Електромагнітне збудження біконеса, сформованого із непівнескінченної та скінченної зі зрізаною вершиною конічних поверхонь

Отримано розв’язок осесиметричної задачі дифракції електромагнітної хвилі на ідеально провідній біконічній поверхні з краями. В якості джерела випромінювання використано круговий виток магнітного струму. Задача розв’язана методом власних функцій підобластей із застосуванням процедури аналітичної рег...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автори:	Куриляк, Д.Б., Шарабура, О.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Радіоастрономічний інститут НАН України 2013
Назва видання:	Радиофизика и радиоастрономия
Теми:	Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100143
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Електромагнітне збудження біконеса, сформованого із непівнескінченної та скінченної зі зрізаною вершиною конічних поверхонь / Д.Б. Куриляк, О.М. Шарабура // Радиофизика и радиоастрономия. — 2013. — Т. 18, № 2. — С. 138-146. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100143
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1001432025-02-09T21:56:34Z Електромагнітне збудження біконеса, сформованого із непівнескінченної та скінченної зі зрізаною вершиною конічних поверхонь Электромагнитное возбуждение биконуса, сформированного из полубесконечной и конечной со срезанной вершиной конических поверхностей Electromagnetic Excitation of Bicone Formed by Semi-Infinite and Finite Trancated Conical Surfaces Куриляк, Д.Б. Шарабура, О.М. Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн Отримано розв’язок осесиметричної задачі дифракції електромагнітної хвилі на ідеально провідній біконічній поверхні з краями. В якості джерела випромінювання використано круговий виток магнітного струму. Задача розв’язана методом власних функцій підобластей із застосуванням процедури аналітичної регуляризації. Для знаходження невідомих коефіцієнтів розкладу отримані нескінченні системи лінійних алгебраїчних рівнянь другого роду, які допускають редукцію за довільних значень параметрів задачі. Досліджено вплив довжини твірної конуса на формування діаграм спрямованості. В часткових випадках виконано порівняння з відомими результатами. Получено решение осесимметричной задачи дифракции электромагнитной волны на идеально проводящей биконической поверхности с краями. В качестве источника возбуждения использован круговой виток магнитного тока. Задача решена методом собственных функций подобластей с применением процедуры аналитической регуляризации. Для нахождения неизвестных коэффициентов разложения получены бесконечные системы линейных алгебраических уравнений второго рода, которые допускают редукцию при произвольных значениях параметров задачи. Исследовано влияние длины образующей конуса на формирование диаграмм направленности. Для частных случаев проведено сравнение с известными результатами. The problem of axial-symmetric electromagnetic wave diffraction by a perfectly conducting bi-conical surface with edges is solved rigorously using mode matching and analytical regularization techniques. The ring source of magnetic current is taken for electromagnetic waves excitation. To find the unknown expansion coefficients, the infinite systems of linear algebraic equation of second kind, which allow reduction for arbitrary parameters, are obtained. The effect of cone length influences for far field patterns formation is analyzed. Comparison with the known results is provided in particular cases. 2013 Article Електромагнітне збудження біконеса, сформованого із непівнескінченної та скінченної зі зрізаною вершиною конічних поверхонь / Д.Б. Куриляк, О.М. Шарабура // Радиофизика и радиоастрономия. — 2013. — Т. 18, № 2. — С. 138-146. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1027-9636 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100143 538.566 uk Радиофизика и радиоастрономия application/pdf Радіоастрономічний інститут НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн
spellingShingle	Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн Куриляк, Д.Б. Шарабура, О.М. Електромагнітне збудження біконеса, сформованого із непівнескінченної та скінченної зі зрізаною вершиною конічних поверхонь Радиофизика и радиоастрономия
description	Отримано розв’язок осесиметричної задачі дифракції електромагнітної хвилі на ідеально провідній біконічній поверхні з краями. В якості джерела випромінювання використано круговий виток магнітного струму. Задача розв’язана методом власних функцій підобластей із застосуванням процедури аналітичної регуляризації. Для знаходження невідомих коефіцієнтів розкладу отримані нескінченні системи лінійних алгебраїчних рівнянь другого роду, які допускають редукцію за довільних значень параметрів задачі. Досліджено вплив довжини твірної конуса на формування діаграм спрямованості. В часткових випадках виконано порівняння з відомими результатами.
format	Article
author	Куриляк, Д.Б. Шарабура, О.М.
author_facet	Куриляк, Д.Б. Шарабура, О.М.
author_sort	Куриляк, Д.Б.
