Асимптотическое решение задачи об излучении звука колеблющейся сферой в равномерно движущейся среде
Приведен алгоритм построения асимптотического по числу Маха решения внешней граничной задачи об излучении звука колеблющейся сферой в равномерно движущейся акустической среде. Наведено алгоритм побудови асимптотичного за числом Маха розв'язку зовнішньої граничної задачі про випромінювання звуку...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2006
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1002 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотическое решение задачи об излучении звука колеблющейся сферой в равномерно движущейся среде / А. М. Гомилко, В. И. Денисенко // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 4. — С. 12-16. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860176738835759104 |
|---|---|
| author | Гомилко, А.М. Денисенко, В.И. |
| author_facet | Гомилко, А.М. Денисенко, В.И. |
| citation_txt | Асимптотическое решение задачи об излучении звука колеблющейся сферой в равномерно движущейся среде / А. М. Гомилко, В. И. Денисенко // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 4. — С. 12-16. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Приведен алгоритм построения асимптотического по числу Маха решения внешней граничной задачи об излучении звука колеблющейся сферой в равномерно движущейся акустической среде.
Наведено алгоритм побудови асимптотичного за числом Маха розв'язку зовнішньої граничної задачі про випромінювання звуку сферою, яка коливається в акустичному середовищі, що рівномірно рухається.
The paper presents the algorithm for constructing the asymptotic with respect to the Mach number solution of the exterior boundary value problem on sound radiation by a vibrating sphere in a uniformly moving acoustic medium.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:00:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 12 – 16
УДК 534.1
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
ОБ ИЗЛУЧЕНИИ ЗВУКА КОЛЕБЛЮЩЕЙСЯ СФЕРОЙ
В РАВНОМЕРНО ДВИЖУЩЕЙСЯ СРЕДЕ
А. М. Г О МИ Л К О∗, В. И. Д ЕН И С ЕН К О∗∗
∗Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
∗∗Киевский национальный торгово-экономический университет
Получено 04.10.2006
Приведен алгоритм построения асимптотического по числу Маха решения внешней граничной задачи об излучении
звука колеблющейся сферой в равномерно движущейся акустической среде.
Наведено алгоритм побудови асимптотичного за числом Маха розв’язку зовнiшньої граничної задачi про випромi-
нювання звуку сферою, яка коливається в акустичному середовищi, що рiвномiрно рухається.
The paper presents the algorithm for constructing the asymptotic with respect to the Mach number solution of the exterior
boundary value problem on sound radiation by a vibrating sphere in a uniformly moving acoustic medium.
ВВЕДЕНИЕ
Многие задачи акустики связаны с проблема-
ми распространения звука в движущейся среде, а
также с вопросами излучения звука движущимися
источниками (см., например, [1 –3]).
В данной работе рассмотрена граничная зада-
ча об излучении звука колеблющейся сферой, по-
мещенной в равномерно движущуюся идеальную
сжимаемую жидкость. В предположении о по-
тенциальности движения возмущенной жидкости
приведен алгоритм построения асимптотического
по числу Маха решения соответствующей внешней
граничной задачи для уравнения Гельмгольца при
равномерном движении среды.
Следует также отметить, что идейно близкие
постановки рассматривались в работах [4 – 7].
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть в равномерно движущемся безграничном
пространстве ~x={x1, x2, x3}, заполненном идеаль-
ной сжимаемой жидкостью, совершает гармониче-
ские колебательные движения сфера S единично-
го радиуса с центром в начале координат. Всю-
ду далее временной множитель exp(−iωt) опуска-
ется (ω – циклическая частота колебаний). Счита-
ем, что постоянная скорость потока v направлена
вдоль оси Ox1. В предположении о потенциально-
сти движения возмущенной жидкости потенциал
скоростей φ = φ(~x) вне сферы S должен удовле-
творять уравнению Гельмгольца для равномерно
движущейся среды (см. [1, 2]):
∆φ+ k2
(
1 + i
β
k
∂
∂x1
)2
φ = 0, r = |~x| > 1. (1)
Здесь ∆ – оператор Лапласа; k = ω/c – волновое
число, c – скорость звука в невозмущенной аку-
стической среде. Параметр
β =
v
c
< 1 (2)
представляет собой число Маха. Давление p=p(~x)
определяется через потенциал выражением p =
−iρ0ωφ, где ρ0 – плотность среды.
