Неосесимметричные волны в полых слоистых цилиндрах с пьезокерамическими слоями, поляризованными в осевом направлении
Дано розв’язок задачі про поширення неосесиметричних хвиль у шаруватих порожнистих п’єзокерамічних циліндрах з шарами, поляризованими в осьовому напрямі. Запропоновано ефективний чисельно-аналітичний метод. Початкова тривимірна задача теорії електропружності в частинних похідних у випадку представле...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2014
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100604 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Неосесимметричные волны в полых слоистых цилиндрах с пьезокерамическими слоями, поляризованными в осевом направлении / А.Я. Григоренко, И.А. Лоза // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 51-59. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859466762738728960 |
|---|---|
| author | Григоренко, А.Я. Лоза, И.А. |
| author_facet | Григоренко, А.Я. Лоза, И.А. |
| citation_txt | Неосесимметричные волны в полых слоистых цилиндрах с пьезокерамическими слоями, поляризованными в осевом направлении / А.Я. Григоренко, И.А. Лоза // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 51-59. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | Дано розв’язок задачі про поширення неосесиметричних хвиль у шаруватих порожнистих п’єзокерамічних циліндрах з шарами, поляризованими в осьовому напрямі. Запропоновано ефективний чисельно-аналітичний метод. Початкова тривимірна задача теорії електропружності в частинних похідних у випадку представлення компонентів тензора пружності, компонент векторів переміщень, електричної індукції та електростатичного потенціалу комбінацією стоячих хвиль в коловому напрямі та бігучих хвиль в осьовому напрямі зведена до крайової задачі на власні значення у звичайних диференціальних рівняннях. Отриману задачу розв’язано стійким методом дискретної ортогоналізації у поєднанні з методом покрокового пошуку. Наведено результати чисельного аналізу дисперсійних відношень в широкому діапазоні зміни геометричних характеристик шаруватих циліндрів з п’єзокерамічними шарами.
A problem on propagation of non-axisymmetric waves in layered hollow piezoceramic cylinders is considered for the layers polarizes in the axial direction. To solve this problem, the effective numerical-analytical method is used. The initial three-dimensional problem of the theory of electroelasticity, which is described by partial differential equations, is reduced to the boundary value problem for ordinary differential equations. This is made by representation of components of elasticity tensor, vectors of displacements, electric induction and electrostatic potential by the combination of standing waves in the circumferential direction and running waves in the axial direction. The last problem is solved by the stable method of discrete orthogonalization combined with the method of incremental search. The results of numerical analysis of dispersion relations are shown for the wide range of changing the geometrical characteristics of layered cylinders with piezoceramic layers.
|
| first_indexed | 2025-11-24T06:03:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
2014 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 50, № 2
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2014, 50, № 2 51
А .Я . Г р и г о р е н к о ¹ , И .А .Л о з а ²
НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ВОЛНЫ В ПОЛЫХ СЛОИСТЫХ ЦИЛИНДРАХ
С ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИМИ СЛОЯМИ, ПОЛЯРИЗОВАННЫМИ
В ОСЕВОМ НАПРАВЛЕНИИ
¹Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: ayagrigorenko@yandex.ru.
²Национальный транспортный университет, ул. Суворова, 1, 01010, Киев, Украина;
e-mail: dukeigor@mail.ru
Abstract. A problem on propagation of non-axisymmetric waves in layered hollow pie-
zoceramic cylinders is considered for the layers polarizes in the axial direction. To solve this
problem, the effective numerical-analytical method is used. The initial three-dimensional
problem of the theory of electroelasticity, which is described by partial differential equa-
tions, is reduced to the boundary value problem for ordinary differential equations. This is
made by representation of components of elasticity tensor, vectors of displacements, electric
induction and electrostatic potential by the combination of standing waves in the circumfer-
ential direction and running waves in the axial direction. The last problem is solved by the
stable method of discrete orthogonalization combined with the method of incremental
search. The results of numerical analysis of dispersion relations are shown for the wide
range of changing the geometrical characteristics of layered cylinders with piezoceramic
layers.
Key words: hollow multilayered piezoceramic cylinder, three-dimensional problem of
the theory of electroelasticity, running waves.
