Analysis of One-Dimensional Steady-State Thermochemical Problems Using the Method of Two-Sided Approximations with Green’s Function
This paper considers the first boundary value problem for a semilinear ordinary differential equation, which serves as a mathematical model of a thermochemical process. In particular, the classical Bratu problem and two of its generalizations are studied, taking into account both heat losses due to...
Saved in:
| Date: | 2026 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2026
|
| Online Access: | https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/361386 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| Download file: |  |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1867479062124953600 |
|---|---|
| author | Янбеков, Равіль |
| author_facet | Янбеков, Равіль |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Равіль Янбеков",
"institution": "Харківський національний університет радіоелектроніки"
}
] |
| author_sort | Янбеков, Равіль |
| baseUrl_str | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-06-08T08:10:39Z |
| description | This paper considers the first boundary value problem for a semilinear ordinary differential equation, which serves as a mathematical model of a thermochemical process. In particular, the classical Bratu problem and two of its generalizations are studied, taking into account both heat losses due to cooling and external heating. The exponential nonlinearity in the equations corresponds to the Frank-Kamenetskii approximation of the Arrhenius law.
Using Green’s function, each of the considered problems is reduced to an equivalent Hammerstein integral equation, which is analyzed within the framework of nonlinear operator theory in semi-ordered Banach spaces. For this purpose, the integral equation is represented as an operator equation with a nonlinear operator acting in the space of continuous functions partially ordered by the cone of nonnegative functions. The operator is investigated with respect to positivity, monotonicity, Lipschitz continuity, and the existence of an invariant conical segment.
For the numerical analysis of these integral equations (and hence the corresponding boundary value problems), iterative schemes based on the method of two-sided approximations are proposed. The endpoints of the invariant conical segment are chosen as initial approximations. For each scheme, convergence conditions and conditions for the existence of positive solutions to the corresponding boundary value problems are established. Additionally, two-sided a priori estimates for these solutions are obtained.
Computational experiments are carried out for various parameter values, and in the case of the Bratu problem, the results are compared with the exact solution. Based on the analysis, conclusions are drawn regarding the efficiency of the proposed computational schemes. In particular, their advantages include the availability of guaranteed a posteriori error estimates for the approximate solution and a convenient stopping criterion for the iterative process.
The results obtained in this work can be extended to two- and three-dimensional mathematical models of thermochemical processes with exponential nonlinearities. |
| doi_str_mv | 10.32626/2308-5878.2026-30.168-187 |
| first_indexed | 2026-06-09T01:00:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 168-187.
168
УДК 519.624.2:517.988.635
DOІ: 10.32626/2308-5878.2026-30.168-187
Янбеков Р. Я.
ORCІD: 0009-0004-6588-7121,
Харківський національний університет
радіоелектроніки, м. Харків, Україна,
E-maіl: ravil.yanbekov@nure.ua
ДОСЛІДЖЕННЯ ОДНОВИМІРНИХ СТАЦІОНАРНИХ ЗАДАЧ
ТЕРМОХІМІЇ МЕТОДОМ ДВОБІЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ
НА ОСНОВІ ВИКОРИСТАННЯ ФУНКЦІЇ ГРІНА
У роботі розглядається перша крайова задача для напівлі-
нійного звичайного диференціального рівняння, яка є матема-
тичною моделлю деякого термохімічного процесу. При цьому
розглянуто класичну задачу Брату і два її узагальнення, що
враховують як втрати тепла через охолодження, так і зовніш-
ній підігрів. Експоненціальна нелінійність в рівняннях відпо-
відає наближенню закону Арреніуса за Франк-Каменецьким.
Методом функцій Гріна кожна з розглянутих задач заміне-
на еквівалентним інтегральним рівнянням Гаммерштейна, яке
проаналізовано методами теорії нелінійних операторів у напі-
вупорядкованих банахових просторах. Для цього інтегральне
рівняння подане як рівняння з нелінійним оператором, який
діє у просторі неперервних функцій, напівупорядкованому ко-
нусом невід’ємних функцій. Оператор досліджено на додат-
ність, монотонність, ліпшіц-неперервність, існування інваріан-
тного конусного відрізка тощо.
Для чисельного аналізу цих інтегральних рівнянь (а отже, і
розглядуваних крайових задач) запропоновано ітераційні схе-
ми методу двобічних наближень. Початковими наближеннями
цих схем обираються кінці інваріантного конусного відрізка.
Для кожної зі схем отримано умови збіжності і умови існуван-
ня додатних розв’язків відповідних крайових задач. Також для
цих розв’язків отримано двосторонні апріорні оцінки.
Обчислювальні експерименти були проведені для різних
значень параметрів і у випадку задачі Брату результати порів-
няно з точним розв’язком. За підсумками аналізу зроблено ви-
сновки про ефективність запропонованих обчислювальних
схем. Зокрема, їх перевагою є наявність гарантованої апосте-
ріорної оцінки точності наближеного розв’язку та зручний
критерій закінчення ітерацій.
5 Стаття надійшла до редакції: 18.05.2026
Рекомендовано до друку: 25.05.2026
Оприлюднено (online): 29.05.2026
Ця стаття розповсюджується на умовах ліцензії CC Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0
© Янбеков Р. Я., 2026
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 168-187.
169
Отримані у роботі результати можна розповсюдити на дво-
та тривимірні математичні моделі термохімічних процесів з
експоненціальними нелінійностями.
Ключові слова: математичне моделювання, термохімічні
процеси, метод двобічних наближень, функція Гріна, перша кра-
йова задача, напівлінійне звичайне диференціальне рівняння.
Вступ. Математичне моделювання термохімічних процесів є од-
ним із ключових напрямів сучасних досліджень, які знаходяться на
стику прикладної математики та хімічної інженерії, що обумовлено
широким спектром їх застосувань в енергетиці, матеріалознавстві,
хіміко-технологічних виробництвах, екологічних технологіях тощо.
Реальні умови протікання таких процесів характеризуються склад-
ною взаємодією теплових і масообмінних явищ, нелінійною кінети-
кою реакцій та залежністю від великої кількості параметрів, що
ускладнює їх аналітичний опис і потребує застосування сучасних
методів математичного моделювання та обчислювальної математики.
Базовою математичною моделюю таких процесів у стаціонарно-
му випадку часто є однорідна перша крайова задача для напівлінійно-
го еліптичного рівняння з оператором Лапласа [9, 11 – 13]
( )u f u у , (1)
0u
, (2)
де u – безрозмірна температура, – область з n ( 1, 2, 3n ), у
якій протікає термохімічних процес, – межа області , 0 –
параметр, що залежить від термохімічних характеристик процесу,
( )f u – функція, що характеризує об’ємне джерело тепла, зумовлене
хімічною реакцією. Крайова умова (2) означає, що межа є ізоте-
рмічною і область контактує з термостатом.
Якщо лінійні рівняння повністю характеризуються набором сво-
їх лінійно незалежних частинних розв’язків, то загальні (і навіть час-
тинні) розв’язки напівлінійних рівнянь є майже невідомими, а їх вла-
стивості визначатимуться не стільки властивостями лінійного опера-
тора у лівій частині рівняння (1), скільки особливостями поведінки
нелінійної функції ( )f u , що входить у його праву частину.
Для чисельного аналізу задачі (1), (2) зазвичай використовують
метод скінченних різниць, метод скінченних елементів, варіаційні
методи, методи асимптотичних рядів або різні класи ітераційних ме-
тодів [4, 5, 7, 8, 11, 12, 14, 15]. Перспективним є застосування до
розв’язування цієї задачі ітераційних методів двобічних наближень,
які дозволяють будувати дві послідовності функцій, що знизу та зве-
рху апроксимують шуканий розв’язок.
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 168-187.
170
Отже, актуальною науковою задачею є розробка нових та вдос-
коналення існуючих методів математичного моделювання та чисель-
ного аналізу крайових задач для напівлінійних еліптичних диферен-
ціальних рівнянь другого порядку, що є математичними моделями
термохімічних процесів.
