Глобальная структура осесимметричной бессиловой магнитосферы пульсара с учетом замыкания тока на поверхности нейтронной звезды
Рассмотрена стационарная осесимметричная бессиловая магнитосфера пульсара. Проведено обобщение известного пульсарного уравнения с тем, чтобы учесть слой замыкающего тока на поверхности нейтронной звезды. В результате упрощения пульсарного уравнения вблизи магнитной оси найдена осевая функция магнитн...
Saved in:
| Published in: | Радиофизика и радиоастрономия |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Радіоастрономічний інститут НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100150 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Глобальная структура осесимметричной бессиловой магнитосферы пульсара с учетом замыкания тока на поверхности нейтронной звезды / С.А. Петрова // Радиофизика и радиоастрономия. — 2013. — Т. 18, № 3. — С. 193-200. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100150 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Петрова, С.А. 2016-05-16T20:01:07Z 2016-05-16T20:01:07Z 2013 Глобальная структура осесимметричной бессиловой магнитосферы пульсара с учетом замыкания тока на поверхности нейтронной звезды / С.А. Петрова // Радиофизика и радиоастрономия. — 2013. — Т. 18, № 3. — С. 193-200. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1027-9636 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100150 524.354.4 Рассмотрена стационарная осесимметричная бессиловая магнитосфера пульсара. Проведено обобщение известного пульсарного уравнения с тем, чтобы учесть слой замыкающего тока на поверхности нейтронной звезды. В результате упрощения пульсарного уравнения вблизи магнитной оси найдена осевая функция магнитного потока, которая связывает внутренность нейтронной звезды с бессиловой магнитосферой в области вплоть до бесконечности. Используя эту функцию в качестве начального приближения, решаем полное пульсарное уравнение в полярной области, находим самосогласованные функции тока и магнитного потока на бесконечности и показываем их единственность. С помощью полученной токовой функции находим самосогласованную функцию магнитного потока непосредственно над токовым слоем и демонстрируем ее отличие от дипольной функции внутри нейтронной звезды. Этот результат означает необходимость пересмотра стандартного набора граничных условий в задаче о бессиловой магнитосфере пульсара. Розглянуто стаціонарну вісесиметричну безсилову магнітосферу пульсара. Виконано узагальнення відомого пульсарного рівняння з тим, щоб урахувати шар замикаючого струму на поверхні нейтронної зірки. У результаті спрощення пульсарного рівняння поблизу магнітної осі знайдено осьову функцію магнітного потоку, що пов’язує внутрішність нейтронної зірки з безсиловою магнітосферою в області аж до нескінченності. Використовуючи цю функцію в якості початкового наближення, розв’язуємо повне пульсарне рівняння у полярній області, знаходимо самоузгоджені функції струму та магнітного потоку на нескінченності та показуємо їх єдиність. За допомогою одержаної струмової функції знаходимо самоузгоджену функцію магнітного потоку безпосередньо над струмовим шаром і демонструємо її відмінність від дипольної функції всередині нейтронної зірки. Цей результат означає необхідність перегляду стандартного набору граничних умов у задачі про безсилову магнітосферу пульсара. The stationary axisymmetric force-free magnetosphere of a pulsar is considered. The well-known pulsar equation is generalized so as to allow for the sheet of closing current at the neutron star surface. As a result of simplification of the pulsar equation close to the magnetic axis we find the axial magnetic flux function, which links the neutron star interior to the force-free magnetosphere up to infinity. Using this function as a starting approximation, we solve the complete pulsar equation in the polar region, obtain the self-consistent current and magnetic flux functions at infinity and show their uniqueness. With the current function obtained we find the self-consistent flux function at the top of the current sheet and demonstrate its distinctness from the dipolar function inside the neutron star. This result implies the necessity to reconsider the standard set of boundary conditions in the problem of the pulsar force-free magnetosphere. Работа частично поддержана грантом Президента Украины (проект ГФФИ № Ф35/554-2011). ru Радіоастрономічний інститут НАН України Радиофизика и радиоастрономия Радиоастрономия и астрофизика Глобальная структура осесимметричной бессиловой магнитосферы пульсара с учетом замыкания тока на поверхности нейтронной звезды Глобальна структура вісесиметричної безсилової магнітосфери пульсара з урахуванням замикання струму на поверхні нейтронної зірки Global Structure of the Pulsar Axisymmetric Force-Free Magnetosphere Allowing for Current Closure on the Neutron Star Surface Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Глобальная структура осесимметричной бессиловой магнитосферы пульсара с учетом замыкания тока на поверхности нейтронной звезды |
| spellingShingle |
Глобальная структура осесимметричной бессиловой магнитосферы пульсара с учетом замыкания тока на поверхности нейтронной звезды Петрова, С.А. Радиоастрономия и астрофизика |
| title_short |
Глобальная структура осесимметричной бессиловой магнитосферы пульсара с учетом замыкания тока на поверхности нейтронной звезды |
| title_full |
Глобальная структура осесимметричной бессиловой магнитосферы пульсара с учетом замыкания тока на поверхности нейтронной звезды |
| title_fullStr |
Глобальная структура осесимметричной бессиловой магнитосферы пульсара с учетом замыкания тока на поверхности нейтронной звезды |
| title_full_unstemmed |
Глобальная структура осесимметричной бессиловой магнитосферы пульсара с учетом замыкания тока на поверхности нейтронной звезды |
| title_sort |
глобальная структура осесимметричной бессиловой магнитосферы пульсара с учетом замыкания тока на поверхности нейтронной звезды |
| author |
Петрова, С.А. |
| author_facet |
Петрова, С.А. |
| topic |
Радиоастрономия и астрофизика |
| topic_facet |
Радиоастрономия и астрофизика |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Радиофизика и радиоастрономия |
| publisher |
Радіоастрономічний інститут НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Глобальна структура вісесиметричної безсилової магнітосфери пульсара з урахуванням замикання струму на поверхні нейтронної зірки Global Structure of the Pulsar Axisymmetric Force-Free Magnetosphere Allowing for Current Closure on the Neutron Star Surface |
| description |
Рассмотрена стационарная осесимметричная бессиловая магнитосфера пульсара. Проведено обобщение известного пульсарного уравнения с тем, чтобы учесть слой замыкающего тока на поверхности нейтронной звезды. В результате упрощения пульсарного уравнения вблизи магнитной оси найдена осевая функция магнитного потока, которая связывает внутренность нейтронной звезды с бессиловой магнитосферой в области вплоть до бесконечности. Используя эту функцию в качестве начального приближения, решаем полное пульсарное уравнение в полярной области, находим самосогласованные функции тока и магнитного потока на бесконечности и показываем их единственность. С помощью полученной токовой функции находим самосогласованную функцию магнитного потока непосредственно над токовым слоем и демонстрируем ее отличие от дипольной функции внутри нейтронной звезды. Этот результат означает необходимость пересмотра стандартного набора граничных условий в задаче о бессиловой магнитосфере пульсара.
