Определение упругих постоянных квадратных пьезокерамических пластин резонансным методом
Предложена экспериментально-теоретическая методика определения упругих постоянных квадратных пьезокерамических пластин на основе анализа спектров их планарных колебаний и выделения характерных резонансных частот. Для квадратной пластины, изготовленной из круглого диска и покрытой сплошными или разре...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2006
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1000 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Определение упругих постоянных квадратных пьезокерамических пластин резонансным методом / В. А. Андрущенко, А. А. Бондаренко, В. В. Мелешко, В. Н. Никитенко // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 3. — С. 3-11. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859639731137019904 |
|---|---|
| author | Андрущенко, В.А. Бондаренко, А.А. Мелешко, В.В. Никитенко, В.Н. |
| author_facet | Андрущенко, В.А. Бондаренко, А.А. Мелешко, В.В. Никитенко, В.Н. |
| citation_txt | Определение упругих постоянных квадратных пьезокерамических пластин резонансным методом / В. А. Андрущенко, А. А. Бондаренко, В. В. Мелешко, В. Н. Никитенко // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 3. — С. 3-11. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Предложена экспериментально-теоретическая методика определения упругих постоянных квадратных пьезокерамических пластин на основе анализа спектров их планарных колебаний и выделения характерных резонансных частот. Для квадратной пластины, изготовленной из круглого диска и покрытой сплошными или разрезными поверхностными электродами, определены коэффициент Пуассона и модуль Юнга. Рассмотрен вопрос об интенсивности возбуждения собственных форм симметричных колебаний. Показано, что из тринадцати возможных мод колебаний эффективно возбуждаются только шесть. Полученные данные хорошо согласуются с результатами эксперимента.
Запропоновано експериментально-теоретичну методику визначення пружних сталих квадратних п'єзокерамічних пластин на основі аналізу спектрів їхніх планарних коливань і визначення характерних резонансних частот. Для квадратної пластини, виготовленої з круглого диску і вкритої суцільними або розрізними поверхневими електродами, визначені коефіцієнт Пуассона та модуль Юнга. Розглянуто питання про інтенсивність збудження власних симетричних форм коливань. Показано, що з тринадцяти можливих мод коливань ефективно збуджуються лише шість. Одержані дані добре узгоджуються з результатами експерименту.
The paper deals with the experimental-theoretical technique for determining the elastic constants of square piezoceramic plates based on analyzing their planar vibration spectra and distinguishing the characteristic resonant frequencies. The Poisson's ratio and Young's modulus are determined for a square plate made of a round disc and covered with solid or split surface electrodes. The problem on excitation strength of the natural forms of symmetrical vibrations is considered. It is shown that only six of thirteen possible modes are effectively excited. The obtained results are in good agreement with the experimental data.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:20:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 3 – 11
УДК 539.3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УПРУГИХ ПОСТОЯННЫХ
КВАДРАТНЫХ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ ПЛАСТИН
РЕЗОНАНСНЫМ МЕТОДОМ
В. А. А Н Д РУ ЩЕ Н К О, А. А. БО Н Д А РЕН К О,
В. В. МЕ Л ЕШК О, В. Н. Н ИК И ТЕ Н К О
Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко
Получено 30.10.2006
Предложена экспериментально-теоретическая методика определения упругих постоянных квадратных пьезокерами-
ческих пластин на основе анализа спектров их планарных колебаний и выделения характерных резонансных частот.
Для квадратной пластины, изготовленной из круглого диска и покрытой сплошными или разрезными поверхно-
стными электродами, определены коэффициент Пуассона и модуль Юнга. Рассмотрен вопрос об интенсивности
возбуждения собственных форм симметричных колебаний. Показано, что из тринадцати возможных мод колебаний
эффективно возбуждаются только шесть. Полученные данные хорошо согласуются с результатами эксперимента.
Запропоновано експериментально-теоретичну методику визначення пружних сталих квадратних п’єзокерамiчних
пластин на основi аналiзу спектрiв їхнiх планарних коливань i визначення характерних резонансних частот. Для
квадратної пластини, виготовленої з круглого диску i вкритої суцiльними або розрiзними поверхневими електро-
дами, визначенi коефiцiєнт Пуассона та модуль Юнга. Розглянуто питання про iнтенсивнiсть збудження власних
симетричних форм коливань. Показано, що з тринадцяти можливих мод коливань ефективно збуджуються лише
шiсть. Одержанi данi добре узгоджуються з результатами експерименту.
The paper deals with the experimental-theoretical technique for determining the elastic constants of square piezoceramic
plates based on analyzing their planar vibration spectra and distinguishing the characteristic resonant frequencies. The
Poisson’s ratio and Young’s modulus are determined for a square plate made of a round disc and covered with solid or
split surface electrodes. The problem on excitation strength of the natural forms of symmetrical vibrations is considered.
It is shown that only six of thirteen possible modes are effectively excited. The obtained results are in good agreement
with the experimental data.
ВВЕДЕНИЕ
Планарные колебания тонких пьезокерамиче-
ских пластин традиционно встречаются при рабо-
те резонаторов [1], фильтров [2], тензометрических
датчиков [3], акселерометров, пьезотрансформа-
торов [4]. При разработке и проектировании по-
добных устройств важно знать упругие постоян-
ные материала. Это стимулирует разработку ме-
тодик их неразрушающего акустического опреде-
ления для пластин конкретной геометрии. Основ-
ные результаты, полученные в этом направлении,
относятся к круглым пластинкам [5, 6], для ко-
торых предложены эффективные методики опре-
деления механических постоянных (модуля Юнга
E=1/sE
11 и коэффициента Пуассона σ=−sE
12/s
E
11)
по измерениям спектра первых собственных ча-
стот планарных колебаний. Они нашли отражение
в ряде американских стандартов [7 – 9] и советском
ГОСТе [10]1.
