Об учете сферичности волновых фазовых фронтов в теории рассеяния волн турбулентной атмосферой
Для случая рассеяния волн турбулентной атмосферой найдены асимптотики трехкратных интегралов, определяющих интенсивность рассеянного поля. Для невырожденного рассеяния (гессиан фазы отличен от нуля) использован метод стационарной фазы по трем переменным интегрирования. Для вырожденного рассеяния (ге...
Saved in:
| Published in: | Радиофизика и радиоастрономия |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Радіоастрономічний інститут НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100358 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об учете сферичности волновых фазовых фронтов в теории рассеяния волн турбулентной атмосферой / А.С. Брюховецкий // Радиофизика и радиоастрономия. — 2014. — Т. 19, № 3. — С. 217-228. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860261695930236928 |
|---|---|
| author | Брюховецкий, А.С. |
| author_facet | Брюховецкий, А.С. |
| citation_txt | Об учете сферичности волновых фазовых фронтов в теории рассеяния волн турбулентной атмосферой / А.С. Брюховецкий // Радиофизика и радиоастрономия. — 2014. — Т. 19, № 3. — С. 217-228. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Радиофизика и радиоастрономия |
| description | Для случая рассеяния волн турбулентной атмосферой найдены асимптотики трехкратных интегралов, определяющих интенсивность рассеянного поля. Для невырожденного рассеяния (гессиан фазы отличен от нуля) использован метод стационарной фазы по трем переменным интегрирования. Для вырожденного рассеяния (гессиан фазы равен нулю) - комбинированный метод: приближение дифракции Фраунгофера по одной из переменных и метод стационарной фазы по двум другим. Установлена связь с известными в литературе результатами расчетов.
Для випадку розсіяння хвиль турбулентною атмосферою знайдено асимптотики трикратних інтегралів, що визначають інтенсивність розсіяного поля. Для невирожденого розсіяння (гессіан фази є відмінним від нуля) використано метод стаціонарної фази за трьома змінними інтегрування. Для виродженого розсіяння (гессіан фази дорівнює нулю) – комбінований метод: наближення дифракції Фраунгофера за однією зі змінних та метод стаціонарної фази за двома іншими. Встановлено
For the case of wave scattering by turbulent atmosphere, the asymtotics of three-fold integrals that determine the intensity of the scattered field are found. For nondegenerate scattering (hessian of phase being nonzero) the method of a stationary phase with respect to three integration variables has been used. For the degenerate scattering (hessian of phase being zero) the combined method has been applied, namely, the Fraunhofer approximation in one variable, and the method of stationary phase in two other variables. The correlation has been established with the results known from literature.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:56:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 3, 2014 217
Радиофизика и радиоастрономия. 2014, Т. 19, № 3, c. 217–228
© А. С. Брюховецкий, 2014
ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈÅ,
ÄÈÔÐÀÊÖÈß È ÐÀÑÑÅßÍÈÅ
ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÛÕ ÂÎËÍ
А. С. БРЮХОВЕЦКИЙ
Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины,
ул. Ак. Проскуры, 12, г. Харьков, 61085, Украина
E-mail: bryu@ire.kharkov.ua
ÎÁ Ó×ÅÒÅ ÑÔÅÐÈ×ÍÎÑÒÈ ÂÎËÍÎÂÛÕ ÔÀÇÎÂÛÕ ÔÐÎÍÒÎÂ
 ÒÅÎÐÈÈ ÐÀÑÑÅßÍÈß ÂÎËÍ ÒÓÐÁÓËÅÍÒÍÎÉ ÀÒÌÎÑÔÅÐÎÉ
Для случая рассеяния волн турбулентной атмосферой найдены асимптотики трехкратных интегралов, определяющих
интенсивность рассеянного поля. Для невырожденного рассеяния (гессиан фазы отличен от нуля) использован метод
стационарной фазы по трем переменным интегрирования. Для вырожденного рассеяния (гессиан фазы равен нулю) –
комбинированный метод: приближение дифракции Фраунгофера по одной из переменных и метод стационарной фазы
по двум другим. Установлена связь с известными в литературе результатами расчетов.
Ключевые слова: рассеяние волн, интеграл от осциллирующей функции, стационарная фаза, френелевская зона, дифрак-
ция Фраунгофера
УДК 621.371.162
1. Ââåäåíèå
Авторы имеющихся исследований по рассеянию
волн турбулентной атмосферой обычно исходят
из борновского приближения задачи рассеяния сла-
бонеоднородной средой [1, 2], представленного
осциллирующим интегралом от “возмущающего
потенциала”, пропорционального случайной неодно-
родности диэлектрической проницаемости. Этот ин-
теграл зависит от большого числа внешних пара-
метров и не вычисляется точно, возможна лишь
его асимптотическая оценка. Вот в способах про-
ведения такой оценки и состоит разница в подхо-
дах к решению проблемы различных авторов.
Почти во всех проведенных исследованиях
игнорируется сферичность волн. При этом в ка-
честве малоубедительного аргумента выдви-
гается предположение о малости радиуса корре-
ляции неоднородностей – характеристики ин-
теграла от положительно определенной функции
корреляции ([1], c. 21), не имеющей никакого от-
ношения к вычислению вышеуказанного осцил-
лирующего интеграла, оценка которого, очевид-
но, не может превышать вклада от области пере-
менных интегрирования порядка характерного
периода осцилляций подинтегральной функции.
Результатом вышеуказанного “упрощения” яв-
ляется замена фазы подинтегральной функции
ее линейной аппроксимацией (приближение диф-
ракции Фраунгофера). При этом вычисления сво-
дятся к хорошо изученной в математике задаче
асимптотической оценки интеграла Фурье, ко-
торая легко выполняется ([3], c. 60) интегрирова-
нием по частям.
Исключением из ряда подобных работ являет-
ся статья [4] В. И.Татарского, где в рамках не-
которой модели для частного случая однопози-
ционной локации задача исследуется в прибли-
жении дифракции Френеля без предположения
о малости радиуса корреляции. Модель рассея-
ния предполагает гауссовость диаграмм направ-
ленности и гауссовость излучаемого импульса
в бесконечном пространстве.
В качестве первоисточника, откуда взята эта
модель, В. И. Татарским указывается его сов-
местная с А. И. Коном публикация [5] в 1986 г.
На самом деле, эта модель (за исключением гаус-
совости излучаемого импульса) была предложена
автором настоящей статьи гораздо раньше и опуб-
ликована в закрытых изданиях в 1969–1970 гг.,
218 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 3, 2014
А. С. Брюховецкий
из-за чего была известна ограниченному кругу спе-
циалистов, в число которых входил и В. И. Татар-
ский. Изложение этой модели, позволившей объяс-
нить основные физические особенности радиоло-
кационного отражения от звукового импульса,
в настоящее время можно найти в диссертации
[6], с которой в 1989 г. снят гриф секретности,
а также в некоторых ее фрагментах в статье [7].
В общем случае математически корректные
методы асимптотической оценки интегралов от
осциллирующих функций составляют раздел в
большой области математической физики, к на-
стоящему времени получившей название теории
волновых катастроф [8]. Согласно основным ее
положениям асимптотическое поведение волно-
вого поля определяется эволюцией фазового
фронта в процессе распространения. Если осо-
бенности (катастрофы) волнового фронта отсутст-
вуют, таким асимптотическим методом являет-
ся известный метод стационарной фазы (МСФ),
который и используется в настоящей работе.
Основную причину, по которой он до сих пор не
использовался в рассматриваемых расчетах,
достаточно точно определяет высказывание
классиков в теории рассеяния и излучения волн
([9], c. 131): “Хотя математическое определение
седловой точки выглядит очень просто, найти
положение седловых точек аналитическими ме-
тодами, вообще говоря, очень трудно…”
Для условий, когда выражение для фазы мож-
но заменить ее френелевским приближением,
в настоящей статье разработан математический
аппарат, позволяющий в аналитическом виде оп-
ределить координаты стационарной точки и вы-
числить асимптотику рассеянного поля, содер-
жащую интегралы Френеля.