Розглянуто стаціонарну вісесиметричну безсилову магнітосферу пульсара. Виконано узагальнення відомого пульсарного рівняння з тим, щоб урахувати шар замикаючого струму на поверхні нейтронної зірки. У результаті спрощення пульсарного рівняння поблизу магнітної осі знайдено осьову функцію магнітного потоку, що пов’язує внутрішність нейтронної зірки з безсиловою магнітосферою в області аж до нескінченності. Використовуючи цю функцію в якості початкового наближення, розв’язуємо повне пульсарне рівняння у полярній області, знаходимо самоузгоджені функції струму та магнітного потоку на нескінченності та показуємо їх єдиність. За допомогою одержаної струмової функції знаходимо самоузгоджену функцію магнітного потоку безпосередньо над струмовим шаром і демонструємо її відмінність від дипольної функції всередині нейтронної зірки. Цей результат означає необхідність перегляду стандартного набору граничних умов у задачі про безсилову магнітосферу пульсара.
The stationary axisymmetric force-free magnetosphere of a pulsar is considered. The well-known pulsar equation is generalized so as to allow for the sheet of closing current at the neutron star surface. As a result of simplification of the pulsar equation close to the magnetic axis we find the axial magnetic flux function, which links the neutron star interior to the force-free magnetosphere up to infinity. Using this function as a starting approximation, we solve the complete pulsar equation in the polar region, obtain the self-consistent current and magnetic flux functions at infinity and show their uniqueness. With the current function obtained we find the self-consistent flux function at the top of the current sheet and demonstrate its distinctness from the dipolar function inside the neutron star. This result implies the necessity to reconsider the standard set of boundary conditions in the problem of the pulsar force-free magnetosphere.
|
| issn |
1027-9636 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100150 |
| citation_txt |
Глобальная структура осесимметричной бессиловой магнитосферы пульсара с учетом замыкания тока на поверхности нейтронной звезды / С.А. Петрова // Радиофизика и радиоастрономия. — 2013. — Т. 18, № 3. — С. 193-200. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT petrovasa globalʹnaâstrukturaosesimmetričnoibessilovoimagnitosferypulʹsarasučetomzamykaniâtokanapoverhnostineitronnoizvezdy AT petrovasa globalʹnastrukturavísesimetričnoíbezsilovoímagnítosferipulʹsarazurahuvannâmzamikannâstrumunapoverhníneitronnoízírki AT petrovasa globalstructureofthepulsaraxisymmetricforcefreemagnetosphereallowingforcurrentclosureontheneutronstarsurface |
| first_indexed |
2025-11-25T23:52:40Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:52:40Z |
| _version_ |
1850588682967318528 |
| fulltext |
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 3, 2013 193
Радиофизика и радиоастрономия. 2013, Т. 18, № 3, c. 193–200
© С. А. Петрова, 2013
ÐÀÄÈÎÀÑÒÐÎÍÎÌÈß È ÀÑÒÐÎÔÈÇÈÊÀ
С. А. ПЕТРОВА
Радиоастрономический институт НАН Украины,
ул. Краснознаменная, 4, г. Харьков, 61002, Украина
E-mail: petrova@rian.kharkov.ua
ÃËÎÁÀËÜÍÀß ÑÒÐÓÊÒÓÐÀ ÎÑÅÑÈÌÌÅÒÐÈ×ÍÎÉ ÁÅÑÑÈËÎÂÎÉ
ÌÀÃÍÈÒÎÑÔÅÐÛ ÏÓËÜÑÀÐÀ Ñ Ó×ÅÒÎÌ ÇÀÌÛÊÀÍÈß ÒÎÊÀ
ÍÀ ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÈ ÍÅÉÒÐÎÍÍÎÉ ÇÂÅÇÄÛ
Рассмотрена стационарная осесимметричная бессиловая магнитосфера пульсара. Проведено обобщение известного
пульсарного уравнения с тем, чтобы учесть слой замыкающего тока на поверхности нейтронной звезды. В результате
упрощения пульсарного уравнения вблизи магнитной оси найдена осевая функция магнитного потока, которая связы-
вает внутренность нейтронной звезды с бессиловой магнитосферой в области вплоть до бесконечности. Используя
эту функцию в качестве начального приближения, решаем полное пульсарное уравнение в полярной области, находим
самосогласованные функции тока и магнитного потока на бесконечности и показываем их единственность. С помо-
щью полученной токовой функции находим самосогласованную функцию магнитного потока непосредственно над
токовым слоем и демонстрируем ее отличие от дипольной функции внутри нейтронной звезды. Этот результат
означает необходимость пересмотра стандартного набора граничных условий в задаче о бессиловой магнитосфере
пульсара.