Метою роботи є подальший розвиток ітераційних методів
розв’язування одновимірних крайових задач для напівлінійних зви-
чайних диференціальних рівнянь, що є математичними моделями
деяких термохімічних процесів. Для досягнення поставленої мети
необхідно виконати наступні завдання:
для першої крайової задачі відносно безрозмірної температури
побудувати ітераційний метод двобічних наближень на основі ви-
користання функції Гріна та теорії нелінійних операторів у напі-
вупорядкованих просторах;
провести обчислювальні експерименти для тестових задач.
При розв’язуванні крайових задач для напівлінійних звичайних
диференціальних рівнянь метод двобічних наближень на основі ви-
користання функції Гріна застосовувався, наприклад, у роботах [1, 5,
10]. Дана робота продовжує розпочаті в них дослідження.
1. Постановка задачі. Розглядатимемо хімічний реактор у фор-
мі тонкого стриженя одиничної довжини, у якому відбувається екзо-
термічна хімічна реакція; кінці реактора підтримуються при сталій
температурі. Тоді температура буде залежати лише від однієї коор-
динати і замість задачі (1), (2) для безрозмірної температури ( )u u x
ми отримаємо задачу
( )u f u , (0; 1)x , (3)
(0) 0u , (1) 0u . (4)
Виходячи з кінетики Арреніуса функцію ( )f u часто обирають у
вигляді ( ) uf u e або 1( )
u
uf u e ( 0 – параметр насичення) [6,
11, 13, 15]. Тоді параметр має зміст узагальненої характеристики
інтенсивності тепловиділення внаслідок хімічної реакції та визначає
співвідношення між швидкістю генерації тепла та його відведенням у
середовище. Зростання цього параметра зазвичай призводить до по-
силення нелінійних ефектів саморозігріву та може спричинити втрату
стаціонарного режиму і виникнення теплового вибуху.
Рівняння задачі (3), (4) можна узагальнити, додавши у лівій час-
тині вираз 2u ( 0 ). Тут член 2u описуватиме втрати тепла
через охолодження, радіацію, теплообмін тощо, а член 2u опису-
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 168-187.
171
ватиме, наприклад, зовнішній підігрів, коли середовище нагрівається
швидше, ніж охолоджується, або екзотермічні зворотні процеси, коли
реакція сама підсилює температуру.
Вибір ( ) uf u e відповідає класичній кінетиці Арреніуса і дає
наближення відповідного закону за Франк-Каменецьким [6].
Отже, у роботі розглядатимемо наступні три задачі для напівлі-
нійних звичайних диференціальних рівнянь з експоненціальною не-
лінійністю:
задача 1:
uu e , (0; 1)x , (5)
(0) 0u , (1) 0u . (6)
задача 2:
2 uu u e , (0; 1)x , (7)
(0) 0u , (1) 0u . (8)
задача 3:
2 uu u e , (0; 1)x , (9)
(0) 0u , (1) 0u , (10)
де 0 , 0 .
Для кожної з записаних крайових задач нас цікавитиме існуван-
ня та фактичне знаходження додатного розв’язку.
2. Метод чисельного аналізу. До розв’язування кожної з задач
(5), (6), (7), (8) та (9), (10) застосуємо ітераційний метод двобічних
наближень на основі використання функції Гріна [5]. Згідно з цим
методом крайова задача замінюється еквівалентним інтегральним
рівнянням Гаммерштейна, ядром якого є функції Гріна відповідного
диференціального оператора. Далі отримане інтегральне рівняння
аналізується методами теорії нелінійних операторів у напівупорядко-
ваних банахових просторах і будується відповідний ітераційних про-
цес, що має двобічний характер збіжності. При цьому важливим є
наявність властивості додатності функції Гріна.
Для задачі (5), (6) функція Гріна є додатною і має вигляд
1
(1 ), 0 ,
( , )
(1 ), 1,
x s x s
G x s
s x s x
для задачі (7), (8) функція Гріна також є додатною і має вигляд
2
sh sh (1 ), 0 ,1
( , )
sh sh (1 ), 1,sh
x s x s
G x s
s x s x
а задачі (9), (10) функція Гріна має вигляд
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 168-187.
172
3
sin sin (1 ), 0 ,1
( , )
sin sin (1 ), 1,sin
x s x s
G x s
s x s x
і, по-перше, існує лише, якщо k , k , а, по-друге, не завжди є
невід’ємною у квадраті 0 , 1x s (умова невід’ємності виконується
лише для 0 ).
Отже, крайова задача (5), (6) еквівалентна інтегральному рівнянню
1
( )
1
0
( ) ( , ) u su x G x s e ds , (11)
крайова задача (7), (8) еквівалентна інтегральному рівнянню
1
( )
2
0
( ) ( , ) u su x G x s e ds , (12)
а для зведення крайової задачі (9), (10) до еквівалентного інтеграль-
ного рівняння Гаммерштейна з додатним ядром подамо спочатку рів-
няння задачі у вигляді 2 uu u e і тоді відповідне інтегральне
рівняння отримаємо у вигляді
1
2 ( )
1
0
( ) ( , )[ ( ) ]u su x G x s u s e ds . (13)
Зауважимо, що для 0 еквівалентне задачі (9), (10) інтег-
ральне рівняння можна обрати й у вигляді
1
( )
3
0
( ) ( , ) u su x G x s e ds . (14)
Кожне з інтегральних рівнянь (11)-(14) розглядатимемо у бана-
ховому просторі [0; 1]C функцій, що є неперервними на відрізку
[0; 1] . Норма у цьому просторі задається рівністю
[0; 1]
max ( )
x
u u x
.
Напівупорядкуємо простір [0; 1]C за допомогою конуса K не-
від’ємних функцій з [0; 1]C : для , [0; 1]u v C покладемо u v , як-
що v u K , тобто ( ) ( )u x v x для всіх [0; 1]x .
Інтегральні рівняння (11)-(14) візьмемо за основу означення уза-
гальненого розв’язку відповідних крайових задач. Так, наприклад,
узагальненим розв’язком крайової задачі (5), (6) назвемо функцію
u K
, що є розв’язком інтегрального рівняння (11).
З кожним з інтегральних рівнянь (11)-(14) пов’яжемо нелінійний
інтегральний оператор iT , 1, 2, 3, 4i , що діє у просторі [0; 1]C за
правилом, що визначається правою частиною відповідного інтегра-
льного рівняння, тобто
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 168-187.
173
1
( )
1 1
0
( )( ) ( , ) u sT u x G x s e ds , (15)
1
( )
2 2
0
( )( ) ( , ) u sT u x G x s e ds , (16)
1
2 ( )
3 1
0
( )( ) ( , )[ ( ) ]u sT u x G x s u s e ds . (17)
1
( )
4 3
0
( )( ) ( , ) u sT u x G x s e ds . (18)
Отже, інтегральні рівняння (11)-(14) у операторній формі запи-
шуться у вигляді ( )iu T u , 1, 2, 3, 4i , і задачу розв’язання кожної
з крайових задач (5), (6), (7), (8) та (9), (10) зведено до задачі знахо-
дження нерухомої точки відповідного оператора ( )iT u , 1, 2, 3, 4i .
Для дослідження питання існування нерухомої точки оператора ско-
ристаємося методами теорії нелінійних операторів у напівупорядко-
ваних банахових просторах [2, 3].
По-перше, оператори 1T (для 0 ), 2T (для 0 , 0 ), 3T
(для 0 , 0 ) і 4T (для 0 , 0 ) є додатними, тобто
залишають інваріантним конус K (з того, що u K випливає, що
( )iT u K , 1, 2, 3, 4i ).
По-друге, очевидно, що оператори є неперервними і навіть ціл-
ком неперервними.
По-третє, через невід’ємність кожного з ядер та зростання за u
функції ue (для операторів 1T , 2T і 4T ) та функції 2 uu e (для
оператора 3T ) кожен з операторів iT , 1, 2, 3, 4i , є ізотонним (з
того, що v w випливає, що ( ) ( )i iT v T w , 1, 2, 3, 4i ).
Дослідимо тепер питання існування для кожного з операторів
iT , 1, 2, 3, 4i , інваріантного конусного відрізка 0 0, v w , що
визначається нерівностями 0 0( )iT v v , 0 0( )iT w w , 1, 2, 3, 4i .
