Переход от ближней к дальней зоне в двухпозиционном рассеянии волн статистически неровной поверхностью
Для случая двухпозиционного рассеяния волн статистически неровной поверхностью найдены асимптотики двукратных интегралов от осциллирующих функций, определяющих временную корреляционную функцию рассеянного поля. Для невырожденного рассеяния (гессиан фазы отличен от нуля) использован метод стационарно...
Saved in:
| Published in: | Радиофизика и радиоастрономия |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Радіоастрономічний інститут НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100156 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Переход от ближней к дальней зоне в двухпозиционном рассеянии волн статистически неровной поверхностью / А.С. Брюховецкий // Радиофизика и радиоастрономия. — 2013. — Т. 18, № 3. — С. 244-256. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100156 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Брюховецкий, А.С. 2016-05-16T20:37:16Z 2016-05-16T20:37:16Z 2013 Переход от ближней к дальней зоне в двухпозиционном рассеянии волн статистически неровной поверхностью / А.С. Брюховецкий // Радиофизика и радиоастрономия. — 2013. — Т. 18, № 3. — С. 244-256. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1027-9636 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100156 621.371.162 Для случая двухпозиционного рассеяния волн статистически неровной поверхностью найдены асимптотики двукратных интегралов от осциллирующих функций, определяющих временную корреляционную функцию рассеянного поля. Для невырожденного рассеяния (гессиан фазы отличен от нуля) использован метод стационарной фазы. Для вырожденного (гессиан равен нулю) – комбинированный метод: метод стационарной фазы по одной переменной и приближение дифракции Фраунгофера по другой. Установлена связь с известными в литературе результатами расчетов. Для випадку двопозиційного розсіяння хвиль статистично нерівною поверхнею знайдено асимптотики двократних інтегралів, що визначають часову кореляційну функцію розсіяного поля. Для невирожденого розсіяння (гессіан фази не дорівнює нулеві) використано метод стаціонарної фази. Для виродженого розсіяння (гессіан фази дорівнює нулеві) – комбінований метод: метод стаціонарної фази за однією змінною та наближення дифракції Фраунгофера за іншою. Встановлено зв’язок з відомими в літературі результатами розрахунків. For a case of two-point wave scattering by a statistically rough surface, the asymtotics of double integrals of oscillating functions that determine the time correlation function of the scattered field are found. For nondegenerate scattering (hessian of phase is other than zero) the method of stationary phase has been used for calculations. For degenerate scattering (hessian of phase is zero) the combined method has been applied, namely, the method of stationary phase for one variable, and the Fraunhofer approximation for another variable. The correlation with the results known from literature has been established. ru Радіоастрономічний інститут НАН України Радиофизика и радиоастрономия Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн Переход от ближней к дальней зоне в двухпозиционном рассеянии волн статистически неровной поверхностью Перехід від ближньої до дальньої зони у двопозиційному розсіянні хвиль статистично нерівною поверхнею Near-to-Far Zone Transition in a Two-Point Wave Scattering by a Statistically Rough Surface Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Переход от ближней к дальней зоне в двухпозиционном рассеянии волн статистически неровной поверхностью |
| spellingShingle |
Переход от ближней к дальней зоне в двухпозиционном рассеянии волн статистически неровной поверхностью Брюховецкий, А.С. Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн |
| title_short |
Переход от ближней к дальней зоне в двухпозиционном рассеянии волн статистически неровной поверхностью |
| title_full |
Переход от ближней к дальней зоне в двухпозиционном рассеянии волн статистически неровной поверхностью |
| title_fullStr |
Переход от ближней к дальней зоне в двухпозиционном рассеянии волн статистически неровной поверхностью |
| title_full_unstemmed |
Переход от ближней к дальней зоне в двухпозиционном рассеянии волн статистически неровной поверхностью |
| title_sort |
переход от ближней к дальней зоне в двухпозиционном рассеянии волн статистически неровной поверхностью |
| author |
Брюховецкий, А.С. |
| author_facet |
Брюховецкий, А.С. |
| topic |
Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн |
| topic_facet |
Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Радиофизика и радиоастрономия |
| publisher |
Радіоастрономічний інститут НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Перехід від ближньої до дальньої зони у двопозиційному розсіянні хвиль статистично нерівною поверхнею Near-to-Far Zone Transition in a Two-Point Wave Scattering by a Statistically Rough Surface |
| description |
Для случая двухпозиционного рассеяния волн статистически неровной поверхностью найдены асимптотики двукратных интегралов от осциллирующих функций, определяющих временную корреляционную функцию рассеянного поля. Для невырожденного рассеяния (гессиан фазы отличен от нуля) использован метод стационарной фазы. Для вырожденного (гессиан равен нулю) – комбинированный метод: метод стационарной фазы по одной переменной и приближение дифракции Фраунгофера по другой. Установлена связь с известными в литературе результатами расчетов.
Для випадку двопозиційного розсіяння хвиль статистично нерівною поверхнею знайдено асимптотики двократних інтегралів, що визначають часову кореляційну функцію розсіяного поля. Для невирожденого розсіяння (гессіан фази не дорівнює нулеві) використано метод стаціонарної фази. Для виродженого розсіяння (гессіан фази дорівнює нулеві) – комбінований метод: метод стаціонарної фази за однією змінною та наближення дифракції Фраунгофера за іншою. Встановлено зв’язок з відомими в літературі результатами розрахунків.
For a case of two-point wave scattering by a statistically rough surface, the asymtotics of double integrals of oscillating functions that determine the time correlation function of the scattered field are found. For nondegenerate scattering (hessian of phase is other than zero) the method of stationary phase has been used for calculations. For degenerate scattering (hessian of phase is zero) the combined method has been applied, namely, the method of stationary phase for one variable, and the Fraunhofer approximation for another variable. The correlation with the results known from literature has been established.
|
| issn |
1027-9636 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100156 |
| citation_txt |
Переход от ближней к дальней зоне в двухпозиционном рассеянии волн статистически неровной поверхностью / А.С. Брюховецкий // Радиофизика и радиоастрономия. — 2013. — Т. 18, № 3. — С. 244-256. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT brûhoveckiias perehodotbližneikdalʹneizonevdvuhpozicionnomrasseâniivolnstatističeskinerovnoipoverhnostʹû AT brûhoveckiias perehídvídbližnʹoídodalʹnʹoízoniudvopozicíinomurozsíânníhvilʹstatističnonerívnoûpoverhneû AT brûhoveckiias neartofarzonetransitioninatwopointwavescatteringbyastatisticallyroughsurface |
| first_indexed |
2025-11-26T00:17:47Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:17:47Z |
| _version_ |
1850599409826398208 |
| fulltext |
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 3, 2013244
Радиофизика и радиоастрономия. 2013, Т. 18, № 3, c. 244–256
© А. С. Брюховецкий, 2013
ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈÅ,
ÄÈÔÐÀÊÖÈß È ÐÀÑÑÅßÍÈÅ
ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÛÕ ÂÎËÍ
А. С. БРЮХОВЕЦКИЙ
Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины,
ул. Ак. Проскуры, 12, г. Харьков, 61085, Украина
E-mail: bryu@ire.kharkov.ua
ÏÅÐÅÕÎÄ ÎÒ ÁËÈÆÍÅÉ Ê ÄÀËÜÍÅÉ ÇÎÍÅ
 ÄÂÓÕÏÎÇÈÖÈÎÍÍÎÌ ÐÀÑÑÅßÍÈÈ ÂÎËÍ
ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÈ ÍÅÐÎÂÍÎÉ ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÜÞ
Для случая двухпозиционного рассеяния волн статистически неровной поверхностью найдены асимптотики двукрат-
ных интегралов от осциллирующих функций, определяющих временную корреляционную функцию рассеянного поля.
Для невырожденного рассеяния (гессиан фазы отличен от нуля) использован метод стационарной фазы. Для вырож-
денного (гессиан равен нулю) – комбинированный метод: метод стационарной фазы по одной переменной и приближе-
ние дифракции Фраунгофера по другой. Установлена связь с известными в литературе результатами расчетов.