title	Електромагнітне збудження біконеса, сформованого із непівнескінченної та скінченної зі зрізаною вершиною конічних поверхонь
title_short	Електромагнітне збудження біконеса, сформованого із непівнескінченної та скінченної зі зрізаною вершиною конічних поверхонь
title_full	Електромагнітне збудження біконеса, сформованого із непівнескінченної та скінченної зі зрізаною вершиною конічних поверхонь
title_fullStr	Електромагнітне збудження біконеса, сформованого із непівнескінченної та скінченної зі зрізаною вершиною конічних поверхонь
title_full_unstemmed	Електромагнітне збудження біконеса, сформованого із непівнескінченної та скінченної зі зрізаною вершиною конічних поверхонь
title_sort	електромагнітне збудження біконеса, сформованого із непівнескінченної та скінченної зі зрізаною вершиною конічних поверхонь
publisher	Радіоастрономічний інститут НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100143
citation_txt	Електромагнітне збудження біконеса, сформованого із непівнескінченної та скінченної зі зрізаною вершиною конічних поверхонь / Д.Б. Куриляк, О.М. Шарабура // Радиофизика и радиоастрономия. — 2013. — Т. 18, № 2. — С. 138-146. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
series	Радиофизика и радиоастрономия
work_keys_str_mv	AT kurilâkdb elektromagnítnezbudžennâbíkonesasformovanogoíznepívneskínčennoítaskínčennoízízrízanoûveršinoûkoníčnihpoverhonʹ AT šaraburaom elektromagnítnezbudžennâbíkonesasformovanogoíznepívneskínčennoítaskínčennoízízrízanoûveršinoûkoníčnihpoverhonʹ AT kurilâkdb élektromagnitnoevozbuždeniebikonusasformirovannogoizpolubeskonečnoiikonečnoisosrezannoiveršinoikoničeskihpoverhnostei AT šaraburaom élektromagnitnoevozbuždeniebikonusasformirovannogoizpolubeskonečnoiikonečnoisosrezannoiveršinoikoničeskihpoverhnostei AT kurilâkdb electromagneticexcitationofbiconeformedbysemiinfiniteandfinitetrancatedconicalsurfaces AT šaraburaom electromagneticexcitationofbiconeformedbysemiinfiniteandfinitetrancatedconicalsurfaces
first_indexed	2025-12-01T04:34:12Z
last_indexed	2025-12-01T04:34:12Z
_version_	1850279100292268032
fulltext	ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 2, 2013138 Радиофизика и радиоастрономия. 2013, Т. 18, № 2, c. 138–146 © Д. Б. Куриляк, О. М. Шарабура, 2013 ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈÅ, ÄÈÔÐÀÊÖÈß È ÐÀÑÑÅßÍÈÅ ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÛÕ ÂÎËÍ Д. Б. КУРИЛЯК, О. М. ШАРАБУРА Фізико-механічний інститут ім. Г. В. Карпенка НАН України, вул. Наукова, 5, м. Львів, 79060, Україна E-mail: shom@ipm.lviv.ua ÅËÅÊÒÐÎÌÀÃÍ²ÒÍÅ ÇÁÓÄÆÅÍÍß Á²ÊÎÍÓÑÀ, ÑÔÎÐÌÎÂÀÍÎÃÎ ²Ç ÍÀÏ²ÂÍÅÑÊ²Í×ÅÍÍÎ¯ ÒÀ ÑÊ²Í×ÅÍÍÎ¯ Ç² ÇÐ²ÇÀÍÎÞ ÂÅÐØÈÍÎÞ ÊÎÍ²×ÍÈÕ ÏÎÂÅÐÕÎÍÜ Отримано розв’язок осесиметричної задачі дифракції електромагнітної хвилі на ідеально провідній біконічній поверхні з краями. В якості джерела випромінювання використано круговий виток магнітного струму. Задача розв’язана методом власних функцій підобластей із застосуванням процедури аналітичної регуляризації. Для знаходження невідо- мих коефіцієнтів розкладу отримані нескінченні системи лінійних алгебраїчних рівнянь другого роду, які допускають редукцію за довільних значень параметрів задачі. Досліджено вплив довжини твірної конуса на формування діаграм спрямованості. В часткових випадках виконано порівняння з відомими результатами. Ключові слова: дифракція на біконусі, широкосмугові антени, метод розкладу за власними функціями, суматорні рівнян- ня, аналітична регуляризація УДК 538.566 1. Âñòóï Біконічні структури з краями знаходять широке використання в антенній техніці завдяки їх широко- смуговим властивостям. Для теоретичного дослі- дження розсіювальних властивостей таких струк- тур переважно використовують ідеально електроп- ровідні моделі, а їх електродинамічний аналіз вико- нують методом розкладу полів за