. M., Nikitin A. V., Khimka U. T. Asymptotic Analyses for
Complex Evolutionary Systems with Markov and Semi-Markov Switching
Using Approximation Schemes. London: Wiley-ISTE, 2020. 240 p. DOI:
https://doi.org/10.1002/9781119779759.
6. Uhlenbeck G. E., Ornstein L. S. On the theory of Brownian motion. Phys. Rev.
1930. Vol. 36. P. 823-841. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRev.36.823.
STABILITY OF DETERMINISTIC AND AVERAGED
SYSTEMS OF RADIOPHYSICAL PROCESSES
IN UAV MICROCONTROLLER SYSTEMS
The article presents a theoretical study and mathematical modeling of
the stability of complex radiophysical processes occurring in microcontrol-
ler control systems of modern UAVs. The relevance of the work is due to
the need to ensure stable operation of on-board electronics in conditions of
intense electromagnetic interference and non-stationary loads. The object
of the study is state vectors, which include the signal amplitude, carrier
phase and microcontroller supply voltage level.
The scientific novelty of the work lies in the application of the averag-
ing principle to the analysis of evolutionary systems with fast Markov
switching. This approach allowed us to move from complex stochastic
models to an equivalent deterministic system that operates with parameters
averaged over a stationary distribution: damping coefficient, instantaneous
frequency and intensity of losses in the power supply circuit.
The work uses a set of methods from the theory of stability of linear
systems. By analyzing the eigenvalues of the coefficient matrix, the neces-
sary conditions for process stabilization were established. Using the con-
struction of the quadratic Lyapunov function, an original sufficient condi-
tion for the asymptotic stability of the averaged system was derived, which
takes into account the cross-coupling between the amplitude and energy
supply channels. A critical threshold of the intensity of this coupling was
established, exceeding which leads to the loss of system stability even with
the stability of its individual components.
The results obtained have direct practical application in the develop-
ment of filtering and voltage stabilization algorithms in UAV autopilot sys-
tems. The proposed analytical dependencies allow at the design stage to
optimize the parameters of hardware filters and software means of protect-
ing the microcontroller from failures caused by fluctuations in the radio
signal and engine load.
Key words: UAV, stability of deterministic system, eigenvalues, Lya-
punov functions, radiophysical processes, microcontroller, state space.
Математичне та комп'ютерне моделювання
Серія: Фізико-математичні науки
Редакційна колегія:
Zb_F-M_1.pdf
Гвоздєв М. І.
ORCІD: 0000-0003-4022-9777, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: mykyta.hvozdev@nure.ua
Сидоров М. В.
ORCІD: 0000-0001-8022-866X, д-р фіз.-мат. наук, професор, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: maxim.sidorov@nure.ua
метод двобічних наближень у ЧИСЕЛЬНОМУ аналізі задачі Нав’є, що є математичноЮ моделлю одновимірної мікроелектромеханічної системи
Ключові слова: мікробалка, задача Нав’є, ізотонний опертор, інваріантний конусний відрізок, крайова задача, математичне моделювання, мікроелектромеханічна система, метод двобічних наближень, напівлінійне звичайне диференціальне рівняння четвертого пор...
Список використаних джерел:
References:
The Method of Two-Sided Approximations in the Numerical Analysis of the Navier Problem as a Mathematical Model of a One-Dimensional Microelectromechanical System
Key words: boundary value problem, deflection, fourth-order semilinear ordinary differential equation, Green’s function, Hammerstein equation, invariant cone segment, isotone operator, mathematical modeling, method of two-sided approximations, microbe...
Громик А. П.
ORCID: 0000-0003-3071-9756, канд. техн. наук, Заклад вищої освіти «Подільський державний університет», м. Кам’янець-Подільський, Україна, E-mail: gapon74@gmail.com
Конет І. М.
ORCID: 0000-0002-4241-0548, д-р фіз.-мат. наук, професор, Волинський національний університет імені Лесі Українки, м. Луцьк, Україна, E-mail: konet51@ukr.net
Пилипюк Т. М.