Ключевые слова: рассеяние волн, интеграл от осциллирующей функции, стационарная фаза, френелевская зона, дифрак-
ция Фраунгофера
УДК 621.371.162
1. Ââåäåíèå
Настоящая работа продолжает ранее начатые
автором исследования [1, 2] применительно к об-
щему случаю двухпозиционного рассеяния волн
статистически неровной поверхностью S, раз-
меры которой L достаточно произвольны по отно-
шению к радиусу кривизны волновых фазовых
фронтов.
Рассеяние волн статистически неровной повер-
хностью интенсивно изучается уже более полу-
века, однако теоретическое описание некоторых
аспектов этого явления и до сих пор оставляет
желать лучшего. Хотя многие из работ содержат
в своих названиях слова “теория рассеяния…”,
их по праву можно отнести лишь к тем, в которых
известна функция Грина соответствующей зада-
чи для “средней” поверхности (бесконечные плос-
кость и круговой цилиндр, сфера).
Для практических расчетов используют моди-
фикацию решения задачи рассеяния бесконечной
шероховатой плоскостью на случай рассеяния
шероховатой плоской поверхностью S больших
(по сравнению с длиной волны ),λ но конечных
размеров L. Суть этой модификации состоит
в замене бесконечных пределов интегрирова-
ния соответствующих интегралов на конечные.
Такой метод является эвристическим, аналогич-
ным методу Кирхгофа. Достоинства и недостат-
ки его уже обсуждались в [2]. Практическая
реализация вычислений в этом методе связана
с непростой задачей асимптотической оценки
многомерных интегралов от осциллирующих функ-
ций по конечной области интегрирования. Авторы
имеющихся работ с целью максимального упро-
щения процедуры расчетов прибегают к различ-
ного рода допущениям, среди которых предполо-
жение о возможности линейной аппроксимации
фазы в интегральном представлении корреляци-
онной функции и замена пределов интегрирова-
ния на бесконечные являются общими [3–5].
Может быть и негласно принимаемое предполо-
жение о возможности механического смешения
фрагментов совершенно различных задач. Так,
в работах [4, 5] (и многих других!) удельная эф-
фективная площадь из решения задачи рассея-
ния плоской волны бесконечной шероховатой плос-
костью подставляется в уравнение радиолокации
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 3, 2013 245
Переход от ближней к дальней зоне в двухпозиционном рассеянии волн статистически неровной поверхностью
для описания рассеяния площадкой конечных
размеров, освещаемой в пределах диаграммы на-
правленности локатора сферической волной.
“В действительности эффективная площадь
является лишь удобной математической величи-
ной” ([6], с. 36, с. 436), придающей уравнению
радиолокации феноменологический характер,
и сама она должна определяться решением соот-
ветствующей задачи рассеяния.
Существенным недостатком работ, в основе
которых лежат вышеуказанные допущения, яв-
ляется то, что их решения для случая “малой”
рассеивающей площадки не переходят в реше-
ние, которое получается на основе апробирован-
ного приближения дифракции Фраунгофера, о чем
упоминалось уже ранее [1, 2]. Указанные при-
чины являются мотивацией к исследованию рас-
сеяния с учетом сферичности волн в пределах
рассеивающей площадки.
Если ограничение линейным разложением фазы
в вычисляемых интегралах приводит к необходи-
мости оценки интегралов Фурье, процедуре
относительно простой и хорошо изученной
([7], с. 60), то учет сферичности фазовых фрон-
тов связан с более общим методом асимптоти-
ческой оценки – методом стационарной фазы
(МСФ), усложненным многократностью интегра-
ла, наличием границ, каустик и т. д. Поставим
целью настоящей работы исследование этим ме-
тодом двухпозиционного рассеяния волн статис-
тически неровной поверхностью. Проводя необхо-
димые вычисления, будем придерживаться двух
условий: во-первых, интересующие нас асимпто-
тики должны иметь аналитический вид; во-вто-
рых, в случае “малой” рассеивающей площадки
решение должно переходить в то, которое полу-
чается в приближении дифракции Фраунгофера.
2. Èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ
êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ( )B ττττ
è ÷àñòîòíîãî ñïåêòðà ( )S ωωωω
ðàññåÿííîãî ïîëÿ
Ранее было показано [2], что временную корре-
ляционную функцию ( )B τ при зависимости от вре-
мени t в виде 0~ i te− ω можно представить как
*
1 1( ) ( ) ( ) ( ),B B B Bτ = −τ = τ + τ (1)
где “*” – знак комплексного сопряжения, а
( ) ( ) 0 1 1
2 [ ( )]2
1 1 1 1 1( ) d ,i j
j
j
B W f e
∞
− ω + ω χ τ
=±−∞
τ = χ χ χ∑∫ (2)
( ) ( ) 1( )2
1 1 1 2 1 1d ; ,i r
S
f r f r e Φχ = χ∫ (3)
( ) ( ) ( )( ) ( )2 1 1 12 01 1 01 12; 2 2 4 ,f r J J R Rχ = σ χ π (4)
1 01 12 1 1( ) .r kR kR rΦ = + + χ (5)
В этих формулах 01 1 0 01 1 0( , )R R R r z z= − = − –
вектор, соединяющий точку рассеяния 1R =
1 1( , 0)r z = на средней поверхности 1 1( , ) 0z r t= ζ =
(см. рис. 1) с точкой источника 0 0 0( , );R r z= век-
тор 12 2 1R R R= − соединяет точку рассеяния 1R
с точкой наблюдения 2 2 2( , );R r z= 2 2σ = ζ –
дисперсия случайных неровностей; ( )1jW χ – не-
симметричный энергетический спектр волновых
чисел [8] (пространственный спектр неровностей),
а 1 1 1( )ω = ω χ частота случайных колебаний по-
верхности, отвечающая волновому вектору 1;χ
множители 01 1( )J χ и 12 ,J учитывающие влияние
отражательных свойств поверхности на трассе
01R для среднего поля и на трассе 12R для рас-
сеянного поля [9, 10], равны соответственно
( ) ( )01 1 01 1 01;J J Rχ ≡ χ =
( )( ) ( )2 2 2
1 01 0 011 1z zk k V k V= − αχ + α + + α η − +
( )( )2 2 2
1 0 01 011 ,z zk k k V W+ − α ⋅χ + α + α η − (6)
( ) ( ) ( )12 12 12 12 12 121 1 .J J R V V W≡ = + + − (7)
Здесь 01,V 12V – эффективные коэффициенты от-
ражения, а 01,W 12W – множители ослабления для
Рис. 1. Геометрия рассеяния
246 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 3, 2013
А. С. Брюховецкий
вышеуказанных трасс 01R и 12R соответственно;
0η – импеданс поверхности; 2k = π λ – волно-
вое число, 01 01 ,r Rα = 01 1 0;r r r= − 0 01 .z z Rα =
Случайное поле неровностей предполагается ста-
ционарным и однородным.
Приведенные выражения получены для усло-
вий волновой зоны и квазистационарности рассе-
яния 01 12( , 1kR kR и 0 1).ω ω Для бесконечной
плоскости они – результат теории возмущений [9].
Если же S – ограниченный участок плоскости
(с размерами ),L λ то их использование будет
эвристическим методом расчета, речь о кото-
ром шла выше.
Спектр является преобразованием Фурье вы-
ражения (2) для корреляционной функции:
( ) ( ) (1 2 ) ( ) diS S B e
∞
ωτ
−∞
ω = −ω = π τ τ =∫
( ) ( ) ( )22
1 1 1 1 0 1 1d ( ) ,jW f j
∞
−∞
= χ χ χ δ ω −ω − ω χ∫ (8)
( )( )0sign .j = ω −ω
Поскольку начало координат лежит в средней
плоскости 1 0,z = условный центр площадки имеет
радиус-вектор ( ,0).c cR r= При этом можно сде-
лать преобразования: 01 0 1,cR R r= + 12 2 1,cR R r= −
где 0 0 ,c cR R R= − 1 1 ,cr R R= − 2 2 .c cR R R= −
Особенности процедуры асимптотической
оценки интеграла (3) от осциллирующей функции
обсуждались ранее [1, 2]. Не останавливаясь
на них, займемся вычислением главного члена
асимптотики с помощью МСФ.
