Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of a Stationary Reaction–Diffusion Model in a Spherical Pellet with Arrhenius Kinetics
The paper analyzes, by means of the method of two-sided approximations, a stationary reaction–diffusion model in a spherical granule with Arrhenius kinetics. The problem is considered in a spherical domain with a nonhomogeneous Dirichlet boundary condition on the boundary, which is transformed into...
Gespeichert in:
| Datum: | 2026 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2026
|
| Online Zugang: | https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/361414 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1867479062554869760 |
|---|---|
| author | Пархоменко, Владислав |
| author_facet | Пархоменко, Владислав |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Владислав Пархоменко",
"institution": "Харківський національний університет радіоелектроніки"
}
] |
| author_sort | Пархоменко, Владислав |
| baseUrl_str | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-06-08T08:10:39Z |
| description | The paper analyzes, by means of the method of two-sided approximations, a stationary reaction–diffusion model in a spherical granule with Arrhenius kinetics.
The problem is considered in a spherical domain with a nonhomogeneous Dirichlet boundary condition on the boundary, which is transformed into a homogeneous one after an appropriate substitution. The nonlinearity is represented as the product of a linear and an exponential function. After transforming to the spherical coordinate system and taking radial symmetry into account (the solution depends only on the distance from the center of the sphere and does not depend on the angular variables), the problem is reduced to a boundary value problem for a semilinear ordinary differential equation. Since the pole of the spherical coordinate system is a singular point of the obtained equation, it is necessary to impose a boundedness condition on the solution at this point.
For the problem under consideration, the Green’s function is constructed, after which the problem is reduced to an equivalent integral equation, which is treated as a nonlinear operator equation in the Banach space of functions continuous on a segment and semiordered by the cone of nonnegative functions on this segment. The properties of the corresponding integral operator, such as heterotonicity and positivity, are investigated.
Next, the endpoints of a strongly invariant conical segment are determined, serving as initial approximations for the iterative process. Then, two iterative processes are constructed. The first iterative sequence is nondecreasing with respect to the cone (the sequence of lower approximations), while the second one is nonincreasing with respect to the cone (the sequence of upper approximations). At each iteration step, the current approximation is chosen as the arithmetic mean of the upper and lower approximations, which makes it possible to obtain an a posteriori error estimate at every step of the iterative process. As a result, the existence and uniqueness of a positive radially symmetric solution to the considered problem are established.
The theoretical results obtained in the paper were confirmed by means of a computational experiment. The results of the computational experiment are presented graphically. |
| doi_str_mv | 10.32626/2308-5878.2026-30.115-126 |
| first_indexed | 2026-06-09T01:00:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 115-126.
115
УДК 519.624.2:517.9882
DOІ: 10.32626/2308-5878.2026-30.115-126
Пархоменко В. Г.
ORCІD: 0009-0008-7309-0875,
Харківський національний університет
радіоелектроніки, м. Харків, Україна,
E-maіl: vladyslav.parkhomenko1@nure.ua
АНАЛІЗ МЕТОДОМ ДВОБІЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ
СТАЦІОНАРНОЇ РЕАКТИВНО-ДИФУЗИВНОЇ МОДЕЛІ
У СФЕРИЧНІЙ ГРАНУЛІ З КІНЕТИКОЮ АРРЕНІУСА
У роботі проведено аналіз методом двобічних наближень
стаціонарної реакційно-дифузійної моделі у сферичній гранулі
з кінетикою Арреніуса.
Задачі розглядається у сферичній області з неоднорідною
першою крайовою умовою на межі, яка після заміни перетво-
рюється на однорідну. Нелінійність подана у вигляді добутку
лінійної та експоненціальної функцій. Після переходу до сфе-
ричної системи координат з урахуванням радіальної симетрії
(розв’язок залежить лише від відстані до центру кулі, а від ку-
тів повороту залежність відсутня), прийшли до крайової задачі
для напівлінійного звичайного диференціального рівняння.
Оскільки полюс сферичної системи координат є особливою
точкою одержаного рівняння, необхідно поставити умову об-
меженості розв’язку в цій точці.
Для задачі здійснюється побудова функції Гріна, далі ви-
конується зведення до еквівалентного інтегрального рівняння,
яке розглядається як нелінійне операторне рівняння в банахо-
вому просторі неперервних на відрізку функцій, напівупоряд-
кованому конусом невід’ємних на цьому відрізку функцій.
Проведено дослідження властивостей відповідного інтеграль-
ного оператора такі, як гетеротонність та додатність.
Далі здійснюється пошук кінців сильно інваріантного ко-
нусного відрізка, які виступають початковими наближеннями
для ітераційного процесу. Потім будуються два ітераційні
процеси. Перша ітераційна послідовність не спадає за конусом
(послідовність нижніх наближень), друга – не зростає за кону-
сом (послідовність верхніх наближень). За поточне наближен-
ня на кожній ітерації обирається середнє арифметичне верх-
нього та нижнього наближень, що надає можливість одержати
2 Стаття надійшла до редакції: 19.05.2026
Рекомендовано до друку: 20.05.2026
Оприлюднено (online): 29.05.2026
Ця стаття розповсюджується на умовах ліцензії CC Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0
© Пархоменко В. Г., 2026
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 115-126.
116
на кожному кроці ітераційного процесу апостеріорну оцінку
похибки. Зроблено висновок про існування та єдиність додат-
ного радіально-симетричного розв’язку розглядуваної задачі.
Теоретичні результати, одержані в роботі, було підтверджено
шляхом проведення обчислювального експерименту. Результати
обчислювального експерименту подано у графічному вигляді.
Ключові слова: гетеротонний оператор, інтегральне рі-
вняння Гаммерштейна, метод двобічних наближень, напівлі-
нійне еліптичне рівняння з оператором Лапласа, нелінійна
крайова задача, радіально-симетричний додатний розв’язок,
реакційно-дифузійна система, сильно інваріантний конусний
відрізок, функція Гріна.