ORCID: 0000-0002-4676-9830, канд. фіз.-мат. наук, Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський, Україна, E-mail: pylypyuk.tetiana@kpnu.edu.ua
ГІПЕРБОЛІЧНІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ В КУСКОВО-ОДНОРІДНОМУ КЛИНОВИДНОМУ ЦИЛІНДРИЧНО-КРУГОВОМУ ШАРІ З ПОРОЖНИНОЮ
Ключові слова: гіперболічне рівняння, початкові та крайові умови, умови спряження, інтегральні перетворення, гібридні інтегральні перетворення, головні розв’язки.
Список використаних джерел:
References:
HYPERBOLIC BOUNDARY VALUE PROBLEMS OF MATHEMATICAL PHYSICS IN A PIECEWISE HOMOGENEOUS WEDGE-SHAPED CYLINDRICAL- CIRCULAR LAYER WITH А CAVITY
Key words: hyperbolic equation, initial and boundary conditions, conjugation conditions, integral transforms, hybrid integral transforms, main solutions.
Гук Н. А.
ORCID: 0000-0001-7937-1039, д-р фіз.-мат. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: huk_n@365.dnu.edu.ua
Сіліч-Балгабаєва В. Б.
ORCID: 0000-0002-9490-3600, канд. техн. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: v_silichbalgabaeva@365.dnu.edu.ua
Степанова Н. І.
ORCID: 0000-0002-9490-3600, канд. фіз.-мат. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: stepanova_n@365.dnu.edu.ua
DATA-DRIVEN ПІДХІД ДО ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ БІФУРКАЦІЇ ТОНКОСТІННИХ СИСТЕМ НА ОСНОВІ НЕЙРОННИХ МЕРЕЖ
Ключові слова: тонкостінні системи, біфуркація, втрата стійкості, обернені задачі, нейронні мережі, data-driven підхід, динамічні системи, прогнозування, нелінійна динаміка, ідентифікація параметрів, інформаційні технології.
Список використаних джерел:
References:
DATA-DRIVEN APPROACH TO INVERSE BIFURCATION PROBLEMS OF THIN-WALLED SYSTEMS BASED ON NEURAL NETWORKS
Key words: thin-walled systems, bifurcation, loss of stability, inverse problems, neural networks, data-driven approach, dynamic systems, prediction, nonlinear dynamics, parameter identification, information technologies.
Жолтовський О. О.
ORCID: 0009-0009-9245-1725, аспірант, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці, Україна, E-mail: olekszholt@gmail.com
Черевко І. М.
ORCID: 0000-0002-2690-2091, д-р фіз-мат. наук, професор, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці, Україна, E-mail: i.cherevko@chnu.edu.ua
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ СПЛАЙН-ФУНКЦІЙ ДО МОДЕЛЮВАННЯ ЛІНІЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ
Ключові слова: крайова задача, запізнення, метод сплайн-колокацій, кубічні сплайни, комп’ютерне моделювання.
Список використаних джерел:
References:
THE APPLICATION OF SPLINE FUNCTION METHOD TO THE MODELING OF LINEAR BOUNDARY VALUE PROBLEMS WITH DELAY
Key words: boundary value problem, delayed argument, spline collocation method, cubic splines, computer modeling.
Zelenskiy O. V.
ORCІD: 0000-0002-4969-0132, Cand. of Phys. and Math. Sciences, Kamianets-Podilskyi Ivan Ohiienko National University, Kamianets-Podilskyi, Ukraine, E-maіl: esteticcode@gmail.com
ULTRA EXPONENT MATRICES
Key words: exponent matrix, reduced exponent matrix, admissible quiver, ultra exponent matrix, rigid quiver, weight function, mathematical modelling.
References:
УЛЬТРА МАТРИЦІ ПОКАЗНИКІВ
Ключові слова: матриця показників, зведена матриця показників, допустимий сагайдак, ультра матриця показників, жорсткий сагайдак, вагова функція, математичне моделювання.
Мусій Р. С.
ORCІD: 0000-0002-7169-2206, д-р фіз.-мат. наук, професор, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: musiy@lp.edu.ua
Кунинець А. В.
