Коллокационные алгоритмы решения уравнений Вольтерры
Despite the extensive use of the collocation method for solving integral equations with constant integration limits, little attention has been paid so far to the implementation of this method with respect to integral equations with variable limits. In this article tasks of solving Volterra integral...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | rus |
| Опубліковано: |
Kamianets-Podilskyi National Ivan Ohiienko University
2018
|
| Онлайн доступ: | http://mcm-tech.kpnu.edu.ua/article/view/140024 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Technical sciences |
Репозиторії
Mathematical and computer modelling. Series: Technical sciences| id |
mcmtechkpnueduua-article-140024 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| institution |
Mathematical and computer modelling. Series: Technical sciences |
| collection |
OJS |
| language |
rus |
| format |
Article |
| author |
Дячук, Олександр Анатолійович Костьян, Наталія Леонідівна |
| spellingShingle |
Дячук, Олександр Анатолійович Костьян, Наталія Леонідівна Коллокационные алгоритмы решения уравнений Вольтерры |
| author_facet |
Дячук, Олександр Анатолійович Костьян, Наталія Леонідівна |
| author_sort |
Дячук, Олександр Анатолійович |
| title |
Коллокационные алгоритмы решения уравнений Вольтерры |
| title_short |
Коллокационные алгоритмы решения уравнений Вольтерры |
| title_full |
Коллокационные алгоритмы решения уравнений Вольтерры |
| title_fullStr |
Коллокационные алгоритмы решения уравнений Вольтерры |
| title_full_unstemmed |
Коллокационные алгоритмы решения уравнений Вольтерры |
| title_sort |
коллокационные алгоритмы решения уравнений вольтерры |
| title_alt |
Collocation Algorithms for Solving Volterra Equations |
| description |
Despite the extensive use of the collocation method for solving integral equations with constant integration limits, little attention has been paid so far to the implementation of this method with respect to integral equations with variable limits. In this article tasks of solving Volterra integral equations of 1 and 2 kinds were considered. An approximate solution is defined as a piecewise-smooth polynomial composed of polynomials over sections of the domain of definition of the variable of integration. The algorithm of the method is an iterative process. The problem is reduced to solving systems in the general case of non-linear equations with respect to the coefficients of the corresponding polynomials. At each step of the iteration, an analytic expression for the next polynomial is determined, which allows finding a solution at any point of the given interval. A special feature of the collocation algorithm for Volterra equations of the 2nd kind is the replacement of integrals by quadrature formulas, which are comprised into the system of equations with respect to the approximate values of the coefficients. The choice of the coefficients of quadrature formulas depends on the accepted number of nodes in the section. A special case of a system for three nodes is considered in the article. In doing so, the integrand of the solved equation was replaced by an interpolation polynomial in the Newton form. The results of the solution of the test cases confirm the efficiency of the proposed algorithms and indicate the high accuracy of the calculations. The collocation method allows to obtain solutions of the Volterra equations for the segments of the integration interval, choosing their length and applying on each of them an approximating expression with a small number of coordinate functions. This method can be used in identifying of the dynamic objects and systems, as well as in solving problems of reduction input signals. |
| publisher |
Kamianets-Podilskyi National Ivan Ohiienko University |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://mcm-tech.kpnu.edu.ua/article/view/140024 |
| work_keys_str_mv |
AT dâčukoleksandranatolíjovič collocationalgorithmsforsolvingvolterraequations AT kostʹânnatalíâleonídívna collocationalgorithmsforsolvingvolterraequations AT dâčukoleksandranatolíjovič kollokacionnyealgoritmyrešeniâuravnenijvolʹterry AT kostʹânnatalíâleonídívna kollokacionnyealgoritmyrešeniâuravnenijvolʹterry |
| first_indexed |
2024-04-08T14:58:57Z |
| last_indexed |
2024-04-08T14:58:57Z |
| _version_ |
1795779028700889088 |
| spelling |
mcmtechkpnueduua-article-1400242019-03-07T12:07:25Z Collocation Algorithms for Solving Volterra Equations Коллокационные алгоритмы решения уравнений Вольтерры Дячук, Олександр Анатолійович Костьян, Наталія Леонідівна Despite the extensive use of the collocation method for solving integral equations with constant integration limits, little attention has been paid so far to the implementation of this method with respect to integral equations with variable limits. In this article tasks of solving Volterra integral equations of 1 and 2 kinds were considered. An approximate solution is defined as a piecewise-smooth polynomial composed of polynomials over sections of the domain of definition of the variable of integration. The algorithm of the method is an iterative process. The problem is reduced to solving systems in the general case of non-linear equations with respect to the coefficients of the corresponding polynomials. At each step of the iteration, an analytic expression for the next polynomial is determined, which allows finding a solution at any point of the given interval. A special feature of the collocation algorithm for Volterra equations of the 2nd kind is the replacement of integrals by quadrature formulas, which are comprised into the system of equations with respect to the approximate values of the coefficients. The choice of the coefficients of quadrature formulas depends on the accepted number of nodes in the section. A special case of a system for three nodes is considered in the article. In doing so, the integrand of the solved equation was replaced by an interpolation polynomial in the Newton form. The results of the solution of the test cases confirm the efficiency of the proposed algorithms and indicate the high accuracy of the calculations. The collocation method allows to obtain solutions of the Volterra equations for the segments of the integration interval, choosing their length and applying on each of them an approximating expression with a small number of coordinate functions. This method can be used in identifying of the dynamic objects and systems, as well as in solving problems of reduction input signals. Несмотря на широкое использование метода коллокации для решения интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования, до сих пор мало внимания уделялось реализации данного метода применительно к интегральным уравнениям с переменными пределами. В данной статье рассматриваются задачи решения интегральных уравнений Вольтерры 1 и 2 рода. Приближенное решение определяется в виде кусочно-гладкого полинома, составленного из полиномов по участкам области определения переменной интегрирования. Алгоритм метода представляет собой итерационный процесс. Задача сводится к решению систем в общем случае нелинейных уравнений относительно коэффициентов соответствующих полиномов. На каждом шаге итерации определяется аналитическое выражение для очередного полинома, что позволяет найти решение в любой точке заданного интервала. Особенностью коллокационного алгоритма для уравнений Вольтерры 2 рода является замена квадратурными формулами интегралов, которые входят в систему уравнений относительно приближенных значений коэффициентов. Выбор коэффициентов квадратурных формул зависит от принятого количества узлов на участке. В работе рассмотрен частный случай системы для трех узлов. При этом была произведена замена подынтегрального выражения решаемого уравнения интерполяционным многочленом в форме Ньютона. Результаты решения тестовых примеров подтверждают работоспособность предложенных алгоритмов и свидетельствуют о высокой точности расчетов. Метод коллокации позволяет получать решения уравнений Вольтерры по участкам промежутка интегрирования, выбирая их длину и применяя на каждом из них аппроксимирующее выражение с небольшим числом координатных функций. Данный метод может быть использован при идентификации динамических объектов и систем, а также при решении задач восстановления входных сигналов. Kamianets-Podilskyi National Ivan Ohiienko University 2018-05-15 Article Article application/pdf http://mcm-tech.kpnu.edu.ua/article/view/140024 10.32626/2308-5916.2018-17.49-62 Mathematical and computer modelling. Series: Technical sciences; 2018: Mathematical and computer modelling. Series: Technical sciences. Issue 17; 49-62 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки ; 2018: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки. Випуск 17; 49-62 2308-5916 10.32626/2308-5916.2018-17 rus http://mcm-tech.kpnu.edu.ua/article/view/140024/137069 Авторське право (c) 2021 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки |