Гистерезис торов
Представлены теоретические исследования динамики нелинейного осциллятора с кубической и квадратичной нелинейностями при одновременном низкочастотном и высокочастотном внешнем воздействии. Обнаружен новый механизм возникновения бистабильности и гистерезиса в результате такого взаимодействия. Этот мех...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Радиофизика и радиоастрономия |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Радіоастрономічний інститут НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100363 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Гистерезис торов / Д.М. Ваврив, А.Ю. Немец // Радиофизика и радиоастрономия. — 2014. — Т. 19, № 3. — С. 267-275. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859864138864394240 |
|---|---|
| author | Ваврив, Д.М. Немец, А.Ю. |
| author_facet | Ваврив, Д.М. Немец, А.Ю. |
| citation_txt | Гистерезис торов / Д.М. Ваврив, А.Ю. Немец // Радиофизика и радиоастрономия. — 2014. — Т. 19, № 3. — С. 267-275. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Радиофизика и радиоастрономия |
| description | Представлены теоретические исследования динамики нелинейного осциллятора с кубической и квадратичной нелинейностями при одновременном низкочастотном и высокочастотном внешнем воздействии. Обнаружен новый механизм возникновения бистабильности и гистерезиса в результате такого взаимодействия. Этот механизм проявляется как бистабильность и гистерезис торов, формируемых в фазовом пространстве осциллятора. Проведен сравнительный анализ поведения осциллятора при резонансном гармоническом воздействии и при двухчастотном воздействии.
Наведено результати теоретичних досліджень динаміки нелінійного осцилятора з кубічною та квадратичною нелінійністю при одночасному низькочастотному та високочастотному впливові. Знайдено новий механізм виникнення бістабільності та гістерезиса в результаті такої взаємодії. Встановлено, що цей механізм проявляється як бістабільність та гістерезис торів, що утворюються в фазовому просторі осцилятора. Виконано порівняльний аналіз поведінки осцилятора при резонансному гармонічному впливові та двохчастотному впливові.
Theoretical studies of the dynamics of a nonlinear oscillator with cubic and quadratic nonlinearities simultaneously excited by low- and high-frequency external forcing are presented. A new mechanism of the appearance of bistability and hysteresis due to such an interaction is discovered. This mechanism manifests as the bistability and hysteresis of tori formed in the oscillator phase space. A comparative analysis of the oscillator behavior under the resonant harmonic excitation and under the dual frequency excitation is made.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:47:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 3, 2014 267
Радиофизика и радиоастрономия. 2014, Т. 19, № 3, c. 267–275
© Д. М. Ваврив, А. Ю. Немец, 2014
ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÛÅ ßÂËÅÍÈß
 ÏÐÈÁÎÐÀÕ, ÝËÅÌÅÍÒÀÕ È ÑÈÑÒÅÌÀÕ
ÍÀÓ×ÍÎÃÎ ÏÐÈÁÎÐÎÑÒÐÎÅÍÈß
Д. М. ВАВРИВ, А. Ю. НЕМЕЦ
Радиоастрономический институт НАН Украины,
ул. Краснознаменная, 4, г. Харьков, 61002, Украина
E-mail: vavriv@rian.kharkov.ua
ÃÈÑÒÅÐÅÇÈÑ ÒÎÐÎÂ
Представлены теоретические исследования динамики нелинейного осциллятора с кубической и квадратичной нелиней-
ностями при одновременном низкочастотном и высокочастотном внешнем воздействии. Обнаружен новый механизм
возникновения бистабильности и гистерезиса в результате такого взаимодействия. Этот механизм проявляется как
бистабильность и гистерезис торов, формируемых в фазовом пространстве осциллятора. Проведен сравнительный
анализ поведения осциллятора при резонансном гармоническом воздействии и при двухчастотном воздействии.
Ключевые слова: осциллятор, бистабильность, гистерезис, фазовый портрет, предельный цикл, тор
УДК 621.373.5
1. Ââåäåíèå
Бистабильность и связанный с ней гистерезис
относятся к фундаментальным и хорошо извест-
ным эффектам, характерным для нелинейных
систем. Они проявляются в самых разнообраз-
ных электронных, оптических, механических, хи-
мических и других системах, оказывая суще-
ственное влияние на их свойства [1–5]. Одно из
основных свойств бистабильности и гистерезиса
заключается в том, что установившееся состоя-
ние системы (например, ее координаты или ско-
рость движения) определяется не только пара-
метрами системы или внешнего воздействия, а и
предысторией системы. Существует достаточно
много приложений этих эффектов, включая созда-
ние логических элементов, систем регулирования,
кодирования информации.