ORCІD: 0000-0003-2481-3236, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: andrii.v.kunynets@lpnu.ua
Свідрак І. Г.
ORCІD: 0000-0003-1811-2011, канд. техн. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: inha.h.svidrak@lpnu.ua
Тимошенко Н. М.
ORCІD: 0000-0002-5595-6531, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: nadiia.m.tymoshenko@lpnu.ua
Шиндер В. К.
ORCІD: 0000-0002-9414-5619, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: valentyn.k.shynder@lpnu.ua
ВИЗНАЧЕННЯ ТА АНАЛІЗ ТЕПЛА ДЖОУЛЯ І ПОНДЕРОМОТОРНОЇ СИЛИ У ПОРОЖНИСТОМУ МІДНОМУ ЦИЛІНДРІ ЗА ДІЇ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ІМПУЛЬСА
Ключові слова: порожнистий електропровідний циліндр, електромагнітний імпульс, осьова компонента вектора напруженості магнітного поля, тепло Джоуля, пондеромоторна сила.
Список використаних джерел:
References:
DETERMINATION AND ANALYSIS OF JOULE HEAT AND PONDEROMOTIVE FORCE IN A HOLLOW COPPER CYLINDER UNDER THE ACTION OF AN ELECTROMAGNETIC IMPULSE
Key words: hollow conductive cylinder, electromagnetic impulse, axial component of the magnetic field intensity vector, Joule heating, ponderomotive force.
Zb_F-M_2.pdf
Нікітін А. В.
ORCІD: 0000-0001-5137-0114, д-р фіз.-мат. наук, професор, Національний університет «Острозька академія», м. Острог, Україна, E-maіl: anatolii.nikitin@oa.edu.ua
Шведюк В. В.
ORCІD: 0009-0002-2906-0958, аспірант, Національний університет «Острозька академія», м. Острог, Україна, E-maіl: volodymyr.v.shvediuk@oa.edu.ua
СТІЙКІСТЬ ДЕТЕРМІНОВАНОЇ ТА УСЕРЕДНЕНОЇ СИСТЕМ РАДІОФІЗИЧНИХ ПРОЦЕСІВ У МІКРОКОНТРОЛЕРНИХ СИСТЕМАХ БПЛА
Ключові слова: БПЛА, стійкість детермінованої системи, власні значення, метод Ляпунова, радіофізичні процеси, мікроконтролер, простір станів.
Список використаних джерел:
References:
STABILITY OF DETERMINISTIC AND AVERAGED SYSTEMS OF RADIOPHYSICAL PROCESSES IN UAV MICROCONTROLLER SYSTEMS
Key words: UAV, stability of deterministic system, eigenvalues, Lyapunov functions, radiophysical processes, microcontroller, state space.
Пархоменко В. Г.
ORCІD: 0009-0008-7309-0875, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: vladyslav.parkhomenko1@nure.ua
аналіз методОМ двобічних наближень стаціонарної реактивно-дифузивної моделі у сферичній гранулі з кінетикою арреніуса
Ключові слова: гетеротонний оператор, інтегральне рівняння Гаммерштейна, метод двобічних наближень, напівлінійне еліптичне рівняння з оператором Лапласа, нелінійна крайова задача, радіально-симетричний додатний розв’язок, реакційно-дифузійна система, ...
Список використаних джерел:
References:
Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of a Stationary Reaction–Diffusion Model in a Spherical Pellet with Arrhenius Kinetics
Key words: Green’s function, Hammerstein integral equation, heterotone operator, method of two-sided approximations, nonlinear boundary value problem, positive radially symmetric solution, reaction–diffusion system, semilinear elliptic equation with t...
Савченко А. В.
ORCІD: 0009-0004-7547-8655, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: anton.savchenko@nure.ua
Застосування методу двобічних наближень до аналізу впливу типів закріплення кінців на статичний прогин балки в моделях мікроелектромеханічних систем
Ключові слова: балка, жорстке закріплення, ізотонний оператор, інваріантний конусний відрізок, консольна балка, крайова задача, крайові умови для балки, математичне моделювання, метод двобічних наближень, мікроелектромеханічна система, прогин, рівнянн...
