The Application of Spline Function Method to the Modeling of Linear Boundary Value Problems with Delay
The article introduces a set of algorithms for finding approximate solutions to linear delay boundary value problems, as exact solutions are obtainable only in the most trivial cases. In the scientific literature, methods such as colocation, projection-iteration methods, and numerically-analytical a...
Збережено в:
| Дата: | 2026 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2026
|
| Онлайн доступ: | https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/360573 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1867479056310599680 |
|---|---|
| author | Жолтовський, Олексій Черевко, Ігор |
| author_facet | Жолтовський, Олексій Черевко, Ігор |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Олексій Жолтовський",
"institution": "Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича"
},
{
"author": "Ігор Черевко",
"institution": "Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича"
}
] |
| author_sort | Жолтовський, Олексій |
| baseUrl_str | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-06-08T08:10:39Z |
| description | The article introduces a set of algorithms for finding approximate solutions to linear delay boundary value problems, as exact solutions are obtainable only in the most trivial cases.
In the scientific literature, methods such as colocation, projection-iteration methods, and numerically-analytical algorithms have been proposed for finding approximate solutions to delay boundary value problems; however, these approaches are quite complex to implement. It should also be noted that solutions to delay boundary value problems may exhibit discontinuities in their derivatives, which complicates the application of finite-difference methods.
The spline method has been proven to be an effective approach for finding the approximate solution of delay boundary value problems. The article considers two approaches to applying the method, namely basis cubic splines and an iterative scheme using cubic splines of defect 2.
The first approach is suitable for approximating smooth solutions of delay boundary value problems, while the second accounts for possible derivative discontinuities.
For numerical modeling of linear boundary value problems involving differential-difference equations, an application was developed using C++, Lua, and Vulkan graphics and computing API. Numerical experiments were performed on test model examples, and a comparative analysis was conducted. |
| doi_str_mv | 10.32626/2308-5878.2026-30.63-71 |
| first_indexed | 2026-06-09T01:00:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 63-71.
63
УДК 517.9294
DOІ: 10.32626/2308-5878.2026-30.63-71
Жолтовський О. О.
ORCID: 0009-0009-9245-1725,
аспірант, Чернівецький національний університет
імені Юрія Федьковича, м. Чернівці, Україна,
E-mail: olekszholt@gmail.com
Черевко І. М.
ORCID: 0000-0002-2690-2091,
д-р фіз-мат. наук, професор, Чернівецький національний
університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці, Україна,
E-mail: i.cherevko@chnu.edu.ua
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ СПЛАЙН-ФУНКЦІЙ
ДО МОДЕЛЮВАННЯ ЛІНІЙНИХ
КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ
У даній роботі наведено алгоритми знаходження наближе-
них розв’зків лінійних крайових задач із запізненням, оскільки
знаходження точних розв’язків таких задач можливе тільки в
найпростіших випадках.
У науковій літературі для наближеного розв’язання крайо-
вих задач із запізненням запропоновані методи колокацій, прое-
кційно-ітераційні та чисельно-аналітичні алгоритми, які є доста-
тньо складними для їх реалізації з використанням інформацій-
них технологій. При цьому слід враховувати, що розв’язки кра-
йових задач із запізненням можуть мати розриви похідних, що
ускладнює використання скінченно-різницевих методів.
Застосування методу сплайн-функцій виявилося ефективним
підходом для наближеного знаходження розв’язків крайових за-
дач із запізненням. У роботі розглянуто дві схеми застосування
методу сплайн-функції: використання базисних кубічних сплай-
нів; ітераційна схема за допомогою кубічних сплайнів дефекту 2.
Перша схема адаптована для наближення гладких
розв’язків крайових задач із запізненням, а друга схема дозво-
ляє врахувати можливі розриви похідних розв’язку.
Для числового моделювання крайових задач для лінійних
диференціально-різницевих рівнянь було розроблено прикла-
дний із використанням мов C++, Lua і прикладного інтерфейсу
для супровідних обчислень та графіки Vulkan. Для тестових
4 Стаття надійшла до редакції: 11.05.2026
Рекомендовано до друку: 22.05.2026
Оприлюднено (online): 29.05.2026
Ця стаття розповсюджується на умовах ліцензії CC Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0
© Жолтовський О. О., Черевко І. М., 2026
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 63-71.
64
модельних прикладів здійснено числові експерименти та про-
ведено їх порівняльний аналіз.
Ключові слова: крайова задача, запізнення, метод сплайн-
колокацій, кубічні сплайни, комп’ютерне моделювання.
Вступ. Динамічні моделі математичної біології, хімічної кінети-
ки та інших прикладних наук описуються крайовими задачами із за-
пізненням [1, 2]. При математичному моделюванні таких процесів
важливою є задача розробки ефективних методів побудови їх набли-
жених розв’язків. При застосуванні класичних різницевих схем до
диференціально-різницевих рівнянь із запізненням виникають склад-
ності, обумовлені специфікою таких рівнянь.
На даний час для наближеного розв’язання крайових задач із за-
пізненням широко використовується метод сплайн-апроксимації.