Несмотря на то что бистабильность прояв-
ляется в самых разнообразных системах, ее ма-
тематическое описание во многих случаях осно-
вывается на использовании относительно простых
моделей нелинейных осцилляторов, например,
уравнения Дуффинга с внешним гармоническим
воздействием [6]. Наличие бистабильности в гар-
монически возбуждаемом осцилляторе прояв-
ляется в том, что при определенных параметрах
системы в фазовом пространстве осциллятора
возникает два притягивающих множества – пре-
дельные циклы. Каждое из состояний характери-
зуется своей областью начальных условий, при
выборе которых реализуется данное состояние.
В этом случае все пространство начальных усло-
вий делится на соответствующие “бассейны при-
тяжения” по количеству состояний. При изменении
параметров системы, например, внешнего воздей-
ствия, возникает гистерезис предельных циклов.
На практике обычно это гистерезис гармоничес-
ких колебаний с различной амплитудой.
В представленной работе мы покажем, что
бистабильность и гистерезис могут возникать в
результате взаимодействия низкочастотных и
высокочастотных колебаний, когда система яв-
ляется моностабильной при наличии только гар-
монического воздействия. В результате такого
взаимодействия в фазовом пространстве систе-
мы формируются торы, поэтому мы называем
этот эффект гистерезисом торов.
Целью работы является определение физичес-
ких причин и условий возникновения бистабильнос-
ти и гистерезиса в результате взаимодействия вы-
сокочастотных и низкочастотных колебаний путем
анализа динамики диссипативного осциллятора
с квадратичной и кубической нелинейностями.
268 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 3, 2014
Д. М. Ваврив, А. Ю. Немец
Статья организована следующим образом.
В разделе 2 описана математическая модель ос-
циллятора с низкочастотным и высокочастотным
воздействиями, получены укороченные уравнения.
Здесь описаны также известный механизм воз-
никновения бистабильности при гармоническом
воздействии и его основные свойства. В разде-
ле 3 показано, что при наличии низкочастотного
воздействия в системе возникают дополнитель-
ные резонансы, которые могут приводить к появ-
лению бистабильности. Методом повторного
усреднения получены укороченные уравнения,
описывающие поведение осциллятора в окрест-
ности этих резонансов. В разделе 4 приведены
результаты анализа бистабильных состояний,
возникающих в результате взаимодействия низ-
кочастотных и высокочастотных колебаний.
В разделе 5 представлено обсуждение основных
результатов работы.
2. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü
В качестве исходной математической модели рас-
смотрим уравнение осциллятора с учетом дисси-
пации, квадратичной и кубической нелинейности,
а также при наличии внешнего двухчастотного
воздействия:
2
2 3 2
02
d d2 cos( )
dd e
x xx x x F t
tt
+ ω = − α − γ − σ + ω +
cos( ).N t+ Ω (1а)
Здесь x – обобщенная координата; 0ω – собствен-
ная частота осциллятора; 0α > – коэффициент
затухания; ,γ σ – коэффициенты кубической
и квадратичной нелинейности; F и N – амплитуды
внешнего высокочастотного и низкочастотно-
го воздействий на частотах eω и .Ω Мы будем
рассматривать случай основного резонанса, ког-
да частота eω близка к собственной частоте ос-
циллятора 0 ,ω
0.eω ≈ ω (1б)
Частота низкочастотного воздействия Ω суще-
ственно меньше eω и соответственно 0.ω При-
веденное уравнение осциллятора использовалось
в [7] для анализа механизмов возникновения хао-
са при взаимодействии высокочастотных и низ-
кочастотных колебаний. В настоящей работе эта
модель используется для исследования возникно-
вения бистабильности при таком взаимодействии.
Легко показать, что в случае квазилинейного
осциллятора, когда все слагаемые в правой час-
ти уравнения (1a) являются малыми, взаимо-
действие между высокочастотными и низкочас-
тотными колебаниями не происходит. Такое вза-
имодействие может реализоваться только при не
малых уровнях низкочастотного воздействия.
Этот случай и рассматривается в представлен-
ной работе.
Если слагаемое cos( )N tΩ в (1a) не является
малым, а остальные слагаемые в правой части
(1a) являются малыми, то это уравнение может
быть сведено к уравнению квазилинейного ос-
циллятора. Для этого воспользуемся заменой
переменных [7]
( ),x z L t= + (2)
где 2 2 2
0 0
( ) cos( ) cos( ).N NL t t t= Ω ≈ Ω
ω − Ω ω
В резуль-
тате приходим к следующему квазилинейному
уравнению осциллятора относительно z:
2
2
02
d ( , ),
d
z z f z t
t
+ ω = (3)
где
( ) ( )3d ( )
( , ) 2 ( )
d
z L t
f z t z L t
t
+
= − α − γ + −
( )2( ) cos( ).ez L t F t−σ + − ω
К этому уравнению можно применить метод ус-
реднения [8]. Для этого запишем (3) в виде сис-
темы уравнений первого порядка
2
0
d ,
d
d ( , ).
d
z y
t
y z f z t
t
⎧ =⎪⎪
⎨
⎪ = −ω +⎪⎩
(4)
Решение системы уравнений (4) будем искать
методом вариации произвольных постоянных.
