The Method of Two-Sided Approximations in the Numerical Analysis of the Navier Problem as a Mathematical Model of a One-Dimensional Microelectromechanical System
This paper considers a boundary value problem for a fourth-order semilinear ordinary differential equation (the Navier problem), which describes the static deflection of a microbeam in microelectromechanical systems under the action of electrostatic forces. The study of this problem is based on its...
Gespeichert in:
| Datum: | 2026 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2026
|
| Online Zugang: | https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/362142 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1867479079565918208 |
|---|---|
| author | Гвоздєв, Микита Сидоров, Максим |
| author_facet | Гвоздєв, Микита Сидоров, Максим |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Микита Гвоздєв",
"institution": "Харківський національний університет радіоелектроніки"
},
{
"author": "Максим Сидоров",
"institution": "Харківський національний університет радіоелектроніки"
}
] |
| author_sort | Гвоздєв, Микита |
| baseUrl_str | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-06-08T08:10:39Z |
| description | This paper considers a boundary value problem for a fourth-order semilinear ordinary differential equation (the Navier problem), which describes the static deflection of a microbeam in microelectromechanical systems under the action of electrostatic forces. The study of this problem is based on its reduction to an equivalent Hammerstein integral equation or to a system of Hammerstein integral equations, which are analyzed using methods of nonlinear operator theory in semi-ordered Banach spaces.
By the first approach, the original boundary value problem is reduced to a Hammerstein integral equation via the construction of the Green’s function for a fourth-order ordinary differential operator with Navier boundary conditions. In the second approach, the problem is first transformed into a first boundary value problem for a system of semilinear ordinary differential equations, followed by its reduction to a system of Hammerstein equations. In this case, Green’s functions of second-order ordinary differential operators with first boundary conditions are employed. The properties of the nonlinear operators corresponding to the obtained equation and system of equations are investigated. In particular, it is established that each of these operators is positive, isotone, Lipschitz continuous, continuous, and completely continuous.
Two schemes of the method of two-sided approximations are proposed. The choice of this method is justified by the fact that it allows not only the construction of approximate solutions but also the theoretical establishment of conditions for their existence and uniqueness. Another advantage of the method is the availability of a convenient a posteriori error estimate.
Conditions for the convergence of each of the proposed schemes to the unique solution of the original boundary value problem on an invariant conical segment are obtained. To analyze the efficiency of the algorithms, a series of computational experiments is carried out for different values of the problem parameters. A comparative analysis of the results is performed, and practical recommendations are provided. |
| doi_str_mv | 10.32626/2308-5878.2026-30.5-30 |
| first_indexed | 2026-06-09T01:00:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
5
УДК 517.927.4:517.988.81
DOІ: 10.32626/2308-5878.2026-30.5-30
Гвоздєв М. І.
ORCІD: 0000-0003-4022-9777,
Харківський національний університет радіоелектроніки,
м. Харків, Україна,
E-maіl: mykyta.hvozdev@nure.ua
Сидоров М. В.
ORCІD: 0000-0001-8022-866X,
д-р фіз.-мат. наук, професор, Харківський національний
університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна,
E-maіl: maxim.sidorov@nure.ua
МЕТОД ДВОБІЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ У ЧИСЕЛЬНОМУ АНАЛІЗІ
ЗАДАЧІ НАВ’Є, ЩО Є МАТЕМАТИЧНОЮ МОДЕЛЛЮ
ОДНОВИМІРНОЇ МІКРОЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ
У статті розглядається крайова задача для напівлінійного
звичайного диференціального рівняння четвертого порядку
(задача Нав’є), що описує статичний прогин мікробалки в мік-
роелектромеханічних системах під дією електростатичних сил.
В основі дослідження цієї задачі лежить її зведення до еквіва-
лентного інтегрального рівняння або системи інтегральних рі-
внянь Гаммерштейна, які аналізуються методами теорії нелі-
нійних операторів у напівупорядкованих банахових просторах.
Першим способом від вихідної крайової задачі здійснено
перехід до інтегрального рівняння Гаммерштейна шляхом по-
будови функції Гріна звичайного диференціального оператора
четвертого порядку з умовами Нав’є. У другий спосіб спочат-
ку здійснено перехід до першої крайової задачі для системи
звичайних напівлінійних рівнянь з наступною її заміною сис-
темою рівнянь Гаммерштейна. При цьому використовуються
функції Гріна звичайних диференціальних операторів другого
порядку з першими крайовими умовами. Досліджено власти-
вості нелінійних операторів, що відповідають отриманим рів-
нянню і системі рівнянь. Зокрема, встановлено, що кожен з
цих операторів є додатним, ізотонним, ліпшіц-неперервним,
неперервним та цілком неперервним.
Запропоновано дві схеми методу двобічних наближень.
Вибір саме цього методу обґрунтовується тим, що він дозволяє
1 Стаття надійшла до редакції: 25.05.2026
Рекомендовано до друку: 26.05.2026
Оприлюднено (online): 29.05.2026
Ця стаття розповсюджується на умовах ліцензії CC Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0
© Гвоздєв М. І., Сидоров М. В., 2026
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
6
не лише будувати наближений розв’язок, а й дозволяє теоре-
тично встановлювати умови його існування та єдиності. Також
перевагою методу двобічних наближень є наявність зручної
апостеріорної оцінки похибки.
Отримано умови збіжності кожної з запропонованих схем
до єдиного на інваріантному конусному відрізку розв’язку ви-
хідної крайової задачі. Для аналізу ефективності алгоритмів
проведено низку обчислювальних експериментів для різних
значень параметрів задачі. Виконано порівняльний аналіз
отриманих результатів та надано практичні рекомендації.
Ключові слова: мікробалка, задача Нав’є, ізотонний опе-
ртор, інваріантний конусний відрізок, крайова задача, мате-
матичне моделювання, мікроелектромеханічна система, ме-
тод двобічних наближень, напівлінійне звичайне диференціа-
льне рівняння четвертого порядку, прогин, рівняння Гаммер-
штейна, функція Гріна, чисельні методи, шарнірне обпирання.
Вступ. Сучасний розвиток мікро- та наноелектроніки зумовлює
зростаючий інтерес до мікроелектромеханічних систем (МЕМС), які
поєднують у собі механічні та електричні компоненти на мікромасш-
табному рівні. Такі системи широко застосовуються у сенсорних тех-
нологіях, медичних пристроях, телекомунікаціях, автомобільній про-
мисловості та системах Інтернету речей [7, 8, 11, 14-18]. Завдяки ви-
сокій чутливості, малим розмірам та низькому енергоспоживанню
МЕМС стали невід’ємною складовою сучасних інженерних рішень.
Однією з ключових проблем при проєктуванні МЕМС є забезпе-
чення їхньої надійності та стабільності роботи в умовах дії електрос-
татичних сил. Особливу роль відіграє явище так званої pull-in нестій-
кості, яке полягає у раптовому притягненні рухомого елемента (мік-
ромембрани або мікробалки) до нерухомого електрода при досягнен-
ні критичного значення прикладеної напруги. Це явище призводить
до втрати працездатності пристрою, тому його передбачення є прин-
ципово важливим етапом проєктування.
Експериментальне дослідження таких ефектів є складним через
малі геометричні розміри та високу вартість виготовлення прототи-
пів. У зв’язку з цим особливого значення набуває математичне моде-
лювання, яке дозволяє адекватно описувати поведінку МЕМС, про-
гнозувати критичні режими та оптимізувати параметри конструкції
без проведення численних фізичних експериментів.
Отже, актуальною науковою задачею є розробка нових та удо-
сконалення існуючих методів математичного моделювання та чисе-
льного аналізу МЕМС. Зазвичай як математичні моделі статичних
мікро- та наноелектромеханічних систем використовують крайові
задачі для напівлінійних еліптичних рівнянь другого або четвертого
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
7
порядку, застосовуючи до їх чисельного аналізу, наприклад, метод
скінченних елементів [19, 20], метод Гальоркіна [13, 21] або методи
двобічних наближень [1-3, 5, 6, 9, 10]. Методи останнього класу за-
сновані на результатах теорії нелінійних операторі у напівупорядко-
ваних банахових просторах [4, 12] та є більш зручними для практич-
ного використання, бо дозволять на кожному кроці ітераційного про-
цесу мати гарантовану оцінку похибки наближеного розв’язку задачі.
Метою роботи є подальший розвиток ітераційних методів дво-
бічних наближень розв’язування одновимірних крайових задач для
напівлінійних звичайних диференціальних рівнянь четвертого поряд-
ку, що є математичними моделями МЕМС. Для досягнення поставле-
ної мети необхідно виконати наступні завдання:
для задачі Нав’є відносно безрозмірного прогину побудувати іте-
раційні методи двобічних наближень на основі використання фу-
нкції Гріна та теорії нелінійних операторів у напівупорядкованих
просторах;
провести обчислювальні експерименти для тестових задач.
Дана робота продовжує дослідження, що розпочаті в [5].
Постановка задачі. Розглянемо тонку мікробалку (верхній еле-
ктрод) довжини 2l , що шарнірно обпирається на краях і знаходиться
на відстані d від нерухомого електрода (рис. 1). Нехай ( )w – про-
гин балки (м), – просторова координата (м), [ ; ]l l . Зрозуміло,
що 0 ( )w d . Нехай далі V – напруга (В), E – модуль Юнга
(Па), I – момент інерції перерізу (м4), T – натяг (ефективна сила
розтягу) (Н), 0 – діелектрична проникність (Ф/м), ( )F – профіль,
що визначає неоднорідність електростатичного поля. Шарнірне об-
пирання означає, що на краях мікробалки дорівнюють нулю прогин
та згинаючий момент або кривина.
