Свойства нормальных волн композитного упруго-жидкостного волновода, помещенного в жидкость
Изучены особенности осесимметричных волновых движений в заполненном и окруженном жидкостью упругом цилиндре. Излучение в окружающую среду порождает специальный механизм затухания волн - радиационное демпфирование. Предложена методика определения вещественных и комплексных корней дисперсионного уравн...
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2006
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1005 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Свойства нормальных волн композитного упруго-жидкостного волновода, помещенного в жидкость / В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 4. — С. 17-34. — Бібліогр.: 30 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859461357497221120 |
|---|---|
| author | Гринченко, В.Т. Комиссарова, Г.Л. |
| author_facet | Гринченко, В.Т. Комиссарова, Г.Л. |
| citation_txt | Свойства нормальных волн композитного упруго-жидкостного волновода, помещенного в жидкость / В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 4. — С. 17-34. — Бібліогр.: 30 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Изучены особенности осесимметричных волновых движений в заполненном и окруженном жидкостью упругом цилиндре. Излучение в окружающую среду порождает специальный механизм затухания волн - радиационное демпфирование. Предложена методика определения вещественных и комплексных корней дисперсионного уравнения для волноводов данного типа. Представлены результаты анализа различий кинематических и энергетических характеристик нормальных волн для случаев жесткого и податливого материалов упругого цилиндра. Показано влияние радиационного демпфирования на характеристики неоднородных волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Рассмотрены свойства незатухающих поверхностных волн (типа волны Стоунли), существующих при произвольных значениях частоты, а также любых соотношениях физических характеристик материала цилиндра и жидкости. Важнейшей особенностью волновода с податливым цилиндром является наличие в высокочастотной области системы неподверженных радиационному демпфированию нормальных волн, фазовые скорости которых стремятся к скорости волны сдвига в материале цилиндра.
Вивчені особливості осесиметричних хвильових рухів у заповненому та оточеному рідиною пружному циліндрі. Випромінювання в оточуюче середовище породжує спеціальний механізм затухання хвиль - радіаційне демпфірування. Запропоновано методику визначення дійсних і комплексних коренів дисперсійного рівняння для таких хвилеводів. Представлені результати аналізу відмінностей кінетичних і енергетичних характеристик нормальних хвиль для випадків жорсткого та піддатливого матеріалів пружного циліндра. Показаний вплив радіаційного демпфірування на характеристики неоднорідних хвиль, які розповсюджуються у протилежних напрямках. Розглянуті властивості незатухаючих поверхневих хвиль (типу хвиль Стоунлі), які існують при довільних значеннях частот та будь-яких співвідношеннях фізичних характеристик матеріалу циліндра й рідини. Важливою особливістю хвилевода у випадку піддатливого циліндра є існування у високочастотній області системи нормальних хвиль, які не зазнають впливу радіаційного демпфірування. Їхні фазові швидкості прямують до швидкості хвилі зсуву в матеріалі циліндра.
The paper deals with studying the peculiarities of axisymmetric wave motions in a fluid-filled elastic cylinder surrounded with a fluid environment. Radiation to the environment establishes the special wave attenuation mechanism: a radiation damping. The technique is proposed for determining the real and complex roots of the dispersion equation for the considered waveguide type. The differences of the kinematic and energy characteristics of the normal waves for the cases of the stiff and compliant cylinders are analyzed and discussed. The effect of the radiation damping on the characteristics of evanescent waves propagating in opposite directions. The study considers the properties of non-attenuating surface waves (of the Stoneley wave type) that exist at arbitrary frequency values and any ratios of the cylinder material and fluid physical properties. The principal feature of the waveguide with the compliant cylinder is the existence in the high-frequency range of the system of normal waves not subjected to the radiation damping, which phase velocities tend to shear wave velocity in the cylinder material.
|
| first_indexed | 2025-11-24T02:11:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 17 – 34
УДК 534.1:534.232
СВОЙСТВА НОРМАЛЬНЫХ ВОЛН КОМПОЗИТНОГО
УПРУГО-ЖИДКОСТНОГО ВОЛНОВОДА,
ПОМЕЩЕННОГО В ЖИДКОСТЬ
В. Т. Г РИ Н Ч ЕН К О∗, Г. Л. К ОМ И ССА РО В А∗∗
∗Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
∗∗Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев
Получено 20.07.2006
Изучены особенности осесимметричных волновых движений в заполненном и окруженном жидкостью упругом ци-
линдре. Излучение в окружающую среду порождает специальный механизм затухания волн – радиационное дем-
пфирование. Предложена методика определения вещественных и комплексных корней дисперсионного уравнения
для волноводов данного типа. Представлены результаты анализа различий кинематических и энергетических хара-
ктеристик нормальных волн для случаев жесткого и податливого материалов упругого цилиндра. Показано влияние
радиационного демпфирования на характеристики неоднородных волн, распространяющихся в противоположных
направлениях. Рассмотрены свойства незатухающих поверхностных волн (типа волны Стоунли), существующих при
произвольных значениях частоты, а также любых соотношениях физических характеристик материала цилиндра
и жидкости. Важнейшей особенностью волновода с податливым цилиндром является наличие в высокочастотной
области системы неподверженных радиационному демпфированию нормальных волн, фазовые скорости которых
стремятся к скорости волны сдвига в материале цилиндра.
Вивченi особливостi осесиметричних хвильових рухiв у заповненому та оточеному рiдиною пружному цилiндрi. Ви-
промiнювання в оточуюче середовище породжує спецiальний механiзм затухання хвиль – радiацiйне демпфiрування.
Запропоновано методику визначення дiйсних i комплексних коренiв дисперсiйного рiвняння для таких хвилеводiв.
Представленi результати аналiзу вiдмiнностей кiнетичних i енергетичних характеристик нормальних хвиль для ви-
падкiв жорсткого та пiддатливого матерiалiв пружного цилiндра. Показаний вплив радiацiйного демпфiрування
на характеристики неоднорiдних хвиль, якi розповсюджуються у протилежних напрямках. Розглянутi властивостi
незатухаючих поверхневих хвиль (типу хвиль Стоунлi), якi iснують при довiльних значеннях частот та будь-яких
спiввiдношеннях фiзичних характеристик матерiалу цилiндра й рiдини. Важливою особливiстю хвилевода у випад-
ку пiддатливого цилiндра є iснування у високочастотнiй областi системи нормальних хвиль, якi не зазнають впливу
радiацiйного демпфiрування. Їхнi фазовi швидкостi прямують до швидкостi хвилi зсуву в матерiалi цилiндра.
The paper deals with studying the peculiarities of axisymmetric wave motions in a fluid-filled elastic cylinder surrounded
with a fluid environment. Radiation to the environment establishes the special wave attenuation mechanism: a radiation
damping. The technique is proposed for determining the real and complex roots of the dispersion equation for the consi-
dered waveguide type. The differences of the kinematic and energy characteristics of the normal waves for the cases of
the stiff and compliant cylinders are analyzed and discussed. The effect of the radiation damping on the characteristics of
evanescent waves propagating in opposite directions. The study considers the properties of non-attenuating surface waves
(of the Stoneley wave type) that exist at arbitrary frequency values and any ratios of the cylinder material and fluid physi-
cal properties. The principal feature of the waveguide with the compliant cylinder is the existence in the high-frequency
range of the system of normal waves not subjected to the radiation damping, which phase velocities tend to shear wave
velocity in the cylinder material.
ВВЕДЕНИЕ
Упругие волны находят широкое применение
при определении физического состояния объектов,
в которых они распространяются. Различные при-
кладные проблемы стимулируют изучение волно-
вых полей в композитных волноводах [1 – 3]. За-
висимости характеристик волнового поля от фи-
зических свойств и геометрических размеров со-
ставляющих волновода используются при обрабо-
тке данных геофизических изысканий, неразру-
шающих оценках состояний трубопроводов, про-
ложенных в упругой или жидкостной среде, кон-
струировании приборов в акустоэлектронике, ги-
дромеханике, медицинской акустике.
Составные многокомпонентные волноводы есте-
ственно разделить на два класса. К первому из
них принадлежат волноводы, площадь поперечно-
го сечения которых конечна. Сюда относятся пло-
ские слоистые волноводы, стержни с покрытия-
ми, слоистые или заполненные жидкостью цилин-
дры. Волноводы, поперечное сечение которых не
является конечным, относят ко второму классу.
Их примером могут служить бесконечные перио-
дические системы, цилиндры с жидкостью, окру-
женные жидкой или упругой средой.
Различие между указанными типами объектов
наглядно проявляется при использовании моделей
идеальных сред (упругое тело или жидкость) для
описания их материалов. Тогда вдоль оси волно-
вода с конечным поперечным сечением может ра-
спространяться без затухания довольно большое
число бегущих волн. В волноводе, окруженном да-
же идеальной бесконечной средой, возникает спе-
c© В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова, 2006 17
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 17 – 34
циальный механизм затухания волн, называемый
радиационным демпфированием. В этом случае
предметом исследования является вопрос о суще-
ствовании незатухающих волн, а также их свой-
ства и физическая природа.
Обзор публикаций, в которых изучались законо-
мерности распространения волн в составных упру-
гих стержнях, приведен в [4]. Случай волновода с
бесконечным поперечным сечением рассмотрен в
работах [5 – 23]. В статье [5] определены фазовые
скорости демпфируемых излучением волн, их ки-
нематика и направление потока энергии в окру-
жающую упругую среду для пар материалов ме-
талл – металл и металл – керамика. Решение зада-
чи получено на основе уравнений теории упру-
гости и предпринята попытка экспериментально
смоделировать свойства упругого составного вол-
новода с бесконечным поперечным сечением. Пре-
дложена методика обработки экспериментальных
результатов, позволяющая распространить дан-
ные для волновода с конечным поперечным сече-
нием на случай бесконечного сечения [6]. Кроме
того, в [5, 6] проведен обзор ряда теоретических
и экспериментальных работ для составных цилин-
дров с бесконечным поперечным сечением.
Дисперсионные характеристики низшей про-
дольной волны в тонкостенном стержне, погру-
женном в вязкую среду, изучены в статье [7].