Исследования автора [10–12] по рассеянию
статистически неровной поверхностью показали
принципиальную возможность учета сферич-
ности волн в приближении дифракции Френеля.
Поставим целью данной работы решение в этом
приближении и задачи рассеяния волн случайны-
ми объемными неоднородностями.
2. Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå
èíòåíñèâíîñòè ðàññåÿíèÿ
Рассмотрим вычисление среднего значения век-
тора Пойнтинга 2( ) ,S R представленного форму-
лой (11) на с. 148 монографии В. И. Татарского [1]:
4
3
2 1 1 1 2 1 13( ) Re d ( ) ( ) ( ).
2(2 )
c kS R f f
∞
∗
ε
−∞
⎛ ⎞≈ χ χ χ Φ χ⎜ ⎟π ⎝ ⎠ ∫
(1)
Здесь “*” – знак комплексного сопряжения,
1( )3
1 1 1 1 1( ) d ( ) ,i R
V
f R f R e Φχ = ∫ (2)
1( )3
2 1 1 2 1( ) d ( ) ,i R
V
f R f R e Φχ = ∫ (3)
2 2 2
1 1 1 0 1 2 1 1( ) ( ) ( ) sin ( ),f R n R A R R R R
−
= − χ (4)
2 1( ) 1,f R ≡ (5)
1 2 1 1 0 1 1( ) .R k R R k R R RΦ = − + − + χ (6)
При этом использовано выражение корреляци-
онной функции ( , )B R Rε ′ ′′ через спектральную
плотность флуктуаций 1( )εΦ χ ([1], с. 149, форму-
ла (20)) и введены обозначения 2 ,R 0 ,R 1R для
радиус-векторов точек наблюдения, источника
и рассеяния (рис. 1) вместо использованных в [1]
обозначений ,r ,R ,r′ что облегчает сравнение
результатов вычислений с результатами [10–12].
Остальные обозначения соответствуют исполь-
зованным в [1].
Интегралы (2) и (3) – типичные интегралы от
осциллирующих функций, общим методом асим-
птотической оценки которых (см. [10–12]) яв-
ляется МСФ. В данном случае оцениваемые ин-
тегралы не двукратные, а трехкратные, что ус-
ложняет сам процесс вычислений. Аналогично
тому, как это сделано в работе [12], восполь-
Рис. 1. Геометрия рассеяния
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 3, 2014 219
Об учете сферичности волновых фазовых фронтов в теории рассеяния волн турбулентной атмосферой
зуемся приближением дифракции Френеля, разло-
жив фазу (6) до квадратичных членов по коорди-
натам 1 1 1, ,x y z точки рассеяния. Предварительно
выберем плоскость векторов 0R и 2R как плос-
кость 0,y = т. е. 0 0 0( ,0, ),R x z= 2 2 2( ,0, ).R x z=
Такой выбор, как и последующие ортогональные
преобразования координат, призван максимально
облегчить использование МСФ.
Разложение фазы до квадратичных членов
выглядит следующим образом:
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1( ) ,c xx yy zz xzR K R a x a y a z a x zΦ ≈Φ + + + + +
(7)
где
1 0 0 1( ) ,K k= α −β + χ (8)
01 0
0
01 0
,R R
RR
⎛ ⎞∂ −α = =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
(9)
12 2
0
21 0
;R R
RR
⎛ ⎞∂β = − =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
(10)
( )1 1
2 2
0 2
3 30
0 2
1 ;
2! 2xx x x
zk za
R R
⎛ ⎞
′′= Φ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
(11)
( )1 1
2 2 2 2
0 0 2 2
3 30
0 2
1 ;
2! 2yy y y
x zk x za
R R
⎛ ⎞+ +′′= Φ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
(12)
( )1 1
2 2
0 2
3 30
0 2
1 ;
2! 2zz z z
xk xa
R R
⎛ ⎞
′′= Φ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
(13)
( )1 1
0 0 2 2
3 30
0 2
1 .
2!xz x z
x z x za k
R R
⎛ ⎞
′′= Φ = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
(14)
Нижний индекс “0” в формулах (9)–(14) озна-
чает, что производные берутся в точке 1 0,R = а
0 2( )c k R RΦ = + – значение фазы в “центре” cR
рассеивающего объема V, помещенном в начало
координат ( 0).cR =
3. Çíà÷åíèå ôàçû ΦΦΦΦs
â ñòàöèîíàðíîé òî÷êå
Сделаем преобразование поворота 1 1R R′→ на
угол ϕ вокруг оси y:
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
cos sin , cos sin ,
sin cos ; sin cos .
x x z x x z
z x z z x z
′ ′ ′= ϕ− ϕ = ϕ+ ϕ⎧ ⎧
⎨ ⎨′ ′= ϕ+ ϕ = − ϕ+ ϕ⎩ ⎩
Разложение фазы (7) приобретает вид
1 1( ) ( )R R′Φ = Φ ≈
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1,c xx yy zz xzK R A x A y A z A x z′ ′ ′ ′ ′ ′ ′≈ Φ + + + + + (15)
где
( )
2 2
2 2
cos sin sin cos ,
,
sin cos sin cos ,
sin 2 cos2 .
xx xx zz xz
yy yy
zz xx zz xz
xz xx zz xz
A a a a
A a
A a a a
A a a a
⎧ = ϕ+ ϕ+ ϕ ϕ
⎪
=⎪
⎨
= ϕ+ ϕ− ϕ ϕ⎪
⎪ = − + ϕ+ ϕ⎩
(16)
Сделаем преобразование сдвига 1 ;R R′ →
' '
1 1 .sR R R= + (17)
При этом
2 2 2
1 1( ) ( ) s xx yy zzR R K R A x A y A z′ ′Φ = Φ =Φ + + + + +
( )1 1 12xz xx s yy s zz sA xz A x x A y y A z z′ ′ ′+ + + + +
( )1 1 ,xz s sA x z z x′ ′+ + (18)
где
2 2 2
1 1 1 1 1 ,s c s xx s yy s zz sK R A x A y A z′ ′ ′ ′ ′Φ =Φ + + + + (19)
а вектор 1K ′ записан в преобразованной системе
координат 1 1 1( , , )x y z′ ′ ′ подобно вектору 1.R′
Наложим следующие условия на проведенные
преобразования: во-первых, в (18) должно отсут-
ствовать слагаемое с xz; во-вторых, должны от-
сутствовать члены первого порядка, что эквива-
лентно трем условиям
1 1
1 1
1 1
2 0,
2 0,
2 0.
x xx s
y yy s
z zz s
K A x
K A y
K A z
′ ′⎧ + =
⎪ ′ ′+ =⎨
⎪ ′ ′+ =⎩
(20)
Из первого условия ( 0)xzA = получаем урав-
нение для определения угла поворота :ϕ
tg 2 ( ) ,xz xx zza a aϕ = − (21)
а из (20) – соответственно компоненты 1 :sR′
220 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 3, 2014
А. С. Брюховецкий
1 1
1 1
1 1
2 ,
2 ,
2 .
s x xx
s y yy
s z zz
x K A
y K A
z K A
′ ′⎧ = −
⎪ ′ ′= −⎨
⎪ ′ ′= −⎩
(22)
С учетом этих условий
2 2 2( ) ,s xx yy zzR A x A y A zΦ ≈Φ + + + (23)
2 2 2
1 1 1 .s c xx s yy s zz sA x A y A z′ ′ ′Φ =Φ − − − (24)
Поскольку ( )
0
0,
R
R
=
∂Φ ∂ = очевидно, ( )1 0R
R
=
′ =
1sR′ – стационарная точка фазы 1( ),R′Φ а sΦ –
ее стационарное значение.