Оскільки ( )iT і ( )iT , 1, 2, 3, 4i , де – нульовий еле-
мент простору [0; 1]C , то кінці інваріантного конусного відрізка шу-
катимемо у вигляді 0 ( ) 0v x , 0 ( )w x ( 0 ).
Для операторів iT , 1, 2, 3, 4i , умови, що визначають інваріа-
нтний конусний відрізок, мають відповідно вигляд:
для 1T ( 0 )
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 168-187.
174
1
1
0
( , ) 0G x s ds для всіх [0; 1]x , (19)
1
1
0
( , )e G x s ds для всіх [0; 1]x ; (20)
для 2T ( 0 , 0 )
1
2
0
( , ) 0G x s ds для всіх [0; 1]x , (21)
1
2
0
( , )e G x s ds для всіх [0; 1]x ; (22)
для 3T ( 0 , 0 )
1
1
0
( , ) 0G x s ds для всіх [0; 1]x , (23)
1
2
1
0
( ) ( , )e G x s ds для всіх [0; 1]x ; (24)
для 4T ( 0 , 0 )
1
3
0
( , ) 0G x s ds для всіх [0; 1]x , (25)
1
3
0
( , )e G x s ds для всіх [0; 1]x . (26)
Через невід’ємність (за вказаних обмежень на параметри) функ-
цій Гріна нерівності (19), (21), (23), (25) завжди виконуватимуться, а
нерівності (20), (22), (24), (26) можна записати відповідно у вигляді
1M e , 2M e , 2
1 1M M e , 3M e ,
де
1
1 1
[0;1]
0
1
max ( , )
8x
M G x s ds
,
1
2 2
[0;1] 2
0
ch 1
2max ( , )
ch
2
x
M G x s ds
,
1
3 3
[0;1] 2
0
1 cos
2max ( , )
cos
2
x
M G x s ds
( 0 ).
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 168-187.
175
Аналіз нерівності Me дає, що вона має єдиний розв’язок
1 , якщо
1
M
e
, і її розв’язком є відрізок [ , ] , 1 , якщо
1
0 M
e
. Якщо ж
1
M
e
, то нерівність Me не матиме роз-
в’язків. Отже, інваріантний конусний відрізок вигляду 0, існує:
для оператора 1T , якщо
8
0
e
;
для оператора 2T , якщо
2 ch
20
ch 1
2
e
;
для оператора 4T , якщо
2 cos
20
1 cos
2
e
, 0 .
Нерівність, що визначає величину для оператора 3T записує-
мо у вигляді
2
1 1(1 )M e M . (27)
Очевидно, що якщо 2
11 0M , тобто 2 2 , то нерів-
ність (27) не виконується для жодного 0 при 0 . Якщо ж
2
11 0M (тобто 0 2 2 ), то нерівність (27) має єдиний
розв’язок 1 , якщо 1
2
1
1
1
M
eM
, і розв’язком нерівності (27) є
відрізок [ , ] , 1 , якщо 1
2
1
1
0
1
M
eM
.
Отже, інваріантний конусний відрізок вигляду 0, для
оператора 3T існує, якщо 0 2 2 і
28
0
e
.
І нарешті, на конусному відрізку 0, кожен з операторів є
ліпшіц-неперервним, тобто для всіх , 0, v w
( ) ( )i i iT v T w L v w , 1, 2, 3, 4i .
Оскільки для всіх , 0, v w виконується, що
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 168-187.
176
v we e e v w ,
то константи iL , 1, 2, 3, 4i , дорівнюють 1 1L e M ,
2 2L e M , 2
3 1( )L e M , 4 4L e M .
Сформуємо наступні ітераційні процеси:
для рівняння (11), тобто для крайової задача (5), (6),
( )
1
( 1) ( )
1
0
( ) ( , )
kk v sv x G x s e ds , 0,1, 2, ...k , (28)
( )
1
( 1) ( )
1
0
( ) ( , )
kk w sw x G x s e ds , 0,1, 2, ...k , (29)
для рівняння (12), тобто для крайової задача (7), (8),
( )
1
( 1) ( )
2
0
( ) ( , )
kk v sv x G x s e ds , 0,1, 2, ...k , (30)
( )
1
( 1) ( )
2
0
( ) ( , )
kk w sw x G x s e ds , 0,1, 2, ...k , (31)
для рівняння (13), тобто для крайової задача (9), (10),
( )
1
( 1) 2 ( ) ( )
1
0
( ) ( , )[ ( ) ]
kk k v sv x G x s v s e ds , 0,1, 2, ...k , (32)
( )
1
( 1) 2 ( ) ( )
1
0
( ) ( , )[ ( ) ]
kk k w sw x G x s w s e ds , 0,1, 2, ...k , (33)
для рівняння (14), тобто теж для крайової задача (9), (10),
( )
1
( 1) ( )
3
0
( ) ( , )
kk v sv x G x s e ds , 0,1, 2, ...k , (34)
( )
1
( 1) ( )
3
0
( ) ( , )
kk w sw x G x s e ds , 0,1, 2, ...k , (35)
де
(0) ( ) 0v x , (0) ( )w x . (36)
З огляду на ізотонність операторів iT , 1, 2, 3, 4i , можна стве-
рджувати, що
(0) (1) ( ) ( ) (1) (0) ( ) ( ) ... ( ) ... ( ) ... ( ) ( )0 k kv x v x v x w x w x w x .
З нормальності конуса K і повної неперервності операторів iT ,
1, 2, 3, 4i , випливає існування у [0;1]C границь
( )lim k
k
v v
,
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 168-187.
177
( )lim k
k
w w
. Якщо ж 1iL , 1, 2, 3, 4i , то v w u , де u –
узагальнений розв’язок відповідної крайової задачі.
Для найшвидшої збіжності записаних вище ітераційних процесів
слід взяти найменше можливе значення , що отримується при по-
будові інваріантного відрізка 0, .
Підсумовуючи викладене, сформулюємо умови збіжності запро-
понованих ітераційних процесів та умови існування узагальнених
розв’язків відповідних крайових задач.
Зауважимо, що найменший корінь рівняння
8
e
для
8
0
e
завжди менше 1. Тоді
1 1
8
L e
. Отже, має місце насту-
пна теорема.
Теорема 1. Нехай
8
0
e
. Тоді крайова задача (5), (6) має на
0, , де – найменший корінь рівняння
8
e
, єдиний уза-
гальнений розв’язок u , до якого двобічно збігається ітераційний
процес (28), (29), (36).
З аналогічних міркувань отримуємо, що 2 1L , 3 1L і 4 1L .
Отже, мають місце такі теореми.
Теорема 2. Нехай
2 ch
20
ch 1
2
e
. Тоді крайова задача (7),
(8) має на 0, , де – найменший корінь рівняння
2
ch 1
2
ch
2
e
, єдиний узагальнений розв’язок u , до якого дво-
бічно збігається ітераційний процес (30), (31), (36).
Теорема 3. Нехай
28
0
e
і 0 2 2 . Тоді крайова за-
дача (9), (10) має на 0, , де – найменший корінь рівняння
28
e
, єдиний узагальнений розв’язок u , до якого двобічно
збігається ітераційний процес (32), (33), (36).
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 168-187.
178
Теорема 4. Нехай
2 cos
20
1 cos
2
e
, 0 . Тоді крайова
задача (9), (10) має на 0, , де – найменший корінь рівняння
2
1 cos
2
cos
2
e
, єдиний узагальнений розв’язок u , до якого
двобічно збігається ітераційний процес (34)-(36).
Теорема 1 для задачі (5), (6) дає умову існування розв’язку лише
для
8
0
e
. Проте за рахунок втрат тепла у розглядуваному проце-
сі через охолодження, радіацію, теплообмін (член 2u відповідного
рівняння) згідно з теоремою 2 ми отримаємо, що за рахунок вибору
можна отримати існування розв’язку для як завгодно великих зна-
чень . З іншого боку запропонований метод аналізу у випадку, коли
наявні екзотермічні зворотні процеси, тобто термохімічна реакція
сама підсилює температуру (член 2u відповідного рівняння), ми
маємо згідно з теорем 3 та 4 лише обмежений діапазон зміни значень
, якому відповідає зміна від 0 до
8
e
.