3. Çíà÷åíèå ôàçû sΦΦΦΦ
â ñòàöèîíàðíîé òî÷êå
Стационарная (седловая) точка 1 1sr r≡ фазы (5)
определяется условием
( )( )11 0,
s
r k k∂Φ ∂ = −β+α + χ = (9)
где
( ) ( )12 1 2 1 12 ,cR r r r Rβ = − ∂ ∂ = −
(10)
( ) ( )01 1 0 1 01 ,cR r r r Rα = ∂ ∂ = +
( )22
12 2 1 2 2 1 ,c cR R r z r r= − = + − (11)
( )22
01 0 1 0 0 1 .c cR R r z r r= + = + + (12)
Здесь и далее нижний индекс s отвечает значе-
нию в стационарной точке.
“Хотя математическое определение седловой
точки выглядит очень просто, найти положе-
ние седловых точек аналитическими методами,
вообще говоря, весьма трудно…” ([11], с.131).
Поэтому случай обратного рассеяния [1] являет-
ся уникальным, так как стационарная точка фазы
в этой работе определяется точно в аналитичес-
ком виде.
В случае отражения сферической волны от
гладкой плоскости (это отвечает значению 1 0χ =
в уравнении (9)) положение точки ищут прибли-
женно ([6], с. 115; [12], с. 194). Поскольку в об-
щем случае произвольных значений размеров L
поверхности S, направлений 0 ,cR 2cR определить
1sr из условия стационарности фазы (9) в анали-
тическом виде невозможно, ограничимся приб-
лижением дифракции Френеля, разложив 1( )rΦ
в ряд Тейлора:
1
1
( ) ,c n
n
r О
∞
=
Φ ≈ Φ +∑ (13)
2( ),c oc ck R RΦ = + (14)
( ), 1 1 1 1 0
0 0
1 .
!
n n
i i n i n i n i
n i n i n
i i
O O C x y x y
n
− −
−
= =
≡ ≡ ∂ Φ ∂ ∂∑ ∑ (15)
Нижним индексом 0 обозначено значение произ-
водной в точке 1 0.r =
Френелевское приближение (13) имеет вид
2 2
1 1 1 1 1 1 1( ) ,c xx yy xyr K r a x a y a x yΦ ≈Φ + + + + (16)
где
1 1,c cK k k= − β + α + χ (17)
0 0 ,c c cr Rα = 2 2 ,c c cr Rβ = (18)
0(1 2)( )xx xxa ′′= Φ =
( ) ( )2 2 3 2 2 3
2 2 2 0 0 0( 2) ,c c c ck z y R z y R⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦ (19)
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 3, 2013 247
Переход от ближней к дальней зоне в двухпозиционном рассеянии волн статистически неровной поверхностью
( )0(1 2)yy yya ′′= Φ =
( ) ( )2 2 3 2 2 3
2 2 2 0 0 0( 2) ,c c c ck z x R z x R⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦ (20)
( ) 3 3
2 2 2 0 0 00
.xy xy c c c c c ck x y R x y R⎡ ⎤′′α = Φ = +⎣ ⎦ (21)
Проведя непосредственные вычисления, мож-
но убедиться в том, что гессиан
( )2 0,xx yy xyH ′′ ′′ ′′= Φ Φ − Φ > (22)
если только 0z и 2z не обращаются в нуль одно-
временно. Следовательно, сумму членов 2-го
порядка в разложении (13) можно привести к ка-
ноническому виду квадратичной формы [13].
Предварительно проведем ортогональные пре-
образования координат 1 1( , ),x y целесообразность
которых будет ясна позже. Перейдем от 1r к 1r′
с помощью поворота вокруг оси 1oz на угол ϕ
(см. [13], с. 218; [14], с. 29):
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
cos sin , cos sin ,
sin cos ; sin cos .
x x y x x y y
y x y y x y
′ ′ ′= ϕ− ϕ = + ϕ⎧ ⎧
⎨ ⎨′ ′ ′= ϕ+ ϕ = − ϕ+ ϕ⎩ ⎩
(23)
Разложение фазы (16) приобретет при этом вид:
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ,c xx yy xyr r K r A x A y A x y′ ′ ′ ′ ′ ′ ′Φ =Φ =Φ + + + +
(24)
где 1 1 1( , )x yK K K′ ′ ′= и 1 1 1( , )x yK K K= связаны фор-
мулами, аналогичными (23), а
2 2
2 2
cos sin sin cos ,
sin cos sin cos ,
( )2sin cos cos2 .
xx xx yy xy
yy xx yy xy
xy xx yy xy
A a a a
A a a a
A a a a
⎧ = ϕ+ ϕ+ ϕ ϕ
⎪⎪ = ϕ+ ϕ− ϕ ϕ⎨
⎪ = − + ϕ ϕ+ ϕ⎪⎩
(25)
Сделаем параллельный перенос системы 1r′ на
величину 1 ,sr′ перейдя к :r
1 1 .sr r r′ ′= + (26)
Тогда
1 1 1 1( ) ( ) c sr r K r K r′ ′ ′Φ = Φ =Φ + + +
( ) ( )2 2 2 2
1 1 1 12 2xx s s yy s sA x x x x A y y y y′ ′ ′ ′+ + + + + + +
( )1 1 1 1 .xy s s s sA xy x y y x x y′ ′ ′ ′+ + + + (27)
Наложим на преобразования следующие условия:
1) линейные члены по x и y отсутствуют,
1 1 12 0,x s xx xy sK x A A y′ ′ ′+ + = (28)
1 1 12 0;y s yy xy sK y A A y′ ′ ′+ + = (29)
2) квадратичный член xy также отсутствует,
0.xyA = (30)
Из последнего условия получаем
( )sin 2 cos2 0,xy yy xx xyA = α −α ϕ+α ϕ =
или
tg2 ( ).xy xx yyϕ = α α −α (31)
Тем самым определен угол поворота ϕ системы
1r относительно системы 1.r′
С учетом условий (28), (29) и (30) находим
2 2( ) ,s xx yyr А x А yΦ =Φ + + (32)
2 2
1 1 .s c xx s yy sА x А y′ ′Φ =Φ − − (33)
Поскольку ( ) 0 0,rr =∂Φ ∂ = очевидно, что 1 0( )rr =′ =
1sr′ – стационарная точка фазы 1( ),r′Φ а ,sΦ опре-
деленная формулой (33), – ее стационарное зна-
чение.
Для нахождения вида кривых равной фазы
1( ) constr′Φ = следует определить знаки xxА и .yyА
Подставив ,xxa ,yya ,xya даваемые формулами
(19), (20), (21), в выражения (25), получим
( ) ( )2 2 3 2 2 3
2 2 2 0 0 0( 2) 0,xx c c c cА k z y R z y R⎡ ⎤′ ′= + + + ≥⎣ ⎦
(34)
( ) ( )2 2 3 2 2 3
2 2 2 0 0 0( 2) 0.yy c c c cА k z x R z x R⎡ ⎤′ ′= + + + ≥⎣ ⎦
(35)
Причем одновременно обратиться в нуль они
не могут.
Очевидно, что при 0r = фаза 1( ) sr′Φ = Φ ми-
нимальна. Обозначив 1( ) 0,sr′ΔΦ = Φ −Φ > полу-
чим (при 0,xxA ≠ 0)yyA ≠ уравнение эллипса
( ) ( )2 2 2 2 1,x a y b+ = + (36)
где ,xxa A= ΔΦ .yyb A= ΔΦ
248 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 3, 2013
А. С. Брюховецкий
При значении ,mΔΦ = π ( 1, 2, ...)m = эллипс
определяет границу m-й зоны Френеля.
