Измерение временных запаздываний в гравитационно линзированных квазарах при наличии микролинзирований
Предложен метод определения временных запаздываний в гравитационно линзированных квазарах, который предоставляет простую и прозрачную процедуру устранения влияния событий микролинзирования, основанную на фундаментальных свойствах представления квадратично интегрируемых функций в виде разложения по о...
Saved in:
| Published in: | Радиофизика и радиоастрономия |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Радіоастрономічний інститут НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100367 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Измерение временных запаздываний в гравитационно линзированных квазарах при наличии микролинзирований / В.С. Цветкова, В.М. Шульга, Л.А. Бердина // Радиофизика и радиоастрономия. — 2014. — Т. 19, № 4. — С. 307-316. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100367 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Цветкова, В.С. Шульга, В.М. Бердина, Л.А. 2016-05-20T12:58:14Z 2016-05-20T12:58:14Z 2014 Измерение временных запаздываний в гравитационно линзированных квазарах при наличии микролинзирований / В.С. Цветкова, В.М. Шульга, Л.А. Бердина // Радиофизика и радиоастрономия. — 2014. — Т. 19, № 4. — С. 307-316. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 1027-9636 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100367 523.163; 524.316.7.082-82 Предложен метод определения временных запаздываний в гравитационно линзированных квазарах, который предоставляет простую и прозрачную процедуру устранения влияния событий микролинзирования, основанную на фундаментальных свойствах представления квадратично интегрируемых функций в виде разложения по ортогональным полиномам. Метод протестирован на семилетних кривых блеска гравитационно линзированного квазара НЕ 0435-1223, фотометрия для которого получена из архива CDS (Strasbourg astronomical Data Center). Приводится анализ полученных оценок временных запаздываний в системе НЕ 0435-1223 и их сравнение с результатами, опубликованными ранее в работах других авторов. Запропоновано метод визначення часових запізнень у гравітаційно лінзованих квазарах, який надає просту і прозору процедуру усунення впливу подій мікролінзування, що грунтується на фундаментальних властивостях репрезентації квадратично інтегрованих функцій у вигляді розкладання за ортогональними поліномами. Метод протестовано на семирічних кривих блиску гравітаційно лінзованого квазара НЕ 0435-1223, фотометрію для котрого було отримано з архіву CDS (Strasburg Astronomical Data Center). Надається аналіз отриманих оцінок часових запізнень у системі НЕ 0435-1223 та їх порівняння з результатами, опублікованими раніше в роботах інших авторів. A method to measure the time delays in gravitationally lensed quasars is proposed, which provides a simple and transparent procedure to eliminate the effects of microlensing events. The procedure is based on fundamental properties of representation of quadratically integrable functions by their expansion in orthogonal polynomials. The method is tested on the seven-year duration light curves of the gravitationally lensed quasar НЕ 0435-223. The corresponding photometry was downloaded from the Strasbourg Astronomical Data Center archive. The analysis of time delay estimates in the НЕ 0435-1223 system, as well as comparison with the results published by other authors, are presented. ru Радіоастрономічний інститут НАН України Радиофизика и радиоастрономия Радиоастрономия и астрофизика Измерение временных запаздываний в гравитационно линзированных квазарах при наличии микролинзирований Вимірювання часових запізнень у гравтаційно лінзованих квазарах за наявності мікролінзування Measuring the Time Delays in Gravitationally Lensed Quasars in the Presence of Microlensing Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Измерение временных запаздываний в гравитационно линзированных квазарах при наличии микролинзирований |
| spellingShingle |
Измерение временных запаздываний в гравитационно линзированных квазарах при наличии микролинзирований Цветкова, В.С. Шульга, В.М. Бердина, Л.А. Радиоастрономия и астрофизика |
| title_short |
Измерение временных запаздываний в гравитационно линзированных квазарах при наличии микролинзирований |
| title_full |
Измерение временных запаздываний в гравитационно линзированных квазарах при наличии микролинзирований |
| title_fullStr |
Измерение временных запаздываний в гравитационно линзированных квазарах при наличии микролинзирований |
| title_full_unstemmed |
Измерение временных запаздываний в гравитационно линзированных квазарах при наличии микролинзирований |
| title_sort |
измерение временных запаздываний в гравитационно линзированных квазарах при наличии микролинзирований |
| author |
Цветкова, В.С. Шульга, В.М. Бердина, Л.А. |
| author_facet |
Цветкова, В.С. Шульга, В.М. Бердина, Л.А. |
| topic |
Радиоастрономия и астрофизика |
| topic_facet |
Радиоастрономия и астрофизика |
| publishDate |
2014 |
| language |
Russian |
| container_title |
Радиофизика и радиоастрономия |
| publisher |
Радіоастрономічний інститут НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Вимірювання часових запізнень у гравтаційно лінзованих квазарах за наявності мікролінзування Measuring the Time Delays in Gravitationally Lensed Quasars in the Presence of Microlensing |
| description |
Предложен метод определения временных запаздываний в гравитационно линзированных квазарах, который предоставляет простую и прозрачную процедуру устранения влияния событий микролинзирования, основанную на фундаментальных свойствах представления квадратично интегрируемых функций в виде разложения по ортогональным полиномам. Метод протестирован на семилетних кривых блеска гравитационно линзированного квазара НЕ 0435-1223, фотометрия для которого получена из архива CDS (Strasbourg astronomical Data Center). Приводится анализ полученных оценок временных запаздываний в системе НЕ 0435-1223 и их сравнение с результатами, опубликованными ранее в работах других авторов.
Запропоновано метод визначення часових запізнень у гравітаційно лінзованих квазарах, який надає просту і прозору процедуру усунення впливу подій мікролінзування, що грунтується на фундаментальних властивостях репрезентації квадратично інтегрованих функцій у вигляді розкладання за ортогональними поліномами. Метод протестовано на семирічних кривих блиску гравітаційно лінзованого квазара НЕ 0435-1223, фотометрію для котрого було отримано з архіву CDS (Strasburg Astronomical Data Center). Надається аналіз отриманих оцінок часових запізнень у системі НЕ 0435-1223 та їх порівняння з результатами, опублікованими раніше в роботах інших авторів.