Двобічна збіжність запропонованих ітераційних процесів дає на-
ступні оцінки для точного розв’язку u розглядуваних крайових задач
(0) (1) ( ) ( ) (1) (0) ... ... ... ...0 k kv v v u w w w .
Це означає, що на кожному кроці ітераційного процесу ми має-
мо гарантовану оцінку ( ) ( )k kv u w , а якщо за наближений
розв’язок на k -й ітерації обрати
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
k k
k v x w x
u x
, то похиб-
ка цього наближення оцінюватиметься нерівністю
( ) ( ) ( )
[0;1]
1
max [ ( ) ( )]
2
k k k
x
u u w x v x
.
Звідси маємо зручний критерій закінчення ітерацій: з точністю
можна вважати, що ( )( ) ( )ku x u x , якщо
( ) ( )
[0;1]
max [ ( ) ( )] 2k k
x
w x v x
. (37)
Також зауважимо, що інваріантний конусний відрізок 0, є
апріорною оцінкою розв’язку відповідної крайової задачі, але через
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 168-187.
179
сталість його кінців ця оцінка є певною мірою тривіальною. Тоді за
апріорну оцінку розв’язку можна взяти відрізок (1) (1),v w . Отже:
для задачі (5), (6)
1 1
1 1
0 0
( , ) ( ) ( , )G x s ds u x e G x s ds ;
для задачі (7), (8)
1 1
2 2
0 0
( , ) ( ) ( , )G x s ds u x e G x s ds ;
для задачі (9), (10)
1 1
2
1 1
0 0
( , ) ( ) ( ) ( , )G x s ds u x e G x s ds
або
1 1
3 3
0 0
( , ) ( ) ( , )G x s ds u x e G x s ds .
Обчисливши відповідні інтеграли від функції Гріна остаточно
отримаємо наступні оцінки для розв’язку:
для задачі (5), (6)
(1 ) ( ) (1 )
2 2
e
x x u x x x
;
для задачі (7), (8)
2 2
2 (1 ) 2 (1 )
sh sh ( ) sh sh
2 2 2 2
ch ch
2 2
x x e x x
u x
;
для задачі (9), (10)
2
(1 ) ( ) (1 )
2 2
e
x x u x x x
або
2 2
2 (1 ) 2 (1 )
sin sin ( ) sin sin
2 2 2 2
cos cos
2 2
x x e x x
u x
.
Також зауважимо, що послідовності нижніх ( ){ ( )}kv x та верхніх
( ){ ( )}kw x наближень, сформованих за запропонованими ітераційни-
ми схемами, утворюють дві незалежні послідовності і при організації
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 168-187.
180
відповідних обчислювальних процесів їх формування можна прово-
дити з використанням технологій паралельних обчислень.
3. Результати обчислювального експерименту. Крайова зада-
ча (5), (6) – це класична задача Брату. Відомо [14], що в залежності
від ця задача має два розв’язки, один розв’язок чи взагалі не є
розв’язною. А саме існує критичне значення крит. 3,5138 таке, що:
для крит.0 існує два розв’язки задачі (5), (6): нижній (стій-
кий) і верхній (нестійкий);
для крит. існує єдиний (граничний) розв’язок задачі (5), (6);
для крит. задача (5), (6) не має розв’язків.
Відповідно до теореми 1 ми гарантуємо знаходження з двобіч-
ними наближеннями нижнього, стійкого, розв’язку (єдиного на виді-
леному інваріантному конусному відрізку) для значень 0 , де
крит.
8
2,9430
e
.
Для задачі (5), (6) також відомим є точний розв’язок:
ch
4( ) 2ln
1
ch
2 2
u x
x
,
де – розв’язок рівняння
2
22ch
4
. При цьому
1
2ln ch
2 4
u u
і зі зростанням також зростає і u .
Обчислювальний експеримент в задачі (5), (6) було проведено
для різних значень параметра . Ітераційний процес проводився до
виконання нерівності (37) при 410 . В таблиці 1 наведено значен-
ня параметра , значення і , кількість зроблених ітерацій k ,
норма наближеного розв’язку
( )ku , норма точного розв’язку u ,
оцінка точності наближеного розв’язку
( ) ( )
оц.
[0;1]
1
max [ ( ) ( )]
2
k k
x
w x v x
та фактична точність
( )
факт.
ku u .
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 168-187.
181
Таблиця 1
Результати обчислювального експерименту для задачі (5), (6)
λ 0,5 1 1,5 2 2,5 2,9
0,066819 0,144421 0,237846 0,357403 0,531956 0,838033
4,210067 3,261686 2,647648 2,153292 1,684794 1,181602
k 3 4 5 6 9 13
( )ku 0,066033 0,140529 0,226463 0,328911 0,458005 0,596645
u 0,066037 0,140539 0,226482 0,328952 0,458037 0,596692
оц. 50,64 10 40,15 10 40,30 10 40,77 10 40,45 10 40,55 10
факт. 50,41 10 50,98 10 40,19 10 40,41 10 40,32 10 40,34 10
Як бачимо з таблиці 1, метод (28), (29), (36) дає доволі хороші на-
ближення до точного розв’язку і оцінка похибки наближення (будучи
завищеною) майже співпадає з її фактичним значенням. Також можна
відмітити, що зі збільшенням λ збіжність методу уповільнюється.
Розглянемо тепер крайову задачу (7), (8). Відповідно до теоре-
ми 2 ми гарантуємо знаходження з двобічними наближеннями
розв’язку, що є єдиним на виділеному інваріантному конусному від-
різку, для значень 0 ( ) , де
2 ch
2( )
ch 1
2
e
. Точний
розв’язок для задачі (7), (8) не відомий.
У таблиці 2 наведено значення ( ) для деяких .
Таблиця 2
Значення ( ) при деяких для задачі (7), (8)
κ 0,5 1 1,5 2 2,5 3
( ) 3,0197 3,2504 3,6366 4,1811 4,8873 5,7591
Я бачимо з таблиці 2, зі зростанням κ також збільшується поро-
гове значення ( ) , до якого ми можемо бути впевнені в збіжності
ітераційного процесу (30), (31), (36).
У таблиці 3 наведено значення параметрів і , значення і
, кількість зроблених ітерацій k , норма наближеного розв’язку
( )ku та його оцінка точності ( ) ( )
оц.
[0;1]
1
max [ ( ) ( )]
2
k k
x
w x v x
.
Як бачимо з таблиці 2, метод (30), (31), (36) також дозволяє отрима-
ти в межах умов збіжності хороші наближення до точного розв’язку. При
цьому норма розв’язку задачі (7), (8) збільшується зі зростанням λ, але
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 168-187.
182
зменшується при зростанні κ. Також можна відмітити, що зі збільшенням
λ (для фіксованого κ) уповільнюється швидкість збіжності ітерацій, а зі
збільшенням κ (для фіксованого λ), навпаки, збіжність прискорюються.
Таблиця 3
Результати обчислювального експерименту для задачі (7), (8)
κ = 1
λ 0,5 1 1,5 2 2,5 3
0,060096 0,128730 0,209296 0,308016 0,438828 0,651172
4,339724 3,403600 2,804541 2,332604 1,909115 1,455510
k 2 3 4 6 7 10
( )ku 0,059428 0,125704 0,200835 0,288157 0,393424 0,528999
оц. 40,87 10 40,84 10 40,90 10 40,31 10 40,90 10 40,92 10
κ = 2
λ 0,5 1 1,5 2 2,5 3
0,046067 0,096943 0,153945 0,219072 0,295628 0,389775
4,663482 3,753175 3,182900 2,748470 2,382383 2,049610
k 2 3 4 5 6 7
( )ku 0,045709 0,095390 0,149865 0,210338 0,278579 0,357365
оц. 40,40 10 40,29 10 40,21 10 40,20 10 40,25 10 40,43 10
κ = 3
λ 0,5 1 1,5 2 2,5 3
0,033011 0,068400 0,106595 0,148159 0,193858 0,244784
5,066593 4,181430 3,636270 3,230162 2,898774 2,612455
k 2 3 3 4 4 5
( )ku 0,032851 0,067731 0,104896 0,144789 0,187813 0,234697
оц. 40,15 10 50,75 10 40,43 10 40,19 10 40,68 10 40,41 10
Для крайової задачі (9), (10) запропоновано дві ітераційні схеми ме-
тоду двобічних наближень: схема (32), (33), (36) та схема (34)-(36). Для
цієї задачі ми гарантуємо знаходження з двобічними наближеннями роз-
в’язку, що є єдиним на виділеному інваріантному конусному відрізку, для
значень 0 2 2 , 0 ( ) , де
28
( )
e
, (згідно з теоре-
мою 3) або для значень 0 , 0 ( ) , де
2 cos
2( )
1 cos
2
e
,
(згідно з теоремою 4). Точного розв’язку для задачі (9), (10) не відомо.