Список використаних джерел:
References:
APPLICATION OF THE METHOD OF TWO-SIDED APPROXIMATIONS TO THE ANALYSIS OF THE INFLUENCE OF BEAM END CONDITIONS ON THE STATIC DEFLECTION OF A BEAM IN MICROELECTROMECHANICAL SYSTEMS
Key words: beam, clamped support, isotone operator, invariant cone segment, cantilever beam, boundary value problem, beam boundary conditions, mathematical modeling, method of two-sided approximations, microelectromechanical system, deflection, Hammer...
Сеньо П. С.
ORCІD: 0009-0005-7979-2905, д-р фіз.-мат. наук, професор, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів, Україна E-maіl: petro.seno@lnu.edu.ua
Заяць А. Р.
ORCІD: 0009-0004-7793-0238, аспірант, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів, Україна E-maіl: artur.zaiats@lnu.edu.ua
МОДИФІКАЦІЯ БАЗОВОГО ДВОСТОРОННЬОГО МЕТОДУ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
Ключові слова: функціональні інтервали, інтегральні рівняння, двосторонні апроксимації, параболічний паралелограм, математичне моделювання, системний аналіз.
Список використаних джерел:
References:
MODIFICATION OF THE BASIC TWO-SIDED METHOD FOR SOLVING INTEGRAL EQUATIONS
Key words: functional intervals, integral equations, two-sided approximations, parabolic parallelogram, mathematical modelling, system analysis.
Янбеков Р. Я.
ORCІD: 0009-0004-6588-7121, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: ravil.yanbekov@nure.ua
дослідження одновимірних стаціонарних задач термохімії методом двобічних наближень на основі використання функції Гріна
Ключові слова: математичне моделювання, термохімічні процеси, метод двобічних наближень, функція Гріна, перша крайова задача, напівлінійне звичайне диференціальне рівняння.
Список використаних джерел:
References:
Analysis of One-Dimensional Steady-State Thermochemical Problems Using the Method of Two-Sided Approximations with Green’s Function
Key words: mathematical modelling, thermochemical processes, two-sided approximation method, Green’s function, first boundary value problem, semilinear ordinary differential equation.
Відомості про авторів
Алфавітний покажчик авторів
Зміст
end.pdf
Математичне та комп’ютерне моделювання
Серія: Фізико-математичні науки
|
| id | mcm-mathkpnueduua-article-360512 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-09T01:00:17Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | mcm-mathkpnueduua/ce/cd8873b20897a1d27a9644232d35b5ce.pdf |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3605122026-06-08T08:10:39Z Stability of Deterministic and Averaged Systems of Radiophysical Processes in UAV Microcontroller Systems Стійкість детермінованої та усередненої систем радіофізичних процесів у мікроконтролерних системах БПЛА Нікітін, Анатолій Шведюк, Володимир The article presents a theoretical study and mathematical modeling of the stability of complex radiophysical processes occurring in microcontroller control systems of modern UAVs. The relevance of the work is due to the need to ensure stable operation of on-board electronics in conditions of intense electromagnetic interference and non-stationary loads. The object of the study is state vectors, which include the signal amplitude, carrier phase and microcontroller supply voltage level. The scientific novelty of the work lies in the application of the averaging principle to the analysis of evolutionary systems with fast Markov switching. This approach allowed us to move from complex stochastic models to an equivalent deterministic system that operates with parameters averaged over a stationary distribution: damping coefficient, instantaneous frequency and intensity of losses in the power supply circuit. The work uses a set of methods from the theory of stability of linear systems. By analyzing the eigenvalues of the coefficient matrix, the necessary conditions for process stabilization were established. Using the construction of the quadratic Lyapunov function, an original sufficient condition for the asymptotic stability of the averaged system was derived, which takes into account the cross-coupling between the amplitude and energy supply channels. A critical threshold of the intensity of this coupling was established, exceeding which leads to the loss of system stability even with the stability of its individual components. The results obtained have direct practical application