Приняв во внимание свойство инвариантности
полного дифференциала, можно записать
( )
( )
( )
2 3 2 3
0 0 2 2
0 2
2 3 2 3
0 0 2 2
( 2) ,
( 2) 1 1 ,
( 2) ,
xx
yy
zz
A k z R z R
A k R R
A k x R x R
⎧ ′ ′= +
⎪⎪ = +⎨
⎪
′ ′= +⎪⎩
(25)
в чем нетрудно убедиться и непосредственно
переходом от 1 1 1( , , )x y z к 1 1 1( , , )x y z′ ′ ′ в выра-
жениях (16). В формулах (25) учтено, что при
повороте системы координат длина векторов
не меняется 0 0 2 2( , ).R R R R′ ′= =
Очевидно, что в системе координат ( , , )x y z
матрица Гесса, элементами которой служат вто-
рые производные от ( ),RΦ является диагональной
и невырожденной, если 0R′ и 2R′ не лежат на одной
прямой. В противном случае либо ,xxA либо ,zzA а
соответственно, и гессиан 8 xx yy zzН A A A= обраща-
ются в нуль. Естественно назвать такой случай
вырожденным рассеянием. В дальнейшем будем
считать, что он отвечает значениям 0 2 0.z z′ ′= =
При этом 0,xxA = 0 2( 2)(1 1 ).yy zzA A k R R= = +
Случай 0 2 0x x′ ′= = эквивалентен смене обозна-
чений координатных осей .x z⇔
Приняв во внимание знаки выражений (25) при
невырожденном рассеянии, заметим, что sΦ яв-
ляется минимальным значением фазы. При этом
эквифазные поверхности ( ) constRΦ = являются
эллипсоидами с полуосями ,xxAΔΦ ,yyAΔΦ
zzAΔΦ вдоль координатных осей , ,x y z соот-
ветственно, причем ( ) 0.sRΔΦ =Φ −Φ ≥ При зна-
чениях ,mΔΦ = π ( 1, 2, ...)m = поверхность эл-
липсоида является границей m-й зоны Френеля.
Угол поворота ϕ первоначальной системы
1 1 1( , , )x y z как решение уравнения (21) доста-
точно определить в интервале 0 2,≤ ϕ ≤ π о чем
говорилось в [12]. Там же выписаны элементы
матрицы поворота sin ,ϕ cos ,ϕ выраженные
через значения правой части (21).
Канонический вид квадратичной формы, к кото-
рому приводится френелевское разложение фазы,
позволяет провести вычисление интегралов (2), (3)
в преобразованной системе 1 1 1( , , )x y z′ ′ ′ с помощью
МСФ по каждой переменной раздельно. При этом
влияние близости границы области интегрирова-
ния к стационарной точке по каждой переменной
будет прослеживаться независимо от других пе-
ременных, если границу объема V задать в виде:
1 2,x x′ = ±Δ 1 2,y y′ = ±Δ 1 2.z z′ = ±Δ Обозначим
такой объем как .V ′
4. Ïðèìåíèìîñòü ôðåíåëåâñêîãî
ðàçëîæåíèÿ ôàçû
Необходимым условием применимости разложе-
ния фазы (15) должна быть малость отброшенных
членов разложения по сравнению с оставленными.
Обозначим , ,p q rO член разложения, содержащий
1 1 1( ) ( ) ( ) .p q rx y z′ ′ ′ В разложении (15) таковыми бу-
дут 2
2,0,0 1 ,xxO A x′= 2
0,2,0 1 ,yyO A y′= 2
0,0,2 1 .zzO A z′=
Для аналогичных членов третьего порядка полу-
чаются следующие выражения:
( )2 5 2 5 3
3,0,0 0 0 0 2 2 2 1( 2) ,O k x z R x z R x′ ′ ′ ′ ′= + (26)
0,3,0 0,O =
( )2 5 2 5 3
0,0,3 0 0 0 2 2 2 1( 2) .O k z x R z x R z′ ′ ′ ′ ′= + (27)
Очевидно, что
( )2 2
3,0,0 2,0,0 1 0 0 2 2 1 ,O O x x R x R x R′ ′ ′ ′< + ≤ (28)
где
0 21 1 1 .R R R= + (29)
Аналогично
0,0,3 0,0,2 1 .O O z R′< (30)
Поэтому для пренебрежения этими членами
третьего порядка достаточно выполнения условий
1 1,x R′ 1 1.z R′ (31)
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 3, 2014 221
Об учете сферичности волновых фазовых фронтов в теории рассеяния волн турбулентной атмосферой
При произвольной ориентации 0R′ и 2R′ сде-
лать достаточно аккуратно оценку членов, содер-
жащих смешанные производные третьего порядка,
не удается по причине зависимости от большого
числа свободных параметров. Как и в [12], сде-
лать это возможно лишь для двух крайних случаев:
1) векторы 0R′ и 2R′ лежат на одной прямой;
2) векторы 0R′ и 2R′ взаимно перпендикулярны.
В первом случае 0 0( ,0,0),R x′ ′= 2 2( ,0,0)R x′ ′= и
отличными от нуля членами третьего порядка яв-
ляются
( )2 2 2
1,2,0 1 1 0 0 0 2( 2) ,x xO k x y R R′ ′ ′ ′= −α +β
( )2 2 2
1,0,2 1 1 0 0 0 2( 2) .x xO k x z R R′ ′ ′ ′= −α +β
Во втором случае 0 0( ,0,0),R x′= 2 2(0,0, )R z′=
и отличны от нуля
2 3
2,0,1 1 1 2 2( 2) ,O k x z z R′ ′ ′=
2 3
1,2,0 1 1 0 0( 2) ,O k x y x R′ ′ ′=
2 3
0,2,1 1 1 2 2( 2) ,O k y z z R′ ′ ′=
2 3
1,0,2 1 1 0 0( 2) ,O k x z x R′ ′ ′=
при этом 0 0 1,x R′ ≡ 2 2 1z R′ ≡ и условие малос-
ти в обоих случаях обеспечивается при выполне-
нии неравенств (31). По-видимому, требования
выполнения выполнения неравенств (31) остают-
ся справедливыми и для промежуточных ориен-
таций 0R′ и 2.R′
Условия (31) не содержат ограничений на
.yy R′ Они могут возникнуть лишь при оценке
членов четвертого порядка, содержащих 2
1 .y′
Поскольку 0yyA ≠ ни при каких обстоятельствах,
условие пренебрежения такими членами, по-ви-
димому, могут быть дополнены требованием
( ) 21 1,y R′ т. е. сформулированы в более об-
щем виде как
1 1.R R′ (32)
При этом значения членов разложения второго по-
рядка могут быть, вообще говоря, произвольны
по сравнению с единицей, для чего необходимо
выполнение условий:
2 1,xxA R 2 1,yyA R 2 1.zzA R (33)
Второе из них выполняется в силу условий
0 1,kR 2 1,kR принятых при выводе (1), а
первое и третье накладывают некоторые огра-
ничения на сферические углы 0 2,′ ′θ θ векто-
ров 0 2, ,R R′ ′ где 0 0 0cos ,z R′ ′θ = 2 2 2cos .z R′ ′θ =
Область значений углов, при которых нарушает-
ся одно из двух указанных условий (выше мы
условились считать, что это происходит при
0),xxA → является переходной областью, где ста-
новится неприменимым МСФ по крайней мере для
интегрирования по переменной 1.x′ Такую ситуа-
цию мы рассматривать не будем. Будет рассмат-
риваться случай применимости МСФ по всем трем
переменным или случай вырожденного рассеяния
( 0),xxA = когда по переменной 1x′ применимо при-
ближение дифракции Фраунгофера.
Достаточным условием пренебрежения чле-
нами третьего порядка является малость соот-
ветствующих поправок в фазе по сравнению
с единицей. Имея соотношения (28) и (30), это
нетрудно сделать, заменив (31) на 2,0,0 1 1O x R′
и 0,0,2 1 1.O z R′ Однако для вычисления ампли-
туды главного члена асимптотики эти более стро-
гие требования необязательны. Их учет лишь
обеспечивает сдвижку значения фазы в стацио-
нарной точке, которая выпадает из расчетов при
сложении с фазой комплексно сопряженного вы-
ражения в формуле (1).
