Излучение ТМ-волн из азимутальной щели сфероконического резонатора
Решена задача об излучении осесимметричных ТМ-волн через кольцевую щель в боковой поверхности сфероконического резонатора. Резонатор сформирован из идеально проводящего полубесконечного конуса со щелью, в котором один из секторов закрыт идеально проводящей сферической перегородкой. Для решения задач...
Saved in:
| Published in: | Радиофизика и радиоастрономия |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Радіоастрономічний інститут НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100093 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Излучение ТМ-волн из азимутальной щели сфероконического резонатора / Д.Б. Куриляк, О.Б. Трищук // Радиофизика и радиоастрономия. — 2013. — Т. 18, № 1. — С. 87-95. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860258097234182144 |
|---|---|
| author | Куриляк, Д.Б. Трищук, О.Б. |
| author_facet | Куриляк, Д.Б. Трищук, О.Б. |
| citation_txt | Излучение ТМ-волн из азимутальной щели сфероконического резонатора / Д.Б. Куриляк, О.Б. Трищук // Радиофизика и радиоастрономия. — 2013. — Т. 18, № 1. — С. 87-95. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Радиофизика и радиоастрономия |
| description | Решена задача об излучении осесимметричных ТМ-волн через кольцевую щель в боковой поверхности сфероконического резонатора. Резонатор сформирован из идеально проводящего полубесконечного конуса со щелью, в котором один из секторов закрыт идеально проводящей сферической перегородкой. Для решения задачи используется метод частичных областей и метод аналитической регуляризации. Задача сведена к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений второго рода, допускающих решение с заданной точностью. Установлены закономерности излучения резонансных мод через щель сфероконического резонатора в зависимости от геометрических параметров резонатора и щели, а также выяснены особенности формирования диаграмм направленности.
Розв’язано задачу про випромінювання осесиметричних ТМ-хвиль через кільцеву щілину на боковій поверхні сфероконічного резонатора. Резонатор сформовано з ідеально провідного напівнескінченного конуса з щілиною, у якому один з секторів закритий ідеально провідною сферичною перегородкою. Для розв’язку задачі використовується метод частинних підобластей і метод аналітичної регуляризації. Задачу зведено до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь другого роду, які допускають розв’язок із заданою точністю. Встановлено закономірності випромінювання резонансних мод через щілину сфероконічного резонатора в залежності від геометричних параметрів резонатора і щілини, а також знайдено особливості формування діаграм спрямованості.
The problem of radiation of axial symmetric TM waves by sphereconical resonator with ring slot in the lateral surface is solved. The resonator is formed of a semi perfectly conducting cone with a slot, in which one of the sectors is closed by a perfectly conducting spherical wall. The method of partial regions and the method of analytical regularization are applied to solve the problem. The problem is reduced to an infinite system of linear algebraic equations of second kind, allowing the solution to a given accuracy. The laws of the resonance modes radiation through the slot of the sphere-conical resonator are determined depending on the geometrical parameters of the cavity and slot, as well as the features of pattern formation clarified.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:51:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 1, 2013 87
Радиофизика и радиоастрономия. 2013, Т. 18, № 1, c. 87–95
© Д. Б. Куриляк, О. Б. Трищук, 2013
Д. Б. КУРИЛЯК, О. Б. ТРИЩУК
Физико-механический институт им. Г. В. Карпенко НАН Украины,
ул. Научная, 5, г. Львов, 79061, Украина
E-mail: trishchuk@ipm.lviv.ua
ÈÇËÓ×ÅÍÈÅ TM-ÂÎËÍ ÈÇ ÀÇÈÌÓÒÀËÜÍÎÉ ÙÅËÈ
ÑÔÅÐÎÊÎÍÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÐÅÇÎÍÀÒÎÐÀ
Решена задача об излучении осесимметричных ТМ-волн через кольцевую щель в боковой поверхности сфероконического
резонатора. Резонатор сформирован из идеально проводящего полубесконечного конуса со щелью, в котором один
из секторов закрыт идеально проводящей сферической перегородкой. Для решения задачи используется метод частич-
ных областей и метод аналитической регуляризации. Задача сведена к бесконечной системе линейных алгебраических
уравнений второго рода, допускающих решение с заданной точностью. Установлены закономерности излучения резо-
нансных мод через щель сфероконического резонатора в зависимости от геометрических параметров резонатора
и щели, а также выяснены особенности формирования диаграмм направленности.
Ключевые слова: электромагнитные волны, дифракция электромагнитных волн, идеально проводящий конус, сферо-
конический резонатор, радиальный диполь, азимутальная щель
УДК 538.566
1. Ââåäåíèå
Резонаторы, связанные с открытым пространством
через щели, находят широкое применение в щеле-
вых антеннах, а также в устройствах и измеритель-
ных приборах миллиметрового и субмиллиметро-
вого диапазонов длин волн. В связи с этим возни-
кает задача исследования моделей резонаторов
со щелями, допускающих строгий электродинами-
ческий анализ. Это, в основном, структуры, сос-
тоящие из кусочно-координатных поверхностей.
Открытые цилиндрические резонаторы с по-
перечной щелью рассматривались в [1], а экспе-
риментальные исследования частотного спектра
колебаний в диэлектрических цилиндрических
резонаторах с торцевыми экранами конечных
размеров в [2]. В [3] экспериментально исследо-
вались диэлектрические конические резонаторы,
расположенные на проводящей плоскости, а в [4]
анализировались спектральные свойства полу-
сферического резонатора также расположенного
на проводящей плоскости. Распределение поля
внутри сферических диэлектрических резонато-
ров с металлическими коническими вставками
конечных размеров исследовалось в [5], а спектр
колебаний в таких резонаторах с бесконечными
конусами рассматривался в [6]. В [7] приведены
результаты исследования полей, излучаемых из
круглого отверстия сферических резонаторов.