Во многих практических приложениях исполь-
1Согласно обзорной классификации существующих
стандартов, составленной британской National Physical
Laboratory [11], IEEE Standard-1987уже отозван IEEE, хотя
все еще используется, как представляющий исторический
интерес (см., например, [12, 13]).
зуются прямоугольные (в частности, квадратные)
пьезокерамические пластины. Имеется краткое
указание [5, 7] (со ссылкой на малодоступный
отчет [14]) на возможность экспериментального
акустического определения коэффициента Пуас-
сона по отношению частот четвертой и третьей
контурных мод колебаний квадратной пластины.
Приведенные в этих работах табличные данные
относятся к диапазону 0.25 ≤ σ ≤ 0.35 и не да-
ют возможности измерять коэффициент Пуассо-
на для новых составов пьезокерамик, содержа-
щих синтетические добавки. Кроме того, в IEEE
Std 176-1987 [9] отмечается, что принятые в стан-
дарте [7] предположения для анализа контурных
мод колебаний квадратных пластин не являются
достаточно обоснованными. Исходя из того, что
справедливость этих приближений не может быть
установлена для всех случаев, измерение упругих
постоянных пьезокерамики с использованием ука-
занных мод не рекомендовано до разработки бо-
лее точной методики. Что касается вопроса о нахо-
ждении величины модуля Юнга E материала ква-
дратной пластины, то он исследован недостаточно.
Неразрушающее акустическое определение мо-
дуля Юнга и коэффициента Пуассона требует зна-
ния спектра собственных частот объекта. Следует
c© В. А. Андрущенко, А. А. Бондаренко, В. В. Мелешко, В. Н. Никитенко, 2006 3
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 3 – 11
Рис. 1. Круглая и квадратная пластины из
пьезокерамики состава типа ЦТС-19
отметить существование ряда приближенных ре-
шений [15, 16], относящихся к спектру собствен-
ных частот квадратной пластины. Кроме того,
известны работы, в которых собственные часто-
ты контурных колебаний прямоугольных пластин
определялись с помощью вариационного подхо-
да [17, 18] и конечно-разностного метода [19]. Тем
не менее, в целом сравнительно мало сделано для
получения ясного представления о том, что прои-
сходит в случаях, отличных от наиболее простых.
Исходя из этого, в предлагаемой статье на осно-
ве данных эксперимента и аналитического реше-
ния [20, 21] предложена методика, позволяющая
определять упомянутые выше упругие характери-
стики квадратных пьезокерамических пластин и
анализировать особенности их резонансного спе-
ктра колебаний. Ее суть состоит в измерении
нескольких возбуждаемых резонансных частот и
выборе из них таких характерных значений, по ко-
торым рассчитываются упругие константы мате-
риала. Результаты, полученные для исследуемой
квадратной пластины, сравнивались с реперными
значениями для круглой пластины, из которой она
была изготовлена (рис. 1). Полученные данные не
только полностью согласуются с приведенными в
известных таблицах [5, 7], но и дополняют их для
больших значений коэффициента Пуассона.
1. МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
Экспериментальные исследования планарных
колебаний круглых и квадратных пластин заклю-
чались в измерении амплитудно-частотных хара-
ктеристик, а также определении резонансных ча-
стот и форм колебаний резонансным методом.
Квадратная пластина с размерами 47.2× 47.2×
3.0 мм была вырезана из круглого поляризован-
ного по толщине диска диаметра 63.2 мм, изготов-
ленного из промышленной пьезокерамики состава
типа ЦТС-19. Геометрические размеры пластины
были измерены с точностью до 0.1 %, а неорто-
гональность граней не превышала 1′. Плотность
пьезокерамики ρ=7300 кг/м
3
рассчитывалась по
весу круглого диска.
На пластину были нанесены посеребренные эле-
ктроды, как показано на рис. 1. Разрезные эле-
ктроды изготавливались по технологии фотолито-
графии с нанесением резистивного фотослоя, по-
следующим его экспонированием и травлением се-
ребра в 40 %-ой азотной кислоте.
Блок-схема аналогового варианта приборной
части экспериментального стенда приведена
на рис. 2. В состав стенда входят следующие
приборы: 1 – генератор качающей частоты (в
составе частотного характериографа Х1-46); 2 –
широкополосный усилитель У7-3; 3 – генера-
тор звуковых частот Г3-33 (высоковольтный
выход); 4 – генератор звуковых частот Г3-117
(спектрально чистый); 5 – вибродемпфирующий
предметный столик с исследуемым образцом и
экранированными проводами соединений; 6, 10 –
вольтметры для измерения эффективного значе-
ния амплитуд входных и выходных сигналов; 7,
11 – осциллографы для наблюдения за формой
сигналов; 8 – двухкоординатный самописец Н-306
для записи амплитудно-частотных характеристик
на бумагу формата А4.