Записав решение однородного уравнения (3)
в виде
cos( ) sin( ),e ez U t V t= ω + ω
sin( ) cos( ),e e e ey U t V t= − ω ω + ω ω
сводим (4) к уравнениям стандартного вида,
в которых правая часть является малой:
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 3, 2014 269
Гистерезис торов
( )
( )
2 2
0
2 2
0
sin( )d
d
( ) cos( ) sin( ) ( , , ) ,
cos( )d
d
( ) cos( ) sin( ) ( , , ) .
e
e
e e e
e
e
e e e
tU
t
U t V t f U V t
tV
t
U t V t f U V t
ω⎧ = − ×⎪ ω⎪
⎪ ⎡ ⎤× ω − ω ω + ω +⎣ ⎦⎪
⎨
⎪ ω= ×⎪ ω⎪
⎪ ⎡ ⎤× ω − ω ω + ω +⎣ ⎦⎩
После применения процедуры усреднения к (5)
приходим к следующей системе укороченных
уравнений:
( )
( )
2 2 2
2 2 2
d
d
4 ( ) ( ) ,
d
d
4 ( ) ( ) ,
U
t
U V V U V L t L t V
V
t
V U U U V L t L t U R
⎧ =⎪
⎪
⎪= −α − Δ + β + + + η
⎪
⎨
⎪ =⎪
⎪
⎪= −α + Δ −β + + − η −⎩
где
3 ,
8 e
γβ =
ω
2 2
0( )
,
2
e
e
ω − ω
Δ =
ω ,
e
ση =
ω .
2 e
FR =
ω
Таким образом, мы пришли к системе диффе-
ренциальных уравнений с периодически меняю-
щимися коэффициентами. Период изменения
коэффициентов определяется периодом низкоча-
стотного воздействия на осциллятор. Эта систе-
ма уравнений описывает динамику огибающей
высокочастотных колебаний, возбуждаемых в ос-
цилляторе (1a). Для удобства последующего ана-
лиза перепишем (6) в терминах амплитуды А
и фазы θ огибающей колебаний:
( )2 2
d sin ,
d
d 4 ( ) ( ) cos .
d
A A R
t
A A A L t L t A R
t
⎧ = −α − θ⎪⎪
⎨ θ⎪ = Δ − β + − η − θ⎪⎩
(7)
Амплитуда А и фаза θ связаны с U и V следую-
щими соотношениями:
cos ,U A= θ sin .V A= θ
В отсутствие низкочастотного воздействия ( )L t
система уравнений (7) сводится к хорошо извест-
ным уравнениям
2
d sin ,
d
d cos ,
d
A A R
t
RA
t A
⎧ = −α − θ⎪⎪
⎨ θ⎪ = Δ − β − θ⎪⎩
(8)
которые описывают динамику квазилинейного
осциллятора, возбуждаемого на частоте, близкой
к его собственной частоте.
Напомним основные свойства стационарных
колебаний в таком осцилляторе [6], которые нам
понадобятся для дальнейшего анализа. Для этого
рассмотрим качественные изменения резонанс-
ной кривой осциллятора при различных уровнях
амплитуды внешнего высокочастотного сигнала.
В принятых обозначениях резонансная кривая пред-
ставляет собой зависимость интенсивности ста-
ционарных колебаний 2
0I A≡ от параметра рас-
стройки частоты
2 2
0
0
( ) .
2
e
e
e
ω − ωΔ = ≈ ω − ω
ω
Значе-
ния интенсивности колебаний находятся из урав-
нения для стационарных состояний, которое сле-
дует из (8),
2 2 2( ) .I I I Rα + Δ −β = (9)
Типичные резонансные кривые, определяемые
этим уравнением, приведены на рис. 1. При 0R →
резонансная кривая симметрична относительно
0Δ = и стремится к резонансной кривой линейно-
го осциллятора (кривая 1 на рис. 1)
2 2 2( ).I R= α + Δ
Как следует из (9), при увеличении R резонанс-
ная кривая становится ассиметричной (см. кри-
вую 2 на рис. 1). Положение максимума резонанс-
ной кривой на оси Δ определяется величиной
2 2 ,Rβ α но при этом значение максимальной ин-
тенсивности колебаний, равное 2 2 ,R α не зави-
сит от параметра нелинейности. При превыше-
нии R некоторого критического значения crpR
происходит “опрокидывание” резонансной кри-
вой и в некотором диапазоне расстроек частот
Δ существуют три стационарных состояния (см.