Показано, что в области низких частот фазовая
скорость и характеристики затухания этой вол-
ны существенно зависят от физических параме-
тров окружающей среды. Уже здесь была отме-
чена сильная зависимость степени радиационно-
го демпфирования от характера движения в нор-
мальной волне и соотношения плотностей мате-
риала стержня и окружающей среды. Знание за-
висимостей свойств низшей нормальной волны от
свойств окружающей среды позволило создать эф-
фективный сенсор для измерения плотности и вяз-
кости этой среды. В [8] определены фазовые ско-
рости осесимметричных волн для анизотропного
цилиндра, погруженного в идеальную сжимаемую
жидкость, а в [9] изучено распространение осесим-
метричных волн в трансверсально изотропном ци-
линдре, окруженном жидкостью, и получены зна-
чения фазовых скоростей для стержня из эпокси-
дного стекла, окруженного водой. В [10] рассмо-
трено распространение неосесимметричных волн в
трансверсально изотропном цилиндре, погружен-
ном в жидкость. Численные результаты представ-
лены для цилиндра из кобальта, окруженного во-
дой. В цитируемой работе ошибочно утверждае-
тся, что фазовые скорости волн в погруженном в
жидкость цилиндре и цилиндре со свободной боко-
вой поверхностью совпадают – для осесимметри-
чных и изгибных волн приведены фазовые скоро-
сти свободного цилиндра, а характеристики зату-
хания – для цилиндра, погруженного в жидкость.
В статье [11] на основе уравнений динами-
ческой теории упругости изучено распростране-
ние нормальных осесимметричных волн в спло-
шном цилиндре, контактирующем с жидкой сре-
дой. Для конкретного примера (сталь – вода) по-
строены комплексные дисперсионные кривые в
широком диапазоне частот и волновых чисел. Про-
веден анализ дисперсионных характеристик дем-
пфируемых излучением волн, затухания амплитуд
нормальных волн в цилиндре и излучения энергии
в окружающую среду в зависимости от частоты.
Вопрос о существовании незатухающих волн здесь
не рассматривался.
В ряде работ распространение волн в тонкостен-
ных цилиндрах, заполненных и окруженных жид-
кой средой, изучалось на основе уравнений тео-
рии оболочек. В статье [12] выполнен обзор этих
публикаций и приведены данные о дисперсион-
ных характеристиках незатухающих неосесимме-
тричных волн высоких порядков в зависимости от
толщины оболочки. В [13] получены значения фа-
зовых скоростей окружных волн для цилиндриче-
ской алюминиевой оболочки, заполненной и окру-
женной различными жидкостями. Использование
теории оболочек при изучении свойств компози-
тных волноводов позволило достаточно просто ре-
шить принципиальный вопрос о существовании
незатухающих волн в волноводах с бесконечным
поперечным сечением.
Исследование закономерностей распростране-
ния осесимметричных волн в заполненном и окру-
женном жидкостью цилиндре (трехслойном вол-
новоде) на основе уравнений динамической тео-
рии упругости выполнено в [14 –16]. В статье [14]
дисперсионные кривые построены в виде зави-
симостей действительной и мнимой составляю-
щих частоты от значения действительной посто-
янной распространения. Во второй части публика-
ции [15] исследованы изменения амплитуд смеще-
ний и напряжений по поперечному сечению волно-
вода, проведена экспериментальная проверка по-
лученных теоретических результатов. В [16] дис-
персионные кривые построены для случая дей-
ствительной частоты и комплексной постоянной
распространения. Численные результаты проана-
лизированы для цилиндра из жесткого материала.
Проведена классификация комплексных диспер-
сионных кривых, исследовано поведение мнимых
частей постоянной распространения, определяю-
щих затухание нормальных волн, и их энергетиче-
18 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 17 – 34
ских характеристик. Изучено влияние плотности
окружающей жидкости на поведение дисперсион-
ных кривых составного волновода. В [17, 18] пока-
зано, что в трехслойном волноводе в общем случае
существуют две незатухающие нормальные вол-
ны, если скорость звука в окружающей цилиндр
жидкости C2 больше или равна скорости звука за-
полняющей жидкости C0: C2 ≥ C0. В противном
случае в волноводе существует одна нормальная
незатухающая волна. Исследование кинематиче-
ских характеристик указанных волн в низкочасто-
тной области показало, что они являются анало-
гами поверхностной волны Стоунли.
Распространение неосесимметричных волн в
трансверсально изотропном цилиндре, заполнен-
ном и окруженном жидкостью, рассмотрено в ра-
ботах [19, 20]. Волновые движения цилиндра опи-
саны на основе уравнений теории упругости. Чи-
сленные результаты представлены для случая из-
гибных волн (n=1). Получены первые три диспер-
сионные кривые, соответствующие распространя-
ющимся волнам, для которых почти вся энергия
переносится упругим цилиндром. В [21] экспери-
ментально получены фазовая и групповая скоро-
сти первых двух волн (незатухающих) для пласти-
ны и полого цилиндра, контактирующих с жидко-
стью. Исследованы три случая контакта оболоч-
ки с жидкой средой: пустая оболочка, погружен-
ная в жидкость; заполненная жидкостью оболоч-
ка; оболочка, заполненная и окруженная жидко-
стью. Для перечисленных случаев, а также для
сухой оболочки в [22] экспериментально определе-
ны групповая скорость и характеристики затуха-
ния осесимметричных волн. Эксперименты выпол-
нены на тонком цилиндре из меди, контактирую-
щем с водой. Отмечено хорошее соответствие ме-
жду экспериментальными и числовыми результа-
тами. Численные данные получены путем исполь-
зования пакета программ DISPERSE, разработан-
ного в Imperial College (Великобритания). Прове-
дена оценка вязкости жидкости на дисперсионные
характеристики такой оболочки, заполненной ка-
сторовым маслом, и показано, что групповые ско-
рости для цилиндров, заполненных касторовым
маслом и водой, весьма близки.
В [23] рассмотрено рассеивание плоских аку-
стических волн на металлической трубе, соеди-
ненной жидким слоем с концентрическим цилин-
дром из полимера и помещенной в жидкую среду.
Теоретически и экспериментально изучено влия-
ние толщины жидкостного слоя на наличие волн
Шолте – Стоунли, локализованных вблизи поверх-
ностей упругой трубы и сплошного цилиндра.
Из приведенного обзора работ следует, что в
большинстве из них для композитных волново-
дов с бесконечным поперечным сечением коли-
чественные данные получены для фазовых или
групповых скоростей и характеристик затухания
нормальных волн. Значения комплексных корней
дисперсионного уравнения и их графическое изо-
бражение в виде зависимостей между частотой и
постоянной распространения для конкретных пар
материалов и геометрических размеров волново-
да даны в работах [11, 15, 16, 20]. В [16] расче-
ты проведены для случая стального цилиндра с
r1 = 0.3, заполненного керосином и окруженного
водой; в [15] – для стального цилиндра с r1 =0.83,
а в [20] – для цилиндра из мягкой резины (ν =0.45)
с r1 =0.8, заполненных и окруженных водой. Здесь
r1 =R1/R – относительный внутренний радиус по-
лого цилиндра; R1 и R – внутренний и внешний
радиусы соответственно.
Анализ результатов цитируемых работ показал,
что на их основе невозможно сделать обобщаю-
щие выводы о влиянии геометрических и физиче-
ских параметров на свойства нормальных волн в
составных волноводах, окруженных акустической
средой. Характер взаимодействия между упругой
и жидкой составляющими рассматриваемых вол-
новодов существенно зависит от отношения волно-
вых сопротивлений материалов цилиндра и жид-
кости. В связи с этим при оценке влияния фи-
зических параметров материала цилиндра на ха-
рактеристики волнового поля упруго-жидкостных
волноводов принято различать два типа матери-
алов: жесткие и податливые (мягкие). Материал
цилиндра называют податливым, если скорость
волны сдвига меньше скорости звука в жидкости
(VS/C < 1), а плотности жидкости и материала
цилиндра близки между собой. К податливым ма-
териалам относятся мягкие пластмассы, резины,
мягкие биологические ткани. Для жестких мате-
риалов (типа металлов) характерно VS/C > 1 при
отношении плотностей жидкости и материала ци-
линдра, значительно меньшем единицы.
В работах [24 –27] исследовано влияние толщи-
ны полого цилиндра на закономерности распро-
странения волн в заполненном жидкостью цилин-
дре из жесткого материала. В них на основе урав-
нений динамической теории упругости в широ-
ком диапазоне частот проведена оценка диспер-
сионных, кинематических и энергетических ха-
рактеристик нормальных осесимметричных волн
при изменении относительного внутреннего ради-
уса цилиндра r1 от 0.3 до 0.995. В статье [28] ис-
следованы характеристики осесимметричных рас-
пространяющихся волн в заполненном жидкостью
цилиндре из податливого материала.
В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова 19
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 17 – 34
Цель данной работы состоит в изучении осо-
бенностей взаимодействия упругих и жидкостных
волн в упруго-жидкостных цилиндрических вол-
новодах с цилиндрами из податливых материалов
в широком диапазоне частот и длин волн. Рассмо-
трены два случая контакта упругого цилиндра с
жидкостью:
• заполненный жидкостью цилиндр;
• цилиндр, заполненный и окруженный жидко-
стью.
В отличии от [28], для заполненного жидкостью
упругого цилиндра здесь изучаются не только ра-
спространяющиеся, но и неоднородные волны. В
частности, для заполненного и окруженного жид-
костью упругого цилиндра исследован вопрос о
наличии незатухающих волн, фазовые скорости
которых в пределе стремятся к скорости волны
сдвига в материале цилиндра.
1. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ГРАНИ-
ЧНОЙ ЗАДАЧИ
Рассмотрим распространение нормальных осе-
симметричных волн в упругом цилиндре, запол-
ненном и окруженном жидкостью. Для описания
движения цилиндра используем уравнения линей-
ной теории упругости. Вектор смещений u ча-
стиц упругого цилиндра удовлетворяет векторно-
му уравнению движения Ламе
(λ + µ) grad div u − µ rot rotu + b = ρ1
∂2
u
∂t2
. (1)
Здесь λ и µ – коэффициенты упругости Ламе; ρ1 –
плотность материала цилиндра; b – вектор плот-
ности объемных сил. Компоненты вектора смеще-
ний, для которых справедливо уравнение (1), име-
ют вид [16]
uj = Uj(r) exp[i(ζz − ωt)], j = r, z,
Ur(r) = −α
[
A1J1(αr) + A2Y1(αr)
]
+
+β
[
B1J1(βr) + B2Y1(βr)
]
,
Uz(r) = iζ
[
A1J0(αr) + A2Y0(αr)
]
+
+i
β2
ζ
[
B1J0(βr) + B2Y0(βr)
]
,
(2)
где
α2 = γ2
1 − ζ2; β2 = γ2
2 − ζ2;
γ1 =
ωR
VD
; γ2 =
ωR
VS
; γ2
1 =
1 − 2ν
2(1− ν)
γ2
2 .