Анализ спектра частот закрытого резонатора,
состоящего из конечного цилиндра, сопряженно-
го с конической поверхностью, проводился в [8],
а механические колебания в сфероконических
резонаторах исследовались в [9].
2. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è
Рассмотрим идеально проводящий круговой полу-
бесконечный конус, в боковой бесконечно тонкой
стенке которого прорезана щель конечной ширины,
а один из двух образовавшихся при этом кони-
ческих секторов закрыт идеально проводящей пе-
регородкой сферической формы и образует конеч-
ный сфероконический резонатор со щелью (рис. 1).
Эту структуру в сферической системе координат
( , θ, φ)r запишем в виде
1 2
1 2
[0, ) ( , ), θ γ 0
( ,θ,φ)| ,
[0, ) ( , ), θ γ 0
c c
Q r r
c c c
⎧ ∞ = +⎧ ⎫⎪= ∈ θ =⎨ ⎨ ⎬= −⎪ ⎩ ⎭⎩
∪
∪
ф (1)
Конус Q возбуждается полем радиального элек-
трического диполя, который расположен на оси
симметрии. Следовательно, в результате взаи-
модействия поля диполя с конусом Q суммар-
ное поле также будет обладать свойством осе-
вой симметрии. При этом установившееся поле
имеет только три отличные от нуля компоненты
θ φ( , , 0),rE E H ≠ т. е. из резонансного объема
диполь излучает ТМ-волны. Зависимость компо-
нент поля от времени задается множителем iω ,te−
который в дальнейшем опускается. Задача со-
стоит в том, чтобы найти распределение компо-
{ }
φ [0,2π)
γ ( ,θ,φ)| , θ [0,γ] .r r c
∈
⎫⎪= = ∈⎬
⎪⎭
∪
88 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 1, 2013
Д. Б. Куриляк, О. Б. Трищук
нент электромагнитного поля, установившегося
в пространстве в присутствии конуса Q.
В рассматриваемом случае все компоненты
поля выражаются через скалярный потенциал
Дебая ( ,θ),U U r= удовлетворяющий уравнению
Гельмгольца, а компоненты поля выражаются
через функцию ( ,θ)U r при помощи соотношений:
1 sinθ ,
sinθ θ θr
UE
r
∂ ∂⎛ ⎞= − ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
(2)
2
θ
1 ( ),
θ
E rU
r r
∂=
∂ ∂ 1 .
θ
UH ikZ −
ϕ
∂=
∂
Здесь k – волновое число ( i ;k k k′ ′′= + = ω εμ
, 0;k k′ ′′ > 1;i = − ,ε μ – диэлектрическая и
магнитная проницаемости среды); Z = μ ε –
волновое сопротивление.
С учетом соотношений (2) задачу сведем к
решению смешанной краевой задачи для уравне-
ния Гельмгольца
2 0,U k UΔ + = (3)
с граничными условиями:
1 sin ( ) 0,
sin
iU U
r
∂ ∂⎛ ⎞θ + =⎜ ⎟θ ∂θ ∂θ⎝ ⎠
когда 1 2
1 2
(0, ) ( , ) при 0,
(0, ) ( , ) при 0;
r c c
r c c с
∈ ∞ θ = γ +⎧
⎨ ∈ θ = γ −⎩
∪
∪
(4)
2 ( )1 0,
θ
ir U U
r r
⎡ ⎤∂ +⎣ ⎦ =
∂ ∂
когда , θ [0,γ].r c= ∈ (5)
Здесь U – неизвестный потенциал дифрагированно-
го поля, ( , )i iU U r= θ – потенциал первичного поля,
2
2 2
2 1 sinθ .
θ θsinθr rr r
∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞Δ = + + ⎜ ⎟∂ ∂ ∂∂ ⎝ ⎠
Для единственности решения искомая функ-
ция ( ,θ)U r должна также удовлетворять усло-
вию предельного поглощения на бесконечности
и условию конечности энергии поля в произволь-
ном конечном объеме, которое сводится к обеспе-
чению выполнения условий Мейкснера на краях
и вершине конуса Q:
( )2 2| | | | d .
V
E Hε +μ ν < ∞∫ (6)
Решая задачу, в качестве потенциала первич-
ного поля ( ) ( ,θ)iU r используем потенциал поля
радиального электрического диполя на оси по-
лубесконечного конуса [5] и представим его сле-
дующим образом
0
1( ,θ)iU r
srsr
= ×
ν 0 ν 0(0)
ν 1 2
1 ν 0 ν 0
( ) ( ),
(cosθ) .
( ) ( ),
n n
n
n n
n
n
I sr K sr r r
A P
K sr I sr r r
∞
−
=
≥⎧ ⎫⎪ ⎪× ⎨ ⎬≤⎪ ⎪⎩ ⎭
∑
Здесь ;s ik= − ν ( ),
n
I ⋅ ν ( )
n
K ⋅ – модифицированная
функция Бесселя и функция Макдональда соот-
ветственно; ν 1 2 ( )
n
P − ⋅ – функция Лежандра; индек-
сы νn – положительные корни трансцендентного
уравнения ν 1 2 (cos γ) 0;
n
P − =
1
0 ν 1 2(0)
ν 1 2 ν ν
2π ν ( cos γ)
,
cos(πν ) (cos γ)
ν
n
n
e
r n
n
n
I hZr P
A
P
−
−
− =
−
= ∂ ⎡ ⎤⎣ ⎦∂
Рис. 1. Геометрическая схема задачи
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 1, 2013 89
Излучение TM-волн из азимутальной щели сфероконического резонатора
где e
rI h – момент диполя, e
rI – амплитуда элект-
рического тока, h – длина диполя.