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 168-187.
183
У таблиці 4 наведено значення ( ) , ( ) для деяких .
Таблиця 4
Значення ( ) , ( ) при деяких для задачі (9), (10)
0,5 1 1,5 2 2,5 3
( ) 2,8511 2,5752 2,1153 1,4715 0,6438 –
( ) 2,8664 2,6372 2,2572 1,7295 1,0589 0,2520
Я бачимо з таблиці 4, зі зростанням порогові значення ( ) і
( ) , до яких ми можемо бути впевнені в збіжності ітераційних проце-
сів (32), (33), (36) і (34)-(36), зменшуються. При цьому для фіксованого
значення порогове значення ( ) завжди більше ніж ( ) .
У таблиці 5 для ітераційної схеми (32), (33), (36) наведено зна-
чення параметрів і , значення і , кількість зроблених ітера-
цій k , норма наближеного розв’язку
( )ku та його оцінка точності
( ) ( )
оц.
[0;1]
1
max [ ( ) ( )]
2
k k
x
w x v x
, а у таблиці 6 – ті ж значення для іте-
раційної схеми (34)-(36).
Як бачимо з таблиць 5 і 6, обидва методи (32), (33), (36) і (34)-
(36) в межах своїх умов збіжності дозволяють отримати хороші на-
ближення до точного розв’язку задачі (9), (10). При цьому норма
розв’язку задачі (9), (10) збільшується зі зростанням як , так і .
Також бачимо, що зі збільшенням уповільнюється швидкість збі-
жності ітерацій. Порівнюючи ці схеми, можна дійти висновку, що
метод (34)-(36) має ширшу множину значень параметрів, для яких
має місце його збіжність, і за однакових їх значень швидше збігаєть-
ся, ніж метод (32), (33), (36). Отже, при розв’язуванні задачі (9), (10)
перевагу слід віддати ітераційній схемі (34)-(36).
Таблиця 5
Результати обчислювального експерименту для задачі (9), (10)
(ітераційна схема (32), (33), (36))
1
0,5 1 1,5 2 2,5 3
0,077158 0,169193 0,284929 0,446543 0,775942 –
4,033755 3,066421 2,427172 1,888597 1,263524 –
k 4 5 7 9 13 –
( )ku 0,074156 0,159166 0,259544 0,383745 0,551873 –
оц. 40,28 10 40,51 10 40,30 10 40,47 10 40,77 10 –
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 168-187.
184
Продовження таблиці 5
2
0,5 1 1,5 2 2,5 3
0,144421 0,357403 – – – –
3,261686 2,153292 – – – –
k 9 13 – – – –
( )ku 0,116986 0,263969 – – – –
оц. 40,86 10 40,62 10 – – – –
Таблиця 6
Результати обчислювального експерименту для задачі (9), (10)
(ітераційна схема (34)-(36))
1
0,5 1 1,5 2 2,5 3
0,075194 0,164423 0,275652 0,428034 0,707679 –
4,065391 3,101677 2,467457 1,938503 1,363494 –
k 3 4 5 7 11 –
( )ku 0,074166 0,159178 0,259529 0,383739 0,551872 –
оц. 40,10 10 40,28 10 40,68 10 40,72 10 40,70 10 –
2
0,5 1 1,5 2 2,5 3
0,119899 0,281998 0,556750 – – –
3,491266 2,439749 1,632504 – – –
k 3 5 9 – – –
( )ku 0,116985 0,263965 0,468656 – – –
оц. 40,61 10 40,73 10 40,55 10 – – –
Крайова задача (5), (6) виникає при дослідженні проблем теплового
вибуху [6]. Як ми бачимо з отриманих результатів, додавання у рівняння
математичної моделі термохімічного процесу виразу 2u ( 0 ) змі-
нює характер його протікання. Доданок 2u , що описує теплові втрати
в середовище, стабілізує процес ( u для задачі (7), (8) менша відповід-
них норм розв’язку задачі (5), (6) для одних і тих самих значень ) і
розв’язок існує для більшої множини значень параметру . Доданок
2u , описуючи підсилення реакції за рахунок, наприклад, зовнішнього
підігріву, навпаки дестабілізує процес: u в задачі (9), (10) зростає шви-
дше і розв’язок існує для меншої множини значень параметру λ.
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 168-187.
185
Висновки. У даній роботі отримали подальший розвиток методи
двобічних наближень в частині їх застосування до чисельного аналізу
одновимірних крайових задач, що є математичними моделями термохі-
мічних процесів, а саме були отримані умови розв’язності відповідних
крайових задач з експоненціальною нелінійністю та умови отримання їх
розв’язків з двобічною оцінкою точності. Безумовною перевагою запро-
понованих обчислювальних схем є наявність гарантованої оцінки похи-
бки на кожній ітерації. Результати роботи можуть бути застосовані як
при дослідженні конкретних прикладних задач, так і для оцінювання
точності інших чисельних методів розв’язання крайових задач для напі-
влінійних звичайних диференціальних рівнянь.
Цим визначається наукова новизна та практична значущість ре-
зультатів, отриманих у роботі.
Наступні дослідження доцільно зосередити на дослідженні ме-
тодами двобічних наближень дво- та тривимірних математичних мо-
делей термохімічних процесів.
Список використаних джерел:
1. Вороненко М. Д., Сидоров М. В. Конструктивне дослідження нелінійних
крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Радіоелектроні-
ка та інформатика. 2018. № 1 (80). С. 48-54.
2. Krasnoselskii M. A. Positive solutions of operator equations. Groningen:
P. Noordhoff, 1964. 379 p.
3. Опойцев В. И., Хуродзе Т. А. Нелинейные операторы в пространствах с
конусом. Тбилиси: Изд-во Тбилисского университета, 1984. 246 с.
4. Samarskii A. A. The Theory of Difference Schemes. New York: Marcel
Dekket, Inc., 2001. XVIII+751 p.
5. Сидоров М. В. Метод двобічних наближень розв’язання першої крайової
задачі для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь на основі ви-
користання функції Гріна. Радіоелектроніка, інформатика, управління.
2019. № 1 (48). С. 57-66. DOI: 10.15588/1607-3274-2019-1-6.
6. Франк-Каменецкий Д. А. Основы макрокинетики. Диффузия и теплопе-
редача в химической кинетике. Долгопрудный: Издательский Дом «Ин-
теллект», 2008. 408 с.
7. Afrouzi G. A., Khademloo S. A numerical method to find positive solution of
semilinear elliptic Dirichlet problems. Applied Mathematics and Computation.
2006. Vol. 174, № 2. P. 1408-1415. DOI:10.1016/j.amc.2005.05.04.
8. Ananthaswamy V., Rajendran L. Analytical solutions of some two-point non-
linear elliptic boundary value problems. Applied Mathematics. 2012. № 3.
P. 1044-1058. DOI: 10.4236/am.2012.39154.
9. Kapila A. K., Matkowsky B. J., Vega J. Reactive-diffusive system with Arrhe-
nius kinetics: peculiarities of the spherical geometry. SIAM Journal on Applied
Mathematics. 1980. Vol. 38, № 3. P. 382-401.
10. Konchakovska O., Sidorov M. Numerical Analysis of the One-Dimensional
Nonlinear Boundary Value Problem that Modeling an Electrostatic NEMS by
Two-Sided Approximations Method. Journal of Numerical Analysis, Industrial
and Applied Mathematics (JNAIAM). 2020. Vol. 14, № 3-4. P. 17-26.
