Application of the Method of Two-Sided Approximations to the Analysis of the Influence of Beam End Conditions on the Static Deflection of a Beam in Microelectromechanical Systems
The article investigates the boundary value problem for a semilinear fourth-order differential equation that describes the static deflection of a beam in microelectromechanical systems (MEMS). Unlike previous studies, in which only the classical conditions of clamped ends and simple support were con...
Gespeichert in:
| Datum: | 2026 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2026
|
| Online Zugang: | https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/361173 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1867479056413360128 |
|---|---|
| author | Савченко, Антон |
| author_facet | Савченко, Антон |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Антон Савченко",
"institution": "Харківський національний університет радіоелектроніки"
}
] |
| author_sort | Савченко, Антон |
| baseUrl_str | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-06-08T08:10:39Z |
| description | The article investigates the boundary value problem for a semilinear fourth-order differential equation that describes the static deflection of a beam in microelectromechanical systems (MEMS). Unlike previous studies, in which only the classical conditions of clamped ends and simple support were considered, six types of boundary conditions are investigated in this paper: clamped-clamped, simply supported (pinned-pinned), clamped-free (cantilever), clamped-sliding (clamped-guided), clamped-pinned, and pinned-sliding (pinned-guided) end conditions of the beam. The considered configurations cover the main design schemes of modern MEMS devices – from microswitches and resonators to atomic force microscopy probes, micromirrors, and piezoelectric energy harvesters.
To investigate this problem, the method of two-sided approximations in a semi-ordered Banach space of continuous functions is applied. The original boundary value problem is reduced to a nonlinear Hammerstein integral equation with an isotone operator, the kernel of which is the corresponding Green’s function. For each of the six types of beam end conditions, the Green’s function is constructed, and the maximum dimensionless deflection of the beam under a unit uniformly distributed load is calculated. Based on the isotone property of the integral operator, an invariant cone segment is constructed, and a theorem on the existence and uniqueness of a positive solution to the boundary value problem is formulated, to which the iterative process converges in a two-sided manner.
A computational experiment is conducted using the parameter values of a real MEMS actuator. For each type of end condition, the largest value of the applied voltage at which the sufficient conditions for the convergence of the method are satisfied is calculated, and approximate solutions are constructed. An ordering of the six types of beam end conditions with respect to this voltage value is established, which provides a quantitative basis for selecting the optimal type of beam end condition when designing MEMS devices with different operating characteristics.
The novelty of the work lies in developing the method of two-sided approximations for application to boundary value problems with a set of six physically significant types of boundary conditions. This makes it possible to obtain, for each configuration, verified approximations of the deflection with a priori two-sided estimates within the constructively established safe operating range of the applied voltage. The obtained results can be directly applied in the design of microswitches, microresonators, sensors, micromirrors, and piezoelectric microactuators. The developed scheme of the method can be extended to generalizations of the model – variable dielectric permittivity, partial electrostatic loading, nonlinearities of other types, as well as (in combination with the Rothe method) to the non-stationary case. |
| doi_str_mv | 10.32626/2308-5878.2026-30.127-147 |
| first_indexed | 2026-06-09T01:00:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 127-147.
127
УДК 517.927.4:517.988.83
DOІ: 10.32626/2308-5878.2026-30.127-147
Савченко А. В.
ORCІD: 0009-0004-7547-8655,
Харківський національний університет
радіоелектроніки, м. Харків, Україна,
E-maіl: anton.savchenko@nure.ua
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ ДВОБІЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ
ДО АНАЛІЗУ ВПЛИВУ ТИПІВ ЗАКРІПЛЕННЯ КІНЦІВ
НА СТАТИЧНИЙ ПРОГИН БАЛКИ В МОДЕЛЯХ
МІКРОЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНИХ СИСТЕМ
У статті досліджено крайову задачу для напівлінійного ди-
ференціального рівняння четвертого порядку, що описує стати-
чний прогин балки в мікроелектромеханічних системах
(МЕМС). На відміну від попередніх досліджень, де розглядали-
ся лише класичні умови жорсткого закріплення та шарнірного
обпирання, у роботі досліджено шість типів крайових умов:
обидва кінці балки жорстко закріплені, обидва кінці балки шар-
нірно обперті, лівий кінець балки жорстко закріплений, а пра-
вий – вільний, лівий кінець балки жорстко закріплений, а пра-
вий – «ковзає», лівий кінець балки жорстко закріплений, а пра-
вий – шарнірно опертий, лівий кінець балки шарнірно опертий,
правий – «ковзає». Розглянуті конфігурації охоплюють основні
конструктивні схеми сучасних МЕМС-пристроїв – від мікропе-
ремикачів і резонаторів до зондів атомно-силових мікроскопів,
мікродзеркал та п’єзоелектричних збирачів енергії.
Для дослідження зазначених задач застосовано метод двобі-
чних наближень, побудований у напівупорядкованому банахо-
вому просторі неперервних функцій. Вихідну крайову задачу
зведено до нелінійного інтегрального рівняння Гаммерштейна з
ізотонним оператором, ядром якого є відповідна функція Гріна.
Для кожного з шести типів закріплення кінців балки побудовано
функцію Гріна та обчислено максимальний безрозмірний про-
гин балки під дією одиничного рівномірно розподіленого наван-
таження. На основі ізотонності інтегрального оператора побу-
довано інваріантний конусний відрізок та сформульовано тео-
рему про існування й єдиність додатного розв’язку крайової за-
дачі, до якого двобічно збігається ітераційний процес.
3 Стаття надійшла до редакції: 15.05.2026
Рекомендовано до друку: 20.05.2026
Оприлюднено (online): 29.05.2026
Ця стаття розповсюджується на умовах ліцензії CC Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0
© Савченко А. В., 2026
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 127-147.
128
Проведено обчислювальний експеримент при значеннях
параметрів реального МЕМС-актюатора. Для кожного типу
закріплення обчислено найбільше значення прикладеної на-
пруги, при якому виконуються достатні умови збіжності мето-
ду, побудовано наближені розв’язки. Встановлено впорядку-
вання шести типів закріплення кінців балки за величиною, що
дає кількісну основу для вибору оптимального типу закріп-
лення кінців балки при проєктуванні МЕМС-пристроїв з різ-
ними робочими характеристиками.
Новизна роботи полягає в розвитку методу двобічних на-
ближень в частині його застосування до крайових задач з набо-
ром шести фізично значущих типів крайових умов. Це дозволяє
для кожної конфігурації отримати верифіковані наближення
прогину з апріорними двосторонніми оцінками в межах конс-
труктивно встановленого безпечного робочого діапазону прик-
ладеної напруги. Отримані результати можуть бути безпосеред-
ньо застосовні при проєктуванні мікроперемикачів, мікрорезо-
наторів, сенсорів, мікродзеркал та п’єзоелектричних мікроак-
тюаторів. Розроблена схема методу може бути поширена на уза-
гальнення моделі – змінну діелектричну проникність, часткове
електростатичне навантаження, нелінійності іншого вигляду, а
також (у комбінації з методом Роте) на нестаціонарний випадок.
Ключові слова: балка, жорстке закріплення, ізотонний
оператор, інваріантний конусний відрізок, консольна балка,
крайова задача, крайові умови для балки, математичне моде-
лювання, метод двобічних наближень, мікроелектромеханічна
система, прогин, рівняння Гаммерштейна, функція Гріна, чи-
сельні методи, шарнірно оперта балка.
Вступ. Мікроелектромеханічні системи (МЕМС) є класом при-
строїв, які поєднують механічні та електронні структури на одному
мікрочипі для збору, обробки даних та виконання фізичних дій. За
останні десятиліття технологія МЕМС здійснила революцію в спожи-
вчій електроніці, автомобільній промисловості, медицині та аерокос-
мічній галузі – від перших акселерометрів для систем подушок без-
пеки до складних мікродзеркальних матриць для проєкційних систем.
Еволюція цих пристроїв нерозривно пов’язана з вдосконаленням ма-
тематичних моделей, що описують їх поведінку.
Ключовим конструктивним елементом значної частини МЕМС є
балка – пружний елемент, підвішений над нерухомим електродом [1,
2]. При прикладанні різниці потенціалів між балкою та електродом
виникає електростатична сила притягання (сила Кулона), яка дефор-
мує балку, зменшуючи зазор між електродами, що, у свою чергу, збі-
льшує ємність системи та саму силу. Математичною моделлю даного
процесу є звичайне напівлінійне диференціальне рівняння четвертого
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 127-147.
129
порядку з нелінійністю типу
2(1 )u
, де u – безрозмірний прогин
балки, – параметр, пропорційний квадрату прикладеної напруги.
Конкретний вид крайових умов, що доповнюють вказане рівняння,
визначається способом закріплення кінців балки і безпосередньо відо-
бражає конструктивну схему МЕМС-пристрою. У роботі пропонується
розглянути шість фізично значущих типів закріплення кінців балки.