Внутренняя и внешняя жидкости являются иде-
альными сжимаемыми. Потенциал скорости во
внутренней жидкости, удовлетворяющий уравне-
ние Гельмгольца, записывается как [16]
ϕ0 = D0J0(χ0r) exp[i(ζz − ωt)],
χ0 =
√
γ2
2
(
VS
C0
)2
− ζ2 =
=
VS
C0
ζ
√
(
C
VS
)2
−
(
C0
VS
)2
.
(3)
Аналогично, потенциал скорости для внешней
жидкости имеет вид
ϕ2 = D2J0(χ2r) exp[i(ζz − ωt)],
χ2 =
√
γ2
2
(
VS
C2
)2
− ζ2 =
=
VS
C2
ζ
√
(
C
VS
)2
−
(
C2
VS
)2
.
(4)
Здесь ζ – безразмерное волновое число (посто-
янная распространения), полученное умножением
его размерной величины на R; ω – круговая ча-
стота; VD , VS – скорости волн расширения и сдви-
га соответственно; ν – коэффициент Пуассона; C0,
C2 – скорости звука во внутренней и внешней жид-
костях соответственно; Jn, Yn – функции Бессе-
ля; H
(1)
0 – функция Ханкеля; A1, A2, B1, B2 , D0,
D2 – произвольные постоянные. Здесь и далее все
линейные величины отнесены к внешнему радиу-
су цилиндра R. Потенциал скорости нормирован
к произведению RC.
На внутренней (r=r1) и внешней (r=1) поверх-
ностях контакта жидкости и цилиндра выполня-
ются условия равенства радиального напряжения
и давления в жидкости, радиальных скоростей, а
20 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 17 – 34
также равенство нулю касательного напряжения:
σrr(r1, z, t)
2µ
= −
ρ0
2ρ1
RC0
V 2
S
∂ϕ0(r1, z, t)
∂t
,
∂ur(r1, z, t)
∂t
= −
C0
R
∂ϕ0(r1, z, t)
∂r
,
σrz(r1, z, t)
2µ
= 0 ,
σrr(1, z, t)
2µ
= −
ρ2
2ρ1
RC2
V 2
S
∂ϕ2(1, z, t)
∂t
,
∂ur(1, z, t)
∂t
= −
C2
R
∂ϕ2(1, z, t)
∂r
,
σrz(1, z, t)
2µ
= 0 .
(5)
Здесь ρ0 и ρ2 – плотности внутренней и внешней
жидкостей соответственно.
Граничные условия (5) при использовании ре-
шений (2) – (4) порождают дисперсионное уравне-
ние в форме равенства нулю определителя шесто-
го порядка:
∆6 = ‖aij‖ = 0, i, j = 1, 2, . . . , 6. (6)
Явный вид элементов определителя приведен
в [16]. Указанное уравнение связывает безразмер-
ные частоту γ2 и постоянную распространения
ζ при заданных величинах безразмерных физи-
ческих и геометрического параметров: ν , VS/C0,
VS/C2, ρ0/ρ1, ρ2/ρ1 и r1. Естественно, большое ко-
личество параметров системы существенно затру-
дняет исследование свойств нормальных волн в за-
полненном и окруженном жидкостью упругом по-
лом цилиндре. Дисперсионное уравнения (6) в за-
висимости от значения величины χ2 (веществен-
ного или мнимого) становится комплексным или
вещественным. Объясняется это тем, что функции
Ханкеля удовлетворяет соотношениям
H
(1)
0 (iχ∗
2r) = −i
2
π
K0(χ
∗
2r),
H
(1)
1 (iχ∗
2r) = −
2
π
K1(χ
∗
2r),
χ∗
2 =
√
ζ2 − γ2
2
(
VS
C2
)2
.
(7)
Согласно им в секторе плоскости (Re ζ, γ2), распо-
ложенном ниже прямой χ2 = 0, уравнение (6) бу-
дет действительным и может иметь действитель-
ные корни. Методика определения действитель-
ных корней дисперсионного уравнения волновода
с конечным поперечным сечением основывается на
том, что сначала находят корни при ζ→0 и коне-
чном γ2. Если применить эту методику к соотно-
шению (6), то оно распадется на два уравнения:
Y1(γ2)J1(γ2r1) − J1(γ2)Y1(γ1r1) = 0, (8)
∆4 = ‖a∗
ij‖ = 0,
i = 1, 2, 4, 5, j = 1, 2, 5, 6.
(9)
Коэффициенты a∗
ij вычисляются из выражений
для aij при ζ =0.
Для конечных в поперечном сечении волноводов
уравнения, полученные аналогичным путем, зада-
ют частоты запирания, при которых дисперсион-
ные кривые пересекают частотную ось. Для рас-
сматриваемой волноводной системы уравнение (8)
имеет корни, зависящие только от геометрическо-
го параметра r1 (относительного срединного ради-
уса цилиндра). Поэтому оно одновременно опре-
деляет частоты запирания и пустого, и запол-
ненного жидкостью цилиндров [24]. Нормальные
волны при этих частотах являются продольно-
сдвиговыми. Следовательно, комплексные диспер-
сионные кривые для цилиндра, заполненного и
окруженного жидкостью, пересекают частотную
ось при частотах запирания, которым соответству-
ет продольно-сдвиговый тип движения. При этой
частоте волна не испытывает радиационного дем-
пфирования (становится распространяющейся).
В статьях [28, 29] показано, что характеристики
волновых полей заполненных жидкостью цилин-
дров из жестких и податливых материалов суще-
ственно отличаются. Основная цель проводимого
в данной работе анализа состоит в выявлении тех
особенностей взаимодействия волновых движений
в заполненном и окруженном жидкостью упру-
гом цилиндре, которые обусловлены существен-
ным уменьшением жесткости цилиндра (податли-
вый материал). Количественные данные для жес-
ткого материала (сталь) получены ранее в [16].
2. ДИСПЕРСИОННЫЕ СВОЙСТВА УПРУ-
ГО-ЖИДКОСТНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ВОЛНОВОДОВ, ПОМЕЩЕННЫХ В ЖИД-
КОСТЬ
Дисперсионные уравнения для составных вол-
новодов являются соотношениями, поиск корней
которых представляет собой довольно сложную
вычислительную задачу. Особенно сложно нахо-
дить комплексные корни, однако именно они не-
сут информацию о проявлении эффекта радиаци-
В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова 21
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 17 – 34
онного демпфирования нормальных волн. Во мно-
гих случаях процедура локализации комплексных
корней основывается на знании их значений на
плоскости ω = 0, т. е. на решении соответствую-
щей статической задачи [30]. Для волновода, окру-
женного идеальной сжимаемой жидкостью, даже
статическая задача оказывается достаточно сло-
жной. Поэтому в качестве начального приближе-
ния используются данные о корнях для соответ-
ствующего волновода без окружающей жидкости.
В частности, в [11, 16] показано, что если цилиндр
состоит из жесткого материала, то для состав-
ного волновода, окруженного водой, и волновода
без окружающей жидкости комплексные корни на
плоскости ω = 0 весьма близки. Исходя из этого,
первый подраздел этого параграфа будет посвя-
щен анализу дисперсионных свойств заполненного
жидкостью цилиндра из податливого материала.
2.1. Упругий цилиндр, заполненный жидко-
стью
В работах [28, 29] анализ дисперсионных, кине-
матических и энергетических характеристик за-
полненного жидкостью цилиндра проведен только
для распространяющихся осесимметричных волн.
Систематизация расчетных данных проводилась
на основе выделения парциальных подсистем, в
качестве которых рассматривались пустой упру-
гий цилиндр и акустический волновод с жесткой
стенкой. Ниже представлены данные также и о
комплексных корнях дисперсионного уравнения
для заполненного жидкостью цилиндра из пода-
тливого материала.
На рис. 1 показаны дисперсионные кривые для
заполненного водой цилиндра из жесткой резины
с r1 =0.3, представляющие собой графическое ото-
бражение корней дисперсионного уравнения в ви-
де зависимости между частотой γ2 и волновым чи-
слом ζ. Для рассматриваемого случая использова-
лись следующие значения безразмерных физиче-
ских параметров [28]:
ν = 0.4,
ρ0
ρ1
= 0.909,
VS
C0
= 0.395.
Условимся в дальнейшем кривые, соответствую-
щие действительным, мнимым или комплексным
корням дисперсионного уравнения, называть соо-
тветственно действительными, мнимыми или ком-
плексными. На графике ветви, отвечающие дей-
ствительным и мнимым корням, изображены
сплошными линиями 1 – 5. Проекции комплексных
дисперсионных кривых на действительную и мни-
мую плоскости даны штриховыми линиями 3±
и 5±. Дисперсионное уравнение для заполненно-
го жидкостью цилиндра приведено в [24].
Прямая OS соответствует волне Стоунли, OR –
волне Рэлея. Плоскость (Re ζ, γ2) делится пря-
мыми OD (α = 0), OE (β = 0) и OC (χ0 = 0) на
сектора, в зависимости от значений α, β, χ0. Выше
каждой из этих прямых соответствующие им вели-
чины являются действительными, а ниже – мни-
мыми. Дисперсионные кривые парциальных под-
систем на плоскости (Re ζ, γ2) расположены сле-
дующим образом. Действительные дисперсионные
ветви пустого упругого цилиндра, за исключени-
ем первых двух, расположены выше прямой OE,
а для акустического волновода – выше прямой
OC. Такое расположение дисперсионных кривых
парциальных подсистем не зависит от жесткости
материала цилиндра, но физические параметры
составного волновода регулируют расположение
прямой OC относительно OD и OE. Существен-
ное увеличение угла между осью абсцисс и OC
при возрастании податливости упругого матери-
ала является следствием изменения масштаба по
оси частот. В случае жесткого цилиндра прямая
OC лежит значительно ниже OE [16, 29].