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 168-187.
186
11. Mohsen A. A simple solution of the Bratu problem. Computers and Mathematics
with Applications. 2014. № 67. P. 26-33. DOI: 10.1016/j.camwa.2013.10.003.
12. Pao C. V. Nonlinear parabolic and elliptic equations. New York: Plenum Press,
1992. 794 p.
13. Syam M. I., Allan F. M. On the computation of fold points for nonlinear ellip-
tic eigenvalue problems. International Journal of Open Problems in Computer
Science and Mathematics. 2011. Vol. 4, № 1. P. 1-17.
14. Tomar S., Pandey R.K. An efficient iterative method for solving Bratu-type
equations. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2019.
Vol. 357. P. 71-84. DOI: 10.1016/j.cam.2019.02.025.
15. Yadav N., Yadav A., Deep K. Artificial neural network technique for solution of non-
linear elliptic boundary value problems. Proceedings of Fourth International Confer-
ence on Soft Computing for Problem Solving. New Delhi: Springer, 2015. P. 113-121.
References:
1. Voronenko M. D., Sidorov M. V. Konstruktyvne doslidzhennia neliniinykh
kraiovykh zadach dlia zvychainykh dyferentsialnykh rivnian. Radioelektronika
ta informatyka. 2018. № 1 (80). Р. 48-54.
2. Krasnoselskii M. A. Positive solutions of operator equations. Groningen:
P. Noordhoff, 1964. 379 p.
3. Opoitsev V. I., Khurodze T. A. Nelineinye operatory v prostranstvakh s ko-
nusom. Tbilisi: Izd-vo Tbilisskogo universiteta, 1984. 246 р.
4. Samarskii A. A. The Theory of Difference Schemes. New York: Marcel
Dekket, Inc., 2001. XVIII+751 p.
5. Sidorov M. V. Metod dvobichnykh nablyzhen rozviazannia pershoi kraiovoi
zadachi dlia neliniinykh zvychainykh dyferentsialnykh rivnian na osnovi vy-
korystannia funktsii Hryna. Radioelektronika, informatyka, upravlinnia. 2019.
No. 1 (48). P. 57-66. DOI: 10.15588/1607-3274-2019-1-6.
6. Frank-Kamenetskii D. A. Osnovy makrokinetiki. Diffuziia i teploperedacha v
khimicheskoi kinetike. Dolgoprudnyi: Izdatelskii Dom «Intellekt», 2008. 408 s.
7. Afrouzi G. A., Khademloo S. A numerical method to find positive solution of
semilinear elliptic Dirichlet problems. Applied Mathematics and Computation.
2006. Vol. 174, № 2. P. 1408-1415. DOI:10.1016/j.amc.2005.05.04.
8. Ananthaswamy V., Rajendran L. Analytical solutions of some two-point non-
linear elliptic boundary value problems. Applied Mathematics. 2012. № 3.
P. 1044-1058. DOI: 10.4236/am.2012.39154.
9. Kapila A. K., Matkowsky B. J., Vega J. Reactive-diffusive system with Arrhe-
nius kinetics: peculiarities of the spherical geometry. SIAM Journal on Applied
Mathematics. 1980. Vol. 38, № 3. P. 382-401.
10. Konchakovska O., Sidorov M. Numerical Analysis of the One-Dimensional
Nonlinear Boundary Value Problem that Modeling an Electrostatic NEMS by
Two-Sided Approximations Method. Journal of Numerical Analysis, Industrial
and Applied Mathematics (JNAIAM). 2020. Vol. 14, № 3-4. P. 17-26.
11. Mohsen A. A simple solution of the Bratu problem. Computers and Mathematics
with Applications. 2014. № 67. P. 26-33. DOI: 10.1016/j.camwa.2013.10.003.
12. Pao C. V. Nonlinear parabolic and elliptic equations. New York: Plenum Press,
1992. 794 p.
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 168-187.
187
13. Syam M. I., Allan F. M. On the computation of fold points for nonlinear ellip-
tic eigenvalue problems. International Journal of Open Problems in Computer
Science and Mathematics. 2011. Vol. 4, № 1. P. 1-17.
14. Tomar S., Pandey R.K. An efficient iterative method for solving Bratu-type
equations. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2019.
Vol. 357. P. 71-84. DOI: 10.1016/j.cam.2019.02.025.
15. Yadav N., Yadav A., Deep K. Artificial neural network technique for solution of non-
linear elliptic boundary value problems. Proceedings of Fourth International Confer-
ence on Soft Computing for Problem Solving. New Delhi: Springer, 2015. P. 113-121.
ANALYSIS OF ONE-DIMENSIONAL STEADY-STATE
THERMOCHEMICAL PROBLEMS USING THE METHOD OF
TWO-SIDED APPROXIMATIONS WITH GREEN’S FUNCTION
This paper considers the first boundary value problem for a semilinear or-
dinary differential equation, which serves as a mathematical model of a ther-
mochemical process. In particular, the classical Bratu problem and two of its
generalizations are studied, taking into account both heat losses due to cooling
and external heating. The exponential nonlinearity in the equations corresponds
to the Frank-Kamenetskii approximation of the Arrhenius law.
Using Green’s function, each of the considered problems is reduced to
an equivalent Hammerstein integral equation, which is analyzed within the
framework of nonlinear operator theory in semi-ordered Banach spaces.
For this purpose, the integral equation is represented as an operator equa-
tion with a nonlinear operator acting in the space of continuous functions
partially ordered by the cone of nonnegative functions. The operator is in-
vestigated with respect to positivity, monotonicity, Lipschitz continuity,
and the existence of an invariant conical segment.
For the numerical analysis of these integral equations (and hence the corre-
sponding boundary value problems), iterative schemes based on the method of
two-sided approximations are proposed. The endpoints of the invariant conical
segment are chosen as initial approximations. For each scheme, convergence
conditions and conditions for the existence of positive solutions to the corre-
sponding boundary value problems are established. Additionally, two-sided a
priori estimates for these solutions are obtained.
Computational experiments are carried out for various parameter values,
and in the case of the Bratu problem, the results are compared with the exact
solution. Based on the analysis, conclusions are drawn regarding the efficiency
of the proposed computational schemes. In particular, their advantages include
the availability of guaranteed a posteriori error estimates for the approximate
solution and a convenient stopping criterion for the iterative process.
The results obtained in this work can be extended to two- and three-
dimensional mathematical models of thermochemical processes with ex-
ponential nonlinearities.
Key words: mathematical modelling, thermochemical processes, two-
sided approximation method, Green’s function, first boundary value prob-
lem, semilinear ordinary differential equation.
Математичне та комп'ютерне моделювання
Серія: Фізико-математичні науки
Редакційна колегія:
Zb_F-M_1.pdf
Гвоздєв М. І.
ORCІD: 0000-0003-4022-9777, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: mykyta.hvozdev@nure.ua
Сидоров М. В.
ORCІD: 0000-0001-8022-866X, д-р фіз.-мат. наук, професор, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: maxim.sidorov@nure.ua
метод двобічних наближень у ЧИСЕЛЬНОМУ аналізі задачі Нав’є, що є математичноЮ моделлю одновимірної мікроелектромеханічної системи
Ключові слова: мікробалка, задача Нав’є, ізотонний опертор, інваріантний конусний відрізок, крайова задача, математичне моделювання, мікроелектромеханічна система, метод двобічних наближень, напівлінійне звичайне диференціальне рівняння четвертого пор...
Список використаних джерел:
References:
The Method of Two-Sided Approximations in the Numerical Analysis of the Navier Problem as a Mathematical Model of a One-Dimensional Microelectromechanical System
Key words: boundary value problem, deflection, fourth-order semilinear ordinary differential equation, Green’s function, Hammerstein equation, invariant cone segment, isotone operator, mathematical modeling, method of two-sided approximations, microbe...
Громик А. П.
ORCID: 0000-0003-3071-9756, канд. техн. наук, Заклад вищої освіти «Подільський державний університет», м. Кам’янець-Подільський, Україна, E-mail: gapon74@gmail.com
Конет І. М.