Граничное условие, которому должно удовле-
творять решение уравнения (1) на поверхности
сферы, вытекает из условия равенства нормаль-
ных компонент скоростей движения поверхности
сферы и окружающей среды и имеет вид
∂φ
∂r
(~θ) − u(~θ) = 0, ~θ =
~x
r
∈ S, (3)
где u=u(~θ) – заданное распределение колебатель-
ной скорости на поверхности сферы.
В дополнение к соотношению (3) для потенци-
ала φ должно выполняться условие излучения на
бесконечности. Для того, чтобы его сформулиро-
вать, сделаем в уравнении (1) замену неизвестной
функции:
φ(~x) = exp
[
−
ikβx1
1 − β2
]
ψ(~x). (4)
Тогда для определения функции ψ получаем урав-
12 c© А. М. Гомилко, В. И. Денисенко, 2006
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 12 – 16
нение
Lψ := ∆ψ − β2 ∂
2ψ
∂x2
1
+
k2
1 − β2
ψ = 0,
r > 1, k2
1 =
k2
1 − β2
.
(5)
При этом в переменных
y1 =
x1√
1 − β2
, y2 = x2, y3 = x3
функция ψ0(~y) удовлетворяет классическому
уравнению Гельмгольца
∆ψ0(~y) + k2
1ψ0(~y) = 0. (6)
Замена (4) и уравнение (6) показывают, что при
принятой временной зависимости e−iωt искомая
функция φ(~x) на бесконечности должна удовле-
творять условию
φ(~x) ≈
A1(~θ1)
r1
exp (−ikδx1) exp (ik1r1),
r1 → ∞, ~θ1 =
~x
r1
,
(7)
где
r21 =
x2
1
1 − β2
+ x2
2 + x2
3,
δ = δ(β) =
β
1 − β2
.
(8)
Условие (7) означает, что на больших расстояниях
от источника искомое звуковое поле представляет
собой уходящую звуковую волну, а волны, прихо-
дящие к источнику, отсутствуют. При этом мно-
житель exp (−ikδx1) определяет сдвиг фазы зву-
ковой волны, распространяющейся вдоль направ-
ления потока [3].
Условие излучения (7) можно также получить,
исходя непосредственно из уравнения (1). Так, со-
гласно общим результатам [8, гл. 7], условия на бе-
сконечности, обеспечивающие единственность ре-
шения внешних граничных задач для уравне-
ния (1), имеют вид
φ(~x) ≈
A(θ)
r
exp (−ikδx1) exp (±ik1r1) ,
r → ∞.
(9)
Выбирая в показателе второго экспоненциального
множителя знак “плюс” и замечая, что ~θ=(r1/r)~θ1,
а отношение
r1
r
=
((
x1
r1
)2
+
(
x2
r1
)2
+
(
x3
r1
)2
)−1/2
является функцией от ~θ1, получаем из форму-
лы (9) условие излучения (7). Аналогично можно
совершить обратное преобразование. Таким обра-
зом, условия излучения (7) и (9) эквивалентны.
В данной статье при условии, что функция u(~θ)
является сужением на S полинома переменных x1,
x2, x3, строится асимптотическое по β→0 решение
внешней граничной задачи (1), (3), (7):
φ(~x) ≈
∞∑
k=0
βkΦk(~x; β). (10)
При этом каждое из слагаемых ряда (10) точно
удовлетворяет уравнению (1) и условию излуче-
ния (7), а граничное условие (3) выполняется в
смысле асимптотического по β→0 равенства, т. е.
равномерно по θ выполняются оценки
∣∣∣∣∣
∂
∂r
(
φ(~θ)−
N∑
k=0
βkΦk(~θ; β)
)
−u(~θ)
∣∣∣∣∣≤cNβ
N+1 ,
N = 1, 2, . . .
(11)
2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ГРА-
НИЧНОЙ ЗАДАЧИ
Рассмотрим задачу нахождения функции φ(~x),
удовлетворяющей уравнению (1), условию излу-
чения (7) и граничному условию (3). Воспользо-
вавшись заменой (4), для функции ψ(~x) получаем
уравнение (5) и граничное условие третьего рода
на поверхности сферы:
Gψ(~θ) :=
(
∂ψ
∂r
− ikδx1ψ−
− exp (ikδx1)u(~θ)
)∣∣∣∣
~x=~θ∈S
= 0.
(12)
Так как
δ = δ(β) =
∞∑
n=0
β2n+1, |β| < 1,
exp (ikδx1) =
∞∑
n=0
(ikδ)nxn
1
n!