A method to measure the time delays in gravitationally lensed quasars is proposed, which provides a simple and transparent procedure to eliminate the effects of microlensing events. The procedure is based on fundamental properties of representation of quadratically integrable functions by their expansion in orthogonal polynomials. The method is tested on the seven-year duration light curves of the gravitationally lensed quasar НЕ 0435-223. The corresponding photometry was downloaded from the Strasbourg Astronomical Data Center archive. The analysis of time delay estimates in the НЕ 0435-1223 system, as well as comparison with the results published by other authors, are presented.
|
| issn |
1027-9636 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100367 |
| citation_txt |
Измерение временных запаздываний в гравитационно линзированных квазарах при наличии микролинзирований / В.С. Цветкова, В.М. Шульга, Л.А. Бердина // Радиофизика и радиоастрономия. — 2014. — Т. 19, № 4. — С. 307-316. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT cvetkovavs izmerenievremennyhzapazdyvaniivgravitacionnolinzirovannyhkvazarahprinaličiimikrolinzirovanii AT šulʹgavm izmerenievremennyhzapazdyvaniivgravitacionnolinzirovannyhkvazarahprinaličiimikrolinzirovanii AT berdinala izmerenievremennyhzapazdyvaniivgravitacionnolinzirovannyhkvazarahprinaličiimikrolinzirovanii AT cvetkovavs vimírûvannâčasovihzapíznenʹugravtacíinolínzovanihkvazarahzanaâvnostímíkrolínzuvannâ AT šulʹgavm vimírûvannâčasovihzapíznenʹugravtacíinolínzovanihkvazarahzanaâvnostímíkrolínzuvannâ AT berdinala vimírûvannâčasovihzapíznenʹugravtacíinolínzovanihkvazarahzanaâvnostímíkrolínzuvannâ AT cvetkovavs measuringthetimedelaysingravitationallylensedquasarsinthepresenceofmicrolensing AT šulʹgavm measuringthetimedelaysingravitationallylensedquasarsinthepresenceofmicrolensing AT berdinala measuringthetimedelaysingravitationallylensedquasarsinthepresenceofmicrolensing |
| first_indexed |
2025-11-26T06:16:51Z |
| last_indexed |
2025-11-26T06:16:51Z |
| _version_ |
1850615039671664640 |
| fulltext |
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 4, 2014 307
Радиофизика и радиоастрономия. 2014, Т. 19, № 4, c. 307–316
© В. С. Цветкова, В. М. Шульга, Л. А. Бердина, 2014
В. С. ЦВЕТКОВА 1,2, В. М. ШУЛЬГА 1, Л. А. БЕРДИНА 1
1 Радиоастрономический институт НАН Украины,
ул. Краснознаменная, 4, г. Харьков, 61002, Украина
2 НИИ астрономии Харьковского национального университета имени В. Н. Каразина,
ул. Сумская, 35, г. Харьков, 61022, Украина
E-mail: laberdina@gmail.com
ÈÇÌÅÐÅÍÈÅ ÂÐÅÌÅÍÍÛÕ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÉ
 ÃÐÀÂÈÒÀÖÈÎÍÍÎ ËÈÍÇÈÐÎÂÀÍÍÛÕ ÊÂÀÇÀÐÀÕ
ÏÐÈ ÍÀËÈ×ÈÈ ÌÈÊÐÎËÈÍÇÈÐÎÂÀÍÈÉ
Предложен метод определения временных запаздываний в гравитационно линзированных квазарах, который предос-
тавляет простую и прозрачную процедуру устранения влияния событий микролинзирования, основанную на фундамен-
тальных свойствах представления квадратично интегрируемых функций в виде разложения по ортогональным полино-
мам. Метод протестирован на семилетних кривых блеска гравитационно линзированного квазара НЕ 0435-1223,
фотометрия для которого получена из архива CDS (Strasbourg astronomical Data Center). Приводится анализ получен-
ных оценок временных запаздываний в системе НЕ 0435-1223 и их сравнение с результатами, опубликованными ранее в
работах других авторов.
Ключевые слова: временные запаздывания, квазар, микролинзирование, кривые блеска, гравитационное линзирование,
ортогональный полином
УДК 523.163;
524.316.7.082-82
1. Ââåäåíèå
Измерения временных запаздываний между ко-
лебаниями блеска квазара, наблюдаемыми в его
изображениях, сформированных гравитационным
полем более близкой галактики, представляют ог-
ромный интерес для современной астрофизики.
Они используются для решения целого ряда аст-
рофизических задач, таких как определение по-
стоянной Хаббла 0 ,Н оценка массы линзирую-
щей галактики, изучение распределения масс на
трассе источник-наблюдатель и других. В част-
ности,так как проявления гравитационного линзи-
рования определяются распределением полной
массы вещества (видимой и так называемой тем-
ной материи), появляется возможность обнаруже-
ния темной материи и измерения ее содержания
на пути распространения лучей света в среде меж-
ду удаленным квазаром и наблюдателем.
Возможность использования явления гравита-
ционного линзирования для оценки значения по-
стоянной Хаббла, не зависящей от промежуточ-
ных индикаторов расстояний, была отмечена еще
в 1964 г. [1], задолго до открытия первого грави-
тационно линзированного квазара Q0957+561 [2].
В течение 1980–1992 гг. были заложены методо-
логические основы измерения временных запаз-
дываний в гравитационно линзированных кваза-
рах [3–5]. В последующие годы было предложе-
но несколько модификаций методов измерения
[6–9], в той или иной мере основанных на общем
подходе. Среди множества существующих в на-
стоящее время методов можно выделить сле-
дующие четыре группы:
1) методы, основанные на поиске минимума
дисперсии между кривыми блеска (Minimum Dis-
persion Method, MDM);
2) методы, основанные на анализе разницы
регрессий (Regression Difference Method, RDM);
3) методы, основанные на сплайн-интерполя-
ции со свободными узлами;
4) методы, основанные на подгонке числовой
модели (Numerical Model Fit, NMF).
Разнообразие конкретных реализаций методов
внутри каждой из перечисленных групп доста-
точно велико, как и число гибридных методов,
сочетающих особенности различных подходов.
Так, в недавней работе [9] временное запаздыва-
ние в двойном квазаре SDSS J1001+5027 было
измерено с использованием пяти различных мо-
дификаций трех из перечисленных методов.
Методика оценки постоянной Хаббла по вре-
менным запаздываниям предъявляет достаточ-
но высокие требования к точности измерения
значений запаздываний, которая должна быть
порядка 1 % [10]. Современным измерениям
доступна пока, как правило, заметно меньшая
точность. Причина заключается в ряде извест-
ных объективных факторов:
308 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 4, 2014
В. С. Цветкова, В. М. Шульга, Л. А. Бердина
1) наличие систематических и случайных по-
грешностей измерений блеска линзированных
компонентов квазара;
2) малая амплитуда вариаций собственного
блеска квазара;
3) неравномерность точек отсчета на кривых
блеска, большие сезонные промежутки;
4) события микролинзирования, связанные с про-
хождением вблизи трассы луча света квазар–мак-
роизображение–наблюдатель изолированных ком-
пактных масс населения линзирующей галактики.