На рис. 3 приведен упрощенный вариант схе-
мы подключения пьезопластины, резисторов R1–
R3 номиналами 0.1, 1.0, 10.0 Ом для измерения
тока через пьезоэлемент на резонансе и резисто-
ра R4 номиналом 1 МОм для измерения антире-
зонансных частот. Здесь Rвых – выходное сопро-
тивление используемого генератора или усилителя
(как правило, Rвых≤ 5 Ом); Rвх – входное сопро-
тивление измерительного прибора (как правило,
Rвх≥1 МОм).
В силу того, что типичная добротность пьезоке-
рамической пластины находится в диапазоне от 50
до 2000 единиц, ее активное сопротивление на ре-
зонансе составляет несколько десятков Ом. Поэто-
му для регистрации резонанса по току достаточ-
но подключить пьезоэлемент через резистор номи-
налом несколько Ом, чтобы по максимуму напря-
жения на резисторе определить резонансную ча-
стоту. В этом режиме измерений возникают про-
блемы при визуализации форм колебаний. Дело в
том, что при этом требуется получить большие пе-
ремещения (порядка нескольких микрон) и пьезо-
элемент начинает интенсивно греться из-за дисси-
пативных механических и электрических потерь.
Максимальный темп нагрева наблюдается в узло-
вых линиях, где возникают наибольшие цикличе-
4 В. А. Андрущенко, А. А. Бондаренко, В. В. Мелешко, В. Н. Никитенко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 3 – 11
Рис. 2. Блок-схема электрической части экспериментального стенда
Рис. 3. Схема подключения пьезопластинки со сплошными или разрезными электродами
ские напряжения.
Формы колебаний на резонансных частотах ви-
зуализировались порошковыми фигурами Хла-
дни, однако из-за расплывчатости узловых линий
на больших поверхностях и низкой контрастно-
сти полученных фотографий они не приведены.
Идентификация форм колебаний осуществлялась
по четко выраженным узловым линиям на торце-
вых гранях квадратной пластины.
Измерения резонансных частот на образцах
проводились в лабораторных условиях при ком-
натной температуре. Для исключения диссипатив-
ного разогрева пластин их колебания возбуждали
напряжением на электродах с амплитудой, не пре-
вышающей 0.1 В (чтобы значение тока было не
больше 10 мА). Пьезокерамические образцы по-
В. А. Андрущенко, А. А. Бондаренко, В. В. Мелешко, В. Н. Никитенко 5
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 3 – 11
f (kHz)
U (mV)
30
60
90
31.30
81.10
128.03
173.20
Рис. 4. Амплитудно-частотная характеристика
круглой пластинки (d=66.2 мм, h=3.0 мм)
со сплошными электродами
f (kHz)
U (mV)
30
60
90
36.68
51.36
98.05
101.14
Рис. 5. Амплитудно-частотная характеристика
квадратной пластины (47.2×47.2 × 3.0 мм)
со сплошными электродами
f (kHz)
U (mV)
30
60
90
25.32 37.60 50.00
62.43
67.37 71.46
89.51
105.50
Рис. 6. Амплитудно-частотная характеристика
квадратной пластины (47.2×47.2×3.0 мм)
с разрезными электродами, разделенными
посередине пластины и подключенными
противофазно
двешивались на тонких проволочках с диаметром
0.07 мм, припаянных к электроду минимальным
количеством олова (с целью избежания эффекта
присоединенной массы). Таким образом обеспечи-
валось отклонение резонансных частот не более,
чем на 0.01 %.
Амплитудно-частотные характеристики кру-
глой, а также квадратной пластинок со спло-
шными и разрезными электродами приведены
на рис. 4 – 6.
Заметим, что ключевым моментом представлен-
ного эксперимента является проведение всех изме-
рений не на отдельно взятых круглой и квадра-
тной промышленно изготовленных пьезопласти-
нах (когда разброс параметров пьезокерамики мо-
жет достигать 10 %), а на пластинах, изготовлен-
ных из одного образца. Это обеспечивает высо-
кую точность при определении упругих постоян-
ных экспериментально-расчетным методом.
2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Рассмотрим задачу об определении резонансных
частот и форм планарных колебаний квадратной
пьезокерамической пластины −a≤x≤ a, −a≤ y≤
a, −h≤ z ≤ h, поляризованной по толщине. Коле-
бания возбуждаются разностью потенциалов, при-
ложенной к электродам на торцах z=±h.
Уравнения, описывающие планарные колебания
тонких пьезокерамических пластин, получаем на
основе введения гипотез обобщенного плоского на-
пряженного состояния в трехмерные уравнения
пьезокерамической среды [22]. В результате для
определения усредненных по толщине компонент
вектора смещений ū(x, y), v̄(x, y) и электростати-
ческого потенциала ψ(x, y, z) имеем следующие со-
отношения:
∇2ū+
m
m−2
∂θ
∂x
+
ρω2
G
ū+A
∂ (ψ+−ψ−)
∂x
=0,
∇2v̄+
m
m−2
∂θ
∂y
+
ρ
G
ω2v̄+A
∂ (ψ+−ψ−)
∂y
=0,
(1)
(1 −B1)∇2ψ + B2
∂2ψ
∂z2
= zB3∇2θ. (2)
Здесь
θ =
∂ū
∂x
+
∂v̄
∂y
; ∇2 =
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
;
m = 1 +
1
σ
; σ = −s
E
12
sE
11
;
G =
1
2sE
11(1 + σ)
; A =
d31
h
m
m− 2
;
6 В. А. Андрущенко, А. А. Бондаренко, В. В. Мелешко, В. Н. Никитенко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 3 – 11
ψ+ и ψ− – значения потенциала на гранях z = h
и z = −h; sE
11, s
E
12, s
E
13 – упругие податливости при
постоянном электрическом поле; ρ – плотность ма-
териала; ω – круговая частота колебаний; B1, B2,
B3 – положительные постоянные, приведенные в
работе [23].