(см. соотношение (8)), то коэффициент и извест-
ная функция в неоднородном граничном усло-
вии (12) при фиксированном ~x∈S будут аналити-
ческими функциями переменного β в окрестности
β=0. В связи с этим остановимся на уравнении (5)
вместе с более общим, чем (12) граничным усло-
А. М. Гомилко, В. И. Денисенко 13
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 12 – 16
вием, а именно:
G1ψ(~θ) :=
(
∂ψ
∂r
− g(~θ; β)ψ−
−f(~θ; β)
)∣∣∣∣
~x=~θ∈S
= 0,
(13)
где предполагается, что заданные функции g(~θ; β),
f(~θ; β) переменных ~θ∈S, β∈ (0, 1) допускают рав-
номерные по ~θ асимптотические разложения [9,
гл. 1, § 7]:
g(~θ; β) ≈
∞∑
l=1
βlgl(~θ),
f(~θ; β) ≈ f0(~θ) +
∞∑
l=1
βlfl(~θ),
β → 0.
(14)
Кроме того, предполагается, что функции gl(~θ),
fl(~θ) в разложениях (14) являются сужениями на
S полиномов переменных z1, x2, x3.
При фиксированном β ∈ [0, 1) введем в рассмо-
трение фундаментальное решение уравнения (5):
Ψ(~x; β) =
exp (ik1r1)
r1
, (15)
где функция r1 = r1(~x) определена согласно фор-
муле (8). Для фиксированного упорядоченного на-
бора неотрицательных целых индексов {l, m, n},
положим функции
Ψl,m,n(~x; β) =
∂l+m+nΨ(~x; β)
∂xl
1∂x
m
2 ∂x
n
3
,
Ψ0,0,0(~x; β) = Ψ(~x; β),
r > 0.
(16)
Функции Ψl,m,n(~x; β) удовлетворяют уравне-
нию (5) при r>0 и условию излучения
Ψl,m,n ≈
Al,m,n(θ)
r
exp (ik1r1), r → ∞.
Асимптотическое решение задачи (5), (13) будем
искать в виде асимптотического ряда, составлен-
ного из функций Ψl,m,n(~x; β). Для этого проведем
необходимые предварительные вычисления, свя-
занные с нормальными производными ∂Ψl,m,n/∂r
на сфере S. В результате получим
∂Ψ
∂x1
=
(ik1r1 − 1)x1
(1 − β2)r31
exp (ik1r1) ,
∂Ψ
∂xj
=
(ik1r1 − 1)xj
r31
exp (ik1r1) ,
(17)
где j=2, 3.
Введем в рассмотрение функции
Ξl,m,n(~x; β) =
∂
∂r
Ψl,m,n(~x; β).
Тогда
rΞl,m,n =
3∑
j=1
xj
∂l+m+n
∂xl
1∂x
m
2 ∂x
n
3
{
∂Ψ
∂xj
}
=
=
3∑
j=1
∂l+m+n
∂xl
1∂x
m
2 ∂x
n
3
{
xj
∂Ψ
∂xj
}
−
−(l +m+ n)
∂l+m+nΨ
∂xl
1∂x
m
2 ∂x
n
3
=
=
∂l+m+n
∂xl
1∂x
m
2 ∂x
n
3
{
(ik1r1 − 1) exp (ik1r1)
r1
}
−
−(l +m+ n)Ψl,m,n(~x).
Таким образом, справедлива формула
rΞl,m,n(~x; β) = −(l +m+ n+ 1)×
×Ψl,m,n(~x; β) + ikΛl,m,n(~x; β),
(18)
где
Λl,m,n =
∂l+m+n
∂xl
1∂x
m
2 ∂x
n
3
{exp (ik1r1)} .
Для вычисления функции Λl,m,k(~x) можно пользо-
ваться следующими соотношениями (в зависимо-
сти от того, какой из индексов l, m или n больше
нуля):
Λl,m,n =
ik1x1
(1 −m2)
Ψl−1,m,n+
+(l− 1)
ik1
(1 − β2)
Ψl−2,m,n, l ≥ 1,
Λl,m,n = ik1x2Ψl,m−1,n+
+(m− 1)ik1Ψl,m−2,n, m ≥ 1,
Λl+m+n = ik1x3Ψl,m,n−1+
+(n− 1)ik1Ψl,m,n−2, n ≥ 1.
Можно доказать, что при β = 0 функция
Ξl,m,n(~x)=Ξl,m,n(~x; 0) является полиномом степе-
ни q = l+m+n переменных x1, x2, x3. При этом
для фиксированного q ≥ 0 и различных наборов
14 А. М. Гомилко, В. И. Денисенко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 12 – 16
индексов l, m, n полиномы Ξl,m,n(~x) линейно не-
зависимы. Таким образом, система функций
{Ξl,m,n(~x)}l+m+n≤q (19)
образует базис в линейном пространстве всех по-
линомов переменных x1, x2, x3 степени не боль-
ше q.