3. Ðåøåíèå çàäà÷è
Для решения краевой задачи (3) – (6) выделим
подобласти, сформированные сфероконическим
рассеивателем (1), (см. рис. 1):
{ }(1)
1 1: (0, ); θ [0,γ); φ [0,2π) ,D r c∈ ∈ ∈
{ }(2)
1 1: (0, ); θ (γ,π]; φ [0,2π) ,D r c∈ ∈ ∈
{ }2 1 2: ( , ); θ [0,π]; φ [0,2π) ,D r c c∈ ∈ ∈ (7)
{ }(1)
3 2: ( , ); θ [0,γ); φ [0,2π) ,D r c c∈ ∈ ∈
{ }(2)
3 2: ( , ); θ (γ,π]; φ [0,2π) .D r c∈ ∞ ∈ ∈
Предполагая, что источник первичного поля
расположен в области (1)
3 ,D искомый потенциал
Дебая исходной дифракционной задачи, с учетом
(7), представим в виде:
ν(1,1)
ν 1 2
1 ν 1
(1)
1
μ(1,2)
μ 1 2
1 μ 1
(2)
1
1 2
1
(1) (2)
1 2
2
ν 1 2
(ρ)1 (cosθ) ,
(ρ )ρ
ρ,θ ;
(ρ)1 ( cosθ) ,
(ρ )ρ
ρ,θ ;
1 (cosθ)
ρ
(ρ) (ρ)
,
(ρ ) (ρ )( ,θ)
ρ,θ ;
1( ,θ)+ (c
ρ
p
p
p
k
k
k
n
n n
n n
p
p
p
k
k
z
n
z z
n n
z z
i
I
y P
I
D
I
y P
I
D
P
K I
x x
K IU r
D
U r P
∞
−
=
∞
−
=
∞
−
=
−
∈
−
∈
×
⎡ ⎤
× +⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
∈
∑
∑
∑
1
ν(3,1;1) (3,1;2)
ν 2 2
(1)
3
μ(3,2)
μ 1 2
1 μ 2
(2)
3
osθ)
(ρ) (ρ)
,
(ρ ) (ρ )
ρ,θ ;
(ρ)1 ( cosθ) ,
(ρ )ρ
ρ,θ .
p p
p p
k
k
k
p
p p
k
k
K I
y y
K I
D
K
y P
K
D
∞
=
ν
ν
∞
−
=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
×⎪
⎪
⎪ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥× +⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦
⎪ ∈⎪
⎪
⎪ −
⎪
⎪
∈⎪⎩
∑
∑
(8)
Здесь (1,1) ,py (1,2) ,ky (3,1;1) ,py (3,1;2) ,py (3,2) ,ky (1) ,nx
(2)
nx – неизвестные коэффициенты разложения;
ρ ,sr= 1 1ρ ,sc= 2 2ρ ,sc= 1 2,nz n= + 1{ν } ,p p
∞
=
1{μ }k k
∞
= – возрастающие последовательности по-
ложительных корней трансцендентных уравнений
ν 1 2 (cos γ) 0,P − = μ 1 2( cosγ) 0.P − − =
Выражения (8) соответствуют потенциалу пол-
ного поля в областях 1,D 2D и (2)
3 ,D а в области
(1)
3D – потенциалу дифрагированного поля.
Неизвестные коэффициенты разложения ищем
в классе последовательностей, обеспечивающих
абсолютную и равномерную сходимость рядов
(8), а также их первых производных относитель-
но переменных , θ.r Вторые производные, через
которые выражаются нормальные к ребру ком-
поненты электромагнитного поля (2), допускают
интегрируемую особенность электрических ком-
понент поля 1 2, ( ),rE E O −
θ = ρ когда 0,ρ→ где
ρ – расстояние в локальной системе коорди-
нат, связанной с краем конуса. Когда ,γ → π ве-
личина 1
1 1
2 2ln[2 ( )]
ν → +
π− γ
[10]. При 2γ → π
значение 1 3 2.ν → Поэтому для всех 0 < γ < π
справедливо 1 1min( , ) 3 2,ν μ < и, следовательно,
представление (8) допускает особенности элект-
рических компонент поля в вершине конуса.
Представление (8) обеспечивает выполнение
условий предельного поглощения, граничных ус-
ловий на конических границах, а для обеспечения
выполнения граничных условий на сферическом
сегменте коэффициенты разложения в подоблас-
ти (1)
3D должны удовлетворять соотношению
2(3,1;2) (3,1;1)
2
(ρ ) (ρ )
(ρ )
(ρ ) (ρ )
p p
p p
c
p p c
c
K I
y y
K I
ν ν
ν ν
= − ϒ −
0 2(ρ ) (ρ ) (ρ )
(ρ ),
(ρ )
p p p
p
p c
c
c
A I I K
I
ν ν ν
ν
− ϒ
где 1, 2, 3, ... ,p = ρ ,c sc=
1 2ρ (ρ ) (ρ )
(ρ ) .