Вступ. Дослідження реакційно-дифузійних процесів [1] є одним із
важливих напрямів сучасної математичної фізики, оскільки такі моделі
описують широкий клас явищ тепломасообміну та хімічної кінетики.
Особливий інтерес становлять задачі, у яких залежність швидкості реакції
від температури є нелінійною. Подібні математичні моделі виникають
при дослідженні процесів горіння, теплового вибуху, каталітичних реак-
цій, функціонування пористих каталізаторів, а також у задачах хімічної
технології та енергетики. Розглянемо одну з класичних моделей такого
типу, а саме – крайову задачу для еліптичного реакційно-дифузійного
рівняння з кінетикою Арреніуса [2] в гранулі . Нехай гранула є ку-
лею радіуса R . У такому випадку ставиться задача знаходження радіаль-
но-симетричного розв’язку крайової задачі, тобто розв’язку, залежного
лише від
2 2 2
1 2 3r x x x x , де 1 2 3( , , )x x xx . Тоді вихідна задача
для рівняння з частинними похідними перетворюється на крайову задачу
для напівлінійного звичайного диференціального рівняння.
Точні розв’язки задач для напівлінійних диференціальних рівнянь
відомі лише для поодиноких випадків. Таким чином, виникає необхід-
ність у розв’язанні таких задач за допомогою, наприклад, сіткових, варі-
аційних чи ітераційних методів. Ітераційні методи є найбільш зручними,
оскільки вони є відносно простими в плані обчислювальної реалізації, а
також мають властивість самовиправності. Серед ітераційних методів
слід виокремити методи двобічних наближень як універсальний засіб
дослідження існування та єдиності розв’язків операторних рівнянь. Та-
кож вони надають можливість фактичного знаходження цих розв’язків.
Окрім того, за допомогою двобічних наближень можна одержати верх-
ню та нижню оцінку розв’язку на кожній ітерації, що в свою чергу до-
зволяє зручно оцінити похибку наближеного розв’язку.
За теоретичне підґрунтя розробки двобічних ітераційних методів
взято теорію нелінійних операторів у напівупорядкованих банахових
просторах. Ці методи вже застосовувалися до нелінійних диференці-
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 115-126.
117
альних рівнянь, наприклад, у роботах [5, 11, 12]. Мало місце дослі-
дження аксіально- і радіально-симетричних розв’язків для оператора
Лапласа зі степеневими нелінійностями. Проте не було достатньо
досліджено знаходження таких розв’язків (з двобічними наближен-
нями) саме для прикладних задач.
Таким чином, наукова задача чисельного аналізу радіально-
симетричних розв’язків реакційно-дифузійної моделі з кінетикою
Арреніуса методом двобічних наближень є актуальною. Дана стаття
продовжує дослідження, розпочаті в роботах [3-8, 11-14], в частині їх
перенесення на приклад напівлінійного рівняння з оператором Лап-
ласа, що є математичною моделлю зазначеного процесу.
1. Постановка задачі. В одиничній кулі
3
1 2 3{ ( , , ) : 1}x x x x x
розглядатимемо напівлінійне стаціонарне рівняння:
1
2 (1 ) yy y e
, x , (1)
з крайовою умовою першого роду
1y
, (2)
де – параметр тепловиділення реакції, – енергія активації, –
модуль Тіле, , , .
Задача (1), (2) є реакційно-дифузійною системою з кінетикою Арре-
ніуса – математичною моделлю, яка описує одночасно два процеси: про-
сторове поширення речовини або температури (дифузію) та хімічну реа-
кцію, швидкість якої залежить від температури за законом Арреніуса [2].
Поставимо задачу знаходження додатного радіально-симетрич-
ного розв’язку крайової задачі (1), (2).
2. Основна частина. Розв’яжемо задачу (1), (2) за допомогою ме-
тоду двобічних наближень, заснованого на використання методів теорії
нелінійних операторних рівнянь у напівупорядкованих просторах [9, 10].
В задачі (1), (2) перейдемо до сферичної системи координат за
формулами:
1 sin cosx r , 2 sin cosx r , 3 cosx r ,
0 2 , 0 , 0r .
Оператор Лапласа у сферичній системі координат має вигляд
2
2
2 2 2 2 2
1 1 1
sin
sin sin
y y y
y r
r rr r r
.
Оскільки задача полягає у відшуканні радіально-симетричного
розв’язку ( )y y r задачі (1), (2), то рівняння (1) зводиться до зви-
чайного диференціального рівняння:
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 115-126.
118
1
2 2
2
1
(1 ) yd dy
r y e
dr drr
. (3)
Крайова умова (2), яку задано на сфері 1x , зводиться до виг-
ляду
(1) 1y .
Точка 0r є особливою точкою рівняння (3). В такому випадку
необхідно поставити умову обмеженості розв’язку при 0r :
(0)y .
Тоді крайова задача (1), (2) набуде вигляду
1
2 2
2
1
(1 ) yd dy
r y e
dr drr
, 0 1r , (4)
(0)y , (1) 1y . (5)
Відомо [2], що ( )y r є спадною функцією, і для неї виконується
умова
1 ( ) 1y r . (6)
Заміною ( ) ( ) 1y r u r крайова задача (4), (5) зводиться до виг-
ляду
2 2 1
2
1
( )
u
u
d du
r u e
dr drr
, 0 1r , (7)
(0)u , (1) 0u , (8)
а для функції ( )u r умова (6) виглядатиме як
0 ( )u r . (9)
Функція Гріна задачі (7), (8) має вигляд
1
, 0 ,
( , )
1
, 1.
s
r s
s
G r s
r
s r
r
(10)
Тоді задача (7), (8) еквівалентна інтегральному рівнянню Гамме-
рштейна
( )1
2 ( ) 1
0
( ) ( , )( ( ))
u s
u su r Q r s u s e ds
, (11)
де 2( , ) ( , )Q r s s G r s .
Функція ( , )Q r s є додатною; її графік зображено на рис. 1.
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 115-126.