Застосування кубічних сплайнів для різних класів диференціа-
льно-різницевих рівнянь досліджено в [3-5]. Наближене розв’язання
лінійної крайової задачі для інтегро-диференціального рівняння із
запізненням методом B-сплайнів розглянуто в [6].
Метою даної роботи є порівняльний аналіз моделювання ліній-
них крайових задач із запізненням за допомогою кубічних сплайнів
дефекту 2 та кубічних B-сплайнів.
Постановка задачі. Розглянемо крайову задачу для лінійного
диференціального рівняння із запізненням:
1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ), [ , ],y x p x y x q x y x q x y x x f x x a b (1)
*( ) ( ), [ , ], ( ) ( ), ( )y x x x a a y a a y b , (2)
де
1 2
( ), ( ), ( ), ( ), ( ) 0p x q x q x f x x ‒ неперервні функції на [ , ]a b ,
( )x ‒ неперервна функція на
[ , ]
*[ , ], max( ( ))
x a b
a a a x x
, R .
Питання існування та єдиності розв’язків крайових задач для рі-
зних класів диференціально-різницевих рівнянь розглядались в [7-9].
У подальшому будемо допускати, що існує єдиний двічі неперервно
диференційований розв’язок крайової задачі (1)-(2). Будемо розгляда-
ти алгоритми наближеного знаходження цього розв’язку, які є най-
більш прості для реалізації і в той же час застосовні для широкого
класу крайових задач із запізненням.
Обчислювальна схема за допомогою кубічних B-сплайнів.
Будемо шукати наближений розв’язок крайової задачі (1)-(2) у вигля-
ді кубічного B-сплайна [10]:
1
1
( ) ( )
n
i i
i
S x b B x
(3)
на рівномірній сітці:
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 63-71.
65
1 2 1: , , 1, 1, ,n k
b a
x x x x a kh k n h
n
(4)
де
3
3 2
3 2
3
( 2) 2 1,
3 6 4, 1 0,
1
3 6 4, 0 1,
6
(2 ) 1
,
, ( )
,
в ін
2,
0 шому випадку, .
i
i
x x
B B
t t
t t t
t tx t
t t
B
h
У вузлах сітки справджуються співвідношення для сплай-
на (3) [11]:
1 1 1 1
1 1
2
4
( ) , ( ) ,
6 2
2
( ) .
k k k k k
k k
k k k
k
b b b b b
S x S x
h
b b b
S x
h
(5)
Підставляючи тепер сплайн (3) у рівняння (1) і крайові умови (2)
у вузлах сітки дістаємо рівності:
1 1 1 1 1 1
12
1
2
1
2 4
2 6
( ( )) ( ), 0, ,
k k k k k k k k
k k
n
k i i k k k
k
b b b b b b b b
p q
hh
q b B x x f x k n
(6)
1 0 1 1 14 4
( ), .
6 6
n n nb b b b b b
a
(7)
Співвідношення (6), (7) ‒ це система 3n лінійних рівнянь для
знаходження коефіцієнтів , 1, 1kb k n , яку запишемо у вигляді
,Cb f (8)
де C – матриця 1 0 1 1 0 1( 3) ( 3), ( , , , ) , ( , , , )T T
n nn n b b b b f f f f .
Із співвідношень (6), (7) нескладно виписати елементи матриці
C та вектора f:
1, 1 1, 0 1,1 1,
1, , 1 1, 1, 1
2 2
, 1 2
1, 4, 1, 0, 2, 1,
0, 1, 2, 1, 4, 1,
2
2 ( ( )),
3
i
n i n n n n n n
k k k k k k k k
c c c c i n
c i n c c c
c h q t h q B x x
2 2
, 1 1 2
1 1
1 ( ( )), 1,1,
2 6
k k k k k k k l k kc hp h q t h q B x x l (9)
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 63-71.
66
2
2
2 2
1
1
( ( )),
0, , 1,0, , 2, 1, , 1
6 ( ), ( ) (1 ) ( ( )),
0, , 6 ,
kl k k k k
k k k k k
n
c t h q B x x
k n l k k n
f a f h f x t h x x
k n f
де
0, ( ) ,
1, ( ) .
k k
k
k k
x x a
t
x x a
Таким чином, знаходження наближеного розв’язку крайової за-
дачі (1)-(2) у вигляді кубічного B-сплайну (3) зводиться до
розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (8).
Враховуючи те, що сітка є рівномірною, значення сплайну (3)
у довільній точці 0 , 0x jh h , [ , ]a b можна розраху-
вати за допомогою формули:
2
0
1
,
j
k j
k
x x
S b B k j
h h
. (10)
Цей вираз нескладно одержати, враховуючи, що 1,j jx x
,
тому для розрахунку значення ( )S необхідно обчислити чотири
доданки.
Аналогічно також можна отримати формулу для обчислення по-
хідної:
2
1
1 j
k j
k
x
S b B k
h h
.
Теорема. Нехай існує єдиний розв’язок крайової задачі (1)-(2) і
виконується умова:
2 2
1 2
[ , ]
4
max(| ( ) | | ( ) |) 8 ( )
3x a b
q x q x b a h
.