Взаимное расположение прямых OD, OE и OC
на плоскости (Re ζ, γ2) позволяет сделать заклю-
чение о предельных значениях скоростей распро-
страняющихся волн высоких порядков для запол-
ненных жидкостью цилиндров из жестких и по-
датливых материалов. Так, для жесткого цилин-
дра фазовые скорости распространяющихся волн
(за исключением низшей) с увеличением волново-
го числа стремятся сверху к скорости звука в жид-
кости. В случае податливого цилиндра фазовые
скорости распространяющихся волн (за исключе-
нием первых двух) стремятся сверху к скорости
волны сдвига материала цилиндра [29].
На рис. 1 первые две действительные дисперси-
онные кривые составного волновода с нулевой ча-
стотой запирания расположены в том секторе, где
χ0 мнимое. Все остальные действительные диспер-
сионные кривые начинаются в секторе, в котором
χ0 является действительным, а затем с повыше-
нием частоты переходят в область мнимых χ0.
Первой дисперсионной кривой составного волно-
вода в области низких частот соответствует жид-
костная волна, фазовая скорость которой с увели-
чением волнового числа ζ стремится сверху к ско-
рости волны Стоунли [29]. Вторая дисперсионная
кривая составного волновода для ζ ≤ 1.1 графи-
чески совпадает с первой дисперсионной кривой
пустого цилиндра. Следовательно, на этом участ-
ке ей соответствует упругая волна с продольным
стержневым движением. С увеличением волнового
22 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 17 – 34
8 4 0 4 8
2
0
2
4
6
8
10
Im Re
C
R
S
1
2
3
4
5
4
5-
5+
3+
3+
5+
ED
Рис. 1. Дисперсионные ветви нормальных волн в заполненном водой
цилиндре из жесткой резины с r1 =0.3
числа скорость второй нормальной волны состав-
ного волновода стремится к скорости волны Рэлея
снизу [29].
Для пустого и заполненного жидкостью ци-
линдров нормальные волны на частотах запи-
рания являются либо чисто радиальными, либо
продольно-сдвиговыми. Частоты запирания волн
с продольно-сдвиговым типом движения будут об-
щими для всех цилиндров с одинаковым отно-
сительным внутренним радиусом, независимо от
физических характеристик материала цилиндра и
наличия жидкости [24]. На графике к этому ти-
пу относятся распространяющиеся волны, часто-
ты запирания которых равны γ∗
2,1 = 4.70575 и
γ∗
2,2 = 9.10423. Этим волнам соответствуют тре-
тья и пятая действительные дисперсионные кри-
вые волновода.
Методика определения комплексных корней
дисперсионного уравнения волновода (слоя или
цилиндра) основывается на том, что вначале на-
ходятся их значения на плоскости γ2 = 0 [30], яв-
ляющиеся начальными для отыскания корней при
частоте, отличной от нуля. В работе [25] показано,
что для заполненного жидкостью цилиндра ком-
плексные корни на плоскости γ2 = 0 весьма близ-
ки к соответствующим корням для пустого цилин-
дра. Поиск последних сводится к вычислению соб-
ственных чисел однородных решений статической
задачи для полого цилиндра. Для пустого цилин-
дра уравнение для определения корней на плоско-
сти γ2 =0 имеет вид [25]
e2ζ(1−r1) − 4(1 − r1)
2ζ2+
+
(1 − 2ν)(1− r1)
r1
e2ζ(1−r1)
ζ
= 0.
(10)
Пренебрегая последним членом, находим асимпто-
тические значения комплексных корней ζ на этой
плоскости:
ζ ≈
1
(1 − r1)
ln(2n − 1)π + i
(2n − 1)π
2(1 − r1)
. (11)
Заметим, что если величины нескольких первых
комплексных корней на плоскости γ2 = 0 зависят
от r1 и ν , то их асимптотическое значение – только
от r1 [25]. Для пустого и заполненного жидкостью
цилиндров существуют по четыре комплексно со-
пряженных корня (по одному в каждом квадран-
те плоскости γ2 = 0). Четверка корней с равными
модулями образует одну группу. Корни с поло-
жительными вещественными частями описывают
неоднородные волны, распространяющиеся в по-
ложительном направлении оси z, а с отрицатель-
ными – в обратном направлении. Для волново-
дов с конечным поперечным сечением (пустого
и заполненного жидкостью цилиндров) неодноро-
дные волны, распространяющиеся в противополо-
жных направлениях, обладают симметрией. При
этом фазовые скорости и характеристики затуха-
ния волн в пределах одной группы совпадают, так
В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова 23
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 17 – 34
что для описания их достаточно исследовать лишь
одну из соответствующих кривых.
Каждому значению ζ из четверки комплексных
корней в группе после подстановки в выраже-
ния (2) и (3) соответствует затухающая или во-
зрастающая по амплитуде бегущая волна. При
z≥0 решение с убывающей амплитудой описыва-
ют волны, для которых ζ = ±ξ + iη. Два других
корня дают волны с амплитудой, убывающей в на-
правлении z ≤ 0. Сгруппировав две бегущие нав-
стречу друг другу волны [30]
uj,1 = Uj(ξ + iη, z) exp[−ηz + i(ξz − ωt)],
uj,2 = Uj(−ξ + iη, z) exp[−ηz − i(ξz + ωt)],
j = r, z,
(12)
получаем стоячую волну с экспоненциально
убывающей амплитудой в направлении z ≥ 0:
exp(−ηz) cos ξz. Она не переносит энергию, поэто-
му такое решение не противоречит физическому
смыслу задачи.
На плоскости γ2 = 0 первые два комплексных
корня заполненного водой цилиндра из жесткой
резины с r1 =0.3 имеют следующие значения: ζ∗1 =
±1.612±i2.371, ζ∗2 =±3.204±i6.38. В пустом цилин-
дре им соответствуют корни ζ1 = ±1.615 ± i2.371,
ζ2 = ζ∗2 . Видно, что с точностью до третьего зна-
ка после запятой влияние жидкости незначитель-
но изменяет лишь первый корень. Величины бо-
лее высоких корней пустого и заполненного жид-
костью цилиндров практически совпадают.
На рис. 1 дисперсионные кривые составного вол-
новода, соответствующие комплексным корням с
положительной и отрицательной вещественными
частями, совпадают. Комплексные ветви оканчи-
ваются в экстремальных точках действительных
или мнимых дисперсионных кривых. Например,
первая комплексная кривая оканчивается в то-
чке относительного минимума третьей действи-
тельной дисперсионной ветви (γ2 = 4.6, ζ = 1.034),
а вторая – в точке (γ2 =9.1, ζ=1.48i).
Сравнение результатов для случаев жестко-
го [24 –27] и податливого [28, 29] материалов со-
ставного волновода выявило ряд существенных
различий в проявлении эффектов взаимодействия
волновых движений в упругом цилиндре и жид-
ком ядре. Для жесткого цилиндра дисперсион-
ные кривые составного волновода в широкой обла-
сти частот и волновых чисел расположены весь-
ма близко к дисперсионным кривым парциаль-
ных подсистем. Соответствующие им нормальные
волны являются практически жидкостными или
упругими. Взаимодействие волновых движений в
упругой и жидкой составляющих волновода про-
является в узких областях частот и волновых
чисел, расположенных вблизи точек пересечения
дисперсионных кривых парциальных подсистем.
Для составного волновода с податливым цилин-
дром взаимодействие волновых движений суще-
ственно в широком диапазоне частот и волновых
чисел, а методика выделения парциальных подси-
стем оказывается гораздо менее эффективной.
2.2. Упругий цилиндр, заполненный и окружен-
ный жидкостью
Влияние излучения энергии в окружающую
жидкость на свойства нормальных волн рассмо-
трим на основе данных расчета для цилиндра из
жесткой резины с r1 = 0.3, заполненного и окру-
женного водой. Выбор такой толщины позволя-
ет провести сравнение полученных результатов с
приведенными в [16] данными для стального ци-
линдра. Поскольку жидкость внутри и снаружи
упругого цилиндра одна и та же, то рассматривае-
мая задача характеризуется такими же безразмер-
ными параметрами, как и в предыдущем случае:
VS
C2
=
VS
C0
= 0.395,
ρ2
ρ1
=
ρ0
ρ1
= 0.909.
Из структуры дисперсионного уравнения (6),
отражающего возможность излучения энергии на
бесконечность, следует, что оно в общем случае яв-
ляется комплексным. Лишь в секторе плоскости
(Re ζ, γ2), в котором величина χ2 будет мнимой,
согласно формуле (7), указанное соотношение ста-
новится вещественным. Очевидно, что именно в
этой области следует искать действительные кор-
ни дисперсионного уравнения, которым соответ-
ствуют волны, распространяющиеся без затуха-
ния.
На рис. 2 представлены зависимости волновых
чисел от частоты для четырех первых нормаль-
ных волн рассматриваемого упруго-жидкостного
цилиндрического волновода. При их графическом
изображении соблюдался принцип, согласно кото-
рому каждая дисперсионная кривая должна быть
непрерывной от начала при γ2 =0 и до бесконечной
частоты. Характерная прямая OC (χ2 = 0) делит
плоскость (Re ζ, γ2) на две части. Ниже этой ли-
нии существуют два действительных корня урав-
нения (6).
Кривые, соответствующие упомянутым дей-
ствительным корням, изображены сплошными ли-
ниями 1 и 2. Они проходят через начало коорди-
нат, что указывает на существование таких вол-
новых движений при любой, сколь угодно малой,
24 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 17 – 34
8 4 0 4 8
2
0
2
4
6
8
10
Im Re
C
E
S
1
2
3+
3+
3-
3-
4+
4+
5-
5-
5+
6+ 6+
5+
Рис. 2. Дисперсионные ветви нормальных волн в заполненном и окруженном водой
цилиндре из жесткой резины с r1 =0.3
частоте. Поскольку обе ветви расположены ниже
прямой OC, то фазовые скорости соответствую-
щих нормальных волн меньше скорости звука в
жидкости. Кривая 2 для частот γ2≤2 графически
совпадает с низшей дисперсионной кривой пусто-
го цилиндра. Предельные значения фазовых ско-
ростей этих волн с увеличением волнового числа
(частоты) приведены ниже.