При заданном качестве исходного наблю-
дательного материала основную трудность при
определении временных запаздываний представ-
ляют события микролинзирования, которые по-
разному искажают наблюдаемые кривые блеска
разных линзированных изображений квазара.
Более того, при учете влияния микролинзирова-
ния необходимо иметь в виду возможную пере-
менность пространственной структуры квазара,
сопровождающую (или вызывающую) изменения
его собственного блеска. Очевидно, что в при-
сутствии событий микролинзирования физичес-
кие изменения размеров, формы и блеска излу-
чающих областей квазара по-разному проявятся
в его различных макроизображениях. В частно-
сти, в работе [11] отмечается возможность ис-
кажения амплитуд собственной кривой блеска
квазара. Детальный теоретический анализ осо-
бенностей гравитационной фокусировки перемен-
ных во времени и протяженных в пространстве
источников излучения, которые могут влиять на
точность измерения временных запаздываний,
выполнен в работе [12]. Показано, что для таких
источников при гравитационной фокусировке излу-
чения происходит не только пространственное
перераспределение излучения, но и временное,
в результате чего кривая блеска квазара, наблю-
даемая в разных компонентах, может быть иска-
жена по-разному. Естественным следствием это-
го могут быть различия в оценках временных
запаздываний, сделанных по данным разных се-
зонов.
Общего рецепта для устранения влияния мик-
ролинзирования на оценки временных запазды-
ваний не существует. Выбор методики его уст-
ранения в значительной степени зависит от ха-
рактеристик собственной переменности квазара
и переменности, обусловленной событиями мик-
ролинзирования, в частности, от соотношения
характерных амплитуд и временных масштабов
обоих процессов. Недавно вышедшая работа [7]
участников проекта СOSMOGRAIL (the COSmolo-
gical MOnitoring of GRAvItational Lenses) посвя-
щена разработке методов измерения временных
запаздываний в присутствии “медленных” собы-
тий микролинзирования, т. е. таких, у которых
характерные времена переменности больше, чем
у собственной переменности квазара.
Из-за перечисленных выше факторов число
систем с надежно измеренными временными
запаздываниями пока относительно невелико,
несмотря на актуальность проблемы. Так, напри-
мер, значительная часть ресурсов программы
COSMOGRAIL уделяется измерениям времен-
ных запаздываний во вновь открываемых грави-
тационно линзированных квазарах (см., например,
[8, 9, 13, 14] и др.).
Идея методики определения временных запаз-
дываний между собственными колебаниями блес-
ка квазара, наблюдаемыми в его отдельных лин-
зированных компонентах, принципиально довольно
проста и очевидна. Общей чертой всех известных
методов измерения запаздываний является ис-
пользование, в том или ином виде, критериев
максимума кросс-корреляции или минимума вза-
имной дисперсии сравниваемых кривых блеска.
В случае кратных линзовых систем значения за-
паздываний могут определяться либо из сравне-
ния кривых блеска пар компонентов, либо из со-
вместного анализа всех кривых блеска.
При этом возникает необходимость интерпо-
ляции неравномерной выборки наблюдательных
данных, представляющих исходные кривые блес-
ка, т. е. требуется построение модели процесса.
Используются различные математические пред-
ставления кривой блеска квазара, как например:
аппроксимация рядами по полиномам Лежандра
[15, 16] и другие полиномиальные аппроксима-
ции, сплайн-интерполяция [7, 11], сглаживание
с помощью функции отсчетов [17] или линейных
комбинаций Гауссовых ядер [18] и другие.
Общим свойством всех существующих мето-
дов измерения запаздываний является невозмож-
ность получить в явном виде оценку погрешнос-
ти измерения временных запаздываний в каче-
стве непосредственного результата обработки.
Для этого обычно используют искусственную
процедуру, известную как моделирование Мон-
те-Карло: различные реализации случайного шума
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 4, 2014 309
Измерение временных запаздываний в гравитационно линзированных квазарах при наличии микролинзирований
с известными статистическими свойствами до-
бавляются к гладким модельным кривым блеска
с известными запаздываниями для последующей
обработки с целью получения оценок временных
запаздываний. Средний квадрат разброса значе-
ний запаздываний, полученных при различных
имитациях кривых блеска, принимается в ка-
честве оценки погрешности запаздываний.
В следующих разделах приводится краткое
описание предлагаемого нами метода измере-
ния временных запаздываний в присутствии со-
бытий микролинзирования, поясняется его отли-
чие от методов, использованных ранее другими
авторами. На примере обработки кривых блеска
квадрупольной системы HE 0435-1223 демонст-
рируются возможности нашего подхода и его пра-
вомерность. Проводится сравнение наших оце-
нок запаздываний с оценками, представленными
в работах [13] и [16].
2. Ñóòü ïðåäëàãàåìîãî ìåòîäà
Приведем описание предлагаемого нами подхода
в его сравнении с методикой, изложенной в рабо-
те [16] и использованной для обработки двух се-
зонов наблюдений HE 0435-1223.
Авторы работы [16] исходят из предположе-
ния, что наблюдаемые кривые блеска можно
представить суммой двух разложений в ряд по
полиномам Лежандра, одно из которых, ( ),s t опи-
сывает истинные вариации собственного блеска
квазара, а второе, ( )i t – составляющую, обус-
ловленную событиями микролинзирования в рас-
сматриваемом i-м изображении:
0
( ) ,
quasN
c
m m
m
t t
s t a P
t
0
( ) .
micrN
с
i mi m
m
t t
t c P
t
Здесь mP – m-й полином Лежандра; ma и mic –
соответствующие коэффициенты разложения;
1( ) 2c nt t t – точка, соответствующая середи-
не интервала реализации, (n – количество точек
отсчетов в кривой блеска); 1( ) 2nt t t – полу-
ширина интервала реализации; quasN и micrN –
порядки полиномов Лежандра, выбранные для
этих двух составляющих. Далее отмечается, что
в отсутствие микролинзирования кривая блеска
i-го линзированного изображения ( )im t была
бы смещенной во времени копией кривой блеска
источника ( ),s t отличающейся только коэффи-
циентом усиления (постоянным сдвигом в звезд-
ных величинах). При наличии событий микролин-
зирования будем иметь ( ) ( ) ( ),i i im t s t t t
где it – время запаздывания в i-м изображении
относительно другого, выбранного в качестве
опорного; ( )i t – дифференциальная кривая
блеска микролинзирования (вариации микролин-
зирования в i-м изображении относительно опор-
ного), которая также может быть представлена
разложением в ряд по полиномам Лежандра.
Установление оптимальных порядков полино-
мов quasN и micrN является отдельной задачей.