Тоді існує 0h таке, що при 0 h h система (8) має єдиний
розв’зок і справджується співвідношення:
( ) ( ) ( ) 0, 0.S x y x h h
Зауваження. Теорему нескладно довести аналогічно, як в робо-
ті [11].
Обчислювальна схема за допомогою кубічних сплайнів де-
фекту 2. У роботах [12-13] досліджується схема знаходження набли-
женого розв’язку крайової задачі (1)-(2) у вигляді кубічного сплайну
( , )S y x дефекту 2 на сітці , який має аналітичне зображення [12]:
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 63-71.
67
3 3
1 1
1 1
1 1
( ) ( )
( , ) ( )
6 6 6
( ), , ,
6
j j j j
j j j j
j j j
j j
j j j j
j
x x x x y h
S y x M M M x x
h h h
y h
M x x x x x
h
(11)
де
( , 0), 0, , 1, ( , 0), 1, ,j j j jM S y x j n M S y x j n .
Для величин ,j jM M
маємо систему лінійних алгебраїчних рів-
нянь [12]:
1 1 1 1
1
1 1 1 1
0
( )
2 2 ,
6
1, , 1, ( ), .
j j j j j j j
j j
j j j j j j j j
n
h y h h y h y
h h
h M h M h M h M
j n y a y
(12)
Зауваження. Якщо в вузлі jx існує неперервність других похід-
них розв’язку, то j jM M .
Ітераційна схема знаходження наближеного розв’язку крайової
задачі (1)-(2) у вигляді кубічного сплайну дефекту 2 має вигляд [12-
13]:
1. Вибираємо початкове наближення
(0) ( )
, ( ) ( )
a
S y x x a a
b a
,
щоб задовольнити крайові умови (2).
2. Знаходимо
( 1)k
jM
та
( 1)k
jM
для 0,1,k із рівняння (1):
( 1) ( ) ( )
1
( )
2
2
( 1) ( ) ( )
1
( )
2
2
( ) ( , 0) ( ) ( , 0)
( ( ) ( , 0 ( )))
( ) ( ) ( ( ))), 0, , 1,
( ) ( , 0) ( ) ( , 0)
( ( ) ( , 0 ( )))
( ) (
k k k
j j j j j
k
j j j j
j j j j
k k k
j j j j j
k
j j j j
j
M p x S y x q x S y x
t q x S y x x
f x q x x x j n
M p x S y x q x S y x
t q x S y x x
f x q
) ( ( ))), 1, , .j j jx x x j n
(13)
де
0, ( ) ,
1, ( ) .
j j
j
j j
x x a
t
x x a
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 63-71.
68
3. Знаходимо
( 1) , 0,k
j j ny , розв’язуючи систему (11).
4. Підставляючи відповідні елементи множин
( 1){ }k
jy
, { }jM
,
{ }jM
у вираз (11), знаходимо наступне наближення ( 1) ,kS y x
.
5. При достатньо великому k послідовність сплайнів
( ) , , 0, 1,kS y x k наближається до розв’язку задачі (1)-(2).
У роботі [13] встановлено коефіцієнті умови збіжності наведеної
вище ітераційної схеми.
Числові експерименти. Розглянемо крайову задачу із запізнен-
ням:
( ) ( ) 0, [0, ],
2 2
y x y x y x x
(14)
( ) 2, , 0 , 4
2 2
y x x y
. (15)
Точний розв’язок задачі (14)-(15)
( ) 6sin( ) 4cos( ) 2, 0,
2
Тy x x x x
знайдено методом кроків.
Знайдемо наближені значення розв’язку крайової задачі (14)-(15)
згідно наведених схем апроксимації з використанням кубічних B-
сплайнів та сплайнів дефекту 2 за допомогою розробленого приклад-
ного застосунку і порівняємо їх з точним розв’язком для різних кро-
ків сітки .
Результати числових експериментів наведено в таблицях 1-3,
де x ‒ вузол сітки, Тy ‒ точний розв’язок, bS ‒ значення кубічно-
го B-сплайна,
k
dS ‒ значення кубічного сплайну дефекту 2 на k -й
ітерації.
Таблиця 1
Результати числових експериментів, 0.157079h
x
Тy bS 4
dS
6
dS
10
dS
0.000000 2.000000 2.000000 2.000000 2.000000 2.000000
0.314159 3.658328 3.654902 3.650200 3.654613 3.654901
0.628319 4.762779 4.757387 4.749780 4.756920 4.757386
0.942478 5.205243 5.199757 5.192149 5.199289 5.199755
1.256637 4.942407 4.938797 4.934095 4.938508 4.938796
1.570796 4.000000 4.000000 4.000000 4.000000 4.000000
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 63-71.