Двостороннє жорстке закріплення є поширеною конструктивною
схемою у МЕМС-комутаторах і резонаторах [2, 3]. Шарнірне обпирання
обох кінців виникає при моделюванні термопружних V-подібних актюа-
торів [4], п’єзотермопружних резонаторів [5, 6] та систем двох пружно
з’єднаних мікробалок [7]. Консольна балка (один кінець жорстко закріп-
лений, інший – вільний) є одним з найпоширеніших типів закріплення у
МЕМС-пристроях: вона використовується як резонансні датчики ма-
си [8], зонди атомно-силових мікроскопів [9], а також як електростатичні
мікроактюатори у мікроперемикачах та мікропомпах [10]. Жорстко-
ковзне закріплення (один кінець жорстко закріплений, інший – «ковзає»)
реалізується у п’єзоелектричних збирачах енергії [11, 12] та пристроях з
пасивним підлаштуванням резонансної частоти до частоти зовнішніх
вібрацій [13]. Жорстко-шарнірне закріплення реалізується у бістабільних
МЕМС-механізмах на основі попередньо стиснених балок [14, 15] та
МЕМС-мікродзеркалах [16]. Останній тип – шарнірно-ковзне закріплен-
ня – не є самостійною конструктивною схемою у МЕМС, однак має тео-
ретичне значення при аналізі резонансних характеристик мікробалок під
дією залишкових напружень або температурних змін [17].
Наявність нелінійності у математичній моделі унеможливлює
безпосереднє застосування аналітичних методів до розв’язання від-
повідної крайової задачі, а тому виникає потреба у розробці чисель-
них методів. Для дослідження математичних моделей МЕМС засто-
совуються метод скінченних елементів [18], метод скінченних різ-
ниць [19], метод Гальоркіна [20], метод декомпозиції Адомяна [21]
тощо. Спільним недоліком вказаних методів є відсутність зручних
для практичного використання оцінок похибки наближеного
розв’язку. Крім того, ці методи зазвичай не дають змоги встановити
умови існування розв’язку вихідної задачі.
Альтернативним підходом, позбавленим цих недоліків, є ітера-
ційні методи з двобічним характером збіжності, а саме метод двобіч-
них наближень, побудований на основі використання відповідних
функцій Гріна. Теоретичним підґрунтям методу є теорія нелінійних
операторів у напівупорядкованих банахових просторах [22, 23]. До
переваг методів цього класу можна віднести те, що на кожному кроці
будуються наближення, які зверху та знизу обмежують точний
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 127-147.
130
розв’язок задачі, що робить отримані наближення математично вери-
фікованими. Двобічні ітераційні методи в аналізі МЕМС використо-
вувалися, зокрема, у роботах [24, 25], проте в них як математична
модель розглядалася крайова задача для напівлінійного еліптичного
рівняння другого порядку (модель мембрани). У [26] метод двобічних
наближень було застосовано до моделі балки з механічним натягом
(присутнім у диференціальному рівнянні через додатковий доданок,
пропорційний другій похідній функції прогину) для двох класичних
типів закріплення кінців. У даній роботі розглядається випадок без
натягу для шести типів закріплення кінців балки.
Отже, актуальною науковою задачею є розвиток методу двобіч-
них наближень в частині його застосування до розв’язання крайових
задач для напівлінійного диференціального рівняння четвертого по-
рядку, що моделює статичний прогин балки в МЕМС, для набору з
шести фізично значущих типів крайових умов.
Постановка задачі. Розглянемо мікроелектромеханічну систему,
яка складається з балки довжиною L , шириною b та товщиною h . Бал-
ка є рухомим електродом електростатичного актюатора: нерухомий зазе-
млений електрод розміщено паралельно до балки на відстані 0g . Коли
між електродами прикладається напруга V , балка прогинається в напря-
мку нерухомого електрода. Позначимо через ˆ ˆ( )u x прогин у точці
ˆ [0, ]x L вздовж осі балки. Для опису деформації балки використовуємо
класичну теорію Ейлера-Бернуллі, яка широко застосовується при мате-
матичному моделюванні електростатичних актюаторів, основним елеме-
нтом яких є балка [2, 3, 27]. Тоді прогин балки описується рівнянням:
4
4
ˆ)
ˆ
(
ˆ
el
d
E q
dx
u
I x , ˆ (0, )x L ,
де ˆ ˆ( )u x – функція, що є величиною прогину балки, x̂ – просторова
координата вздовж балки, E – модуль Юнга, I – момент інерції,
ˆ( )elq x – розподілена електростатична сила на одиницю довжини.
Розподілена електростатична сила elq дорівнює [28]:
2
0
2
0
ˆ( )
ˆ ˆ2( ( ))
el
bV
q x
g u x
,
де V – прикладена напруга, 0 – електрична стала.
Тоді рівняння, що описує прогин балки під дією електростатич-
ної сили можемо записати у вигляді
24
0
4 2
0ˆ ˆ ˆ2( ( ))
ˆ bVd
EI
dx u
u
g x
, ˆ (0, )x L .
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 127-147.
131
Перейдемо до безрозмірних величин. Позначимо
x̂
x
L
,
0
ˆ ˆ( )
( )
u x
u x
g
.
Тоді отримуємо напівлінійне рівняння
4
4 2(1 ( ))
d u
dx u x
, (0, 1)x , (1)
де
2 4
0
3 3
0
6 V L
Eh g
– коефіцієнт, що пропорційний квадрату прикладе-
ної напруги.
Враховуючи особливості проєктування МЕМС, рівняння (1), що
моделює прогин балки, доповнюють крайовими умовами, які опису-
ють спосіб закріплення кінців балки [2-4]. Розглянемо деякі з них.
1. Кінці балки жорстко закріплені (рис. 1), а отже, маємо в точ-
ках кріплення нульовий прогин і нульовий кут повороту перерізу –
балка не може зазнавати у точках кріплення ні прогину, ні нахилу.
Таким чином, крайові умови мають вигляд:
(0) (0) 0u u , (1) (1) 0u u . (2)
Рис. 1. Кінці балки жорстко закріплені
Такий тип є поширеним серед пристроїв МЕМС та використову-
ється, наприклад, у комутаторах, резонаторах тощо [29-31].
2. Кінці балки шарнірно оперті (рис. 2), що означає нульовий
прогин на обох кінцях, однак у точці закріплення балка може вільно
обертатись. З фізичної точки зору відсутність защемлення означає,
що згинальний момент на кінцях дорівнює нулю, тобто крайові умо-
ви матимуть вигляд:
(0) (0) 0u u , (1) (1) 0u u . (3)
Наведений тип закріплення кінців балки виникає, зокрема, при
моделювання термопружних V-подібних балочних актюаторів [2, 4],
п’єзотермопружних резонаторів [5, 6] та термопружних мікрорезона-
торів [32, 33], систем двох пружно з’єднаних мікробалок [7] тощо.
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 127-147.
132
Рис. 2. Кінці балки шарнірно оперті
3. Лівий кінець балки жорстко закріплений, а правий – вільний.
Це є так звана консольна балка (рис. 3). У цьому випадку на вільному
кінці відсутній згинальний момент і поперечна сила, що приводить
до крайових умов вигляду:
(0) (0) 0u u , (1) (1) 0u u . (4)
Рис. 3. Лівий кінець балки жорстко закріплений, а правий – вільний
Такий тип закріплення є одним з найпоширеніших у МЕМС-
пристроях. Зокрема, консольні балки використовуються як резонанс-
ні датчики маси [8], як зонди атомно-силових мікроскопів [9], а також
як електростатичні мікроактюатори у мікроперемикачах та мікро-
помпах [10].
4. Лівий кінець жорстко закріплений, а правий – «ковзає»
(рис. 4). На ковзному кінці балка може вільно переміщуватись у по-
перечному напрямку, однак відсутнє обертання. З фізичної точки зо-
ру це означає нульовий кут повороту та нульову поперечну силу на
цьому кінці, тоді як прогин і згинальний момент можуть бути відмін-
ними від нуля. У такому випадку крайові умови мають вигляд:
(0) (0) 0u u , (1) (1) 0u u . (5)
Розглядуваний тип закріплення кінців балки реалізується у
п’єзоелектричних збирачах енергії, де він забезпечує менше перемі-
щення сейсмічної маси та вищу надійність порівняно з консольними
конструкціями [11], у багатопроменевих збирачах енергії для автоно-
много живлення бездротових сенсорних вузлів [12], а також у прист-
роях з пасивним підлаштуванням резонансної частоти до частоти зо-
внішніх вібрацій [13].
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 127-147.
133
Рис. 4. Лівий кінець балки жорстко закріплений, а правий – «ковзає»
5. Лівий кінець жорстко закріплений, а правий – шарнірно опер-
тий (рис. 5). Тоді (з огляду на викладене вище) крайові умови мати-
муть вигляд:
(0) (0) 0u u , (1) (1) 0u u . (6)
Рис. 5. Лівий кінець балки жорстко закріплений,
а правий – шарнірно опертий
Розглядуваний тип закріплення кінців балки реалізується у бі-
стабільних МЕМС-механізмах на основі попередньо стиснених ба-
лок [14]. Бістабільні мікроактюатори такого типу використовуються
як мікроперемикачі, оптичні перемикачі, елементи пам’яті та збирачі
енергії [15], а у МЕМС-мікродзеркалах для оптичної когерентної то-
мографії розглядувана конфігурація застосовується для моделювання
електротермального актюатора, де один кінець закріплений на підк-
ладці, а інший шарнірно з’єднаний із рухомою платформою [16].