В работе [16] предельно допустимый порядок
quasN аппроксимирующего полинома для “ква-
зарной” составляющей кривой блеска определял-
ся с использованием результатов измерения
структурной функции вариаций блеска типичного
квазара [19] и был принят равным 20. Для описа-
ния кривых блеска микролинзирования применя-
лись полиномы Лежандра существенно более
низких порядков micrN – не выше 3.
Далее решалась задача поиска параметров,
обеспечивающих минимум среднеквадратично-
го отклонения между измеренной кривой блеска
i-го компонента и моделью процесса:
2
2
1 1
( ) ( )
,
imk n
ij j i i j
i j ij
m s t t t
где imk – число линзированных изображений,
ij – погрешность измерения блеска изображени
квазара.
Как и в работе [16], при аппроксимации наблю-
даемых кривых блеска, представленных нерав-
номерными дискретными точками отсчета, мы
также используем их представление в виде раз-
ложения в ряд по полиномам Лежандра и также
выполняем попарное сравнение кривых блеска.
Однако, в отличие этой работы, мы не сравнива-
ем кривые блеска в их исходной форме (дискрет-
ные неравномерно расположенные точки отс-
четов) с “гладкой” модельной кривой блеска –
одной из кривых, аппроксимированной рядом
Лежандра. Предложенный нами подход предпо-
лагает попарное сравнение “гладких” кривых
блеска, каждая из которых представлена своей
аппроксимацией рядом Лежандра. Для этого пред-
варительно находится разложение в ряд по орто-
нормированным полиномам в заданных неравно-
мерно расположенных точках отсчета с использо-
ванием процедуры Грама–Шмидта [20: 15.2-5].
310 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 4, 2014
В. С. Цветкова, В. М. Шульга, Л. А. Бердина
Такой подход предоставляет прозрачную и
технически простую возможность учесть присут-
ствие событий микролинзирования и устранить
их влияние на результаты измерений временных
запаздываний. Такая возможность основана на
некоторых фундаментальных свойствах прибли-
жения функций в виде разложения в ряд по орто-
нормированным полиномам, а именно:
1) аппроксимация квадратично интегрируемой
функции ( )F x суммой ( ) ( ) ( )
n
i i
i o
F x f x a u x
–
где совокупность ( )iu x представляет собой пол-
ную ортонормированную последовательность
функций (ортонормированный базис), построен-
ную на дискретном числе узлов (в нашем случае
это совокупность дат наблюдений), – доставляет
наименьшее значение среднеквадратичной ошиб-
ки аппроксимации [20: 15.2-6];
2) исключение отдельных членов из суммы
( )f x или добавление к ней новых членов не
меняет значений остальных ранее вычисленных
коэффициентов ia [20: 15.2-6].
Второе свойство указывает путь освобож-
дения кривых блеска от переменной составляю-
щей, обусловленной событиями микролинзирова-
ния, по крайней мере для случаев “медленных”
событий (когда временной масштаб перемен-
ности микролинзирования заметно превосходит
масштаб собственных вариаций блеска квазара).
Для этого из рядов, представляющих аппроксима-
ции кривых блеска компонентов, исключались
младшие члены ряда – нулевого, 1-го и, при необ-
ходимости, 2-го порядка. Отметим, что, освобож-
дая таким путем наблюдаемые кривые блеска от
возможного вклада событий микролинзирования,
мы также устраняем средние уровни (нулевой
порядок) и линейные тренды (первый порядок)
и в составляющих кривых блеска, обусловлен-
ных изменениями собственного блеска квазара.
То есть для дальнейшего анализа мы получаем
представления кривых блеска, приведенные к ну-
левому среднему уровню и освобожденные
от линейных трендов (при необходимости и от
квадратичных членов). Заметим, что действие
этой процедуры аналогично действию фильтра
нижних частот.
При выборе максимального порядка аппрок-
симирующего полинома maxN мы руководство-
вались, во-первых, поведением среднеквадратич-
ной погрешности аппроксимации в зависимости
от порядка полинома, а именно, с ростом maxN
погрешность аппроксимации appr должна при-
ближаться к погрешности исходных фотометри-
ческих данных phot (обычно приводится в таб-
лице исходных данных), не становясь меньше ее:
.appr phot С другой стороны, разумно потребо-
вать, чтобы осцилляции, возникающие иногда вбли-
зи концов реализаций или в местах разреженных
отсчетов, не превышали значений фотометричес-
ких ошибок .phot Этими критериями мы вос-
пользовались при выборе оптимального порядка
аппроксимирующего полинома.
Дальнейший анализ состоял в вычислении
кросс-корреляционных функций для пар кривых
блеска компонентов, представленных своими
аппроксимациями. Для устранения краевых эффек-
тов при вычислении кросс-корреляционных функ-
ций мы использовали процедуру, аналогичную
процедуре вычисления локально-нормированной
дискретной корреляционной функции (LNDCF –
Locally Normalized Discrete Correlation Function),
примененной в работе [15] для определения вре-
менного запаздывания в Первой Линзе Q0957+561
в радиодиапазоне. Далее в качестве оценки вре-
менного запаздывания для каждой данной пары
принимался сдвиг во времени, при котором функ-
ция кросс-корреляции достигает максимума.
Описанный выше алгоритм реализован на язы-
ке программирования IDL. Для удобства внесе-
ния изменений в процесс вычисления программа
была разбита на блоки, в которых выполнялись
следующие процедуры:
1) подготовка данных;
2) вычисление ортонормированного базиса на
дискретном множестве неравномерно располо-
женных точек (дат наблюдений) с помощью про-
цедуры Грама–Шмидта [20: 15.2-5];
3) вычисление аппроксимирующих полиномов
заданного порядка для кривых блеска выбранно-
го сезона, вычисление и вывод среднеквадратич-
ных погрешностей аппроксимации appr для каж-
дого компонента изображений, при необходимости
коррекция заказанного числа точек с отклоне-
нием от аппроксимации, превышающим 3 ,appr
визуализация исходных кривых блеска и соответ-
ствующих аппроксимирующих полиномов;
4) вычисление локально-нормированных кор-
реляционных функций (см. выше) для пар апп-
роксимирующих полиномов, соответствующих
всем возможным комбинациям из imk компонен-
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 4, 2014 311
Измерение временных запаздываний в гравитационно линзированных квазарах при наличии микролинзирований
тов по два, визуализация вычисленных кросс-кор-
реляционных функций, вычисление и вывод зна-
чений смещения по оси времени, при которых
достигаются максимумы кросс-корреляцион-
ных функций, и значений функций корреляции
в максимумах.