69
Таблиця 2
Результати числових експериментів, 0.078540h
x
Тy
bS 4
dS
6
dS
10
dS
0.000000 2.000000 2.000000 2.000000 2.000000 2.000000
0.314159 3.658328 3.657469 3.652640 3.657168 3.657468
0.628319 4.762779 4.761427 4.753614 4.760941 4.761426
0.942478 5.205243 5.203867 5.196053 5.203381 5.203866
1.256637 4.942407 4.941502 4.936672 4.941201 4.941501
1.570796 4.000000 4.000000 4.000000 4.000000 4.000000
Таблиця 3
Результати числових експериментів, 0.052360h
x
Тy
bS 4
dS
6
dS
10
dS
0.000000 2.000000 2.000000 2.000000 2.000000 2.000000
0.314159 3.658328 3.657946 3.653093 3.657643 3.657945
0.628319 4.762779 4.762178 4.754326 4.761688 4.762176
0.942478 5.205243 5.204631 5.196778 5.204141 5.204629
1.256637 4.942407 4.942005 4.937151 4.941702 4.942003
1.570796 4.000000 4.000000 4.000000 4.000000 4.000000
Висновки. Застосування методу сплайн апроксимації дозволяє
побудувати ефективні алгоритми наближеного розв’язання крайових
задач із запізненням. Числові експерименти для модельного тестово-
го прикладу показують, що однакова точність наближення кубічними
B-сплайнами та кубічними сплайнами дефекту 2 досягається орієнто-
вно на десятій ітерації. Тому для лінійних крайових задач із запізнен-
нями ефективним є метод B-сплайнів.
Список використаних джерел:
1. Yang Kuang. Delay dierential equations: with applications in population dy-
namics. New York: Academic Press, 1993. 398 p.
2. Forrest-Owen O. Mathematical Modelling and it's Applications in Biology,
Ecology and Population Study. Chester: Master's Thesis, 2016. 124 p.
3. Nikolova T. S., Bainov D. D. Application of spline-functions for the construc-
tion of an approximate solution of boundary value problems for a class of func-
tional-dierential equations. Yokohama Math. J. 1981. Vol. 29 (1). P. 108-122.
4. Cherevko I., Dorosh A. Existence and approximation of a solution of boundary
value problems for delay integro-differential equations. Journal of Numerical
Analysis and Approximation Theory. 2015. Vol. 44. № 2. P. 154-165. DOI:
10.33993/jnaat442-1054.
5. Дорош А. Б., Черевко І. М. Моделювання крайових задач для інтегро-
диференціальних рівнянь нейтрального типу. Буковинський математич-
ний журнал. 2025. Т. 13, № 2. С. 16-23.
6. Черевко И. М., Якимов И. В. Численный метод решения краевых задач
для интегро-дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргумен-
том. Укр. матем. журн. 1989. Т. 41, № 6. С. 854-860.
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 63-71.
70
7. Grim L. J., Schmitt K. Boundary value problems for delay differential equations.
Bulletin of the American Mathematical Society. 1968. Vol. 74, № 5. P. 997-1000.
8. Athanassiadou E. S. On the existence and uniqueness of solutions of boundary
value problems for second order functional differential equations. Mathematica
Moravica. 2013. Vol. 17, № 1. P. 51-57.
9. Dorosh A., Cherevko I. Boundary value problem solution existence for linear
integro-differential equations with many delays. Carpathian Mathematical
Publications. 2018. Vol. 10, № 1. P. 65-70. DOI: 10.15330/cmp.10.1.65-70.
10. Alberg J., Nilson E., Walsh J. The theory of splines and their applications.
New York: Academic Press, 1967. 296 p.
11. Настасій О. Б., Черевко І. М. Розв’язування лінійних крайових задач та інтег-
ро-диференціальних рівнянь методом сплайн-колокації. Науковий вісник Че-
рнівецького університету. Серія: Математика. 2009. Вип. 454. С. 70-74.
12. Настасьєва Н. П., Черевко І. М. Кубічні сплайни дефекту 2 та їх застосу-
вання до крайових задач. Вісник Київського університету. Серія: Фізико-
математичні науки. 1999. Вип. 1. С. 69-73.
13. Дорош А. Б., Черевко І. М. Застосування сплайн-функцій для апроксима-
ції розв’язків лінійних крайових задач із запізненням. Математичне та
комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. 2014.
Вип. 10. С. 80-88.
References:
1. Yang Kuang. Delay dierential equations: with applications in population dy-
namics. New York: Academic Press, 1993. 398 p.
2. Forrest-Owen O. Mathematical Modelling and it's Applications in Biology,
Ecology and Population Study. Chester: Master's Thesis, 2016. 124 p.
3. Nikolova T. S., Bainov D. D. Application of spline-functions for the construc-
tion of an approximate solution of boundary value problems for a class of func-
tional-dierential equations. Yokohama Math. J. 1981. Vol. 29 (1). P. 108-122.
4. Cherevko I., Dorosh A. Existence and approximation of a solution of boundary
value problems for delay integro-differential equations. Journal of Numerical
Analysis and Approximation Theory. 2015. Vol. 44. № 2. P. 154-165. DOI:
10.33993/jnaat442-1054.
5. Dorosh A. B., Cherevko I. M. Modeliuvannia kraiovykh zadach dlia intehro-
dyferentsialnykh rivnian neitralnoho typu. Bukovynskyi matematychnyi zhur-
nal. 2025. T. 13, № 2. Р. 16-23.