1 2ρ (ρ ) (ρ )
p p
p p
c c c
c
c c c
K K
I I
ν ν
ν ν
′+
ϒ = −
′+
Неизвестные коэффициенты в (8) находим из
условий непрерывности тангенциальных состав-
90 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 1, 2013
Д. Б. Куриляк, О. Б. Трищук
ляющих полного поля на сферических поверх-
ностях радиуса 1(2).r c= Из этих условий полу-
чаем сумматорные уравнения в виде функциональ-
ных рядов присоединенных функций Лежандра пер-
вого порядка [11]. Для определения коэффициентов
разложения используем свойство ортогональности
функций Лежандра и сведем задачу к решению
бесконечных систем линейных алгебраических
уравнений (БСЛАУ). После процедуры регуляриза-
ции эти системы в матричном виде запишем сле-
дующим образом:
1 1 1
1 11 1 12 2 1
1 1
2 22 2 22 2
1 1
21 21 1 2
( ) ,
( )
( ) .
X A A A X A A X A F
X A A A X A B X
A A B X A F
− − −
− −
− −
⎧ = − − +
⎪⎪ = − − −⎨
⎪− + +⎪⎩
(9)
Здесь (1)
1 1:{ } ,n nX x ∞
= (2)
2 1:{ }n nX x ∞
= – неизвестные
векторы, (1) (1) ( ,γ),n n nx x q z= (2) (2) ( ,γ),n n nx x q z=
2
1 2( ,γ) ( 1 4) (cosγ).
nn n zq z z P −= − Элементы беско-
нечных матриц qpA ( , 1, 2),q p = 22 ,B 21B из (9)
представим в виде:
11(1,1)
2 2
1 1
[ , ]
,
( ) ( ) ( )
n p
n p
z
pn
p n z
W K I
a
z K I
ξ ρ
ξ
ρ
=
ξ − ρ ρ
11(1,2)
2 2
2 1
[ , ]
,
( ) ( ) ( )
n p
n p
z
pn
p n z
W I I
a
z I I
ξ ρ
ξ
ρ
=
ξ − ρ ρ
22(2,1)
2 2
1 2
[ , ]
,
( ) ( ) ( )
p n
n p
z
pn
p n z
W K K
a
z K K
ξ ρ
ξ
ρ
=
ξ − ρ ρ
22(2,2)
2 2
2 2
[ , ]
,
( ) ( ) ( )
p n
n p
z
pn
p n z
W K I
a
z I K
ξ ρ
ξ
ρ
=
ξ − ρ ρ
22 1(2,1)
2 2
1 2
[ , ] ( )
,
( ) ( ) ( )
p n
p p
n p
z c
pn
p n z
W I K
b
z K I
ξ ρ
ξ ν
ξ
ρ Φ ρ
= δ
ξ − ρ ρ
22 1(2,2)
2 2
2 2
[ , ] ( )
,
( ) ( ) ( )
p n
p p
n p
z c
pn
p n z
W I I
b
z I I
ξ ρ
ξ ν
ξ
ρ Φ ρ
= δ
ξ − ρ ρ
где [ , ] ( ) ( ) ( ) ( );xW f f x x f x xν ν ν ν ν ν′ ′ϕ = ϕ − ϕ 1{ }p p
∞
=ξ =
1 1{ } { }m m k k
∞ ∞
= =ν μ∪ – возрастающая последователь-
ность;
p pξ νδ – дельта-символ Кронекера;
1( )cΦ ρ =
2
2
( ) ( ) 1 2 ( ) ( )
;
( ) ( ) 1 2 ( ) ( )
p p p p
p p p p
c c c c
c c c c
K I K K
K I I I
ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ ξ
⎡ ⎤′ρ ρ + ρ ρ ρ⎣ ⎦=
⎡ ⎤′ρ ρ + ρ ρ ρ⎣ ⎦
(10)
(1)
1 1:{ } ,p pF f ∞
= (1) 0;pf = (2)
2 1:{ } ,p pF f ∞
=
2 ξ 2 ξ 0(2)
ξ 0 0
ξ 2 ξ 2
(ρ ) (ρ ) (ρ )
δ , ρ ,
ξ α (ξ ,γ) (ρ ) (ρ )
p p
p p
p p
c p
p
p p
A I K
f sr
K I ν+
Φ +
= =
0
2 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ,
( )
p
p p
p
c p c c
c
I
A I K
I
ξ
ξ ξ
ξ
ρ
Φ ρ = − ρ ρ ϒ ρ
ρ
( )
1
2
1 2( , ) 2 0.25 (cos ) .
pp p P
−
+
ξ −
⎡ ⎤∂α ξ γ = − ξ − γ⎢ ⎥∂ξ⎣ ⎦
Пара регуляризирующих операторов 1,A A− в
уравнении (9) определяется следующим образом
[11, 12]:
1
, 1:{ (ξ ) } ,pn p n p nA a z − ∞
== − (11)
1
1 1
, 1
: τ (ξ ) ( )( ξ ) .kp p k k p
k p
A M M z z
∞−
− −
− −
=
⎧ ⎫⎪ ⎪′⎡ ⎤ ′= −⎨ ⎬⎣ ⎦
⎪ ⎪⎩ ⎭
Здесь
( )M − ν =
( ) ( ) ( )
1
0
1
1 2 1 2 1 ,p
p
p
B e e
−
∞
ν ξ−νχ
=
⎧ ⎫⎪ ⎪= −ν Γ −ν −ν ξ⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭
∏
где ( )Γ ⋅ – гамма функция,
1 21 2
0 1 2 1 2i (cos ) ( cos ) ,B P P−
− −⎡ ⎤= − π γ − γ⎣ ⎦
( )γln ln 3 4 ( ) ( ),
π
S Sγ π− γ π− γχ = + −ψ − γ − π− γ
π π π
(τ)ψ – логарифмическая производная гамма функ-
ции,
( )1
1( ) ,
1 4n n
S
n
∞
=
⎡ ⎤γγ = −⎢ ⎥π − ν⎣ ⎦
∑
( )1
1( ) ;
1 4n n
S
n
∞
=
⎡ ⎤π − γπ − γ = −⎢ ⎥π − μ⎣ ⎦
∑
η η
d(η ) [ (η)] .