Граничные условия имеют вид
σ̄x = τ̄xy = Dx = 0 при x = ±a,
σ̄y = τ̄xy = Dy = 0 при y = ±a,
ψ = ψ+(x, y) при z = h,
ψ = ψ−(x, y) при z = −h,
(3)
где
σ̄x =2G
(
∂ū
∂x
+
θ
m−2
+d31
m
m−2
ψ+−ψ−
2h
)
;
σ̄y =2G
(
∂v̄
∂y
+
θ
m−2
+d31
m
m−2
ψ+−ψ−
2h
)
;
τ̄xy =G
(
∂ū
∂y
+
∂v̄
∂x
)
.
(4)
Формулы для вычисления компонент вектора эле-
ктрической индукции можно найти в [23].
Решение граничной задачи (1) – (3) дает полное
количественное описание сопряженных электро-
механических полей в квадратной пьезокерамиче-
ской пластине. При определенном расположении
электродов на ее гранях удается разделить связан-
ную задачу (1) – (3) на механическую и электриче-
скую составляющие.
Если торцы пластины z=±h покрыты спло-
шными электродами, то электрические граничные
условия (3) принимают вид
ψ+(x, y) = V0, ψ−(x, y) = −V0,
а уравнения (1) переходят в однородные уравне-
ния движения Ламе для изотропной среды. При
этом в пластине возбуждаются так называемые
продольные моды, когда смещение ū нечетно по
x и четно по y, а смещение v̄ четно по x и нечетно
по y.
Таким образом, задача об электроупругих уста-
новившихся колебаниях пьезопластинки с учетом
граничных условий (3) и выражений (4) сводит-
ся [23] к решению механической задачи о выну-
жденных колебаниях квадратной упругой пласти-
ны под действием равномерно распределенных на-
грузок f0 =CV0/h на ее боковых сторонах, где
C=−2d31mG/(m−2).
Рис. 7. Механическая нагрузка, эквивалентная
разрезным электродам на торцах пьезопластины
В случае электродов, разрезанных на две ча-
сти посередине пластины, электрические грани-
чные условия имеют вид
ψ+(x, y) = V0H(y), ψ−(x, y) = −V0H(y),
где H(y) – функция Хевисайда. Уравнения движе-
ния (1) переходят в неоднородные уравнения Ламе
для изотропной среды при действии нормальных
нагрузок CV0H(y)/h на сторонах x=±a и ±CV0/h
при y=±a.
Посредством выбора частного решения
ū∗ = 0, v̄∗ =
CV0a
Ω1k2h
sin
(
1 − 2yΩ1
a
)
cos
Ω1
2
, (5)
где
k2 =
2(m− 1)
m− 2
; Ω1 =
ωa
kc2
; c2 =
√
G
ρ
,
задача сводится к однородным уравнениям Ламе
при нормальном разрывном нагружении сторон
квадрата (рис. 7). При этом смещение ū нечетно
по x и по y, а смещение v̄ четно по обеим коорди-
натам.
В рассмотренных случаях связанность электри-
ческого и механического полей сохраняется в урав-
нении (2), в правую часть которого входит меха-
ническое объемное расширение θ. Анализ решения
для электростатического потенциала приведен в
работе [23].
Решение задачи о вынужденных колебаниях
изотропной прямоугольной пластины (призмы)
В. А. Андрущенко, А. А. Бондаренко, В. В. Мелешко, В. Н. Никитенко 7
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 3 – 11
Табл 1. Резонансные частоты (в Гц)
пьезокерамических пластин со сплошными
электродами при σ=0.36
пластина I пластина II
N f
(э)
r,n f
(т)
r,n k2
d f
(т)
r,n k2
d
1 − − − 26249 0.0001
2 − − − 30482 0.00006
3 36820 36820 0.2742 36469 0.2741
4 51700 51535 0.0422 51019 0.0422
5 − − − 60990 0.000025
6 75690 75899 0.0004 75159 0.0005
7 − − − 78768 0.00001
8 − − − 94300 0.0002
9 − − − 96256 0.0022
10 98430 98422 0.0146 97620 0.0132
11 101490 101495 0.0506 100620 0.0486
12 − − − 105347 0.0010
13 112700 112134 0.0073 111011 0.0073
Табл 2. Резонансные частоты (в Гц) квадратной
пьезокерамической пластины с разрезанными
посередине электродами при σ = 0.36
N f
(э)
r,n f
(т)
r,n
1 25320 25383
2 37600 37738
3 50000 50654
4 62430 62503
5 67370 67264
6 71460 71501
7 80900 80256
8 89510 89554
9 92140 91410
10 101900 101777
11 105500 105939
рассматривалось в работе [20], в которой развит
эффективный метод определения резонансных ча-
стот и форм колебаний, используемый и в настоя-
щем исследовании.
Для квадратной пластины с размерами 47.2×
47.2×3 мм (пластина I) были рассчитаны первые
шесть (случай сплошных электродов, см. табл. 1)
и одиннадцать (случай разрезных электродов, см.
табл. 2) возбуждаемых резонансных частот соо-
тветственно.