Рис. 1. Схема МЕМС
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
8
Повна енергія цієї мікроелектромеханічної системи дорівнюва-
тиме сумі енергії згину, енергії натягу та електростатичної енергії:
2
2 2 0 ( )
[ ] ( ) ( )
2 2 2 ( )
L
L
VEI T F
w w w d
d w
.
Необхідна умова мінімуму функціонала [ ]w (рівняння Ейлера-
Пуассона) з урахування умов шарнірного обпирання кінців мікробал-
ки приводить до наступної крайової задачі
2
0
2
( )
( ) ( )
2( ( ))
IV V F
EIw Tw
d w
, ( ; )l l , (1)
( ) ( ) 0w l w l , ( ) ( ) 0w l w l . (2)
Переходячи у (1), (2) до безрозмірних змінних x і u за форму-
лами x
l
,
( )
( )
w
u x
d
, отримаємо задачу
2 42
0
3 2
( )
( ) ( )
2 (1 )
IV V lTl F lx
u x u x
EI EId u
, ( 1;1)x ,
( 1) ( 1) 0u u , (1) (1) 0u u .
Позначимо
2
2 Tl
EI
,
2 4
0
32
V l
EId
, ( ) ( )f x F lx . Отже, розгля-
датимемо наступну крайову задачу Нав’є
2
2
( )
( ) ( )
(1 ( ))
IV f x
u x u x
u x
, ( 1; 1)x , (3)
( 1) ( 1) 0u u , (1) (1) 0u u . (4)
При цьому 0 ( ) 1u x для всіх [ 1; 1]x .
Крайова задача (3), (4) є крайовою задачею для напівлінійного
диференціального рівняння четвертого порядку з сингулярною нелі-
нійністю. Зазвичай вважають, що ( ) 0f x на [ 1; 1] , [ 1;1]f і
[ 1;1]
max ( ) 1
x
f x
.
Метод розв’язання. Задачу (3), (4) аналізуватимемо методом
двобічних наближень двома способами. Перший спосіб базувати-
меться на безпосередньому переході (методом функцій Гріна) від
задачі (3), (4) до еквівалентного інтегрального рівняння Гаммерштей-
на (цей підхід у випадку ( ) 1f x до задачі (3), (4) було запропонова-
но у роботі [5]). Другим способом крайова задача (3), (4) спочатку
зведеться до крайової задачі для системи рівнянь, а потім отримана
система (знову таки методом функцій Гріна) буде замінена еквівален-
тною системою інтегральних рівнянь Гаммерштейна.
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
9
Перший спосіб. Функція Гріна ( , )G x s крайової задачі (3), (4) є
невід’ємною для всіх 1 , 1x s і має вигляд [5]
2 3
2 3
(1 )(1 ) (1 )
1 ,
2 2
( , )
(1 )(1 )
(1 )
,
((1 )
1.
2 2
1 )
,
x s sh x
x s
sh
G x s
s x sh s
s
sh
s
h
h
s
x
s
x
Тоді задача (3), (4) еквівалентна інтегральному рівнянню Гамме-
рштейна
1
2
1
( , ) ( )
( )
(1 ( ))
G x s f s
u x ds
u s
. (5)
Рівняння (5) розглядатимемо у банаховому просторі [ 1; 1] не-
перервних на відрізку [ 1; 1] функцій з нормою
[ 1; 1]
max ( )
x
u u x
.
Простір [ 1; 1] будемо вважати напівупорядкованим за допомогою
конуса { [ 1; 1]: ( ) 0, [ 1; 1]}u u x x невід’ємних функцій:
v w за конусом , якщо w v . Отже, v w , якщо
( ) ( )v x w x для всіх [ 1; 1]x .
Узагальненим розв’язком крайової задачі (3), (4) назвемо функ-
цію u , що є розв’язком інтегрального рівняння (5).
Увівши нелінійний інтегральний оператор T , що діє у [ 1; 1]
за правилом
1
2
1
( , ) ( )
( )( )
(1 ( ))
G x s f s
T u x ds
u s
, (6)
рівняння (5) можна записати у вигляді ( )u T u і звести проблему
знаходження узагальненого розв’язку задачі (3), (4) до задачі про не-
рухому точку оператора T .
Властивості оператора T викладені в наступній лемі.
Лема 1. Якщо 0 ( ) 1u x для всіх [ 1; 1]x ( 0 – до-
сить мале), то оператор T вигляду (6) є:
а) додатним;
б) ізотонним;
в) ліпшіц-неперервним;
г) неперервним та цілком неперервним.
Доведення. а) Додатність оператора T означає, що він залишає
інваріантним конус , тобто ( )T u , якщо u . Це безпосе-
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
10
редньо випливає з невід’ємності та неперервності (за зроблених при-
пущень) підінтегральної функції у (6).
б) Ізотонність оператора T означає, що з нерівності v w ви-
пливає нерівність ( ) ( )T v T w . Тоді ця властивість є наслідком моно-
тонного зростання за u функції
2
1
(1 )u
для 0 1u і не-
від’ємності підінтегральної функції у (6).
в) Оскільки
2 2 3
1 1 2
(1 ) (1 )
v w
v w
,
то
[ 1;1]
( ) ( ) max ( )( ) ( )( )
x
T v T w T v x T w x
1
2 2[ 1;1]
1
1 1
max ( , ) ( )
(1 ( )) (1 ( ))x
G x s f s ds
v s w s
3 3[ 1;1]
2 2
max ( ) ( )
x
M M
v s w s v w
,
де
1
[ 1;1]
1
max ( , ) ( )
x
M G x s f s ds
, 0M .
Отже,
( ) ( )T v T w L v w ,
де
3
2 M
L
.
г) Неперервність та повна неперервність оператора T також
безпосередньо випливають з невід’ємності та неперервності (за зроб-
лених припущень) підінтегральної функції у (6).
Лему доведено.
Для ізотонного оператора T вигляду (6) дослідимо тепер питан-
ня існування інваріантного конусного відрізка 0 0,v w , тобто такої
множини 0 0 0 0, { [ 1; 1]: }v w u v u w , що
0 0 0 0( , ) ,T v w v w .
Кінці 0v , 0w цього відрізка виділимо умовами 0 0( )T v v ,
0 0( )T w w . Якщо покласти 0 ( ) 0v x , 0 ( )w x ( 0 1 ), то ці
умови набудуть вигляду
1
1
( , ) ( ) 0G x s f s ds
для всіх [ 1; 1]x , (7)
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
11
1
2
1
( , ) ( )
(1 )
G x s f s ds
для всіх [ 1; 1]x . (8)
Очевидно, що умова (7) завжди виконується, а умову (8) можна
записати у вигляді
2(1 ) M . (9)
Аналіз нерівності (9) показує, що для 0 1 вона:
не має розв’язків, якщо
4
27
M ;
виконується лише для
1
3
, якщо
4
27
M ;
виконується для [ , ] , де
1
0 1
3
, якщо
4
27
M .
Отже, ізотонний оператор T вигляду (6) має інваріантний кону-
сний відрізок 0, , якщо
4
27M
. (10)
Обираючи за початкове наближення кінці інваріантного конус-
ного відрізка 0, , сформуємо ітераційний процес за схемою
( 1) ( )( )k kv T v , ( 1) ( )( )k kw T w , 1, 2, ,k
(0) 0v , (0)w ,
тобто
1
( 1)
( ) 2
1
( , ) ( )
( )
(1 ( ))
k
k
G x s f s
v x ds
v s
, 1, 2,k , (11)
1
( 1)
( ) 2
1
( , ) ( )
( )
(1 ( ))
k
k
G x s f s
w x ds
w s
, 1, 2,k , (12)
(0) ( ) 0v x , (0) ( )w x . (13)
З ізотонності оператора T та інваріантності конусного відрізка
0, випливає ланцюг нерівностей
(1) (2) ( ) ( ) (2) (1)0 ( ) ( ) ... ( ) ... ( ) ... ( ) ( )k kv x v x v x w x w x w x ,
а з нормальності конуса та повної неперервності оператора T
випливає існування границь
( )( ) lim ( )k
k
v x v x
,
( )( ) lim ( )k
k
w x w x
,
причому v w і v , w – нерухомі точки оператора T .
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
12
Якщо , 0,v w , то з властивості ліпшіц-неперервності ви-
пливає оцінка ( ) ( )T v T w L v w , де
3
2
(1 )
M
L
. Тоді
( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ...k k k k k kw v T w T v L w v
1 (0) (0) 1k kL w v L ,
тобто
( 1) ( 1) 1k k kw v L . (14)
Якщо за обрати – найменший корінь рівняння
2(1 ) M ,
1
0
3
, то для
4
27M
3
2
1
(1 )
M
L
.
Переходячи у (14) до границі, коли k , отримаємо, що
( 1) ( 1) 10 lim lim 0k k k
k k
w v w v L
,
тобто 0w v , а отже, v w .
Таким чином, має місце наступне твердження.
Теорема 1. Нехай
4
27M
і – найменший корінь рівняння
2(1 ) M , де
1
[ 1;1]
1
max ( , ) ( )
x
M G x s f s ds
. Тоді крайова задача
(3), (4) має єдиний на 0, додатний розв’язок ( )u x , до якого
двобічно збігається ітераційний процес (11)-(13).
Характер збіжності ітерацій (11)-(13) дає можливість мати на кож-
ному кроці ітераційного процесу гарантовану двобічну оцінку
( ) ( )k kv u w . Якщо ж за наближений розв’язок на k -й ітерації обрати
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
k k
k v x w x
u x
– середину конусного відрізка ( ) ( ),k kv w , то
( ) ( ) ( )
[ 1;1]
1
max [ ( ) ( )]
2
k k k
x
u u w x v x
.