5. Íåâûðîæäåííîå ðàññåÿíèå
Возвращаясь к формулам (1)–(6), заметим, что
переход от 1R к 1,R′ а затем к R не меняет эле-
мента объема 3 3 3
1 1(d d d ),R R R′= = но все векто-
ры должны быть записаны в повернутой системе
координат 1,R′ т. е. следует заменить 1 1,R R′→
2 2 ,R R′→ 2 2( ) ( ) ,S R S R′ ′→ 1 1 1( ) ( )f R f R′ ′→ и
т. д. Как было оговорено выше, выберем рассеи-
вающий объем V ′ в виде параллелепипеда:
1 2,x x′ ≤ Δ 1 2,y y′ ≤ Δ 1 2.z z′ ≤ Δ (34)
Тогда формулы (2) и (3) можно записать в едино-
образной форме
( )
1 1( ) d d d ( ) ,
u u u
l l l
x y z
i R
s
x y z
f x y zf R R e Φ′ ′χ = +∫ ∫ ∫ (35)
где 3d d d d ,x y z R= фаза ( )RΦ задана формулой
(23), а 1( )f ′χ и 1( )sf R R′ + – это либо 1 1( )f ′ ′χ и
1 1( )sf R R′ ′ + в случае формулы (2), либо 2 1( )f ′χ и
2 1( )sf R R′ + в случае формулы (3).
222 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 3, 2014
А. С. Брюховецкий
Главный член асимптотики интеграла (35)
согласно Приложению выглядит следующим об-
разом:
1 1( ) ( ) .si
s xs x ys y zs zf e f R h Q h Q h QΦ′ ′χ ≈ Δ Δ Δ (36)
“Áîëüøèå” ïëîùàäêè , ,Δ Δ Δx y z
В этом случае 2( ) 1,xxA xΔ 2( ) 1,yyA yΔ
2( ) 1.zzA zΔ Для стационарных точек внутри рас-
сеивающего объема ,V ′ достаточно удаленных
от границ, 3 2, ,x y zQ Q QΔ Δ Δ ≈ π и формула (36)
приобретает вид
3 4 3 2 1 2
1 1( ) ( ) (2 ) ,si i
sf e f R e HΦ π −′ ′χ ≈ π (37)
где 32 xx yy zzH A A A= – определитель матрицы Гес-
са (гессиан) для фазы (23).
“Ìàëûå” ïëîùàäêè , ,Δ Δ Δx y z
В этом случае 2( ) 1,xxA xΔ 2( ) 1,yyA yΔ
2( ) 1zzA zΔ и для xQΔ (а аналогично и для ,yQΔ
)zQΔ можно взять приближение (П12), в резуль-
тате чего получим
1
1 1( ) ( ) ( sin )ci
s x xf e f R V C CΦ −′ ′ ′χ ≈ ×
1 1( sin )( sin ),y y z zC C C C− −× (38)
где V x y z′ = Δ Δ Δ и учтено соотношение (П16).
Заметим, что в силу уравнений (22) можно
записать
[ ]
[ ]
1 0 0 1
1 0 0 1
1 0 0 1
2 ( 2) ( ) ,
2 ( 2) ( ) ,
2 ( 2) ( ) .
x x x x x
y y y y y
z z z z z
C K x x k
C K y y k
C K z z k
′ ′ ′ ′⎧ = Δ = Δ α −β + χ
⎪⎪ ′ ′ ′ ′⎡ ⎤= Δ = Δ α −β + χ⎨ ⎣ ⎦
⎪
′ ′ ′ ′= Δ = Δ α −β + χ⎪⎩
(39)
6. Âûðîæäåííîå ðàññåÿíèå ( 0)====xxA
В этом случае 0 2 0 2 0z z y y′ ′ ′ ′= = = = и 0.xzA = Фор-
мулу (15) для фазы перепишем в виде
1 1( ) ( ) ,R x′ ′Φ = Φ + ΔΦ (40)
где
1 1 1( ) ,xx K x′ ′ ′Φ = (41)
2 2
1 1 .с yy zzA y A z′ ′ΔΦ = Φ + + (42)
В этом случае сдвиг 1 1 1(0, , ),s s sR y z′ ′ ′= а угол
поворота 0.ϕ = Из уравнений (22) остаются толь-
ко второе и третье (для определения 1sy′ и 1 ),sz′
и, соответственно, вместо (24) имеем
2 2
1 1 .s c yy s zz sA y A z′ ′Φ = Φ − − (43)
Для интеграла по переменной 1x′ вместо (П3) име-
ем асимптотическую оценку интеграла Фурье:
1
2
( )
1 1 1 1
2
d ( , , )
x
i R
x
x
I x f x y z e
Δ
′Φ
−Δ
′ ′ ′ ′≈ ≈∫
1
1 1 1( , , )( sin ),i
c x xe xf x y z C CΔΦ −′ ′ ′≈ Δ (44)
где xC определено соотношением (39). Асимпто-
тическое интегрирование МСФ по переменным
1,y′ 1z′ приводит к выражению главного члена
асимптотики в виде
1
1 1 1 1( ) ( , , ) ( sin ).si
c s s ys y zs z x xf xe x y z h Q h Q C CΦ −′ ′ ′ ′χ ≈ Δ Δ Δ
(45)
“Áîëüøèå” ïëîùàäêè ,Δ Δy z
Для внутренних стационарных точек 1 ,sy′ 1 ,sz′
значительно удаленных от границ 1 2,y y′ = ±Δ
1 2,z z′ = ±Δ формула (45) принимает вид
( ) 1 2
1 1 1 1( ) ( , , ) ( )si
c s s yy zzf xe f x y z A AΦ +π −′ ′ ′ ′χ ≈ Δ π ×
1( sin ).x xC C−× (46)
“Ìàëûå” ïëîùàäêè ,Δ Δy z
В этом случае
1 1 1 1( ) ( , , )ci
c s sf e f x y z VΦ′ ′ ′ ′ ′χ ≈ ×
1 1 1( sin )( sin )( sin ).x x y y z zC C C C C C− − −× (47)
7. Ïðèáëèæåíèå äèôðàêöèè
Ôðàóíãîôåðà
Квадратичные члены в разложении фазы малы,
1 1 1( ) ... .cR K R′ ′ ′Φ ≈ Φ + + (48)
Интеграл (П1) в переменных 1 1 1( , , )x y z′ ′ ′
1 1
2 2 2
( )
1 1 1 1 1
2 2 2
( ) d d d ( ) c
x y z
i K R
x y z
f x y z f R e
Δ Δ Δ
′ ′Φ +
−Δ −Δ −Δ
′ ′ ′ ′ ′χ ≈ ∫ ∫ ∫ (49)
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 3, 2014 223
Об учете сферичности волновых фазовых фронтов в теории рассеяния волн турбулентной атмосферой
имеет вид типичного трехкратного интеграла
Фурье. При условии 1 1( ) ( ) ...cf R f R′ ′≈ + главный
член его асимптотики
1
1 1( ) ( ) ( sin )ci
c x xf e f R V C CΦ −′ ′ ′χ ≈ ×
1 1( sin )( sin ).y y z zC C C C− −× (50)
Отличие (50) от (38) и (47) заключается в раз-
ных значениях аргументов предэкспоненциально-
го множителя: 1 1 1( , , )s s sf x y z′ ′ ′ в (38), 1 1 1( , , )c s sf x y z′ ′ ′
в (47) и 1 1 1( , , )c c cf x y z′ ′ ′ в (50). В силу условия (32)
этой разницей можно пренебречь, считая 1 1 .s cR R′ ≈
8. Âû÷èñëåíèÿ ñðåäíåé
èíòåíñèâíîñòè ðàññåÿíèÿ
8.1. Íåâûðîæäåííîå ðàññåÿíèå
“Áîëüøèå” ïëîùàäêè , ,Δ Δ Δx y z
Вклад в интенсивность рассеяния от “теневых”
(за пределами )V ′ стационарных точек быстро
убывает при удалении от границ .V ′ Им мож-
но пренебречь, как и отличием от (37) вклада
стационарных точек из узкой приграничной “ос-
вещенной” зоны (см. [10–12]), если спектраль-
ная плотность 1( )ε ′Φ χ при соответствующих 1′χ
не возрастает аномально быстро. При этом пред-
положении 2( )S R′ ′ можно записать в следую-
щем виде:
4
23 1
2 1 1 0 1( ) d ( ) ( )
2 s s
V
kS R c H n R A R
χ
−⎛ ⎞′ ′ ′ ′ ′ ′ ′≈ χ ×⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫
2 2
2 1 1 1sin ( ) ( ).s sR R R
−
ε′ ′ ′ ′× − χ ⋅Φ χ (51)
Здесь Vχ – объем в пространстве волновых век-
торов 1,′χ границы которого однозначно опреде-
ляются линейной связью (22) между компонента-
ми 1sR′ и волновым вектором 1 1 0 0( )K k′ ′ ′ ′χ = − α −β
соответствующей пространственной “синусои-
дальной решетки” в спектре неоднородностей .ε
Вид этой формулы говорит о том, что статисти-
чески независимыми “рассеивателями” являют-
ся не элементы объема, а “синусоидальные ре-
шетки”, что свидетельствует о “коллективном”
характере процесса рассеяния всем объемом в
целом с учетом фактора “деструктивной интер-
ференции” ([13], с. 421).