Переход к случаю рассеяния плоской волны
[2] можно проследить при 0 21 1 .c cR R Если
выбрать систему 1r так, чтобы 2 0,cy = то полу-
чим соответствующие выражения из [2]: xxA ≅
( )( )( )2 2
2 2 2 22 , (2 ) , 0, 0.c c yy c xyk R z R A k R A≅ ϕ ≅ ≅
При этом ,xx xxA a≅ ,yy yyA a≅ 0.xya ≅
Если ограничиться значениями 0 2≤ ϕ ≤ π (до-
бавление 2, , ...±π ± π не меняет сути преобразо-
вания), то для 1 tgG ≡ ϕ будем иметь выраже-
ние 2
1 2 21 1 1,G G G= + + где для краткости обоз-
начено 2
2 1 1tg2 2 (1 ) ( ).xy xx yyG G G a a a≡ ϕ ≡ − = −
При этом элементы матрицы поворота sinϕ =
1 1(1 ),G G+ 1cos 1 (1 ).Gϕ = +
Из (24) следует, что уравнения стационар-
ности фазы 1( ),r′Φ определяющие 1 ,sx′ 1 ,sy′ имеют
вид:
( ) ( )1 1 1 10 2 ,x xx xys s
x K A x A y′ ′ ′ ′∂Φ ∂ = = + + (37)
( ) ( )1 1 11 0 2 ,y yy xy ss
y K A y A x′ ′ ′ ′∂Φ ∂ = = + + (38)
что совпадает с условием отсутствия линейных
членов разложения (28), (29). Учитывая условие
0,xyA = приводящее квадратичную форму к ка-
ноническому виду, из (37), (38) получаем коорди-
наты стационарной точки:
1 1 1 1(2 ), (2 ).s x xx s y yyx K A y K A′ ′ ′ ′= − = − (39)
Напомним, что ( )1 1,cK k′ ′ ′ ′= −β + α + χ 1xK ′ =
1 1 1 1 1cos sin , sin cos .x y y x yK K K K K′+ ϕ+ ϕ = − ϕ+ ϕ
4. Ïðèìåíèìîñòü ôðåíåëåâñêîãî
ðàçëîæåíèÿ ôàçû
Необходимым условием френелевского разложе-
ния фазы (24) должна быть малость отброшен-
ных членов разложения по сравнению с оставлен-
ными. При повороте системы координат, при-
водящем к преобразованиям 1 1,r r′→ 2 2 ,c cr r′→
0 0 ,c cr r′→ сохраняется длина этих векторов, 1 1,r r′=
2 2 ,c cr r′= 0 0c cr r′= и т. д. Разложение фазы вблизи
1 1r r′ = записывается в виде
1
1
( ) ,c n
n
r O
∞
=
′ ′Φ = Φ +∑ (40)
где nO′ определены формулой (15) с заменой
1 1,x x′→ 1 1.y y′→
Слагаемые 0,3O′ и 3,0O′ в 3O′ малы по сравне-
нию с 2 ,O′ если выполнены условия:
1 1
1 11, 1,x R y R− −′ ′ (41)
1 1 1
0 2 .c cR R R− − −= + (42)
Такая оценка достаточно аккуратно получает-
ся при произвольных 0 ,cR′ 2 .cR′ Из-за большого
числа параметров 0( ,z 2,z 0 ,cx′ 2 ,cx′ 0 ,cy′ 2 )cy′
при произвольных 0 ,cR′ 2cR′ произвести аккурат-
ную оценку 1,2O′ и 2,1O′ не удается. Это возможно
сделать для двух крайних случаев:
1) 0cR′ и 2cR′ лежат в одной плоскости 1 ;oz
2) 0cR′ и 2cR′ лежат во взаимно перпендикуляр-
ных плоскостях 1 .oz
Критерием относительной малости 1,2O′ и 2,1O′
и в этих случаях является условие (41). По-види-
мому, оно остается справедливым и для проме-
жуточных положений 0 ,cR′ 2 .cR′
При этом 2
1 ,xxA x′ 2
1 ,yyA y′ вообще говоря, могут
быть произвольные по сравнению с единицей, для
чего необходимо выполнение условий:
( )22
0 2 0 2( ) 1,xx xx c c c cA R A R R R R= + (43)
( )22
0 2 0 2( ) 1,yy yy c c c cA R A R R R R= + (44)
что накладывает определенные ограничения на
сферические углы 0 ,cθ 0 ,cϕ 2 ,cθ 2cϕ векторов
0cR и 2 .cR
Заметим, что 1 1 ,xx xk A− = ρ 1 1yy yk A− = ρ –
главные кривизны поверхности 1
1( )z k r− ′= Φ в
стационарной точке, а ,xρ yρ – соответственно
главные радиусы кривизны ([15], с. 823; [13],
с. 415), (1 2)(1 1 )x yρ + ρ – средняя кривизна,
(1 )(1 )x yρ ρ – гауссова кривизна.
В общем виде определить вид области значе-
ний 0 0 0 0( , , ),c c cR x y z′ ′= 2 2 2 2( , , ),c c cR x y z′ ′= где вы-
полняются условия (43), (44) или обратные им,
практически невозможно. При этом заметим,
что обратиться в нуль одновременно xxA и yyA
не могут (либо 0 2, 0,c cx x′ ′ → 0 2, 0,c cy y′ ≠ либо
0 2, 0,c cy y′ ′ → а 0 2, 0).c cx x′ ′ ≠ В связи с этим будем
различать два случая рассеяния – вырожденного
и невырожденного. Первый отвечает обращению
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 3, 2013 249
Переход от ближней к дальней зоне в двухпозиционном рассеянии волн статистически неровной поверхностью
в нуль гессиана 4 0.xx yyH A A= = В случае не-
вырожденного рассеяния 0.H ≠ В предыдущих
исследованиях [1, 2] эти случаи отвечали сколь-
зящему и нескользящему рассеянию. В рассмат-
риваемой нами задаче двухпозиционного рассе-
яния для обращения в нуль гессиана 4 xx yyH A A=
условий 0 2, 0z z → недостаточно. Необходи-
мо еще чтобы 0 2, 0c cx x′ ′ → либо 0 2, 0.c cy y′ ′ →
В дальнейшем будем рассматривать лишь ус-
ловия 0 2, 0,c cy y′ ′ → поскольку случай 0 2, 0c cx x′ ′ →
будет отличаться лишь переобозначением пе-
ременных. Для вырожденного рассеяния источ-
ник 0 0 0 0( , 0, 0)c c cR x y z′ ′ ′ = = и точка наблюдения
2 2 2 2( , 0, 0)c c cR x y z′ ′ ′ = = лежат на одной прямой
1 0y′ = в средней плоскости 0.z =
5. Íåâûðîæäåííîå ðàññåÿíèå
Возвращаясь к формуле (3), заметим, что
( ) ( )2 ( )
2 1 2 1 1 1d ; ,i r
S
I r f r e f′Φ′ ′ ′ ′= χ = χ∫ (45)
так как преобразование поворота r r′→ имеет
якобиан, равный единице.
“Большая” рассеивающая площадка характе-
ризуется значениями 2
1 1,xxA x′ 2
1 1yyA y′ при
граничных значениях 1 ( 2),x x′ = ± Δ 1 ( 2).y y′ = ± Δ
Выбор площадки S в таком виде позволяет про-
следить влияние близости границы к стационар-
ной точке по каждой переменной 1,x′ 1y′ незави-
симо от другой переменной.
Для “малой” площадки имеем обратные нера-
венства 2
1 1,xxA x′ 2
1 1yyA y′ при значениях 1,x′
1,y′ отвечающих граничным точкам.
Главный член асимптотики имеет вид (П2) (см.
Приложение),
( ) ( )1 1 2 1 1; ,si
s xs x ys yf e f r h Q h QΦ′ ′ ′χ ≈ χ Δ Δ (46)
где ,xQΔ yQΔ описывают осцилляции поля с из-
менением расстояния стационарной точки до гра-
ницы тени по каждой из переменных.
“Áîëüøàÿ” ïëîùàäêà
Для стационарных точек в освещенной зоне, зна-
чительно удаленных от границ тени, имеем асим-
птотику , ,x yQ QΔ Δ ≈ π и
( ) ( ) ( ) ( 2)
1 1 2 1 1; .si
xx yy sf A A f r e Φ +π′ ′ ′χ ≈ π χ (47)
Для случая падающей плоской волны 2 0( )c cR R
имеем ( )2 2
2 2 2 2( 2 ) ... , (2 ),xx c c yy cA k R z R A k R≈ + ≈
и полученная формула переходит в формулу (23)
из работы [2].
“Ìàëàÿ” ïëîùàäêà
В формулу для 2I следует подставить ,xQΔ ,yQΔ
даваемые формулами (П11), (П12) из Приложе-
ния, тогда
( ) ( )( )( )1 1
1 1 2 1 1; sin sin ,сi
s x x y yf Se f r X X X XΦ − −′ ′χ ≈ χ
(48)
где
( )1( 2) ,x x cx cx xX C k x k′ ′ ′= − = Δ β −α −χ (49)
( )1( 2) ,y y cy cy yX C k y k′ ′ ′= − = Δ β −α −χ (50)
,S x y= Δ Δ и учтено, что c s x yВ ВΦ =Φ + + со-
гласно (П16).