Еще две дисперсионные ветви, соответствующие
комплексным корням дисперсионного уравнения,
начинаются при γ2 = 0. Комплексные корни для
заполненного и окруженного жидкостью цилин-
дра и пустого цилиндра здесь практически сов-
падают. Важным является то, что само диспер-
сионное уравнение на этой плоскости становится
действительным, а его корни – комплексно сопря-
женными. Именно это свойство позволяет органи-
зовать алгоритм вычисления комплексных корней
сложного дисперсионного уравнения (6) при γ2,
отличных от нуля.
Как и в предыдущем случае, комплексные кор-
ни образуют группы-четверки, которые будем ну-
меровать в порядке возрастания их модулей на
плоскости γ2 =0. Для составных волноводов с бе-
сконечным поперечным сечением с ростом часто-
ты комплексные корни одной группы распадаются
попарно на две подгруппы с разными модулями:
ζ1,2 =±(ξ1+iη1) и ζ3,4 =±(−ξ3+iη3). Поэтому для
описания свойств неоднородных волн, убывающих
в заданном направлении оси z, для таких состав-
ных волноводов достаточно исследовать поведе-
ние двух корней с разными знаками вещественной
и одинаковыми знаками мнимой части (по одной
кривой из каждой подгруппы).
Основное отличие цилиндра, заполненного и
окруженного жидкостью, от заполненного жид-
костью цилиндра состоит в том, что двум бе-
гущим навстречу друг другу неоднородным вол-
нам соответствуют различные по модулю значе-
ния комплексных волновых чисел. При подста-
новке в выражения (3) значений ζ1 = ξ1 + iη1 и
ζ3 = −ξ3 + iη3 получим две бегущие волны с эк-
споненциально убывающими в направлении z > 0
амплитудами:
uj,1=Uj(ξ1+iη1, z) exp[−η1z+i(ξ1z−ωt)],
uj,3=Uj(−ξ3+iη3 , z) exp[−η3z−i(ξ3z+ωt)],
j = r, z.
(13)
Они переносят энергию вдоль осевой координаты,
однако ее средний поток убывает с ростом z. Это
решение имеет физический смысл, так как здесь
учтено излучение энергии в окружающую среду.
Заметим, однако, что поскольку ξ1 6=ξ3 и η1 6=η3, то
две рассматриваемые волны не образуют стоячую
волну.
На рис. 2 представлены проекции на действи-
тельную и мнимую плоскости комплексных кри-
вых, соответствующих двум корням из первой
группы (они помечены как 3+ и 4−). По суще-
ству, они являются графическим изображением
частотных зависимостей действительной и мни-
мой составляющих комплексных корней диспер-
В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова 25
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 17 – 34
сионного уравнения волновода. Знак действитель-
ной составляющей корня указан при номере кри-
вой. Проекции, соответствующие знаку “+”, изо-
бражены штриховыми, а знаку “−” – штрих-
пунктирными линиями.
Качественно сравним поведение комплексных
дисперсионных кривых первой группы на рис. 1
и 2. Для заполненного жидкостью цилиндра про-
екции комплексных кривых со знаком “+” и
“−” (штриховая кривая 3± на рис. 1) совпада-
ют вплоть до вхождения их в экстремальную то-
чку (относительного минимума) действительной
дисперсионной кривой 3. Продолжение компле-
ксной кривой 3+ – отрезок действительной кри-
вой 3, расположенный справа от экстремума. Про-
должением комплексной кривой 3− будет отрезок
кривой 4, расположенный слева от экстремаль-
ной точки. Далее он входит в точку γ2 = 4.70575
на частотной оси, соответствующую частоте запи-
рания нормальной волны с продольно-сдвиговым
типом движения. Последняя является неизлуча-
ющей. Продолжение указанного отрезка действи-
тельной кривой – мнимая петля 4, оканчивающа-
яся в точке γ2 =5.6254 на частотной оси и соответ-
ствующая частоте запирания нормальной волны с
радиальным типом движения. Волна с радиаль-
ным типом движения оказывается излучающей.
Продолжением мнимой петли будет действитель-
ная кривая 4.
Проанализируем поведение комплексных дис-
персионных кривых для заполненного и окру-
женного жидкостью цилиндра, представленных
на рис. 2. Учет излучения энергии в окружаю-
щую жидкость привел к тому, что дисперсионное
уравнение волновода (6) стало комплексным. Кор-
ни этого уравнения не являются комплексно со-
пряженными. Представленные на рис. 2 диспер-
сионные кривые показывают, что частотная за-
висимость действительной и мнимой составляю-
щих комплексных корней имеет явно выражен-
ный немонотонный характер. Наличие окружаю-
щей жидкости существенно повлияло на часто-
тную зависимость действительных составляющих
комплексных корней. Действительная составляю-
щая корня, соответствующая проекции кривой 3+
на действительную плоскость, с ростом частоты
увеличивается, а соответствующая кривой 4− –
уменьшается. Проекция кривой 3+ на действи-
тельную плоскость характеризуется наличием ши-
рокой области частот, в которой существенное
увеличение частоты вызывает незначительное во-
зрастание действительной составляющей корня. В
этой области частот фазовая скорость неодноро-
дной волны, соответствующей кривой 3+, линейно
возрастает с увеличением частоты. Комплексная
кривая 3+ при частоте γ2 = 5.16 становится дей-
ствительной дисперсионной кривой 3, которой со-
ответствует не подверженная радиационному дем-
пфированию нормальная волна.
Комплексная кривая 4− с увеличением часто-
ты проходит через частоту запирания волны с
продольно-сдвиговым типом движения. Продол-
жением комплексной кривой 4− далее становится
комплексная кривая 4+ (изменяется знак действи-
тельной части комплексного корня). С увеличени-
ем частоты проекции кривой 4+ на действитель-
ную и мнимую плоскости образуют почти сим-
метричную петлю, которая сужается в окрестно-
сти частоты запирания продольно-сдвиговой моды
волновода (γ2 = 9.10423). При γ2 =9.1 постоянная
распространения равна ζ = 0.468 + i1.237. Суще-
ственные отличия проекций кривых 3+, 4− и 4+
на действительную плоскость физически означа-
ют, что фазовые скорости соответствующих этим
кривым неоднородных волн сильно отличаются в
широкой области частот. Фазовые скорости нео-
днородных волн весьма близки в узкой области
частот γ2 <1. Эта область увеличивается с увели-
чением порядкового номера группы комплексных
корней дисперсионного уравнения (6).
В то же время окружающая жидкость не ока-
зала существенного влияния на частотную зави-
симость мнимой составляющей корней, соответ-
ствующих кривым 3+ и 4−. На рис. 2 проекции
этих кривых на мнимую плоскость весьма близки
в широкой области частот. Физически это означа-
ет, что характеристики затухания неоднородных
волн, соответствующих кривым 3+ и 4−, весь-
ма близки в этой области частот. Следовательно,
наличие окружающей жидкости оказывает суще-
ственное влияние на значения фазовых скоростей
и практически не влияет на характеристики за-
тухания неоднородных волн в широкой области
частот. Отметим, что дисперсионные кривые, соо-
тветствующие комплексным корням последующих
групп, обладают аналогичными частотными зави-
симостями.
Основное отличие окруженного жидкостью по-
датливого цилиндра от случая жесткого матери-
ала состоит в появлении в области высоких ча-
стот дополнительных волн, неподверженных ра-
диационному демпфированию. Табл. 1 иллюстри-
рует характер изменения относительных фазовых
скоростей первых четырех бегущих волн с увели-
чением волнового числа. Согласно приведенным
данным, с увеличением волнового числа фазовые
скорости двух низших бегущих волн стремятся к
скорости поверхностной волны Стоунли, причем
26 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 17 – 34
Табл 1. Дисперсионные характеристики первых четырех незатухающих волн
заполненного и окруженного жидкостью цилиндра с r1 =0.3 (вода – жесткая резина – вода)
ζ γ2,1 Cp1/VS γ2,2 Cp2/VS γ2,3 Cp3/VS γ2,4 Cp4/VS
10 8.10087 0.810087 8.62287 0.862872 12.14131 1.21413 14.79550 1.47955
30 24.45436 0.815145 24.70547 0.823516 30.52169 1.01739 31.87270 1.06242
40 32.60610 0.815152 32.83497 0.820874 40.35866 1.00897 41.32621 1.03316
50 40.75973 0.815195 40.97332 0.819466 50.27212 1.00544 51.01641 1.02033
100 81.53593 0.815359 81.71410 0.817141 100.1225 1.001225 100.46058 1.00461
для первой волны – снизу, а для второй – сверху.
Скорость волны Стоунли в случае контакта упру-
гого и жидкого полупространств (пара жесткая
резина – вода) составляет C/VS = 0.815624. Про-
веденные вычисления показали, что с увеличе-
нием частоты и волнового числа некоторые нео-
днородные волны, соответствующие комплексным
ветвям, становятся незатухающими. Их фазовые
скорости для больших волновых чисел приближа-
ются сверху к скорости волны сдвига в материа-
ле цилиндра. Окруженные жидкой средой волно-
воды обладают этим свойством только в случае
податливого материала цилиндра. В правой части
табл. 1 приведены данные для первых двух таких
волн.
Рис. 2 показывает, что для заполненных и окру-
женных жидкостью цилиндров из податливых ма-
териалов характер зависимости постоянной рас-
пространения от частоты заметно отличается от
случая волноводов из жестких материалов [16].
Прежде всего, это касается первых двух чисто
действительных дисперсионных кривых с нулевой
частотой запирания, лежащих значительно ниже
прямой OC. В то же время, для жесткого цилин-
дра (r1 = 0.3) вещественные дисперсионные кри-
вые лежат лишь чуть ниже прямых χ0 = 0 и
χ2 = 0, графически совпадая с ними [16, 18]. Фа-
зовые скорости распространяющихся волн в тре-
хслойном волноводе из жесткого материала весь-
ма близки к скорости звука в жидкости (отметим,
что при контакте двух полупространств сталь –
вода C/C0 = 0.9997). В случае же податливого
материала цилиндра фазовые скорости этих волн
значительно меньше скорости звука в жидкости
(C/C0=0.32185).