Введение.
Пьезокерамические волноводы в виде кругового цилиндра широко распространены
в акустоэлектронике. Поэтому исследованию волновых процессов, происходящих в
пьезокерамических телах цилиндрической формы и распространению акустоэлектри-
ческих волн в однородных цилиндрических волноводах, посвящено значительное ко-
личество работ. Осесимметричная задача для сплошного и полого волноводов иссле-
дована в работах [1, 3, 16], а неосесимметричная задача – в работах [6, 17].
Для слоистых цилиндров, кроме удовлетворения решений на ограничивающих
тело поверхностях, необходимо также удовлетворять условиям сопряжения, что при-
водит к повышению порядка систем уравнений. В работах [4, 5, 7, 9, 12 15, 18] про-
ведено исследование волновых процессов в неоднородных структурах. Для решения
этой задачи в работе [4] использован метод, основанный на разложении искомых
функций в степенные ряды. Однако сложности в его реализации не позволили полу-
чить подробную количественную информацию. Для решения рассматриваемой задачи
предложен эффективный численно-аналитический подход, с успехом применявшийся
для решения аналогичных задач для упругих тел [2, 8, 10 11].
§1. Постановка задачи. Основные уравнения.
Представим полную система уравнений, описывающую данную задачу. Уравне-
ния неосесимметричных движений i го слоя в цилиндрической системе координат
( , , )r z имеют такой вид:
52
2
2
1
;
i i ii i i
rr rrr rz ru
r r r z t
2
2
2 1
;
i i i i i
r r z u
r r r z t
2
2
1
;
ii i i i
zrz rz zz zu
r r r z t
(1)
уравнения электростатики для i -го слоя:
1
0;
ii i i
r r zDD D D
r r r z
1
; ; ;
i i i
i i i
r zE E E
r r z
(2)
соотношения Коши для i -го слоя:
;
i
i r
rr
u
r
1
;
i i
i ru u
r r
;
i
i z
zz
z
u
u
1
2 ;
i ii
i r
r
u uu
r r r
2 ;
i i
i z r
rz
u u
r z
1
2 ,
i i
i z
z
u u
z r
(3)
где i
jk
компоненты тензора напряжений; i плотность материала; i
ju
компоненты
вектора перемещений; i
jD компоненты вектора электрической индукции; i
jE ком-
поненты вектора напряженности электрического поля; i электростатический по-
тенциал; i
jk компоненты тензора деформаций.
Материальные соотношения для i -го слоя пьезокерамического слоя, поляризо-
ванного в осевом направлении, принимаем в виде
11 12 13 13 12 11 13 13; ;i i i i i i i i i i i i i i i i i i
rr rr zz z rr zz zc c c e E c c c e E
13 13 33 33 55 15 55 15; 2 ; 2 ;i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
zz rr zz z z z rz rz rc c c e E c e E c e E
66 13 13 33 332 ; ;i i i i i i i i i i i i
r r z rr zz zc D e e e E (4)
15 11 15 112 ; 2 ,i i i i i i i i i i
r rz r z zD e E D e E
где i
jkc компоненты тензора модулей упругости; i
jke компоненты тензора пьезо-
модулей; i
jk компоненты тензора диэлектрической проницаемости материала.
Материальные соотношения для i -го слоя изотропного слоя
(1 )
;
(1 )(1 2 ) (1 )(1 2 ) (1 )(1 2 )
(1 )
;
(1 )(1 2 ) (1 )(1 2 ) (1 )(1 2 )
(1
(1 )(1 2 ) (1 )(1 2 )
i i i i i i
i i i i
rr rr zzi i i i i i
i i i i i i
i i
rr zzi i i i i i
i i i i
i i
zz rri i i i
E E E
E E E
E E
)
;
(1 )(1 2 )
2 ; 2 ; 2 .