Таким чином, з точністю можна вважати ( )( ) ( )ku x u x , якщо
( ) ( )
[ 1;1]
max [ ( ) ( )] 2k k
x
w x v x
,
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
13
що є зручним критерієм закінчення обчислень.
Крім того, кожен з конусних відрізків ( ) ( ),k kv w є апріорною
оцінкою розв’язку крайової задачі (3), (4), зокрема, конусній відрізок
(1) (1),v w (оцінка 0,u є певною мірою тривіальною): для
всіх [ 1;1]x
1 1
2
1 1
( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )
(1 )
G x s f s ds u x G x s f s ds
.
Другий спосіб. У задачі (3), (4) зробимо заміну 1u u , 2u u .
Тоді вона набуде вигляду
1 2u u , ( 1; 1)x , (15)
2
2 2 2
1
( )
( ) ( )
(1 ( ))
f x
u x u x
u x
, ( 1; 1)x , (16)
1( 1) 0u , 1(1) 0u , (17)
2 ( 1) 0u , 2 (1) 0u . (18)
Отже, крайова задача (3), (4) зведена до першої крайової задачі
(15)-(18) для системи напівлінійних звичайних диференціальних рівнянь.
Функція Гріна першої крайової задачі для оператора u на від-
різку [ 1;1] має вигляд
(1 )(1 )
, 1 ,
2
( , )
(1 )(1 )
, 1,
2
x s
x s
G x s
s x
s x
а функція Гріна першої крайової задачі для оператора 2u u на
відрізку [ 1;1] має вигляд
( )
(1 ) (1 )
, 1 ,
2
( , )
(1 ) (1 )
, 1.
2
sh x sh s
x s
sh
G x s
sh s sh x
s x
sh
Тоді задача (15)-(18) еквівалентна системі інтегральних рівнянь
Гаммерштейна
1
1 2
1
( ) ( , ) ( )u x G x s u s ds
, (19)
1 ( )
2 2
11
( , ) ( )
( )
(1 ( ))
G x s f s
u x ds
u s
. (20)
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
14
Систему рівнянь (19), (20) розглядатимемо у банаховому прос-
торі 2
2[ 1; 1] ([ 1; 1]; ) неперервних на відрізку [ 1; 1] двови-
мірних вектор-функцій 1 2( , )u uu з нормою
1 2 1 22 [ 1; 1] [ 1; 1]
max , max max ( ) , max ( )
x x
u u u x u x
u .
Простір 2[ 1; 1] напівупорядкуємо за допомогою конуса
2 1 2{ [ 1; 1]: ( ) 0, ( ) 0, [ 1; 1]}u x u x x u невід’ємних дво-
вимірних вектор-функцій функцій: v w за конусом , якщо
w v . Отже, запис v w , де 1 2( , )v vv , 1 2( , )w ww , означає,
що 1 1( ) ( )v x w x і 2 2( ) ( )v x w x для всіх [ 1; 1]x .
Узагальненим розв’язком крайової задачі (15)-(18) назвемо век-
тор-функцію
u , що є розв’язком системи інтегральних рівнянь
(19), (20).
Введемо у розгляд нелінійний інтегральний оператор T , що діє
у 2[ 1; 1] за правилом
1 1 ( )
2 2
11 1
( , ) ( )
( )( ) ( , ) ( ) ,
(1 ( ))
G x s f s
x G x s u s ds ds
u s
T u . (21)
Тоді система рівнянь (19), (20) запишеться у вигляді ( )u T u і
проблема знаходження узагальненого розв’язку задачі (15) – (18) зве-
деться до задачі про нерухому точку оператора T .
Оператор T має властивості, викладені в наступній лемі.
Лема 2. Якщо 1 20 ( ), ( ) 1u x u x для всіх [ 1; 1]x ( 0 –
досить мале), то оператор T вигляду (21) є:
а) додатним;
б) ізотонним;
в) ліпшіц-неперервним;
г) неперервним та цілком неперервним.
Доведення. а) Додатність оператора T безпосередньо випливає
з невід’ємності та неперервності (за зроблених припущень) підінтег-
ральних функцій у (21).
б) Ізотонність оператора T є наслідком монотонного зростання
за u функцій u і
2
1
(1 )u
для 0 1u і невід’ємності підінтегра-
льних функцій у (21).
в) Маємо
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
15
1
2 22 [ 1;1]
1
( ) ( ) max max ( , )[ ( ) ( )] ,
x
G x s v s w s ds
T v T w
1
( )
2 2[ 1;1]
1 11
1 1
max ( , ) ( )
(1 ( )) (1 ( ))x
G x s f s ds
v s w s
.
Оскільки
1
2 2 2 2
[ 1;1]
1
max ( , )[ ( ) ( )]
x
G x s v s w s ds M v w
,
де
1
[ 1;1]
1
max ( , )
x
M G x s ds
, а
1 ( )
( )
1 12 2 3[ 1;1]
1 11
1 1 2
max ( , ) ( )
(1 ( )) (1 ( ))x
M
G x s f s ds v w
v s w s
,
де
1
( ) ( )
[ 1;1]
1
max ( , ) ( )
x
M G x s f s ds
, то
( )
2 2 1 12 23
2
( ) ( ) max ,
M
M v w v w L
T v T w v w ,
де
( )
3
2
max ,
M
L M
.
г) Неперервність та повна неперервність оператора T також
безпосередньо випливають з невід’ємності та неперервності (за зроб-
лених припущень) підінтегральних функцій у (21).
Лему доведено.
Тепер для ізотонного оператора T вигляду (21) дослідимо пи-
тання існування інваріантного конусного відрізка 0 0, v w , де
0 0,1 0, 2( , )v vv , 0 0,1 0, 2( , )w ww . Покладемо 0,1(0) 0v ,
0, 2 0( ) ( )v x u x , 0,1( )w x , 0, 2 0( ) ( )w x u x , де 2
0( ) 1u x x ,
0 , 0 1 . Тоді умови 0 0( ) T v v , 0 0( ) T w w , що виділя-
ють інваріантний конусний відрізок, набудуть вигляду
1
0
1
( , ) ( ) 0G x s u s ds
для всіх [ 1; 1]x , (22)
1
( )
0
1
( , ) ( ) ( )G x s f s ds u x
для всіх [ 1; 1]x , (23)
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
16
1
0
1
( , ) ( )G x s u s ds
для всіх [ 1; 1]x , (24)
1
( )
02
1
( , ) ( ) ( )
(1 )
G x s f s ds u x
для всіх [ 1; 1]x . (25)
Умова (22), очевидно, завжди виконується, а умови (23)-(25)
можна записати у вигляді
1m , 1M , 2
2(1 ) M , (26)
де
1 ( )
1
[ 1;1]
01
( , ) ( )
min
( )x
G x s f s
m ds
u x
,
1
1 0
[ 1;1]
1
max ( , ) ( )
x
M G x s u s ds
,
1 ( )
2
[ 1;1]
01
( , ) ( )
max
( )x
G x s f s
M ds
u x
.
Зрозуміло, що 1 1 2, , 0m M M .
З першої з нерівностей (26) маємо, що
10 m .
Друга та третя нерівності (26) утворюють систему відносно і
, що не залежить від . З другої нерівності (26)
1M
і, підси-
люючи третю нерівність, отримаємо, що 2
1 2 (1 )M M . Остан-
ня нерівність для 0 1 :
не має розв’язків, якщо 1 2
4
27
M M ;
виконується лише для
1
3
, якщо
1 2
4
27
M M ;
виконується для [ , ] , де
1
0 1
3
, якщо 1 2
4
27
M M .
Отже, для
1 2
4
27M M
оператор T має інваріантний конусний
відрізок 0 0(0, ), ( , )u u , де 10 m , ( , –
відповідно найменший і найбільший при 0 1 корені рівняння
2
1 2 (1 )M M ), 2
2
1(1 )
M
M
.
Починаючи з кінців інваріантного конусного відрізка
0 0(0, ), ( , )u u , сформуємо ітераційний процес за схемою
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
17
1
( 1) ( )
1 2
1
( ) ( , ) ( )
k k
v x G x s v s ds
, 1, 2,k (27)
1 ( )
( 1)
2 ( ) 2
11
( , ) ( )
( )
(1 ( ))
k
k
G x s f s
v x ds
v s
, 1, 2,k (28)
1
( 1) ( )
1 2
1
( ) ( , ) ( )
k k
w x G x s w s ds
, 1, 2,k , (29)
1 ( )
( 1)
2 ( ) 2
11
( , ) ( )
( )
(1 ( ))
k
k
G x s f s
w x ds
w s
, 1, 2,k , (30)
(0)
1 ( ) 0v x , (0)
02 ( ) ( )v x u x , (0)
1 ( )w x , (0)
02 ( ) ( )w x u x . (31)
З ізотонності оператора T та інваріантності конусного відрізка
0 0(0, ), ( , )u u випливають ланцюги нерівностей
(1) (2) ( ) ( ) (2) (1)
1 1 1 1 1 10 ( ) ( ) ... ( ) ... ( ) ... ( ) ( )
k k
v x v x v x w x w x w x ,
(1) (2) ( )
0 2 2 2( ) ( ) ( ) ... ( ) ...
k
u x v x v x v x
( ) (2) (1)
02 2 2... ( ) ... ( ) ( ) ( )
k
w x w x w x u x ,
а з нормальності конуса та повної неперервності оператора T випли-
ває існування границь
( )( ) lim ( )k
k
x x
v v ,
( )( ) lim ( )k
k
x x
w w , причому
v w і 1 2( , )v v v , 1 2( , )w w w – нерухомі точки оператора T .