Существенное отличие наблюдается также в ха-
рактеристиках неоднородных волн, соответствую-
щих комплексным корням дисперсионного урав-
нения (6). Для трехслойного волновода из жес-
ткого материала комплексные корни разделяю-
тся на три группы [16]. Первая из них – корни
с малой мнимой частью, соответствующие дей-
ствительным корням цилиндра с жидкостью (без
внешней среды). Вторая группа – корни с малой
вещественной частью, соответствующие мнимым
корням этого волновода. К третьей группе при-
надлежат корни, соответствующие комплексным
корням цилиндра с жидкостью, вещественная и
мнимая части которых имеют одинаковый поря-
док.
В случае податливого материала цилиндра все
комплексные дисперсионные кривые трехслойного
волновода принадлежат к третьей группе. Хара-
ктеристики неоднородных волн, распространяю-
щихся в противоположных направлениях, отлича-
ются в более широкой области частот, чем в случае
жесткого цилиндра. При этом различия для фа-
зовых скоростей более значительны, чем для ха-
рактеристик затухания. Напомним, что для жес-
ткого материала существенные отличия наблюда-
ются только в окрестности частот, при которых
комплексные кривые цилиндра с жидкостью вхо-
дят в действительную или мнимую плоскости.
Приведенные на рис. 2 данные соответству-
ют случаю толстостенного составного волновода.
В [28] проведена оценка влияния толщины стенки
цилиндра на поведение первых двух распростра-
няющихся волн для заполненного жидкостью ци-
линдра из податливого материала при изменении
относительного внутреннего радиуса от r1 = 0.3
до r1 = 0.95. Исследования показали, что уве-
личение r1 (уменьшение толщины цилиндра) по-
разному влияет на их характеристики. Так, фазо-
вая скорость первой распространяющейся волны
уменьшается, а второй – увеличивается. Анало-
гично воздействует увеличение r1 на первые две
распространяющиеся волны в случае заполненно-
го и окруженного жидкостью цилиндра из пода-
тливого материала. Значения относительных фа-
зовых скоростей этих волн для рассматриваемо-
го трехслойного волновода с r1 = 0.7 и 0.9 при-
ведены в табл. 2. Представленные данные пока-
зывают, что и для этого волновода увеличение
r1 оказывает сходное влияние на величины фазо-
В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова 27
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 17 – 34
вых скоростей низших распространяющихся волн.
Естественно, что предельное значение достигается
здесь при существенно больших волновых числах.
3. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ И ЭНЕРГЕТИЧЕ-
СКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАСПРОСТРА-
НЯЮЩИХСЯ ВОЛН
Данные о дисперсионных свойствах нормаль-
ных волн лишь частично раскрывают особенно-
сти волновых движений в составных волноводах с
бесконечным поперечным сечением. Дополнитель-
ные сведения можно получить на основе анали-
за кинематических и энергетических характери-
стик распространяющихся волн. Для начала рас-
смотрим первые две нормальные волны для запол-
ненного и окруженного водой цилиндра из жес-
ткой резины с r1 = 0.3 и r1 = 0.7 в области вол-
новых чисел, в которой уже сформировались по-
верхностные волны Стоунли.
Анализ энергетических характеристик волн
проведем на примере среднего за период потока
мощности в осевом направлении волновода Wz ,
состоящего из потоков мощности в жидком ядре
Wz0, упругом цилиндре Wz1 и окружающей жид-
кости Wz2, которые определяются из соотношений
Wz0 =
πγ2
2
ρ0
ρ1
(
C0
VS
)2
ζD2
0×
×
r1
∫
0
I2
0 (χ0)rdr,
Wz1 =
πγ2
2
1
∫
r1
(−σzzUz + σrzUr)rdr,
Wz2 =
πγ2
2
ρ2
ρ1
(
C2
VS
)2
ζD2
2
(
2
π
)2
×
×
∞
∫
1
K2
0(χ2)rdr.
(14)
Здесь учтено, что вещественные корни диспер-
сионного уравнения, которым соответствуют рас-
пространяющиеся волны, расположены в дозвуко-
вой области. При проведении конкретных расче-
тов постоянные Ai, Bi (i=1, 2) в выражениях для
Ur, Uz, σzz, σrz и постоянная D0 в выражении (3)
находились с точностью до константы D2, входя-
щей в формулу (4). При вычислении интеграла в
выражении Wz2 верхний предел полагался равным
2, поскольку в окружающей жидкости на интер-
вале изменения радиальной координаты от 1 до
2 компоненты вектора перемещений и тензора на-
пряжений для рассмотренных распространяющи-
хся волн становились практически равными нулю.
В табл. 3 приведены отношения потоков энер-
гии в упругой и жидких частях волноводной систе-
мы к полному потоку энергии в нормальной волне
WEi = Wzi/Wz (i = 0, 1, 2) для первых пяти рас-
пространяющихся волн. Представленные данные
позволяют провести оценку роли отдельных со-
ставляющих волновода в формировании его энер-
гетического поля. В таблице также дано отноше-
ние продольных смещений к радиальным uzr =
|Uz max|/|Ur max|.
На приведенных ниже графиках показано изме-
нение по радиусу составного волновода нормиро-
ванных амплитуд осевых и радиальных перемеще-
ний U∗
i = Ui/|Ui max| (i = r, z) для волновых чисел
ζ = 40 (штриховые кривые 1) и ζ = 100 (спло-
шные кривые 2). Значения частот и относитель-
ных фазовых скоростей, соответствующих волно-
вым числам, приведены в табл. 1 и 2. Кинематиче-
ские характеристики волновода с r1 =0.3, соответ-
ствующие первой нормальной волне, представле-
ны на рис. 3, а второй – на рис. 4. Из графиков
видно, что первой нормальной волне соответству-
ет поверхностная волна Стоунли, локализованная
вблизи внешней поверхности цилиндра, а второй –
волна Стоунли, локализованная вблизи внутрен-
ней поверхности цилиндра. Как и в случае цилин-
дра, заполненного жидкостью, волновые возмуще-
ния в окрестности поверхности контакта в равной
степени захватывают жидкую и упругую состав-
ляющие волновода [29]. Отношение продольных
перемещений к радиальным немного превышает
единицу (uzr =1.051 при ζ =100 для волны Стоун-
ли вблизи внешней поверхности цилиндра).
Анализ энергетических характеристик пер-
вой нормальной волны (первые четыре строчки
табл. 3) показывает, что практически вся энергия
волны переносится упругим цилиндром и окружа-
ющей жидкостью. Так, при ζ = 40 упругий ци-
линдр переносит WE1≈83.5 % энергии, а окружа-
ющая жидкость – WE2 ≈ 16.5 %. С увеличением
волнового числа количество энергии, переносимой
окружающей жидкостью, незначительно увеличи-
вается (до 16.7 % при ζ =100).
Во второй нормальной волне энергия перено-
сится упругим цилиндром и жидким ядром. По
сравнению с первой нормальной волной, количе-
ство энергии, переносимой цилиндром, несколько
уменьшилось: при ζ = 40 он переносит WE1 =
81.6 %, а при ζ = 100 – WE1 = 82.6 %. С ростом
волнового числа доля энергии, переносимой ци-
линдром, увеличивается, и соответственно умень-
шается энергия, переносимая жидким ядром.
28 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 17 – 34
Табл 2. Дисперсионные характеристики первых двух незатухающих волн
заполненного и окруженного жидкостью цилиндра
с r1 =0.7 и r1 =0.9 (вода –жесткая резина – вода)
r1 ζ γ2,1 Cp1/VS γ2,2 Cp2/VS
0.7 10 6.59512 0.659512 10.93799 1.093799
0.7 30 24.29068 0.80969 24.72769 0.824256
0.7 40 32.58282 0.81457 32.71608 0.81790
0.7 50 40.75826 0.815165 40.84506 0.81690
0.7 100 81.53593 0.815359 81.61620 0.81620
0.9 10 2.95715 0.295715 15.43287 1.543287
0.9 30 19.48431 0.649476 32.77581 1.092527
0.9 40 28.77072 0.719268 38.79623 0.969906
0.9 50 37.94127 0.758825 44.98492 0.899698
0.9 100 81.17846 0.811784 81.98837 0.819884
Табл 3. Относительное распределение осевой энергии по поперечному сечению
составляющих волновода вода –жесткая резина – вода для незатухающих волн
r1 ζ γ2 Cp/VS WE0 WE1 WE2 uzr
0.3 30 24.45436 0.815145 0.1 · 10−6 0.8366 0.1634 1.018
0.3 40 32.60610 0.815152 0.76 · 10−10 0.8354 0.1646 1.028
0.3 50 40.75973 0.815195 0.4 · 10−13 0.8347 0.1653 1.042
0.3 100 81.53593 0.815359 0.76 · 10−30 0.8333 0.1667 1.051
0.3 30 24.70547 0.823516 0.1908 0.8092 0.2 · 10−6 1.126
0.3 40 32.83497 0.820874 0.1843 0.8157 0.1 · 10−9 1.107
0.3 50 40.97332 0.819466 0.1807 0.8193 0.6 · 10−13 1.096
0.3 100 81.71410 0.817141 0.1741 0.8259 0.8 · 10−30 1.076
0.7 30 24.29068 0.80969 0.064 0.8444 0.0913 1.018
0.7 40 32.58282 0.814570 0.0303 0.8367 0.1331 1.028
0.7 50 40.75826 0.815165 0.003 0.8348 0.1622 1.042
0.7 100 81.53593 0.815359 0.4 · 10−9 0.8333 0.1667 1.051
0.7 30 24.72769 0.824256 0.1163 0.8104 0.073 1.079
0.7 40 32.71608 0.817902 0.1453 0.8239 0.0309 1.075
0.7 50 40.84506 0.816901 0.1704 0.8266 0.003 1.073
0.7 100 81.61620 0.816162 0.1707 0.8293 0.4 · 10−9 1.065
0.3 100 100.1225 1.00123 0.36 · 10−4 0.9999 0.38 · 10−4 0.071
0.3 100 100.46056 1.00461 0.15 · 10−3 0.9997 0.14 · 10−3 0.125
0.3 100 101.01822 1.01018 0.33 · 10−3 0.9994 0.32 · 10−3 0.179
Кинематические характеристики волновода с
r1 = 0.7 представлены на рис. 5 (для первой нор-
мальной волны) и на рис. 6 (для второй нор-
мальной волны). Видно, что уменьшение толщи-
ны стенки цилиндра (увеличение r1) существен-
но отразилось на кинематических характеристи-
ках нормальных волн. Так, при ζ = 40 наблю-
дается локализация волновых движений в окре-
стности обеих поверхностей цилиндра. Однако для
первой нормальной волны амплитуда перемеще-
ний на внутренней поверхности цилиндра заметно
меньше, чем на внешней. В то же время, для вто-
рой нормальной волны амплитуда перемещений на
внешней поверхности меньше, чем на внутренней.
