Методи розв’язування початкової задачі для нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь з оцінкою локальної похибки
One of the modern scientific methods of researching phenomena and processes is mathematical modeling, which in many cases allows replacing the real process and makes it possible to obtain both a qualitative and a quantitative picture of the process. Since the exact solutions of such models can be fo...
Збережено в:
| Дата: | 2022 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Kamianets-Podilskyi National Ivan Ohiienko University
2022
|
| Онлайн доступ: | http://mcm-tech.kpnu.edu.ua/article/view/269337 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Technical sciences |
Репозитарії
Mathematical and computer modelling. Series: Technical sciences| id |
mcmtechkpnueduua-article-269337 |
|---|---|
| record_format |
ojs |
| institution |
Mathematical and computer modelling. Series: Technical sciences |
| collection |
OJS |
| language |
Ukrainian |
| format |
Article |
| author |
Кунинець, Андрій Пелех, Роман |
| spellingShingle |
Кунинець, Андрій Пелех, Роман Методи розв’язування початкової задачі для нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь з оцінкою локальної похибки |
| author_facet |
Кунинець, Андрій Пелех, Роман |
| author_sort |
Кунинець, Андрій |
| title |
Методи розв’язування початкової задачі для нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь з оцінкою локальної похибки |
| title_short |
Методи розв’язування початкової задачі для нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь з оцінкою локальної похибки |
| title_full |
Методи розв’язування початкової задачі для нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь з оцінкою локальної похибки |
| title_fullStr |
Методи розв’язування початкової задачі для нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь з оцінкою локальної похибки |
| title_full_unstemmed |
Методи розв’язування початкової задачі для нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь з оцінкою локальної похибки |
| title_sort |
методи розв’язування початкової задачі для нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь з оцінкою локальної похибки |
| title_alt |
Methods of Solving the Initial Value Problem for Nonlinear Integro-Differential Equations with Local Error Estimation |
| description |
One of the modern scientific methods of researching phenomena and processes is mathematical modeling, which in many cases allows replacing the real process and makes it possible to obtain both a qualitative and a quantitative picture of the process. Since the exact solutions of such models can be found in very individual cases, it is necessary to use approximate methods. In applied mathematics, fractional-rational approximations, which under appropriate conditions give a high rate of convergence of algorithms, bilateral and monotonic approximations have become widely used.
In this work, using the technique of constructing one-step methods for solving the initial problem for ordinary differential equations and developing the sought solution into a finite continued fraction, a numerical method for solving the Cauchy problem for nonlinear integro-differential equations of the Volterra type is proposed. The values of the parameters at which the nonlinear method of the first and second order of accuracy is obtained are found.
Computational formulas are proposed, which at each integration step allow obtaining an upper and lower approximation to the exact solution without additional references to the right-hand side of the integro-differential equation. Calculation formulas, in which the main terms of the local error differ only in sign, form a two-sided method. We take the half-sum of bilateral approximations to the exact solution as the approximate solution at the given integration point, and the absolute value of the half-difference determines the error of the obtained result.