власними функ- ціями підобластей. Беручи до уваги властивість ор- тогональності власних функцій та граничні умови, дифракційні задачі зводять до нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь (НСЛАР) відносно невідомих коефіцієнтів розкладу. Отримані у такий спосіб НСЛАР розв’язують наближено, обмежуючись скінченною кількістю мод. Такий підхід до аналізу біконічних розсіювачів базується на працях [1, 2] і широко використовувався як у ранніх публікаціях, огляд яких наведено в [3, 4], так і у сучасних, наприклад [5]. Основною його пере- вагою є те, що у розв’язанні дифракційних задач максимально повно враховується форма розсіювача. Проте такі розв’язки є формальними, оскільки, че- рез сингулярність компонент поля на краях, не вдається обґрунтувати правила редукції НСЛАР. У даній статті для розв’язання цієї проблеми вико- ристано метод аналітичної регуляризації, який був за- пропонований раніше [6, 7] і дозволяє обґрунтувати правила редукції для довільних параметрів задачі. 2. Ïîñòàíîâêà çàäà÷³ Нехай у сферичній системі координат ( , θ, φ)r задано біконус, сформований ідеально провідни- ми конічними поверхнями – напівнескінченною та скінченною зі зрізаною вершиною: 1 2 ,Q Q Q= ∪ (1) де { }1 1: (0, ), θ γ ; φ [0,2π) ,Q r∈ ∞ = ∈ { }2 1 2 2: ( , ), θ γ ; φ [0,2π) ,Q r a a∈ = ∈ 2 1γ γ ,> 1γ 2≠ π (див. рис. 1). Нехай біконус Q збуджується витком магніт- ного струму, густину якого задано у вигляді ( ) φ 0 0 0 0( ,θ) δ( )δ(θ θ ) ( sinθ ).mJ r I r r r= − − (2) Тут ( ) φ mI – магнітний струм, δ(...) – дельта-функція Дірака, 0 0( ,θ )r – координати джерела, 1 0 2.a r a< < ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 2, 2013 139 Електромагнітне збудження біконуса, сформованого із напівнескінченної та скінченної зі зрізаною вершиною... Залежність від часу задається множником ,i te− ω який надалі опускаємо. Осесиметричне електромагнітне поле, збуджува- не джерелом (2), має відмінні від нуля компоненти θ φ, , ,rE E H а його електричні складові виражають- ся через магнітну за допомогою співвідношень: φ 1 1 (sinθ ), ωε sinθ θrE H i r ∂= − ∂ (3) θ φ 1 1 ( ). ωε E rH i r r ∂= ∂ Тут ε – діелектрична проникність середовища. Враховуючи (3), задачу дифракції поля кільцево- го струму (2) на біконусі (1) зводимо до розв’язку крайової задачі для рівняння Гельмгольца 2 φ φ φ φ 2 2 2 2 2 1 sinθ θ θsinθ sin θ H H H H r rr r r ∂ ∂ ∂⎛ ⎞∂+ + − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂∂ ⎝ ⎠ 2 φ 0k H+ = з граничною умовою φ φ ,θ 1 1 sinθ( ) 0, ωε sinθ θ i r Q H H i r ∈ ∂ ⎡ ⎤+ =⎣ ⎦∂ умовою випромінювання на нескінченності у формі Сільвера–Мюллера 1lim 0rr r i H Z E− →∞ ⎡ ⎤× + =⎣ ⎦ та умовою обмеженості енергії електромагнітно- го поля у будь якому скінченному об’ємі ( )2 2ε\| \| μ\| \| d . V E H v+ < ∞∫ Тут φ ( ,θ)H r – невідома магнітна компонента дифрагованого поля; k – хвильове число, k = i ω εμ ,k k′ ′′+ = , 0,k k′ ′′ > 1,i = − μ – магнітна проникність середовища; μ εZ = – хвильовий опір середовища; φ ( ,θ)iH r – магнітна компонента поля джерела (2) в нескінченній біконічній області. 3. Cóìàòîðí³ ð³âíÿííÿ Для розв’язання крайової задачі виділимо під- області, сформовані біконусом Q: { }1 1 1: [0, ), θ (γ ,π]; φ [0,2π) ,D r a∈ ∈ ∈ { }2 1 2 2: ( , ), θ (γ ,π]; φ [0,2π) ,D r a a∈ ∈ ∈ (4) { }3 1 2 1 2: ( , ), θ (γ ,γ ); φ [0,2π) ,D r a a∈ ∈ ∈ { }4 2 1: ( , ), θ (γ ,π]; φ [0,2π) .D r a∈ ∞ ∈ ∈ У кожній з областей (4) магнітну компоненту повного поля подамо рядами власних функцій у вигляді: z(1;1) 1/ 2 1 z 1 1 μ 1/ 2 1 μ μ(2;1) (2;2) μ 1 μ 2 2 φ φ ν 1/ 2 1 ν(3;1) ν (ρ)ωε ( cosθ) , θ (ρ )ρ ( ,θ) ; ωε ( cosθ) θρ (ρ) (ρ) , (ρ ) (ρ ) ( ,θ) ; (ρ,θ) ωε(ρ,θ) (cosθ) ρ (ρ) n n n n n n n n n n n z n n n n t i n n Ii x P I r D i P K I x x K I r D H iH K x K ∞ − = ∞ − = ∞ − = ∂ − ∂ ∈ ∂ − × ∂ ⎡ ⎤ × +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∈ = + Ψ × × ∑ ∑ ∑ ν(3;2) 1 ν 2 3 z(4;1) z 1/ 2 1 z 2 4 (ρ) , (ρ ) (ρ ) ( ,θ) ; (ρ)ωε ( cosθ) , θ (ρ )ρ ( ,θ) . n n n n n n n n n I x I r D Ki x P K r D ∞ − = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡ ⎤ ⎪ +⎢ ⎥ ⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ∈⎪ ⎪ ∂⎪ − ⎪ ∂ ⎪ ∈⎪⎩ ∑ Рис. 1. Геометрична схема задачі (5) 140 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 2, 2013 Д. Б. Куриляк, О. М. Шарабура Тут (1;1) ,nx (2;1) ,nx (2;2) ,nx (3;1) ,nx (3;2) ,nx (4;1) nx – не- відомі коефіцієнти розкладу; (ρ),vI (ρ)vK – відпо- відно модифікована функція Бесселя та функція Макдональда; ρ ,sr= 1 1ρ ,sa= 2 2ρ ,sa= ;s ik= − 1/ 2 ( cosθ)vP − − – функція Лежандра, обмежена в кутовій області 1γ θ π;≤ ≤ 1/ 2 1/ 2 1 , 1, sinθ(cosθ) [ (cosθ)], 1, θ n n v v n R n − − ⎧ =⎪⎪Ψ = ⎨ ∂⎪ >⎪∂⎩ де 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1(cosθ) (cosθ) ( cos γ ) n n nv v vR P P− − −= − − ν 1/ 2 1/ 2 1( cosθ) (cos γ ); n nvP P− −− − { } 1 ,n nz ∞ = { } 1μ ,n n ∞ = { } 1n n ∞ >ν 1( 1 2, 1 2)n nν ≠ + ν = − зростаючі послідовності додатніх коренів транс- цендентних рівнянь: 1 2 1( cos γ ) 0, nzP − − = μ 1 2 2( cos γ ) 0, n P − − = (6) 1 2 2(cos γ ) 0. nvR − = Магнітну компоненту поля джерела φ (ρ,θ)iH подаємо у такий спосіб (див. додаток): φ(ρ,θ)iH = ν ν 0 0 ν 1/ 2 1 ν ν 0 00 (ρ) (ρ ), ;ωε (cosθ) (ρ) (ρ ), .ρρ j j j j j j j K I r ri B I K r r ∞ − = ≥⎧⎪= Ψ ⎨ ≤⎪⎩ ∑ ф 1 1 2 2 2 1 2 2 2 γ γln ctg tg , 1; 2 2 21 sin γ 0.25 ( ,cos γ ) ( ,cos γ ) , 1. γ j j j j v b v R v R v j v − − ⎧⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ =⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎪ ⎪= ×⎨ −⎪ ⎪ ⎡ ⎤∂ ∂⎪× >⎢ ⎥⎪ ∂ ∂⎣ ⎦⎩ Рівняння для визначення невідомих коефіцієн- тів розкладу в (5) отримуємо з умови спряження полів на поверхнях сферичних секторів 1(2)ρ ρ= і 1γ θ π,≤ ≤ які записуємо у вигляді ( ) ( ) 1(4) 1 2 2 3 1 2 2 21(4) 31 1 2 φ 1(2) γ θ π φ 1(2) γ θ π φ 1(2) φ 1(2) γ θ γ θ 1(2) γ θ π θ 1(2) γ θ π θ 1(2) θ 1(2) γ θ γ (ρ ,θ) (ρ ,θ) , (ρ ,θ)+ (ρ ,θ) , (7) (ρ ,θ) , (ρ ,θ) (ρ ,θ)+ (ρ ,θ) . D D D i D D D i H H H H E E E E < < < < < < < < < < < < = ⎧ ⎪= ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪= ⎨ ⎪ ⎩ Тут φ (ρ,θ),pDH θ (ρ,θ)pDE ( 1, 2, 3, 4)p = – компо- ненти повного поля в областях 1,D 2,D 4D та дифрагованого поля в області 3.D Враховуючи подання магнітної компоненти поля (5), а також співвідношення (3), із умов (7) прихо- димо до чотирьох систем суматорних рівнянь. Дві з них, які отримуємо при спряженні полів на сфе- ричному сегменті 1ρ ρ= і 1γ θ π,< ≤ запишемо так 1 (1;1) 1 1 2 1 θ [γ ,π] ( cosθ) nn z n x P ∞ − = ∈ − =∑ 2 1 2 μ 11 (2;1) (2;2) μ 1 2 1 μ 2 θ (γ ,π] ν 1(3;1) (3;2) ν 1 2 1 ν 2 (1) ν 1 2 1 θ [γ ,γ ) (ρ ) ( cosθ) , (ρ ) (ρ ) (cosθ) (8) (ρ ) (cosθ) , n n n n n n n n n n n n n n n I P x x I I x x I B ∞ − = ∈ ∞ − = ∞ − = ∈ ⎧ ⎡ ⎤ ⎪ − +⎢ ⎥ ⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎡ ⎤⎡⎪= − Ψ + +⎢ ⎥⎨ ⎢ ⎣ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦ ⎪ ⎤⎪+ Ψ ⎥⎪ ⎦⎪⎩ ∑ ∑ ∑ 1 z 1(1;1) 1 z 1/ 2 1 z 1 θ [γ ,π] (ρ ) ( cosθ) (ρ ) n n n n n I x P I ∞ − = ∈ ′ − =∑ 2 1 μ 1/ 2 1 μ 1 μ 1(2;1) (2;2) μ 1 μ 2 θ (γ ,π] ν 1(3;1) (3;2) ν 1/ 2 1 ν 1 ν 1 ν 1(1) ν 1/ 2 1ν 2 ν 1 ( cosθ) (ρ ) (ρ ) , (ρ ) (ρ ) (ρ ) (cosθ) (ρ ) (ρ ) (ρ ) (cosθ) (ρ ) (ρ ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n P K I x x K I K x x K I I B I I ∞ − = ∈ ∞ − = − = − × ⎡ ⎤′ ′ × +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ = ⎡ ⎡ ′ − Ψ + ×⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣⎣ ⎤′ ′ × + Ψ⎥ ⎥⎦ ∑ ∑ 1 2θ [γ ,γ ) , ∞ ∈ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎤⎪ ⎥⎪ ⎥⎦⎪⎩ ∑ (9) ( ) 3 0 0 0 φ 1 2 0Тут (ρ,θ) ; ρ ; ρ (cosθ ), j m j jD sr B b I ν −∈ = = − Ψ ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 2, 2013 141 Електромагнітне збудження біконуса, сформованого із напівнескінченної та скінченної зі зрізаною вершиною... де 1, ;j = ∞ μ ρ μ μ[ ,φ ] (ρ)φ (ρ) (ρ)φ (ρ).a a aW f f f′ ′= − Аналогічно отримаємо систему рівнянь із умо- ви спряження полів на сферичному сегменті 2ρ ρ ,= 1γ θ π.