Приближенное (с точностью выполнения гра-
ничного условия до βq+1 , β → 0) решение грани-
чной задачи (5), (13) ищем в виде
ψq(~x) =
q∑
k=0
βkMk(~x; β),
Mk(~x; β) =
∑
l+m+n≤k
a
(k)
l,m,nΨl,m,n(~x; β),
(20)
где коэффициенты a
(k)
l,m,n подлежат определению,
исходя из граничного условия (13). При этом
функция ψq(~x) удовлетворяет уравнению (5) и
G1ψq(~θ) =
3∑
j=1
Rq,j(~θ; β),
где
Rq,1 =
(
q∑
k=0
βk ∂Mk(~θ; β)
∂r
−
q∑
k=1
βkgl(~θ)
)
×
×
q∑
k=0
βkMk(~θ; β) −
q∑
k=0
βkfl(~θ);
Rq,2 = −
(
g(~θ; β) −
q∑
k=1
βkgl(~θ)
)
×
×
q∑
k=0
βkMk(~θ; β);
Rq,3 = −
(
f(~θ; β) −
q∑
k=0
βkfl(~θ)
)
.
Далее оценки по β проводятся для β ∈ [0, β0)
при фиксированном значении β0 ∈ (0, 1). Согласно
условию (14), имеем
max
θ
|Rq,j(~θ; β)| ≤ c̃qβ
q+1 , j = 2, 3.
Покажем, что функции Mk(~x; β) можно выбрать
таким образом, чтобы равномерно по ~θ ∈ S выпол-
нялось соотношение
G1ψq(~θ) = O(βq+1), β → 0. (21)
Справедливо равенство
Rq,1 =
q∑
k=0
βkDk + βq+1R0
q,1,
где
max
~θ
|R0
q,1(
~θ; β)| ≤ c̃q,
и функции
Dk(~θ) =
∂Mk(~θ; 0)
∂r
−
−
∑
j+s=k, j 6=0
∂j
∂βj
(
∂Ms(~θ; 0)
∂r
)
−
−
∑
j+s=k, j 6=0
gj(~θ)
∑
l+i=s, l6=0
∂lMi(~θ; 0)
∂βl
−
−fk(~θ).
Таким образом, соотношение (20) будет иметь ме-
сто, если функции
Dk(~θ) ≡ 0, k = 0, 1, . . .q. (22)
Вспоминая определение функций Mk(~x; β) (см.
формулу (19)), получаем, что для удовлетворения
условию (21) необходимо и достаточно выполне-
ния равенств
∑
l+m+n≤k
a
(k)
l,m,nΞl,m,n(~θ) =
=
∑
j+s=k, j 6=0
∂j
∂βj
(
∂Ms(~θ; 0)
∂r
)
+
+
∑
j+s=k, j 6=0
gj(θ)
∑
l+i=s, l6=0
∂lMi(~θ; 0)
∂βl
+
+fk(~θ),
(23)
где k=0, 1, . . .q.
Можно убедиться, что функции
∂j
∂βj
(
∂Ms(~θ; 0)
∂r
)
,
∂lMi(~θ; 0)
∂βl
являются сужениями на S полиномов переменных
x1, x2, x3. Тогда, поскольку система (18) – это ба-
зис в пространстве полиномов степени не больше
q, то задача (22) разрешима. Сначала находятся
А. М. Гомилко, В. И. Денисенко 15
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 12 – 16
коэффициенты a
(0)
l,m,n, затем a
(1)
l,m,n и т. д., пока не
определятся коэффициенты a
(q)
l,m,n.
Таким образом, внешняя граничная задача (5),
(13), и в частности, задача (5), (12), допускает
асимптотическое по β→0 решение, которое имеет
вид (19). Отсюда следует (см. формулу (4)), что
и для исходной граничной задачи о колеблющей-
ся сфере в равномерно движущейся среде можно
указать асимптотическое по β → 0 решение. Оно
имеет вид (10) с функциями
Φk(~x; β) = exp
[
−
ikβx1
1 − β2
]
×
×
∑
l+m+n≤k
a
(k)
l,m,nΨl,m,n(~x; β),
где Ψl,m,n определены согласно выражениям (15),
(16) и представляют собой различные частные
производные от фундаментального решения обоб-
щенного уравнения Гельмгольца (5).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Проведенный анализ показывает возможность
построения асимптотического по числу Маха
решения внешней граничной задачи об излучении
звука колеблющейся сферой в равномерно движу-
щейся акустической среде. Указаны алгоритм и
базисные функции, с помощью которых строится
соответствующее асимптотическое решение.