кривую 3 на рис. 1). Определим значение .crpR
Для этого из (9) находим выражение для произ-
водной d d :I Δ
(5)
(6)
270 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 3, 2014
Д. М. Ваврив, А. Ю. Немец
2
2 2 2 2
d 2 2 .
d 3 4
I I I
I I
β − Δ=
Δ β − Δβ + α + Δ
Значение производной на границах области суще-
ствования трех стационарных состояний стремит-
ся к бесконечности. Для этого необходимо, что-
бы выражение в знаменателе могло принимать
нулевые значения, т. е. чтобы существовали дей-
ствительные корни квадратного уравнения
2 2 2 23 4 0I Iβ − Δβ + α + Δ =
относительно I. Началу “опрокидывания” резо-
нансной кривой соответствует случай, когда эти
корни совпадают. Это позволяет найти значение
,crpR а также соответствующее значение :Δ
1 2
2 2 3 ,
3crpR
⎛ ⎞α α≡ ⎜ ⎟⎜ ⎟β⎝ ⎠
(10а)
sign( ) 3 .crpΔ ≡ β α (10б)
Напомним, что 0 eΔ = ω − ω представляет собой
разницу между собственной частотой осциллято-
ра и частотой внешнего высокочастотного воз-
действия. Таким образом, критическое значение
crpΔ определяется только знаком параметра не-
линейности и значением параметра диссипации.
При увеличении амплитуды внешнего воздействия
размеры петли гистерезиса монотонно растут.
Анализ устойчивости стационарных состояний
осциллятора проводится стандартным способом
путем определения корней характеристического
уравнения. Для системы уравнений (8) характе-
ристические числа определяются выражением
1,2 ( )( 3 ).st stI Iλ = −α ± β − Δ Δ − β
Здесь stI – значения стационарных состояний,
определяемых уравнением (9). Анализ выраже-
ния для 1,2λ совместно с этим уравнением пока-
зывает, что при однозначной зависимости ( )I Δ
и для рассматриваемого случая 0α > стационар-
ное состояние всегда устойчиво. При возникно-
вении трех стационарных состояний два из них
(с максимальным и минимальным значениями ин-
тенсивности) устойчивы, а третье состояние яв-
ляется неустойчивым типа “седло”. Таким обра-
зом, система становится бистабильной и в ней
возникает гистерезис при изменении частоты
внешнего воздействия. Возбуждение верхней или
нижней гистерезисной петли резонансной кривой
зависит от направления изменения частоты воз-
действия, т. е. от предыстории системы.
Наличие седловых состояний приводит к воз-
никновению хаоса в таком квазилинейном осцил-
ляторе при дополнительном периодическом воз-
мущении системы. Таким возмущением может
быть, например, дополнительное высокочастот-
ное или низкочастотное гармоническое воздейст-
вие [7, 9, 10]. Механизм возникновения хаоса свя-
зан с пересечением устойчивого и неустойчивого
многообразий указанного седлового состояния.
В следующем разделе мы покажем, что до-
полнительное периодическое низкочастотное
воздействие может вызывать также возникнове-
ние других седловых состояний, которые приво-
дят к возникновению нового типа бистабильнос-
ти и гистерезиса.
3. Âòîðè÷íîå óñðåäíåíèå
Представим систему уравнений (6) в следующем
виде:
1
2
d ( , , ),
d
d ( , , ),
d
U V F U V t
t
V U R F U V t
t
⎧ = −Δ +⎪⎪
⎨
⎪ = +Δ − +⎪⎩
(11)
где ( )2 2 2
1( , , ) 4 ( )F U V t U V U V L t= −α + β + + +
Рис. 1. Качественные изменения резонансной кривой осцил-
лятора в зависимости от амплитуды внешнего воздействия
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 3, 2014 271
Гистерезис торов
( )2 2 2
2( ) , ( , , ) 4 ( )L t V F U V t V U U V L tη = −α −β + + −
( )L t Uη – функции, рассматриваемые как малое
возмущение в (11).
Запишем решение системы невозмущенных
уравнений (11), когда 1 2 0 :F F= =
cos( ) ,U B t R= Δ + ψ + Δ
(12)
sin( ),V B t= Δ + ψ
где B и ψ – константы интегрирования. Таким
образом, невозмущенная система представляет
собой осциллятор с собственной частотой .Δ
Отсюда следует, что в системе уравнений (11)
может наблюдаться резонанс при условии, если
характерные частоты изменения ( )L t и 2 ( )L t бу-
дут близки к ,Δ т. е. при
,Ω ≈ Δ (13а)
2 .Ω ≈ Δ (13б)
Отметим, что эти условия, в отличие от (1б), соот-
ветствуют вторичному резонансу в системе, ко-
торый реализуется в результате трехчастотного
взаимодействия с частотами ,Ω eω и 0.ω
Для анализа динамики системы (11) для каж-
дого из этих резонансов перейдем к новым пере-
менным:
[ ]( )cos ( ) ,U B t n t t R= Ω + ψ + Δ
(14)
[ ]( )sin ( ) ,V B t n t t= Ω + ψ
где ( )B t и ( )tψ рассматриваются как новые неза-
висимые переменные. Значение 1n = соответст-
вует резонансу (13а), а 2n = – резонансу (13б).