Программа достаточно удобна в использова-
нии и быстро настраивается. Процесс вычисле-
ний и визуализации занимает от долей секунды
до нескольких секунд в зависимости от чис-
ла точек отсчетов в исследуемой кривой блеска
и быстродействия компьютера. В следующем раз-
деле приводятся результаты апробации предло-
женного метода на примере обработки реальных
кривых блеска системы HE 0435-1223.
3. Òåñòèðîâàíèå ìåòîäà íà äàííûõ
ìîíèòîðèíãà ãðàâèòàöèîííîé ëèíçû
HE 0435-1223
Для тестирования предлагаемого подхода мы вос-
пользовались данными детального семилетнего
мониторинга квадрупольной гравитационной
линзы HE 0435-1223, всесторонняя обработка кото-
рого представлена в работе [13]. Фотометрические
данные мониторинга были взяты из архива CDS [21].
Объект HE 0435-1223 был идентифицирован как
квадрупольно линзированный квазар с красным
смещением 1.689Qz в 2002 г. [22]. Красноее
смещение линзирующей галактики ( 0.4546)Lz
было измерено позже [23]. Первые оценки времен-
ных запаздываний были сделаны по данным плот-
ного двухлетнего мониторинга в 2004 и 2005 гг.
на 1.3-метровом телескопе SMARTS [16]. Впос-
ледствии кривые блеска этих двух сезонов были
дополнены наблюдениями на других телескопах
и данными, полученными в 2006–2010 гг. [13].
Оценки временных запаздываний, представлен-
ные в этих двух работах, приведены в табл. 1
(данные взяты из работы [13]).
В первой строке указаны значения временных
запаздываний, полученные в работе [16] с ис-
пользованием представления кривых блеска
в виде разложения в ряд по полиномам Лежандра
(см. раздел 2). Во второй строке – результаты
измерения тех же данных, что и в первой строке,
но выполненные в работе [13] другим методом.
В третьей строке – временные запаздывания, пo-
лученные в работе [13] по данным подробного се-
милетнего мониторинга. Примененный в этой рабо-
те подход основан на методе дисперсии (см. раз-
дел 1), аналогичном предложенному Пельтом [5].
В частности, была использована оценка диспер-
сии Пельта, при которой выполняется линейная
интерполяция между точками одной из кривых
блеска на интервале 30 дней. Полная дисперсия
равна сумме дисперсий, вычисленных для пар
кривых блеска, составленных из всех возмож-
ных перестановок по две кривые из четырех.
Чтобы избежать влияния выбора опорной кривой,
каждая пара обрабатывалась дважды с заменой
опорного компонента. Затем общая дисперсия
минимизировалась относительно временных запаз-
дываний и параметров полиномов, описывающих
микролинзирования.
Временные запаздывания вычислялись в рабо-
те [13] относительно компонента В, принятого
в качестве опорного, в котором, по мнению авто-
ров, колебания блеска квазара на рассматри-
ваемом интервале времени наименее искажены
событиями микролинзирования. Наибольшая
активность микролинзирования наблюдается в ком-
поненте А, в отличие от С и D, для которых состав-
ляющая микролинзирования может быть представ-
лена полиномами низкого порядка даже на протя-
жении всего семилетнего периода. Перед вычисле-
нием кросс-корреляционных функций для каждой
пары кривых блеска и для каждого сезона оцени-
вался вклад событий микролинзирования.
Как уже отмечалось, при нашем подходе оцен-
ка вклада событий микролинзирования выпол-
няется исключительно просто, а именно: из поли-
нома, аппроксимирующего кривую блеска конк-
Данные Авторы ABt ACt ADt BCt BDt CDt
SMARTS (сезоны 1, 2) Kochanek (2006) 8.0 0.8 2.1 0.8 14.4 0.8
SMARTS (сезоны 1, 2) Courbrin (2011) 8.8 2.4 2.0 2.7 14.7 2.0 6.8 2.7 5.9 1.7 12.7 2.5
COSMOGRAIL (7 сезонов) Courbrin (2011) 8.4 2.1 0.6 2.3 14.9 2.1 7.8 0.8 6.5 0.7 14.3 0.8
Таблица 1. Оценки временных запаздываний (в сутках) в квадрупольно линзированном квазаре HE 0435-1223
по результатам работ [13] и [16]
312 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 4, 2014
В. С. Цветкова, В. М. Шульга, Л. А. Бердина
ретного компонента, извлекаются члены первых
двух или трех порядков, представляющие средний
уровень, линейную и квадратичную составляющие
переменности. Этот полином низкого порядка опи-
сывает в нашем случае обе составляющие пере-
менности – как собственно “квазарную”, так и
обусловленную микролинзированием. Так как
вариации блеска квазара должны быть одинаковы-
ми во всех его изображениях, разность между эти-
ми полиномами низкого порядка для любых двух
изображений будет описывать дифференциальное
микролинзирование. На рис. 1 приведены вычис-
ленные таким образом кривые блеска дифферен-
циального микролинзирования для пары А–В
для шести сезонов наблюдений НЕ 0435-1223.
Сравнение кривых, представленных на рис. 1,
с аналогичными кривыми дифференциального
микролинзирования, вычисленными в работе [13]
более сложным способом, обнаруживает практи-
чески полное их совпадение.
Примеры кривых блеска компонентов изобра-
жений А, В, С и D квадрупольной системы
НЕ 0435-1223 и их аппроксимаций разложениями
в ряд по полиномами Лежандра, вычисленными
по описанной выше процедуре, приведены на
рис. 2. Из обработанных семи сезонов мы выб-
рали для иллюстрации сезон 2005 г. (наилучший
по плотности и точности данных), 2006 г. (сред-
нее качество данных) и 2007 г. (плохое качество).
Напомним, что для представления кривых блес-
ка из аппроксимирующих полиномов исключались
члены двух младших порядков (средний уровень
и линейный член).
Максимальный порядок полиномов состав-
лял 13 для второго сезона и 9 для третьего и
четвертого. Как указывалось в разделе 2, при
выборе порядка аппроксимирующего полинома
для каждой конкретной кривой блеска мы руко-
водствовались, во-первых, поведением средне-
квадратичной погрешности аппроксимации в за-
висимости от порядка и, во-вторых, старались не
допускать осцилляций, возникающих иногда при
излишне высоких порядках вблизи границ реали-
заций. Так, для второго сезона увеличение по-
рядка полинома от 13 до 21 лишь незначительно
увеличивает точность аппроксимации, делая в то
же время осцилляции на краях неприемлемыми.
Поэтому для второго сезона мы остановились на
полиноме 13-го порядка.