119
Рис. 1. Графік функції ( , )Q r s
Означення. Узагальненим розв’язком крайової задачі (7), (8) на-
звемо функцію * [0,1]u C , що є розв’язком інтегрального рівняння (11).
У сенсі даного означення розуміється еквівалентність крайової
задачі (7), (8) та інтегрального рівняння (11).
Пов’яжемо з рівнянням (11) нелінійний інтегральний оператор,
що діє у просторі [0,1]C за наступним правилом:
( )1
2 ( ) 1
0
( )( ) ( , )( ( ))
u s
u sT u r Q r s u s e ds
. (12)
Тоді рівняння (11) можна подати у вигляді ( )u T u . Дане рів-
няння розглядатимемо в банаховому просторі [0,1]C , напівупорядко-
ваному конусом K невід’ємних на [0,1]C функцій [9, 14].
Дослідимо деякі властивості оператора T .
Оскільки ( , ) ( ( )) 0Q r s f u s для всіх 0 u і , [0,1]r s , то
( )T u для всіх u , а отже, оператор T є додатним ( – нульо-
вий елемент простору).
Функція 1( ) ( )
u
uf u u e
дозволяє діагональне подання
ˆ( ) ( , )f u f u u , де 1ˆ ( , ) ( )
v
vf v w w e
. Функція ˆ( , )f v w зростає за v
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 115-126.
120
і спадає за w . Тоді оператор (12) є гетеротонним оператором, для
якого супутній оператор ˆ( , )T v w діє за правилом
( )1
2 ( ) 1
0
ˆ( , )( ) ( , )( ( ))
v s
v sT v w r Q r s w s e ds
. (13)
Супутній оператор (13) є монотонним за v і антимонотонним за
w , тобто:
1 2
ˆ ˆ( , ) ( , )T v w T v w , якщо 1 2v v ;
1 2
ˆ ˆ( , ) ( , )T v w T v w , якщо 1 2w w .
В конусі K для гетеротонного оператора T виділимо сильно
інваріантний конусний відрізок 0 0,v w умовами
0 0 0
ˆ( , )T v w v , 0 0 0
ˆ( , )T w v w . (14)
Оскільки (0) 0f , то його кінці шукатимемо у вигляді 0 0v ,
0w , 0 . Тоді умови (14) набудуть вигляду: для всіх
[0,1]r
1
2
0
( ) ( , ) 0Q r s ds ,
1
2 1
0
( , )e Q r s ds
. (15)
Через невід’ємність функції ( , )Q r s перша з умов (15) завжди
виконуватиметься. Другу ж умову можна записати у вигляді
2
1
6
e
,
оскільки
1 2
[0,1] [0,1]
0
1 1
max ( , ) max
6 6r r
r
Q r s ds
.
Отже, нерівність, що визначає матиме вигляд
2
1
6
e
. (16)
Для крайової задачі (7), (8) сформуємо ітераційний процес за
формулами
( 1)
( 1)
( )1
( ) 2 ( 1) 1 ( )
0
( ( , )[ ( )]
n
n
v s
n n v sv r Q r s w s e ds
, 1,2,...n , (17)
( 1)
( 1)
( )1
( ) 2 ( 1) 1 ( )
0
( ( , )[ ( )]
n
n
w s
n n w sw r Q r s v s e ds
, 1,2,...n , (18)
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 115-126.
121
(0) ( 0v r , (0) (w r . (19)
З урахуванням властивостей оператора T та конуса K можна
зробити висновок [10], що ітераційний процес (17)-(19) з двох боків
збігається до єдиного в конусі K додатного розв’язку крайової за-
дачі (7), (8). Для найшвидшої збіжності ітерацій (17)-(19), очевидно,
за потрібно обрати найменше значення, що задовольняє нерів-
ність (16), тобто найменший корінь відповідного рівняння.
Теорема. Нехай , , і нерівність (16) має
розв’язок такий, що 0 . Тоді крайова задача
2 1( )
u
uu u e
, x ,
0u
,
розглядувана в одиничній кулі 3
1 2 3{ ( , , ) : 1}x x x x x , має
єдиний додатний радіально-симетричний розв’язок
* * 2 2 2
1 2 3(u r u x x x ,
до якого двобічно збігаються послідовні наближення, які формують-
ся за схемою (17)-(19).
Двобічну збіжність послідовних наближень (17)-(19) розуміємо
у сенсі виконання ланцюга нерівностей
(0) (1) ( ) * ( ) (1) (0)0 ... ... ... ...n nv v v u w w w .
Оскільки процес (17)-(19) має двобічний характер збіжності, то
він зупиняється за умови
( ) ( )
[0,1]
1
max [ ( ) ( )]
2
k k
r
w r v r
.
Тоді з точністю за узагальнений розв’язок ( )u r
задачі (7), (8)
можна обрати функцію
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
k k
k w r v r
u r
.
Повертаючись до функції ( )y r , отримаємо узагальнений
розв’язок задачі (4), (5)
*( ) ( ) 1y r u r .
3. Результати обчислювального експерименту. Обчислюваль-
ний експеримент було проведено для задачі (4), (5) при різних зна-
ченням параметрів , , .
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 115-126.
122
При 0,5 , 50 , 0,1 збіжність з точністю 810 було до-
сягнуто за 7 ітерацій. При цьому
(7) 1,00378075y .
На рис. 2 зображено графіки верхніх ( ) (kw r (суцільна лінія) та
нижніх ( ) (kv r (пунктирна лінія) наближень. На рис. 3 наведено графік
наближеного розв’язку (7)y r , на рис. 4 – графік поверхонь рівня фун-
кції
(7) 2 2 2
1 2 3y x x x (з кроком 40,25 10 ).В таблиці 1 наведено зна-
чення наближеного розв’язку на відрізку [0,1] з кроком 0,1.
Рис. 2. Графіки верхніх і нижніх наближень
Рис. 3. Графік наближеного розв’язку
(7)
y r
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 115-126.