Система (11) в этих переменных записывается
в следующем виде:
( )
( )
( )
( )
1
2
1
2
d sin( ) ( , , )
d
cos( ) cos( ) ( , , )
sin( ),
d sin( ) ( , , )
d
sin( ) cos( ) ( , , )
cos( ).
B B n t F U V t
t
n t B n t F U V t
n t
nB B n t F U V t
t
n t B n t F U V t
n t
⎧ = −Δ Ω + ψ + ×⎪
⎪
× Ω + ψ + Δ Ω + ψ + ×⎪
⎪× Ω + ψ⎪
⎨
ψ⎪ = Ω − Δ Ω + ψ + ×⎪
⎪
× Ω + ψ + Δ Ω + ψ + ×⎪
⎪× Ω + ψ⎩
Применяя к этим уравнениям процедуру ус-
реднения, приходим к следующим уравнениям для
первого резонанса ( 1) :n =
3
0
2
3
0
d sin ,
d 2
d ( ) cos ,
d 2
B NRB
t
NRB B B
t
σ⎧ = −α − ψ⎪ Ωω⎪
⎨ ψ σ⎪ ′= Δ −β − ψ
⎪ Ωω⎩
(16)
где
2 2
2 4
0
2 2 .R Nβ β′Δ = Δ − Ω − −
Ω ω
Аналогичные усредненные уравнения для вто-
рого резонанса ( 2)n = имеют следующий вид:
2
4
0
2
2
4
0
d sin ,
d 2
d ( ) cos ,
d 2
B RNB
t
RNB B B
t
⎧ β= −α − ψ⎪ Ωω⎪
⎨
ψ β⎪ ′′= Δ −β − ψ⎪ Ωω⎩
(17)
где
2 2
2 4
0
2 22 .R Nβ β′′Δ = Δ − Ω − −
Δ ω
При записи
этих уравнений мы воспользовались тем, что
0 .eω ≈ ω Ω
Отметим область применимости полученных
уравнений. Для применения метода усреднения
к уравнению (15) необходимо, чтобы характер-
ный период внешнего воздействия T, который
здесь равен 2 ( ) ,nπ Ω ( 1, 2),n = был существен-
но меньше характерного времени релаксации
системы, равного 1 .α Это приводит к следую-
щему ограничению на частоту модуляции:
2 .nΩ πα
Поскольку системы уравнений (16) и (17) были
получены при условии выполнения резонансных
условий (13), приведенное выше соотношение
накладывает также следующее ограничение на
величину расстройки частоты:
2 .Δ πα
Запишем связь исходной переменной ( )x t (см.
(1)) с введенными новыми независимыми пере-
менными. Учитывая (2) и (14), находим
2
0
( ) cos( ) cos( ) cos( ).e e
R Nx t B t n t t t= ω − Ω + ψ + ω + Ω
Δ ω
(18)
(15)
272 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 3, 2014
Д. М. Ваврив, А. Ю. Немец
Как и следовало ожидать, колебания в осцил-
ляторе представляют собой суперпозицию низ-
кочастотных и высокочастотных колебаний на
частотах внешнего воздействия (два послед-
них слагаемых), а также колебания на частоте
,e nω − Ω возникновение которого обусловлено на-
личием нелинейности в осцилляторе. В фазовом
пространстве исходного уравнения (1a) такому
колебанию соответствует возникновение двумер-
ного тора. Путем последовательного примене-
ния двух процедур усреднения мы свели задачу
об исследовании бифуркаций двумерных торов
к исследованию бифуркаций состояний равнове-
сия автономных систем дифференциальных урав-
нений (16), (17).
4. Ãèñòåðåçèñ ïðè âçàèìîäåéñòâèè
âûñîêî÷àñòîòíûõ è íèçêî÷àñòîòíûõ
êîëåáàíèé
По своей структуре уравнения (16) и (17) анало-
гичны уравнениям (8). Применим к ним методи-
ку определения условий возникновения гистере-
зиса, описанную в разделе 2. В результате нахо-
дим, что в системах (16) и (17) при определенных
значениях Δ существует три стационарных со-
стояния, два из которых – устойчивые и одно –
седловое, при выполнении соответственно сле-
дующих условий:
1 23
0
1
4 2 3( ) ,
3crsNR NR
⎛ ⎞Ωω α α> ≡ ⎜ ⎟⎜ ⎟σ β⎝ ⎠
(19)
1 23
2 2 0
2
4 2 3( ) .