6. Âûðîæäåííîå ðàññåÿíèå
В этом случае 0 2 0 2 0.c cz z y y′ ′= = = = При этом
0,xxA = 0.yyA ≠ Для такой ситуации 0 0 ,c cR x′=
2 2c cR x′= и выражение для yyA принимает вид
( )2 0( 2) 1 1 ,yy c cA k R R= + (51)
а фаза
2
1 1 1 3( ) ...,c yyr K r A y O′ ′ ′ ′ ′Φ =Φ + + + + (52)
причем 3 1,2 ,O O′ ′= а остальные члены 3-го поряд-
ка равны нулю. Выражение для 1,2O′ имеет вид
2 3 3
1,2 1 1 2 2 0 0( 2) c c c cO k x y x R x R⎡ ⎤′ ′ ′ ′ ′= − =⎣ ⎦
2 2 2
1 1 2 0( 2) .cx c cx ck x y R R⎡ ⎤′ ′ ′ ′= −β + α⎣ ⎦ (53)
В этом случае разложение фазы (53) линейно
по 1x′ и квадратично по 1.y′ Поэтому асимптоти-
ческое интегрирование по переменной 1x′ – это за-
дача асимптотической оценки интеграла Фурье
(процедура хорошо известная, см. [7], с. 60), а по
переменной 1y′ – это задача МСФ.
Перепишем (52) в виде
( )( )2 2 2
1 1 1 1 1 2( ) 1 2c y yy cx cr K y A y k y R⎡′ ′ ′ ′ ′ ′Φ =Φ + + + −β − +⎣
250 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 3, 2013
А. С. Брюховецкий
( )( )2 2
1 0 11 2 .cx c xy R q x⎤′ ′ ′ ′+α − + ⎦ (54)
Поскольку ( )2 1 1;f r′ ′χ мало отличается на кон-
цах интервала 1 2x x′ ≤ Δ от значения в центре
1 0,cx x′ ′= = первый член асимптотики интеграла
Фурье по переменной 1x′ равен
( ) 1
2
( )
2 1 2 1 1
2
d ;
x
i r
x
x
I x f r e
Δ
′Φ
−Δ
′ ′ ′= χ ≈∫
( )( ) 1
2 1 1, ; sin ,i y
c x xe xf x y X X′Φ −′ ′ ′≈ Δ χ (55)
( )( )2 2
1 2( 2) 1 2x cx cX k x y R⎡ ′ ′= Δ −β − +⎣
( )( )2 2
1 01 2 ,cx c xy R q ⎤′ ′ ′+α − + ⎦ (56)
2
1 1 1( ) .c yy yy A y K y′ ′ ′ ′Φ =Φ + + (57)
Стационарная точка 1 1( )s sy y′ ′= определяется по-
прежнему равенством 1 1 2 ,s y yyy K A′ ′= − поэтому
главный член асимптотики 2I равен
( )
2
1
2 1 2 2 1 1
2
d , ; sins
y
i
x c s x x
y
I y I e xf x y X X
Δ
Φ −
−Δ
′ ′ ′ ′= ≈ Δ χ ×∫
1 1
.
sys y y yh Q ′ ′=× Δ (58)
Здесь ysh и yQΔ определены формулами (П3),
(П4) из Приложения, а
2
1 1 1s c yy s y sA y K y′ ′Φ = Φ + + =
( )( )2
1 2 02 1 1 .c s c cky R R′= Φ − + (59)
При 01 0cR → формула (58) переходит в формулу,
полученную для случая рассеяния плоской волны [2].
Относительно размеров yΔ возможны два предель-
ных случая – “большой“ и “малой” площадок.
“Áîëüøàÿ” ïëîùàäêà
В этом случае для стационарных точек внутри
освещенной области ( )1 2 ,sy y′ < Δ значительно
удаленных от границ тени 1 2,y y′ = ±Δ можно
положить ,yQΔ ≈ π в результате чего получим
( ) ( )21/ 4
1 1
c yy si A yf e x
′π +Φ −′χ ≈ Δ ×
( ) 1
2 1 1, ; sin .yy c s x xA f x y X X−′ ′ ′× π χ (60)
С учетом условия 1
1 1y R−′ в выражении (56) для
xX можно пренебречь поправкой ( )2 2
1 2~ 2 ,s cy R′
( )2 2
1 0~ 2 .s cy R′
“Ìàëàÿ” ïëîùàäêà
Согласно формуле (П12) из Приложения
( )2
1 4 1 sin ,yy si A y
y yy y yQ ye A X X
′ −π −Δ ≈ Δ (61)
где
( )( 2) .y cy cy yX k y q′ ′ ′= Δ −β +α +
При этом
( ) ( )( )( )1 1
1 2 1 1, ; sin sin .сi
c s x x y yf Se f x y X X X XΦ − −′ ′ ′ ′χ ≈ χ
(62)
7. Ïðèáëèæåíèå
äèôðàêöèè Ôðàóíãîôåðà
Для “малой” площадки члены разложения в фазе
выше 1-го порядка малы по сравнению с едини-
цей, 2( 2) 1,xxA xΔ 2( 2) 1,yyA yΔ поэтому
( )1 1( ) ... .c c cr k q r′ ′ ′ ′ ′Φ ≈ Φ + −β +α + + (63)
Интеграл (3) с таким приближением для фазы яв-
ляется типичным двукратным интегралом Фурье.
Асимптотическая оценка его является несложной
задачей ([7], с. 60), так как выполняется методом
интегрирования по частям. Поскольку ( )2 1 1;f r′ ′χ
на границе S мало отличается от своего значения
в центре площадки 1 ,cr r′ ′= главный член асимпто-
тики выглядит следующим образом:
( ) ( )( )( )1 1
1 1 2 1; sin sin ,сi
cs x x y yf e Sf r X X X XΦ − −′ ′ ′χ ≈ χ
(64)
где 1 2,x xX K x′= Δ 1 2.y xX K y′= Δ
Отличие полученного выражения (64) от давае-
мых МСФ выражений (48) и (62) для “малой”
площадки заключается в разнице аргументов:
( )2 1 1; ,sf r′ ′χ ( )1 1, ;c sf x y′ ′ ′χ в МСФ и ( )2 1;cf r′ ′χ
в приближении дифракции Фраунгофера. Пос-
кольку предполагается выполненным условие
1
1 1,sr R−′ этой разницей можно пренебречь,
учитывая плавность изменений функции ( )2 1 1;f r′ ′χ
(см. формулу (4)).
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 3, 2013 251
Переход от ближней к дальней зоне в двухпозиционном рассеянии волн статистически неровной поверхностью
8. Ñðåäíÿÿ èíòåíñèâíîñòü
Средняя интенсивность (0)B согласно формулам
(1) и (2) определяется выражением
( ) ( ) 22
1 1 1 1(0) 2 d 2 ,B W f
∞
−∞
′ ′ ′= χ χ χ∫ (65)
где ( ) ( ) ( )1 1 1(1 2)W W W+ −⎡ ⎤′ ′ ′χ = χ + χ⎣ ⎦ – симмет-
ричный спектр [8].
Вид формулы (65) является подтверждением
того, что статистически независимыми рассеи-
вателями являются фурье-компоненты однород-
ного и стационарного случайного поля неровнос-
тей, а ( )1 1f ′χ являются парциальными амплиту-
дами рассеяния каждой фурье-компонентой.
Íåâûðîæäåííîå ðàññåÿíèå
“Áîëüøàÿ” ïëîùàäêà
Пренебрегая вкладом в (0)B от стационарных
точек в приграничной полосе и в зоне тени, ис-
пользуем для ( )1 1f ′χ выражение (47). С помощью
уравнений стационарности находим, что
2
1 1 1 1 1d d d 4 d d .x y xx yy s sA A x y′ ′ ′ ′ ′χ = χ χ = (66)
Это позволяет в интеграле (65) перейти от интег-
рирования по 1′χ к интегрированию по 1 ,sr′
( ) ( ) ( )1
22
1 1 1 1(0) 4 d 4 ,
s s
s xx yy k
S
B r A A f W ′ ′ ′χ = β −α
′ ′ ′≈ χ χ∫
(67)
где 12 1( ) ,s sR r′ ′β = − ∂ ∂ 01 1( ) ,s sR r′ ′α = ∂ ∂ а 12 ,R 01R
представлены квадратичными разложениями по
1,x′ 1,y′ в чем можно убедиться путем непосредст-
венных вычислений и подстановки в уравнения
стационарности.