Упомянутая связь (22) позволяет в формуле
(51) перейти от интегрирования по 1′χ к интег-
рированию по координатам соответствующих
стационарных точек внутри .V ′ При этом
3
1 1 1 1 1 1( , , ) ( , , ) 2x y z s s s xx yy zzx y z A A A′ ′ ′ ′ ′ ′∂ χ χ χ ∂ = и фор-
мула (51) переходит в
4
23
2 1 1 0 1( ) d ( ) ( )
2 s s s
V
kS R c R n R A R
′
⎛ ⎞′ ′ ′ ′ ′ ′ ′≈ ×⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫
2 2
2 1 1 1sin ( ) ( ),s s sR R R
−
ε′ ′ ′ ′× − χ ⋅Φ χ (52)
где
1 0 0 1( ) ,s sk′ ′ ′ ′χ = β −α + Δχ (53)
1 1 1 1( 2 , 2 , 2 )s xx s yy s zz sA x A y A z′ ′ ′ ′Δχ = − − − (54)
в силу равенств (20), (22).
Если 01 1 0R R R′ ′ ′= − и 12 2 1R R R′ ′ ′= − предста-
вить квадратичными разложениями по 1,R′ то 1s′χ
можно представить как
1 ( ),s s sk′ ′ ′χ = β −α (55)
причем
12
1
,s
s
R
R
⎛ ⎞′∂′β = −⎜ ⎟′∂⎝ ⎠
01
1
.s
s
R
R
⎛ ⎞′∂′α = −⎜ ⎟′∂⎝ ⎠
“Ìàëûå” ïëîùàäêè , ,Δ Δ Δx y z
Как отмечалось в комментариях к формуле (50),
при выполнении условия (32) можно положить
1 1 ,s cR R′ ≈ взяв за основу формулу (50), получен-
ную в приближении дифракции Фраунгофера. Кро-
ме того, в силу быстрого убывания “диаграмм-
ных множителей” область изменения 1′χ можно
принять бесконечной. При этих предположениях
4
23
2 1 1 0 13( d ( ) ( )
2(2 ) s c c
c kS R n R A R
∞
−∞
⎛ ⎞′ ′ ′ ′ ′ ′ ′≈ χ ×⎜ ⎟π ⎝ ⎠ ∫
( )22 2 1
2 1 1 1sin ( ) ( ) sinc c x xR R R V C C
− −
ε′ ′ ′ ′ ′× − χ ⋅ Φ χ ×
( ) ( )2 21 1sin sin .y y z zC C C C− −× (56)
Переход к интегрированию по 1sR′ в (56) невоз-
можен по причине того, что внутренние точки
224 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 3, 2014
А. С. Брюховецкий
1sR′ из V ′ формируют только малые окрестности
максимумов “диаграммных множителей”, осталь-
ные их части формируются за счет вклада 1 ,sR′
лежащих в зоне “тени” (за пределами ).V ′
Упрощения в (56) возможны, если спектраль-
ная плотность 1( )ε ′Φ χ мало меняется в преде-
лах первых нескольких лепестков “диаграммных
множителей”. Ограничившись первым членом
разложения 1 1( ) ( ) ...cε ε′ ′Φ χ ≈ Φ χ + и взяв в ка-
честве новых переменных интегрирования аргу-
менты , ,x y zC C C “диаграммных множителей”,
получим
4
2
2 1 0 1( ) ( ) ( )
2 c c
kS R c n R A R⎛ ⎞′ ′ ′ ′ ′ ′≈ ×⎜ ⎟⎝ ⎠
2
2 1 1 1sin ( ) ( ) ,c c cR R R Vε′ ′ ′ ′ ′× − χ ⋅Φ χ (57)
где 1 0 0( ),c k′ ′ ′χ = β −α V x y z′ = Δ Δ Δ и использовано
значение табличного интеграла ([13], c. 431)
2
2
sin d .t t
t
∞
−∞
= π∫
8.2. Âûðîæäåííîå ðàññåÿíèå
“Áîëüøèå” ïëîùàäêè ,Δ Δy z
Воспользовавшись выражением (46) для внутрен-
них стационарных точек 1 1,s sy z′ ′ объема ,V ′ по-
лучим
2
4
2 1 1 1 13( ) d d d ( )
2(2 ) x y z cs
V
c kS R n R
χ
∞
−∞
⎛ ⎞′ ′ ′ ′ ′ ′ ′≈ χ χ χ ×⎜ ⎟π ⎝ ⎠ ∫ ∫∫
2 2 2 2
0 1 2 1 1( ) sin ( ) ( )cs cs csA R R R R x
−
′ ′ ′ ′× − χ ⋅ Δ ×
2
1 2
1( sin ) ( ),x x
yy zz
C C
A A
−
ε
π ′× Φ χ (58)
где 2V χ – область значений 1 1, ,y z′ ′χ χ отвечающая
внутренним стационарным точкам 1 1,s sy z′ ′ соглас-
но (20), (22):
1 0 0 1( ) 2 ,y y y yy sk A y′ ′ ′ ′χ = β −α − (59)
1 0 0 1( ) 2 .z z z zz sk A z′ ′ ′ ′χ = β −α − (60)
Напомним, что для этого случая 0 0 1,x x′ ′α = β = а
0 0 0 0 0.y y z z′ ′ ′ ′α = β = α = β =
При произвольной величине 1( )ε ′Φ χ переход
в (58) к интегрированию по 3
1d sR′ невозможен
из-за отсутствия связи 1x′χ с 1x′ внутренних
точек .V ′ Если же 1( )ε ′Φ χ слабо меняется в пре-
делах нескольких первых осцилляций “диаграмм-
ного множителя”, ее можно разложить в ряд Тей-
лора в окрестности точки 1 1 0 0( ),x cx x xk′ ′ ′χ = χ = β −α
ограничившись первым членом разложения.