3crsN R N R
⎛ ⎞Ωω α α> ≡ ⎜ ⎟⎜ ⎟β β⎝ ⎠
(20)
Таким образом, здесь гистерезис (бистабильные
состояния) возникает только в результате взаимо-
действия высокочастотных и низкочастотных ко-
лебаний, воздействующих на осциллятор. Это сле-
дует из того, что порог возникновения бистабильно-
сти, как и интенсивность возбуждаемых колебаний,
определяется произведением амплитуд колебаний
внешнего воздействия. Гистерезис при выполнении
резонансного условия (13а) возникает только при
наличии квадратичной и кубической нелинейностей
в осцилляторе (1a). В случае второго резонанса
(2 )Ω ≈ Δ наличие квадратичной нелинейности не
требуется и гистерезис возникает только при нали-
чии кубической нелинейности. Для этого резонанса
порог возникновения гистерезиса более сущест-
венно зависит от амплитуды низкочастотного воз-
действия, чем для первого резонанса.
Рассмотрим теперь расположение гистерезис-
ной петли на шкале частот в терминах парамет-
ра ,Δ определяющего разницу частот высоко-
частотного воздействия и собственной частоты
исходного осциллятора (1a). Модифицируя кри-
терий (10б) для этих случаев, находим, что гис-
терезисная петля начинает возникать при
2 2
2 4
0
2 2 sign( ) 3 ,
( )crs
R Nn
n
β βΔ = Ω + + + β α
Ω ω
где 1n = для резонанса (13а) и 2n = для резо-
нанса (13б). Здесь имеются также существенные
отличия от случая гармонически возбуждаемого
осциллятора. Критическое значение расстройки
частоты зависит не только от значения дисси-
пации, но и от значения параметра кубической не-
линейности, от амплитуд внешнего воздействия
и от частоты модуляции.
Проиллюстрируем условия возникновения
бистабильности в рассматриваемом осциллято-
ре на плоскости параметров ,crpR R 0 ,N N при-
веденной на рис. 2. Здесь для нормировки ампли-
туд внешнего воздействия использовались вели-
чина ,crpR определяемая выражением (10а),
и величина
3
0
0
2 .N Ωω=
σ
При такой нормировке прямая 1crpR R = (линия 1
на рис. 2) разделяет плоскость параметров на две
Рис. 2. Границы областей возникновения бистабильности
для различных резонансов. Бистабильность может возникать
в областях, расположенных над приведенными кривыми
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 3, 2014 273
Гистерезис торов
области. При выборе параметров осциллятора
из области выше этой прямой может возникать
бистабильность при высокочастотном гармони-
ческом воздействии, а из области ниже этой пря-
мой бистабильность возникать не может.
Граница возникновения бистабильности при
двухчастотном воздействии для вторичного ре-
зонанса (13а) определяется уравнением
0crpR R N N=
и обозначена кривой 2 на рис. 2. Для резонанса
(13б) уравнение кривой, разделяющей облас-
ти моностабильности и бистабильности, записы-
вается в виде
22
0
2 2
0
.
2crp
NR
R N
σ=
Ωβω
На рис. 2 это кривая 3, которая построена для
следующих параметров осциллятора: 0 1,ω =
0.001,α = 0.05,Ω = 0.001,γ = 0.001.σ = Выбор
0 1ω = означает, что все частоты, входящие в (1а),
нормированы на эту частоту и введено безразмер-
ное время 0.tω
Возвращаясь к плоскости параметров, приве-
денной на рис. 2, отметим, что бистабильность,
соответствующая резонансам (1а), (13а), (13б),
возникает в областях выше соответствующих
кривых. В зависимости от параметров осцилля-
тора в нем может реализоваться от одного до
трех типов бистабильности при соответствующем
выборе частоты внешнего воздействия. Важным
является то, что гистерезис при двухчастотном
воздействии может возникать при амплитуде
высокочастотного воздействия, гораздо меньше
той, которая требуется для возникновения биста-
бильности при гармоническом воздействии. Как
следует из рис. 2 и из выражения (19), значение
этой амплитуды может быть как угодно малым.
Примеры резонансных кривых для резонан-
сов (19) и (20) приведены на рис. 3 и рис. 4 соот-
ветственно при тех же параметрах осциллятора,
при которых построен рис. 2. Здесь амплитуда
высокочастотного воздействия R выбрана рав-
ной 2,crpR т. е. только при высокочастотном воз-
действии бистабильность возникать не может.
Из приведенных кривых видно, что размер петли
гистерезиса увеличивается с ростом амплитуды
низкочастотного воздействия. Особенно сущест-
венным является такое увеличение для случая
резонанса (20).