dη kkM M− − =′ =
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 1, 2013 91
Излучение TM-волн из азимутальной щели сфероконического резонатора
Заметим, что элементы матричного операто-
ра (11) равны статическому пределу ( )1(2) 0sc →
выражений для (1,1) ,pna (2,2)
pna и совпадают с главной
частью его асимптотики, когда ,nz 1(2)ξ .p sc
Это свойство обеспечивает применимость мето-
да редукции для решения бесконечной системы
уравнений (8), а получаемое таким образом ре-
шение гарантирует выполнение всех необходи-
мых условий.
4. Àíàëèç ðåçóëüòàòîâ
Все характеристики поля рассчитывались на ос-
новании решения усеченной системы уравнений
(9). Количество уравнений, которые удерживались
при решении, зависело от длины образующей
конуса и угла его раскрытия. Порядок усече-
ния матриц llA выбирался из соотношения lN =
,l lkc q+ где 4 10,lq = ÷ 1, 2.l =
Исследовалось излучение ТМ-волн через щель
в сфероконическом объеме на резонансных час-
тотах закрытого идеально проводящего сфероко-
нического резонатора, которые действительны и
определяются как нули знаменателя формулы (10).
Анализировалось поведение модуля магнитной
компоненты поля на внешней поверхности ко-
нуса в зоне излучения (эта величина пропорцио-
нальна модулю плотности тока rJ при ,r →∞
φ (γ 0) ~ ),rH J+ а также диаграммы направлен-
ности, которые вычислялись по формуле [5],
i
φ(θ) lim .kr
r
D rH e−
→∞
=
При вычислении (θ)D и φH нормировались
соответственно на величины e
rI hk и ,e
rI hk r
т. е. анализировались безразмерные характерис-
тики как функции параметров резонатора.
Был рассмотрен сфероконический резонатор
с круговой щелью, расположенной вблизи вершины
конуса 2( λ,c < 1 λ,c где λ – длина волны).
Диполь размещался вблизи центра кругового от-
верстия усеченной конической поверхности. Для рас-
сматриваемого конуса с углом раскрыва γ 50= °
диаметр отверстия 22 sinγ λ 4.d kc= ≈ Положение
пиков кривой, приведенной на рис. 2, а, при фик-
сированных геометрических параметрах рассеи-
вателя соответствуют значениям частот, близ-
ким к резонансным частотам
1ν 0nE -типов волн
закрытого сфероконического резонатора (γ 50 ,= °
1ν 2.74004).= Следовательно, эти волны могут
эффективно излучаться из открытого объема сфе-
роконического резонатора через малую щель вбли-
зи вершины конуса. Проведенные исследования
показали, что в общем случае эффективность
излучения ν 0m nE -типов волн из кольцевой щели
в стенке сфероконического резонатора существен-
но зависит как от ширины щели, так и от ее поло-
жения на боковой поверхности конуса. Например,
на рис. 2, б показана зависимость φH -компонен-
ты поля от параметра 2kc при условии, что ши-
Рис. 2. Зависимость φ (γ 0)H + -компоненты поля на внеш-
ней поверхности конуса от параметра kc (а) и параметра
2kc (б) при 2 1( ) const :k c c− = кривая 1 – 2 1( ) 1.5,k c c− =
кривая 2 – 2 1( ) 0.7k c c− =
92 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 1, 2013
Д. Б. Куриляк, О. Б. Трищук
рина щели фиксирована ( )2 1( ) const ,k c c− = т. е.
изменение параметра 2kc соответствует здесь
перемещению щели заданной ширины вдоль бо-
ковой поверхности конуса. Кривые 1 и 2 на этом
рисунке относятся к щелям различной ширины,
а значение параметра kc соответствует резонан-
сной частоте
2ν 01E -колебания 2(ν 6.31862)= зак-
рытого резонатора.
Как следует из поведения кривых на рис. 2, б,
наблюдается интенсивное излучение
2ν 01E -вол-
ны из щели шириной 2 1( ) λ 4k c c− ≈ (кривая 1),
когда положение “верхнего” края щели изме-
няется в пределах 22.5 5.kc< < Максимальное
излучение имеет место, когда 2 4.87.kc = Для бо-
лее узкой щели 2 1( ( ) λ 8,k c c− ≈ кривая 2) наблю-
даем локальные всплески интенсивности излуче-
ния при 2 4.06kc = и 2 5.66.kc =
Для выяснения потенциальных возможностей
формирования диаграмм направленности рас-
сматриваемой структурой, было исследовано
угловое распределение поля излучения из щелей
при возбуждении в сфероконическом объеме
ν 0m nE -резонансных колебаний. На рис. 3 приведе-
ны диаграммы направленности поля, излучаемого
из щелей разной ширины в боковой стенке сферо-
конического резонатора. Диаграмма направленно-
сти, соответствующая кривой 1 на рис. 3, а, харак-
теризует излучение из щели, параметры которой
обеспечивают максимум кривой 1 на рис. 2, б.