Выполнив затем интегрирование по 1x′χ анало-
гично проведенному в (56) и перейдя от интегри-
рования по 1 ,y′χ 1z′χ к интегрированию по 1 1, ,s sy z′ ′
получим
4
23
2 1 1 0 1( ) d ( ) ( )
2 s cs cs
V
kS R c R n R A R
′
⎛ ⎞′ ′ ′ ′ ′≈ ×⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫
2 2
2 1 1 1sin ( ) ( ).cs cs csR R R
−
ε′ ′ ′× − χ ⋅Φ χ (61)
При этом использовано
2
1
2
d
x
s
x
x x
Δ
−Δ
Δ = ∫ и введено
обозначение
1 1 1 1( , , ),cs cx sy sz′ ′ ′ ′χ = χ χ χ (62)
а 1 1,sy sz′ ′χ χ определены равенствами (59) и (60)
соответственно. Заметим, что в силу условия (32)
можно положить 1 1 .cs cR R′ ′≈
“Ìàëûå” ïëîùàäêè ,Δ Δy z
Воспользовавшись приближением (50), получим
4
23
2 1 1 0 13( ) d ( ) ( )
2(2 ) c c
c kS R n R A R
∞
−∞
⎛ ⎞′ ′ ′ ′ ′ ′ ′≈ χ ×⎜ ⎟π ⎝ ⎠ ∫
( ) ( )2 22 2 1 1
2 1 1sin ( ) sin sinc c x x y yR R R C C C C
− − −′ ′ ′× − χ ⋅ ×
( )21
1sin ( ).z zC C−
ε ′× Φ χ (63)
Как и в предыдущем случае, упрощение (63)
возможно, если в пределах нескольких первых
лепестков “диаграммных множителей” можно по-
ложить 1 1( ) ( ) ...,cε ′ ′Φ χ ≈ Φ χ + где 1 0 0( ).c k′ ′ ′χ = β −α
Взяв интегралы от “диаграммных множителей”,
получим
4
2
2 1 0 1( ) ( ) ( )
2 c c
kS R c n R A R⎛ ⎞′ ′ ′ ′ ′ ′≈ ×⎜ ⎟⎝ ⎠
2 2
2 1 1 1sin ( ) ( ) .c c cR R R V
−
ε′ ′ ′ ′ ′× − χ ⋅Φ χ (64)
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 3, 2014 225
Об учете сферичности волновых фазовых фронтов в теории рассеяния волн турбулентной атмосферой
Сопоставляя (64) с (57) и (61) с (52), видим,
что при плавной зависимости 1( )ε ′Φ χ формулы
для вырожденного рассеяния являются аналити-
ческим продолжением соответствующих им фор-
мул для невырожденного рассеяния.
9. Îáñóæäåíèå ðåçóëüòàòîâ
Выполненные с помощью МСФ расчеты являют-
ся новым шагом в решении рассматриваемой про-
блемы, позволяющим отказаться от физически
неоправданных предположений, содержащихся
в известных к настоящему времени работах. Этот
метод является общепризнанным, математичес-
ки обоснованным асимптотическим методом, ко-
торый применяется исследователями в самых
различных областях физики. Новыми являются
как рабочие формулы (20)–(25), (36), (37), (51), (56),
(58), полученные в приближении дифракции Фре-
неля, так и их предельный переход к приближе-
нию дифракции Фраунгофера (38), (50) при рас-
сеянии “малым” объемом, что является подтвер-
ждением достоверности полученных отношений.
Применимость результатов ограничена рядом
требований. Первое из них – малость отбрасы-
ваемых членов в разложении фазы по сравнению
с оставленными квадратичными. Это ограничи-
вает область рассматриваемых в вычислениях
значений 1 1 1, ,x y z′ ′ ′ неравенством (32). Второе
требование – малость последующих членов асим-
птотического ряда по сравнению с главным (36).
Как и в работе [12], его можно получить в явном
виде, если разложить предэкспоненциальный мно-
житель 1( )f R R′ + в формуле (35) по степеням R
в окрестности точки 1 1sR R′ ′= и выполнить затем
почленное интегрирование. Получаемые при этом
условия аналогичны установленным в [12] и рав-
ноценны неравенству (32).
Относительная погрешность выражения (52),
связанная с заменой множителя x y zQ Q QΔ Δ Δ в
формуле (36) на асимптотическое значение 3 2( ) ,π
порядка
1 2 1 1 2 11.5 2 ( ) ( )xx yyA x A y− − − −⎡π Δ + Δ +⎣
1 2 1( ) 1.zzA z− − ⎤+ Δ ⎦
Такую оценку можно получить, если интеграл
вероятности ˆerf μ в формуле (П8) выразить че-
рез интегралы Френеля:
( ) ( )4ˆerf 2 2 2 ,ie C iS− π ⎡ ⎤μ = πμ + πμ⎣ ⎦
4ˆ( ),ie− πμ = μ
данные о которых подробно представлены на
с. 124, 142, 143 справочника [14].
Кроме того, различные варианты формул для
2( ) ,S R′ ′ полученные при определенных значе-
ниях физических параметров, предполагают не-
которые ограничения на поведение спектральной
плотности 1( ),ε ′Φ χ что оговаривалось при полу-
чении этих формул.
Анализ последовательности проведенных вы-
числений позволяет объяснить физический меха-
низм формирования рассеянного поля. Он оп-
ределяется двумя факторами: случайными из-
менениями флуктуаций ε и “деструктивной
интерференцией” ([13], с. 421) волн, рассеянных
различными частями объема ,V ′ из-за разницы
хода проходимого ими оптического пути.
Результатом действия первого фактора яв-
ляется то, что средние значения линейных по ε
величин обращаются в нуль, а квадратичные ве-
личины, такие как 2( ) ,S R′ ′ являются суммой
независимых вкладов в рассеяние от отдельных
фурье-компонент ε с волновыми векторами 1,′χ
что является следствием теоремы Винера–Хин-
чина для однородного случайного поля .ε
Влияние второго фактора проявляется в том,
что вклад отдельной случайной пространствен-
ной “решетки” является результатом коллектив-
ного рассеяния всеми частями объема V ′ с уче-
том частичного взаимопогашения в результате
интерференции. Из–за этого вклад оказывается
пропорциональным лишь некоторой доле окрест-
ности стационарной точки, где изменения фазы
минимальны.
Такое объяснение указывает на ошибочность
концепций рассеяния, положенных в основу рас-
смотрения [1, 2], где предполагается статисти-
ческая независимость рассеяния отдельными
частями ,V ′ в пределах которых разность фаз
между двумя точками рассеяния аппроксими-
руется линейной функцией координат. Хотя в ча-
стном случае рассеяния “большим” объемом в
[1] получается результат, согласующийся с фор-
мулой (52) с точностью до неопределенного
“свободного” параметра 1 1( ) ( ),s sε ε′ ′Φ χ Φ χ где
1( )sε ′Φ χ – некая “усредненная” спектральная
226 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 3, 2014
А. С. Брюховецкий
плотность, введенная, по сути, произвольно a priori
В. И. Татарским в формуле (23) на с. 150 моно-
графии [1]. Напомним, что 1 ( )s s sk′ ′ ′χ = β −α соот-
ветствует K− в обозначениях В. И. Татарского.
В случае “большого” объема при определен-
ных условиях возможен переход от интегрирова-
ния по волновым векторам 1s′χ случайных “реше-
ток” в формуле (52) к соответствующим им ста-
ционарным точкам 1sR′ в формуле (53), что в опре-
деленной мере и объясняет такое соответствие.
В случае “малого” объема это соответствие
обеспечивается при практически неизменной
величине 1( )ε ′Φ χ в пределах нескольких ~ 3 4m −
лепестков “диаграммных множителей”. Это, по-
видимому, эквивалентно замене конечной облас-
ти интегрирования на бесконечную при вычисле-
ниях корреляционной функции в [1, 2]. Действи-
тельно, если (57) умножить на
2
2 2 1( ) c cn R R R′ ′ ′ ′− и
поделить на
2
0 1( ) ,
8 c
c A R V′ ′ ′
π
то получим диффе-
ренциальное сечение рассеяния, отнесенное к еди-
нице “малого” объема ,V ′ в виде
4 2
0 2 1 1( ) ( )sin ( ).
2 s cR k Rε
π′ ′ ′σ = Φ χ χ (65)
Учитывая связь между флуктуациями ε и коэф-
фициента преломления ([2], с. 82, формула (16.6)),
получаем полное совпадение (65) с соответствую-
щей формулой (16.15) в [2]. Аналогичная форму-
ла (27) на с. 151 в [1] содержит “усредненную”
спектральную плотность 1( )ε ′Φ χ вместо 1( ).ε ′Φ χ
Таким образом, в обоих предельных случаях
для соответствия результатов [1, 2] результатам,
полученным на основе МСФ, необходимо от-
сутствие аномального роста 1( )ε ′Φ χ при 1,′χ отве-
чающих стационарным точкам из области “тени”
(за пределами ).V ′ Возможно, что при этих усло-
виях каким-то образом приближенно проявляется
свойство инволютивности преобразования Ле-
жандра ([15], с. 198, 199).