2(1 ) 2(1 ) 2(1 )
i i
i
zzi i
i i i
i i i i i i
r r rz rz z zi i i
E
E E E
(5)
Граничные условия на боковых поверхностях цилиндра (при 0r R h ):
53
поверхности свободны от внешних усилий: ( 0)i i i
rr r rz и покрыты электро-
дами, которые закорочены: 0 . На поверхностях контакта ir r имеют место ус-
ловия совместной работы i -го и ( 1)i -го слоев без скольжения и отрыва и непре-
рывности электрического поля
1 1 1 1; ; ; ;i i i i i i i i
rr rr r r rz rz
1 1 1 1; ; ; .i i i i i i i i
r r z z r ru u u u u u D D
(6)
В дальнейшем верхний индекс i будем опускать. Выбираем в качестве основных
неизвестных функции, через которые формулируются условия контакта смежных
слоев и условия на ограничивающих тело поверхностях. Разрешающая система урав-
нений для данного класса задач принимает следующий вид:
512
11 11
1 1
1 rrr rz
rr
c
r r c r z rc z
2
4 4 1
662 2 2
11 11 11
1
;z
r
u u
u c
r c t r c rc z
2
512 4
15 2
11 11 11
2 1r rr r
r
c u
e
r rc r c r z r c
2 2 2 2
4 1
55 552 2 2 2
11 11
1
;zu
c u c
r c z t c r z
22 2
13 3 15 1 1
552 2 2
11 11 11 11
2 2 2
55 6 15 55 1511
2 2 2 2
11
1 1
; ; ;
rz rr r
rz
z r
z rz r rz r
c e uu
c
r c z r c z r rc z c r z
c e c eu u
u D D
r c z t r r z
(7)
13 1312 12
11 11 11 11 11
1
;r z
rr r
e u cu c c u
u
r c c z rc rc c z
66
1 1 1
;r
r
u u
u
r c r r
2 2 2 2
13 6 7 5 3 15 711
2 2 2 2 2 2
11 11 55 11 11 55
2
5 1511
15
11
1
1
;
r rr r
z
z r
r rz r
e eD u
u
r c z r c z c c r z c z r c
u eu u
e D D
c z r r z
2 2
55 11 15 1 13 11 12 2 13 33 11 33; ; ;c e c c c c c c 3 13 13 11 33c e c e ;
2 2
4 11 12c c ; 5 13 11 12e c c ; 2
6 13 33 13 .c e
§2. Методика решения задачи.
Для решения данной задачи используем численно-аналитический подход. Пред-
ставим компоненты тензоров напряжения и векторов смещения, электрической ин-
дукции и электростатического потенциала в виде стоячих волн в окружном направле-
нии и бегущих волн в осевом направлении. В результате исходная трехмерная задача
54
теории электроупругости, описываемая уравнениями в частных производных, сводит-
ся к краевой задаче на собственные значения в обыкновенных дифференциальных
уравнениях. Полученную задачу решаем с использованием устойчивого численного
метода дискретной ортогонализации в сочетании с методом пошагового поиска.
Используя метод разделения переменных, а также замкнутость цилиндрического
тела в направлении окружной координаты, разрешающие функции представим в виде
стоячих волн в окружном направлении и бегущих в осевом направлении:
( , , , ) ( )sin sin( ); ( , , , ) ( ) cos sin( );rr rr r rr z t r m kz t r z t r m kz t
0( , , , ) ( )sin cos( ); ( , , , ) ( )sin cos( );rz rzr z t r m kz t r z t h r m kz t
1 2( , , , ) ( )sin sin( ); ( , , , ) ( ) cos sin( );ru r z t hu r m kz t u r z t hu r m kz t (8)
3( , , , ) ( )sin cos( ); ( , , , ) ( )sin cos( ).z r ru r z t hu r m kz t D r z t D r m kz t
Используя разложение (8), систему (7), граничные и смежные условия, получаем
краевую задачу на собственные значения для системы обыкновенных дифференци-
альных уравнений
( , ) ;
d
A x
dr
R