При этом сфероконический объем возбуждается
резонансным
2ν 01E -колебанием. Аналогично диаг-
рамма направленности, соответствующая кривой
2 на рис. 3, а, характеризует излучение из щели,
параметры которой обеспечивают первый пик
кривой 2 на рис. 2, б. Особенностью приведен-
ных диаграмм является то, что в широком диа-
пазоне углов (50 θ 135 )° < < ° поле излучения ос-
тается практически постоянным.
Рассматриваемая структура позволяет полу-
чить различные формы диаграмм направленнос-
ти в зависимости от типа резонансных колеба-
ний, возбуждаемых в сфероконическом объеме,
а также ширины и положения щели. Например,
на рис. 3, б приведены диаграммы направлен-
ности, которые формируются при возбуждении
в сфероконическом объеме
104Eν -колебания, а из-
лучение происходит из щелей одинаковой шири-
ны, расположенных на различном расстоянии от
вершины конуса. Из этого рисунка видно, что,
перемещая щели вдоль боковой поверхности ре-
зонансного объема, можно существенным обра-
зом влиять на форму диаграмм направленности,
например, получить диаграмму направленности
с максимальным уровнем излучения в направле-
нии, близком к оси симметрии рассматриваемой
структуры (кривая 1 на рис. 3, б).
Для выяснения особенностей формирования поля
излучения из полусферического резонатора на плос-
кости через кольцевую щель в дисковой диафрагме
был исследован конус Q для случая γ 91 .= °
На рис. 4, а показана зависимость φ (γ 0)H + -ком-
поненты от радиуса внешнего края кругового от-
верстия диафрагмы 2kc при возбуждении в полу-
сферическом объеме резонансного
1ν 02E -колебания
1( 1.48273)v = соответствующего закрытого полу-
сферического резонатора. При этом внутренний
радиус отверстия диафрагмы сохраняется пос-
Рис. 3. Диаграммы направленности при возбуждении в сфе-
роконическом объеме резонансных колебаний: а –
2 01Eν -типа (кривая 1 – 2 4.87;kc = кривая 2 – 2 4.07);kc =
б –
1 04Eν -типа (кривая 1 – 1 5.72kc = и 2 7.22,kc = кри-
вая 2 – 1 10.67kc = и 2 12.17)kc =
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 1, 2013 93
Излучение TM-волн из азимутальной щели сфероконического резонатора
тоянным 1( 1).kc Здесь увеличение параметра
2kc соответствует увеличению отверстия диафраг-
мы и, как видно из рис. 4, а, это приводит к быст-
рым с небольшим размахом осцилляциям φH от-
носительно условной медленно осциллирующей
кривой. При увеличении радиуса отверстия, когда
2 4,kc > на фоне частых осцилляций φH наблю-
дается плавное увеличение излучения поля диполя в
открытое полупространство. Кривые на рис. 4, б, в
иллюстрируют эффект существенного роста φH
(соответственно в 3.6 и 25 раз) при частичном пе-
рекрытии круглого отверстия диском, который до-
стигается путем увеличения параметра 1kc при фик-
сированном 2.kc Этот эффект можно использовать
при разработке датчиков для дистанционного конт-
роля размеров деталей в виде дисков.
Если принять γ π 2,> то с помощью рассмат-
риваемой структуры Q можно моделировать из-
лучение поля из круглого отверстия полой сферы
в присоединенный к ней бесконечный конический
рупор (см. рис. 5). Для анализа излучения необ-
ходимые характеристики рассчитывались с ис-
пользованием системы уравнений
1 1 1
2 22 2 22 2 2( ) ,X A A A X A B X A F− − −= − − +
полученной из БСЛАУ (9) при 1 0.kc = При этом
край среза вершины конуса углублен в сферичес-
кий объем 2( ).c c<
С помощью этой модели было исследовано поле
излучения в конический рупор при возбуждении в
сферическом объеме резонансных колебаний,
соответствующих как сферическому, так и сфе-
роконическому закрытым резонаторам.
На рис. 5, а показана зависимость φH -компо-
ненты поля на боковой поверхности рупора как функ-
ция параметра 2.kc Кривые 1 и 2, приведенные
на этом рисунке, вычислялись при фиксированных
значения параметра ,kc соответствующих резонан-
сным значениям этого параметра для закрытых
сфероконического и сферического резонаторов.