Ключевые слова: нейтронная звезда, пульсар, бессиловая магнитосфера, магнитосферный зазор, токовая цепь пульсара
УДК 524.354.4
1. Ââåäåíèå
Важнейшей проблемой теории пульсаров является
выяснение структуры их магнитосферы. Деталь-
ное представление об электромагнитных полях,
зарядах и токах в магнитосфере пульсаров необхо-
димо для интерпретации наблюдательных прояв-
лений этих объектов, понимания механизмов
их радиоизлучения и излучения высоких энергий,
а также исследования взаимодействия пульсарно-
го ветра с межзвездной средой.
Магнитное поле нейтронной звезды можно
считать дипольным, однако присутствующая
в магнитосфере ультрарелятивистская электрон-
позитронная плазма должна существенно влиять
на структуру магнитного поля. Для корректно-
го описания магнитосферы пульсара необходи-
мо самосогласованное описание токов и полей.
В простейшем случае можно предположить,
что практически во всем объеме магнитосферы
(за исключением узких зазоров, где происходит
рождение электрон-позитронных пар) плазмы
достаточно для того, чтобы экранировать уско-
ряющее электрическое поле и обеспечить ба-
ланс электромагнитных сил. При этом ролью гра-
витационных сил и эффектов давления можно
пренебречь.
Соответственно, в основе современных иссле-
дований магнитосферы пульсара лежит модель
осесимметричной бессиловой магнитосферы ди-
поля, в которой ось вращения сонаправлена
с магнитной осью, электромагнитные силы ском-
пенсированы, а инерция частиц пренебрежимо
мала. В этом случае полоидальный ток и магнит-
ный поток связаны соотношением, известным как
пульсарное уравнение [1–3]. Хотя задача о бес-
силовой магнитосфере пульсара была сформули-
рована еще 40 лет назад, верное во всем про-
странстве аналитическое решение пульсарного
уравнения для случая магнитного диполя до сих
пор не найдено. Проблема заключается в том,
что функции тока и магнитного потока, входящие
в пульсарное уравнение, обе неизвестны, и токо-
вая функция должна быть выбрана таким обра-
зом, чтобы соответствующая функция магнитно-
го потока удовлетворяла заданным граничным
условиям.
194 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 3, 2013
С. А. Петрова
В первые годы исследований пульсарное урав-
нение решалось для токовых функций специаль-
ного вида [4, 5], однако такие решения оказались
верными только внутри светового цилиндра и не
могли быть плавно продолжены на бесконечность.
Позже численными методами было найдено гло-
бальное решение [6], справедливое в области от
поверхности нейтронной звезды до бесконечности.
Это решение было подтверждено с использовани-
ем других численных алгоритмов [7–10], а также
обобщено на случаи неосесимметричной [10–13],
дифференциально вращающейся [14–16] и не-
идеальной [17, 18] магнитосферы. Общей про-
блемой всех этих решений является то, что они
получены для определенного набора граничных
условий без учета, как минимум, двух существен-
ных моментов. Во-первых, не учтено присутствие
зазоров, где происходит рождение плазмы, нали-
чие которой постулируется в модели. Во-вторых,
не учтено замыкание полоидального тока. Даже
если процесс замыкания тока неэффективен энер-
гетически, ток, пересекающий магнитные сило-
вые линии, может влиять на структуру магнитно-
го поля и, следовательно, на граничные условия.
Целью настоящей статьи является получение
аналитического решения пульсарного уравнения,
справедливого в области от внутренности нейт-
ронной звезды до бесконечности, с учетом за-
мыкания тока на поверхности звезды. Рассмат-
ривается только область малых полярных углов,
что позволяет существенно упростить исследо-
вание. Будет показано, что непосредственно над
поверхностью нейтронной звезды найденная
самосогласованная функция магнитного потока
отличается от дипольной, так что пересмотр стан-
дартного набора граничных условий при числен-
ных расчетах бессиловой магнитосферы пульса-
ра действительно необходим.
2. Ïóëüñàðíîå óðàâíåíèå ñ ó÷åòîì
çàìûêàíèÿ òîêà
Рассмотрим стационарную осесимметричную
бессиловую магнитосферу пульсара, заполненную
плазмой. Внутри светового цилиндра плотность
энергии магнитного поля намного превышает плот-
ность кинетической энергии плазменных частиц
(см., например, [15]), так что инерционными эф-
фектами можно пренебречь. Тогда баланс сил
в магнитосфере принимает вид
0,e
j B E
c
× +ρ = (1)
где j – плотность тока, B и E – соответственно
напряженности магнитного и электрического по-
лей, eρ – плотность заряда, c – скорость света.