Нехай 0 0, (0, ), ( , )u u v w . Тоді з ліпшіц-неперервності
оператора T випливає оцінка
2 2
( ) ( ) L T v T w v w , де
( )
3
2
max ,
(1 )
M
L M
, а отже,
( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) ...k k k k k kL w v T w T v w v
1 (0) (0) 1
2
max{ , }k kL L w v .
тобто
( 1) ( 1) 1
2
max{ , }k k kL w v , (32)
де ( 1) ( 1)( 1)
1 2( , )
k kk v v
v , ( 1) ( 1)( 1)
1 2( , )
k kk w w
w .
Якщо 1L , то переходячи у (32) до границі, коли k ,
отримаємо, що
( 1) ( 1) 10 lim lim max{ , } 0k k k
k k
L
w v w v ,
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
18
тобто 0w v , а отже, v w .
Оскільки
1
2
M , то умову 1L можна замінити умовою
( )
3
2
1
(1 )
M
, або, якщо за обрати – найменший корінь рівняння
2
1 2 (1 )M M ,
1
0
3
, то для
1 2
4
27M M
отримаємо умову
( )
1 2
1
M
M M
.
Також з нерівності (32) бачимо, що для швидшої збіжності пот-
рібно обрати найбільше можливе значення і найменше можливе
значення , тобто 1m , 2
2(1 )
M
.
Таким чином, має місце наступне твердження.
Теорема 2. Нехай
1 2
4
27M M
, – найменший корінь рівнян-
ня 2
1 2 (1 )M M , 1m , 2
2(1 )
M
і
( )
3
2
1
(1 )
M
, де
1 ( )
1
[ 1;1]
01
( , ) ( )
min
( )x
G x s f s
m ds
u x
,
1
1 0
[ 1;1]
1
max ( , ) ( )
x
M G x s u s ds
,
1 ( )
2
[ 1;1]
01
( , ) ( )
max
( )x
G x s f s
M ds
u x
,
1
( ) ( )
[ 1;1]
1
max ( , ) ( )
x
M G x s f s ds
.
Тоді крайова задача (3), (4) має єдиний на 0, додатний
розв’язок ( )u x , причому ітераційний процес (27)-(31) двобічно збі-
гається до ( , )u u .
Через двобічний характер збіжності процесу (27)-(31) ми на кож-
ному його кроці маємо гарантовану двобічну оцінку ( ) ( )
1 1
k k
v u w , а
також
( ) ( )
2 2
k k
v u w . Обираючи за наближений розв’язок на k -й
ітерації
( ) ( )
( ) 1 1( ) ( )
( )
2
k k
k v x w x
u x
, маємо, що
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
19
( ) ( )( )
1 1
[ 1;1]
1
max [ ( ) ( )]
2
k kk
x
u u w x v x
.
Отже, якщо
( ) ( )
1 1
[ 1;1]
max [ ( ) ( )] 2
k k
x
w x v x
,
то з точністю можна вважати, що ( )( ) ( )ku x u x .
Апріорна розв’язку крайової задачі (3), (4) (використовуючи ко-
нусний відрізок (1) (1), v w ) може бути записана у вигляді: для всіх
[ 1;1]x
1 1
0 0
1 1
( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )G x s u s ds u x G x s u s ds
.
Також ітераційний процес (27)-(31) дає можливість двобічно на-
близити і u .
Обчислювальний експеримент. Обчислювальний експеримент
проведено при виборі ( )f x x
для різних значень і 0 . Та-
кий вигляд функції ( )f x відповідає випадку, коли на [ 1;1] електро-
ди розташовані ближче до країв, а центр майже не навантажений.
В таблиці 1 наведено порогові значення max
4
27M
і
max
1 2
4
27M M
, до яких згідно з теоремами 1 і 2 гарантовано двосто-
ронню збіжність ітераційних процесів (11)-(13) і (27)-(31) відповідно.
Таблиця 1
Порогові значення max і max для ітераційних схем(11)-(13) і (27)-(31)
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
0
max 0,7111 0,7834 1,0006 1,3634 1,8726 2,5292 3,3340
max 0,7111 0,7694 0,9337 1,1784 1,4753 1,8019 2,1439
1
max 1,9753 2,1780 2,7886 3,8136 5,2622 7,1437 9,4664
max 1,4222 1,5082 1,7359 2,0439 2,3826 2,7273 3,0703
2
max 3,8095 4,2025 5,3880 7,3840 10,2155 13,9082 18,4849
max 2,1333 2,2354 2,4970 2,8339 3,1885 3,5391 3,8822
3
max 6,2222 6,8661 8,8105 12,0903 16,7535 22,8502 30,4242
max 2,8444 2,9572 3,2399 3,5936 3,9570 4,3110 4,6551
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
20
Як бачимо, порогові значення max і max зростають як при збі-
льшенні , так і при збільшенні . Це відповідає збільшенню зі
зростанням чи критичної напруги, тобто значення, за якого
розв’язок задачі (3), (4) перестає існувати і мікробалка прилипає до
електрода. При цьому завжди max max і для великих значень і
ця різниця стає суттєвою.
За допомогою кожної з ітераційних схем (11)-(13) і (27)-(31) з
точністю 410 була розв’язана задача (3), (4) для значень 1 ,
1 і 1,5 .
Ітераційний процес (11)-(13) зійшовся з точністю за чотири
ітерації, причому
(4) (4) (0 0,09) 0349u u . На рисунку 2 наведено
графіки верхніх ( ) ( )kw x та нижніх ( ) ( )kv x наближень, 0,1, 2, 3, 4k ,
а на рисунку 3 наведено графік наближеного розв’язку (4) ( )u x .
Рис. 2. Графіки верхніх
( )
( )
k
w x (штрихова лінія) та нижніх
( )
( )
k
v x
(точкова лінія) наближень для 0, 1, 2, 3, 4k
Рис. 3. Графік наближеного розв’язку
(4)
( )u x
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
21
У таблиці 2 наведено дані про те, як змінювалася оцінка по-
хибки
( ) ( ) ( )
[ 1;1]
1
max [ ( ) ( )]
2
k k k
x
w x v x
в залежності від номера іте-
рації k .
Таблиця 2
Значення оцінки похибки ( )k
в залежності від номера ітерації k
для ітераційної схеми (11)-(13)
k 0 1 2 3 4
( )k
1
0, 49 10
2
0,91 10
2
0,12 10
3
0,16 10
4
0, 20 10
Аналіз таблиці 2 показую, що один знак після коми
у наближеному розв’язку встановлюється приблизно за
одну-дві ітерації і що швидкість збіжності є геометричною з показни-
ком 0,130 .
В таблиці 3 наведено значення наближеного розв’язку (4) ( )u x на
відрізку [ 1;1] на сітці з кроком 0,25.
Таблиця 3
Значення наближеного розв’язку (4) ( )u x в точках
1 0,25ix i , 0,1, ..., 8i
ix –1 –0,75 –0,5 –0,25 0
(4)
( )iu x 0 0,036745 0,066058 0,084269 0,090349
ix 0,25 0,5 0,75 1
(4)
( )iu x 0,084269 0,066058 0,036745 0
Ітераційний процес (27)-(31) зійшовся з точністю за вісім іте-
рацій, причому
(8) (8) (8)
1 (0) 0,090381u u u , (8)
2 (0) 0,194069u .
На рисунку 4 наведено графіки верхніх ( )
1 ( )
k
w x та нижніх ( )
1 ( )
k
v x
наближень до 1( ) ( )u x u x , на рисунку 5 наведено графіки верхніх
( )
2 ( )
k
w x та нижніх ( )
2 ( )
k
v x наближень до 2( ) ( )u x u x ,
0,1, 2, ..., 8k , а на рисунках 6 і 7 відповідно наведено графіки на-
ближених розв’язків (8)
1 ( )u x і (8)
2 ( )u x .
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
22
Рис. 4. Графіки верхніх
( )
1 ( )
k
w x (штрихова лінія) та нижніх
( )
1 ( )
k
v x
(точкова лінія) наближень для 0, 1, 2, ..., 8k
Рис. 5. Графіки верхніх
( )
2 ( )
k
w x (штрихова лінія) та нижніх
( )
2 ( )
k
v x
(точкова лінія) наближень для 0, 1, 2, ..., 8k
Рис. 6. Графік наближеного розв’язку
(8)
1 ( )u x
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
23
Рис. 7. Графік наближеного розв’язку
(8)
2 ( )u x
У таблиці 4 наведено дані про те, як змінювалася оцінка похиб-
ки
( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1 2 2
[ 1;1] [ 1;1]
1
max max [ ( ) ( )], max [ ( ) ( )]
2
k k k kk
x x
w x v x w x v x
в
залежності від номера ітерації k.
Таблиця 4
Значення оцінки похибки ( )k в залежності від номера ітерації k
для ітераційної схеми (27)-(31)
k 0 1 2 3 4
( )k
0
0,15 10
1
0,65 10
1
0, 22 10
2
0,93 10
2
0,30 10
k 5 6 7 8
( )k
2
0,12 10
3
0, 40 10
3
0,16 10
4
0,51 10
Аналіз таблиці 4 показую, що один знак після коми у наближе-
ному розв’язку встановлюється приблизно за дві ітерації і що швид-
кість збіжності є геометричною з показником 0,375.
В таблиці 5 наведено значення наближеного розв’язку (8)
1 ( )u x на
відрізку [–1; 1] на сітці з кроком 0,25, а в таблиці 6 – значення набли-
женого розв’язку (8)
2 ( )u x на тій же сітці.