< < Остаточно отримані НСЛАР запишемо у матричному вигляді: 11 12 1 21 22 2 , . A X A Y F A X A Y F + =⎧ ⎨ + =⎩ (12) Тут 1{ } ,n nX x ∞ == (1;1) 2( ,γ ) ;n n nx q z x= 1{ } ,n nY y ∞ == (4;1) 2( ,γ ) ;n n ny q z x= { }( ) , 1 : ,pq pq jn j n A a ∞ = де , 1, 2,p q = – нескінченні матриці з елементами 11 ξ z ρ(11) ξ 1 z 1 ρ [ ] , (ρ ) (ρ ) j n j n jn jn W K I a K I = Δ 22 z ξ ρ(12) z 2 ξ 1 ρ [ ] , (ρ ) (ρ ) n j n j jn jn W K K a K K = Δ (13) 11 ξ z ρ(21) ξ 2 z 1 ρ [ ] , (ρ ) (ρ ) j n j n jn jn W I I a I I = Δ 22 z ξ ρ(22) z 2 ξ 2 ρ [ ] , (ρ ) (ρ ) n j n j jn jn W K I a K I = Δ 2 2ξ ,jn j nzΔ = − 1 1 1{ξ } :{ } {μ }j j j j j jv∞ ∞ ∞ = = =∪ – зростаю- ча послідовність; { }(1)1 1j j F f ∞ = = та { }(2) 2 1j j F f ∞ = = – відомі вектори з елементами (1) (1) 1 2 ξ 1 ξ 1 , ξ { }; (γ ,γ ) (ρ ) (ρ ) 0, ξ { }; j j j j p jj j p B K If ⎧ − ∈ ν⎪⎪ α= ⎨ ⎪ ∉ ν⎪⎩ (2) (2) 1 2 ξ 2 ξ 2 , ξ { }; (γ ,γ ) (ρ ) (ρ ) 0, ξ { }; j j j j p jj j p B I Kf ⎧ ∈ ν⎪⎪α= ⎨ ⎪ ∉ ν⎪⎩ де (2) ( ) 0 φ ν 1/ 2 0 ν 0 ν 2ρ (cosθ ) (ρ ) (ρ ). n n n m n nB b I I K−= − Ψ 4. Àíàë³òè÷íà ðåãóëÿðèçàö³ÿ Для елементів матричних операторів (13) справед- ливі асимптотичні співвідношення [7, 8]: де (1) ( ) 0 φ ν 1/ 2 0 ν 1 ν 0ρ (cosθ ) (ρ ) (ρ ). n n n m n nB b I I K−= − Ψ 1 1 2 1 2Тут прийнято ( cosθ) θ ( cosθ) .P Pν− ν−⎡ ⎤± = ±∂ ∂ ±⎣ ⎦ Для зведення суматорних рівнянь (8), (9) до НСЛАР використано формули перерозкладу функцій Лежандра з дробовими індексами [7] 1 2 1 2 2 2 2 1 (γ ,γ ) ( cosθ) ( ,γ ) θ n j z n j j n P q z v z ∞ − = α∂ − = × ∂ −∑ 1 2 (cosθ), jv −×Ψ (10) 2 1 2 2 2 2 1 μ (μ ,γ ) ( cosθ) ( ,γ ) θ μn j j z n j j n P q z z −∞ − = α∂ − = × ∂ −∑ 1 μ 1 2 ( cosθ). j P −× − (11) Тут 2 2 1 2 2( ,γ ) ( 0.25) ( cosγ ), nn n zq z z P −= − − 1 1 2 1 2 1 1 2 22 γ γln ctg tg , 1, 2 2 (γ ,γ ) 2 (cos γ ) , 1, 0.25 j j j v j j v R j vv − − − ⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞− =⎪ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎣ ⎦α = ⎨ ∂⎡ ⎤⎪− >⎢ ⎥⎪ ∂− ⎣ ⎦⎩ 1 2 2 μ 1 2 2(μ ,γ ) 2 (μ 0.25) ( cos γ ) . μ jj j P − − − ⎡ ⎤∂α = − − −⎢ ⎥∂⎣ ⎦ Підставимо формули (10), (11) у ліві частини суматорних рівнянь (8), (9) і прирівняємо члени з однаковими функціями Лежандра. Виключаючи з отриманих співвідношень невідомі (2;1) ,jx (2;2) ,jx (3;1) ,jx (3;2) ,jx отримуємо таку систему рівнянь: 1 2 1 2 1 μ z ρ(1;1)2 2 2 1 μ 1 1 2 μ ρ(4;1) μ 1 2 1 ν ρ(1;1)2 2 2 1 1 ν 1 2 ν ρ(4;1) 2 1 ρ [ ]( ,γ ) (ρ ) (ρ )μ ρ [ ] 0, (ρ ) (ρ ) ρ [ ]( ,γ ) (ρ ) (ρ ) ρ [ ] (ρ ) (ρ ) j n j n j n j n j n n j j n n j n n n zj n z n z zn n n zj n z n z W K Iq z x K Iz W K K x K K W K Iq z x I Kz W K K x K K ∞ = ∞ = ν ⎡ ⎢ − − ⎢⎣ ⎤ ⎥− = ⎥⎦ ⎡ ⎢ − ν − ⎢⎣ ⎤ ⎥− = ⎥⎦ ∑ ∑ (1) 1 2 ν 1 ν 1 , (γ ,γ ) (ρ ) (ρ ) j j j j B I K ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −⎪ α⎪⎩ 142 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 2, 2013 Д. Б. Куриляк, О. М. Шарабура 11 ξ z ρ(11) ,z 1 ξ 1 ρ [ ] 1 (ρ ) (ρ ) ξ j n n j jn j njn j n W K I a I K z→∞ = = + Δ − 1 , ξ (ξ )j n j n O z z ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ 22 ξ ρ(22) ,ξ 2 2 ρ [ ] 1 (ρ ) (ρ ) ξ n j j n z jn j njn z j n W K I a I K z→∞ = = + Δ − (14) 1 , ξ (ξ )j n j n O z z ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ξ (12) (21) 1 2 , ( ), . ξ j jn jn j n j n a aa a O z→∞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ Враховуючи вирази (14), виділимо в діагональ- них матрицях (12), (13) основні члени асимптотик і введемо до розгляду матричний оператор 1 , 1 : (ξ ) .jm j m j m A a z ∞− = = − Зауважимо, що асимптотики коренів рівнянь (6) для n→∞ мають вигляд 1 π ( 1 4) (1 ), π γnz n O n= − + − 2 1 π (1 ), γ γn nv O