6. Cherevko Y. M., Yakymov Y. V. Chyslennyi metod reshenyia kraevykh
zadach dlia yntehro-dyfferentsyalnykh uravnenyi s otkloniaiushchymsia ar-
humen-tom. Ukr. matem. zhurn. 1989. T. 41, № 6. Р. 854-860.
7. Grim L. J., Schmitt K. Boundary value problems for delay differential equations.
Bulletin of the American Mathematical Society. 1968. Vol. 74, № 5. P. 997-1000.
8. Athanassiadou E. S. On the existence and uniqueness of solutions of boundary
value problems for second order functional differential equations. Mathematica
Moravica. 2013. Vol. 17, № 1. P. 51-57.
9. Dorosh A., Cherevko I. Boundary value problem solution existence for linear
integro-differential equations with many delays. Carpathian Mathematical
Publications. 2018. Vol. 10, № 1. P. 65-70. DOI: 10.15330/cmp.10.1.65-70.
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 63-71.
71
10. Alberg J., Nilson E., Walsh J. The theory of splines and their applications.
New York: Academic Press, 1967. 296 p.
11. Nastasii O. B., Cherevko I. M. Rozviazuvannia liniinykh kraiovykh zadach ta
intehro-dyferentsialnykh rivnian metodom splain-kolokatsii. Naukovyi visnyk
Chernivetskoho universytetu. Seriia: Matematyka. 2009. Vyp. 454. S. 70-74.
12. Nastasieva N. P., Cherevko I. M. Kubichni splainy defektu 2 ta yikh
zastosuvannia do kraiovykh zadach. Visnyk Kyivskoho universytetu. Seriia:
Fizyko-matematychni nauky. 1999. Vol. 1. P. 69-73.
13. Dorosh A. B., Cherevko I. M. Zastosuvannia splain-funktsii dlia aproksy-
matsii rozviazkiv liniinykh kraiovykh zadach iz zapiznenniam. Matematychne
ta kompiuterne modeliuvannia. Seriia: Fizyko-matematychni nauky. 2014.
Vol. 10. P. 80-88.
THE APPLICATION OF SPLINE FUNCTION METHOD
TO THE MODELING OF LINEAR BOUNDARY
VALUE PROBLEMS WITH DELAY
The article introduces a set of algorithms for finding approximate solu-
tions to linear delay boundary value problems, as exact solutions are ob-
tainable only in the most trivial cases.
In the scientific literature, methods such as colocation, projection-
iteration methods, and numerically-analytical algorithms have been pro-
posed for finding approximate solutions to delay boundary value problems;
however, these approaches are quite complex to implement. It should also
be noted that solutions to delay boundary value problems may exhibit dis-
continuities in their derivatives, which complicates the application of fi-
nite-difference methods.
The spline method has been proven to be an effective approach for
finding the approximate solution of delay boundary value problems. The
article considers two approaches to applying the method, namely basis cu-
bic splines and an iterative scheme using cubic splines of defect 2.
The first approach is suitable for approximating smooth solutions of
delay boundary value problems, while the second accounts for possible de-
rivative discontinuities.
For numerical modeling of linear boundary value problems involving
differential-difference equations, an application was developed using C++,
Lua, and Vulkan graphics and computing API. Numerical experiments
were performed on test model examples, and a comparative analysis was
conducted.
Key words: boundary value problem, delayed argument, spline collo-
cation method, cubic splines, computer modeling.
Математичне та комп'ютерне моделювання
Серія: Фізико-математичні науки
Редакційна колегія:
Zb_F-M_1.pdf
Гвоздєв М. І.
ORCІD: 0000-0003-4022-9777, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: mykyta.hvozdev@nure.ua
Сидоров М. В.
ORCІD: 0000-0001-8022-866X, д-р фіз.-мат. наук, професор, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: maxim.sidorov@nure.ua
метод двобічних наближень у ЧИСЕЛЬНОМУ аналізі задачі Нав’є, що є математичноЮ моделлю одновимірної мікроелектромеханічної системи
Ключові слова: мікробалка, задача Нав’є, ізотонний опертор, інваріантний конусний відрізок, крайова задача, математичне моделювання, мікроелектромеханічна система, метод двобічних наближень, напівлінійне звичайне диференціальне рівняння четвертого пор...
Список використаних джерел:
References:
The Method of Two-Sided Approximations in the Numerical Analysis of the Navier Problem as a Mathematical Model of a One-Dimensional Microelectromechanical System
Key words: boundary value problem, deflection, fourth-order semilinear ordinary differential equation, Green’s function, Hammerstein equation, invariant cone segment, isotone operator, mathematical modeling, method of two-sided approximations, microbe...
Громик А. П.
ORCID: 0000-0003-3071-9756, канд. техн. наук, Заклад вищої освіти «Подільський державний університет», м. Кам’янець-Подільський, Україна, E-mail: gapon74@gmail.com
Конет І. М.
ORCID: 0000-0002-4241-0548, д-р фіз.-мат. наук, професор, Волинський національний університет імені Лесі Українки, м. Луцьк, Україна, E-mail: konet51@ukr.net
Пилипюк Т. М.