Таблиця 5
Значення наближеного розв’язку (8)
1 ( )u x
в точках 1 0,25ix i , 0,1, ..., 8i
ix –1 –0,75 –0,5 –0,25 0
(8)
1 ( )iu x 0 0,036757 0,066080 0,084298 0,090381
ix 0,25 0,5 0,75 1
(8)
1 ( )iu x 0,084298 0,066080 0,036757 0
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
24
Таблиця 6
Значення наближеного розв’язку оцінки похибки
(8)
2 ( )u x
в точках 1 0,25ix i , 0,1, ..., 8i
ix –1 –0,75 –0,5 –0,25 0
(8)
2 ( )iu x 0 0,124596 0,181186 0,195448 0,194069
ix 0,25 0,5 0,75 1
(8)
2 ( )iu x 0,195448 0,181186 0,124596 0
Порівнюючи запропоновані ітераційні процеси можна зробити
наступні висновки. Перш за все, обидва процеси дозволяють отримати
наближений розв’язок задачі (3), (4) із заданою точністю (результати,
наведені в таблицях 3 і 5, співпадають з точністю ). Ітераційний про-
цес (27)-(31) збігається повільніше та для меншої множини значень
параметра , ніж процес (11)-(13), але дозволяє з гарантованою точні-
стю наблизити не тільки розв’язок крайової задачі (3), (4), а й його дру-
гу похідну, яка характеризує внутрішню відновлювальну силу пружно-
сті. Крім того, саме ітераційний процес (27)-(31) може бути узагальне-
ний на двовимірні задачі, оскільки функція Гріна задачі Діріхле для
операторів u і 2u u відома для більшої кількості областей,
ніж функція Гріна задачі Нав’є для оператора 2 2u u .
За допомогою ітераційного процесу (11)-(13) було проведено
низку обчислювальних експериментів (з точністю 410 ) для різ-
них значень параметрів , і . У таблицях 7, 8 наведено норми
відповідних наближених розв’язків ( )ku та кількість виконаних іте-
рацій k .
Таблиця 7
Значення норм наближеного розв’язку задачі (3), (4) для 1
1
1 2 3 4 5
k 3 5 – – –
( )k
u 0,057468 0,127212 – – –
2
1 2 3 4 5
k 2 3 4 4 6
( )k
u 0,028420 0,058960 0,092127 0,128691 0,169821
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
25
Таблиця 8
Значення норм наближеного розв’язку задачі (3), (4) для 2
1
1 2 3 4 5
k 2 3 4 5 7
( )k
u 0,029306 0,061359 0,096982 0,137555 0,185648
2
1 2 3 4 5
k 2 2 3 3 3
( )k
u 0,014762 0,030079 0,046023 0,062658 0,080082
6 7 8 9 10
k 4 4 5 5 6
( )k
u 0,098408 0,117781 0,138378 0,160476 0,184388
Як бачимо, для фіксованих і зі зростанням зростає і
u , тобто мікробалка сильніше прогинається зі збільшенням напру-
ги. Якщо ж і фіксовані, то зі зростанням величина u змен-
шується, що є наслідком того, що система стає жорсткішою і сильні-
ше протидіє деформації. Також u зменшується зі зростанням за
фіксованих значень і : зі збільшенням навантаження сильні-
шає на краях, а отже, у середньому мікробалка прогинається менше.
Також зауважимо, що послідовності нижніх та верхніх набли-
жень, сформованих за запропонованими ітераційними схемами (11)-
(13) і (27)-(31), утворюють незалежні послідовності, а тому при орга-
нізації відповідних обчислювальних процесів їх знаходити, викорис-
товуючи розпаралелювання обчислень.
Висновки. У роботі отримали подальший розвиток ітераційні
методи двобічних наближень чисельного аналізу крайової задачі
Нав’є, яка є математичною моделлю процесу прогину мікробалки
МЕМС під дією електростатичних сил. Запропоновано два підходи до
формування ітераційних процесів. Ці ітераційні процеси забезпечу-
ють формування послідовностей верхніх та нижніх наближень до
шуканого розв’язку, а отже, дають можливість на кожному своєму
кроці мати гарантовану оцінку похибки наближення. Для обох мето-
дів отримано умови збіжності до єдиного (на деякому конусному від-
різку) додатного розв’язку вихідної крайової задачі.
За результатами обчислювальних експериментів проведено по-
рівняльний аналіз запропонованих ітераційних методів і досліджено
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
26
залежність розв’язку задачі від параметрів. Методи показали свою
ефективність при розв’язувані тестових задач і дозволили адекватно
промоделювати відповідний фізичний процес.
Отримані у роботі результати можуть бути використані при
проєктуванні різних типів МЕМС: мікроактюаторів, перемикачів,
сенсорів тиску тощо. Також результати роботи можна розповсюдити
на дво- та тривимірні стаціонарні задачі (використовуючи метод фу-
нкцій Гріна чи метод квазіфункцій Гріна-Рвачова), а також (у комбі-
нації з методом прямих Роте) результати роботи можна розповсюди-
ти на нестаціонарний випадок.
Цим визначається наукова новизна та практична значущість
отриманих результатів.
Список використаних джерел:
1. Кончаковська О. С., Сидоров М. В. Двобічний ітераційний метод на основі
використання функції Гріна в задачах чисельного аналізу деяких електро-
механічних систем. Вісник ХНУ ім. В. Н. Каразіна. Сер. Математичне мо-
делювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління.
2022. № 55. С. 19-31. DOI: 10.26565/2304-6201-2022-55-02.
2. Кончаковська О. С., Сидоров М. В. Метод двобічних наближень у чисель-
ному аналізі однієї мікроелектромеханічної системи. Вісник ХНУ
ім. В. Н. Каразіна. Сер. Математичне моделювання. Інформаційні техно-
логії. Автоматизовані системи управління. 2018. Вип. 39. С. 33-41.
3. Кончаковська О. С., Сидоров М. В. Метод квазіфункцій Гріна-Рвачова у
чисельному аналізі мікроелектромеханічних систем методом двосторонніх
наближень. Вісник Національного технічного університету «ХПІ». Серія:
Математичне моделювання в техніці та технологіях. 2023. № 1. С. 135-
141. DOI: 10.20998/2222-0631.2023.01.20.
4. Опойцев В. И., Хуродзе Т. А. Нелинейные операторы в пространствах с ко-
нусом. Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1984. 246 с.
5. Савченко А. В., Гвоздєв М. І. Застосування методу двобічних наближень до
аналізу статичного прогину пружної балки з різними типами закріплення
кінців в моделі мікроелектромеханічної системи. Математичне та
комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. 2025.
Вип. 28. С. 93-106. DOІ: 10.32626/2308-5878.2025-28.93-106.
6. Сидоров М. В. Побудова двобічних наближень до додатного розв’язку не-
лінійної задачі Нав’є. Вісник ХНУ ім. В. Н. Каразіна. Сер. Математичне
моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управлін-
ня. 2017. Вип. 34. С. 58-66.
7. Derakhshani M., Berfield T. A. Snap-Through and Mechanical Strain Analysis
of a MEMS Bistable Vibration Energy Harvester. Shock and Vibration. 2019.
Article 6743676. DOI: 10.1155/2019/6743676.
8. Guan C., Zhu Y. An electrothermal microactuator with Z-shaped beams. Jour-
nal of Micromechanics and Microengineering. 2010. Vol. 20, № 8. Article
085014. DOI: 10.1088/0960-1317/20/8/085014.
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
27
9. Konchakovska O., Sidorov M. Numerical Analysis of the One-Dimensional
Nonlinear Boundary Value Problem that Modeling an Electrostatic NEMS by
Two-Sided Approximations Method. Journal of Numerical Analysis, Industrial
and Applied Mathematics (JNAIAM). 2020. Vol. 14, № 3-4. P. 17-26.
10. Konchakovska O., Sidorov M. Using the two-sided approximations method for
the numerical research of nanoelectromechanical systems under the action of the
Casimir force. Вісник ХНУ ім. В. Н. Каразіна. Сер. Математичне моделю-
вання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління. 2022.
Вип. 56. С. 21-34. DOI: 10.26565/2304-6201-2022-56-02.
11. Koochi A., Abadyan M. Nonlinear differential equations in micro/nano me-
chanics: Application in micro/nanostructures and electromechanical systems.
Amsterdam: Elsevier, 2020. 270 p.
12. Krasnoselskii M. A. Positive solutions of operator equations. Groningen:
P. Noordhoff, 1964. 379 p.
13. Lakshmi S., Dinesh P. A., Pratheeksha C. S. Electromechanical modelling of
electrostatically actuated beams. Microsystem Technologies. 2019. № 25.
P. 2805-2812. DOI: 10.1007/s00542-018-4170-1.
14. Material selection and performance analysis of RF-MEMS switch for MM-
WAVE applications / R. Karthick, S. P. K. Babu, B. Balaji. International
Journal of Computational and Experimental Science and Engineering. 2025.
Vol. 1, № 11. Р. 440-448. DOI: 10.22399/ijcesen.737.
15. Najar F., Ghommem M., Abdel-Rahman E. Arch microbeam bifurcation gas
sensors. Nonlinear Dynamics. 2021. Vol. 104. P. 923-940. DOI:
10.1007/s11071-021-06319-0.
16. On Design and Analysis of Electrostatic Arch Micro-Tweezers / A. M. Alneamy,
G. R. Heppler, E. M. Abdel-Rahman, M. E. Khater. Journal of Vibration and
Acoustics. 2021. Vol. 143, № 3. Article 031001. DOI: 10.1115/1.4048298.