Будем считать, что в магнитосфере пульсара со-
держится достаточно много плазмы для того,
чтобы ускоряющее электрическое поле было эк-
ранировано и выполнялось условие идеальной
магнитной гидродинамики
0.E B⋅ = (2)
Стационарную осесимметричную магнитосфе-
ру удобно рассматривать в цилиндрической сис-
теме координат ( , , )zρ φ с осью, направленной
вдоль оси пульсара. Тогда поля, удовлетворяющие
условию (2), могут быть представлены в виде
0
1 , ( ), ,f fB A z z
z
⎛ ⎞∂ ∂= − χ −⎜ ⎟ρ ∂ ∂ρ⎝ ⎠
(3)
,0, ,f fE
z
⎛ ⎞∂ ∂= −⎜ ⎟∂ρ ∂⎝ ⎠
(4)
где ( , )f f z= ρ – функция магнитного потока,
( )A A f= – токовая функция, 0( )z zχ − – ступен-
чатая функция Хевисайда. Здесь и далее для про-
стоты будем полагать 1.c = Безразмерные функ-
ции f и A пропорциональны соответственно маг-
нитному потоку и полоидальному току через круг
радиуса ,ρ центр которого расположен на магнит-
ной оси на высоте z.
Наличие ступенчатой функции в выражении для
азимутальной составляющей магнитного поля (3)
отражает тот факт, что внутри нейтронной звез-
ды полоидальный ток отсутствует. В предшест-
вующей литературе бессиловая задача рассмат-
ривалась только для области над поверхностью
нейтронной звезды, где течет полоидальный ток,
и принималось, что на нижней границе этой об-
ласти магнитное поле дипольное. Наша цель –
обобщить пульсарное уравнение, учтя также бес-
силовую область внутри нейтронной звезды и слой
замыкающего тока на поверхности звезды. Стро-
го говоря, предположение о дипольном характере
магнитного поля справедливо для внутренности
нейтронной звезды, а непосредственно над поверх-
ностью звезды, над слоем замыкающего тока,
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 3, 2013 195
Глобальная структура осесимметричной бессиловой магнитосферы пульсара с учетом замыкания тока...
характер магнитного поля может изменяться.
Следует также заметить, что поскольку полои-
дальный ток течет только вдоль открытых маг-
нитных силовых линий, т. е. в узкой трубке вбли-
зи магнитной оси, кривизной поверхности нейт-
ронной звезды в области замыкания тока можно
пренебречь и считать замыкающий слой распо-
ложенным горизонтально на высоте 0.z
Нетрудно видеть, что для полей (3), (4) авто-
матически выполняются уравнения Максвелла
div 0, rot 0.B E= =
Два других уравнения Максвелла дают соответст-
вующие плотности тока и заряда,
rot , div .ej B E= ρ =
Отметим, что величины j и eρ нормированы та-
ким образом, чтобы исключить численные коэф-
фициенты. В явном виде компоненты плотности
тока и плотность заряда выражаются следующим
образом:
0 0
1 d ( ) ( ),
d
A f Aj z z z z
f zρ
∂= − χ − − δ −
ρ ∂ ρ
(5)
1 ,j fφ = −
ρ
(6)
0
1 d ( ),
dz
A fj z z
f
∂= χ −
ρ ∂ρ
(7)
,e fρ = −Δ (8)
где 0( )z zδ − – дельта-функция,
2 2
2 2
1 ,f f ff
z
∂ ∂ ∂≡ − +
ρ ∂ρ∂ρ ∂
2 2
2 2
1 .f f ff
z
∂ ∂ ∂Δ ≡ + +
ρ ∂ρ∂ρ ∂
Как видно из формулы (5), предположение о сту-
пенчатом характере токовой функции автоматичес-
ки вводит в рассмотрение слой замыкающего тока.
С использованием выражений (3)–(8) баланс
сил (1) принимает вид
2
02 2
1 d ( ) ,
d
f A Af f z z F
f ρ
⎡ ⎤∂ Δ − − χ − =⎢ ⎥∂ρ ρ ρ⎣ ⎦
(9)
02 ( ) ,A f z z Fφ
∂ δ − =
∂ρρ
(10)
2
02 2
1 d ( )
d
f A Af f z z
z f
⎡ ⎤∂ Δ − − χ − −⎢ ⎥∂ ρ ρ⎣ ⎦
2
0 02 ( ) ( ) .z
A z z z z F− χ − δ − =
ρ
(11)
В бессиловых областях по обе стороны от слоя
замыкающего тока результирующая сила (9)–(11)
должна быть равной нулю, поэтому
2
02 2
1 d ( ) 0.
d
A Af f z z
f
Δ − − χ − =
ρ ρ
(12)
В области токового слоя бессиловое приближе-
ние нарушается. Момент азимутальной силы при-
водит к торможению вращения звезды (см., на-
пример, [5]). Высвобождаемая энергия идет на
ускорение частиц в поле силы ,zF обеспечивая
функцию распределения плазмы, необходимую
для поддержания бессиловой конфигурации над
поверхностью нейтронной звезды.
Выражение (12) является обобщением извест-
ного пульсарного уравнения [1] и отличается от
классического аналога только наличием ступен-
чатой функции, учитывающей отсутствие полои-
дального тока внутри нейтронной звезды.
3. Ôóíêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà
â îñåâîé îáëàñòè
Будем искать решение обобщенного пульсарного
уравнения (12) вблизи магнитной оси. Граничные
условия в рассматриваемом случае имеют сле-
дующий вид. Вдоль магнитной оси и функция маг-
нитного потока, и токовая функция равны нулю.