Подставив в (67) выражение (47) для ( )1 1 ,f ′χ
получим
( ) ( ) ( )1
22 2
1 2 1 1 1(0) 16 d ; .
s s
s s k
S
B r f r W ′ ′ ′χ = β −α
′ ′ ′ ′≈ π χ χ∫
(68)
Переход к случаю рассеяния плоской волны лег-
ко выполнить, положив 1 0 0,s cx R′ → 1 0 0s cy R′ →
в разложении для .s′α
“Ìàëàÿ” ïëîùàäêà
В силу быстрого убывания “диаграммных” мно-
жителей в (48) пределы интегрирования по 1′χ
можно считать бесконечными, а из-за малого от-
личия от результатов приближения дифракции
Фраунгофера в качестве ( )1 1f ′χ взять именно это
приближение. Тогда
( ) ( )22 2
1 2 1 1(0) 4 d ;cB S f r W
∞
−∞
′ ′ ′ ′= χ χ χ ×∫
( )( )1 1sin sin ,x x y yX X X X− −× (69)
где ,xX yX определены формулами (49), (50):
( )1 1( 2) ,x cx xX x ′ ′= Δ χ −χ
(70)
( )1 ,cx cx cxk′ ′ ′χ = β −α
( )1 1( 2) ,y cy yX y ′ ′= Δ χ −χ
(71)
( )1 ,cy cy cyk′ ′ ′χ = β −α
Если выражение ( ) ( )2
2 1 1;cf r W′ ′ ′χ χ слабо ме-
няется в пределах первых нескольких лепестков
“диаграммных” множителей, его можно вынести
за знак интеграла при значении 1 1 .c′ ′χ = χ Остав-
шийся интеграл является табличным (см. [15],
с. 431), равным 24 .Sπ В результате
( ) ( )22
2 1 1(0) 16 ; ,c c cB f r W S′ ′ ′≈ π χ χ (72)
что совпадает с подобным результатом в случае
рассеяния падающей плоской волны [2].
Âûðîæäåííîå ðàññåÿíèå
“Áîëüøàÿ” ïëîùàäêà
Если пренебречь вкладом стационарных точек
из переходной пограничной зоны и зоны тени,
то, приняв во внимание (60), аналогично выводу
формулы (67) можно положить
( )
1
1
22
1 1 2 1 1
4(0) ( ) d d , ;
u
l
y x c s
yy
B x f x y
A
′χ ∞
′χ −∞
π ′ ′ ′ ′ ′= Δ χ χ χ ×∫ ∫
( )( )21
1 sin .x xW X X−′× χ (73)
252 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 3, 2013
А. С. Брюховецкий
При этом ( )1W ′χ должна быть достаточно плавной
функцией вблизи граничных значений 1 ,l′χ 1 ,u′χ рав-
ных соответственно 1 ,l yykA y′χ = − Δ 1 ,u yykA y′χ = Δ
поскольку в данном случае 0,cy cy′ ′α = β = cx′α =
1.cx′β =
Если сомножитель при ( )21 sinx xX X− мало ме-
няется в области нескольких первых лепестков,
его можно вынести из-под знака внутреннего
интеграла, приравняв значению в точке 1cx′χ =
( ).cx cxk ′ ′β −α В результате получим
( )2(0) 8 yyB A x= π Δ ×
( ) ( )
1
1 1
1
2
1 2 1 1 1d , ; .
u
x cx
e
y c sf x y W
′χ
′ ′χ =χ
′χ
′ ′ ′ ′ ′× χ χ χ∫ (74)
Из уравнения стационарности следует 1y′χ =
12 ,yy sA y′− поэтому 1 1d 2 d .y yy sA y′ ′χ = − Перейдя к
переменной интегрирования 1 ,sy′ получим
( ) ( )
2
22
1 2 1 1 1
2
(0) 16 d , ; ,
y
s c s
y
B x y f x y W
Δ
−
′ ′ ′ ′ ′= π Δ χ χ∫ (75)
где ( )1 1 1, 2 .cx yy sA y′ ′ ′χ = χ −
В таком виде (75) обобщает формулу (53) из
[2] (в последней утеряно )xΔ на случай двухпо-
зиционного рассеяния.
“Ìàëàÿ” ïëîùàäêà
Как и в случае невырожденного рассеяния, в ка-
честве ( )1 1f χ можно взять приближение дифрак-
ции Фраунгофера (64), а пределы интегрирования
считать бесконечными в силу быстрого убыва-
ния “диаграммных” множителей,
( ) ( )22 2
1 2 1 1(0) 4 d ;cB S f r W
∞
−∞
′ ′ ′ ′= χ χ χ ×∫
( ) ( )2 21 1sin sin .x x y yX X X X− −× (76)
В случае достаточно широкополосного спектра
( )1W ′χ (по сравнению с «диаграммными» множи-
телями) его вместе с ( ) 22 1;cf r′ ′χ можно вынести
за знак интеграла при значении 1 1 .c′ ′χ = χ В резуль-
тате получим
( ) ( )22
2 1 1(0) 16 ; ,c c cB f r W S′ ′ ′= π χ χ (77)
где по-прежнему ( )1 .c c ck′ ′ ′χ = β −α
Очевидно, что формула (77) переходит в полу-
ченную ранее ([2], формула (55)) в задаче рас-
сеяния плоской волны.
9. ×àñòîòíûé ñïåêòð
Для закона дисперсии 1 1 1( ) ,gω χ = χ где g – ус-
корение силы тяжести, δ -функция в формуле (8)
равна
( ) ( )1 1 1 1( ) 2 2 ( ).s Br sj kx′δ Δω− ω χ = ω δ χ −χ (78)
Здесь 0 ,Δω= ω −ω sign ,j = Δω 2 ,Br gkω =
а 2 2
1 02 2 ( )s Brk kχ = ξ ≡ Δω ω – нуль δ -функции.
Перейдем к вычислению конкретных случаев.
Íåâûðîæäåííîå ðàññåÿíèå
“Áîëüøàÿ” ïëîùàäêà
Для частот, формируемых стационарными точка-
ми освещенной области, удаленными от границ,
взяв в качестве ( )1 1f ′χ выражение (47) и 2
1d ′χ =
2
14 d ,xx yy sA A r′ получим
( ) 22 2
1 2 1 1( ) 16 d ;s s
S
S r f r′ ′ ′ω = π χ ×∫
( ) ( )
1 11 1 1( ) ,
sjW j ′ ′χ =χ′× χ δ Δω− ω χ (79)
где ( )1s s sk′ ′ ′χ = β −α определено квадратичными
разложениями по 1 ,sx′ 1sy′ величин 01,R 12R в вы-
ражениях 12 1( ) ,s sR r′ ′β = − ∂ ∂ 01 1( ) .s sR r′ ′α = ∂ ∂
“Ìàëàÿ” ïëîùàäêà
В этом случае в качестве ( )1 1f ′χ следует взять
выражение (48). Подставив его в (8), аналогично
вычислениям (0),B получим
( ) ( )
2
23 2
1 1 2 1
0
( ) 2 2 d ;s Br c sS k S f r
π
′ ′ ′ω = χ ω ϕ χ ×∫
( )( ) ( ) 1 1
2 21 1
1 sin sin .
sj s x x y yW X X X X− −
′ ′χ =χ′χ (80)
где ,xX yX определены формулами (49), (50).