17. Pelesko J. A., Bernstein D. H. Modeling MEMS and NEMS. Boca Raton:
Chapman & Hall/CRC, 2003. 364 p.
18. Research Status and Development Trend of MEMS Switches: A Review /
T. Cao, T. Hu, Y. Zhao. Micromachines. 2020. Vol. 11, № 7. Article 694.
DOI: 10.3390/mi11070694.
19. Rezazadeh G. A comprehensive model to study nonlinear behavior of multi-
layered micro beam switches. Microsystem Technologies. 2008. Vol. 14.
P. 135-141. DOI: 10.1007/s00542-007-0398-x.
20. Sadeghian H., Rezazadeh G., Abbaspour Sani E. Some Design Considerations on
the Electrostatically Actuated Fixed-Fixed End Type MEMS Switches. Journal of
Physics: Conference Series. 2006. Vol. 34. International MEMS Conference 2006
9-12 May 2006, Singapore. P. 174-179. DOI: 10.1088/1742-6596/34/1/029.
21. Younis M., Abdel-Rahman E., Nayfeh A. A reduced-order model for electrically
actuated microbeam-based MEMS. Journal of Microelectromechanical Systems.
2003. Vol. 12, № 5. P. 672-680. DOI: 10.1109/JMEMS.2003.818069.
References:
1. Konchakovska O. S., Sidorov M. V. Dvobichnyi iteratsiinyi metod na osnovi
vykorystannia funktsii Hrina v zadachakh chyselnoho analizu deiakykh elektro-
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
28
mekhanichnykh system. Visnyk KhNU im. V. N. Karazina. Ser. Matematychne
modeliuvannia. Informatsiini tekhnolohii. Avtomatyzovani systemy upravlinnia.
2022. No. 55. P. 19-31. DOI: 10.26565/2304-6201-2022-55-02.
2. Konchakovska O. S., Sidorov M. V. Metod dvobichnykh nablyzhen u
chyselnomu analizi odniiei mikroelektromekhanichnoi systemy. Visnyk KhNU
im. V. N. Karazina. Ser. Matematychne modeliuvannia. Informatsiini tekhnolohii.
Avtomatyzovani systemy upravlinnia. 2018. Iss. 39. P. 33-41.
3. Konchakovska O. S., Sydorov M. V. Metod kvazifunktsii Hrina-Rvachova u
chyselnomu analizi mikroelektromekhanichnykh system metodom dvostoron-
nikh nablyzhen. Visnyk Natsionalnoho tekhnichnoho universytetu «KhPI». Se-
riia: Matematychne modeliuvannia v tekhnitsi ta tekhnolohiiakh. 2023. № 1.
P. 135-141. DOI: 10.20998/2222-0631.2023.01.20.
4. Opoitsev V. I., Khurodze T. A. Nelineinye operatory v prostranstvakh s konus-
om. Tbilisi: Izd-vo Tbilisskogo un-ta, 1984. 246 p.
5. Savchenko A. V., Hvozdiev M. I. Zastosuvannia metodu dvobichnykh nablyzhen
do analizu statychnoho prohynu pruzhnoi balky z riznymy typamy zakriplennia
kintsiv v modeli mikroelektromekhanichnoi systemy. Matematychne ta kompi-
uterne modeliuvannia. Seriia: Fizyko-matematychni nauky. 2025. Iss. 28. P. 93-
106. DOI: 10.32626/2308-5878.2025-28.93-106.
6. Sidorov M. V. Pobudova dvobichnykh nablyzhen do dodatnoho rozviazku nelini-
inoi zadachi Navie. Visnyk KhNU im. V. N. Karazina. Ser. Matematychne
modeliuvannia. Informatsiini tekhnolohii. Avtomatyzovani systemy upravlinnia.
2017. Iss. 34. P. 58-66.
7. Derakhshani M., Berfield T. A. Snap-Through and Mechanical Strain Analysis
of a MEMS Bistable Vibration Energy Harvester. Shock and Vibration. 2019.
Article 6743676. DOI: 10.1155/2019/6743676.
8. Guan C., Zhu Y. An electrothermal microactuator with Z-shaped beams. Jour-
nal of Micromechanics and Microengineering. 2010. Vol. 20, № 8. Article
085014. DOI: 10.1088/0960-1317/20/8/085014.
9. Konchakovska O., Sidorov M. Numerical Analysis of the One-Dimensional
Nonlinear Boundary Value Problem that Modeling an Electrostatic NEMS by
Two-Sided Approximations Method. Journal of Numerical Analysis, Industrial
and Applied Mathematics (JNAIAM). 2020. Vol. 14, № 3-4. P. 17-26.
10. Konchakovska O., Sidorov M. Using the two-sided approximations method for
the numerical research of nanoelectromechanical systems under the action of the
Casimir force. Visnyk KhNU im. V. N. Karazina. Ser. Matematychne
modeliuvannia. Informatsiini tekhnolohii. Avtomatyzovani systemy upravlinnia.
2022. Iss. 56. Р. 21-34. DOI: 10.26565/2304-6201-2022-56-02.
11. Koochi A., Abadyan M. Nonlinear differential equations in micro/nano me-
chanics: Application in micro/nanostructures and electromechanical systems.
Amsterdam: Elsevier, 2020. 270 p.
12. Krasnoselskii M. A. Positive solutions of operator equations. Groningen:
P. Noordhoff, 1964. 379 p.
13. Lakshmi S., Dinesh P. A., Pratheeksha C. S. Electromechanical modelling of
electrostatically actuated beams. Microsystem Technologies. 2019. № 25.
P. 2805-2812. DOI: 10.1007/s00542-018-4170-1.
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
29
14. Material selection and performance analysis of RF-MEMS switch for MM-
WAVE applications / R. Karthick, S. P. K. Babu, B. Balaji. International
Journal of Computational and Experimental Science and Engineering. 2025.
Vol. 1, № 11. Р. 440-448. DOI: https://doi.org/10.22399/ijcesen.737.
15. Najar F., Ghommem M., Abdel-Rahman E. Arch microbeam bifurcation gas
sensors. Nonlinear Dynamics. 2021. Vol. 104. P. 923-940. DOI:
10.1007/s11071-021-06319-0.
16. On Design and Analysis of Electrostatic Arch Micro-Tweezers / A. M. Alneamy,
G. R. Heppler, E. M. Abdel-Rahman, M. E. Khater. Journal of Vibration and
Acoustics. 2021. Vol. 143, № 3. Article 031001. DOI: 10.1115/1.4048298.
17. Pelesko J. A., Bernstein D. H. Modeling MEMS and NEMS. Boca Raton:
Chapman & Hall/CRC, 2003. 364 p.
18. Research Status and Development Trend of MEMS Switches: A Review /
T. Cao, T. Hu, Y. Zhao. Micromachines. 2020. Vol. 11, № 7. Article 694.
DOI: 10.3390/mi11070694.
19. Rezazadeh G. A comprehensive model to study nonlinear behavior of multi-
layered micro beam switches. Microsystem Technologies. 2008. Vol. 14.
P. 135-141. DOI: 10.1007/s00542-007-0398-x.
20. Sadeghian H., Rezazadeh G., Abbaspour Sani E. Some Design Considerations on
the Electrostatically Actuated Fixed-Fixed End Type MEMS Switches. Journal of
Physics: Conference Series. 2006. Vol. 34. International MEMS Conference 2006
9-12 May 2006, Singapore. P. 174-179. DOI: 10.1088/1742-6596/34/1/029.
21. Younis M., Abdel-Rahman E., Nayfeh A. A reduced-order model for electrically
actuated microbeam-based MEMS. Journal of Microelectromechanical Systems.
2003. Vol. 12, № 5. P. 672-680. DOI: 10.1109/JMEMS.2003.818069.
THE METHOD OF TWO-SIDED APPROXIMATIONS
IN THE NUMERICAL ANALYSIS OF THE NAVIER
PROBLEM AS A MATHEMATICAL MODEL
OF A ONE-DIMENSIONAL
MICROELECTROMECHANICAL SYSTEM
This paper considers a boundary value problem for a fourth-order
semilinear ordinary differential equation (the Navier problem), which de-
scribes the static deflection of a microbeam in microelectromechanical sys-
tems under the action of electrostatic forces. The study of this problem is
based on its reduction to an equivalent Hammerstein integral equation or to
a system of Hammerstein integral equations, which are analyzed using
methods of nonlinear operator theory in semi-ordered Banach spaces.
By the first approach, the original boundary value problem is reduced
to a Hammerstein integral equation via the construction of the Green’s
function for a fourth-order ordinary differential operator with Navier
boundary conditions. In the second approach, the problem is first trans-
formed into a first boundary value problem for a system of semilinear or-
dinary differential equations, followed by its reduction to a system of
Hammerstein equations. In this case, Green’s functions of second-order
ordinary differential operators with first boundary conditions are em-
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 5-30.
30
ployed. The properties of the nonlinear operators corresponding to the ob-
tained equation and system of equations are investigated. In particular, it is
established that each of these operators is positive, isotone, Lipschitz con-
tinuous, continuous, and completely continuous.
Two schemes of the method of two-sided approximations are proposed.
The choice of this method is justified by the fact that it allows not only the con-
struction of approximate solutions but also the theoretical establishment of
conditions for their existence and uniqueness. Another advantage of the method
is the availability of a convenient a posteriori error estimate.
Conditions for the convergence of each of the proposed schemes to the
unique solution of the original boundary value problem on an invariant
conical segment are obtained. To analyze the efficiency of the algorithms,
a series of computational experiments is carried out for different values of
the problem parameters. A comparative analysis of the results is per-
formed, and practical recommendations are provided.