123
Рис. 4. Поверхні рівня наближеного розв’язку
(2) 2 2 2
1 2 3y x x x
Таблиця 1
Значення наближеного розв’язку (7)y на відрізку [0,1]
r 0 0,1 0,2 0,3
(7)
( )y r 1,00378075 1,00374083 1,00362136 1,00342315
r 0,4 0,5 0,6 0,7
(7)
( )y r 1,00314752 1,00279632 1,00237182 1,00187673
r 0,8 0,9 1,0
(7)
( )y r 1,0013141 1,00068732 1,00000000
Висновки. У даній статті було проведено чисельний аналіз реа-
кційно-дифузної моделі з кінетикою Арреніуса за допомогою методу
двобічних наближень. Розглядався випадок з гетеротонною неліній-
ністю, представленою у вигляді добутку лінійної та показникової
функцій. Знайдено додатний радіально-симетричний розв’язок пер-
шої крайової задачі. Результати, одержані в роботі, можна буде вико-
ристовувати для наступних досліджень прикладних задач математич-
ної фізики в нелінійних середовищах. Таким чином, ці результати
мають наукову новизну та практичну значущість.
Список використаних джерел:
1. Aris R. The mathematical theory of diffusion and reaction in permeable
catalysts. Vol. 1: The theory of the steady state. Oxford: Oxford University
Press, 1975. 444 p.
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 115-126.
124
2. Kapila A. K., Matkowsky B. J., Vega J. Reactive-diffusive system with
Arrhenius kinetics: peculiarities of the spherical geometry. SIAM Journal on
Applied Mathematics. 1980. Vol. 38, № 3. P. 431-447. DOI: 10.1137/0138030.
3. Пархоменко В. Г., Сидоров М. В. Застосування методу двобічних набли-
жень до знаходження додатних аксіально-симетричних розв’язків крайо-
вих задач із сингулярними нелінійностями. Математичне та комп'юте-
рне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. 2025. № 27. С. 39-
52. DOI: 10.32626/2308-5878.2025-27.39-52.
4. Пархоменко В. Г., Сидоров М. В. Аналіз методом двобічних наближень
додатних аксіально-симетричних розв’язків першої крайової задачі для
рівняння Гельмгольца з монотонною степеневою нелінійністю. Матема-
тичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки.
2025. № 28. C. 81-92. DOI: 10.32626/2308-5878.2025-28.81-92.
5. Вороненко М. Д., Сидоров М. В. Конструктивне дослідження нелінійних
крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Радіоелектроні-
ка та інформатика. 2018. № 1 (80). С. 48-54.
6. Колосова С. В., Луханин В. С., Сидоров М. В. О построении двусторон-
них приближений к положительному решению уравнения Лане-Эмдена.
Вісник Запорізького національного університету. Серія: фізико-
математичні науки. 2015. № 3. С. 107-120.
7. Колосова С. В., Луханин В. С., Сидоров М. В. О построении итерацион-
ных методов решения краевых задач для нелинейных эллиптических
уравнений. Вісник Запорізького національного університету. Серія: фізи-
ко-математичні науки. 2013. № 1. С. 35-42.
8. Колосова С. В., Сидоров М. В. Применение итерационных методов к
решению эллиптических краевых задач с экспоненциальной нелинейно-
стью. Радіоелектроніка та інформатика. 2013. № 3 (62). С. 28-31.
9. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений.
Москва: Физматгиз, 1962. 394 с.
10. Опойцев В. И., Хуродзе Т. А. Нелинейные операторы в пространствах с
конусом. Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1984. 246 с.
11. Пархоменко В. Г. Метод двобічних наближень пошуку аксіально-симетрич-
них розв’язків крайових задач з монотонними нелінійностями. Матеріали
XXVIII Міжнародного молодіжного форуму «Радіоелектроніка і молодь у
XXI столітті» (Харків, ХНУРЕ, 16-18 квітня 2024). Т. 7. С. 259-261.
12. Пархоменко В. Г., Сидоров М. В. Застосування методу двобічних набли-
жень до знаходження додатних радіально-симетричних розв’язків крайо-
вих задач з монотонними нелінійностями. Радіоелектроніка та інфор-
матика. 2019. № 3 (86). С. 16-23.
13. Сидоров М. В. Метод двобічних наближень розв’язання першої крайової
задачі для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь на основі ви-
користання функції Гріна. Радіоелектроніка, інформатика, управління.
2019. № 1 (48). С. 57-66. DOI: 10.15588/1607-3274-2019-1-6.
14. Kolosova S. V., Lukhanin V. S., Sidorov M. V. On positive solutions of
Liouville-Gelfand problem. Journal of Mathematics, Mechanics and Computer
Science. 2018. № 3 (99). С. 78-91. DOI: 10.26577/JMMCS-2018-3-460.
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 115-126.
125
References:
1. Aris R. The mathematical theory of diffusion and reaction in permeable catalysts.
Vol. 1: The theory of the steady state. Oxford: Oxford University Press, 1975. 444 p.
2. Kapila A. K., Matkowsky B. J., Vega J. Reactive-diffusive system with Arrhe-
nius kinetics: peculiarities of the spherical geometry. SIAM Journal on Applied
Mathematics. 1980. Vol. 38, № 3. P. 431-447. DOI: 10.1137/0138030.
3. Parkhomenko V. H., Sydorov M. V. Zastosuvannia metodu dvobichnykh na-
blyzhen do znakhodzhennia dodatnykh aksialno-symetrychnykh rozviazkiv
kraiovykh zadach iz synhuliarnymy neliniinostiamy. Matematychne ta
kompiuterne modeliuvannia. Seriia: Fizyko-matematychni nauky. 2025. № 27.
Р. 39-52. DOI: 10.32626/2308-5878.2025-27.39-52.
4. Parkhomenko V. H., Sydorov M. V. Analiz metodom dvobichnykh nablyzhen
dodatnykh aksialno-symetrychnykh rozviazkiv pershoi kraiovoi zadachi dlia
rivniannia Helmholtsa z monotonnoiu stepenevoiu neliniinistiu. Matematychne
ta kompiuterne modeliuvannia. Seriia: Fizyko-matematychni nauky. 2025.