6. Лівий кінець шарнірно закріплений, а правий – «ковзає»
(рис. 6). Тоді ми приходимо до крайових умов вигляду:
(0) (0) 0u u , (1) (1) 0u u . (7)
Такий тип закріплення кінців балки не є широко поширеною са-
мостійною конструктивною схемою в МЕМС, однак має теоретичне
значення – зокрема, при аналізі резонансних характеристик мікроба-
лок під дією залишкових напружень або температурних змін [17].
Рис. 6. Лівий кінець балки шарнірно опертий, а правий – «ковзає»
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 127-147.
134
Метод розв’язання. До розв’язання задачі (1) з одним із наборів
крайових умов (2)-(7) застосуємо метод двобічних наближень на ос-
нові використання функції Гріна.
1. Функція Гріна для крайової задачі (1), (2) у випадку жорстко-
го закріплення кінців балки матиме вигляд:
3 2 2 3 2 3
3 2 2 3 2 3
1 1 1 1 1
, 0 ,
2 2 3 2 6
( , )
1 1 1 1 1
, 1.
2 2 3 2 6
s s s x s s x x s
G x s
x x x s x x s s x
(8)
2. Функція Гріна для крайової задачі (1), (3) у випадку шарнір-
ного обпирання закріплення кінців балки матиме вигляд:
3 2 3
3 2 3
1 1 1 1 1
, 0 ,
6 2 3 6 6
( , )
1 1 1 1 1
, 1.
6 2 3 6 6
s s s x s x x s
G x s
x x x s x s s x
(9)
3. Функція Гріна для крайової задачі (1), (4) у випадку консоль-
ної балки матиме вигляд:
2 3
2 3
1 1
, 0 ,
2 6
( , )
1 1
, 1.
2 6
sx x x s
G x s
xs s s x
(10)
4. Функція Гріна для крайової задачі (1), (5) у випадку, коли
один кінець жорстко закріплений, а інший – «ковзає», матиме вигляд:
2 2 3
2 2 3
1 1 1
, 0 ,
4 2 6
( , )
1 1 1
, 1.
4 2 6
s s x x x s
G x s
x x s s s x
(11)
5. Функція Гріна для крайової задачі (1), (6) у випадку, коли
один кінець жорстко закріплений, а другий – шарнірно опертий, ма-
тиме вигляд:
3 2 2 3 2 3
3 2 2 3 2 3
1 3 1 1 1 1
, 0 ,
4 4 2 12 4 6
( , )
1 3 1 1 1 1
, 1.
4 4 2 12 4 6
s s s x s s x x s
G x s
x x x s x x s s x
(12)
6. Функція Гріна для крайової задачі (1), (7) у випадку, коли
один кінець шарнірно опертий, інший – «ковзає», матиме вигляд:
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 127-147.
135
2 3
2 3
1 1
, 0 ,
2 6
( , )
1 1
, 1.
2 6
s s x x x s
G x s
x x s s s x
(13)
Функції Гріна (8)-(13) є невід’ємними, що перевіряється безпо-
середньо.
Таким чином, задача (1) з одним із наборів крайових умов (2)-(7)
буде еквівалентною інтегральному рівнянню Гаммерштейна
1
2
0
( , )
( )
(1 ( ))
G x s
u x ds
u s
, (14)
де ( , )G x s – відповідна функція Гріна.
Рівняння (14) розглядатимемо у банаховому просторі [0; 1]
функцій, неперервних на відрізку [0; 1] . Норма у [0; 1] вводиться за
правилом
[0; 1]
max | ( ) |
x
u u x
. У просторі [0; 1] виділимо конус не-
від’ємних функцій { [0; 1]: ( ) 0, [0; 1]}u u x x .
Узагальненим розв’язком крайової задачі (1) з одним із наборів
крайових умов (2)-(7) називатимемо функцію u , що є
розв’язком інтегрального рівняння (14).
З рівнянням (14) пов’яжемо нелінійний інтегральний оператор,
що діє у [0; 1] за правилом
1
2
0
( , )
( )( )
(1 ( ))
G x s
T u x ds
u s
. (15)
Враховуючи останнє співвідношення, рівняння (14) набуде ви-
гляду ( )u T u . Очевидно, що оператор T є додатним, тобто залишає
інваріантним конус .
Функція
2
( , )
(1 )
f x u
u
є неперервною і додатною для
[0; 1]x , 0 1u , монотонно зростає за u , а отже, інтегральний
оператор (15) буде ізотонним.
Для оператора T побудуємо інваріантний конусний відрізок
0 0,v w , який є апріорною оцінкою невідомого розв’язку u . Оскі-
льки (0) 0f , то шукатимемо його у вигляді 0 0, 0,v w ,
де 0 1 . Тоді умови, що виділяють інваріантний конусний відрі-
зок, набувають вигляду
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 127-147.
136
1
0
( , ) 0G x s ds для всіх [0; 1]x ,
1
2
0
( , )
(1 )
G x s ds
для всіх [0; 1]x .
Оскільки функції Гріна ( , )G x s вигляду (8)-(13) є невід’ємними,
то перша нерівність завжди виконуватиметься, а другу можемо запи-
сати у вигляді
2(1 )
M
, (16)
де
1
[0; 1]
0
max ( , )
x
M G x s ds
.
З нерівності (16) випливає, що
4
27M
. (17)
Ітераційний процес сформулюємо за схемою
1
( 1)
( ) 2
0
( , )
( )
(1 ( ))
k
k
G x s
v x ds
v s
, 1, 2, ,k (18)
1
( 1)
( ) 2
0
( , )
( )
(1 ( ))
k
k
G x s
w x ds
w s
, 1, 2, ,k (19)
(0)
0( ) ( ) 0v x v x , (0)
0( ) ( )w x w x . (20)
Для швидшої збіжності ітерацій треба брати якомога менше зна-
чення , тобто за слід обрати найменший додатний корінь рівняння
2(1 )M . (21)
Перевіримо, за яких умов ітераційний процес (18)-(20) двобічно
збігається до єдиного на 0, додатного розв’язку задачі (1) з
одним із наборів крайових умов (2)-(7).
При 0 ,v w має місце нерівність
2 2
( , ) ( , )
(1 ) (1 )
f x w f x v L w v
v w
,
де
3
2
(1 )
L
.
Тоді
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 127-147.
137
( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( )
[0; 1]
( ) ( ) max [ ( )( ) ( )( )]k k k k k k
x
w v T w T v T w x T v x
1
( ) ( )
[0; 1]
0
max ( , )[ ( , ( )) ( , ( ))]k k
x
G x s f s w s f s v s ds
( ) ( ) ( ) ( )
[0; 1]
max [ ( ) ( )]k k k k
x
LM w x v x LM w v
.
Звідси випливає, що
( 1) ( 1) 1 (0) (0)( )k k kw v LM w v .
Тоді рівність v w матиме місце, якщо 1LM . Таким
чином, можемо сформулювати наступне твердження.
Теорема 1. Якщо
4
27M
і
3
2
1
(1 )
M
, то крайова задача (1)
з одним із наборів крайових умов (2)-(7) має єдиний на 0, до-
датний розв’язок ( )u x , до якого двобічно збігається ітераційний
процес (18)-(20).
За наближений розв’язок крайової задачі (1) з одним із наборів
крайових умов (2)-(7)на k -ій ітерації приймаємо функцію
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
k k
k w x v x
u x
.
В такому випадку отримуємо зручну апостеріорну оцінку похи-
бки для наближеного розв’язку
( ) ( ) ( )
[0; 1]
1
max ( ( ) ( ))
2
k k k
x
u u w x v x
.
Звідси випливає, що ітераційний процес потрібно проводити до
виконання нерівності
( ) ( )
[0; 1]
max ( ( ) ( )) 2k k
x
w x v x
і тоді з точністю можна вважати, що ( )( ) ( )ku x u x .
Обчислювальний експеримент. Обчислювальний експеримент
проведено для задачі (1) з кожним із наборів крайових умов (2)-(7) та
наступним набором параметрів [34]
км300 мL , км50 мb , км3 мh , 0 2, км5 мg ,
Па160 ГE ,
12
0 8,854187
Ф
м
8 10 . (22)
Знаходимо, що
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 127-147.
138
2 4
20
3 3
0
6
0,006375
V L
V
Eh g
. (23)
Знайдемо найбільше значення прикладеної напруги, для якого
виконані достатні умови збіжності методу двобічних наближень для
різних типів закріплення кінців балки відповідно до Теореми 1.
З нерівності (17) та рівняння (23) отримуємо, що
1
4,820671
0,00637
4
27 5 MM
V
. (24)
У таблиці 1 наведено значення
1
[0; 1]
0
max ( , )
x
M G x s ds
для функ-
цій Гріна (8)-(13), що відповідають крайовим умовам (2)-(7), та від-
повідну величину V – найбільше значення прикладеної напруги, при
якому виконана достатня умова збіжності методу двобічних набли-
жень (права частина оцінки (24)). Тоді можемо говорити, що на інте-
рвалі (0, )V V гарантовано будується стійкий розв’язок задачі з
апріорними двосторонніми оцінками похибки.