The modular nature of the proposed algorithms makes it possible to obtain several approximations to the exact solution of the initial problem for the nonlinear integro-differential equation at each point of integration. The comparison of these approximations gives useful information in the matter of choosing the integration step or in assessing the accuracy of the result. |
| publisher |
Kamianets-Podilskyi National Ivan Ohiienko University |
| publishDate |
2022 |
| url |
http://mcm-tech.kpnu.edu.ua/article/view/269337 |
| work_keys_str_mv |
AT kuninecʹandríj methodsofsolvingtheinitialvalueproblemfornonlinearintegrodifferentialequationswithlocalerrorestimation AT pelehroman methodsofsolvingtheinitialvalueproblemfornonlinearintegrodifferentialequationswithlocalerrorestimation AT kuninecʹandríj metodirozvâzuvannâpočatkovoízadačídlânelíníjnihíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹzocínkoûlokalʹnoípohibki AT pelehroman metodirozvâzuvannâpočatkovoízadačídlânelíníjnihíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹzocínkoûlokalʹnoípohibki |
| first_indexed |
2024-04-08T14:59:21Z |
| last_indexed |
2024-04-08T14:59:21Z |
| _version_ |
1795779054171848704 |
| spelling |
mcmtechkpnueduua-article-2693372022-12-19T12:40:09Z Methods of Solving the Initial Value Problem for Nonlinear Integro-Differential Equations with Local Error Estimation Методи розв’язування початкової задачі для нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь з оцінкою локальної похибки Кунинець, Андрій Пелех, Роман One of the modern scientific methods of researching phenomena and processes is mathematical modeling, which in many cases allows replacing the real process and makes it possible to obtain both a qualitative and a quantitative picture of the process. Since the exact solutions of such models can be found in very individual cases, it is necessary to use approximate methods. In applied mathematics, fractional-rational approximations, which under appropriate conditions give a high rate of convergence of algorithms, bilateral and monotonic approximations have become widely used. In this work, using the technique of constructing one-step methods for solving the initial problem for ordinary differential equations and developing the sought solution into a finite continued fraction, a numerical method for solving the Cauchy problem for nonlinear integro-differential equations of the Volterra type is proposed. The values of the parameters at which the nonlinear method of the first and second order of accuracy is obtained are found. Computational formulas are proposed, which at each integration step allow obtaining an upper and lower approximation to the exact solution without additional references to the right-hand side of the integro-differential equation. Calculation formulas, in which the main terms of the local error differ only in sign, form a two-sided method. We take the half-sum of bilateral approximations to the exact solution as the approximate solution at the given integration point, and the absolute value of the half-difference determines the error of the obtained result. The modular nature of the proposed algorithms makes it possible to obtain several approximations to the exact solution of the initial problem for the nonlinear integro-differential equation at each point of integration. The comparison of these approximations gives useful information in the matter of choosing the integration step or in assessing the accuracy of the result. Одним із сучасних наукових методів дослідження явищ та процесів є математичне моделювання, яке в багатьох випадках дозволяє замінити реальний процес і дає можливість отримувати як якісну так і кількісну картину процесу. Оскільки точні розв’язки таких моделей можна знайти в дуже окремих випадках, то необхідно використовувати наближені методи. В прикладній математиці широкого застосування набули дробово-раціональні наближення, які при відповідних умовах дають високу швидкість збіжності алгоритмів, двосторонні та монотонні наближення. У роботі, використовуючи методику побудови однокрокових методів для розв’язання початкової задачі для звичайних диференціальних рівнянь та розвинення шуканого розв’язку в скінчений ланцюговий дріб, запропоновано числовий метод розв’язування задачі Коші для нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь типу Вольтери. Знайдено значення параметрів, при яких отримано нелінійний метод першого та другого порядку точності. Запропоновано обчислювальні формули, які на кожному кроці інтегрування дозволяють отримати верхнє та нижнє наближення до точного розв’язку без додаткових обчислень правої частини інтего-диференціального рівняння. Розрахункові формули, в яких головні члени локальної похибки відрізняються тільки знаком, утворюють двосторонній метод. Півсуму двосторонніх наближень до точного розв’язку приймаємо за наближений розв’язок в даній точці інтегрування, а абсолютна величина піврізниці визначає похибку отриманого результату. Модульний характер запропонованих алгоритмів дає можливість в кожній точці інтегрування отримати кілька наближень до точного розв’язку початкової задачі для нелінійного інтегро-диференціального рівняння. Співставлення цих наближень дає корисну інформацію у питанні вибору кроку інтегрування або при оцінці точності результату. Kamianets-Podilskyi National Ivan Ohiienko University 2022-10-27 Article Article application/pdf http://mcm-tech.kpnu.edu.ua/article/view/269337 10.32626/2308-5916.2022-23.73-82 Mathematical and computer modelling. Series: Technical sciences; 2022: Mathematical and computer modelling. Series: Technical sciences. Issue 23; 73-82 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки ; 2022: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки. Випуск 23; 73-82 2308-5916 10.32626/2308-5916.2022-23 uk http://mcm-tech.kpnu.edu.ua/article/view/269337/264833 |