№ 28. Р. 81-92. DOI: 10.32626/2308-5878.2025-28.81-92.
5. Voronenko M. D., Sydorov M. V. Konstruktyvne doslidzhennia neliniinykh
kraiovykh zadach dlia zvychainykh dyferentsialnykh rivnian. Radioelektronika
ta informatyka. 2018. № 1 (80). Р. 48-54.
6. Kolosova S. V., Lukhanyn V. S., Sydorov M. V. O postroenyy dvustoronnykh
pryblyzhenyi k polozhytelnomu reshenyiu uravnenyia Lane-Еmdena. Visnyk
Zaporizkoho natsionalnoho universytetu. Seriia: fizyko-matematychni nauky.
2015. № 3. Р. 107-120.
7. Kolosova S. V., Lukhanyn V. S., Sydorov M. V. O postroenyy yteratsyonnykh
metodov reshenyia kraevykh zadach dlia nelyneinykh ellyptycheskykh
uravnenyi. Visnyk Zaporizkoho natsionalnoho universytetu. Seriia: fizyko-
matematychni nauky. 2013. № 1. Р. 35-42.
8. Kolosova S. V., Sydorov M. V. Prymenenye yteratsyonnykh metodov k
reshenyiu еllyptycheskykh kraevykh zadach s еksponentsyalnoi nelyneinostiu.
Radioelektronika ta informatyka. 2013. № 3 (62). Р. 28-31.
9. Krasnoselskyi M. A. Polozhytelnye reshenyia operatornykh uravnenyi.
Moskva: Fyzmathyz, 1962. 394 р.
10. Opoitsev V. Y., Khurodze T. A. Nelyneinye operatory v prostranstvakh s
konusom. Tbylysy: Yzd-vo Tbylys. un-ta, 1984. 246 р.
11. Parkhomenko V. H. Metod dvobichnykh nablyzhen poshuku aksialno-
symetrychnykh rozviazkiv kraiovykh zadach z monotonnymy neliniinostiamy.
Materialy XXVIII Mizhnarodnoho molodizhnoho forumu «Radioelektronika i
molod u XXI stolitti» (Kharkiv, KhNURE, 16-18 kvitnia 2024). T. 7. Р. 259-261.
12. Parkhomenko V. H., Sydorov M. V. Zastosuvannia metodu dvobichnykh
nablyzhen do znakhodzhennia dodatnykh radialno-symetrychnykh rozviazkiv
kraiovykh zadach z monotonnymy neliniinostiamy. Radioelektronika ta
informatyka. 2019. № 3 (86). Р. 16-23.
13. Sydorov M. V. Metod dvobichnykh nablyzhen rozviazannia pershoi kraiovoi
zadachi dlia neliniinykh zvychainykh dyferentsialnykh rivnian na osnovi
vykorystannia funktsii Hrina. Radioelektronika, informatyka, upravlinnia.
2019. № 1 (48). Р. 57-66. DOI: 10.15588/1607-3274-2019-1-6.
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 115-126.
126
14. Kolosova S. V., Lukhanin V. S., Sidorov M. V. On positive solutions of Liou-
ville-Gelfand problem. Journal of Mathematics, Mechanics and Computer Sci-
ence. 2018. № 3 (99). S. 78-91. DOI: 10.26577/JMMCS-2018-3-460.
ANALYSIS BY THE METHOD OF TWO-SIDED
APPROXIMATIONS OF A STATIONARY
REACTION–DIFFUSION MODEL IN A SPHERICAL
PELLET WITH ARRHENIUS KINETICS
The paper analyzes, by means of the method of two-sided approxima-
tions, a stationary reaction–diffusion model in a spherical granule with Ar-
rhenius kinetics.
The problem is considered in a spherical domain with a nonhomogene-
ous Dirichlet boundary condition on the boundary, which is transformed
into a homogeneous one after an appropriate substitution. The nonlinearity
is represented as the product of a linear and an exponential function. After
transforming to the spherical coordinate system and taking radial sym-
metry into account (the solution depends only on the distance from the cen-
ter of the sphere and does not depend on the angular variables), the prob-
lem is reduced to a boundary value problem for a semilinear ordinary dif-
ferential equation. Since the pole of the spherical coordinate system is a
singular point of the obtained equation, it is necessary to impose a bound-
edness condition on the solution at this point.
For the problem under consideration, the Green’s function is construct-
ed, after which the problem is reduced to an equivalent integral equation,
which is treated as a nonlinear operator equation in the Banach space of
functions continuous on a segment and semiordered by the cone of
nonnegative functions on this segment. The properties of the corresponding
integral operator, such as heterotonicity and positivity, are investigated.
Next, the endpoints of a strongly invariant conical segment are determined,
serving as initial approximations for the iterative process. Then, two iterative
processes are constructed. The first iterative sequence is nondecreasing with re-
spect to the cone (the sequence of lower approximations), while the second one
is nonincreasing with respect to the cone (the sequence of upper approxima-
tions). At each iteration step, the current approximation is chosen as the arith-
metic mean of the upper and lower approximations, which makes it possible to
obtain an a posteriori error estimate at every step of the iterative process. As a
result, the existence and uniqueness of a positive radially symmetric solution to
the considered problem are established.
The theoretical results obtained in the paper were confirmed by means
of a computational experiment. The results of the computational experi-
ment are presented graphically.
Key words: Green’s function, Hammerstein integral equation, hetero-
tone operator, method of two-sided approximations, nonlinear boundary
value problem, positive radially symmetric solution, reaction–diffusion
system, semilinear elliptic equation with the Laplace operator, strongly in-
variant conical segment.
Математичне та комп'ютерне моделювання
Серія: Фізико-математичні науки
Редакційна колегія:
Zb_F-M_1.pdf
Гвоздєв М. І.