Таблиця 1
Значення M та значення прикладеної напруги V
для різних типів закріплення кінців балки
Тип закріплення кінців балки M V , В
Обидва кінці балки жорстко закріплені
1
384
94, 465475
Обидва кінці балки шарнірно закріплені
5
384
42, 246245
Лівий кінець балки жорстко закріплений, а
правий – вільний
1
8
13,634917
Лівий кінець балки жорстко закріплений, а
правий – «ковзає»
1
24
23,616369
Лівий кінець балки жорстко закріплений, а
правий – шарнірно
39 55 33
65536
65,503318
Лівий кінець балки шарнірно закріплений, а
правий – «ковзає»
5
24
10,561561
Враховуючи дані таблиці 1 можемо дійти висновку, що інтервал
значень прикладеної напруги (0, )V V суттєво залежить від типу
закріплення кінців балки. Якісну поведінку наближених розв’язків та
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 127-147.
139
фізичний зміст цієї залежності проілюструємо результатами обчис-
лювального експерименту.
Доповнимо параметри моделі (22) значенням прикладеної до си-
стеми напруги 10 BV та з точністю 410 знайдемо наближе-
ний розв’язок задачі (1) з одним із наборів крайових умов (2)-(7).
В таблиці 2 наведено результати проведеного експерименту: для
кожного з типів закріплення кінців балки наведено значення кількості
виконаних ітерацій N , оцінка похибки та значення максимально-
го прогину балки maxu .
Таблиця 2
Кількість виконаних ітерацій N , оцінка похибки
та значення максимального прогину балки maxu для рівняння (1)
для кожного з типів закріплення кінців балки (2)-(7)
Тип закріплення кінців балки N maxu
Обидва кінці балки жорстко закріплені 1 5
0, 28 10
0,00166
Обидва кінці балки шарнірно закріплені 1 4
0,71 10
0,00837
Лівий кінець балки жорстко закріплений, а
правий – вільний
4 4
0,19 10
0,09014
Лівий кінець балки жорстко закріплений, а
правий – «ковзає»
2 4
0,34 10
0,02773
Лівий кінець балки жорстко закріплений, а
правий – шарнірно
1 4
0,12 10
0,00346
Лівий кінець балки шарнірно закріплений, а
правий – «ковзає»
7 4
0,74 10
0,18249
На рисунках 7-12 наведено графіки наближених розв’язків для
кожного з типів закріплення кінців балки. На рисунку 13 наведено
графіки наближених розв’язків для кожного з типів закріплення кін-
ців балки (2)-(7) при однаковій прикладеній напрузі 10 BV .
Рис. 7. Графік наближеного розв’язку
для випадку, коли обидва кінці балки
жорстко закріплені
Рис. 8. Графік наближеного розв’язку
для випадку, коли обидва кінці балки
шарнірно закріплені
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 127-147.
140
Рис. 9. Графік наближеного розв’язку
для випадку, коли лівий кінець балки
жорстко закріплений, а правий –
вільний
Рис. 10. Графік наближеного
розв’язку для випадку, коли лівий
кінець балки жорстко закріплений,
а правий – «ковзає»
Рис. 11. Графік наближеного
розв’язку для випадку, коли лівий
кінець балки жорстко закріплений,
а правий – шарнірно
Рис. 12. Графік наближеного
розв’язку для випадку, коли лівий
кінець балки шарнірно закріплений,
а правий – «ковзає»
Рис. 13. Графіки наближених розв’язків для кожного з типів закріплення
кінців балки (2)-(7) при однаковій прикладеній напрузі 10 BV
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 127-147.
141
З таблиці 1 та рисунків 7-13 бачимо, що найбільший інтервал гара-
нтованої збіжності (0, )V V відповідає конфігурації з обома жорстко
закріпленими кінцями (2), для якої значення M є найменшим серед усіх
розглянутих типів закріплення. В той же час найменший інтервал відпо-
відає шарнірно-ковзному закріпленню (7) з найбільшим значенням M .
Це впорядкування має цілком логічне фізичне пояснення. Оскільки ве-
личина M є максимальним безрозмірним прогином балки під дією оди-
ничного рівномірно розподіленого навантаження, то чим менше M , тим
менше балка прогинається при тому самому навантаженні, тобто тим
далі від області знаходиться розв’язок при фіксованому . Жорстке
закріплення обох кінців (2) накладає чотири крайові умови (нульовий
прогин і нульовий кут повороту на кожному кінці), що максимально
обмежує деформацію балки. Заміна одного кінця на шарнірний (6) або
обох кінців на шарнірні (3) послаблює систему – частина зв’язків на кути
повороту знімається і прогин зростає. Подальша заміна одного з кінців
на ковзне (5) або вільне (4) закріплення знімає вже й умову на сам про-
гин у відповідному кінці, що додатково збільшує M . Найменш обмежу-
вална з розглянутих конфігурацій – шарнірно-ковзне закріплення (7), де
частина умов знята на обох кінцях. Вона має найбільше значення M і
відповідно найменше V .
Висновки. У роботі досліджено крайову задачу для напівлінійного
диференціального рівняння четвертого порядку, що описує статичний
прогин балки в мікроелектромеханічних системах під дією електроста-
тичних сил. На відміну від попередніх досліджень, де розглядалися лише
класичні умови жорсткого закріплення та шарнірного обпирання, у ро-
боті розглянуто шість фізично значущих типів закріплення кінців балки,
які відповідають основним конструктивним схемам МЕМС-пристроїв.
Для кожного з шести типів закріплення побудовано відповідну
функцію Гріна. З її допомогою вихідну крайову задачу зведено до
нелінійного інтегрального рівняння Гаммерштейна, яке досліджено у
банаховому просторі неперервних функцій. Враховуючи додатність
та ізотонність відповідного інтегрального оператора, було виділено
конус невід’ємних функцій та побудовано інваріантний конусний
відрізок, що дозволило отримати апріорну оцінку точного розв’язку.
На цій основі теоретично обґрунтовано метод двобічних наближень:
сформульовано та доведено теорему, яка встановлює умови існуван-
ня і єдиності додатного розв’язку задачі на побудованому відрізку, а
також гарантує двобічну збіжність ітераційного процесу.
Практичну ефективність запропонованого алгоритму підтвер-
джено результатами обчислювального експерименту, проведеного на
параметрах реального МЕМС-актюатора. На кожному кроці ітерацій-
ного процесу будуються верхні та нижні наближення, які обмежують
точний розв’язок задачі, що робить отримані наближення математич-
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 127-147.
142
но верифікованими. Встановлено впорядкування шести типів закріп-
лення кінців балки за величиною безпечного робочого діапазону при-
кладеної напруги, що відповідає фізичному змісту про роль крайових
умов: чим більше обмежень накладається на прогин і кут повороту
перерізу балки, тим ширшим є робочий діапазон напруг.
Отримані результати мають безпосереднє прикладне значення для
проєктування МЕМС-пристроїв. По-перше, обчислені значення V для
кожного типу закріплення кінців балки дають проєктувальнику констру-
ктивно встановлений безпечний робочий діапазон напруг – інтервал
(0, )V V , у межах якого гарантовані існування стійкого розв’язку та
обмеженість прогину. По-друге, отримане впорядкування шести типів
закріплення за величиною V дає кількісну основу для «вибору оптима-
льної конфігурації» залежно від робочих вимог пристрою. По-третє,
отримані результати можуть слугувати основою для аналізу оберненої
задачі проєктування – за заданою цільовою величиною прогину при ро-
бочій напрузі визначати необхідну геометрію і тип закріплення балки.
Цим визначається наукова новизна та практична значущість
отриманих результатів.
Список використаних джерел:
1. Senturia S. D. Microsystem Design. Boston: Kluwer Academic Publishers,
2001. 689 p.
2. Pelesko J. A., Bernstein D. H. Modeling MEMS and NEMS. Boca Raton:
Chapman & Hall/CRC, 2003. 364 p.
3. Bao M. Analysis and Design Principles of MEMS Devices. Amsterdam: Else-
vier, 2005. 328 p.
4. Koochi A., Abadyan M. Nonlinear differential equations in micro/nano mechan-
ics: Application in micro/nanostructures and electromechanical systems. Am-
sterdam: Elsevier, 2020. 270 p.
5. Sur A., Mondal S., Das S. Size-dependent vibrations of piezo-thermoelastic
microbeam using dual-scale nonlocal strain gradient and memory-dependent
thermoelasticity theories. Continuum Mechanics and Thermodynamics. 2025.
Vol. 37, № 5. Article 78.
6. Mondal S., Sur A. Piezothermoelastic vibrations of microbeam resonator with
memory effects. Mechanics of Time-Dependent Materials. 2025. Vol. 29. Article 5.
7. Ong O. Z. S., Ghayesh M. H., Hussain S. Size-dependent dynamics of double-
microbeam systems with various boundary conditions via modified couple
stress theory. Microsystem Technologies. 2021. Vol. 27, № 8. P. 3193-3210.
8. Mouro J., Pinto R., Paoletti P., Tiribilli B. Microcantilever: Dynamical Response for
Mass Sensing and Fluid Characterization. Sensors. 2020. Vol. 21, № 1. Article 115.
9. Moosapour M., Hajabasi M. A., Ehteshami H. Thermoelastic damping effect
analysis in micro flexural resonator of atomic force microscopy. Applied Mathe-
matical Modelling. 2014. Vol. 38, № 11-12. P. 2716-2733.