При произвольных размерах V ′ необходимо
использовать выражения типа (П7), а при воз-
можном вкладе стационарных точек из области
“тени” – выражения типа (51), (56), (58).
Из-за значительного различия в изначальной
постановке задачи сравнение с результатами
В. И. Татарского [4] может быть только качест-
венное. Сравнивать необходимо величины 2
sE ≡
2( ) ( 8 )S R c′ ′ π и ( )42 * 2 .sE a≡ πεε В пер-
вом случае 2( )S R′ ′ определяется формулой (58)
для частного случая 2 0( )R R= − вырожденного
рассеяния, во втором *εε – формулой (47) в
[4], а 2aπ – эквивалентная площадь антенн с гаус-
совым амплитудным освещением апертуры.
Для малоуглового рассеяния 0, ,x y z RΔ Δ Δ
можно положить 1( ) 1,cn R′ ′ ≈ 2 1 2 0 ,csR R R R′ ′ ′ ′− ≈ =
2sin 1.χ ≈ Выбрав 2 2
0 1 0 0( ) ,csA R A R′ ′ ≈ с учетом то-
го, что 0 ,yy zzA A k R= = в первом случае получим
2 222 0
2
0
( )
16s
A xkE
R
Δ≈ ×
( )
2
21
1 1 1 1d d d ( ) sin ,x y z x x
V
C C
χ
∞
−
ε
−∞
′ ′ ′ ′× χ χ χ Φ χ∫ ∫∫
где 1( 2 ),
2x x
xC kΔ ′= χ − 1 ,
2y
k yΔ′χ ≤ 1 2z
k zΔ′χ ≤ со-
гласно формулам (59) и (60) при 0 ( 1, 0, 0),′α = −
0 (1, 0, 0).′β =
Для второго случая в дальней зоне антенны
2 2 4( )R k a
2 22
2 30
2
(2 ) d ( )
16s
A hkE p p
R
∞
ε
−∞
π= Φ ×∫ ∫ ∫
( )2 2 2 2 2exp ( 2 ) ( 2) .z x yh p k a p p⎡ ⎤× − − − +⎣ ⎦
Для первого случая эффективная область 3V χ
интегрирования заключена в пределах:
1 2 ( ),x k x′χ − ≤ π Δ 1 0( ),y k y R′χ ≤ Δ
1 0( ).z k z R′χ ≤ Δ
Аналогичная эффективная область 3 pV во втором
случае ограничена условиями:
12 ,zp k h−− ≤ ~ 2 .x yp p a≤
Заменяя в этих областях множитель при 1( )ε ′Φ χ
и ( )pεΦ единицей, можно приближенно за-
писать
3
2 22
2 30
1 1
0
( ) d ( ),
16s
V
A xkE
R
χ
ε
Δ′ ′ ′≈ χ Φ χ∫∫∫
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 3, 2014 227
Об учете сферичности волновых фазовых фронтов в теории рассеяния волн турбулентной атмосферой
3
2 22
2 30
2
(2 ) d ( ).
16
p
s
V
A hkE p p
R ε
π≈ Φ∫∫∫
Выбором 2 1.25h x x≈ Δ π ≅ Δ можно сделать
коэффициенты перед интегралом одинаковыми.
В результате 2
sE в обоих случаях определяет-
ся интегралом от спектральной плотности εΦ по
некоторой эффективной области волновых чисел,
зависящих от размеров рассеивающего объема.
Ïðèëîæåíèå
Рассмотрим трехкратный интеграл
( )
3 1d d d ( ) ,
u u u
l l l
x y z
i R
s
x x x
I x y zf R R e Φ′= +∫ ∫ ∫ (П1)
где вектор 1sR определен соотношениями (22),
а ( )RΦ – формулой (23). Для получения главного
члена асимптотики разложим предэкспоненциаль-
ный множитель в ряд Тейлора, ограничившись
первым членом разложения 1 1( ) ( ).s sf R R f R′ ′+ ≈
Тогда (П1) представляется в виде
3 1( ) ,si
s x y zI e f R I I IΦ ′= (П2)
где
2
d .
u
xx
l
x
iA x
x
x
I xe= ∫ (П3)
Аналогичным образом можно записать yI и ,zI
имея в виду выражение (23) для фазы.
Введем в (П3) новую переменную интегриро-
вания вместо x:
4 .i
xxt e A x− π= (П4)
Тогда (П3) запишется в виде
,x xs xI h Q= Δ (П5)
где
4 1 2( ) ,i
xs xxh e Aπ −= (П6)
ˆ ˆ( ) ( ),x xl xuQ Q QΔ = μ − μ (П7)
2
ˆ
ˆ ˆ ˆ( ) d erfc [1 erf ],
2 2
tQ e t
∞
−
μ
π πμ = = μ = − μ∫ (П8)
4 4 1 2ˆ ( ) ,i i
xl xl xx le e A x− π − πμ = μ =
(П9)
4 4 1 2ˆ ( ) .i i
xu xu xx ue e A x− π − πμ = μ =
Таким образом, в силу (П6) главный член асим-
птотики ( )1 2~ ( ) 2xx xx sA − ′′= Φ и выражается
через разность xQΔ интегралов вероятности
от комплексного аргумента. При желании эту
зависимость можно выразить через интегралы
Френеля.
Аналогичным образом можно получить
,y ys yI h Q= Δ (П10)
.z zs zI h Q= Δ (П11)
Входящие в эти выражения величины ,ysh yQΔ и
,zsh zQΔ определяются соответственно через
( , , )l u yyy y A и ( , , )l u zzz z A подобно тому, как ,xsh
xQΔ – через ( , , )l u xxx x A в формулах (П6)–(П9).
Поведение xQΔ для “большой” и “малой”
площадок описано в [5–7]. Если точки 1 ,sx′
принадлежащие 1 1[ , ],l ux x′ ′ удалены достаточно
от концов интервала “большой” площадки
( 1, 1),xl xuμ μ то .xQΔ ≈ π Если же 1sx′ при-
ближаются к одному из концов, тогда 2.xQΔ ≈ π
Далеко в области “тени” (за пределами области
интегрирования) 2x xlQΔ ≈ μ либо 2 xuμ соот-
ветственно.
В случае “малой” площадки для внутренних
точек 1sx′ из интервала интегрирования 1,xlμ
1.xuμ При этом [11]
4 1( sin ),xiBi
x x x xQ e e A C C− π −Δ ≈ (П12)
где
1 2( ) ,x xxA A x= Δ (П13)
2
1 ,x xx sB A x′= (П14)
1 1 2.x xx s xC A x x K x′ ′= − Δ ≡ Δ (П15)
Для “большой” и “малой” по 1y′ либо 1z′ пло-
щадок yQΔ и zQΔ можно записать аналогичным
образом, заменив во всех выражениях 1 , , ...s xxx A′
на соответствующие величины 1 , , ...s yyy A′ либо
1 , , ...s zzz A′ При этом следует иметь в виду, что
2 2 2
1 1 1x y z xx s yy s zz s c sB B B A x A y A z′ ′ ′+ + = + + =Φ −Φ
(П16)
228 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 3, 2014
А. С. Брюховецкий
согласно соотношению (24).
В заключение выражаю благодарность рецензен-
ту за полезные замечания, которые были учтены
автором в процессе доработки текста статьи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
01. Татарский В. И. Распространение волн в турбулентной
атмосфере. – М.: Наука, 1967. – 548 с.
02. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в слу-
чайно-неоднородных средах. Т. 2. – М.: Мир, 1981. –
317 с.
03. Эрдейи А. Асимптотические разложения. – М.: Физ-
матгиз, 1962. – 127 с.