ORCІD: 0000-0003-4022-9777, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: mykyta.hvozdev@nure.ua
Сидоров М. В.
ORCІD: 0000-0001-8022-866X, д-р фіз.-мат. наук, професор, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: maxim.sidorov@nure.ua
метод двобічних наближень у ЧИСЕЛЬНОМУ аналізі задачі Нав’є, що є математичноЮ моделлю одновимірної мікроелектромеханічної системи
Ключові слова: мікробалка, задача Нав’є, ізотонний опертор, інваріантний конусний відрізок, крайова задача, математичне моделювання, мікроелектромеханічна система, метод двобічних наближень, напівлінійне звичайне диференціальне рівняння четвертого пор...
Список використаних джерел:
References:
The Method of Two-Sided Approximations in the Numerical Analysis of the Navier Problem as a Mathematical Model of a One-Dimensional Microelectromechanical System
Key words: boundary value problem, deflection, fourth-order semilinear ordinary differential equation, Green’s function, Hammerstein equation, invariant cone segment, isotone operator, mathematical modeling, method of two-sided approximations, microbe...
Громик А. П.
ORCID: 0000-0003-3071-9756, канд. техн. наук, Заклад вищої освіти «Подільський державний університет», м. Кам’янець-Подільський, Україна, E-mail: gapon74@gmail.com
Конет І. М.
ORCID: 0000-0002-4241-0548, д-р фіз.-мат. наук, професор, Волинський національний університет імені Лесі Українки, м. Луцьк, Україна, E-mail: konet51@ukr.net
Пилипюк Т. М.
ORCID: 0000-0002-4676-9830, канд. фіз.-мат. наук, Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський, Україна, E-mail: pylypyuk.tetiana@kpnu.edu.ua
ГІПЕРБОЛІЧНІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ В КУСКОВО-ОДНОРІДНОМУ КЛИНОВИДНОМУ ЦИЛІНДРИЧНО-КРУГОВОМУ ШАРІ З ПОРОЖНИНОЮ
Ключові слова: гіперболічне рівняння, початкові та крайові умови, умови спряження, інтегральні перетворення, гібридні інтегральні перетворення, головні розв’язки.
Список використаних джерел:
References:
HYPERBOLIC BOUNDARY VALUE PROBLEMS OF MATHEMATICAL PHYSICS IN A PIECEWISE HOMOGENEOUS WEDGE-SHAPED CYLINDRICAL- CIRCULAR LAYER WITH А CAVITY
Key words: hyperbolic equation, initial and boundary conditions, conjugation conditions, integral transforms, hybrid integral transforms, main solutions.
Гук Н. А.
ORCID: 0000-0001-7937-1039, д-р фіз.-мат. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: huk_n@365.dnu.edu.ua
Сіліч-Балгабаєва В. Б.
ORCID: 0000-0002-9490-3600, канд. техн. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: v_silichbalgabaeva@365.dnu.edu.ua
Степанова Н. І.
ORCID: 0000-0002-9490-3600, канд. фіз.-мат. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: stepanova_n@365.dnu.edu.ua
DATA-DRIVEN ПІДХІД ДО ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ БІФУРКАЦІЇ ТОНКОСТІННИХ СИСТЕМ НА ОСНОВІ НЕЙРОННИХ МЕРЕЖ
Ключові слова: тонкостінні системи, біфуркація, втрата стійкості, обернені задачі, нейронні мережі, data-driven підхід, динамічні системи, прогнозування, нелінійна динаміка, ідентифікація параметрів, інформаційні технології.
Список використаних джерел:
References:
DATA-DRIVEN APPROACH TO INVERSE BIFURCATION PROBLEMS OF THIN-WALLED SYSTEMS BASED ON NEURAL NETWORKS
Key words: thin-walled systems, bifurcation, loss of stability, inverse problems, neural networks, data-driven approach, dynamic systems, prediction, nonlinear dynamics, parameter identification, information technologies.
Жолтовський О. О.
ORCID: 0009-0009-9245-1725, аспірант, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці, Україна, E-mail: olekszholt@gmail.com
Черевко І. М.
ORCID: 0000-0002-2690-2091, д-р фіз-мат. наук, професор, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці, Україна, E-mail: i.cherevko@chnu.edu.ua
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ СПЛАЙН-ФУНКЦІЙ ДО МОДЕЛЮВАННЯ ЛІНІЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ
Ключові слова: крайова задача, запізнення, метод сплайн-колокацій, кубічні сплайни, комп’ютерне моделювання.
Список використаних джерел:
References:
THE APPLICATION OF SPLINE FUNCTION METHOD TO THE MODELING OF LINEAR BOUNDARY VALUE PROBLEMS WITH DELAY
Key words: boundary value problem, delayed argument, spline collocation method, cubic splines, computer modeling.
Zelenskiy O. V.
ORCІD: 0000-0002-4969-0132, Cand. of Phys. and Math. Sciences, Kamianets-Podilskyi Ivan Ohiienko National University, Kamianets-Podilskyi, Ukraine, E-maіl: esteticcode@gmail.com
ULTRA EXPONENT MATRICES
Key words: exponent matrix, reduced exponent matrix, admissible quiver, ultra exponent matrix, rigid quiver, weight function, mathematical modelling.
References:
УЛЬТРА МАТРИЦІ ПОКАЗНИКІВ
Ключові слова: матриця показників, зведена матриця показників, допустимий сагайдак, ультра матриця показників, жорсткий сагайдак, вагова функція, математичне моделювання.
Мусій Р. С.
ORCІD: 0000-0002-7169-2206, д-р фіз.-мат. наук, професор, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: musiy@lp.edu.ua
Кунинець А. В.
ORCІD: 0000-0003-2481-3236, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: andrii.v.kunynets@lpnu.ua
Свідрак І. Г.
ORCІD: 0000-0003-1811-2011, канд. техн. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: inha.h.svidrak@lpnu.ua
Тимошенко Н. М.