in the development of filtering and voltage stabilization algorithms in UAV autopilot systems. The proposed analytical dependencies allow at the design stage to optimize the parameters of hardware filters and software means of protecting the microcontroller from failures caused by fluctuations in the radio signal and engine load. У статті проведено теоретичне дослідження та математичне моделювання стійкості складних радіофізичних процесів, що протікають у мікроконтролерних системах керування сучасних БПЛА. Актуальність роботи зумовлена необхідністю забезпечення стабільної роботи бортової електроніки в умовах інтенсивних електромагнітних завад та нестаціонарних навантажень. Об’єктом дослідження є вектори стану, що включають амплітуду сигналу, фазу несучої та рівень напруги живлення мікроконтролера. Наукова новизна роботи полягає у застосуванні принципу усереднення для аналізу еволюційних систем із швидкими марковськими переключеннями. Такий підхід дозволив перейти від складних стохастичних моделей до еквівалентної детермінованої системи, що оперує усередненими за стаціонарним розподілом параметрами: коефіцієнтом затухання, миттєвою частотою та інтенсивністю втрат у колі живлення. У роботі використано комплекс методів теорії стійкості лінійних систем. Шляхом аналізу власних значень матриці коефіцієнтів встановлено необхідні умови стабілізації процесів. За допомогою побудови квадратичної функції Ляпунова виведено оригінальну достатню умову асимптотичної стійкості усередненої системи, яка враховує перехресний зв’язок між каналами амплітуди та енергозабезпечення. Встановлено критичний поріг інтенсивності цього зв’язку, перевищення якого веде до втрати стійкості системи навіть при стабільності її окремих компонентів. Отримані результати мають безпосереднє практичне застосування при розробці алгоритмів фільтрації та стабілізації напруги в системах автопілотування БПЛА. Запропоновані аналітичні залежності дозволяють на етапі проектування оптимізувати параметри апаратних фільтрів та програмних засобів захисту мікроконтролера від збоїв, спричинених флуктуаціями радіосигналу та навантаження двигунів. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2026-05-29 Article Article Рецензована Стаття application/pdf https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/360512 10.32626/2308-5878.2026-30.105-114 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2026: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 30; 105-114 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2026: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 30; 105-114 2308-5878 10.32626/2308-5878.2026-30 uk https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/360512/349677 Авторське право (c) 2026 Анатолій Нікітін, Володимир Шведюк |
| spellingShingle | Нікітін, Анатолій Шведюк, Володимир Stability of Deterministic and Averaged Systems of Radiophysical Processes in UAV Microcontroller Systems |
| title | Stability of Deterministic and Averaged Systems of Radiophysical Processes in UAV Microcontroller Systems |
| title_alt | Стійкість детермінованої та усередненої систем радіофізичних процесів у мікроконтролерних системах БПЛА |
| title_full | Stability of Deterministic and Averaged Systems of Radiophysical Processes in UAV Microcontroller Systems |
| title_fullStr | Stability of Deterministic and Averaged Systems of Radiophysical Processes in UAV Microcontroller Systems |
| title_full_unstemmed | Stability of Deterministic and Averaged Systems of Radiophysical Processes in UAV Microcontroller Systems |
| title_short | Stability of Deterministic and Averaged Systems of Radiophysical Processes in UAV Microcontroller Systems |
| title_sort | stability of deterministic and averaged systems of radiophysical processes in uav microcontroller systems |
| url | https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/360512 |
| work_keys_str_mv | AT níkítínanatolíj stabilityofdeterministicandaveragedsystemsofradiophysicalprocessesinuavmicrocontrollersystems AT švedûkvolodimir stabilityofdeterministicandaveragedsystemsofradiophysicalprocessesinuavmicrocontrollersystems AT níkítínanatolíj stíjkístʹdetermínovanoítauserednenoísistemradíofízičnihprocesívumíkrokontrolernihsistemahbpla AT švedûkvolodimir stíjkístʹdetermínovanoítauserednenoísistemradíofízičnihprocesívumíkrokontrolernihsistemahbpla |