1. Morse Ph., Ingard U. Linear acoustical theory.– Berlin:
Springer-Verlag, 1961.– 128 p.
2. Блохинцев Д. И. Акустика неоднородной движу-
щейся среды.– М.: Наука, 1981.– 208 с.
3. Шендеров Е. Л. Излучение и рассеяние звука.– Л.:
Судостроение, 1989.– 302 с.
4. Leppington F. G., Levine H. The sound field of a
pulsating sphere in unsteady rectilinear motion //
Proc. Roy. Soc. Lond.– 1987.– A412, N 1842.– P. 199–
221.
5. Bouchet L., Loyau T., Hamzaoui N., Boisson C.
Calculation of acoustic radiation using equivalent-
sphere methods // J. Acoust. Soc. Amer.– 2000.– 107,
N 5.– P. 2387–2397.
6. Hamilton J. A., Astley R. J. Exact solution for transi-
ent spherical radiation // J. Acoust. Soc. Amer.–
2001.– 109, N 5.– P. 1848–1858.
7. Keiffer R. S., Novarini J. C., Scharstein R. W. The
role of the frozen surface approximation in small wave-
height perturbation theory for moving surfaces //
J. Acoust. Soc. Amer.– 2003.– 113, N 3.– P. 1223–
1229.
8. Вайнберг Б. Р. Асимптотические методы в урав-
нениях математической физики.– М.: Изд-во МГУ,
1982.– 296 с.
9. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции.–
М.: Наука, 1990.– 528 с.
16 А. М. Гомилко, В. И. Денисенко
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1002 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:00:32Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гомилко, А.М. Денисенко, В.И. 2008-07-09T14:45:32Z 2008-07-09T14:45:32Z 2006 Асимптотическое решение задачи об излучении звука колеблющейся сферой в равномерно движущейся среде / А. М. Гомилко, В. И. Денисенко // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 4. — С. 12-16. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1002 534.1 Приведен алгоритм построения асимптотического по числу Маха решения внешней граничной задачи об излучении звука колеблющейся сферой в равномерно движущейся акустической среде. Наведено алгоритм побудови асимптотичного за числом Маха розв'язку зовнішньої граничної задачі про випромінювання звуку сферою, яка коливається в акустичному середовищі, що рівномірно рухається. The paper presents the algorithm for constructing the asymptotic with respect to the Mach number solution of the exterior boundary value problem on sound radiation by a vibrating sphere in a uniformly moving acoustic medium. ru Інститут гідромеханіки НАН України Асимптотическое решение задачи об излучении звука колеблющейся сферой в равномерно движущейся среде An asymptotic solution of a problem on sound radiation by a vibrating sphere in a uniform moving medium Article published earlier |
| spellingShingle | Асимптотическое решение задачи об излучении звука колеблющейся сферой в равномерно движущейся среде Гомилко, А.М. Денисенко, В.И. |
| title | Асимптотическое решение задачи об излучении звука колеблющейся сферой в равномерно движущейся среде |
| title_alt | An asymptotic solution of a problem on sound radiation by a vibrating sphere in a uniform moving medium |
| title_full | Асимптотическое решение задачи об излучении звука колеблющейся сферой в равномерно движущейся среде |
| title_fullStr | Асимптотическое решение задачи об излучении звука колеблющейся сферой в равномерно движущейся среде |
| title_full_unstemmed | Асимптотическое решение задачи об излучении звука колеблющейся сферой в равномерно движущейся среде |
| title_short | Асимптотическое решение задачи об излучении звука колеблющейся сферой в равномерно движущейся среде |
| title_sort | асимптотическое решение задачи об излучении звука колеблющейся сферой в равномерно движущейся среде |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1002 |
| work_keys_str_mv | AT gomilkoam asimptotičeskoerešeniezadačiobizlučeniizvukakoleblûŝeisâsferoivravnomernodvižuŝeisâsrede AT denisenkovi asimptotičeskoerešeniezadačiobizlučeniizvukakoleblûŝeisâsferoivravnomernodvižuŝeisâsrede AT gomilkoam anasymptoticsolutionofaproblemonsoundradiationbyavibratingsphereinauniformmovingmedium AT denisenkovi anasymptoticsolutionofaproblemonsoundradiationbyavibratingsphereinauniformmovingmedium |