ORCІD: 0000-0002-5595-6531, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: nadiia.m.tymoshenko@lpnu.ua
Шиндер В. К.
ORCІD: 0000-0002-9414-5619, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: valentyn.k.shynder@lpnu.ua
ВИЗНАЧЕННЯ ТА АНАЛІЗ ТЕПЛА ДЖОУЛЯ І ПОНДЕРОМОТОРНОЇ СИЛИ У ПОРОЖНИСТОМУ МІДНОМУ ЦИЛІНДРІ ЗА ДІЇ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ІМПУЛЬСА
Ключові слова: порожнистий електропровідний циліндр, електромагнітний імпульс, осьова компонента вектора напруженості магнітного поля, тепло Джоуля, пондеромоторна сила.
Список використаних джерел:
References:
DETERMINATION AND ANALYSIS OF JOULE HEAT AND PONDEROMOTIVE FORCE IN A HOLLOW COPPER CYLINDER UNDER THE ACTION OF AN ELECTROMAGNETIC IMPULSE
Key words: hollow conductive cylinder, electromagnetic impulse, axial component of the magnetic field intensity vector, Joule heating, ponderomotive force.
Zb_F-M_2.pdf
Нікітін А. В.
ORCІD: 0000-0001-5137-0114, д-р фіз.-мат. наук, професор, Національний університет «Острозька академія», м. Острог, Україна, E-maіl: anatolii.nikitin@oa.edu.ua
Шведюк В. В.
ORCІD: 0009-0002-2906-0958, аспірант, Національний університет «Острозька академія», м. Острог, Україна, E-maіl: volodymyr.v.shvediuk@oa.edu.ua
СТІЙКІСТЬ ДЕТЕРМІНОВАНОЇ ТА УСЕРЕДНЕНОЇ СИСТЕМ РАДІОФІЗИЧНИХ ПРОЦЕСІВ У МІКРОКОНТРОЛЕРНИХ СИСТЕМАХ БПЛА
Ключові слова: БПЛА, стійкість детермінованої системи, власні значення, метод Ляпунова, радіофізичні процеси, мікроконтролер, простір станів.
Список використаних джерел:
References:
STABILITY OF DETERMINISTIC AND AVERAGED SYSTEMS OF RADIOPHYSICAL PROCESSES IN UAV MICROCONTROLLER SYSTEMS
Key words: UAV, stability of deterministic system, eigenvalues, Lyapunov functions, radiophysical processes, microcontroller, state space.
Пархоменко В. Г.
ORCІD: 0009-0008-7309-0875, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: vladyslav.parkhomenko1@nure.ua
аналіз методОМ двобічних наближень стаціонарної реактивно-дифузивної моделі у сферичній гранулі з кінетикою арреніуса
Ключові слова: гетеротонний оператор, інтегральне рівняння Гаммерштейна, метод двобічних наближень, напівлінійне еліптичне рівняння з оператором Лапласа, нелінійна крайова задача, радіально-симетричний додатний розв’язок, реакційно-дифузійна система, ...
Список використаних джерел:
References:
Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of a Stationary Reaction–Diffusion Model in a Spherical Pellet with Arrhenius Kinetics
Key words: Green’s function, Hammerstein integral equation, heterotone operator, method of two-sided approximations, nonlinear boundary value problem, positive radially symmetric solution, reaction–diffusion system, semilinear elliptic equation with t...
Савченко А. В.
ORCІD: 0009-0004-7547-8655, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: anton.savchenko@nure.ua
Застосування методу двобічних наближень до аналізу впливу типів закріплення кінців на статичний прогин балки в моделях мікроелектромеханічних систем
Ключові слова: балка, жорстке закріплення, ізотонний оператор, інваріантний конусний відрізок, консольна балка, крайова задача, крайові умови для балки, математичне моделювання, метод двобічних наближень, мікроелектромеханічна система, прогин, рівнянн...
Список використаних джерел:
References:
APPLICATION OF THE METHOD OF TWO-SIDED APPROXIMATIONS TO THE ANALYSIS OF THE INFLUENCE OF BEAM END CONDITIONS ON THE STATIC DEFLECTION OF A BEAM IN MICROELECTROMECHANICAL SYSTEMS
Key words: beam, clamped support, isotone operator, invariant cone segment, cantilever beam, boundary value problem, beam boundary conditions, mathematical modeling, method of two-sided approximations, microelectromechanical system, deflection, Hammer...
Сеньо П. С.
ORCІD: 0009-0005-7979-2905, д-р фіз.-мат. наук, професор, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів, Україна E-maіl: petro.seno@lnu.edu.ua
Заяць А. Р.
ORCІD: 0009-0004-7793-0238, аспірант, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів, Україна E-maіl: artur.zaiats@lnu.edu.ua
МОДИФІКАЦІЯ БАЗОВОГО ДВОСТОРОННЬОГО МЕТОДУ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
Ключові слова: функціональні інтервали, інтегральні рівняння, двосторонні апроксимації, параболічний паралелограм, математичне моделювання, системний аналіз.
Список використаних джерел:
References:
MODIFICATION OF THE BASIC TWO-SIDED METHOD FOR SOLVING INTEGRAL EQUATIONS
Key words: functional intervals, integral equations, two-sided approximations, parabolic parallelogram, mathematical modelling, system analysis.
Янбеков Р. Я.
ORCІD: 0009-0004-6588-7121, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: ravil.yanbekov@nure.ua
дослідження одновимірних стаціонарних задач термохімії методом двобічних наближень на основі використання функції Гріна
Ключові слова: математичне моделювання, термохімічні процеси, метод двобічних наближень, функція Гріна, перша крайова задача, напівлінійне звичайне диференціальне рівняння.
Список використаних джерел:
References:
Analysis of One-Dimensional Steady-State Thermochemical Problems Using the Method of Two-Sided Approximations with Green’s Function
Key words: mathematical modelling, thermochemical processes, two-sided approximation method, Green’s function, first boundary value problem, semilinear ordinary differential equation.