n= + − (15) 2 πμ ( 1 4) (1 ). π γn n O n= − + − Беручи до уваги той факт, що основні члени асимптотик (15) лінійно залежать від індексів, сформуємо обернений оператор за правилом [7]: { } [ ] 1 1 1 , 1 : τ [ (ξ )] ( ) ( ξ ) .nj j n n j n j A M M z z ∞− − − − − = ⎧ ⎫′ ′= −⎨ ⎬ ⎩ ⎭ (16) Тут { } 11[ (ξ )] (ξ ) ,j jM M v −− − − ∂′ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦∂ [ ]( ) ( ) ,n nM z M z v− − ∂′ = ∂ де (ν)M − – відома функція, що має прості полюси і нулі відповідно у точках ξ j і nz ( , 1, 2, 3, ...),j n = яку запишемо у вигляді 1(π γ ) ( π)χ 1 2 1 ( ) 2 (γ ,γ ) (1 ) v kv k k M v A e v z e ∞ − − − = = − ×∏ ( ) 2 1(γ γ ) ( π) 1 1 2 (1 ) v k k k v v v e ∞ − − = ⎡ × − − ×⎢ ⎣ ∏ 2 1 (π γ ) ( π) 1 (1 μ ) ,v k k k v e −∞ − − = ⎤ × − ⎥ ⎦ ∏ {1 2 1 2 1 1 2 2(γ ,γ ) ( cos γ ) ( cos γ )A i P P− −⎡= − − ×⎣ 1 2 2 1 2 1(cos γ ) ( cos γ )P P− −⎡× − −⎣ } 1 21 1 2 2 1 2 1( cos γ ) (cos γ ) ,P P −− − − ⎤⎤− − ⎦⎦ χ = 2 2 1 1 2 1 2 1π γ π γ π γ π γ γ γ γ γln ln ln . π π π π π π − − − − − −= − + Пара матричних операторів A, 1A− задоволь- няє співвідношенню 1 1 ,A A AA I− −= = де I – одиничний оператор. Для матричних елементів оберненого операто- ра (16) справедлива асимптотична оцінка 1 2 1 2 , ξ τ . ξ j n nj j n n j z O z − →∞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ Оператори A, 1A− використаємо для регуляри- зації НСЛАР (12), представивши її у вигляді 1 1 1 11 12 1 1 1 1 22 21 2 ( ) , ( ) . X A A A X A A Y A F Y A A A Y A A X A F − − − − − − ⎧ − − + =⎪ ⎨ − − + =⎪⎩ (17) Єдиний розв’язок НСЛАР (17) існує у просторі послідовностей { }( ) : sup , lim 0, 0 1 2n nnn b X x x nσ →∞ σ = = ≤ σ < і може бути отриманий методом редукції для до- вільних параметрів задачі, за виключенням диск- ретних значень параметрів задачі, для яких виз- начник НСЛАР (17) перетворюється в нуль. ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 2, 2013 143 Електромагнітне збудження біконуса, сформованого із напівнескінченної та скінченної зі зрізаною вершиною... 5. Àíàë³ç ÷èñëîâèõ ðåçóëüòàò³â Систему рівнянь (17) використано для досліджен- ня діаграм спрямованості біконічного розсіювача Q, які розраховувалися за формулою i φ(θ) lim .kr r D rH e− →∞ = Розглянемо особливості формування полів, диф- рагованих на біконусі Q, коли кути розхилу плечей зв’язані співвідношенням 2 1γ π γ ,= − а магнітний струм (2) розміщено у біконічній області 3.D З’ясуємо вплив довжини скінченного плеча 2ka на форму діаграм спрямованості біконуса Q. Для спрощення виток магнітного струму (2) роз- містимо поблизу вершини біконуса 0( 0.2)kr = і в обчисленнях у полі джерела врахуємо лише найнижчу ТМ-моду. Поле випромінювання біконуса (1) є симетрич- ним відносно осі θ 0, π.= Тому на рис. 2 наведені нормовані діаграми спрямованості у кутовому діапазоні 1γ θ π.≤ ≤ Крім того, відсутнє випромі- нювання вздовж осі біконуса. Як бачимо із рис. 2, зростання параметра 2ka призводить до формування біконусом Q інтенсив- ного випромінювання у дві кутові області. Одна з них прилягає до напівнескінченної конічної поверхні 1,Q де максимум випромінювання спостерігаємо у напрямку 1θ γ ,= коли 2 1ka = та 23 5.ka≤ ≤ Друга область інтенсивного випромінювання утво- рюється в околі кута 2θ γ .= Положення локального екстремуму поля у цій області залежить від довжи- ни твірної конуса 2.Q Порівнюючи криві на рис. 2, спостерігаємо незначний зсув (не перевищує 15 )° максимумів пелюсток діаграм спрямованості зі зростанням параметра 2ka у межах 23 5.ka≤ ≤ Проте ця зміна параметра 2ka суттєво не впливає на форму діаграм спрямованості (виключенням є діаграма при 2 5,ka = на якій з’являється додат- кова пелюстка). Така поведінка розподілу поля в зоні випромінювання пояснюється проявом широ- космуговості біконічного розсіювача Q. На рис. 3 показано аналогічну залежність діаг- рам спрямованості для ширшого біконуса Q 2 1(γ γ 140 ).