ORCID: 0000-0002-4241-0548, д-р фіз.-мат. наук, професор, Волинський національний університет імені Лесі Українки, м. Луцьк, Україна, E-mail: konet51@ukr.net
Пилипюк Т. М.
ORCID: 0000-0002-4676-9830, канд. фіз.-мат. наук, Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський, Україна, E-mail: pylypyuk.tetiana@kpnu.edu.ua
ГІПЕРБОЛІЧНІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ В КУСКОВО-ОДНОРІДНОМУ КЛИНОВИДНОМУ ЦИЛІНДРИЧНО-КРУГОВОМУ ШАРІ З ПОРОЖНИНОЮ
Ключові слова: гіперболічне рівняння, початкові та крайові умови, умови спряження, інтегральні перетворення, гібридні інтегральні перетворення, головні розв’язки.
Список використаних джерел:
References:
HYPERBOLIC BOUNDARY VALUE PROBLEMS OF MATHEMATICAL PHYSICS IN A PIECEWISE HOMOGENEOUS WEDGE-SHAPED CYLINDRICAL- CIRCULAR LAYER WITH А CAVITY
Key words: hyperbolic equation, initial and boundary conditions, conjugation conditions, integral transforms, hybrid integral transforms, main solutions.
Гук Н. А.
ORCID: 0000-0001-7937-1039, д-р фіз.-мат. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: huk_n@365.dnu.edu.ua
Сіліч-Балгабаєва В. Б.
ORCID: 0000-0002-9490-3600, канд. техн. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: v_silichbalgabaeva@365.dnu.edu.ua
Степанова Н. І.
ORCID: 0000-0002-9490-3600, канд. фіз.-мат. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: stepanova_n@365.dnu.edu.ua
DATA-DRIVEN ПІДХІД ДО ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ БІФУРКАЦІЇ ТОНКОСТІННИХ СИСТЕМ НА ОСНОВІ НЕЙРОННИХ МЕРЕЖ
Ключові слова: тонкостінні системи, біфуркація, втрата стійкості, обернені задачі, нейронні мережі, data-driven підхід, динамічні системи, прогнозування, нелінійна динаміка, ідентифікація параметрів, інформаційні технології.
Список використаних джерел:
References:
DATA-DRIVEN APPROACH TO INVERSE BIFURCATION PROBLEMS OF THIN-WALLED SYSTEMS BASED ON NEURAL NETWORKS
Key words: thin-walled systems, bifurcation, loss of stability, inverse problems, neural networks, data-driven approach, dynamic systems, prediction, nonlinear dynamics, parameter identification, information technologies.
Жолтовський О. О.
ORCID: 0009-0009-9245-1725, аспірант, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці, Україна, E-mail: olekszholt@gmail.com
Черевко І. М.
ORCID: 0000-0002-2690-2091, д-р фіз-мат. наук, професор, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці, Україна, E-mail: i.cherevko@chnu.edu.ua
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ СПЛАЙН-ФУНКЦІЙ ДО МОДЕЛЮВАННЯ ЛІНІЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ
Ключові слова: крайова задача, запізнення, метод сплайн-колокацій, кубічні сплайни, комп’ютерне моделювання.
Список використаних джерел:
References:
THE APPLICATION OF SPLINE FUNCTION METHOD TO THE MODELING OF LINEAR BOUNDARY VALUE PROBLEMS WITH DELAY
Key words: boundary value problem, delayed argument, spline collocation method, cubic splines, computer modeling.
Zelenskiy O. V.
ORCІD: 0000-0002-4969-0132, Cand. of Phys. and Math. Sciences, Kamianets-Podilskyi Ivan Ohiienko National University, Kamianets-Podilskyi, Ukraine, E-maіl: esteticcode@gmail.com
ULTRA EXPONENT MATRICES
Key words: exponent matrix, reduced exponent matrix, admissible quiver, ultra exponent matrix, rigid quiver, weight function, mathematical modelling.
References:
УЛЬТРА МАТРИЦІ ПОКАЗНИКІВ
Ключові слова: матриця показників, зведена матриця показників, допустимий сагайдак, ультра матриця показників, жорсткий сагайдак, вагова функція, математичне моделювання.
Мусій Р. С.
ORCІD: 0000-0002-7169-2206, д-р фіз.-мат. наук, професор, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: musiy@lp.edu.ua
Кунинець А. В.
ORCІD: 0000-0003-2481-3236, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: andrii.v.kunynets@lpnu.ua
Свідрак І. Г.
ORCІD: 0000-0003-1811-2011, канд. техн. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: inha.h.svidrak@lpnu.ua
Тимошенко Н. М.
ORCІD: 0000-0002-5595-6531, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: nadiia.m.tymoshenko@lpnu.ua
Шиндер В. К.
ORCІD: 0000-0002-9414-5619, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: valentyn.k.shynder@lpnu.ua
ВИЗНАЧЕННЯ ТА АНАЛІЗ ТЕПЛА ДЖОУЛЯ І ПОНДЕРОМОТОРНОЇ СИЛИ У ПОРОЖНИСТОМУ МІДНОМУ ЦИЛІНДРІ ЗА ДІЇ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ІМПУЛЬСА
Ключові слова: порожнистий електропровідний циліндр, електромагнітний імпульс, осьова компонента вектора напруженості магнітного поля, тепло Джоуля, пондеромоторна сила.
Список використаних джерел:
References:
DETERMINATION AND ANALYSIS OF JOULE HEAT AND PONDEROMOTIVE FORCE IN A HOLLOW COPPER CYLINDER UNDER THE ACTION OF AN ELECTROMAGNETIC IMPULSE
Key words: hollow conductive cylinder, electromagnetic impulse, axial component of the magnetic field intensity vector, Joule heating, ponderomotive force.
Zb_F-M_2.pdf
Нікітін А. В.
ORCІD: 0000-0001-5137-0114, д-р фіз.-мат. наук, професор, Національний університет «Острозька академія», м. Острог, Україна, E-maіl: anatolii.nikitin@oa.edu.ua
Шведюк В. В.
ORCІD: 0009-0002-2906-0958, аспірант, Національний університет «Острозька академія», м. Острог, Україна, E-maіl: volodymyr.v.shvediuk@oa.edu.ua
СТІЙКІСТЬ ДЕТЕРМІНОВАНОЇ ТА УСЕРЕДНЕНОЇ СИСТЕМ РАДІОФІЗИЧНИХ ПРОЦЕСІВ У МІКРОКОНТРОЛЕРНИХ СИСТЕМАХ БПЛА
Ключові слова: БПЛА, стійкість детермінованої системи, власні значення, метод Ляпунова, радіофізичні процеси, мікроконтролер, простір станів.
Список використаних джерел:
References:
STABILITY OF DETERMINISTIC AND AVERAGED SYSTEMS OF RADIOPHYSICAL PROCESSES IN UAV MICROCONTROLLER SYSTEMS
Key words: UAV, stability of deterministic system, eigenvalues, Lyapunov functions, radiophysical processes, microcontroller, state space.
Пархоменко В. Г.
ORCІD: 0009-0008-7309-0875, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: vladyslav.parkhomenko1@nure.ua
аналіз методОМ двобічних наближень стаціонарної реактивно-дифузивної моделі у сферичній гранулі з кінетикою арреніуса
Ключові слова: гетеротонний оператор, інтегральне рівняння Гаммерштейна, метод двобічних наближень, напівлінійне еліптичне рівняння з оператором Лапласа, нелінійна крайова задача, радіально-симетричний додатний розв’язок, реакційно-дифузійна система, ...
Список використаних джерел:
References:
Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of a Stationary Reaction–Diffusion Model in a Spherical Pellet with Arrhenius Kinetics
Key words: Green’s function, Hammerstein integral equation, heterotone operator, method of two-sided approximations, nonlinear boundary value problem, positive radially symmetric solution, reaction–diffusion system, semilinear elliptic equation with t...
Савченко А. В.
ORCІD: 0009-0004-7547-8655, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: anton.savchenko@nure.ua
Застосування методу двобічних наближень до аналізу впливу типів закріплення кінців на статичний прогин балки в моделях мікроелектромеханічних систем
Ключові слова: балка, жорстке закріплення, ізотонний оператор, інваріантний конусний відрізок, консольна балка, крайова задача, крайові умови для балки, математичне моделювання, метод двобічних наближень, мікроелектромеханічна система, прогин, рівнянн...