10. Godara R. K., Sharma A. K., Joshi N., Joglekar M. M. A novel capacitive mass
sensor using an open-loop controlled microcantilever. Microsystem Technolo-
gies. 2020. Vol. 26, № 9. P. 2977-2987.
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 127-147.
143
11. Wang Z., Matova S., Elfrink R., Jambunathan M., de Nooijer C., van Schaijk R.,
Vullers R. J. M. A piezoelectric vibration harvester based on clamped-guided
beams. Proceedings of IEEE 25th International Conference on Micro Electro Me-
chanical Systems (MEMS). Paris, France, 2012. P. 1201-1204.
12. Saxena S., Sharma R., Pant B. D. Design and development of guided four
beam cantilever type MEMS based piezoelectric energy harvester. Microsys-
tem Technologies. 2017. Vol. 23. P. 1751-1759.
13. Marzencki M., Defosseux M., Basrour S. MEMS vibration energy harvesting
devices with passive resonance frequency adaptation capability. IEEE Journal
of Microelectromechanical Systems. 2009. Vol. 18, №6. P. 1444-1453.
14. Tissot-Daguette L., Schneegans H., Thalmann E., Henein S. Analytical model-
ing and experimental validation of rotationally actuated pinned–pinned and
fixed–pinned buckled beam bistable mechanisms. Mechanism and Machine
Theory. 2022. Vol. 174. Article 104874.
15. Shi Z., Martincic E., Moulin J., Lefeuvre E., Lamarque F. Case study of a
MEMS snap-through actuator: modeling and fabrication considerations. Mi-
cromachines. 2022. Vol. 13, №5. Article 654.
16. Mamat N., Rabenorosoa K., Clévy C., Lutz P., Xie H. Multiphysics & parallel
kinematics modeling of a 3DOF MEMS mirror. MATEC Web of Conferences.
2015. Vol. 32. Article 01004.
17. Valle J., Fernández D., Madrenas J. Closed-form equation for natural frequencies
of beams under full range of axial loads modeled with a spring-mass system. Inter-
national Journal of Mechanical Sciences. 2019. Vol. 153-154. P. 380-390.
18. Pamidighantam S., Puers R., Baert K., Tilmans H. A. C. Pull-in voltage analy-
sis of electrostatically actuated beam structures with fixed-fixed and fixed-free
end conditions. Journal of Micromechanics and Microengineering. 2002.
Vol. 12, № 4. P. 458-464.
19. Najar F., Nayfeh A. H., Abdel-Rahman E. M., Choura S., El-Borgi S. Nonline-
ar analysis of MEMS electrostatic microactuators: primary and secondary res-
onances of the first mode. Journal of Vibration and Control. 2010. Vol. 16,
№9. P. 1321-1349.
20. Younis M., Abdel-Rahman E., Nayfeh A. A reduced-order model for electri-
cally actuated microbeam-based MEMS. Journal of Microelectromechanical
Systems. 2003. Vol. 12, №5. P. 672-680.
21. Koochi A., Kazemi A. S., Tadi Beni Y., Yekrangi A., Abadyan M. Theoretical
study of the effect of Casimir attraction on the pull-in behavior of beam-type
NEMS using modified Adomian method. Physica E: Low-dimensional Systems
and Nanostructures. 2010. Vol. 43, № 2. P. 625-632.
22. Krasnoselskii M. A. Positive solutions of operator equations. Groningen:
P. Noordhoff, 1964. 379 p.
23. Опойцев В. И., Хуродзе Т. А. Нелинейные операторы в пространствах с ко-
нусом. Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1984. 246 с.
24. Konchakovska O., Sidorov M. Numerical Analysis of the One-Dimensional
Nonlinear Boundary Value Problem that Modeling an Electrostatic NEMS by
Two-Sided Approximations Method. Journal of Numerical Analysis, Industrial
and Applied Mathematics (JNAIAM). 2020. Vol. 14, № 3-4. P. 17–26.
25. Кончаковська О. С., Сидоров М. В. Двобічний ітераційний метод на основі
використання функції Гріна в задачах чисельного аналізу деяких електро-
механічних систем. Вісник ХНУ ім. В. Н. Каразіна. Сер. Математичне мо-
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 127-147.
144
делювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління.
2022. № 55. С. 19-31.
26. Савченко А. В., Гвоздєв М. І. Застосування методу двобічних наближень до
аналізу статичного прогину пружної балки з різними типами закріплення кін-
ців в моделі мікроелектромеханічної системи. Математичне та комп’ютер-
не моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. 2025. № 28. С. 93-106.
27. Timoshenko S. P., Goodier J. N. Theory of Elasticity. New York: McGraw-
Hill, 1970. 567 p.
28. Younis M. I. MEMS Linear and Nonlinear Statics and Dynamics. New York:
Springer, 2011. 453 p.
29. Jaber N., Ramini A., Younis M. I. Multifrequency excitation of a clamped–clamped
microbeam. Microsystems & Nanoengineering. 2016. Vol. 2. Article 16002.
30. Alneamy A. M. Nonlinear dynamic analysis of an electrostatically actuated
clamped–clamped beam and excited at the primary and secondary resonances.
Micromachines. 2023. Vol. 14, № 10. Article 1972.
31. Kumar P., Inamdar M. M., Pawaskar D. N. Characterisation of the internal
resonances of a clamped-clamped beam MEMS resonator. Microsystem Tech-
nologies. 2020. Vol. 26, № 6. P. 1987-2003.
32. Sun Y., Fang D., Soh A. K. Thermoelastic damping in micro-beam resonators.
International Journal of Solids and Structures. 2006. Vol. 43, № 10. P. 3213-3229.
33. Kumar H., Mukhopadhyay S. Thermoelastic damping analysis in microbeam
resonators based on Moore–Gibson–Thompson generalized thermoelasticity
theory. Acta Mechanica. 2020. Vol. 231, № 7. P. 3003-3015.
34. Senthil Kumar P. K., Elavarasi R., Eladi P. B., Gopikrishnan M. Pull-in volt-
age study of various structured cantilever and fixed-fixed beam models using
COMSOL Multiphysics. Indian Journal of Science and Technology. 2015.
Vol. 8, №14. P. 1-9.
References:
1. Senturia S. D. Microsystem Design. Boston: Kluwer Academic Publishers,
2001. 689 p.
2. Pelesko J. A., Bernstein D. H. Modeling MEMS and NEMS. Boca Raton:
Chapman & Hall/CRC, 2003. 364 p.
3. Bao M. Analysis and Design Principles of MEMS Devices. Amsterdam: Else-
vier, 2005. 328 p.
4. Koochi A., Abadyan M. Nonlinear differential equations in micro/nano me-
chanics: Application in micro/nanostructures and electromechanical systems.
Amsterdam: Elsevier, 2020. 270 p.
5. Sur A., Mondal S., Das S. Size-dependent vibrations of piezo-thermoelastic
microbeam using dual-scale nonlocal strain gradient and memory-dependent
thermoelasticity theories. Continuum Mechanics and Thermodynamics. 2025.
Vol. 37, № 5. Article 78.
6. Mondal S., Sur A. Piezothermoelastic vibrations of microbeam resonator with
memory effects. Mechanics of Time-Dependent Materials. 2025. Vol. 29. Article 5.
7. Ong O. Z. S., Ghayesh M. H., Hussain S. Size-dependent dynamics of double-
microbeam systems with various boundary conditions via modified couple
stress theory. Microsystem Technologies. 2021. Vol. 27, № 8. P. 3193-3210.
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 127-147.
145
8. Mouro J., Pinto R., Paoletti P., Tiribilli B. Microcantilever: Dynamical Re-
sponse for Mass Sensing and Fluid Characterization. Sensors. 2020. Vol. 21,
№ 1. Article 115.
9. Moosapour M., Hajabasi M. A., Ehteshami H. Thermoelastic damping effect
analysis in micro flexural resonator of atomic force microscopy. Applied
Mathematical Modelling. 2014. Vol. 38, № 11-12. P. 2716-2733.
10. Godara R. K., Sharma A. K., Joshi N., Joglekar M. M. A novel capacitive mass
sensor using an open-loop controlled microcantilever. Microsystem Technolo-
gies. 2020. Vol. 26, № 9. P. 2977-2987.
11. Wang Z., Matova S., Elfrink R., Jambunathan M., de Nooijer C., van Schaijk R.,
Vullers R. J. M. A piezoelectric vibration harvester based on clamped-guided
beams. Proceedings of IEEE 25th International Conference on Micro Electro Me-
chanical Systems (MEMS). Paris, France, 2012. P. 1201-1204.
12. Saxena S., Sharma R., Pant B. D. Design and development of guided four
beam cantilever type MEMS based piezoelectric energy harvester. Microsys-
tem Technologies. 2017. Vol. 23. P. 1751-1759.
13. Marzencki M., Defosseux M., Basrour S. MEMS vibration energy harvesting
devices with passive resonance frequency adaptation capability. IEEE Journal
of Microelectromechanical Systems. 2009. Vol. 18, №6. P. 1444-1453.
14. Tissot-Daguette L., Schneegans H., Thalmann E., Henein S. Analytical model-
ing and experimental validation of rotationally actuated pinned–pinned and
fixed–pinned buckled beam bistable mechanisms. Mechanism and Machine
Theory. 2022. Vol. 174. Article 104874.