Для каждого компонента в наблюдаемых кри-
вых блеска есть точки данных, для которых от-
клонения от аппроксимирующих полиномов за-
метно превышают характерные ошибки фотомет-
рии и ошибки аппроксимации. Мы допускаем
возможность коррекции программным способом
двух или трех точек на кривых блеска, отклоня-
ющихся от аппроксимирующего полинома на
величину, превышающую 3 .appr Исправленным
точкам (выделены квадратами на рис. 2) присва-
иваются значения, соответствующие значениям
аппроксимирующего полинома в местах их рас-
положения на оси времени, затем процедура ап-
проксимации повторяется с точками, модифици-
рованными таким образом.
Кросс-корреляционные функции AB,C AC,C
AD,C BC,C BD,C CD,C вычисленные для всех воз-
можных пар компонентов НЕ 0435-1223 по кри-
вым блеска второго сезона, представлены на
рис. 3, а в табл. 2 приведены оценки временных
Рис. 1. Кривые блеска микролинзирования в компоненте А относительно В (дифференциальные микролинзирования).
По горизонтальной оси отложено время Jt (в сутках), равное гелиоцентрической юлианской дате (HJD) минус 2400000:
HJD 2400000,Jt по вертикальной оси – вариации блеска m в звездных величинах относительно среднего за данный
сезон уровня
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 4, 2014 313
Измерение временных запаздываний в гравитационно линзированных квазарах при наличии микролинзирований
запаздываний для семи сезонов мониторинга
HE 0435-1223.
Табл. 2 демонстрирует достаточно хорошее
совпадение оценок, полученных по данным раз-
ных сезонов. Наилучшим образом согласуются
между собой результаты обработки данных вто-
рого и третьего сезонов, что не является неожи-
данным, если учесть характер исходных данных:
этим сезонам присущи наиболее высокая плот-
ность отсчетов и большая амплитуда сигнала.
Самыми быстрыми и мощными вариациями блес-
ка характеризуется второй сезон, что обусловли-
вает наибольшую надежность оценок запазды-
ваний по данным этого сезона.
Оценки, сделанные по 4, 5 и 6 сезонам, заметно
хуже согласуются между собой и с результатами
2 и 3 сезонов, что также не должно вызывать удив-
ления, учитывая отсутствие “выразительных” де-
талей на кривых блеска этих сезонов. Наконец,
следует отметить существенное отклонение всех
перечисленных оценок запаздываний от результа-
тов 1 и 7 сезонов, которые в табл. 2 приведены
отдельно. Объяснение этому, очевидно, следует
искать в большей разреженности точек отсчетов
на кривых блеска этих сезонов по сравнению с
другими.
Полученные нами значения запаздываний удов-
летворительно согласуются с результатами из-
мерений, выполненных в работах [13, 16], по край-
ней мере, находятся в пределах указанных в этих
работах погрешностей, которые определялись
общепринятым способом, упомянутым в первом
разделе. Мы отчетливо сознаем, что корректной
альтернативы этому методу оценки погрешнос-
тей измерения запаздываний пока нет. Тем не
менее следует отметить, что реальный разброс
оценок, выполненных даже с одними и теми же
данными, но разными методами, превосходит
оценки погрешностей, полученные методом ста-
тистических испытаний. Еще более существен-
ные отклонения в оценках временных запаздыва-
ний получаются при использовании различных
реализаций кривых блеска, например, взятых из
разных сезонов. Это хорошо демонстрируют ре-
зультаты обработки данных семи сезонов, пред-
ставленные в табл. 2.
Нам представляется, что более реалистичес-
кие оценки погрешностей можно получить, вос-
Рис. 2. Кривые блеска HE 0435-1223 и их аппроксимации полиномами Лежандра (компоненты от А до D – сверху вниз,
сезоны 2, 3, 4 – слева направо) с устраненными членами нулевого и первого порядка. По горизонтальной оси отложено
время Jt (в сутках), равное гелиоцентрической юлианской дате (HJD) минус 2400000: HJD 2400000,Jt по вертикальной
оси – вариации блеска m в звездных величинах относительно среднего за данный сезон уровня
314 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 4, 2014
В. С. Цветкова, В. М. Шульга, Л. А. Бердина
пользовавшись предположением о стационарнос-
ти случайного процесса, описывающего перемен-
ность блеска макроизображений квазара. В рам-
ках такого предположения одинаково правомерно
определять статистические характеристики слу-
чайного процесса как из анализа полной длины
реализации (несколько сезонов), так и их усредне-
нием по результатам обработки отдельных реали-
заций процесса (сезонов). Таким образом, если
для рассматриваемого интервала времени предпо-
ложение о стационарности справедливо, то в каче-
стве наиболее вероятных оценок временных запаз-
дываний можно принять их значения, усредненные
по сезонам. Среднеквадратичные же отклонения
значений временных запаздываний, полученных по
данным отдельных сезонов, от среднего по всем
реализациям можно принять в качестве меры нео-
пределенности оценок запаздываний.
При этом возникает следующая проблема. Кри-
вые блеска, зарегистрированные в различные се-
зоны, неравнозначны в плане их эффективности для
измерения временных запаздываний. Поэтому
значения, полученные по данным разных сезонов,
должны входить с разными весами в процесс
вычисления среднего по реализациям. Интуитив-
но понятно, что эффективность кривой блеска для
измерения временных запаздываний в значитель-
ной степени определяется соотношением между
амплитудой сигнала и уровнем ошибок измерения,
при этом значение имеют также плотность точек
измерения на кривой блеска и общая продолжи-
тельность кривой. Поэтому весовые коэффициен-
ты могут быть выбраны пропорциональными,
например, плотности точек и их общему количе-
ству на кривой блеска, а также отношению ампли-
туды кривой блеска к уровню ошибок измерения.
Приведенные в табл. 2 средние значения времен-
ных запаздываний и их неопределенности (строка
“Среднее”) были посчитаны с учетом таким об-
разом определенных весовых коэффициентов.
Данные второго сезона при этом вошли в оценку
среднего с максимальным весом, минимальный
вес оказался у седьмого сезона, остальные имели
промежуточные веса.