Список використаних джерел:
References:
APPLICATION OF THE METHOD OF TWO-SIDED APPROXIMATIONS TO THE ANALYSIS OF THE INFLUENCE OF BEAM END CONDITIONS ON THE STATIC DEFLECTION OF A BEAM IN MICROELECTROMECHANICAL SYSTEMS
Key words: beam, clamped support, isotone operator, invariant cone segment, cantilever beam, boundary value problem, beam boundary conditions, mathematical modeling, method of two-sided approximations, microelectromechanical system, deflection, Hammer...
Сеньо П. С.
ORCІD: 0009-0005-7979-2905, д-р фіз.-мат. наук, професор, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів, Україна E-maіl: petro.seno@lnu.edu.ua
Заяць А. Р.
ORCІD: 0009-0004-7793-0238, аспірант, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів, Україна E-maіl: artur.zaiats@lnu.edu.ua
МОДИФІКАЦІЯ БАЗОВОГО ДВОСТОРОННЬОГО МЕТОДУ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
Ключові слова: функціональні інтервали, інтегральні рівняння, двосторонні апроксимації, параболічний паралелограм, математичне моделювання, системний аналіз.
Список використаних джерел:
References:
MODIFICATION OF THE BASIC TWO-SIDED METHOD FOR SOLVING INTEGRAL EQUATIONS
Key words: functional intervals, integral equations, two-sided approximations, parabolic parallelogram, mathematical modelling, system analysis.
Янбеков Р. Я.
ORCІD: 0009-0004-6588-7121, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: ravil.yanbekov@nure.ua
дослідження одновимірних стаціонарних задач термохімії методом двобічних наближень на основі використання функції Гріна
Ключові слова: математичне моделювання, термохімічні процеси, метод двобічних наближень, функція Гріна, перша крайова задача, напівлінійне звичайне диференціальне рівняння.
Список використаних джерел:
References:
Analysis of One-Dimensional Steady-State Thermochemical Problems Using the Method of Two-Sided Approximations with Green’s Function
Key words: mathematical modelling, thermochemical processes, two-sided approximation method, Green’s function, first boundary value problem, semilinear ordinary differential equation.
Відомості про авторів
Алфавітний покажчик авторів
Зміст
end.pdf
Математичне та комп’ютерне моделювання
Серія: Фізико-математичні науки
|
| id | mcm-mathkpnueduua-article-361386 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-09T01:00:17Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | mcm-mathkpnueduua/b5/05c02d8749133a7035e97975f7b0c2b5.pdf |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3613862026-06-08T08:10:39Z Analysis of One-Dimensional Steady-State Thermochemical Problems Using the Method of Two-Sided Approximations with Green’s Function Дослідження одновимірних стаціонарних задач термохімії методом двобічних наближень на основі використання функції Гріна Янбеков, Равіль This paper considers the first boundary value problem for a semilinear ordinary differential equation, which serves as a mathematical model of a thermochemical process. In particular, the classical Bratu problem and two of its generalizations are studied, taking into account both heat losses due to cooling and external heating. The exponential nonlinearity in the equations corresponds to the Frank-Kamenetskii approximation of the Arrhenius law. Using Green’s function, each of the considered problems is reduced to an equivalent Hammerstein integral equation, which is analyzed within the framework of nonlinear operator theory in semi-ordered Banach spaces. For this purpose, the integral equation is represented as an operator equation with a nonlinear operator acting in the space of continuous functions partially ordered by the cone of nonnegative functions. The operator is investigated with respect to positivity, monotonicity, Lipschitz continuity, and the existence of an invariant conical segment. For the numerical analysis of these integral equations (and hence the corresponding boundary value problems), iterative schemes based on the method of two-sided approximations are proposed. The endpoints of the invariant conical segment are chosen as initial approximations. For each scheme, convergence conditions and conditions for the existence of positive solutions to the corresponding boundary value problems are established. Additionally, two-sided a priori estimates for these solutions are obtained. Computational experiments are carried out for various parameter values, and in the case of the Bratu problem, the results are compared with the exact solution. Based on the analysis, conclusions are drawn regarding the efficiency of the proposed computational schemes. In particular, their advantages include the availability of guaranteed a posteriori error estimates for the approximate solution and a convenient stopping criterion for the iterative process. The results obtained in this work can be extended to two- and three-dimensional mathematical models of thermochemical processes with exponential nonlinearities. У роботі розглядається перша крайова задача для напівлінійного звичайного диференціального рівняння, яка є математичною моделлю деякого термохімічного процесу. При цьому розглянуто класичну задачу Брату і два її узагальнення, що враховують як втрати тепла через охолодження, так і зовнішній підігрів. Експоненціальна нелінійність в рівняннях відповідає наближенню закону Арреніуса за Франк-Каменецьким. Методом функцій Гріна кожна з розглянутих задач замінена еквівалентним інтегральним рівнянням Гаммерштейна, яке проаналізовано методами теорії нелінійних операторів у напівупорядкованих банахових просторах. Для цього інтегральне рівняння подане як рівняння з нелінійним оператором, який діє у просторі неперервних функцій, напівупорядкованому конусом невід’ємних функцій. Оператор досліджено на додатність, монотонність, ліпшіц-неперервність, існування інваріантного конусного відрізка тощо. Для чисельного аналізу цих інтегральних рівнянь (а отже, і розглядуваних крайових задач) запропоновано ітераційні схеми методу двобічних наближень. Початковими наближеннями цих схем обираються кінці інваріантного конусного відрізка. Для кожної зі схем отримано умови збіжності і умови існування додатних розв’язків відповідних крайових задач. Також для цих розв’язків отримано двосторонні апріорні оцінки. Обчислювальні експерименти були проведені для різних значень параметрів і у випадку задачі Брату результати порівняно з точним розв’язком. За підсумками аналізу зроблено висновки про ефективність запропонованих обчислювальних схем. Зокрема, їх перевагою є наявність гарантованої апостеріорної оцінки точності наближеного розв’язку та зручний критерій закінчення ітерацій. Отримані у роботі результати можна розповсюдити на дво- та тривимірні математичні моделі термохімічних процесів з експоненціальними нелінійностями. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2026-05-29 Article Article Рецензована Стаття application/pdf https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/361386 10.32626/2308-5878.2026-30.168-187 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2026: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 30; 168-187 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2026: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 30; 168-187 2308-5878 10.32626/2308-5878.2026-30 uk https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/361386/349681 Авторське право (c) 2026 Равіль Янбеков |
| spellingShingle | Янбеков, Равіль Analysis of One-Dimensional Steady-State Thermochemical Problems Using the Method of Two-Sided Approximations with Green’s Function |
| title | Analysis of One-Dimensional Steady-State Thermochemical Problems Using the Method of Two-Sided Approximations with Green’s Function |
| title_alt | Дослідження одновимірних стаціонарних задач термохімії методом двобічних наближень на основі використання функції Гріна |
| title_full | Analysis of One-Dimensional Steady-State Thermochemical Problems Using the Method of Two-Sided Approximations with Green’s Function |
| title_fullStr | Analysis of One-Dimensional Steady-State Thermochemical Problems Using the Method of Two-Sided Approximations with Green’s Function |
| title_full_unstemmed | Analysis of One-Dimensional Steady-State Thermochemical Problems Using the Method of Two-Sided Approximations with Green’s Function |
| title_short | Analysis of One-Dimensional Steady-State Thermochemical Problems Using the Method of Two-Sided Approximations with Green’s Function |
| title_sort | analysis of one-dimensional steady-state thermochemical problems using the method of two-sided approximations with green’s function |
| url | https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/361386 |
| work_keys_str_mv | AT ânbekovravílʹ analysisofonedimensionalsteadystatethermochemicalproblemsusingthemethodoftwosidedapproximationswithgreensfunction AT ânbekovravílʹ doslídžennâodnovimírnihstacíonarnihzadačtermohímíímetodomdvobíčnihnabliženʹnaosnovívikoristannâfunkcíígrína |