Внутри нейтронной звезды магнитное поле ди-
польное,
( )
2
3 22 2
,f
z
ρ=
ρ +
так что в интересующей осевой области, 1,ρ
имеем 2 3 .f z≈ ρ На бесконечности магнитные
силовые линии должны становиться радиальны-
ми, т. е. ( ).f f z= ρ
Выражение d dA A f в правой части уравнения
(12) неизвестно. Очевидно, оно должно быть нели-
нейной функцией f, поскольку для обеспечения
196 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 3, 2013
С. А. Петрова
замыкания токовой цепи необходимо присутст-
вие обратного тока. Принято считать (см., напри-
мер, [6, 14]), что в магнитосфере пульсара токовая
функция близка к токовой функции бессилового мо-
нополя, (2 )A f f= − [1]. Поэтому представляется
возможным линеаризовать функцию d dA A f вбли-
зи магнитной оси. Кроме того, в рассматриваемом
случае можно удержать в уравнении (12) только
члены 2.−∝ ρ В результате получим существенно
упрощенное пульсарное уравнение
2 2
2
02 2
1 ( ),f f f f z z
z
∂ ∂ ∂− + = −α χ −
ρ ∂ρ∂ρ ∂
(13)
где α – произвольная постоянная.
Уравнение (13) может быть решено методом
разделения переменных. Искомая функция мо-
жет быть представлена в виде
0
( ) ( ) ( )d ,f C v u z
∞
= λ ρ λ∫ (14)
где λ не зависит от ρ и z, ( )C λ – произвольная
функция, а функции ( )v ρ и ( )u z удовлетворяют
уравнениям
2
2
2
d 1 d 0,
dd
v v v− + λ =
ρ ρρ
(15)
2
2 2
02
d ( ).
d
u u u z z
z
− λ = −α χ − (16)
Поскольку на магнитной оси 0,f = решение урав-
нения (15) имеет вид
1( ) ( ).v Jρ = ρ λρ (17)
В области 0z z< дипольное решение для f полу-
чается при ( ) exp( )u z z= −λ и ( ) .C λ = λ
Найдем решение уравнения (16) для 0 ,z z>
считая ( ) exp( )u z z= −λ начальным условием.
Удобно ввести в рассмотрение размытую сту-
пенчатую функцию вида
0
0
0
( )( ) , 1.
1 ( )
z z hz z h
z z h
−χ − =
+ −
(18)
Отметим, что представляющее интерес решение
при 0( )z z h− не зависит от конкретного выбо-
ра функции (18). С учетом выражения (18) урав-
нение (16) сводится к виду
2
2 2 2
2
d(1 ) ( ) 0,
d
uy h y u
y
⎡ ⎤+ − λ + λ −α =⎣ ⎦ (19)
где 0( ) ,y z z h≡ − и имеет решение
( )2 22 ( 1)expu h y h= λ −α + − λ −α ×
2
1 2
21 ,2,2 ( 1)hC M h y
⎧ ⎡ ⎤⎪× + λ −α + +⎨ ⎢ ⎥
λ −α⎪ ⎣ ⎦⎩
2
2 2
21 ,2,2 ( 1) ,hC U h y
⎫⎡ ⎤⎪+ + λ −α + ⎬⎢ ⎥
λ −α ⎪⎣ ⎦⎭
(20)
где ( , , )M a b x и ( , , )U a b x – вырожденные гипер-
геометрические функции. При 0h→ в выраже-
нии (20) можно воспользоваться соотношениями
( 1 2, 2 1, 2 ) (1 )exp( )( 2) ( ),M x x x I x−ν
νν + ν + = Γ + ν
exp( )( 1 2, 2 1, 2 ) (2 ) ( ),xU x x K x−ν
νν + ν + =
π
где ( 1)Γ ν + – гамма-функция Эйлера, ( )I xν и
( )K xν – модифицированные функции Бесселя.
Учитывая, что
1 2 1 2
2( ) sh , ( ) exp( ),
2
I x x K x x
x x
π= = −
π
и возвращаясь к переменной z, получим решение
уравнения (19)
2
0 0exp ( ) ,u z z z⎡ ⎤= −λ − − λ −α⎢ ⎥⎣ ⎦
(21)
описывающее функцию u при 0 ,z z≥ т. е. над слоем
замыкающего тока. При 0z z выражение (21)
принимает вид
( )2exp .u z= − λ −α (22)
Подставляя формулы (17), (22) в выражение
(14), имеем
2
2
0
exp( ) d ,
2
f z
∞ρ= μ +α −μ μ μ∫ (23)
где 2 ,μ ≡ λ −α и принято, что 1( ) 2,J λρ ≈ λρ
( ) .C λ = λ Выражение (23) может быть вычисле-
но с использованием интеграла
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 3, 2013 197
Глобальная структура осесимметричной бессиловой магнитосферы пульсара с учетом замыкания тока...
( )
1 2
12 2
0
2exp( )d ( )
2
ux u px x
p
ν−∞ ν− ⎛ ⎞π+ − = Γ ν ×⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
1 2 1 2( ) ( ) ,up Y upν− ν−⎡ ⎤× −⎣ ⎦H (24)
где 1 2 ( )upν−H и 1 2 ( )Y upν− – соответственно функ-
ции Струве и Бесселя. Дифференцируя обе части
выражения (24) по p и используя рекуррентные
соотношения для функций Струве и Бесселя, по-
лучим
2 ( ),f z= ρ Φ (25)
( ) ( )
3 2
2 2( ) .