− = ° З цього рисунка видно, що розши- ренням біконічної області (на 50° порівняно з по- переднім випадком) вдається досягти незмінності форми діаграм спрямованості зі зміною параметра 2ka в області 22 5.ka≤ ≤ Отже, для ширших біко- Рис. 2. Залежність діаграм спрямованості біконуса Q від параметра 2ka при 1γ 45 ,= ° 2γ 135 ,= ° 0 2θ γ ;= 1 0.01,ka = 0 0.2kr = 144 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 2, 2013 Д. Б. Куриляк, О. М. Шарабура Рис. 3. Вплив параметра 2ka на діаграми спрямованості біконуса Q при 1γ 20 ,= ° 2γ 160 ,= ° 0 2θ γ ;= 1 0.01,ka = 0 0.2kr = нічних областей широкосмуговість розсіювача Q проявляється сильніше. В [9] розглядали скінченний симетричний біко- нус з однаковими довжинами конічних плечей. Цей біконус збуджувався двома δ -генераторами, розміщеними на поверхні кожного плеча, в околі вершини 0( 0.2).kr = На рис. 4, у виділених квад- ратах, порівнюються нормовані діаграми спрямо- ваності для кутів спостереження 90 θ 180 ,° < < ° отримані в [9] для синфазного включення двох δ -генераторів (суцільні криві) і наші результати (штрихові криві). Порівняння виконувалося для різних значень параметра 2ka за умови 0 2θ γ .= Зближення форм діаграм спрямованості, яке спо- стерігаємо на рис. 4 зі зростанням параметра 2 ,ka вказує на зменшення взаємного впливу конічних плечей біконуса на розподіл поля в зоні випроміню- вання для вибраної області спостереження. Рис. 4. Діаграми спрямованості біконічного розсіювача Q з параметрами 2 3.14ka = (а) та 2 6.28ka = (б) при 1γ 45 ,= ° 2γ 135 ,= ° 1 0.01,ka = 0 0.2,kr = 0 2θ γ= ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 2, 2013 145 Електромагнітне збудження біконуса, сформованого із напівнескінченної та скінченної зі зрізаною вершиною... 6. Âèñíîâêè Отримано строгий розв’язок задачі про осесимет- ричне електромагнітне збудження біконуса Q вит- ком магнітного струму. Досліджено особливості фор- мування діаграм спрямованості зі зміною хвильової довжини твірної 2ka скінченного плеча біконуса. Показано, що широкосмугові властивості біконуса Q сильніше проявляються для розсіювачів з шир- шою біконічною областю. Äîäàòîê Задача збудження ідеально провідної біконічної поверхні 1 2 ,Q Q Q∞ ∞ ∞= ∪ заданої у сферичній системі координат ( , θ, φ),r де lQ ∞ = { }[0, ), θ γ , φ [0,2π) ,lr∈ ∞ = ∈ 1, 2,l = 2 1γ γ> зво- диться до розв’язку неоднорідного рівняння Гельм- гольца 2 φ φ φ φ 2 2 2 2 2 1 sinθ θ θsinθ sin θ H H H H r rr r r ∂ ∂ ∂⎛ ⎞∂+ + − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂∂ ⎝ ⎠ ( ) φ 0 02 φ 0 0 δ( )δ(θ θ ) sinθ mI r r k H r − − + = (Д1) з граничною умовою φ ,θ 1 1 sinθ( ) 0 ωε sinθ θ r Q H i r ∞∈ ∂ ⎡ ⎤ =⎣ ⎦∂ та умовами випромінювання і обмеженості енергії. Магнітну компоненту шуканого поля подамо у вигляді φ v 1 2 0 1 2 10 ωε( ,θ) (cosθ ) (cosθ) n nn v n iH r B srsr ∞ − − = = Ψ Ψ ×∑ 0 0 0 0 ( ) ( ), ; ( ) ( ), . n n n n v v v v K sr I sr r r I sr K sr r r ≥⎧⎪×⎨ ≤⎪⎩ (Д2) Використавши теорему Гріна, з рівняння (Д1) отримаємо: 0 0 φ φ 0 φ 0 00 0 δ(θ θ ) . sinθ m r r r r H H I r r r= + = − ∂ ∂ −− = ∂ ∂ (Д3) Підставимо вираз (Д2) в рівняння (Д3) і, беру- чи до уваги, що 1( ) ( ) ( ) ( ) , n n n nv v v vI sr K sr I sr K sr sr ′ ′− = − отримаємо рівність ( ) 0 φ 1/ 2 0 1/2 0 1 0 (cosθ ) (cosθ) δ(θ θ ). sinθn n m n v v n sr I B ∞ − − = Ψ Ψ = − −∑ Використавши співвідношення ортогональності функцій ν 1 2 (cosθ) n− Ψ – 2 1 γ ν 1 2 ν 1 2 γ (cosθ) (cosθ)sinθdθ n m− −Ψ Ψ =∫ 1 2 2 2 1/ 2 2 1/ 2 2 2 γ γln ctg tg , 1, ; 2 2 0.25 sin γ (cos γ ) 2 (cos γ ) , 1, ; γ 0, ; n n n v n v n m n v R v v R n m n m n − − ⎧ ⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪ ⎪ − ∂⎡ ×⎪ ⎢∂= ⎣⎨ ⎪ ⎤∂⎪× > =⎥⎪ ∂ ⎦ ⎪ ≠⎩ отримаємо ( ) 0 φ v 1 2 0(cosθ ), n m n nB sr b I −= − Ψ (Д4) де 1 1 2 1/ 2 22 2 1 1 2 2 2 γ γln(ctg tg ) , 1; 2 2 21 (cos γ ) sin γ 0.25 (cos γ ) , 1. γ n n n n v n v n vb R vv R n − − − − ⎧⎡ ⎤⎪ =⎢ ⎥⎪⎣ ⎦ ⎪ ⎡ ∂⎪= ×⎢⎨ ∂− ⎢⎪ ⎣ ⎪ ⎤∂⎪× >⎥⎪ ∂ ⎦⎩ Після підстановки виразу (Д4) у рівняння (Д2) отримаємо кінцевий вираз для магнітної компо- ненти поля витка у біконусі .Q∞ СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ 01. Schelkunoff S. A. General Theory of Symmetric Biconical Antennas // J. Appl. Phys. – 1951. – Vol. 22, No. 11. – P. 1330–1332. 