Мы полагаем, что при достаточно большом
числе реализаций (сезонов) полученные таким
Рис. 3. Кросс-корреляционные функции C для пар кривых блеска HE 0435-1223, представленных полиномами, аппроксими-
рующими наблюдательные данные на рис. 2 (обработка данных второго сезона). По горизонтальной оси отложен временной
сдвиг t (в сутках)
Таблица 2. Значения временных запаздываний в системе HE 0435-1223, определенные
по данным разных сезонов, – результаты тестирования метода, предложенного в настоящей работе
Данные ABt ACt ADt BCt BDt CDt
Сезон 2 (2005 г.) –11.0 –0.8 –14.5 10.4 –3.7 –14.7
Сезон 3 (2006 г.) –10.2 –2.3 –11.9 7.2 –3.3 –9.5
Сезон 4 (2007 г.) –10.9 –3.8 –13.1 3.4 –9.1 –10.4
Сезон 5 (2005 г.) –10.6 –5.0 –21.3 7.2 –9.4 –15.3
Сезон 6 (2005 г.) –10.0 –2.7 –5.8 5.2 –3.4 –1.6
Среднее 10.5 0.5 2.9 1.2 13.3 3.7 6.7 1.9 4.4 3.9 10.3 2.5
Сезон 1 (2004 г.) –1.6 1.4 –18.5 –0.4 –22.1 –20.7
Сезон 7 (2010 г.) –1.6 0.0 –1.4 1.3 –2.9 –0.2
ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 4, 2014 315
Измерение временных запаздываний в гравитационно линзированных квазарах при наличии микролинзирований
способом оценки погрешностей имеют не мень-
шее право на существование, нежели те, которые
получены моделированием методом статистичес-
ких испытаний. Открытым остается вопрос, об-
ладают ли доступные в настоящее время данные
по объекту HE 0435-1223 достаточной статисти-
кой, чтобы можно было воспользоваться предпо-
ложением о стационарности.
Авторы работы [13] проверяли свой метод на
устойчивость и достаточность статистики раз-
личными способами, в частности, обрабатывая
данные отдельных сезонов и групп сезонов. Они
утверждают, что выбор сезона заметного влияния
на результат не оказывает. Это утверждение нахо-
дится в противоречии с данными нашей табл. 2,
однако предметно комментировать его не представ-
ляется возможным, так как конкретных значений
запаздываний для отдельных сезонов в работе [13]
не приводится. Между тем многие авторы отме-
чают зависимость результатов от вида конкретной
реализации точек измерения на кривой блеска, слу-
чайные отклонения которых из-за измерительных
ошибок создают иногда видимость детерминиро-
ванного сигнала и, как результат, приводят к уходу
от истинного значения запаздывания.
5. Âûâîäû
Резюмируя, отметим главные моменты работы.
1. Временные запаздывания в гравитационно
линзированном квазаре HE 0435-1223, определен-
ные предложенным в настоящей работе мето-
дом, достаточно хорошо согласуются с результа-
тами, полученными ранее для этого объекта дру-
гими методами.
2. Новизна предложенного метода состоит в
использовании фундаментальных свойств прибли-
жения функций в виде разложения в ряд по орто-
гональным полиномам. Это обеспечивает наи-
лучшее приближение к наблюдаемым кривым
блеска в смысле среднеквадратичного отклоне-
ния и, что наиболее важно, предоставляет про-
стую и объективную (в смысле независимости
от действий исследователя) процедуру устране-
ния влияния событий микролинзирования на оцен-
ки временных запаздываний.
3. Кросс-корреляционная функция вычисляет-
ся для кривых блеска, представленных соответ-
ствующими аппроксимирующими функциями. Это
обеспечивает ее гладкость и гарантирует отсут-
ствие случайных ложных максимумов.
Отметим в заключение, что сравнение двух
кривых блеска, представленных их аппроксима-
циями, предполагается также и в методе разни-
цы регрессии (Regression Difference Method,
RDM), упоминавшемся в разделе 1. Однако на
этом сходство с нашим методом заканчивается:
нам не встречались в литературе работы, где ис-
пользовались бы преимущества приближения
функций в виде разложения в ряд по ортогональ-
ным полиномам, перечисленные в разделе 2.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
01. Refsdal S. On the possibility of determining Hubble’s
parameter and the masses of galaxies from the gravitatio-
nal lens effect // Mon. Not. R. Astron. Soc. – 1964. –
Vol. 128, Is. 4. – P. 307–310.
02. Walsh D., Carswell R., and Weymann R. 0957 + 561 A,
B: twin quasistellar objects or gravitational lens? //
Nature. – 1979. – Vol. 279, No. 5712. – P. 381–384.
03. Press W., Rybicki G., and Hewitt J. The time delay of
gravitational lens 0957 + 561. I. Methodology and analy-
sis of optical photometric data // Astrophys. J. – 1992. –
Vol. 385. – P. 404–415.
04. Press W., Rybicki G., and Hewitt J. The time delay of gra-
vitational lens 0957 + 561. II. Analysis of radio data and
combined optical-radio analysis // Astrophys. J. – 1992. –
Vol. 385. – P. 416–420.
05. Pelt J., Kayser R., Refsdal S., and Schramm T. The light
curve and the time delay of QSO 0957 + 561 // Astron.
Astrophys. – 1996. – Vol. 305. – P. 97–107.
06. Hirv A., Olspert N., Pelt J. Towards the Automatic Esti-
mation of Time Delays of Gravitational Lenses // Baltic
Astronomy. – 2011. – Vol. 20. – P. 125–144.
07. Tewes M., Courbin F., and Meylan G. COSMOGRAIL: the
COSmological MOnitoring of GRAvItational Lenses – XI.
Techniques for time delay measurement in presence of mi-
crolensing // Astron. Astrophys. – 2013. – Vol. 553. – id. A120.
08. Eulaers E., Tewes M., Magain P., Courbin F., Asfan-
diyarov I., Ehgamberdiev Sh., Rathna Kumar S., Sta-
lin C. S., Prabhu T. P., Meylan G., and Van Winckel H.
COSMOGRAIL: the COSmological MOnitoring of GRAvI-
tational Lenses – XII. Time delays of the doubly lensed
quasars SDSS J1206+4332 and HS 2209+1914 // Astron.
Astrophys. – 2013. – Vol. 553. – id. A121.
09. Rathna Kumar S., Tewes M., Stalin C. S., Courbin F.,
Asfandiyarov I., Meylan G., Eulaers E., Prabhu T. P.,
Magain P., Van Winckel H., and Ehgamberdiev Sh.
COSMOGRAIL: the COSmological MOnitoring of GRAvI-
tational Lenses – XIV. Time delay of the doubly lensed
quasar SDSS J1001+5027 // Astron. Astrophys. – 2013. –
Vol. 557. – id. A44.
10. Kochanek C. and Schechter P. The Hubble Constant from
Gravitational Lens Time Delays. In: Freedman W. L.,
editor. Carnegie Observatories Astrophysics Series, Vol. 2:
Measuring and Modeling the Universe. – Cambridge: Cam-
bridge University Press, 2003. – P. 117–137.