Кривая 1 соответствует резонансному
1ν 01E -, а кри-
вая 2 резонансному 102E -колебанию. Поведение кри-
Рис. 4. Зависимость φH -компоненты поля на поверхности конуса с γ 91= ° в зоне излучения от параметра 2kc при
фиксированном значении 1 0.1kc = (а) и от параметра 1kc при фиксированных значениях 2 4.36kc = (б) и 2 5.8kc = (в)
94 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 1, 2013
Д. Б. Куриляк, О. Б. Трищук
вых на рис. 5, а свидетельствует о возможности
существенного увеличения интенсивности излуче-
ния в конический рупор, когда его край проникает в
сферический резонатор. Этот эффект наблюдается
Рис. 5. Поведение поля излучения в конический рупор: а –
зависимость φ (γ 0)H + -компоненты поля от параметра 2kc
при возбуждении резонансных
1ν 01E -колебания (кривая 1 –
4.7532,kc = 0 4.7)kr = и 102E -колебания (кривая 2 –
6.1170,kc = 0 6);kr = б – диаграммы направленности при
возбуждении резонансных колебаний
1ν 01E -типа (кривая 1 –
4.7532,kc = 2 2.77)kc = и 102E -типа (кривая 2 –
6.1170,kc = 2 3.81)kc =
как при возбуждении резонансного
1ν 01E -колебания,
когда 2 1.72c c = (кривая 1), так и при возбуждения
резонансного 102E -колебания, когда 2 1.61c c =
(кривая 2). На рис. 5, б приведены соответствую-
щие диаграммы направленности. Кривая 1 на этом
рисунке получена для случая возбуждения резо-
нансного
1ν 01E -колебания закрытого сфероконичес-
кого объема, а кривая 2 – для случая возбуждения
близкого по частоте резонансного 102E -колебания
закрытого сферического резонатора.
5. Çàêëþ÷åíèå
На основе метода рядов и метода аналитической
регуляризации получено строгое решение задачи
об излучения осесимметричной ТМ-волны из коль-
цевой щели сфероконического резонатора в про-
странство, ограниченное полубесконечной кони-
ческой границей. Путем численного анализа ус-
тановлена возможность эффективного излучения
ν 0m nE -типов волн из кольцевой щели сферокони-
ческого объема. Показано, что такие параметры,
как ширина щели, ее расстояние от вершины ко-
нуса, а также тип возбуждаемой в резонансном
объеме волны, позволяют эффективно регулиро-
вать интенсивность излучения и формировать раз-
личные диаграммы направленности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
01. Кухарчик П. Д., Сердюк В. М., Титовицкий И. А. Расчет
электромагнитных полей объемных резонаторов с уче-
том потока энергии через щели // ЖТФ. – 2007. – Т. 77,
№ 4. – С. 83–91.
02. Баранник А. А., Прокопенко Ю. В., Филиппов Ю. Ф.,
Черпак Н. Т. Влияние ограниченности торцевых экра-
нов на частотный спектр колебаний в цилиндрических
квазиоптических диэлектрических резонаторах // Пись-
ма в ЖТФ. – 2003. – Т. 29, вып. 13. – С. 31–35.
03. Баранник А. А., Буняев С. А., Черпак Н. Т. Конический
квазиоптический резонатор // Письма в ЖТФ. – 2005. –
Т. 31, вып. 19. – С. 1–5.
04. Голубничая Г. В., Кириченко А. Я., Максимчук И. Г.
Разрежение спектра колебаний шепчущей галереи
Н-типа полусферического диэлектрического резонато-
ра // Письма в ЖТФ. – 2005. – Т. 31, вып. 15. – С. 36–44.
05. Куриляк Д. Б., Назарчук З. Т. Аналітико-числові методи
в теорії дифракції хвиль. – Київ: Наук. думка, 2006. –
280 с.
06. Ильченко М. Е., Трубин А. А. Теория диэлектрических
резонаторов. – Київ: Либідь, 1993. – 214 с.
07. Vinogradov S. S., Smith P. D., and Vinogradova E. D.
Canonical problems in scattering and potential theory.
Part II: Acoustic and Electromagnetic Diffraction by Ca-
nonical Structures. – Boca Raton: Chapman & Hall/CRC,
2002. – 520 p.
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 1, 2013 95
Излучение TM-волн из азимутальной щели сфероконического резонатора
08. Попков А. Ю., Поединчук А. Е., Кузьмичев И. К. Объем-
ные резонаторы в виде тел вращения сложной формы:
численный алгоритм расчета спектра // Радиофизика
и электроника. – 2008. – Т. 13, № 3. – С. 473–480.
09. Лавров Ю. А., Лукьянов В. Д. О частотах свободных
колебаний усеченного шарового сектора, покрытого
тонкой упругой сферической оболочкой// Записки науч-
ных семинаров ПОМИ. – 2002. – Т. 285. – С. 124–134.
10. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений. – М.: Физматлит, 1963. –
1100 с.
11. Куриляк Д. Б. Сумматорные уравнения с присоединен-
ными функциями Лежандра на границе конических
и сферической областей и их применение в скалярных
задачах теории дифракции // Доп. НАН України. –
2000. – № 10. – С. 70–78.
12. Kuryliak D. B. and Nazarchuk Z. T. Convolution type
operators for wave diffraction by conical structures //
Radio Sci. – 2008. – Vol. 43, Is. 4. – RS4S03, doi:
10.1029/2007RS003792.
Д. Б. Куриляк, О. Б. Тріщук
Фізико-механічний інститут ім. Г. В. Карпенка
НАН України,
вул. Наукова, 5, м. Львів, 79061, Україна
ВИПРОМІНЮВАННЯ ТМ-ХВИЛЬ З АЗИМУТАЛЬНОЇ
ЩІЛИНИ СФЕРОКОНІЧНОГО РЕЗОНАТОРА
Розв’язано задачу про випромінювання осесиметричних
ТМ-хвиль через кільцеву щілину на боковій поверхні сфе-
роконічного резонатора. Резонатор сформовано з ідеально
провідного напівнескінченного конуса з щілиною, у якому
один з секторів закритий ідеально провідною сферичною
перегородкою. Для розв’язку задачі використовується ме-
тод частинних підобластей і метод аналітичної регуляризації.