Здесь f
(э)
r,n – резонансная частота, определяемая
по максимальному напряжению на резисторе и
отвечающая n-ой моде; f
(т)
r,n – соответствующее ра-
счетное значение; k2
d – динамический коэффици-
ент электромеханической связи (КЭМС). Макси-
мальное отклонение расчетных частот от экспе-
риментальных составило 0.5 % для тринадцатой
моды при сплошных электродах и 0.7 % для де-
вятой моды при разрезных электродах. Хорошее
согласование результатов характеризует как ши-
рокие возможности теоретического подхода, так и
качество экспериментальной методики.
Полученное аналитическое решение позволя-
ет построить табл. 3 для определения коэф-
фициента Пуассона материала пластины по со-
отношению первых двух резонансных частот
(Ω(n)=2ωna/πc2), которые возбуждаются при со-
ответствующем расположении электродов. В диа-
пазоне 0.25≤σ≤0.35 эти данные хорошо коррели-
руют с [7, Table III].
Известно, что в квадратной изотропной пласти-
не равномерной нагрузкой на боковых сторонах не
удается возбудить некоторые моды колебаний (на-
пример, эквиволюминальную моду Ламе). Поэто-
му возникает важный вопрос о надежности опре-
деления собственных форм при решении задачи о
вынужденных колебаниях пластины.
Общая схема рассмотрения данного вопроса вы-
глядит следующим образом [24]. Граничную за-
дачу о вынужденных колебаниях упругого тела
представим схематично как
~L(~u) + ρω2~u = 0 в V,
~T (~u) = ~t на S.
(6)
Пусть известны наборы собственных частот коле-
баний ωn и соответствующие векторы перемеще-
ний ~un. Собственные перемещения обладают свой-
ствами полноты и ортогональности [25]:
∫
V
ρ~un · ~ukdV =
Sn, n = k,
0, n 6= k.
Тогда решение граничной задачи (6) о вынужден-
ных колебаниях упругого тела может быть пред-
ставлено в виде
~u = ~ustat − ω2
∞
∑
n=1
~un
Sn (ω2 − ω2
n)
×
×
∫
V
ρ~ustat · ~undV,
(7)
где ~ustat – решение соответствующей статической
8 В. А. Андрущенко, А. А. Бондаренко, В. В. Мелешко, В. Н. Никитенко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 3 – 11
Табл 3. Резонансные частоты Ω
(n), соответствующие n-ой моде колебаний,
как функция коэффициента Пуассона σ
сплошные электроды разрезные электроды
σ Ω(3) Ω(4) Ω(4)/Ω(3) Ω(1) Ω(2) Ω(2)/Ω(1)
0.25 1.774 2.690 1.5163 1.309 1.995 1.5241
0.26 1.791 2.695 1.5047 1.314 1.997 1.5198
0.27 1.807 2.700 1.4942 1.318 1.998 1.5159
0.28 1.824 2.705 1.4830 1.322 2.000 1.5129
0.29 1.841 2.710 1.4720 1.326 2.002 1.5098
0.30 1.858 2.715 1.4612 1.330 2.004 1.5068
0.31 1.875 2.720 1.4507 1.334 2.005 1.5030
0.32 1.893 2.726 1.4400 1.338 2.007 1.5000
0.33 1.910 2.731 1.4298 1.342 2.009 1.4970
0.34 1.928 2.737 1.4196 1.346 2.010 1.4933
0.35 1.946 2.743 1.4096 1.350 2.012 1.4904
0.36 1.964 2.749 1.3997 1.354 2.013 1.4867
0.37 1.983 2.755 1.3893 1.358 2.015 1.4838
0.38 2.001 2.762 1.3803 1.362 2.016 1.4802
0.39 2.020 2.769 1.3708 1.365 2.017 1.4777
0.40 2.039 2.776 1.3615 1.369 2.019 1.4748
0.41 2.057 2.783 1.3529 1.373 2.020 1.4712
0.42 2.076 2.791 1.3444 1.376 2.021 1.4688
0.43 2.096 2.799 1.3354 1.380 2.023 1.4659
0.44 2.115 2.808 1.3277 1.383 2.024 1.4635
0.45 2.134 2.817 1.3201 1.387 2.025 1.4600
задачи при заданной нагрузке на торцах
~L(~ustat) = 0 в V,
~T (~ustat) = ~t на S.
(8)
Если частота вынужденных колебаний ω близка к
какой-либо из собственных частот ωn, то в форме
вынужденных колебаний тела ~u доминирует соб-
ственная форма ~un. При этом амплитуда колеба-
ний зависит от вида внешней нагрузки. Так, если
значение соответствующего интеграла в разложе-
нии (7) обращается в нуль (т. е. в определенном
смысле имеется ортогональность внешней силовой
нагрузки к n-ой форме колебаний), то форма ~un
не возбуждается.
Применим эти соображения для исследования
интенсивности возбуждения форм колебаний в
тонкой квадратной пьезопластине. В этом случае,
в силу дополнительной симметрии относительно
диагоналей y = ±x, продольные моды делятся на
симметричные (ūs(x, y) = v̄s(y, x)) и антисимме-
тричные (ūa(x, y)=−v̄a(y, x)). Ко второму классу
относится мода Ламе – точное решение для часто-
ты Ω
(1)
L =
√
2 c перемещениями [26]
ūL(x, y)=CL sin
(2p−1)πx
2a
cos
(2p−1)πy
2a
,
v̄L(x, y)=−CL cos
(2p−1)πx
2a
sin
(2p−1)πy
2a
,
(9)
где p – произвольное целое число.