ORCID: 0000-0002-4676-9830, канд. фіз.-мат. наук, Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський, Україна, E-mail: pylypyuk.tetiana@kpnu.edu.ua
ГІПЕРБОЛІЧНІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ В КУСКОВО-ОДНОРІДНОМУ КЛИНОВИДНОМУ ЦИЛІНДРИЧНО-КРУГОВОМУ ШАРІ З ПОРОЖНИНОЮ
Ключові слова: гіперболічне рівняння, початкові та крайові умови, умови спряження, інтегральні перетворення, гібридні інтегральні перетворення, головні розв’язки.
Список використаних джерел:
References:
HYPERBOLIC BOUNDARY VALUE PROBLEMS OF MATHEMATICAL PHYSICS IN A PIECEWISE HOMOGENEOUS WEDGE-SHAPED CYLINDRICAL- CIRCULAR LAYER WITH А CAVITY
Key words: hyperbolic equation, initial and boundary conditions, conjugation conditions, integral transforms, hybrid integral transforms, main solutions.
Гук Н. А.
ORCID: 0000-0001-7937-1039, д-р фіз.-мат. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: huk_n@365.dnu.edu.ua
Сіліч-Балгабаєва В. Б.
ORCID: 0000-0002-9490-3600, канд. техн. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: v_silichbalgabaeva@365.dnu.edu.ua
Степанова Н. І.
ORCID: 0000-0002-9490-3600, канд. фіз.-мат. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: stepanova_n@365.dnu.edu.ua
DATA-DRIVEN ПІДХІД ДО ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ БІФУРКАЦІЇ ТОНКОСТІННИХ СИСТЕМ НА ОСНОВІ НЕЙРОННИХ МЕРЕЖ
Ключові слова: тонкостінні системи, біфуркація, втрата стійкості, обернені задачі, нейронні мережі, data-driven підхід, динамічні системи, прогнозування, нелінійна динаміка, ідентифікація параметрів, інформаційні технології.
Список використаних джерел:
References:
DATA-DRIVEN APPROACH TO INVERSE BIFURCATION PROBLEMS OF THIN-WALLED SYSTEMS BASED ON NEURAL NETWORKS
Key words: thin-walled systems, bifurcation, loss of stability, inverse problems, neural networks, data-driven approach, dynamic systems, prediction, nonlinear dynamics, parameter identification, information technologies.
Жолтовський О. О.
ORCID: 0009-0009-9245-1725, аспірант, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці, Україна, E-mail: olekszholt@gmail.com
Черевко І. М.
ORCID: 0000-0002-2690-2091, д-р фіз-мат. наук, професор, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці, Україна, E-mail: i.cherevko@chnu.edu.ua
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ СПЛАЙН-ФУНКЦІЙ ДО МОДЕЛЮВАННЯ ЛІНІЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ
Ключові слова: крайова задача, запізнення, метод сплайн-колокацій, кубічні сплайни, комп’ютерне моделювання.
Список використаних джерел:
References:
THE APPLICATION OF SPLINE FUNCTION METHOD TO THE MODELING OF LINEAR BOUNDARY VALUE PROBLEMS WITH DELAY
Key words: boundary value problem, delayed argument, spline collocation method, cubic splines, computer modeling.
Zelenskiy O. V.
ORCІD: 0000-0002-4969-0132, Cand. of Phys. and Math. Sciences, Kamianets-Podilskyi Ivan Ohiienko National University, Kamianets-Podilskyi, Ukraine, E-maіl: esteticcode@gmail.com
ULTRA EXPONENT MATRICES
Key words: exponent matrix, reduced exponent matrix, admissible quiver, ultra exponent matrix, rigid quiver, weight function, mathematical modelling.
References:
УЛЬТРА МАТРИЦІ ПОКАЗНИКІВ
Ключові слова: матриця показників, зведена матриця показників, допустимий сагайдак, ультра матриця показників, жорсткий сагайдак, вагова функція, математичне моделювання.
Мусій Р. С.
ORCІD: 0000-0002-7169-2206, д-р фіз.-мат. наук, професор, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: musiy@lp.edu.ua
Кунинець А. В.
ORCІD: 0000-0003-2481-3236, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: andrii.v.kunynets@lpnu.ua
Свідрак І. Г.
ORCІD: 0000-0003-1811-2011, канд. техн. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: inha.h.svidrak@lpnu.ua
Тимошенко Н. М.
ORCІD: 0000-0002-5595-6531, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: nadiia.m.tymoshenko@lpnu.ua
Шиндер В. К.
ORCІD: 0000-0002-9414-5619, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: valentyn.k.shynder@lpnu.ua
ВИЗНАЧЕННЯ ТА АНАЛІЗ ТЕПЛА ДЖОУЛЯ І ПОНДЕРОМОТОРНОЇ СИЛИ У ПОРОЖНИСТОМУ МІДНОМУ ЦИЛІНДРІ ЗА ДІЇ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ІМПУЛЬСА
Ключові слова: порожнистий електропровідний циліндр, електромагнітний імпульс, осьова компонента вектора напруженості магнітного поля, тепло Джоуля, пондеромоторна сила.