Задачу зведено до нескінченної системи лінійних алгебраїч-
них рівнянь другого роду, які допускають розв’язок із за-
даною точністю. Встановлено закономірності випромінюван-
ня резонансних мод через щілину сфероконічного резонато-
ра в залежності від геометричних параметрів резонатора
і щілини, а також знайдено особливості формування діаграм
спрямованості.
D. B. Kuryliak and O. B. Trishchuk
Karpenko Physico-Mechanical Institute, National Academy
of Sciences of Ukraine,
5, Naukova St., Lviv, 79061, Ukraine
TM-WAVES RADIATION FROM THE AZIMUTAL SLOT
IN THE SPHERE-CONICAL RESONATOR
The problem of radiation of axial symmetric TM waves by sphere-
conical resonator with ring slot in the lateral surface is solved.
The resonator is formed of a semi perfectly conducting cone
with a slot, in which one of the sectors is closed by a perfectly
conducting spherical wall. The method of partial regions and
the method of analytical regularization are applied to solve the
problem. The problem is reduced to an infinite system of linear
algebraic equations of second kind, allowing the solution to a
given accuracy. The laws of the resonance modes radiation through
the slot of the sphere-conical resonator are determined depen-
ding on the geometrical parameters of the cavity and slot, as well
as the features of pattern formation clarified.
Статья поступила в редакцию 29.12.2012
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100093 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-9636 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:51:54Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Радіоастрономічний інститут НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Куриляк, Д.Б. Трищук, О.Б. 2016-05-15T20:00:04Z 2016-05-15T20:00:04Z 2013 Излучение ТМ-волн из азимутальной щели сфероконического резонатора / Д.Б. Куриляк, О.Б. Трищук // Радиофизика и радиоастрономия. — 2013. — Т. 18, № 1. — С. 87-95. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1027-9636 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100093 538.566 Решена задача об излучении осесимметричных ТМ-волн через кольцевую щель в боковой поверхности сфероконического резонатора. Резонатор сформирован из идеально проводящего полубесконечного конуса со щелью, в котором один из секторов закрыт идеально проводящей сферической перегородкой. Для решения задачи используется метод частичных областей и метод аналитической регуляризации. Задача сведена к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений второго рода, допускающих решение с заданной точностью. Установлены закономерности излучения резонансных мод через щель сфероконического резонатора в зависимости от геометрических параметров резонатора и щели, а также выяснены особенности формирования диаграмм направленности. Розв’язано задачу про випромінювання осесиметричних ТМ-хвиль через кільцеву щілину на боковій поверхні сфероконічного резонатора. Резонатор сформовано з ідеально провідного напівнескінченного конуса з щілиною, у якому один з секторів закритий ідеально провідною сферичною перегородкою. Для розв’язку задачі використовується метод частинних підобластей і метод аналітичної регуляризації. Задачу зведено до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь другого роду, які допускають розв’язок із заданою точністю. Встановлено закономірності випромінювання резонансних мод через щілину сфероконічного резонатора в залежності від геометричних параметрів резонатора і щілини, а також знайдено особливості формування діаграм спрямованості. The problem of radiation of axial symmetric TM waves by sphereconical resonator with ring slot in the lateral surface is solved. The resonator is formed of a semi perfectly conducting cone with a slot, in which one of the sectors is closed by a perfectly conducting spherical wall. The method of partial regions and the method of analytical regularization are applied to solve the problem. The problem is reduced to an infinite system of linear algebraic equations of second kind, allowing the solution to a given accuracy. The laws of the resonance modes radiation through the slot of the sphere-conical resonator are determined depending on the geometrical parameters of the cavity and slot, as well as the features of pattern formation clarified. ru Радіоастрономічний інститут НАН України Радиофизика и радиоастрономия Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн Излучение ТМ-волн из азимутальной щели сфероконического резонатора Випромінювання ТМ-хвиль з азимутальної щілини сфероконічного резонатора TM-Waves Radiation from the Azimutal Slot in the Sphere-Conical Resonator Article published earlier |
| spellingShingle | Излучение ТМ-волн из азимутальной щели сфероконического резонатора Куриляк, Д.Б. Трищук, О.Б. Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн |
| title | Излучение ТМ-волн из азимутальной щели сфероконического резонатора |
| title_alt | Випромінювання ТМ-хвиль з азимутальної щілини сфероконічного резонатора TM-Waves Radiation from the Azimutal Slot in the Sphere-Conical Resonator |
| title_full | Излучение ТМ-волн из азимутальной щели сфероконического резонатора |
| title_fullStr | Излучение ТМ-волн из азимутальной щели сфероконического резонатора |
| title_full_unstemmed | Излучение ТМ-волн из азимутальной щели сфероконического резонатора |
| title_short | Излучение ТМ-волн из азимутальной щели сфероконического резонатора |
| title_sort | излучение тм-волн из азимутальной щели сфероконического резонатора |
| topic | Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн |
| topic_facet | Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100093 |
| work_keys_str_mv | AT kurilâkdb izlučenietmvolnizazimutalʹnoiŝelisferokoničeskogorezonatora AT triŝukob izlučenietmvolnizazimutalʹnoiŝelisferokoničeskogorezonatora AT kurilâkdb vipromínûvannâtmhvilʹzazimutalʹnoíŝílinisferokoníčnogorezonatora AT triŝukob vipromínûvannâtmhvilʹzazimutalʹnoíŝílinisferokoníčnogorezonatora AT kurilâkdb tmwavesradiationfromtheazimutalslotinthesphereconicalresonator AT triŝukob tmwavesradiationfromtheazimutalslotinthesphereconicalresonator |