Естественно, что при этом происходит и пере-
распределение потоков энергии волн между со-
В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова 29
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 17 – 34
r
0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3
Ur
*
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
2
r
0.8 0.9 1 1.1 1.2
Uz
*
-0.5
0
0.5
1
1
2
а б
Рис. 3. Распределение по радиусу нормированных амплитуд смещений
для первой нормальной волны составного волновода с r1=0.3:
1 – ζ=40, 2 – ζ =100
r
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Ur
*
-1
-0.5
0
0.5
1
2
r
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Uz
*
-1
-0.5
0
0.5
1
2
а б
Рис. 4. Распределение по радиусу нормированных амплитуд смещений
для второй нормальной волны составного волновода с r1=0.3:
1 – ζ=40, 2 – ζ =100
ставляющими волновода. Если сравнивать с тол-
стостенным волноводом (r1 = 0.3), для первой
нормальной волны доля энергии, переносимой
окружающей жидкостью, уменьшилась с 16.5 до
13.3 %. При этом увеличилось количество энер-
гии, переносимой упругим цилиндром и жидким
ядром. Для второй нормальной волны наблюдает-
ся аналогичная ситуация: доля энергии, переноси-
мой жидким ядром, уменьшилась с 18.4 до 14.5 %,
а энергия, переносимая окружающей жидкостью и
упругим цилиндром, заметно возросла.
С ростом волнового числа кинематические и
энергетические характеристики волноводов с r1 =
0.3 и r1 = 0.7 сближаются и при ζ = 100 практи-
чески совпадают. Заметим, что при уменьшении
толщины цилиндра отношение осевых перемеще-
ний к радиальным для обеих волн практически не
изменилось.
Проведем анализ особенностей распространяю-
щихся волн, фазовая скорость которых с увеличе-
нием волнового числа стремится к скорости волны
сдвига материала цилиндра. Кинематические ха-
рактеристики первых двух таких волн для цилин-
дра с r1 = 0.3 при ζ = 100 показаны на рис. 7 (см.
также табл. 1). Сплошные кривые соответствует
первой, а штриховая – второй волне. Представ-
30 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 17 – 34
r
0.6 0.8 1 1.2
Ur
*
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
2 r
0.6 0.8 1 1.2
Uz
*
-0.5
0
0.5
1
1
2
а б
Рис. 5. Распределение по радиусу нормированных амплитуд смещений
для первой нормальной волны составного волновода с r1 =0.7:
1 – ζ =40, 2 – ζ=100
r
0.6 0.8 1 1.2
Ur
*
-1
-0.5
0
0.5
1
2
r
0.6 0.8 1 1.2
Uz
*
-1
-0.5
0
0.5
1
2
а б
Рис. 6. Распределение по радиусу нормированных амплитуд смещений
для второй нормальной волны составного волновода с r1 =0.7:
1 – ζ =40, 2 – ζ=100
ленные результаты указывают на то, что волновое
возмущение сосредоточено в упругом цилиндре. В
жидкости (как внутренней, так и внешней) возму-
щения сосредоточены вблизи поверхностей цилин-
дра в весьма узких областях.
В табл. 4 приведены значения нормированных
амплитуд радиальных и осевых перемещений в
окрестности внутренней и внешней поверхностей
цилиндра для первой из этих волн (ζ = 100 и
γ2 = 100.12254). Данные, отображенные в табли-
це, подтверждают, что волновое возмущение со-
средоточено в упругом цилиндре. Амплитуды ра-
диальных возмущений на поверхностях цилиндра
малы, а максимального значения они достигают
при r=0.62. Осевые перемещения принимают ма-
ксимальные значения во внутренней жидкости на
поверхности контакта с цилиндром. В упругом ци-
линдре их амплитуды являются большими так-
же вблизи внутренней поверхности: U∗
z max =−0.89
при r=0.35.
Отношение продольных перемещений к ради-
альным для этой волны равно uzr =0.071. Следо-
вательно, для нее радиальные перемещения пре-
валируют. Анализ энергетических характеристик
рассмотренных распространяющихся волн (см.
17 – 19-ую строки табл. 3) показывает, что почти
В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова 31
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 17 – 34
r
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Ur
*
-1
-0.5
0
0.5
1
1
2
r
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Uz
*
-1
-0.5
0
0.5
1
а б
Рис. 7. Распределение по радиусу нормированных амплитуд смещений для нормальных волн
составного волновода с r1 =0.3, фазовая скорость которых близка скорости волны сдвига (ζ =100):
1 – третья нормальная волна, 2 – четвертая нормальная волна
Табл 4. Распределение кинематических характеристик незатухающих волн
высоких порядков вблизи поверхностей контакта жидкости и упругого
цилиндра для волновода вода – жесткая резина –вода
внутренняя стенка цилиндра
r 0.27 0.28 0.29 0.3 0.3 0.31 0.32 0.33
U∗
z 0.067 0.165 0.406 1.0 0.058 −0.529 −0.761 −0.850
U∗
r 0.004 0.011 0.026 0.064 0.064 0.035 −0.015 −0.073
внешняя стенка цилиндра
r 0.97 0.98 0.99 1.0 1.0 1.01 1.02 1.03
U∗
z 0.509 0.454 0.317 −0.024 0.561 0.223 0.089 0.035
U∗
r −0.045 −0.009 0.021 0.037 0.037 0.015 0.006 0.002
всю энергию здесь переносит упругий цилиндр.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотрены свойства волн в упругих цилин-
дрических волноводах, окруженных акустической
средой. Учет излучения в окружающую среду по-
рождает специальный механизм затухания волн,
называемый радиационным излучением. Этот ме-
ханизм проявляется по-разному для жестких и по-
датливых материалов. В данной работе установ-
лены особенности волновых движений в окружен-
ных жидкостью составных упруго-жидкостных
волноводах для случая податливого материала ци-
линдра. Числовые результаты получены для сис-
темы, в которой внутри и снаружи цилиндра на-
ходится одна и та же жидкость.
Уменьшение жесткости упругой составляющей
волновода по сравнению со случаем жесткого ма-
териала вызывает качественные изменения дис-
персионных, кинематических и энергетических ха-
рактеристик нормальных волн. Основной причи-
ной этого является существенная разница в отно-
сительных величинах фазовых скоростей волн
Стоунли для рассматриваемых пар контактирую-
щих сред. Напомним, что при контакте жесткого
полупространства с жидкостью фазовая скорость
волны Стоунли лишь ненамного ниже скорости
звука в жидкости, а в случае податливого упру-
гого материала – значительно меньше нее.
Если заполняющая и окружающая цилиндр
жидкости одинаковы, то в составном упруго-
жидкостном волноводе всегда будут существовать
две нормальных волны, неподверженных радиаци-
онному демпфированию. С увеличением волново-
го числа их фазовые скорости в пределе стремя-
тся к скорости волны Стоунли: для первой вол-
ны – снизу, а для второй – сверху. При этом пер-
32 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 17 – 34
вой незатухающей волне соответствует поверхно-
стная волна вблизи внешней поверхности цилин-
дра, а второй – вблизи внутренней поверхности.
Специфика волнового поля трехслойного волно-
вода с цилиндром из податливого материала со-
стоит в появлении с ростом частоты (волнового
числа) неподверженных радиационному демпфи-
рованию волн высших порядков, фазовые скоро-
сти которых стремятся к скорости волны сдвига
в материале цилиндра. Анализ кинематических и
энергетических характеристик этих бегущих волн
показал, что для них волновое движение практи-
чески полностью сосредоточено в упругом цилин-
дре.
Все остальные волны рассмотренного волново-
да являются неоднородными и соответствуют ком-
плексным корням комплексного трансцендентного
дисперсионного уравнения. Комплексные диспер-
сионные кривые начинаются на плоскости γ2 = 0
в окрестности тех же значений волновых чисел,
что и для заполненного жидкостью цилиндра при
отсутствии окружающей среды. Это обстоятель-
ство чрезвычайно важно для организации эффе-
ктивного процесса нахождения значений компле-
ксных корней.
В широкой области частот окружающая жид-
кость оказывает существенное влияние на значе-
ния фазовых скоростей и слабо влияет на характе-
ристики затухания неоднородных волн, распро-
страняющихся в противоположных направлениях.
При отсутствии окружающей жидкости фазовые
скорости и характеристики затухания неодноро-
дных волн, распространяющихся в заполненном
жидкостью цилиндре в противоположных направ-
лениях, совпадают.
1. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах.– М.:
Наука, 1973.– 343 с.
2. Ewing W. E., Jardezky W. S., Press F. Elastic waves
in layered media.– New York: McGraw-Hill, 1957.–
380 p.
3. Шульга Н. А. Основы механики слоистых сред пе-
риодической структуры.– К.: Наук. думка, 1981.–
200 с.
4. Thurston R. N. Elastic waves in rods and clad rods //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1978.– 64, N 1.– P. 1–37.
5. Simmons J. A., Drescher-Krasicka E.,
Wadlley H. N. G. Leaky axisymmetric modes
in infinite clad rods. I // J. Acoust. Soc. Amer.–
1992.– 92, N 2, Pt. 1.– P. 1061–1090.
6. Drescher-Krasicka E., Simmons J. A. Leaky axi-
symmetric modes in infinite clad rods. II. //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1992.– 92, N 2, Pt. 1.–
P. 1091–1105.
7. Liu Y., Viens M., Cheeke D. Behavior of extensional
wave in a thin rod immersed in a viscous medium //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1996.– 99, N 2, Pt. 1.– P. 706–
716.