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 3, 2013 253
Переход от ближней к дальней зоне в двухпозиционном рассеянии волн статистически неровной поверхностью
Âûðîæäåííîå ðàññåÿíèå
“Áîëüøàÿ” ïëîùàäêà
Как и в случае вычисления (0),B пренебрежем
вкладом в рассеяние стационарных точек в пере-
ходной пограничной области и в области тени,
продолжив ( )1 1f ′χ в этих областях нулевыми зна-
чениями, а в освещенной области используем
асимптотику (60). Тогда
( ) ( )
2
23 2
1 1 2 1 1
0
( ) 2 2 ( ) d , ;s Br c s sS k x f x y
π
′ ′ ′ ′ω = χ ω π Δ ϕ χ ×∫
( )( ) ( )
1 1
2 2
1 1sin ( 2) ,
sj s x x sW X X U y y−
′ ′χ =χ′ ′× χ Δ − (81)
где xX определено формулой (56), 1s′χ =
1 1 1 1( cos , sin ).s s′ ′ ′ ′χ ϕ χ ϕ
Функция единичной ступеньки ( )U y равна 1,
если аргумент 0,y ≥ и нулю, если аргумент 0.y ≤
Напомним, что 1sy′ и 1s′χ связаны формулой (39).
“Ìàëàÿ” ïëîùàäêà
В этом случае из-за быстрого убывания “диаг-
раммных” множителей допустимы любые зна-
чения 1′χ (в том числе и отвечающие точкам
1 2).sy y′ Δ По той же причине можно везде вос-
пользоваться приближением дифракции Фраун-
гофера (64) и в результате получить
( ) ( )
2
23 2
1 1 2 1
0
( ) 2 2 d ;s br c sS k S f r
π
′ ′ ′ω = χ ω ϕ χ ×∫
( )( ) ( ) 1 1
2 21 1
1 sin sin .
sj x x y yW X X X X− −
′ ′χ =χ′× χ (82)
Связь между 1 ,s′χ 1 ,sy′χ 1sy′ и xX та же, что и в
выражении (81), а 1 .y syX y R′= χ Δ Напомним, что
1
0 21 1 ,c cR R R− = + ( )1 .s s sk′ ′ ′χ = β −α
Очевидно, что в случае “малой” площадки
формулы (81), (82) для вырожденного рассеяния
являются аналитическим продолжением соот-
ветствующих им формул (79), (80) для невы-
рожденного, учитывающим конкретные значе-
ния 0cR и 2 .cR
10. Îáñóæäåíèå ðåçóëüòàòîâ
Применение МСФ для исследования рассматри-
ваемой проблемы является новым шагом в ее
решении, позволяющим отказаться от неоправдан-
ных предположений, характерных для работ пред-
шественников. Новыми являются как рабочие фор-
мулы, полученные в приближении дифракции
Френеля, так и их предельный переход к результа-
там, отвечающим приближению дифракции Фраун-
гофера в случае “малой” рассеивающей площадки,
что является подтверждением их достоверности.
Применимость полученных результатов иссле-
дования ограничена по ряду причин. Первая из
них – необходимая малость отбрасываемых чле-
нов в разложении фазы по сравнению с квадра-
тичными. Это ограничивает область рассматри-
ваемых в вычислениях значений 1 1,x y′ ′ требова-
ниями (41). Вторая причина – ограничение глав-
ным членом асимптотического разложения (46),
что требует малости по сравнению с ним после-
дующих членов разложения. Как указывалось
ранее [1], в общем виде для однократного интег-
рала такой критерий малости установлен лишь
для случая изолированных стационарных точек
([11], c. 474–475, 532–533), расположенных вдали
от концов контура интегрирования. Главная труд-
ность оценок при этом связана с обращением
степенных рядов.
В нашем случае френелевского разложения фазы
(32) и конкретного вида аналитической зависимо-
сти функции ( )2 1 1;f r′ ′χ от 1r′ (4) условие малос-
ти последующих членов асимптотического ряда
по сравнению с главным для двукратного интег-
рала (3) можно получить в явном виде. Разложе-
ние ( )2 1 1;f r′ ′χ в ряд Тейлора в окрестности точки
1 1sr r′ ′= и почленное интегрирование в (3) приво-
дит к табличным интегралам, выражающимся
либо через дополнение интеграла вероятности
аналогично формуле (П2), либо через произведе-
ние степеней 1 ,sx′ 1sy′ на гауссовы экспоненты.
Требование малости поправок, линейных по 1 ,sx′
1 ,sy′ приводит к условиям 1 1,s sx R′ 1 1,s sy R′
где 01 121 (1 1 ) .s sR R R= + А требование малос-
ти квадратичных поправок – соответственно к
2 2
1 1,s sx R′ 2 2
1 1,s sy R′ 2
1 1 1,s s sx y R′ ′ что
по порядку величин равносильно вышеприведен-
ному требованию (41).
Кроме того, различные варианты формул для
(0)B и ( )S ω накладывают некоторые ограниче-
ния на спектр неровностей ( )1W ′χ и частотный
интервал ,ω о чем говорилось при их выводе.
При этом специальный выбор геометрии площадки
S в формуле (45) не является принципиальным
254 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 3, 2013
А. С. Брюховецкий
ограничением для вычислений, однако позволяет
описать влияние близости стационарной точки
1 1( , )s sx y′ ′ к границе по каждой из переменных
раздельно.
Результаты проведенных исследований пред-
ставляют интерес с нескольких сторон. Во-пер-
вых, сам ход вычислений позволяет проследить
физический механизм рассеяния волн. Во-вторых,
они могут служить основой создания физически
обоснованных моделей рассеяния волн для прак-
тических задач, таких как радиолокация взволно-
ванной морской поверхности.
Относительно физического механизма рассея-
ния в литературе (см. напр. [5], с. 2) бытует
мнение, что его объяснил в своей пионерской
работе [16] Д. Кромби. Для справки приве-
дем его высказывание на этот счет в оригинале:
”A tentative explanation of these features can be
offered if it is assumed that the sea waves act as
diffraction gratings”.
Объяснение это столь же неясное, сколь и
некорректное по причине полного несоответствия
физических условий.
В оптике наблюдается дифракция Фраунгофе-
ра ([15], с. 418): падающая волна практически
плоская (коллимированный свет), точка наблю-
дения располагается в фокальной плоскости
объектива (условия дальней зоны). Наблюдае-
мые дифракционные максимумы отвечают оп-
ределенным разностям оптического хода вдоль
направлений падения и рассеяния (отличных от
скользящих!), при которых вклады в рассеянное
поле от отдельных элементов решетки склады-
ваются синфазно.
В экспериментах Кромби [16] указанные на-
правления – чисто скользящие (что нереализуе-
мо в оптике), волны (падающая и рассеянные)
в пределах диаграммы направленности локато-
ра – сферические, а рассеянное поле имеет слу-
чайный характер. При этих условиях рассеяние
отвечает условиям дифракции Френеля, харак-
терной чертой которой является “деструктивная
интерференция” ([15], с. 421). Статистически не-
зависимыми рассеивателями являются не элемен-
ты 2
1d r площадки, а фурье-компоненты случайно-
го поля неровностей. Об этом свидетельствует
сам вид формулы (3), в основу вывода кото-
рой положена теорема Винера–Хинчина для од-
нородного и стационарного случайного поля не-
ровностей.
Из-за деструктивной интерференции парциаль-
ная амплитуда ( )1 1f ′χ рассеяния отдельной “си-
нусоидальной” решеткой с волновым вектором
1′χ определяется лишь малой окрестностью точ-
ки 1sr′ (зависящей от 1),′χ где осцилляции фазы
минимальны, т. е. окрестностью стационарной
точки. Согласно формуле (П2) эффективная пло-
щадь этой окрестности xs ysh h пропорциональна
площади 1-й зоны Френеля.
В случае “большой” площадки S (много боль-
ше )xs ysh h для точек 1 ,sr′ лежащих внутри S
и дающих основной вклад в вычисления, можно
“привязать” ( )1 1f ′χ к точке 1 ,sr′ используя связь
между 1′χ и 1 .sr′
В случае “малой” площадки S этого сделать
нельзя, поскольку только малая окрестность мак-
симума основного лепестка “диаграммного мно-
жителя” обязана вкладу от внутренних точек 1 .sr′
Остальная часть формируется стационарными
точками из области тени.
Таким образом, механизм формирования рас-
сеянного поля определяется двумя факторами.
Первый из них – статистическая независимость
рассеяния на отдельных “синусоидальных” ре-
шетках, образующих случайное поле неровнос-
тей поверхности. Второй фактор – “деструктив-
ная интерференция”, определяющая амплитуду
рассеяния ( )1 1f ′χ на каждой из этих решеток.