Список використаних джерел:
References:
DETERMINATION AND ANALYSIS OF JOULE HEAT AND PONDEROMOTIVE FORCE IN A HOLLOW COPPER CYLINDER UNDER THE ACTION OF AN ELECTROMAGNETIC IMPULSE
Key words: hollow conductive cylinder, electromagnetic impulse, axial component of the magnetic field intensity vector, Joule heating, ponderomotive force.
Zb_F-M_2.pdf
Нікітін А. В.
ORCІD: 0000-0001-5137-0114, д-р фіз.-мат. наук, професор, Національний університет «Острозька академія», м. Острог, Україна, E-maіl: anatolii.nikitin@oa.edu.ua
Шведюк В. В.
ORCІD: 0009-0002-2906-0958, аспірант, Національний університет «Острозька академія», м. Острог, Україна, E-maіl: volodymyr.v.shvediuk@oa.edu.ua
СТІЙКІСТЬ ДЕТЕРМІНОВАНОЇ ТА УСЕРЕДНЕНОЇ СИСТЕМ РАДІОФІЗИЧНИХ ПРОЦЕСІВ У МІКРОКОНТРОЛЕРНИХ СИСТЕМАХ БПЛА
Ключові слова: БПЛА, стійкість детермінованої системи, власні значення, метод Ляпунова, радіофізичні процеси, мікроконтролер, простір станів.
Список використаних джерел:
References:
STABILITY OF DETERMINISTIC AND AVERAGED SYSTEMS OF RADIOPHYSICAL PROCESSES IN UAV MICROCONTROLLER SYSTEMS
Key words: UAV, stability of deterministic system, eigenvalues, Lyapunov functions, radiophysical processes, microcontroller, state space.
Пархоменко В. Г.
ORCІD: 0009-0008-7309-0875, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: vladyslav.parkhomenko1@nure.ua
аналіз методОМ двобічних наближень стаціонарної реактивно-дифузивної моделі у сферичній гранулі з кінетикою арреніуса
Ключові слова: гетеротонний оператор, інтегральне рівняння Гаммерштейна, метод двобічних наближень, напівлінійне еліптичне рівняння з оператором Лапласа, нелінійна крайова задача, радіально-симетричний додатний розв’язок, реакційно-дифузійна система, ...
Список використаних джерел:
References:
Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of a Stationary Reaction–Diffusion Model in a Spherical Pellet with Arrhenius Kinetics
Key words: Green’s function, Hammerstein integral equation, heterotone operator, method of two-sided approximations, nonlinear boundary value problem, positive radially symmetric solution, reaction–diffusion system, semilinear elliptic equation with t...
Савченко А. В.
ORCІD: 0009-0004-7547-8655, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: anton.savchenko@nure.ua
Застосування методу двобічних наближень до аналізу впливу типів закріплення кінців на статичний прогин балки в моделях мікроелектромеханічних систем
Ключові слова: балка, жорстке закріплення, ізотонний оператор, інваріантний конусний відрізок, консольна балка, крайова задача, крайові умови для балки, математичне моделювання, метод двобічних наближень, мікроелектромеханічна система, прогин, рівнянн...
Список використаних джерел:
References:
APPLICATION OF THE METHOD OF TWO-SIDED APPROXIMATIONS TO THE ANALYSIS OF THE INFLUENCE OF BEAM END CONDITIONS ON THE STATIC DEFLECTION OF A BEAM IN MICROELECTROMECHANICAL SYSTEMS
Key words: beam, clamped support, isotone operator, invariant cone segment, cantilever beam, boundary value problem, beam boundary conditions, mathematical modeling, method of two-sided approximations, microelectromechanical system, deflection, Hammer...
Сеньо П. С.
ORCІD: 0009-0005-7979-2905, д-р фіз.-мат. наук, професор, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів, Україна E-maіl: petro.seno@lnu.edu.ua
Заяць А. Р.
ORCІD: 0009-0004-7793-0238, аспірант, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів, Україна E-maіl: artur.zaiats@lnu.edu.ua
МОДИФІКАЦІЯ БАЗОВОГО ДВОСТОРОННЬОГО МЕТОДУ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
Ключові слова: функціональні інтервали, інтегральні рівняння, двосторонні апроксимації, параболічний паралелограм, математичне моделювання, системний аналіз.
Список використаних джерел:
References:
MODIFICATION OF THE BASIC TWO-SIDED METHOD FOR SOLVING INTEGRAL EQUATIONS
Key words: functional intervals, integral equations, two-sided approximations, parabolic parallelogram, mathematical modelling, system analysis.
Янбеков Р. Я.
ORCІD: 0009-0004-6588-7121, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: ravil.yanbekov@nure.ua
дослідження одновимірних стаціонарних задач термохімії методом двобічних наближень на основі використання функції Гріна
Ключові слова: математичне моделювання, термохімічні процеси, метод двобічних наближень, функція Гріна, перша крайова задача, напівлінійне звичайне диференціальне рівняння.
Список використаних джерел:
References:
Analysis of One-Dimensional Steady-State Thermochemical Problems Using the Method of Two-Sided Approximations with Green’s Function
Key words: mathematical modelling, thermochemical processes, two-sided approximation method, Green’s function, first boundary value problem, semilinear ordinary differential equation.