R ( 1) 0;B (1) 0;B , , , , , , , ;rr r rz r z ru u u D R (9)
lmA a ( , 1, 2, ... , 8).l m
Для ненулевых элементов матрицы A имеем формулы
2
2 2512 4 4
11 12 13 14 15 16
11 11 11 11
1 ; ; ; ; ; ;
kxc x
a x a mx a k a a a mx
c c c c
2
51 12 4
17 21 22 24 15 25
11 11 11 11
; ; 2 ; ; ;
kx mxc mx
a a a x a e mkx a
c c c c
2 2
2 2 5 134
26 55 27 55 31 33
11 11 11
; ; ; ;
kcm x
a k c a mkx c a a x
c c c
2 2 2 3 1 1
34 15 35 36 55
11 11 11
; ; ;
kx
a m x e k a a mkx c
c c c
2
2 2 2 15 552 12
37 55 41 48 51 55
11 11 11
1
; ; ; ; ;
e ck xc
a m x c a a a a
c c c
13 1512 11
56 57 62 65 66 73 75 78
11 11 66
1
; ; ; ; ; ; ; ;
kc emxc
a a a a mx a x a a k a
c c c
2
2 213 6 5
81 84 11 85
11 11 11
; ; ;
ke k kx
a a m x a
c c c
2
2 25 3
86 15 87 15 88
11 11
; ;
k
a e mkx a m x e a x
c c
0 0; ; ; ;ij ij ij ij ij ijh c c e e
0 0( ) ; ; (1 );x r R h h R x x
55
h половина толщины цилиндра; плотность материала цилиндра; 0R радиус
срединной поверхности; 0 диэлектрическая проницаемость вакуума; 10 210 H м .
Граничные условия представим в виде: 1 2( 1) 0, (1) 0,B B R R
где матрицы 1B и 2B имеют такой вид:
1 2
1 0 0 0
0 1 0 0
.
0 0 1 0
0 0 0 1
B B
§3. Числовые результаты и их анализ.
Ниже представим результаты численного анализа. На рис. 1 показана зависимость
первых шести частот от безразмерного волнового числа kh (при этом значение
1m , 0,25 ). Цилиндр состоит из трех слоев. Толщины внешних слоев равны 2h ;
толщина внутреннего слоя равна h . Внешний и внутренний слои стальные со сле-
дующими характеристиками: 10 221 10 H м ;E 0,28; 3 2
м 7,85 10 кг м .
Внутренний слой пьезокерамика PZT 4 имеет характеристики:
10 2 10 2 10 2 10 2
11 12 13 3313,9 10 H м ; 7,43 10 H м ; 7,78 10 H м ; 11,5 10 H м ;c c c c
10 2 2 2
55 13 152,56 10 H м ; 5,2 K м ; 12,7 K м ;c e e
2 3 2
33 11 0 33 015,1K м ; 730; 635; 7,5 10 кг м .пe
Здесь для кривых введены обозначения, принятые в работе [7]. При 0 и 0k
приходим к задаче о колебаниях плоского слоя. Так, для однослойного цилиндра из
металла имеем следующие формулы для частот:
1
( ) 0; 2,905; 5,81; ... ; 0,1, 2 ... ;
2 1 1 2 м
E
U n n n
( ) ( ) 0;1,606; 3,211; ... ; 0,1, 2 ... ;
2 2(1 ) м
E
V n W n n n
Для однослойного цилиндра из пьезокерамики PZT 4:
11( ) 0; 2,138; 4,277; ... ; 0, 1, 2 ... ;
2 пU n n c n
(2 1) 0,925;2,859; ... ;W n
2
55 15 11(2 ) ( ) 0;1,913; 3,826; ... ; 0,1, 2 ... ;пW n n c e n
66( ) 0;1,003; 2,007; ... ; 0,1, 2 ... .
2 пV n n c n
Поскольку частота слоистого цилиндра ограничена сверху соответствующей час-
тотой для сплошного металлического цилиндра, а снизу частотой для сплошного
пьезокерамического цилиндра, для слоистого цилиндра будем использовать анало-
гичные обозначения.
Ниже числовые результаты представлены в виде графиков и таблиц. На рис. 1
сплошными линиями показаны ветви дисперсионных соотношений для слоистого
цилиндра, пунктирными – для однородного цилиндра такой же геометрии из пьезоке-
рамики PZT 4. Из приведенного рисунка видно, что влияние наличия металлических
слоев приводит к «ужесточению» материала, т. е. к повышению значений собствен-
ных частот.