04. Tatarskii V. I. Theory of Single Scattering by Random
Distributed Scatterers // IEEE Trans. Antennas Propag. –
2003. – Vol. 51, No. 10. – P. 2806–2813.
05. Кон А. И., Татарский В. И. О мощности сигнала при
радиоакустическом зондировании атмосферы // Радио-
техника и электроника. – 1986. – Т. 31, № 10. –
С. 1903–1908.
06. Брюховецкий А. С. Рассеяние электромагнитных волн
в искусственно создаваемых средах: дис. … к. ф.-м. н.
ИРЭ АН УССР, г.Харьков, 1970. – 149 с.
07. Брюховецкий А. С. Радиолокационное отражение от зву-
кового импульса // Радиофизика и радиоастрономия. –
2005. – Т. 10, № 4. – С. 432–441.
08. Крюковский А. С., Лукин Д. С., Галкин Е. А., Растя-
гаев Д. С. Волновые катастрофы-фокусировки в диф-
ракции и распространении электромагнитных волн
(обзор) // Радиотехника и электроника. – 2006. – Т. 51,
№ 10. – С. 1155–1192.
09. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн.
Т.1. – М.: Мир, 1978. – 547 с.
10. Брюховецкий А. С. Переход от ближней к дальней зоне
в решении задачи обратного рассеяния волн статисти-
чески неровной поверхностью // Радиофизика и радио-
астрономия. – 2010. – Т. 15, № 4. – С. 408–424.
11. Брюховецкий А. С. Переход от ближней к дальней зоне
в решении задачи рассеяния плоской волны статисти-
чески неровной поверхностью // Радиофизика и радио-
астрономия. – 2012. – Т. 17, № 2. – С. 157–170.
12. Брюховецкий А. С. Переход от ближней к дальней зоне
в двухпозиционном рассеяния волн статистически
неровной поверхностью // Радиофизика и радиоастро-
номия. – 2013. – Т. 18, № 3. – С. 244–256.
13. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. – М.: Наука,
1970. – 856 с.
14. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным
функциям. – М.: Наука, 1979. – 832 с.
15. Федорюк М. В. Асимптотика: Интегралы и ряды. – М.:
Наука, 1987. – 544 с.
А. С. Брюховецький
Інститут радіофізики та електроніки
ім. О. Я. Усикова НАН України,
вул. Ак. Проскури, 12, м. Харків, 61085, Україна
ПРО ВРАХУВАННЯ СФЕРИЧНОСТІ ХВИЛЬОВИХ
ФАЗОВИХ ФРОНТІВ У ТЕОРІЇ РОЗСІЯННЯ ХВИЛЬ
ТУРБУЛЕНТНОЮ АТМОСФЕРОЮ
Для випадку розсіяння хвиль турбулентною атмосферою
знайдено асимптотики трикратних інтегралів, що визна-
чають інтенсивність розсіяного поля. Для невирожденого
розсіяння (гессіан фази є відмінним від нуля) використано
метод стаціонарної фази за трьома змінними інтегрування.
Для виродженого розсіяння (гессіан фази дорівнює ну-
лю) – комбінований метод: наближення дифракції Фраун-
гофера за однією зі змінних та метод стаціонарної фази за
двома іншими. Встановлено зв’язок з відомими в літературі
результатами розрахунків.
A. S. Bryukhovetski
O. Ya. Usikov Institute for Radiophysics and Electronics,
National Academy of Sciences of Ukraine,
12, Akad. Proskura St., Kharkiv, 61085, Ukraine
ACCOUNTING FOR SPHERISITY OF PHASE WAVE
FRONTS IN THE THEORY OF WAVE SCATTERING
BY TURBULENT ATMOSPHERE
For the case of wave scattering by turbulent atmosphere,
the asymtotics of three-fold integrals that determine the intensi-
ty of the scattered field are found. For nondegenerate scattering
(hessian of phase being nonzero) the method of a stationary
phase with respect to three integration variables has been used.
For the degenerate scattering (hessian of phase being zero)
the combined method has been applied, namely, the Fraunhofer
approximation in one variable, and the method of stationary
phase in two other variables. The correlation has been estab-
lished with the results known from literature.
Статья поступила в редакцию 25.12.2013
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100358 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-9636 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:56:26Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Радіоастрономічний інститут НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Брюховецкий, А.С. 2016-05-20T08:40:27Z 2016-05-20T08:40:27Z 2014 Об учете сферичности волновых фазовых фронтов в теории рассеяния волн турбулентной атмосферой / А.С. Брюховецкий // Радиофизика и радиоастрономия. — 2014. — Т. 19, № 3. — С. 217-228. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1027-9636 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100358 621.371.162 Для случая рассеяния волн турбулентной атмосферой найдены асимптотики трехкратных интегралов, определяющих интенсивность рассеянного поля. Для невырожденного рассеяния (гессиан фазы отличен от нуля) использован метод стационарной фазы по трем переменным интегрирования. Для вырожденного рассеяния (гессиан фазы равен нулю) - комбинированный метод: приближение дифракции Фраунгофера по одной из переменных и метод стационарной фазы по двум другим. Установлена связь с известными в литературе результатами расчетов. Для випадку розсіяння хвиль турбулентною атмосферою знайдено асимптотики трикратних інтегралів, що визначають інтенсивність розсіяного поля. Для невирожденого розсіяння (гессіан фази є відмінним від нуля) використано метод стаціонарної фази за трьома змінними інтегрування. Для виродженого розсіяння (гессіан фази дорівнює нулю) – комбінований метод: наближення дифракції Фраунгофера за однією зі змінних та метод стаціонарної фази за двома іншими. Встановлено For the case of wave scattering by turbulent atmosphere, the asymtotics of three-fold integrals that determine the intensity of the scattered field are found. For nondegenerate scattering (hessian of phase being nonzero) the method of a stationary phase with respect to three integration variables has been used. For the degenerate scattering (hessian of phase being zero) the combined method has been applied, namely, the Fraunhofer approximation in one variable, and the method of stationary phase in two other variables. The correlation has been established with the results known from literature. ru Радіоастрономічний інститут НАН України Радиофизика и радиоастрономия Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн Об учете сферичности волновых фазовых фронтов в теории рассеяния волн турбулентной атмосферой Про врахування сферичності хвильових фазових фронтів у теорії розсіяння хвиль турбулентною атмосферою Accounting for Spherisity of Phase Wave Fronts in the Theory of Wave Scattering by Turbulent Atmosphere Article published earlier |
| spellingShingle | Об учете сферичности волновых фазовых фронтов в теории рассеяния волн турбулентной атмосферой Брюховецкий, А.С. Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн |
| title | Об учете сферичности волновых фазовых фронтов в теории рассеяния волн турбулентной атмосферой |
| title_alt | Про врахування сферичності хвильових фазових фронтів у теорії розсіяння хвиль турбулентною атмосферою Accounting for Spherisity of Phase Wave Fronts in the Theory of Wave Scattering by Turbulent Atmosphere |
| title_full | Об учете сферичности волновых фазовых фронтов в теории рассеяния волн турбулентной атмосферой |
| title_fullStr | Об учете сферичности волновых фазовых фронтов в теории рассеяния волн турбулентной атмосферой |
| title_full_unstemmed | Об учете сферичности волновых фазовых фронтов в теории рассеяния волн турбулентной атмосферой |
| title_short | Об учете сферичности волновых фазовых фронтов в теории рассеяния волн турбулентной атмосферой |
| title_sort | об учете сферичности волновых фазовых фронтов в теории рассеяния волн турбулентной атмосферой |
| topic | Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн |
| topic_facet | Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100358 |
| work_keys_str_mv | AT brûhoveckiias obučetesferičnostivolnovyhfazovyhfrontovvteoriirasseâniâvolnturbulentnoiatmosferoi AT brûhoveckiias provrahuvannâsferičnostíhvilʹovihfazovihfrontívuteoríírozsíânnâhvilʹturbulentnoûatmosferoû AT brûhoveckiias accountingforspherisityofphasewavefrontsinthetheoryofwavescatteringbyturbulentatmosphere |