Відомості про авторів
Алфавітний покажчик авторів
Зміст
end.pdf
Математичне та комп’ютерне моделювання
Серія: Фізико-математичні науки
|
| id | mcm-mathkpnueduua-article-361414 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-09T01:00:18Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | mcm-mathkpnueduua/b9/3cfa26190640494ac67dd92b330fc7b9.pdf |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3614142026-06-08T08:10:39Z Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of a Stationary Reaction–Diffusion Model in a Spherical Pellet with Arrhenius Kinetics Аналіз методом двобічних наближень стаціонарної реактивно-дифузивної моделі у сферичній гранулі з кінетикою Арреніуса Пархоменко, Владислав The paper analyzes, by means of the method of two-sided approximations, a stationary reaction–diffusion model in a spherical granule with Arrhenius kinetics. The problem is considered in a spherical domain with a nonhomogeneous Dirichlet boundary condition on the boundary, which is transformed into a homogeneous one after an appropriate substitution. The nonlinearity is represented as the product of a linear and an exponential function. After transforming to the spherical coordinate system and taking radial symmetry into account (the solution depends only on the distance from the center of the sphere and does not depend on the angular variables), the problem is reduced to a boundary value problem for a semilinear ordinary differential equation. Since the pole of the spherical coordinate system is a singular point of the obtained equation, it is necessary to impose a boundedness condition on the solution at this point. For the problem under consideration, the Green’s function is constructed, after which the problem is reduced to an equivalent integral equation, which is treated as a nonlinear operator equation in the Banach space of functions continuous on a segment and semiordered by the cone of nonnegative functions on this segment. The properties of the corresponding integral operator, such as heterotonicity and positivity, are investigated. Next, the endpoints of a strongly invariant conical segment are determined, serving as initial approximations for the iterative process. Then, two iterative processes are constructed. The first iterative sequence is nondecreasing with respect to the cone (the sequence of lower approximations), while the second one is nonincreasing with respect to the cone (the sequence of upper approximations). At each iteration step, the current approximation is chosen as the arithmetic mean of the upper and lower approximations, which makes it possible to obtain an a posteriori error estimate at every step of the iterative process. As a result, the existence and uniqueness of a positive radially symmetric solution to the considered problem are established. The theoretical results obtained in the paper were confirmed by means of a computational experiment. The results of the computational experiment are presented graphically. У роботі проведено аналіз методом двобічних наближень стаціонарної реакційно-дифузійної моделі у сферичній гранулі з кінетикою Арреніуса. Задачі розглядається у сферичній області з неоднорідною першою крайовою умовою на межі, яка після заміни перетворюється на однорідну. Нелінійність подана у вигляді добутку лінійної та експоненціальної функцій. Після переходу до сферичної системи координат з урахуванням радіальної симетрії (розв’язок залежить лише від відстані до центру кулі, а від кутів повороту залежність відсутня), прийшли до крайової задачі для напівлінійного звичайного диференціального рівняння. Оскільки полюс сферичної системи координат є особливою точкою одержаного рівняння, необхідно поставити умову обмеженості розв’язку в цій точці. Для задачі здійснюється побудова функції Гріна, далі виконується зведення до еквівалентного інтегрального рівняння, яке розглядається як нелінійне операторне рівняння в банаховому просторі неперервних на відрізку функцій, напівупорядкованому конусом невід’ємних на цьому відрізку функцій. Проведено дослідження властивостей відповідного інтегрального оператора такі, як гетеротонність та додатність. Далі здійснюється пошук кінців сильно інваріантного конусного відрізка, які виступають початковими наближеннями для ітераційного процесу. Потім будуються два ітераційні процеси. Перша ітераційна послідовність не спадає за конусом (послідовність нижніх наближень), друга – не зростає за конусом (послідовність верхніх наближень). За поточне наближення на кожній ітерації обирається середнє арифметичне верхнього та нижнього наближень, що надає можливість одержати на кожному кроці ітераційного процесу апостеріорну оцінку похибки. Зроблено висновок про існування та єдиність додатного радіально-симетричного розв’язку розглядуваної задачі. Теоретичні результати, одержані в роботі, було підтверджено шляхом проведення обчислювального експерименту. Результати обчислювального експерименту подано у графічному вигляді. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2026-05-29 Article Article Рецензована Стаття application/pdf https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/361414 10.32626/2308-5878.2026-30.115-126 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2026: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 30; 115-126 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2026: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 30; 115-126 2308-5878 10.32626/2308-5878.2026-30 uk https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/361414/349678 Авторське право (c) 2026 Владислав Пархоменко |
| spellingShingle | Пархоменко, Владислав Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of a Stationary Reaction–Diffusion Model in a Spherical Pellet with Arrhenius Kinetics |
| title | Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of a Stationary Reaction–Diffusion Model in a Spherical Pellet with Arrhenius Kinetics |
| title_alt | Аналіз методом двобічних наближень стаціонарної реактивно-дифузивної моделі у сферичній гранулі з кінетикою Арреніуса |
| title_full | Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of a Stationary Reaction–Diffusion Model in a Spherical Pellet with Arrhenius Kinetics |
| title_fullStr | Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of a Stationary Reaction–Diffusion Model in a Spherical Pellet with Arrhenius Kinetics |
| title_full_unstemmed | Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of a Stationary Reaction–Diffusion Model in a Spherical Pellet with Arrhenius Kinetics |
| title_short | Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of a Stationary Reaction–Diffusion Model in a Spherical Pellet with Arrhenius Kinetics |
| title_sort | analysis by the method of two-sided approximations of a stationary reaction–diffusion model in a spherical pellet with arrhenius kinetics |
| url | https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/361414 |
| work_keys_str_mv | AT parhomenkovladislav analysisbythemethodoftwosidedapproximationsofastationaryreactiondiffusionmodelinasphericalpelletwitharrheniuskinetics AT parhomenkovladislav analízmetodomdvobíčnihnabliženʹstacíonarnoíreaktivnodifuzivnoímodelíusferičníjgranulízkínetikoûarreníusa |