02. Papas C. H. and King R.W. Radiation from Wide-Angle Conical Antennas Fed by a Coaxial Line // Proc. IRE. – 1951. – Vol. 39, No. 1. – P. 49–51. 03. Bevensee R. M. Handbook of conical antennas and scat- terers. – New-York: Gordon and Breach Science Publi- shers, 1973. – 173 p. 146 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 2, 2013 Д. Б. Куриляк, О. М. Шарабура 04. Зернов Н. В. Теория диапазонных слабонаправленных антенн УКВ. – Л.: Военно-воздушная инженерная ака- демия им. А. Ф. Можайского, 1958. – 180 с. 05. Samaddar S. N. and Mokole E. L. Biconical Antennas with Unequal Cone Angles // IEEE Trans. Antennas Propag. – 1998. – Vol. 46, No. 2. – P. 181–193. 06. Куриляк Д. Б. Решение задачи дифракции на разветв- лении конической области // Изв. вузов. Радиоэлектро- ника. – 1998. – Т. 41, № 9. – С. 13–22. 07. Куриляк Д. Б., Назарчук З. Т. Аналітико-числові методи в теорії дифракції хвиль на конічних і клиноподібних поверхнях. – Київ: Наук. думка, 2006. – 280 с. 08. Kuryliak D. B. and Nazarchuk Z. T. Convolution type operators for wave diffraction by conical structures // Radio Sci. – 2008. – 43, RS4S03, doi:10.1029/2007RS003792. 09. Гошин Г. Г. Граничные задачи электродинамики в ко- нических областях. – Томск: Изд-во Томского ун-та, 1987. – 130 c. Д. Б. Куриляк, О. М. Шарабура Физико-механический институт им. Г. В. Карпенко НАН Украины, ул. Научная 5, г. Львов, 79060, Украина ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ БИКОНУСА, СФОРМИРОВАННОГО ИЗ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ И КОНЕЧНОЙ СО СРЕЗАННОЙ ВЕРШИНОЙ КОНИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Получено решение осесимметричной задачи дифракции элек- тромагнитной волны на идеально проводящей биконической поверхности с краями. В качестве источника возбуждения ис- пользован круговой виток магнитного тока. Задача решена методом собственных функций подобластей с применением про- цедуры аналитической регуляризации. Для нахождения неиз- вестных коэффициентов разложения получены бесконечные сис- темы линейных алгебраических уравнений второго рода, кото- рые допускают редукцию при произвольных значениях пара- метров задачи. Исследовано влияние длины образующей кону- са на формирование диаграмм направленности. Для частных случаев проведено сравнение с известными результатами. D. B. Kuryliak and O. M. Sharabura Karpenko Physico-Mechanical Institute, National Academy of Sciences of Ukraine, 5, Naukova St., Lviv, 79060, Ukraine ELECTROMAGNETIC EXCITATION OF BICONE FORMED BY SEMI-INFINITE AND FINITE TRANCATED CONICAL SURFACES The problem of axial-symmetric electromagnetic wave diffrac- tion by a perfectly conducting bi-conical surface with edges is solved rigorously using mode matching and analytical regular- ization techniques. The ring source of magnetic current is taken for electromagnetic waves excitation. To find the unknown ex- pansion coefficients, the infinite systems of linear algebraic equa- tion of second kind, which allow reduction for arbitrary para- meters, are obtained. The effect of cone length influences for far field patterns formation is analyzed. Comparison with the known results is provided in particular cases. Стаття надійшла до редакції 29.12.2012

Електромагнітне збудження біконеса, сформованого із непівнескінченної та скінченної зі зрізаною вершиною конічних поверхонь

Репозитарії

Схожі ресурси