Решение статической задачи (8) для квадратной
пластины с равномерно распределенной нормаль-
ной нагрузкой f0 на ее боковых сторонах x=±a и
y=±a имеет вид
ustat =
f0 − σf0
E
x, vstat =
f0 − σf0
E
y. (10)
В разложении (7) весовые интегралы при анти-
симметричных продольных модах обращаются в
нуль. Отсюда следует, что при возбуждении коле-
баний разностью потенциалов, подводимой к спло-
шным электродам, формы колебаний, обладаю-
щие свойством антисимметрии, не возбуждаются.
Полученный вывод подтверждается данными
табл. 1 для квадратной (I) и почти квадратной
(II, 48.2×47.2×3 мм – соотношение сторон 1.02)
В. А. Андрущенко, А. А. Бондаренко, В. В. Мелешко, В. Н. Никитенко 9
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 3 – 11
пьезокерамических пластин с σ=0.36, покрытых
сплошными электродами. Например, в квадра-
тной пластине I не возбуждаются семь из тринад-
цати форм колебаний. В пластине II теоретически
могут проявляться все формы колебаний. Тем не
менее, ввиду незначительного отклонения разме-
ров пластины от квадратных и малой интенсивно-
сти возбуждения зафиксировать соответствующие
частоты экспериментально не удалось.
Для оценки эффективности возбуждения коле-
баний пьезокерамических тел на различных модах
используется динамический КЭМС, который рас-
считывался по формуле [6]
k2
d,n =
f2
a,n − f2
r,n
f2
a,n
, (11)
где fr,n и fa,n – частоты резонанса и антирезонан-
са. Последняя определялась по нулевому суммар-
ному току. В данном случае, КЭМС служит мерой
резонансного отклика каждой моды колебаний
при условии постоянства механической добротно-
сти в рассматриваемом диапазоне частот. Значе-
ния динамического КЭМС, приведенные в табл. 1,
хорошо согласуются с экспериментальными дан-
ными рис. 5. Например, измеренное отношение ам-
плитуд третьей и четвертой мод колебаний равно
6.7, в то время как расчетная величина k2
d,3/k
2
d,4 =
6.5.
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УПРУГИХ ПОСТОЯН-
НЫХ МАТЕРИАЛА
Наиболее распространенной экспериментальной
методикой определения основных механических
характеристик пьезокерамики является обертон-
ный (резонансный) метод, детально описанный в
работах [1, 5, 6]. Согласно ему коэффициент Пуас-
сона σ можно определить по отношению первых
двух резонансных частот радиальных мод диска
или форм планарных колебаний квадратной пла-
стины [5, 7].
По данным рис. 4 соотношение первых двух
резонансных частот колебаний круглого диска
fn2/fn1 равно 2.591, что соответствует коэффици-
енту Пуассона материала σ=0.36 [5]. В диапазоне,
отвечающем первым трем резонансным частотам
диска, квадратная пластина имеет уже более де-
сятка близко расположенных резонансных частот
(см. рис. 5, 6). Это существенно усложняет тра-
ктовку получаемого спектра и соответствующих
форм колебаний.
Анализируя спектр резонансных частот коле-
баний квадратной пластины со сплошными эле-
ктродами, заметим, что две низшие возбуждаемые
формы колебаний (соответствующие по табл. 1
третьей и четвертой модам колебаний) имеют наи-
большую амплитуду резонансного отклика и от-
делены от остальных мод. Поэтому они наиболее
подходят для определения коэффициента Пуассо-
на. Эпюры этих мод приведены в работе [7]. Эк-
спериментально полученное отношение указанных
резонансных частот равно 1.405. Используя дан-
ные табл. 3, имеем значение коэффициента Пуас-
сона σ=0.36. Этот результат полностью согласуе-
тся с тестом, проведенным на круглом диске.
Исследования пьезокерамических пластин с ра-
зрезными электродами потребовались для иден-
тификации частотного спектра, выделения тре-
буемых мод колебаний и проведения более тща-
тельного анализа спектра в самой низкочастотной
области (т. е. до низшей резонансной частоты пла-
стины со сплошными электродами). Видно, что
здесь первые моды снова являются наиболее чи-
стыми. Это делает их максимально пригодными
для определения упругих постоянных, несмотря
на меньшую интенсивность возбуждения по срав-
нению со случаем продольных мод. Отношение
первых двух экспериментально установленных ре-
зонансных частот равно 1.485. Согласно табл. 3,
это вновь соответствует значению коэффициента
Пуассона σ=0.36.
Особенностью частотного спектра квадратной
пластины с разрезными электродами является на-
личие трех интенсивных близко расположенных
резонансных откликов на частотах 62.43, 67.37 и
71.46 кГц (четвертая, пятая и шестая моды соо-
тветственно). Кроме того, отметим наличие так-
же самого низкочастотного пика при 25.32 кГц.
В виду интенсивного возбуждения указанных мод
колебаний представляется интересной разработка
метода определения коэффициента Пуассона по
соотношению именно этих резонансных частот.
Однако это требует выделения и детального изу-
чения соответствующих форм колебаний.