15. Shi Z., Martincic E., Moulin J., Lefeuvre E., Lamarque F. Case study of a
MEMS snap-through actuator: modeling and fabrication considerations. Mi-
cromachines. 2022. Vol. 13, №5. Article 654.
16. Mamat N., Rabenorosoa K., Clévy C., Lutz P., Xie H. Multiphysics & parallel
kinematics modeling of a 3DOF MEMS mirror. MATEC Web of Conferences.
2015. Vol. 32. Article 01004.
17. Valle J., Fernández D., Madrenas J. Closed-form equation for natural frequencies
of beams under full range of axial loads modeled with a spring-mass system. Inter-
national Journal of Mechanical Sciences. 2019. Vol. 153-154. P. 380-390.
18. Pamidighantam S., Puers R., Baert K., Tilmans H. A. C. Pull-in voltage analy-
sis of electrostatically actuated beam structures with fixed-fixed and fixed-free
end conditions. Journal of Micromechanics and Microengineering. 2002.
Vol. 12, № 4. P. 458-464.
19. Najar F., Nayfeh A. H., Abdel-Rahman E. M., Choura S., El-Borgi S. Nonline-
ar analysis of MEMS electrostatic microactuators: primary and secondary res-
onances of the first mode. Journal of Vibration and Control. 2010. Vol. 16,
№ 9. P. 1321-1349.
20. Younis M., Abdel-Rahman E., Nayfeh A. A reduced-order model for electri-
cally actuated microbeam-based MEMS. Journal of Microelectromechanical
Systems. 2003. Vol. 12, №5. P. 672-680.
21. Koochi A., Kazemi A. S., Tadi Beni Y., Yekrangi A., Abadyan M. Theoretical
study of the effect of Casimir attraction on the pull-in behavior of beam-type
NEMS using modified Adomian method. Physica E: Low-dimensional Systems
and Nanostructures. 2010. Vol. 43, № 2. P. 625-632.
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 127-147.
146
22. Krasnoselskii M. A. Positive solutions of operator equations. Groningen:
P. Noordhoff, 1964. 379 p.
23. Opoitsev V. Y., Khurodze T. A. Nelyneinыe operatorы v prostranstvakh s
konusom. Tbylysy: Yzd-vo Tbylys. un-ta, 1984. 246 p.
24. Konchakovska O., Sidorov M. Numerical Analysis of the One-Dimensional
Nonlinear Boundary Value Problem that Modeling an Electrostatic NEMS by
Two-Sided Approximations Method. Journal of Numerical Analysis, Industrial
and Applied Mathematics (JNAIAM). 2020. Vol. 14, № 3-4. P. 17–26.
25. Konchakovska O. S., Sydorov M. V. Dvobichnyi iteratsiinyi metod na osnovi
vykorystannia funktsii Hrina v zadachakh chyselnoho analizu deiakykh el-
ektromekhanichnykh system. Visnyk KhNU im. V. N. Karazina. Ser.
Matematychne modeliuvannia. Informatsiini tekhnolohii. Avtomatyzovani
systemy upravlinnia. 2022. № 55. P. 19-31.
26. Savchenko A. V., Hvozdiev M. I. Zastosuvannia metodu dvobichnykh nably-
zhen do analizu statychnoho prohynu pruzhnoi balky z riznymy typamy
zakriplennia kintsiv v modeli mikroelektromekhanichnoi systemy.
Matematychne ta kompiuterne modeliuvannia. Seriia: Fizyko-matematychni
nauky. 2025. № 28. P. 93-106.
27. Timoshenko S. P., Goodier J. N. Theory of Elasticity. New York: McGraw-
Hill, 1970. 567 p.
28. Younis M. I. MEMS Linear and Nonlinear Statics and Dynamics. New York:
Springer, 2011. 453 p.
29. Jaber N., Ramini A., Younis M. I. Multifrequency excitation of a clamped–clamped
microbeam. Microsystems & Nanoengineering. 2016. Vol. 2. Article 16002.
30. Alneamy A. M. Nonlinear dynamic analysis of an electrostatically actuated
clamped–clamped beam and excited at the primary and secondary resonances.
Micromachines. 2023. Vol. 14, № 10. Article 1972.
31. Kumar P., Inamdar M. M., Pawaskar D. N. Characterisation of the internal
resonances of a clamped-clamped beam MEMS resonator. Microsystem Tech-
nologies. 2020. Vol. 26, № 6. P. 1987-2003.
32. Sun Y., Fang D., Soh A. K. Thermoelastic damping in micro-beam resonators.
International Journal of Solids and Structures. 2006. Vol. 43, № 10. P. 3213-3229.
33. Kumar H., Mukhopadhyay S. Thermoelastic damping analysis in microbeam
resonators based on Moore–Gibson–Thompson generalized thermoelasticity
theory. Acta Mechanica. 2020. Vol. 231, № 7. P. 3003-3015.
34. Senthil Kumar P. K., Elavarasi R., Eladi P. B., Gopikrishnan M. Pull-in volt-
age study of various structured cantilever and fixed-fixed beam models using
COMSOL Multiphysics. Indian Journal of Science and Technology. 2015.
Vol. 8, №14. P. 1-9.
APPLICATION OF THE METHOD OF TWO-SIDED
APPROXIMATIONS TO THE ANALYSIS OF THE INFLUENCE
OF BEAM END CONDITIONS ON THE STATIC DEFLECTION
OF A BEAM IN MICROELECTROMECHANICAL SYSTEMS
The article investigates the boundary value problem for a semilinear
fourth-order differential equation that describes the static deflection of a
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 127-147.
147
beam in microelectromechanical systems (MEMS). Unlike previous stud-
ies, in which only the classical conditions of clamped ends and simple sup-
port were considered, six types of boundary conditions are investigated in
this paper: clamped-clamped, simply supported (pinned-pinned), clamped-
free (cantilever), clamped-sliding (clamped-guided), clamped-pinned, and
pinned-sliding (pinned-guided) end conditions of the beam. The considered
configurations cover the main design schemes of modern MEMS devices –
from microswitches and resonators to atomic force microscopy probes, mi-
cromirrors, and piezoelectric energy harvesters.
To investigate this problem, the method of two-sided approximations
in a semi-ordered Banach space of continuous functions is applied. The
original boundary value problem is reduced to a nonlinear Hammerstein in-
tegral equation with an isotone operator, the kernel of which is the corre-
sponding Green’s function. For each of the six types of beam end condi-
tions, the Green’s function is constructed, and the maximum dimensionless
deflection of the beam under a unit uniformly distributed load is calculated.
Based on the isotone property of the integral operator, an invariant cone
segment is constructed, and a theorem on the existence and uniqueness of a
positive solution to the boundary value problem is formulated, to which the
iterative process converges in a two-sided manner.
A computational experiment is conducted using the parameter values
of a real MEMS actuator. For each type of end condition, the largest value
of the applied voltage at which the sufficient conditions for the conver-
gence of the method are satisfied is calculated, and approximate solutions
are constructed. An ordering of the six types of beam end conditions with
respect to this voltage value is established, which provides a quantitative
basis for selecting the optimal type of beam end condition when designing
MEMS devices with different operating characteristics.
The novelty of the work lies in developing the method of two-sided
approximations for application to boundary value problems with a set of
six physically significant types of boundary conditions. This makes it pos-
sible to obtain, for each configuration, verified approximations of the de-
flection with a priori two-sided estimates within the constructively estab-
lished safe operating range of the applied voltage. The obtained results can
be directly applied in the design of microswitches, microresonators, sen-
sors, micromirrors, and piezoelectric microactuators. The developed
scheme of the method can be extended to generalizations of the model –
variable dielectric permittivity, partial electrostatic loading, nonlinearities
of other types, as well as (in combination with the Rothe method) to the
non-stationary case.
Key words: beam, clamped support, isotone operator, invariant cone
segment, cantilever beam, boundary value problem, beam boundary condi-
tions, mathematical modeling, method of two-sided approximations, mi-
croelectromechanical system, deflection, Hammerstein’s equation, Green’s
function, numerical methods, simply supported beam.
Математичне та комп'ютерне моделювання
Серія: Фізико-математичні науки
Редакційна колегія:
Zb_F-M_1.pdf
Гвоздєв М. І.
ORCІD: 0000-0003-4022-9777, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: mykyta.hvozdev@nure.ua
Сидоров М. В.
ORCІD: 0000-0001-8022-866X, д-р фіз.-мат. наук, професор, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: maxim.sidorov@nure.ua
метод двобічних наближень у ЧИСЕЛЬНОМУ аналізі задачі Нав’є, що є математичноЮ моделлю одновимірної мікроелектромеханічної системи
Ключові слова: мікробалка, задача Нав’є, ізотонний опертор, інваріантний конусний відрізок, крайова задача, математичне моделювання, мікроелектромеханічна система, метод двобічних наближень, напівлінійне звичайне диференціальне рівняння четвертого пор...
Список використаних джерел:
References:
The Method of Two-Sided Approximations in the Numerical Analysis of the Navier Problem as a Mathematical Model of a One-Dimensional Microelectromechanical System
Key words: boundary value problem, deflection, fourth-order semilinear ordinary differential equation, Green’s function, Hammerstein equation, invariant cone segment, isotone operator, mathematical modeling, method of two-sided approximations, microbe...