Key words: boundary value problem, deflection, fourth-order semilinear
ordinary differential equation, Green’s function, Hammerstein equation, invar-
iant cone segment, isotone operator, mathematical modeling, method of two-
sided approximations, microbeam, microelectromechanical system (MEMS),
Navier problem, numerical methods, simply supported boundary conditions.
Математичне та комп'ютерне моделювання
Серія: Фізико-математичні науки
Редакційна колегія:
Zb_F-M_1.pdf
Гвоздєв М. І.
ORCІD: 0000-0003-4022-9777, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: mykyta.hvozdev@nure.ua
Сидоров М. В.
ORCІD: 0000-0001-8022-866X, д-р фіз.-мат. наук, професор, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: maxim.sidorov@nure.ua
метод двобічних наближень у ЧИСЕЛЬНОМУ аналізі задачі Нав’є, що є математичноЮ моделлю одновимірної мікроелектромеханічної системи
Ключові слова: мікробалка, задача Нав’є, ізотонний опертор, інваріантний конусний відрізок, крайова задача, математичне моделювання, мікроелектромеханічна система, метод двобічних наближень, напівлінійне звичайне диференціальне рівняння четвертого пор...
Список використаних джерел:
References:
The Method of Two-Sided Approximations in the Numerical Analysis of the Navier Problem as a Mathematical Model of a One-Dimensional Microelectromechanical System
Key words: boundary value problem, deflection, fourth-order semilinear ordinary differential equation, Green’s function, Hammerstein equation, invariant cone segment, isotone operator, mathematical modeling, method of two-sided approximations, microbe...
Громик А. П.
ORCID: 0000-0003-3071-9756, канд. техн. наук, Заклад вищої освіти «Подільський державний університет», м. Кам’янець-Подільський, Україна, E-mail: gapon74@gmail.com
Конет І. М.
ORCID: 0000-0002-4241-0548, д-р фіз.-мат. наук, професор, Волинський національний університет імені Лесі Українки, м. Луцьк, Україна, E-mail: konet51@ukr.net
Пилипюк Т. М.
ORCID: 0000-0002-4676-9830, канд. фіз.-мат. наук, Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський, Україна, E-mail: pylypyuk.tetiana@kpnu.edu.ua
ГІПЕРБОЛІЧНІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ В КУСКОВО-ОДНОРІДНОМУ КЛИНОВИДНОМУ ЦИЛІНДРИЧНО-КРУГОВОМУ ШАРІ З ПОРОЖНИНОЮ
Ключові слова: гіперболічне рівняння, початкові та крайові умови, умови спряження, інтегральні перетворення, гібридні інтегральні перетворення, головні розв’язки.
Список використаних джерел:
References:
HYPERBOLIC BOUNDARY VALUE PROBLEMS OF MATHEMATICAL PHYSICS IN A PIECEWISE HOMOGENEOUS WEDGE-SHAPED CYLINDRICAL- CIRCULAR LAYER WITH А CAVITY
Key words: hyperbolic equation, initial and boundary conditions, conjugation conditions, integral transforms, hybrid integral transforms, main solutions.
Гук Н. А.
ORCID: 0000-0001-7937-1039, д-р фіз.-мат. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: huk_n@365.dnu.edu.ua
Сіліч-Балгабаєва В. Б.
ORCID: 0000-0002-9490-3600, канд. техн. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: v_silichbalgabaeva@365.dnu.edu.ua
Степанова Н. І.
ORCID: 0000-0002-9490-3600, канд. фіз.-мат. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: stepanova_n@365.dnu.edu.ua
DATA-DRIVEN ПІДХІД ДО ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ БІФУРКАЦІЇ ТОНКОСТІННИХ СИСТЕМ НА ОСНОВІ НЕЙРОННИХ МЕРЕЖ
Ключові слова: тонкостінні системи, біфуркація, втрата стійкості, обернені задачі, нейронні мережі, data-driven підхід, динамічні системи, прогнозування, нелінійна динаміка, ідентифікація параметрів, інформаційні технології.
Список використаних джерел:
References:
DATA-DRIVEN APPROACH TO INVERSE BIFURCATION PROBLEMS OF THIN-WALLED SYSTEMS BASED ON NEURAL NETWORKS
Key words: thin-walled systems, bifurcation, loss of stability, inverse problems, neural networks, data-driven approach, dynamic systems, prediction, nonlinear dynamics, parameter identification, information technologies.
Жолтовський О. О.
ORCID: 0009-0009-9245-1725, аспірант, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці, Україна, E-mail: olekszholt@gmail.com
Черевко І. М.
ORCID: 0000-0002-2690-2091, д-р фіз-мат. наук, професор, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці, Україна, E-mail: i.cherevko@chnu.edu.ua
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ СПЛАЙН-ФУНКЦІЙ ДО МОДЕЛЮВАННЯ ЛІНІЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ
Ключові слова: крайова задача, запізнення, метод сплайн-колокацій, кубічні сплайни, комп’ютерне моделювання.
Список використаних джерел:
References:
THE APPLICATION OF SPLINE FUNCTION METHOD TO THE MODELING OF LINEAR BOUNDARY VALUE PROBLEMS WITH DELAY
Key words: boundary value problem, delayed argument, spline collocation method, cubic splines, computer modeling.
Zelenskiy O. V.
ORCІD: 0000-0002-4969-0132, Cand. of Phys. and Math. Sciences, Kamianets-Podilskyi Ivan Ohiienko National University, Kamianets-Podilskyi, Ukraine, E-maіl: esteticcode@gmail.com
ULTRA EXPONENT MATRICES
Key words: exponent matrix, reduced exponent matrix, admissible quiver, ultra exponent matrix, rigid quiver, weight function, mathematical modelling.
References:
УЛЬТРА МАТРИЦІ ПОКАЗНИКІВ
Ключові слова: матриця показників, зведена матриця показників, допустимий сагайдак, ультра матриця показників, жорсткий сагайдак, вагова функція, математичне моделювання.
Мусій Р. С.
ORCІD: 0000-0002-7169-2206, д-р фіз.-мат. наук, професор, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: musiy@lp.edu.ua
Кунинець А. В.
ORCІD: 0000-0003-2481-3236, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: andrii.v.kunynets@lpnu.ua
Свідрак І. Г.
ORCІD: 0000-0003-1811-2011, канд. техн. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: inha.h.svidrak@lpnu.ua
Тимошенко Н. М.
ORCІD: 0000-0002-5595-6531, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: nadiia.m.tymoshenko@lpnu.ua
Шиндер В. К.
ORCІD: 0000-0002-9414-5619, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: valentyn.k.shynder@lpnu.ua
ВИЗНАЧЕННЯ ТА АНАЛІЗ ТЕПЛА ДЖОУЛЯ І ПОНДЕРОМОТОРНОЇ СИЛИ У ПОРОЖНИСТОМУ МІДНОМУ ЦИЛІНДРІ ЗА ДІЇ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ІМПУЛЬСА
Ключові слова: порожнистий електропровідний циліндр, електромагнітний імпульс, осьова компонента вектора напруженості магнітного поля, тепло Джоуля, пондеромоторна сила.
Список використаних джерел:
References:
DETERMINATION AND ANALYSIS OF JOULE HEAT AND PONDEROMOTIVE FORCE IN A HOLLOW COPPER CYLINDER UNDER THE ACTION OF AN ELECTROMAGNETIC IMPULSE
Key words: hollow conductive cylinder, electromagnetic impulse, axial component of the magnetic field intensity vector, Joule heating, ponderomotive force.
Zb_F-M_2.pdf
Нікітін А. В.
ORCІD: 0000-0001-5137-0114, д-р фіз.-мат. наук, професор, Національний університет «Острозька академія», м. Острог, Україна, E-maіl: anatolii.nikitin@oa.edu.ua
Шведюк В. В.
ORCІD: 0009-0002-2906-0958, аспірант, Національний університет «Острозька академія», м. Острог, Україна, E-maіl: volodymyr.v.shvediuk@oa.edu.ua
СТІЙКІСТЬ ДЕТЕРМІНОВАНОЇ ТА УСЕРЕДНЕНОЇ СИСТЕМ РАДІОФІЗИЧНИХ ПРОЦЕСІВ У МІКРОКОНТРОЛЕРНИХ СИСТЕМАХ БПЛА
Ключові слова: БПЛА, стійкість детермінованої системи, власні значення, метод Ляпунова, радіофізичні процеси, мікроконтролер, простір станів.
Список використаних джерел:
References:
STABILITY OF DETERMINISTIC AND AVERAGED SYSTEMS OF RADIOPHYSICAL PROCESSES IN UAV MICROCONTROLLER SYSTEMS
Key words: UAV, stability of deterministic system, eigenvalues, Lyapunov functions, radiophysical processes, microcontroller, state space.
Пархоменко В. Г.
ORCІD: 0009-0008-7309-0875, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: vladyslav.parkhomenko1@nure.ua
аналіз методОМ двобічних наближень стаціонарної реактивно-дифузивної моделі у сферичній гранулі з кінетикою арреніуса
Ключові слова: гетеротонний оператор, інтегральне рівняння Гаммерштейна, метод двобічних наближень, напівлінійне еліптичне рівняння з оператором Лапласа, нелінійна крайова задача, радіально-симетричний додатний розв’язок, реакційно-дифузійна система, ...
Список використаних джерел:
References:
Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of a Stationary Reaction–Diffusion Model in a Spherical Pellet with Arrhenius Kinetics
Key words: Green’s function, Hammerstein integral equation, heterotone operator, method of two-sided approximations, nonlinear boundary value problem, positive radially symmetric solution, reaction–diffusion system, semilinear elliptic equation with t...