8. Dayal V. Longitudinal waves in homogenous ani-
sotropic cylindrical bars immersed in fluid //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1993.– 93, N 3.– P. 1249–
1255.
9. Nagy P. B. Longitudinal guided wave in a
transversely isotropic rod immersed in fluid //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1995.– 98, N 1.– P. 454–457.
10. Ahmad F. Guided waves in a transversely isotropic
cylinder immersed in a fluid // J. Acoust. Soc.
Amer.– 2001.– 109, N 3.– P. 886–890.
11. Гринченко В. Т., Комиссарова Г. Л. Дисперси-
онные характеристики нормальных волн в систе-
ме упругий цилиндр – окружающая жидкость //
Прикл. мех.– 1994.– 30, N 2.– С. 11–16.
12. Bargiotti G. V., Rosen E. M. Power flow analysis
surface waves on a cylindrical elastic shell in an
acoustic fluid // J. Acoust. Soc. Amer.– 1994.– 95,
N 1.– P. 244–255.
13. Bao X. L., Raju P. K., Überal H. Circumferential
waves on a immersed, fluid-filled elastic cylindrical
shell // J. Acoust. Soc. Amer.– 1999.– 105, N 5.–
P. 2704–2709.
14. Sinha B. K., Plona T. P., Kostek S., Chang S. K. Axi-
symmetric wave propagation in fluid-loaded plates
and shells. I: Theory // J. Acoust. Soc. Amer.– 1992.–
92, N 2, Pt. 1.– P. 1132–1143.
15. Plona T. P., Sinha B. K., Kostek S., Chang S. K. Axi-
symmetric wave propagation in fluid-loaded plates
and shells. II: Theory versus experiment // J. Acoust.
Soc. Amer.– 1992.– 92, N 2, Pt. 1.– P. 1144–1155.
16. Гринченко В. Т., Комиссарова Г. Л. Осесимметри-
чные волны в упругом полом цилиндре, заполнен-
ном и окруженном жидкостью // Прикл. мех.–
1994.– 30, N 9.– С. 15–23.
17. Гринченко В. Т., Комиссарова Г. Л. Излучение то-
чечного источника внутри упругого полого цилин-
дра, помещенного в акустическую среду. Свойства
нормальных волн и направленность излучения //
Прикл. мех.– 1998.– 34, N 5.– С. 15–23.
18. Комиссарова Г. Л. Обобщенные волны Стоунли в
составном упруго-жидкостном волноводе // Доп.
НАН України. Сер. А.– 1997.– N 9.– С. 67–74.
19. Berliner M. J., Solecki R. Wave propagation in
fluid-loaded, transversely isotropic cylinders. Part I.
Analytical formulation // J. Acoust. Soc. Amer.–
1996.– 99, N 4, Pt. 1.– P. 1841–1847.
20. Berliner M. J., Solecki R. Wave propagation in
fluid-loaded, transversely isotropic cylinders. Part II.
Numerical results // J. Acoust. Soc. Amer.– 1996.–
99, N 4, Pt. 1.– P. 1848–1853.
21. Sessarego J. P., Sageloli J., Garanhes C., Überall H.
Two Scholte – Stoneley waves on doubly fluid-loaded
plates and shells // J. Acoust. Soc. Amer.– 1996.–
100, N 1.– P. 135–142.
22. Aristegui C., Lowe M. J. S., Cawley P. Guided waves
in fluid-filled pipes surrounded by different fluids //
Ultrasonics.– 2001.– 39.– P. 367–375.
В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова 33
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 17 – 34
23. Chati F., Leon F., Maze G. Acoustic scattering by a
metallic tube with a concentric solid polimer cylinder
coupled by a thin water layer. Influence of the thi-
ckness of the water layer on the two Scholte –Stoneley
waves // J. Acoust. Soc. Amer.– 2005.– 118, N 5.–
P. 2820–2829.
24. Гринченко В. Т., Комиссарова Г. Л. Распростра-
нение волн в полом упругом цилиндре с жидко-
стью // Прикл. мех.– 1984.– 20, N 8.– С. 21–26.
25. Комиссарова Г. Л. К решению задачи о рас-
пространении волн в цилиндре с жидкостью //
Прикл. мех.– 1990.– 26, N 8.– С. 25–29.
26. Гринченко В. Т., Комиссарова Г. Л. Свойства нор-
мальных волн в упруго-жидкостных цилиндриче-
ских волноводах // Акуст. вiсн.– 2000.– 3, N 3.–
С. 44–55.
27. Комиссарова Г. Л. Распространение нормальных
волн в заполненных жидкостью тонкостенных ци-
линдрах // Прикл. мех.– 2002.– 38, N 1.– С. 124–
134.
28. Гринченко В. Т., Комиссарова Г. Л. Особенно-
сти распространения волн в заполненных жид-
костью цилиндрах с податливыми стенками //
Акуст. вiсн.– 2001.– 4, N 3.– С. 22–33.
29. Гринченко В. Т., Комиссарова Г. Л. Свойства ло-
кализованных вблизи границ волновых движений
в заполненном жидкостью цилиндре // Акуст.
вiсн.– 2006.– 9, N 2.– С. 37–55.
30. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические
колебания и волны в упругих телах.– К.: Наук.
думка, 1981.– 283 с.
34 В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1005 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T02:11:01Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гринченко, В.Т. Комиссарова, Г.Л. 2008-07-09T14:46:56Z 2008-07-09T14:46:56Z 2006 Свойства нормальных волн композитного упруго-жидкостного волновода, помещенного в жидкость / В. Т. Гринченко, Г. Л. Комиссарова // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 4. — С. 17-34. — Бібліогр.: 30 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1005 534.1:534.232 Изучены особенности осесимметричных волновых движений в заполненном и окруженном жидкостью упругом цилиндре. Излучение в окружающую среду порождает специальный механизм затухания волн - радиационное демпфирование. Предложена методика определения вещественных и комплексных корней дисперсионного уравнения для волноводов данного типа. Представлены результаты анализа различий кинематических и энергетических характеристик нормальных волн для случаев жесткого и податливого материалов упругого цилиндра. Показано влияние радиационного демпфирования на характеристики неоднородных волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Рассмотрены свойства незатухающих поверхностных волн (типа волны Стоунли), существующих при произвольных значениях частоты, а также любых соотношениях физических характеристик материала цилиндра и жидкости. Важнейшей особенностью волновода с податливым цилиндром является наличие в высокочастотной области системы неподверженных радиационному демпфированию нормальных волн, фазовые скорости которых стремятся к скорости волны сдвига в материале цилиндра. Вивчені особливості осесиметричних хвильових рухів у заповненому та оточеному рідиною пружному циліндрі. Випромінювання в оточуюче середовище породжує спеціальний механізм затухання хвиль - радіаційне демпфірування. Запропоновано методику визначення дійсних і комплексних коренів дисперсійного рівняння для таких хвилеводів. Представлені результати аналізу відмінностей кінетичних і енергетичних характеристик нормальних хвиль для випадків жорсткого та піддатливого матеріалів пружного циліндра. Показаний вплив радіаційного демпфірування на характеристики неоднорідних хвиль, які розповсюджуються у протилежних напрямках. Розглянуті властивості незатухаючих поверхневих хвиль (типу хвиль Стоунлі), які існують при довільних значеннях частот та будь-яких співвідношеннях фізичних характеристик матеріалу циліндра й рідини. Важливою особливістю хвилевода у випадку піддатливого циліндра є існування у високочастотній області системи нормальних хвиль, які не зазнають впливу радіаційного демпфірування. Їхні фазові швидкості прямують до швидкості хвилі зсуву в матеріалі циліндра. The paper deals with studying the peculiarities of axisymmetric wave motions in a fluid-filled elastic cylinder surrounded with a fluid environment. Radiation to the environment establishes the special wave attenuation mechanism: a radiation damping. The technique is proposed for determining the real and complex roots of the dispersion equation for the considered waveguide type. The differences of the kinematic and energy characteristics of the normal waves for the cases of the stiff and compliant cylinders are analyzed and discussed. The effect of the radiation damping on the characteristics of evanescent waves propagating in opposite directions. The study considers the properties of non-attenuating surface waves (of the Stoneley wave type) that exist at arbitrary frequency values and any ratios of the cylinder material and fluid physical properties. The principal feature of the waveguide with the compliant cylinder is the existence in the high-frequency range of the system of normal waves not subjected to the radiation damping, which phase velocities tend to shear wave velocity in the cylinder material. ru Інститут гідромеханіки НАН України Свойства нормальных волн композитного упруго-жидкостного волновода, помещенного в жидкость Properties of normal waves of a composite elastic-fluid waveguide placed to a fluid Article published earlier |
| spellingShingle | Свойства нормальных волн композитного упруго-жидкостного волновода, помещенного в жидкость Гринченко, В.Т. Комиссарова, Г.Л. |
| title | Свойства нормальных волн композитного упруго-жидкостного волновода, помещенного в жидкость |
| title_alt | Properties of normal waves of a composite elastic-fluid waveguide placed to a fluid |
| title_full | Свойства нормальных волн композитного упруго-жидкостного волновода, помещенного в жидкость |
| title_fullStr | Свойства нормальных волн композитного упруго-жидкостного волновода, помещенного в жидкость |
| title_full_unstemmed | Свойства нормальных волн композитного упруго-жидкостного волновода, помещенного в жидкость |
| title_short | Свойства нормальных волн композитного упруго-жидкостного волновода, помещенного в жидкость |
| title_sort | свойства нормальных волн композитного упруго-жидкостного волновода, помещенного в жидкость |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1005 |
| work_keys_str_mv | AT grinčenkovt svoistvanormalʹnyhvolnkompozitnogouprugožidkostnogovolnovodapomeŝennogovžidkostʹ AT komissarovagl svoistvanormalʹnyhvolnkompozitnogouprugožidkostnogovolnovodapomeŝennogovžidkostʹ AT grinčenkovt propertiesofnormalwavesofacompositeelasticfluidwaveguideplacedtoafluid AT komissarovagl propertiesofnormalwavesofacompositeelasticfluidwaveguideplacedtoafluid |