Відомості про авторів
Алфавітний покажчик авторів
Зміст
end.pdf
Математичне та комп’ютерне моделювання
Серія: Фізико-математичні науки
|
| id | mcm-mathkpnueduua-article-360573 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-09T01:00:12Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | mcm-mathkpnueduua/74/3a51aade959b6804aea7ed74cb343774.pdf |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3605732026-06-08T08:10:39Z The Application of Spline Function Method to the Modeling of Linear Boundary Value Problems with Delay Застосування методу сплайн-функцій до моделювання лінійних крайових задач із запізненням Жолтовський, Олексій Черевко, Ігор The article introduces a set of algorithms for finding approximate solutions to linear delay boundary value problems, as exact solutions are obtainable only in the most trivial cases. In the scientific literature, methods such as colocation, projection-iteration methods, and numerically-analytical algorithms have been proposed for finding approximate solutions to delay boundary value problems; however, these approaches are quite complex to implement. It should also be noted that solutions to delay boundary value problems may exhibit discontinuities in their derivatives, which complicates the application of finite-difference methods. The spline method has been proven to be an effective approach for finding the approximate solution of delay boundary value problems. The article considers two approaches to applying the method, namely basis cubic splines and an iterative scheme using cubic splines of defect 2. The first approach is suitable for approximating smooth solutions of delay boundary value problems, while the second accounts for possible derivative discontinuities. For numerical modeling of linear boundary value problems involving differential-difference equations, an application was developed using C++, Lua, and Vulkan graphics and computing API. Numerical experiments were performed on test model examples, and a comparative analysis was conducted. У даній роботі наведено алгоритми знаходження наближених розв’зків лінійних крайових задач із запізненням, оскільки знаходження точних розв’язків таких задач можливе тільки в найпростіших випадках. У науковій літературі для наближеного розв’язання крайових задач із запізненням запропоновані методи колокацій, проекційно-ітераційні та чисельно-аналітичні алгоритми, які є достатньо складними для їх реалізації з використанням інформаційних технологій. При цьому слід враховувати, що розв’язки крайових задач із запізненням можуть мати розриви похідних, що ускладнює використання скінченно-різницевих методів. Застосування методу сплайн-функцій виявилося ефективним підходом для наближеного знаходження розв’язків крайових задач із запізненням. У роботі розглянуто дві схеми застосування методу сплайн-функції: використання базисних кубічних сплайнів; ітераційна схема за допомогою кубічних сплайнів дефекту 2. Перша схема адаптована для наближення гладких розв’язків крайових задач із запізненням, а друга схема дозволяє врахувати можливі розриви похідних розв’язку. Для числового моделювання крайових задач для лінійних диференціально-різницевих рівнянь було розроблено прикладний із використанням мов C++, Lua і прикладного інтерфейсу для супровідних обчислень та графіки Vulkan. Для тестових модельних прикладів здійснено числові експерименти та проведено їх порівняльний аналіз. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2026-05-29 Article Article Рецензована Стаття application/pdf https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/360573 10.32626/2308-5878.2026-30.63-71 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2026: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 30; 63-71 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2026: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 30; 63-71 2308-5878 10.32626/2308-5878.2026-30 uk https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/360573/349670 Авторське право (c) 2026 Олексій Жолтовський, Ігор Черевко |
| spellingShingle | Жолтовський, Олексій Черевко, Ігор The Application of Spline Function Method to the Modeling of Linear Boundary Value Problems with Delay |
| title | The Application of Spline Function Method to the Modeling of Linear Boundary Value Problems with Delay |
| title_alt | Застосування методу сплайн-функцій до моделювання лінійних крайових задач із запізненням |
| title_full | The Application of Spline Function Method to the Modeling of Linear Boundary Value Problems with Delay |
| title_fullStr | The Application of Spline Function Method to the Modeling of Linear Boundary Value Problems with Delay |
| title_full_unstemmed | The Application of Spline Function Method to the Modeling of Linear Boundary Value Problems with Delay |
| title_short | The Application of Spline Function Method to the Modeling of Linear Boundary Value Problems with Delay |
| title_sort | application of spline function method to the modeling of linear boundary value problems with delay |
| url | https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/360573 |
| work_keys_str_mv | AT žoltovsʹkijoleksíj theapplicationofsplinefunctionmethodtothemodelingoflinearboundaryvalueproblemswithdelay AT čerevkoígor theapplicationofsplinefunctionmethodtothemodelingoflinearboundaryvalueproblemswithdelay AT žoltovsʹkijoleksíj zastosuvannâmetodusplajnfunkcíjdomodelûvannâlíníjnihkrajovihzadačízzapíznennâm AT čerevkoígor zastosuvannâmetodusplajnfunkcíjdomodelûvannâlíníjnihkrajovihzadačízzapíznennâm AT žoltovsʹkijoleksíj applicationofsplinefunctionmethodtothemodelingoflinearboundaryvalueproblemswithdelay AT čerevkoígor applicationofsplinefunctionmethodtothemodelingoflinearboundaryvalueproblemswithdelay |