316 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 19, № 4, 2014
В. С. Цветкова, В. М. Шульга, Л. А. Бердина
11. Barkana R. Analysis of time delays in the gravitational
lens PG 1115+080 // Astrophys. J. – 1997. – Vol. 489,
No. 1. – P. 21–28.
12. Минаков А. А., Васильев C. A., Вакулик В. Г. Простран-
ственно-временные вариации кривой блеска источника
при прохождении излучения через гравитационную
линзу-галактику // Радиофизика и радиоастрономия. –
2001. – Т. 6, № 2. – C. S43–S48.
13. Courbin F., Chantry V., Revaz Y., Sluse D., Faure C., Te-
wes M., Eulaers E., Koleva M., Asfandiyarov I., Dye S.,
Magain P., van Winckel H., Coles J., Saha P., Ibrahimov M.,
and Meylan G. COSMOGRAIL: the COSmological MOni-
toring of GRAvItational Lenses – IX. Time delays, lens
dynamics and baryonic fraction in HE 0435-1223 // As-
tron. Astrophys. – 2011. – Vol. 536. – id A53.
14. Tewes M., Courbin F., Meylan G., Kochanek C. S., Eulaers E.,
Cantale N., Mosquera A. M., Asfandiyarov I., Magain P.,
van Winckel H., Sluse D., Keerthi R. K. S., Stalin C. S.,
Prabhu T. P., Saha P., and Dye S. COSMOGRAIL: Mea-
suring Time Delays of Gravitationally Lensed Quasars to
Constrain Cosmology // The Messenger. – 2012. –
No. 150. – P. 49–52.
15. Lehar J., Hewitt J., N., Burke B. F., and Roberts D. H. The
radio time delay in the double quasar 0957 + 561 // Astro-
phys. J. – 1992. – Vol. 384. – P. 453– 466.
16. Kochanek C. S., Morgan N. D., Falco E. E., McLeod B. A.,
Winn J. N., Dembicky J., and Ketzeback B. The Time
Delays of Gravitational Lens HE 0435-1223: An Early-
Type Galaxy with a Rising Rotation Curve // Astro-
phys. J. – 2006. – Vol. 640, No.1. – P. 47– 61.
17. Cuevas-Tello J., Tino P., and Raychaudhury S. How accu-
rate are the time delay estimates in gravitational lensing? //
Astron. Astrophys. – 2006. – Vol. 454, No. 3. – P. 695–706.
18. Vakulik V. G., Shulga V. M., Schild R. E., Tsvetkova V. S.,
Dudinov V. N., Minakov A. A., Nuritdinov S. N., Artamo-
nov B. P., Kochetov A. Ye, Smirnov G. V., Sergeyev A. A.,
Konichek V. V., Sinelnikov I. Ye, Bruevich V. V., Akhu-
nov T., and Burkhonov O. Time delays in PG 1115+080:
new estimates // Mon. Not. R. Astron. Soc. – 2009. –
Vol. 400, Is.1. – P. L90–L93.
19. Vanden Berk D. E., Wilhite B. C., Kron R. G., Anderson S. F.,
Brunner R. J., Hall P. B., .,Ivezić Ž Richards G. T.,
Schneider D. P., York D. G., Brinkmann J. V., Lamb D. Q.,
Nichol R. C., and Schlegel D. J. The Ensemble Photo-
metric Variability of ~25,000 Quasars in the Sloan Digital
Sky Survey // Astrophys. J. – 2004. – Vol. 601, No. 2. –
P. 692–714.
20. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для науч-
ных работников и инженеров. – М.: Наука, 1973. –
832 с.
21. Centre de Données astronomiques de Strasbourg [Элект-
ронный ресурс]: R-band light curves of HE 0435-1223 –
Режим доступа: http://cdsarc.u-strasbg.fr/
22. Wisotzki L., Schechter P., Bradt H., Heinmьller J., and
Reimers D. HE 0435-1223: A wide separation quadruple
QSO and gravitational lens // Astron. Astrophys. – 2002. –
Vol. 395, No.1. – P. 17–23.
23. Morgan N., Kochanek V., Pevunova O., and Schechter P. L.
The lens redshift and galaxy environment for HE
0435-1223 // Astron. J. – 2005.– Vol. 129, Is. 6. –
P. 2531–2541.
В. С. Цвєткова 1,2, В. М. Шульга 1, Л. А. Бердіна 1
1 Радіоастрономічний інститут НАН України,
вул. Червонопрапорна, 4, м. Харків, 61002, Україна
2 НДІ астрономії Харківського національного
університету імені В. Н. Каразіна,
вул. Сумська, 35, м. Харкiв, 61022, Україна
ВИМІРЮВАННЯ ЧАСОВИХ ЗАПІЗНЕНЬ
У ГРАВТАЦІЙНО ЛІНЗОВАНИХ КВАЗАРАХ
ЗА НАЯВНОСТІ МІКРОЛІНЗУВАННЯ
Запропоновано метод визначення часових запізнень у граві-
таційно лінзованих квазарах, який надає просту і прозору
процедуру усунення впливу подій мікролінзування, що
грунтується на фундаментальних властивостях репрезентації
квадратично інтегрованих функцій у вигляді розкладання
за ортогональними поліномами. Метод протестовано на се-
мирічних кривих блиску гравітаційно лінзованого квазара
НЕ 0435-1223, фотометрію для котрого було отримано
з архіву CDS (Strasburg Astronomical Data Center). Надаєть-
ся аналіз отриманих оцінок часових запізнень у системі
НЕ 0435-1223 та їх порівняння з результатами, опублікова-
ними раніше в роботах інших авторів.
V. S. Tsvetkova 1,2, V. M. Shulga 1, and L. A. Berdina 1
1 Institute of Radio Astronomy, National Academy
of Sciences of Ukraine,
4, Chervonopraporna St., Kharkiv, 61002, Ukraine
2 Institute of Astronomy, V. Karazin National
University of Kharkiv,
35, Sumska St., Kharkiv, 61022, Ukraine
MEASURING THE TIME DELAYS
IN GRAVITATIONALLY LENSED QUASARS
IN THE PRESENCE OF MICROLENSING
A method to measure the time delays in gravitationally lensed
quasars is proposed, which provides a simple and transparent
procedure to eliminate the effects of microlensing events. The
procedure is based on fundamental properties of representation
of quadratically integrable functions by their expansion in or-
thogonal polynomials. The method is tested on the seven-year
duration light curves of the gravitationally lensed quasar
НЕ 0435-223. The corresponding photometry was downloa-
ded from the Strasbourg Astronomical Data Center archive. The
analysis of time delay estimates in the НЕ 0435-1223 system,
as well as comparison with the results published by other
authors, are presented.
Статья посупила в редакцию 26.08.2014
|