6 4
z z Y z
z
α πα ⎡ ⎤Φ = − + α − α⎣ ⎦H
Выражение (25) представляет собой осевую функ-
цию магнитного потока осесимметричного бес-
силового диполя. Используя известные приближе-
ния при 0,z→
1( 2)( ) ~ ,
(3 2) ( 3 2)
ν+
ν
ξξ
Γ Γ ν +
H
1Y ( ) ~ ( )( 2) ,−ν
ν ξ − Γ ν ξ
π
найдем, что при 1z и 1zρ структура маг-
нитного поля имеет приближенно дипольный ха-
рактер, 2 3 .f z≈ ρ Исходя из асимптотического
выражения
( ) ( )Yν νξ − ξ =H
( )
1 2 1
2 1
0
1 ( 1 2) ,
( 1 2 )( 2)
m m
k
k
k O
k
− ν− −
−ν+
=
Γ += + ξ
π Γ ν + − ξ∑
(26)
можно получить, что при 1z функция магнит-
ного потока имеет вид 2 22 .f z≈ αρ Таким об-
разом, в осевой области функция магнитного
потока бессилового диполя асимптотически со-
впадает с функцией магнитного монополя monf =
( )2 21 .z zα − +ρ Такое поведение бессилово-
го поля магнитного диполя является ожидаемым
и относится за счет действия полоидального тока,
текущего вдоль открытых магнитных силовых
линий и изменяющего изначальную дипольную
структуру магнитного поля.
4. Ñàìîñîãëàñîâàííîå ðåøåíèå
îáîáùåííîãî ïóëüñàðíîãî óðàâíåíèÿ
â ïîëÿðíîé îáëàñòè
Осевая функция осесимметричного бессилового
диполя (25), найденная в предыдущем разделе,
может быть использована для отыскания решения
обобщенного пульсарного уравнения (12) в облас-
ти малых полярных углов, arctg( ) 1,zθ ≡ ρ
над слоем замыкающего тока, 0.z z> Искомое ре-
шение можно представить в виде
2
1
( ) ,
k
k
k
f b z
z
∞
=
ρ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ (27)
где 2
1( ) ( ).b z z z= Φ Подставляя выражение (27)
в уравнение (12), получим рекуррентное соотно-
шение
2
21
2 2 2 2 2
d4 ( 1) 4
d
k k k
k k k
b b bk k k
z z z z
+
+
⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟⎝ ⎠
2
1
22 2 2
d ,
d
k
kk
b AA
z z
−
−
⎛ ⎞ ′− = −⎜ ⎟⎝ ⎠
(28)
где
2kAA′ =
1 2 1
2
1 2 3
1 1 1
...
k k k i
k
k i k i i j k i j
i i j
z b b b bb b
− − − −
−
− − −
= = =
⎛ ⎞
= ξ + ξ + ξ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑ ∑
(29)
и величины iξ являются константами. Формула
(29) получена на основе разложения AA′ в ряд Тей-
лора по f с использованием представления (27).
Если бы токовая функция была заранее зада-
на, т. е. величины iξ известны, из рекуррентного
соотношения (28) можно было бы последователь-
но находить функции .kb Однако в рассматрива-
емом случае и токовая функция, и функция маг-
нитного потока являются неизвестными и долж-
ны находиться самосогласованно. Для этого мы
дополнительно используем граничное условие на
бесконечности: при z→∞ силовые линии долж-
ны становиться радиальными, т. е. функция маг-
нитного потока должна быть функцией только
полярного угла, ( ).f f z= ρ Тогда
lim ( ) const .k kz
b z k
→∞
= ∀ (30)
198 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 3, 2013
С. А. Петрова
Используя условие (30) в соотношении (28)
на каждом шаге итерационной процедуры, можно
найти единственную последовательность зна-
чений ,kξ а также соответствующую ей един-
ственную последовательность функций 1( ).kb z+
На практике достаточно исходить из асимптоти-
ческого вида 1( )b z на основе соотношения (26),
1 2 4 6
3 15 315( ) 1 ... ,
4 16 64
b z
z z z
≈ + − + −
удерживая k членов для нахождения асимптоти-
ческого значения 1.kb + В результате получим то-
ковую функцию осесимметричного бессилового
диполя и асимптотическую форму соответст-
вующей функции магнитного потока при z→∞
и 1:zρ
2 3 47 6754 3 ... ,
2 16
AA f f f f′ = − − + + (31)
2 4 6 8 10
2 4 6 8 10
3 1 13 9567 ... .
4 2 32 1280
f
z z z z z
ρ ρ ρ ρ ρ= − + + + + (32)
Представляет интерес сравнить выражения
(31), (32) с соответствующими функциями для
случая магнитного монополя, которые могут быть
получены в ходе применения описанной выше про-
цедуры при 1 1b = и 4,α =
2 3
mon
14 3 ,
2
AA f f f′ = − +
2 4 6 8 10
mon 2 4 6 8 10
3 5 35 63 ... .
4 8 64 128
f
z z z z z
ρ ρ ρ ρ ρ= − + − + +
Можно видеть, что различие невелико,
6
3
mon mon6
1 , 4 ,
8
f f AA AA f
z
ρ ′ ′− ≈ − − ≈ −
однако можно ожидать, что достаточно далеко
от магнитной оси оно может становиться су-
щественным.
Хотя выражение для токовой функции (31)
получено из асимптотического рассмотрения
на бесконечности, оно остается верным на лю-
бых высотах z достаточно близко к магнитной
оси, 1,zρ поскольку значение A сохраняется
вдоль магнитной силовой линии. Соответствен-
но, используя выражение (31), из рекуррентного
соотношения (28) можно найти функцию магнит-
ного потока при 0,z→ т. е. на нижней границе
бессиловой области, непосредственно над слоем
замыкающего тока,
2 4 6 8
3 5 7 9
3 15 203 ... ,
2 8 96
f
z z z z
ρ ρ ρ ρ= − + − +
которая отличается от функции магнитного дипо-
ля как
8
dip 9
7 .
96
f f
z
ρ− ≈
Это отличие обусловлено тем, что слой замыка-
ющего тока деформирует структуру магнитного
поля, изменяя, в частности, и граничное условие
в нижней части бессиловой области.