Громик А. П.
ORCID: 0000-0003-3071-9756, канд. техн. наук, Заклад вищої освіти «Подільський державний університет», м. Кам’янець-Подільський, Україна, E-mail: gapon74@gmail.com
Конет І. М.
ORCID: 0000-0002-4241-0548, д-р фіз.-мат. наук, професор, Волинський національний університет імені Лесі Українки, м. Луцьк, Україна, E-mail: konet51@ukr.net
Пилипюк Т. М.
ORCID: 0000-0002-4676-9830, канд. фіз.-мат. наук, Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський, Україна, E-mail: pylypyuk.tetiana@kpnu.edu.ua
ГІПЕРБОЛІЧНІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ В КУСКОВО-ОДНОРІДНОМУ КЛИНОВИДНОМУ ЦИЛІНДРИЧНО-КРУГОВОМУ ШАРІ З ПОРОЖНИНОЮ
Ключові слова: гіперболічне рівняння, початкові та крайові умови, умови спряження, інтегральні перетворення, гібридні інтегральні перетворення, головні розв’язки.
Список використаних джерел:
References:
HYPERBOLIC BOUNDARY VALUE PROBLEMS OF MATHEMATICAL PHYSICS IN A PIECEWISE HOMOGENEOUS WEDGE-SHAPED CYLINDRICAL- CIRCULAR LAYER WITH А CAVITY
Key words: hyperbolic equation, initial and boundary conditions, conjugation conditions, integral transforms, hybrid integral transforms, main solutions.
Гук Н. А.
ORCID: 0000-0001-7937-1039, д-р фіз.-мат. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: huk_n@365.dnu.edu.ua
Сіліч-Балгабаєва В. Б.
ORCID: 0000-0002-9490-3600, канд. техн. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: v_silichbalgabaeva@365.dnu.edu.ua
Степанова Н. І.
ORCID: 0000-0002-9490-3600, канд. фіз.-мат. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: stepanova_n@365.dnu.edu.ua
DATA-DRIVEN ПІДХІД ДО ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ БІФУРКАЦІЇ ТОНКОСТІННИХ СИСТЕМ НА ОСНОВІ НЕЙРОННИХ МЕРЕЖ
Ключові слова: тонкостінні системи, біфуркація, втрата стійкості, обернені задачі, нейронні мережі, data-driven підхід, динамічні системи, прогнозування, нелінійна динаміка, ідентифікація параметрів, інформаційні технології.
Список використаних джерел:
References:
DATA-DRIVEN APPROACH TO INVERSE BIFURCATION PROBLEMS OF THIN-WALLED SYSTEMS BASED ON NEURAL NETWORKS
Key words: thin-walled systems, bifurcation, loss of stability, inverse problems, neural networks, data-driven approach, dynamic systems, prediction, nonlinear dynamics, parameter identification, information technologies.
Жолтовський О. О.
ORCID: 0009-0009-9245-1725, аспірант, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці, Україна, E-mail: olekszholt@gmail.com
Черевко І. М.
ORCID: 0000-0002-2690-2091, д-р фіз-мат. наук, професор, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці, Україна, E-mail: i.cherevko@chnu.edu.ua
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ СПЛАЙН-ФУНКЦІЙ ДО МОДЕЛЮВАННЯ ЛІНІЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ
Ключові слова: крайова задача, запізнення, метод сплайн-колокацій, кубічні сплайни, комп’ютерне моделювання.
Список використаних джерел:
References:
THE APPLICATION OF SPLINE FUNCTION METHOD TO THE MODELING OF LINEAR BOUNDARY VALUE PROBLEMS WITH DELAY
Key words: boundary value problem, delayed argument, spline collocation method, cubic splines, computer modeling.
Zelenskiy O. V.
ORCІD: 0000-0002-4969-0132, Cand. of Phys. and Math. Sciences, Kamianets-Podilskyi Ivan Ohiienko National University, Kamianets-Podilskyi, Ukraine, E-maіl: esteticcode@gmail.com
ULTRA EXPONENT MATRICES
Key words: exponent matrix, reduced exponent matrix, admissible quiver, ultra exponent matrix, rigid quiver, weight function, mathematical modelling.
References:
УЛЬТРА МАТРИЦІ ПОКАЗНИКІВ
Ключові слова: матриця показників, зведена матриця показників, допустимий сагайдак, ультра матриця показників, жорсткий сагайдак, вагова функція, математичне моделювання.
Мусій Р. С.
ORCІD: 0000-0002-7169-2206, д-р фіз.-мат. наук, професор, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: musiy@lp.edu.ua
Кунинець А. В.
ORCІD: 0000-0003-2481-3236, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: andrii.v.kunynets@lpnu.ua
Свідрак І. Г.
ORCІD: 0000-0003-1811-2011, канд. техн. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: inha.h.svidrak@lpnu.ua
Тимошенко Н. М.
ORCІD: 0000-0002-5595-6531, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: nadiia.m.tymoshenko@lpnu.ua
Шиндер В. К.
ORCІD: 0000-0002-9414-5619, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: valentyn.k.shynder@lpnu.ua
ВИЗНАЧЕННЯ ТА АНАЛІЗ ТЕПЛА ДЖОУЛЯ І ПОНДЕРОМОТОРНОЇ СИЛИ У ПОРОЖНИСТОМУ МІДНОМУ ЦИЛІНДРІ ЗА ДІЇ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ІМПУЛЬСА
Ключові слова: порожнистий електропровідний циліндр, електромагнітний імпульс, осьова компонента вектора напруженості магнітного поля, тепло Джоуля, пондеромоторна сила.
Список використаних джерел:
References:
DETERMINATION AND ANALYSIS OF JOULE HEAT AND PONDEROMOTIVE FORCE IN A HOLLOW COPPER CYLINDER UNDER THE ACTION OF AN ELECTROMAGNETIC IMPULSE
Key words: hollow conductive cylinder, electromagnetic impulse, axial component of the magnetic field intensity vector, Joule heating, ponderomotive force.
Zb_F-M_2.pdf
Нікітін А. В.
ORCІD: 0000-0001-5137-0114, д-р фіз.-мат. наук, професор, Національний університет «Острозька академія», м. Острог, Україна, E-maіl: anatolii.nikitin@oa.edu.ua
Шведюк В. В.
ORCІD: 0009-0002-2906-0958, аспірант, Національний університет «Острозька академія», м. Острог, Україна, E-maіl: volodymyr.v.shvediuk@oa.edu.ua
СТІЙКІСТЬ ДЕТЕРМІНОВАНОЇ ТА УСЕРЕДНЕНОЇ СИСТЕМ РАДІОФІЗИЧНИХ ПРОЦЕСІВ У МІКРОКОНТРОЛЕРНИХ СИСТЕМАХ БПЛА
Ключові слова: БПЛА, стійкість детермінованої системи, власні значення, метод Ляпунова, радіофізичні процеси, мікроконтролер, простір станів.
Список використаних джерел:
References:
STABILITY OF DETERMINISTIC AND AVERAGED SYSTEMS OF RADIOPHYSICAL PROCESSES IN UAV MICROCONTROLLER SYSTEMS
Key words: UAV, stability of deterministic system, eigenvalues, Lyapunov functions, radiophysical processes, microcontroller, state space.
Пархоменко В. Г.
ORCІD: 0009-0008-7309-0875, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: vladyslav.parkhomenko1@nure.ua
аналіз методОМ двобічних наближень стаціонарної реактивно-дифузивної моделі у сферичній гранулі з кінетикою арреніуса
Ключові слова: гетеротонний оператор, інтегральне рівняння Гаммерштейна, метод двобічних наближень, напівлінійне еліптичне рівняння з оператором Лапласа, нелінійна крайова задача, радіально-симетричний додатний розв’язок, реакційно-дифузійна система, ...
Список використаних джерел:
References:
Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of a Stationary Reaction–Diffusion Model in a Spherical Pellet with Arrhenius Kinetics
Key words: Green’s function, Hammerstein integral equation, heterotone operator, method of two-sided approximations, nonlinear boundary value problem, positive radially symmetric solution, reaction–diffusion system, semilinear elliptic equation with t...
Савченко А. В.
ORCІD: 0009-0004-7547-8655, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: anton.savchenko@nure.ua
Застосування методу двобічних наближень до аналізу впливу типів закріплення кінців на статичний прогин балки в моделях мікроелектромеханічних систем
Ключові слова: балка, жорстке закріплення, ізотонний оператор, інваріантний конусний відрізок, консольна балка, крайова задача, крайові умови для балки, математичне моделювання, метод двобічних наближень, мікроелектромеханічна система, прогин, рівнянн...
Список використаних джерел:
References:
APPLICATION OF THE METHOD OF TWO-SIDED APPROXIMATIONS TO THE ANALYSIS OF THE INFLUENCE OF BEAM END CONDITIONS ON THE STATIC DEFLECTION OF A BEAM IN MICROELECTROMECHANICAL SYSTEMS
Key words: beam, clamped support, isotone operator, invariant cone segment, cantilever beam, boundary value problem, beam boundary conditions, mathematical modeling, method of two-sided approximations, microelectromechanical system, deflection, Hammer...
Сеньо П. С.
ORCІD: 0009-0005-7979-2905, д-р фіз.-мат. наук, професор, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів, Україна E-maіl: petro.seno@lnu.edu.ua
Заяць А. Р.