Как уже отмечалось, образом возбуждаемых
колебаний в фазовом пространстве исходного
осциллятора являются двумерные торы. В об-
ласти гистерезиса в фазовом пространстве
сосуществуют два тора со своими “бассейнами
притяжения”. Пример сосуществования торов
Рис. 3. Резонансные кривые для первичного резонанса (19)
при 0.5crpR R = и различных значениях амплитуды внешне-
го низкочастотного воздействия: 1 2crsN N= – кривая 1,
12 crsN N= – кривая 2, 12.5 crsN N= – кривая 3
Рис. 4. Резонансные кривые для вторичного резонанса (20)
при 0.5crpR R = и различных значениях амплитуды внешне-
го низкочастотного воздействия: 1 2crsN N= – кривая 1,
12 crsN N= – кривая 2, 12.5 crsN N= – кривая 3
274 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 3, 2014
Д. М. Ваврив, А. Ю. Немец
приведен на рис. 5 для случая, отвечающего
условию (19). Внутренний тор соответствует воз-
буждению колебаний на нижней ветке, а внешний
тор – на верхней ветке гистерезисной петли, при-
веденной на рис. 3.
5. Îáñóæäåíèå è çàêëþ÷åíèå
Таким образом, мы показали, что взаимодействие
низкочастотных и высокочастотных колебаний
приводит к возникновению нового типа бистабиль-
ности и гистерезиса в нелинейном осцилляторе.
Физической причиной такой бистабильности яв-
ляются вторичные резонансы, которые возни-
кают в результате трехчастотного взаимодей-
ствия между частотами внешнего воздействия
и собственной частотой осциллятора. Для опре-
деления условий возникновения бистабильности
использована техника повторного усреднения, что
позволило получить аналитические выражения для
границ областей параметров с различным числом
стационарных состояний.
Указанная бистабильность возникает при на-
личии как кубической, так и квадратичной нели-
нейности. Это отличает ее от бистабильности,
возникающей при высокочастотном гармоничес-
ком воздействии на осциллятор, когда только
кубическая нелинейность может приводить к
ее появлению. Другое важное отличие этих
двух случаев заключается в том, что при двух-
частотном воздействии бистабильность мо-
жет возникать при сколь угодно малых (но ко-
нечных) значениях амплитуды высокочастот-
ного воздействия. То есть даже в осцилляторе,
для которого резонансная кривая практически
не отличается от резонансной кривой линейной
системы, может возникать бистабильность при
достаточно большом уровне низкочастотного
воздействия.
Двумерные торы, возникающие в фазовом про-
странстве осциллятора при двухчастотном воз-
действии, являются образом возбуждаемых ко-
лебаний, поэтому мы говорим о бистабильности
и гистерезисе торов применительно к рассматри-
ваемому случаю. Тем самым мы подчеркиваем
тот факт, что обнаруженный механизм бистабиль-
ности не может реализоваться для случая пре-
дельных циклов, которые формируются в фазо-
вом пространстве осциллятора при его гармони-
ческом возбуждении.
Обнаруженные явления в силу достаточной
общности исходной математической модели мо-
гут наблюдаться в разнообразных физических,
механических, биологических и других системах.
Перспективным представляется применение по-
лученных результатов для исследования конкрет-
ных систем.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
01. Гиббс Х. Оптическая бистабильность. Управление све-
том с помощью света. – М.: Мир, 1988. – 518 с.
02. Красносельский М. А., Покровский А. В. Системы с ги-
стерезисом. – М.: Наука, 1983. – 272 с.
03. Бозорт Р. Ферромагнетизм. – М.: Изд-во иностр. лит.,
1956. – 784 с.
04. Solomon M. J.. Hysteresis meets the cell cycle // Proc.
Nat. Acad. Sci. USA. – 2003. – Vol. 100, No. 3. –
P. 771–772.
05. Guidi G. M. and Goldbeter A. Bistability without Hys-
teresis in Chemical Reaction Systems: A Theoretical Ana-
lysis of Irreversible Transitions between Multiple Steady
States // J. Phys. Chem. A. – 1997. – Vol. 101, Is. 49. –
P. 9367–9376.
06. Мигулин В. В., Медведев В. И., Мустель Е. Р., Пары-
гин В. Н. Основы теории колебаний. – М.: Наука,
1978. – 392 с.
07. Ваврив Д. М., Шигимага Д. В. Хаос в осцилляторе
Дуффинга с высокочастотным и низкочастотным внеш-
ним воздействием // Радиофизика и радиоастрономия. –
2000. – Т. 5, № 3. – C. 256–265.
Рис. 5. Фазовый портрет осциллятора для случая сосу-
ществования двух торов, соответствующих колебаниям
на разных ветках гистерезисной кривой на рис. 3 при 0.6′Δ =
и 12.5 crsN N=
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 3, 2014 275
Гистерезис торов
08. Митропольский Ю. А. Нестационарные процессы
в нелинейных колебательных системах. – Киев:
Из-во АН УССР, 1955. – 286 с.