5. Îáñóæäåíèå ðåçóëüòàòîâ
В настоящее время структура осесимметричной
бессиловой магнитосферы пульсара исследуется
преимущественно методами численного модели-
рования. Вместе с тем все более насущной ста-
новится потребность улучшения лежащей в осно-
ве теоретической модели. В частности, необхо-
дим физически обоснованный пересмотр стандар-
тного набора граничных условий с учетом замы-
кания полоидального тока и присутствия зазоров.
Настоящая статья представляет собой одну из не-
многих попыток аналитического рассмотрения
пульсарного уравнения и имеет целью выяснить
влияние слоя замыкающего тока на поверхности
нейтронной звезды на граничные условия в бес-
силовой области.
Мы получили обобщенное пульсарное уравне-
ние (12), распространив его на область внутри
нейтронной звезды, что впервые позволило ис-
кать непрерывное самосогласованное решение по
обе стороны слоя замыкающего тока. Ограни-
чив рассмотрение областью вблизи магнитной
оси, мы линеаризовали токовую функцию, суще-
ственно упростили вид пульсарного уравнения
и нашли его точное решение (25). Этот результат
был использован как начальное приближение при
решении полного нелинейного пульсарного урав-
нения в полярной области. С использованием
условия радиальности магнитных силовых линий
на бесконечности были получены асимптотичес-
кие ряды для самосогласованных функций тока
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 3, 2013 199
Глобальная структура осесимметричной бессиловой магнитосферы пульсара с учетом замыкания тока...
и магнитного потока на бесконечности, а также
показана их единственность. Для найденной функ-
ции тока была получена также самосогласован-
ная функция магнитного потока непосредствен-
но над слоем замыкающего тока. Отличие этой
функции от дипольной демонстрирует необходи-
мость пересмотра граничного условия в нижней
части бессиловой области и позволяет допустить,
что существующая в настоящее время картина
осесимметричной бессиловой магнитосферы
пульсара, построенная на основе численного мо-
делирования, может претерпеть существенные
изменения.
Следует также отметить, что осевая функция
магнитного потока (25) дает дополнительное ус-
ловие на магнитной оси: 2 2
0
2 ( ).f z
ρ=
∂ ∂ρ = Φ При
решении эллиптической задачи, связанной с пуль-
сарным уравнением, методом квазиобращения
такое дополнительное условие может компенси-
ровать неизвестное условие на другой части гра-
ницы или незнание части самой границы. Это
представляется достаточно важным, поскольку
в настоящее время полный набор граничных ус-
ловий с учетом магнитосферных зазоров в точ-
ности не известен.
6. Âûâîäû
Проведено аналитическое рассмотрение стацио-
нарной осесимметричной бессиловой магнитосфе-
ры пульсара с учетом замыкания тока на поверх-
ности нейтронной звезды. Найдена осевая функ-
ция магнитного потока (25), которая имеет диполь-
ный характер внутри нейтронной звезды, плавно
меняется при переходе через слой замыкающего
тока и на бесконечности асимптотически совпа-
дает с функцией магнитного монополя. Исходя
из этой функции построено решение пульсарно-
го уравнения в полярной области. С учетом
квазимонопольного характера магнитного поля на
бесконечности получены асимптотические ря-
ды, описывающие самосогласованные функции
тока и магнитного потока, а также показана их
единственность. Найденные функции близки к
соответствующим характеристикам для бессило-
вого магнитного монополя, 6 6
mon 8 ,f f z− ≈ −ρ
3
mon 4 ,AA AA f′ ′− ≈ − однако вдали от магнитной
оси это отличие может становиться существенным.
С использованием выражения для токовой
функции, которое справедливо во всей полярной
области, найдена самосогласованная функция
магнитного потока непосредственно над слоем
замыкающего тока. Она отличается от харак-
терной для внутренности нейтронной звезды ди-
польной функции, 8 9
dip 7 96 ,f f z− ≈ ρ причем
это отличие должно становиться особенно замет-
ным с удалением от магнитной оси. Таким обра-
зом, показана необходимость пересмотра гранич-
ного условия в нижней части бессиловой облас-
ти, что может повлечь за собой существенное
изменение современной картины осесимметрич-
ной бессиловой магнитосферы пульсара.
Проведенное в статье рассмотрение баланса
сил в области замыкающего тока может быть
полезным для выяснения физики замыкания то-
ка на поверхности нейтронной звезды, а так-
же впервые ставит вопрос о сосуществовании
поперечного тока и полярного зазора, что, оче-
видно, может стать предметом последующих ис-
следований.
Работа частично поддержана грантом Прези-
дента Украины (проект ГФФИ № Ф35/554-2011).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
01. Michel F. C. Rotating Magnetospheres: an Exact 3-D
Solution // Astrophys. J. – 1973. – Vol. 180, No. 3. –
P. L133–L136.
02. Scharlemann E. T. and Wagoner R. V. Aligned Rotating
Magnetospheres. General Analysis // Astrophys. J. –
1973. – Vol. 182, No. 3. – P. 951–960.
03. Okamoto I. Force-free pulsar magnetosphere – I. The steady,
axisymmetric theory for the charge-separated plasma //
Mon. Not. R. Astron. Soc. – 1974. – Vol. 167, No. 3. –
P. 457–474.
04. Michel F. C. Rotating Magnetosphere: a Simple Relativistic
Model // Astrophys. J. – 1973. – Vol. 180, No. 1. –
P. 207–226.
05. Бескин В. С., Гуревич А. В., Истомин Я. Н. Электроди-
намика магнитосферы пульсара // ЖЭТФ. – 1983. –
Т. 85, Вып. 2. – С. 401–433.