ORCІD: 0009-0004-7793-0238, аспірант, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів, Україна E-maіl: artur.zaiats@lnu.edu.ua
МОДИФІКАЦІЯ БАЗОВОГО ДВОСТОРОННЬОГО МЕТОДУ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
Ключові слова: функціональні інтервали, інтегральні рівняння, двосторонні апроксимації, параболічний паралелограм, математичне моделювання, системний аналіз.
Список використаних джерел:
References:
MODIFICATION OF THE BASIC TWO-SIDED METHOD FOR SOLVING INTEGRAL EQUATIONS
Key words: functional intervals, integral equations, two-sided approximations, parabolic parallelogram, mathematical modelling, system analysis.
Янбеков Р. Я.
ORCІD: 0009-0004-6588-7121, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: ravil.yanbekov@nure.ua
дослідження одновимірних стаціонарних задач термохімії методом двобічних наближень на основі використання функції Гріна
Ключові слова: математичне моделювання, термохімічні процеси, метод двобічних наближень, функція Гріна, перша крайова задача, напівлінійне звичайне диференціальне рівняння.
Список використаних джерел:
References:
Analysis of One-Dimensional Steady-State Thermochemical Problems Using the Method of Two-Sided Approximations with Green’s Function
Key words: mathematical modelling, thermochemical processes, two-sided approximation method, Green’s function, first boundary value problem, semilinear ordinary differential equation.
Відомості про авторів
Алфавітний покажчик авторів
Зміст
end.pdf
Математичне та комп’ютерне моделювання
Серія: Фізико-математичні науки
|
| id | mcm-mathkpnueduua-article-361173 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-09T01:00:12Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | mcm-mathkpnueduua/c1/29b1b5b81bc657c2cc26553cff6693c1.pdf |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3611732026-06-08T08:10:39Z Application of the Method of Two-Sided Approximations to the Analysis of the Influence of Beam End Conditions on the Static Deflection of a Beam in Microelectromechanical Systems Застосування методу двобічних наближень до аналізу впливу типів закріплення кінців на статичний прогин балки в моделях мікроелектромеханічних систем Савченко, Антон The article investigates the boundary value problem for a semilinear fourth-order differential equation that describes the static deflection of a beam in microelectromechanical systems (MEMS). Unlike previous studies, in which only the classical conditions of clamped ends and simple support were considered, six types of boundary conditions are investigated in this paper: clamped-clamped, simply supported (pinned-pinned), clamped-free (cantilever), clamped-sliding (clamped-guided), clamped-pinned, and pinned-sliding (pinned-guided) end conditions of the beam. The considered configurations cover the main design schemes of modern MEMS devices – from microswitches and resonators to atomic force microscopy probes, micromirrors, and piezoelectric energy harvesters. To investigate this problem, the method of two-sided approximations in a semi-ordered Banach space of continuous functions is applied. The original boundary value problem is reduced to a nonlinear Hammerstein integral equation with an isotone operator, the kernel of which is the corresponding Green’s function. For each of the six types of beam end conditions, the Green’s function is constructed, and the maximum dimensionless deflection of the beam under a unit uniformly distributed load is calculated. Based on the isotone property of the integral operator, an invariant cone segment is constructed, and a theorem on the existence and uniqueness of a positive solution to the boundary value problem is formulated, to which the iterative process converges in a two-sided manner. A computational experiment is conducted using the parameter values of a real MEMS actuator. For each type of end condition, the largest value of the applied voltage at which the sufficient conditions for the convergence of the method are satisfied is calculated, and approximate solutions are constructed. An ordering of the six types of beam end conditions with respect to this voltage value is established, which provides a quantitative basis for selecting the optimal type of beam end condition when designing MEMS devices with different operating characteristics. The novelty of the work lies in developing the method of two-sided approximations for application to boundary value problems with a set of six physically significant types of boundary conditions. This makes it possible to obtain, for each configuration, verified approximations of the deflection with a priori two-sided estimates within the constructively established safe operating range of the applied voltage. The obtained results can be directly applied in the design of microswitches, microresonators, sensors, micromirrors, and piezoelectric microactuators. The developed scheme of the method can be extended to generalizations of the model – variable dielectric permittivity, partial electrostatic loading, nonlinearities of other types, as well as (in combination with the Rothe method) to the non-stationary case. У статті досліджено крайову задачу для напівлінійного диференціального рівняння четвертого порядку, що описує статичний прогин балки в мікроелектромеханічних системах (МЕМС). На відміну від попередніх досліджень, де розглядалися лише класичні умови жорсткого закріплення та шарнірного обпирання, у роботі досліджено шість типів крайових умов: обидва кінці балки жорстко закріплені, обидва кінці балки шарнірно обперті, лівий кінець балки жорстко закріплений, а правий – вільний, лівий кінець балки жорстко закріплений, а правий – «ковзає», лівий кінець балки жорстко закріплений, а правий – шарнірно опертий, лівий кінець балки шарнірно опертий, правий – «ковзає». Розглянуті конфігурації охоплюють основні конструктивні схеми сучасних МЕМС-пристроїв – від мікроперемикачів і резонаторів до зондів атомно-силових мікроскопів, мікродзеркал та п’єзоелектричних збирачів енергії. Для дослідження зазначених задач застосовано метод двобічних наближень, побудований у напівупорядкованому банаховому просторі неперервних функцій. Вихідну крайову задачу зведено до нелінійного інтегрального рівняння Гаммерштейна з ізотонним оператором, ядром якого є відповідна функція Гріна. Для кожного з шести типів закріплення кінців балки побудовано функцію Гріна та обчислено максимальний безрозмірний прогин балки під дією одиничного рівномірно розподіленого навантаження. На основі ізотонності інтегрального оператора побудовано інваріантний конусний відрізок та сформульовано теорему про існування й єдиність додатного розв’язку крайової задачі, до якого двобічно збігається ітераційний процес. Проведено обчислювальний експеримент при значеннях параметрів реального МЕМС-актюатора. Для кожного типу закріплення обчислено найбільше значення прикладеної напруги, при якому виконуються достатні умови збіжності методу, побудовано наближені розв’язки. Встановлено впорядкування шести типів закріплення кінців балки за величиною, що дає кількісну основу для вибору оптимального типу закріплення кінців балки при проєктуванні МЕМС-пристроїв з різними робочими характеристиками. Новизна роботи полягає в розвитку методу двобічних наближень в частині його застосування до крайових задач з набором шести фізично значущих типів крайових умов. Це дозволяє для кожної конфігурації отримати верифіковані наближення прогину з апріорними двосторонніми оцінками в межах конструктивно встановленого безпечного робочого діапазону прикладеної напруги. Отримані результати можуть бути безпосередньо застосовні при проєктуванні мікроперемикачів, мікрорезонаторів, сенсорів, мікродзеркал та п’єзоелектричних мікроактюаторів. Розроблена схема методу може бути поширена на узагальнення моделі – змінну діелектричну проникність, часткове електростатичне навантаження, нелінійності іншого вигляду, а також (у комбінації з методом Роте) на нестаціонарний випадок. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2026-05-29 Article Article Рецензована Стаття application/pdf https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/361173 10.32626/2308-5878.2026-30.127-147 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2026: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 30; 127-147 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2026: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 30; 127-147 2308-5878 10.32626/2308-5878.2026-30 uk https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/361173/349679 Авторське право (c) 2026 Антон Савченко |
| spellingShingle | Савченко, Антон Application of the Method of Two-Sided Approximations to the Analysis of the Influence of Beam End Conditions on the Static Deflection of a Beam in Microelectromechanical Systems |
| title | Application of the Method of Two-Sided Approximations to the Analysis of the Influence of Beam End Conditions on the Static Deflection of a Beam in Microelectromechanical Systems |
| title_alt | Застосування методу двобічних наближень до аналізу впливу типів закріплення кінців на статичний прогин балки в моделях мікроелектромеханічних систем |
| title_full | Application of the Method of Two-Sided Approximations to the Analysis of the Influence of Beam End Conditions on the Static Deflection of a Beam in Microelectromechanical Systems |
| title_fullStr | Application of the Method of Two-Sided Approximations to the Analysis of the Influence of Beam End Conditions on the Static Deflection of a Beam in Microelectromechanical Systems |
| title_full_unstemmed | Application of the Method of Two-Sided Approximations to the Analysis of the Influence of Beam End Conditions on the Static Deflection of a Beam in Microelectromechanical Systems |
| title_short | Application of the Method of Two-Sided Approximations to the Analysis of the Influence of Beam End Conditions on the Static Deflection of a Beam in Microelectromechanical Systems |
| title_sort | application of the method of two-sided approximations to the analysis of the influence of beam end conditions on the static deflection of a beam in microelectromechanical systems |
| url | https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/361173 |
| work_keys_str_mv | AT savčenkoanton applicationofthemethodoftwosidedapproximationstotheanalysisoftheinfluenceofbeamendconditionsonthestaticdeflectionofabeaminmicroelectromechanicalsystems AT savčenkoanton zastosuvannâmetodudvobíčnihnabliženʹdoanalízuvplivutipívzakríplennâkíncívnastatičnijproginbalkivmodelâhmíkroelektromehaníčnihsistem |