09. VavrivD. M. and Oksasoglu A. Stability of varactor
circuits // Electron. Lett. – 1994. – Vol. 30, Is. 6. –
P. 462–463.
10. Belogortsev A. V., Vavriv D. M. and Tretyakov O. A.
Destruction of quasiperiodic oscillations in weakly non-
linear systems // Appl. Mech. Rev. – 1994. – Vol. 46,
No. 7. – P. 372–384.
Д. М. Ваврів, А. Ю. Німець
Радіоастрономічний інститут НАН України,
вул. Червонопрапорна, 4, м. Харків, 61002, Україна
ГІСТЕРЕЗИС ТОРІВ
Наведено результати теоретичних досліджень динаміки не-
лінійного осцилятора з кубічною та квадратичною не-
лінійністю при одночасному низькочастотному та високоча-
стотному впливові. Знайдено новий механізм виникнення
бістабільності та гістерезиса в результаті такої взаємодії.
Встановлено, що цей механізм проявляється як бістабільність
та гістерезис торів, що утворюються в фазовому просторі
осцилятора. Виконано порівняльний аналіз поведінки осци-
лятора при резонансному гармонічному впливові та двох-
частотному впливові.
D. M. Vavriv and A. Yu. Nimets
Institute of Radio Astronomy,
National Academy of Sciences of Ukraine,
4, Chervonopraporna St., Kharkiv, 61002, Ukraine
TORUS HYSTERESIS
Theoretical studies of the dynamics of a nonlinear oscillator
with cubic and quadratic nonlinearities simultaneously excited
by low- and high-frequency external forcing are presented.
A new mechanism of the appearance of bistability and hystere-
sis due to such an interaction is discovered. This mechanism
manifests as the bistability and hysteresis of tori formed in the
oscillator phase space. A comparative analysis of the oscillator
behavior under the resonant harmonic excitation and under the
dual frequency excitation is made.
Статья поступила в редакцию 08.05.2014
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100363 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-9636 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:47:29Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Радіоастрономічний інститут НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ваврив, Д.М. Немец, А.Ю. 2016-05-20T08:51:28Z 2016-05-20T08:51:28Z 2014 Гистерезис торов / Д.М. Ваврив, А.Ю. Немец // Радиофизика и радиоастрономия. — 2014. — Т. 19, № 3. — С. 267-275. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1027-9636 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100363 621.373.5 Представлены теоретические исследования динамики нелинейного осциллятора с кубической и квадратичной нелинейностями при одновременном низкочастотном и высокочастотном внешнем воздействии. Обнаружен новый механизм возникновения бистабильности и гистерезиса в результате такого взаимодействия. Этот механизм проявляется как бистабильность и гистерезис торов, формируемых в фазовом пространстве осциллятора. Проведен сравнительный анализ поведения осциллятора при резонансном гармоническом воздействии и при двухчастотном воздействии. Наведено результати теоретичних досліджень динаміки нелінійного осцилятора з кубічною та квадратичною нелінійністю при одночасному низькочастотному та високочастотному впливові. Знайдено новий механізм виникнення бістабільності та гістерезиса в результаті такої взаємодії. Встановлено, що цей механізм проявляється як бістабільність та гістерезис торів, що утворюються в фазовому просторі осцилятора. Виконано порівняльний аналіз поведінки осцилятора при резонансному гармонічному впливові та двохчастотному впливові. Theoretical studies of the dynamics of a nonlinear oscillator with cubic and quadratic nonlinearities simultaneously excited by low- and high-frequency external forcing are presented. A new mechanism of the appearance of bistability and hysteresis due to such an interaction is discovered. This mechanism manifests as the bistability and hysteresis of tori formed in the oscillator phase space. A comparative analysis of the oscillator behavior under the resonant harmonic excitation and under the dual frequency excitation is made. ru Радіоастрономічний інститут НАН України Радиофизика и радиоастрономия Электромагнитные явления в приборах, элементах и системах научного приборостроения Гистерезис торов Гістерезис торів Torus Hysteresis Article published earlier |
| spellingShingle | Гистерезис торов Ваврив, Д.М. Немец, А.Ю. Электромагнитные явления в приборах, элементах и системах научного приборостроения |
| title | Гистерезис торов |
| title_alt | Гістерезис торів Torus Hysteresis |
| title_full | Гистерезис торов |
| title_fullStr | Гистерезис торов |
| title_full_unstemmed | Гистерезис торов |
| title_short | Гистерезис торов |
| title_sort | гистерезис торов |
| topic | Электромагнитные явления в приборах, элементах и системах научного приборостроения |
| topic_facet | Электромагнитные явления в приборах, элементах и системах научного приборостроения |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100363 |
| work_keys_str_mv | AT vavrivdm gisterezistorov AT nemecaû gisterezistorov AT vavrivdm gísterezistorív AT nemecaû gísterezistorív AT vavrivdm torushysteresis AT nemecaû torushysteresis |