06. Contopoulos I., Kazanas D., and Fendt C. The Axisym-
metric Pulsar Magnetosphere // Astrophys. J. – 1999. –
Vol. 511, No. 1. – P. 351–358.
07. Gruzinov A. Power of an Axisymmetric Pulsar // Phys.
Rev. Let. – 2005. – Vol. 94, Is. 2. – id. 021101.
08. Komissarov S. S. Simulations of the axisymmetric mag-
netospheres of neutron stars // Mon. Not. R. Astron.
Soc. – 2006. – Vol. 367, Is. 1. – P. 19–31.
09. McKinney J. C. Relativistic force-free electrodynamic si-
mulations of neutron star magnetospheres // Mon. Not.
R. Astron. Soc. – 2006. – Vol. 368, Is. 1. – P. L30–L34.
10. Spitkovsky A. Time-dependent Force-free Pulsar Magneto-
spheres: Axisymmetric and Oblique Rotators // Astro-
phys. J. – 2006. – Vol. 648, No. 1. – P. L51–L54.
200 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 3, 2013
С. А. Петрова
11. Kalapotharakos C. and Contopoulos I. Three-dimensional
numerical simulations of the pulsar magnetosphere: pre-
liminary results // Astron. Astrophys. – 2009. – Vol. 496,
No. 2. – P. 495–502.
12. Bai X. and Spitkovsky A. Modeling of Gamma-ray Pulsar
Light Curves Using the Force-free Magnetic Field // Astro-
phys. J. – 2010. – Vol. 715, No. 2. – P. 1282–1301.
13. Kalapotharakos C., Contopoulos I., and Kazanas D.
The extended pulsar magnetosphere // Mon. Not. R.
Astron. Soc. – 2012. – Vol. 420, Is. 4. – P. 2793–2798.
14. Contopoulos I. The coughing pulsar magnetosphere //
Astron. Astrophys. – 2005. – Vol. 442, No. 2. – P. 579–586.
15. Timokhin A. N. On the force-free magnetosphere of
an aligned rotator // Mon. Not. R. Astron. Soc. – 2006. –
Vol. 368, Is. 3. – P. 1055–1072.
16. Timokhin A. N. Force-free magnetosphere of an aligned
rotator with differential rotation of open magnetic field
lines // Astrophys. Space Sci. – 2007. – Vol. 308, Iss. 1–4. –
P. 575–579.
17. Kalapotharakos C., Kazanas D., Harding A., and Conto-
poulos I. Toward a Realistic Pulsar Magnetosphere //
Astrophys. J. – 2012. – Vol. 749, No. 1. – id. 2.
18. Li J., Spitkovsky A., and Tchekhovskoy A. Resistive Solu-
tions for Pulsar Magnetospheres // Astrophys. J. – 2012. –
Vol. 746, No. 1. – id. 60.
С. А. Петрова
Радіоастрономічний інститут НАН України,
вул. Червонопрапорна, 4, м. Харків, 61002, Україна
ГЛОБАЛЬНА СТРУКТУРА ВІСЕСИМЕТРИЧНОЇ
БЕЗСИЛОВОЇ МАГНІТОСФЕРИ ПУЛЬСАРА
З УРАХУВАННЯМ ЗАМИКАННЯ СТРУМУ
НА ПОВЕРХНІ НЕЙТРОННОЇ ЗІРКИ
Розглянуто стаціонарну вісесиметричну безсилову магнітос-
феру пульсара. Виконано узагальнення відомого пульсар-
ного рівняння з тим, щоб урахувати шар замикаючого стру-
му на поверхні нейтронної зірки. У результаті спрощення
пульсарного рівняння поблизу магнітної осі знайдено осьо-
ву функцію магнітного потоку, що пов’язує внутрішність
нейтронної зірки з безсиловою магнітосферою в області аж
до нескінченності. Використовуючи цю функцію в якості
початкового наближення, розв’язуємо повне пульсарне
рівняння у полярній області, знаходимо самоузгоджені
функції струму та магнітного потоку на нескінченності
та показуємо їх єдиність. За допомогою одержаної струмо-
вої функції знаходимо самоузгоджену функцію магнітного
потоку безпосередньо над струмовим шаром і демонструє-
мо її відмінність від дипольної функції всередині нейтронної
зірки. Цей результат означає необхідність перегляду стан-
дартного набору граничних умов у задачі про безсилову
магнітосферу пульсара.
S. A. Petrova
Institute of Radio Astronomy, National Academy
of Sciences of Ukraine,
4, Chervonopraporna St., Kharkiv, 61002, Ukraine
GLOBAL STRUCTURE OF THE PULSAR
AXISYMMETRIC FORCE-FREE MAGNETOSPHERE
ALLOWING FOR CURRENT CLOSURE
ON THE NEUTRON STAR SURFACE
The stationary axisymmetric force-free magnetosphere of a pul-
sar is considered. The well-known pulsar equation is generalized
so as to allow for the sheet of closing current at the neutron star
surface. As a result of simplification of the pulsar equation close
to the magnetic axis we find the axial magnetic flux function,
which links the neutron star interior to the force-free magneto-
sphere up to infinity. Using this function as a starting approxi-
mation, we solve the complete pulsar equation in the polar re-
gion, obtain the self-consistent current and magnetic flux func-
tions at infinity and show their uniqueness. With the current
function obtained we find the self-consistent flux function at the
top of the current sheet and demonstrate its distinctness from
the dipolar function inside the neutron star. This result implies
the necessity to reconsider the standard set of boundary condi-
tions in the problem of the pulsar force-free magnetosphere.
Статья поступила в редакцию 03.07.2013
|