Ïðèëîæåíèå
Главный член асимптотики двойного интеграла
(45) (см. [2], Приложение),
1 1( , )
2 1 1 1 1d d ( , ) ,
u u
l l
y x
i x y
y x
I y x f x y e ′ ′Φ′ ′ ′ ′= ∫ ∫ (П1)
имеет вид
2 1 1( , ) ,si
s s xs x ys yI e f x y h Q h QΦ ′ ′≈ Δ Δ (П2)
где 1 1( , )s s sx y′ ′Φ = Φ – значение фазы 1 1( , )x y′ ′Φ
в стационарной точке 1 1( , ),s sx y′ ′ расположенной
произвольно относительно контура области интег-
рирования,
4 2 ,xxi
xs xx sh e− ε π ′′= Φ
(П3)
4 2 ,yyi
ys xx sh e H− ε π ′′= Φ
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 3, 2013 255
Переход от ближней к дальней зоне в двухпозиционном рассеянии волн статистически неровной поверхностью
ˆ ˆ( ) ( ),x xl xuQ Q QΔ = μ − μ
(П4)
ˆ ˆ( ) ( ),y yl yuQ Q QΔ = μ − μ
4ˆ ,xxi
xl xle ε πμ = μ
(П5)
( , )sign( ) ,
l sxl l s s x yx xμ = − Φ −Φ
4ˆ ,yyi
yl yle ε πμ = μ
( , )sign( ) ,
s lyl l s s x yy yμ = − Φ −Φ (П6)
sign( ) ,xx xx s′′ε = − Φ sign( ) .yy yy s′′ε = − Φ
Выражения для ˆ ,xuμ ˆ yuμ получаются из (П5), (П6)
заменой ,l ux x→ .l uy y→ Гессиан H определен
формулой (22). Величина ( ) ˆ2 ( )Qπ μ является
дополнением интеграла вероятности
( ) ( ) 2
ˆ
ˆ ˆ2 ( ) 2 d 1 .tQ e t erf
∞
−
μ
π μ = π = − μ∫ (П7)
Воспользовавшись френелевским приближением
для фазы (24), получим
1 1( ),xl xx l sA x x′ ′μ = − 1 1( ),xu xx u sA x x′ ′μ = −
(П8)
1 1( ),yl yy l sA y y′ ′μ = − 1 1( ),yu yy u sA y y′ ′μ = −
(П9)
4 1 2( ) ,i
xs xxh e Aπ −= 4 1 2( ) .i
ys yyh e Aπ −=
(П10)
Согласно формуле (П10) из предыдущей работы
[2] для “малой” площадки
( 4 ) sin ,xi B
x x x xQ A e C C− π −Δ ≈ (П11)
( 4 ) sin ,yi B
y y y yQ A e C C− π −Δ ≈ (П12)
где
,x xxA A x= Δ (П13)
2
1 ,x xx sB A x′= (П14)
1 .x xx sC A x x′= − Δ (П15)
Выражения для ,yA ,yB yC получаются соответ-
ственно из (П13), (П14), (П15) заменой ,xx yyA A→
x yΔ →Δ и 1 1 .s sx y′ ′→ Из уравнений стационарно-
сти фазы (28), (29) и (33) вытекает связь 1 ,sx′ 1sy′
с 1 ,xK ′ 1yK′ (см. формулу (39)). Используя ее, мож-
но получить
0 2( ),s x y c c cВ В k R RΦ + + = Φ ≡ + (П16)
а также
1( 2) ,x xC x K ′= −Δ 1( 2) .y yC y K ′= −Δ (П17)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
01. Брюховецкий А. С. Переход от ближней к дальней зоне
в решении задачи обратного рассеяния волн статисти-
чески неровной поверхностью // Радиофизика и радио-
астрономия. – 2010. – Т. 15, № 4. – С. 408–424.
02. Брюховецкий А. С. Переход от ближней к дальней зоне
в решении задачи рассеяния плоской волны статисти-
чески неровной поверхностью // Радиофизика и радио-
астрономия. – 2012 . – Т. 17, № 2. – С. 157–170.
03. Басс Ф. Г., Фукс И. М. Рассеяние волн на статистически
неровной поверхности. – М.: Наука, 1972. – 424 с.
04. Valenzuela G. R. Scattering of Electromagnetic Waves from
a Tilted Slightly Rough Surface // Radio Sci. – 1968. –
Vol. 3, No. 11. – P. 1057–1066.
05. Barrick D. E. First Order Theory and Analysis of MF/VHF
Scatter from the Sea // IEEE Trans. Antennas Propag. –
1972. – Vol. AP-20, No. 1. – P. 2–10.
06. Kерр Д. Е. Распространение ультракоротких радиоволн /
Пер. с англ. под ред. Б. А. Шиллерова. – М.: Сов.
радио, 1954. – 710 с.
07. Эрдейи А. Асимптотические разложения. – М.: Физ-
матгиз, 1962. – 127 с.
08. Монин А. С., Красицкий В. П. Явления на поверхности
океана. – Л.: Гидрометеоиздат, 1985. – 373 с.
09. Брюховецкий А. С. Рассеяние волн в ближней зоне ста-
тистически неровной поверхности. I. Флуктуации поля //
Радиофизика и радиоастрономия. – 2007. – Т. 12,
№ 4. – С. 399–409.
10. Брюховецкий А. С. Рассеяние волн в ближней зоне ста-
тистически неровной поверхности. II. Средняя интен-
сивность и частотный спектр флуктуаций поля // Ра-
диофизика и радиоастрономия. – 2008. – Т. 13, № 1. –
С. 92–98.
11. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн.
Т. 1. – М.: Мир, 1978. – 547 с.
12. Федорюк М. В. Асимптотика: Интегралы и ряды. – М.:
Наука, 1987. – 544 с.
13. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по мате-
матике.– М.: Физматгиз, 1962. – 608 с.
14. Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К.
Квантовая теория углового момента. – М.: Наука,
1975. – 439 с.
256 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 3, 2013
А. С. Брюховецкий
15. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. – М.: Наука,
1970. – 856 с.
16. Crombie D. D. Doppler spectrum of sea echo at
13.56 Mc/s // Nature. – 1955. – Vol. 175, No. 4459. –
P. 681–682.
А. С. Брюховецький
Інститут радіофізики та електроніки ім. А. Я. Усикова
НАН України,
вул. Ак. Проскури, 12, м. Харків, 61085, Україна
ПЕРЕХІД ВІД БЛИЖНЬОЇ ДО ДАЛЬНЬОЇ ЗОНИ У
ДВОПОЗИЦІЙНОМУ РОЗСІЯННІ ХВИЛЬ СТАТИС-
ТИЧНО НЕРІВНОЮ ПОВЕРХНЕЮ
Для випадку двопозиційного розсіяння хвиль статистично
нерівною поверхнею знайдено асимптотики двократних
інтегралів, що визначають часову кореляційну функцію
розсіяного поля. Для невирожденого розсіяння (гессіан фази
не дорівнює нулеві) використано метод стаціонарної фази.
Для виродженого розсіяння (гессіан фази дорівнює ну-
леві) – комбінований метод: метод стаціонарної фази за од-
нією змінною та наближення дифракції Фраунгофера
за іншою. Встановлено зв’язок з відомими в літературі ре-
зультатами розрахунків.
A. S. Bryukhovetski
A. Usikov Institute of Radio Physics and Electronics,
National Academy of Sciences of Ukraine,
12, Akad. Proskura St., Kharkiv, 61085, Ukraine
NEAR-TO-FAR ZONE TRANSITION IN A TWO-POINT
WAVE SCATTERING BY A STATISTICALLY ROUGH
SURFACE
For a case of two-point wave scattering by a statistically rough
surface, the asymtotics of double integrals of oscillating func-
tions that determine the time correlation function of the scat-
tered field are found. For nondegenerate scattering (hessian of
phase is other than zero) the method of stationary phase has
been used for calculations. For degenerate scattering (hessian of
phase is zero) the combined method has been applied, namely,
the method of stationary phase for one variable, and the Fraun-
hofer approximation for another variable. The correlation with
the results known from literature has been established.
Статья поступила в редакцию 18.06.2013
|