Второй основной механической характеристи-
кой пьезокерамической пластины является модуль
Юнга E (или модуль сдвига G). Для ее нахожде-
ния представляется интересным использовать ко-
лебания пластины на частоте моды Ламе, которая
определяется точно и, что более важно, не зави-
сит от коэффициента Пуассона. Однако, как ука-
зывалось выше, при рассмотренном расположении
электродов моду Ламе возбудить не удается.
Модуль сдвига G предлагается вычислять сле-
дующим образом. Сначала определяется коэффи-
циент Пуассона σ материала пластины со спло-
шными или разрезными электродами. Затем эк-
спериментальные значения первой или второй ре-
10 В. А. Андрущенко, А. А. Бондаренко, В. В. Мелешко, В. Н. Никитенко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 3 – 11
зонансных частот подставляются в выражение
G = ρ
(
4a
f
(э)
r,n
Ω(n)
)2
. (12)
Модуль Юнга E связан с модулем сдвига G изве-
стным соотношением E=2G(1+σ).
Вычисленный таким способом модуль Юнга
для двух случаев расположения электродов ра-
вен E=6.17·1010 Н/м
2
, что хорошо согласуется
с табличными данными для пьезокерамики типа
ЦТС-19 [5].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной статье изложена экспериментально-
теоретическая методика определения упругих ха-
рактеристик пьезокерамических материалов по
первым двум резонансным частотам планарных
колебаний квадратных пластин, возбуждаемых
сплошными и разрезными электродами.
Эффективность методики и высокая точность
полученных результатов (значение ошибки менее
0.5 %) подтверждаются согласованием расчетных
и экспериментальных результатов, а также иссле-
дованиями, проведенными на круглых пластинах,
из которых изготавливались квадратные образцы.
Основным преимуществом предложенной мето-
дики является возможность получения исходных
данных в широком диапазоне частот по выбранной
паре мод. Это особенно важно для случаев разре-
зных электродов, когда возбуждаются различные
типы несимметричных планарных колебаний ква-
дратной пластины.
1. Пьезоэлектрические резонаторы: Справочник /
Под ред. П. Е. Кандыбы и П. Г. Позднякова.– М.:
Радио и связь, 1992.– 392 с.
2. Джонсон Р. Механические фильтры в
электронике.– М.: Мир, 1986.– 406 с.
3. Малов В. В. Пьезорезонансные датчики.– М.:
Энергоатомиздат, 1989.– 272 с.
4. Климашин В. М., Никифоров В. Г., Сафро-
нов А. Я., Казаков В. К. Новые области при-
менения пьезотрансформаторов // Компоненты и
технологии.– 2004.– 1.– С. 56–60.
5. Пьезокерамические преобразователи: Справо-
чник / Под. ред. С. И. Пугачева.– Л.: Судострое-
ние, 1984.– 256 с.
6. Физическая акустика. Методы и приборы ультра-
звуковых исследований / Под ред. У. Мэзона.– М.:
Мир, 1966.– 592 с.
7. IRE standards on piezoelectric crystals: Determi-
nation of the elastic, piezoelectric, and dielectric
constants – The electromechanical coupling factor,
1958 // Proc. IRE.– 1958.– 46.– P. 764–778.
8. IRE standards on piezoelectric crystals:
Measurements of piezoelectric ceramics, 1961 //
Proc. IRE.– 1961.– 49.– P. 1161–1169.
9. IEEE Standard on piezoelectricity. ANSI/IEEE
Standard 176-1987.– New York: ANSI/IEEE, 1987.–
74 p.
10. ГОСТ 12370-80 Материалы пьезокерамические.
Методы испытаний.– М.: Изд-во стандартов,
1980.– 30 с.
11. http://www.npl.co.uk/materials/functional
/standards.html.
12. Algué ro M.A., Alemany C., Pardo L., González A.M.
Method for obtaining the full set of linear electric,
mechanical, and electromechanical coefficients and all
related losses of a piezoelectric ceramics // J. Amer.
Ceram. Soc.– 2004.– 87.– P. 209–215.
13. Pardo L., Algué ro M.A., Brebøl K. Resonance
method in the standard characterization of ferr-
piezoceramic samples: A discussion based on modelli-
ng by finite element analysis // Ferroelectrics.–
2006.– 336.– P. 181–190.
14. Baerwald H. G., Libove C. Breathing vibrations of
planary isoptopic square plates // Tech. Rept 8,
Contr. No. 1055(00).– Clevite Reseach Center,
Clevaland, Ohio.– 1955.
15. Bechmann R. Contour modes of square plates exci-
ted piezoelectrically and determination of elastic and
piezoelectric coefficients // Proc. Phys. Soc.– 1951.–
64.– P. 323–337.
16. Bechmann R. An improved frequency equation for
contour modes of square plates of anisotropic materi-
al // Proc. Phys. Soc.– 1952.– 65.– P. 368–374.
17. Holland R. Contour extensional resonant properti-
es of rectangular piezoelectric plates // IEEE Trans.
Son. Ultrason.– 1968.– SU-15.– P. 97–105.
18. EerNisse E. P. Coupled-mode approach to elastic vi-
bration analysis // J. Acoust. Soc. Amer.– 1966.–
40.– P. 1045–1050.
19. Lloyd P., Redwood M. Finite-difference method for
the investigation of the vibrations of solids and the
evaluation of the equivalent-circuit characteristics
of piezoelectric resonators. I, II // J. Acoust. Soc.
Amer.– 1966.– 39.– P. 346–361.
20. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф. Динамическая за-
дача теории упругости для прямоугольной при-
змы // Прикл. мех.– 1976.– 7, N 9.– С. 50–65.
21. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические
колебания и волны в упругих телах.– К.: Наук.
думка, 1981.– 284 с.
22. Улитко А. Ф. К теории колебаний пьезокерами-
ческих тел // Тепл. напр. элем. констр.– 1975.–
N 15.– С. 90–99.
23. Гринченко В. Т., Карлаш В. Л., Мелешко В. В.,
Улитко А. Ф. Исследование планарных колебаний
прямоугольных пьезокерамических пластин //
Прикл. мех.– 1976.– 12, N 5.– С. 71–78.
24. Мелешко В. В., Бондаренко А. А., Lin H.Y.,
Ma C.C. О возбуждении форм колебаний в ква-
дратных пьезокерамических пластинах // Теор.
прикл. мех.– 2006.– 42.– С. 130–135.
25. Clebsch A. Theorie der Elasticität fester Körper.–
Leipzig: Teubner, 1862.– 424 s.
26. Бондаренко А. О. Моди Ламе для пружного пря-
мокутника // Вiсн. Київ. ун-ту.– 2006.– 17 [подана
до друку].
В. А. Андрущенко, А. А. Бондаренко, В. В. Мелешко, В. Н. Никитенко 11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1000 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:20:22Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Андрущенко, В.А. Бондаренко, А.А. Мелешко, В.В. Никитенко, В.Н. 2008-07-09T14:41:27Z 2008-07-09T14:41:27Z 2006 Определение упругих постоянных квадратных пьезокерамических пластин резонансным методом / В. А. Андрущенко, А. А. Бондаренко, В. В. Мелешко, В. Н. Никитенко // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 3. — С. 3-11. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1000 539.3 Предложена экспериментально-теоретическая методика определения упругих постоянных квадратных пьезокерамических пластин на основе анализа спектров их планарных колебаний и выделения характерных резонансных частот. Для квадратной пластины, изготовленной из круглого диска и покрытой сплошными или разрезными поверхностными электродами, определены коэффициент Пуассона и модуль Юнга. Рассмотрен вопрос об интенсивности возбуждения собственных форм симметричных колебаний. Показано, что из тринадцати возможных мод колебаний эффективно возбуждаются только шесть. Полученные данные хорошо согласуются с результатами эксперимента. Запропоновано експериментально-теоретичну методику визначення пружних сталих квадратних п'єзокерамічних пластин на основі аналізу спектрів їхніх планарних коливань і визначення характерних резонансних частот. Для квадратної пластини, виготовленої з круглого диску і вкритої суцільними або розрізними поверхневими електродами, визначені коефіцієнт Пуассона та модуль Юнга. Розглянуто питання про інтенсивність збудження власних симетричних форм коливань. Показано, що з тринадцяти можливих мод коливань ефективно збуджуються лише шість. Одержані дані добре узгоджуються з результатами експерименту. The paper deals with the experimental-theoretical technique for determining the elastic constants of square piezoceramic plates based on analyzing their planar vibration spectra and distinguishing the characteristic resonant frequencies. The Poisson's ratio and Young's modulus are determined for a square plate made of a round disc and covered with solid or split surface electrodes. The problem on excitation strength of the natural forms of symmetrical vibrations is considered. It is shown that only six of thirteen possible modes are effectively excited. The obtained results are in good agreement with the experimental data. ru Інститут гідромеханіки НАН України Определение упругих постоянных квадратных пьезокерамических пластин резонансным методом Determining the elastic constants of square piezoceramic plates by resonant technique Article published earlier |
| spellingShingle | Определение упругих постоянных квадратных пьезокерамических пластин резонансным методом Андрущенко, В.А. Бондаренко, А.А. Мелешко, В.В. Никитенко, В.Н. |
| title | Определение упругих постоянных квадратных пьезокерамических пластин резонансным методом |
| title_alt | Determining the elastic constants of square piezoceramic plates by resonant technique |
| title_full | Определение упругих постоянных квадратных пьезокерамических пластин резонансным методом |
| title_fullStr | Определение упругих постоянных квадратных пьезокерамических пластин резонансным методом |
| title_full_unstemmed | Определение упругих постоянных квадратных пьезокерамических пластин резонансным методом |
| title_short | Определение упругих постоянных квадратных пьезокерамических пластин резонансным методом |
| title_sort | определение упругих постоянных квадратных пьезокерамических пластин резонансным методом |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1000 |
| work_keys_str_mv | AT andruŝenkova opredelenieuprugihpostoânnyhkvadratnyhpʹezokeramičeskihplastinrezonansnymmetodom AT bondarenkoaa opredelenieuprugihpostoânnyhkvadratnyhpʹezokeramičeskihplastinrezonansnymmetodom AT meleškovv opredelenieuprugihpostoânnyhkvadratnyhpʹezokeramičeskihplastinrezonansnymmetodom AT nikitenkovn opredelenieuprugihpostoânnyhkvadratnyhpʹezokeramičeskihplastinrezonansnymmetodom AT andruŝenkova determiningtheelasticconstantsofsquarepiezoceramicplatesbyresonanttechnique AT bondarenkoaa determiningtheelasticconstantsofsquarepiezoceramicplatesbyresonanttechnique AT meleškovv determiningtheelasticconstantsofsquarepiezoceramicplatesbyresonanttechnique AT nikitenkovn determiningtheelasticconstantsofsquarepiezoceramicplatesbyresonanttechnique |