Савченко А. В.
ORCІD: 0009-0004-7547-8655, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: anton.savchenko@nure.ua
Застосування методу двобічних наближень до аналізу впливу типів закріплення кінців на статичний прогин балки в моделях мікроелектромеханічних систем
Ключові слова: балка, жорстке закріплення, ізотонний оператор, інваріантний конусний відрізок, консольна балка, крайова задача, крайові умови для балки, математичне моделювання, метод двобічних наближень, мікроелектромеханічна система, прогин, рівнянн...
Список використаних джерел:
References:
APPLICATION OF THE METHOD OF TWO-SIDED APPROXIMATIONS TO THE ANALYSIS OF THE INFLUENCE OF BEAM END CONDITIONS ON THE STATIC DEFLECTION OF A BEAM IN MICROELECTROMECHANICAL SYSTEMS
Key words: beam, clamped support, isotone operator, invariant cone segment, cantilever beam, boundary value problem, beam boundary conditions, mathematical modeling, method of two-sided approximations, microelectromechanical system, deflection, Hammer...
Сеньо П. С.
ORCІD: 0009-0005-7979-2905, д-р фіз.-мат. наук, професор, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів, Україна E-maіl: petro.seno@lnu.edu.ua
Заяць А. Р.
ORCІD: 0009-0004-7793-0238, аспірант, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів, Україна E-maіl: artur.zaiats@lnu.edu.ua
МОДИФІКАЦІЯ БАЗОВОГО ДВОСТОРОННЬОГО МЕТОДУ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
Ключові слова: функціональні інтервали, інтегральні рівняння, двосторонні апроксимації, параболічний паралелограм, математичне моделювання, системний аналіз.
Список використаних джерел:
References:
MODIFICATION OF THE BASIC TWO-SIDED METHOD FOR SOLVING INTEGRAL EQUATIONS
Key words: functional intervals, integral equations, two-sided approximations, parabolic parallelogram, mathematical modelling, system analysis.
Янбеков Р. Я.
ORCІD: 0009-0004-6588-7121, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: ravil.yanbekov@nure.ua
дослідження одновимірних стаціонарних задач термохімії методом двобічних наближень на основі використання функції Гріна
Ключові слова: математичне моделювання, термохімічні процеси, метод двобічних наближень, функція Гріна, перша крайова задача, напівлінійне звичайне диференціальне рівняння.
Список використаних джерел:
References:
Analysis of One-Dimensional Steady-State Thermochemical Problems Using the Method of Two-Sided Approximations with Green’s Function
Key words: mathematical modelling, thermochemical processes, two-sided approximation method, Green’s function, first boundary value problem, semilinear ordinary differential equation.
Відомості про авторів
Алфавітний покажчик авторів
Зміст
end.pdf
Математичне та комп’ютерне моделювання
Серія: Фізико-математичні науки
|
| id | mcm-mathkpnueduua-article-362142 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-09T01:00:34Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | mcm-mathkpnueduua/20/a12383f130ddae892ee16ea2b3057e20.pdf |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3621422026-06-08T08:10:39Z The Method of Two-Sided Approximations in the Numerical Analysis of the Navier Problem as a Mathematical Model of a One-Dimensional Microelectromechanical System Метод двобічних наближень у чисельному аналізі задачі Нав’є, що є математичною моделлю одновимірної мікроелектромеханічної системи Гвоздєв, Микита Сидоров, Максим This paper considers a boundary value problem for a fourth-order semilinear ordinary differential equation (the Navier problem), which describes the static deflection of a microbeam in microelectromechanical systems under the action of electrostatic forces. The study of this problem is based on its reduction to an equivalent Hammerstein integral equation or to a system of Hammerstein integral equations, which are analyzed using methods of nonlinear operator theory in semi-ordered Banach spaces. By the first approach, the original boundary value problem is reduced to a Hammerstein integral equation via the construction of the Green’s function for a fourth-order ordinary differential operator with Navier boundary conditions. In the second approach, the problem is first transformed into a first boundary value problem for a system of semilinear ordinary differential equations, followed by its reduction to a system of Hammerstein equations. In this case, Green’s functions of second-order ordinary differential operators with first boundary conditions are employed. The properties of the nonlinear operators corresponding to the obtained equation and system of equations are investigated. In particular, it is established that each of these operators is positive, isotone, Lipschitz continuous, continuous, and completely continuous. Two schemes of the method of two-sided approximations are proposed. The choice of this method is justified by the fact that it allows not only the construction of approximate solutions but also the theoretical establishment of conditions for their existence and uniqueness. Another advantage of the method is the availability of a convenient a posteriori error estimate. Conditions for the convergence of each of the proposed schemes to the unique solution of the original boundary value problem on an invariant conical segment are obtained. To analyze the efficiency of the algorithms, a series of computational experiments is carried out for different values of the problem parameters. A comparative analysis of the results is performed, and practical recommendations are provided. У статті розглядається крайова задача для напівлінійного звичайного диференціального рівняння четвертого порядку (задача Нав’є), що описує статичний прогин мікробалки в мікроелектромеханічних системах під дією електростатичних сил. В основі дослідження цієї задачі лежить її зведення до еквівалентного інтегрального рівняння або системи інтегральних рівнянь Гаммерштейна, які аналізуються методами теорії нелінійних операторів у напівупорядкованих банахових просторах. Першим способом від вихідної крайової задачі здійснено перехід до інтегрального рівняння Гаммерштейна шляхом побудови функції Гріна звичайного диференціального оператора четвертого порядку з умовами Нав’є. У другий спосіб спочатку здійснено перехід до першої крайової задачі для системи звичайних напівлінійних рівнянь з наступною її заміною системою рівнянь Гаммерштейна. При цьому використовуються функції Гріна звичайних диференціальних операторів другого порядку з першими крайовими умовами. Досліджено властивості нелінійних операторів, що відповідають отриманим рівнянню і системі рівнянь. Зокрема, встановлено, що кожен з цих операторів є додатним, ізотонним, ліпшіц-неперервним, неперервним та цілком неперервним. Запропоновано дві схеми методу двобічних наближень. Вибір саме цього методу обґрунтовується тим, що він дозволяє не лише будувати наближений розв’язок, а й дозволяє теоретично встановлювати умови його існування та єдиності. Також перевагою методу двобічних наближень є наявність зручної апостеріорної оцінки похибки. Отримано умови збіжності кожної з запропонованих схем до єдиного на інваріантному конусному відрізку розв’язку вихідної крайової задачі. Для аналізу ефективності алгоритмів проведено низку обчислювальних експериментів для різних значень параметрів задачі. Виконано порівняльний аналіз отриманих результатів та надано практичні рекомендації Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2026-05-29 Article Article Рецензована Стаття application/pdf https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/362142 10.32626/2308-5878.2026-30.5-30 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2026: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 30; 5-30 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2026: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 30; 5-30 2308-5878 10.32626/2308-5878.2026-30 uk https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/362142/349588 Авторське право (c) 2026 Микита Гвоздєв, Максим Сидоров |
| spellingShingle | Гвоздєв, Микита Сидоров, Максим The Method of Two-Sided Approximations in the Numerical Analysis of the Navier Problem as a Mathematical Model of a One-Dimensional Microelectromechanical System |
| title | The Method of Two-Sided Approximations in the Numerical Analysis of the Navier Problem as a Mathematical Model of a One-Dimensional Microelectromechanical System |
| title_alt | Метод двобічних наближень у чисельному аналізі задачі Нав’є, що є математичною моделлю одновимірної мікроелектромеханічної системи |
| title_full | The Method of Two-Sided Approximations in the Numerical Analysis of the Navier Problem as a Mathematical Model of a One-Dimensional Microelectromechanical System |
| title_fullStr | The Method of Two-Sided Approximations in the Numerical Analysis of the Navier Problem as a Mathematical Model of a One-Dimensional Microelectromechanical System |
| title_full_unstemmed | The Method of Two-Sided Approximations in the Numerical Analysis of the Navier Problem as a Mathematical Model of a One-Dimensional Microelectromechanical System |
| title_short | The Method of Two-Sided Approximations in the Numerical Analysis of the Navier Problem as a Mathematical Model of a One-Dimensional Microelectromechanical System |
| title_sort | method of two-sided approximations in the numerical analysis of the navier problem as a mathematical model of a one-dimensional microelectromechanical system |
| url | https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/362142 |
| work_keys_str_mv | AT gvozdêvmikita themethodoftwosidedapproximationsinthenumericalanalysisofthenavierproblemasamathematicalmodelofaonedimensionalmicroelectromechanicalsystem AT sidorovmaksim themethodoftwosidedapproximationsinthenumericalanalysisofthenavierproblemasamathematicalmodelofaonedimensionalmicroelectromechanicalsystem AT gvozdêvmikita metoddvobíčnihnabliženʹučiselʹnomuanalízízadačínavêŝoêmatematičnoûmodellûodnovimírnoímíkroelektromehaníčnoísistemi AT sidorovmaksim metoddvobíčnihnabliženʹučiselʹnomuanalízízadačínavêŝoêmatematičnoûmodellûodnovimírnoímíkroelektromehaníčnoísistemi AT gvozdêvmikita methodoftwosidedapproximationsinthenumericalanalysisofthenavierproblemasamathematicalmodelofaonedimensionalmicroelectromechanicalsystem AT sidorovmaksim methodoftwosidedapproximationsinthenumericalanalysisofthenavierproblemasamathematicalmodelofaonedimensionalmicroelectromechanicalsystem |