56
0,2 0,4 0,6
0
1
2
V ( 0 )W ( 0 )
U ( 0 )
V ( 1 )
W ( 1 )
V ( 2 )
0,2 0,4 0,6
0
1
2
3
V ( 0 )
W ( 0 )
U ( 0 )
V ( 1 ) W ( 1 )
V ( 2 )
Рис. 1 Рис. 2
На рис. 2 представлена зависимость первых шести частот от безразмерного вол-
нового числа kh . Сплошными линиями также обозначены ветви дисперсион-
ных соотношений для слоистого цилиндра, а пунктирной – для однослойного сталь-
ного цилиндра. Как видно из приведенного рисунка, в этом случае значения собст-
венных частот для слоистого цилиндра меньше соответствующих частот для стально-
го цилиндра. Следовательно, частота собственных колебаний слоистого шара лежит в
«коридоре» между собственной частотой для однослойного цилиндра из пьезокера-
мики и частотой для однослойного цилиндра из стали. Это иллюстрирует рис. 3. Здесь
сплошной линией обозначены собственные частоты для слоистого цилиндра, пунк-
тирной – для цилиндра из пьезокерамики, штрих-пунктирной – для цилиндра из стали
(материал и геометрия цилиндра соответствует данным, принятым ранее).
0,2 0,4 0,6
0
1
2
V ( 0 ) W ( 0 )
U ( 0 )
V ( 1 )
0,2 0,4 0,6
0
1
2
V ( 0 ) W ( 0 )
U ( 0 )
V ( 1 )
W ( 1 )
W ( 2 )
Рис. 3 Рис. 4
На рис. 4 представлена также зависимость первых шести частот от безразмерного
волнового числа для значения 2m . Материал и геометрия цилиндра такие же, как и
для рис. 1. Сплошной линией обозначены собственные частоты для слоистого цилин-
дра, пунктирной – для цилиндра из пьезокерамики PZT 4. На рис. 5 представлена за-
висимость первых шести частот от безразмерного волнового числа для значения
2m . Материал и геометрия цилиндра такие же, как и для рис. 2. Сплошной линией
обозначены собственные частоты для слоистого цилиндра, пунктирной – для цилинд-
ра из cтали.
57
0,2 0,4 0,6
0
1
2
3
V ( 0 ) W ( 0 )
U ( 0 )
V ( 1 )
W ( 1 )
W ( 2 )
0,2 0,4 0,6
0
1
2
W ( 0 )
V ( 0 )
U ( 0 )
V ( 1 )
Рис. 5 Рис. 6
На рис. 6 выполнено совмещение данных рис. 4 и 5 для первых четырех частот.
Как известно, краевая задача (8), (9) математически соответствует задаче о сво-
бодных неосесимметричных колебаниях слоистого цилиндра с шарнирным опирани-
ем на торцах. Рассмотрим трехслойный цилиндр со слоями, аналогичными рассмот-
ренному выше цилиндру, с внутренним радиусом . 3внутрR , внешним – . 5внешнR и
длиной – 10L безразмерных единиц. При таком выборе геометрических характеристик
значение 0 0,25h R совпадает со значениями, принятыми для решения преды-
дущей задачи, результаты которых приведены на рис. 1 – 6. Кроме того, необходимо
провести аналогичные исследования для значений 0,m 3, 4, ...m m .
0,1 0,2 0,3 0,4
0
1
0,1 0,2 0,3 0,4
0
1
Рис. 7 Рис. 8
Анализ частотного спектра показывает, что для определения первых пяти собст-
венных частот достаточно четырех первых значений m : 0m , 1m , 2m и 3m .
Результаты проведенных исследований представлены на рис. 7 – 10 для соответст-
вующих значений m . На рисунках сплошные линии соответствуют дисперсионным
кривым для неоднородного цилиндра, а пунктирной для однородного цилиндра из
пьезокерамики PZT 4.
58
0,1 0,2 0,3 0,4
0
1
0,1 0,2 0,3 0,4
0
1
Рис. 9 Рис. 10
Значения собственных частот будут лежать на пересечении соответствующих
дисперсионных ветвей и значений 0,1; 0,2; 0,3 ... . Следует их лишь расположить в
порядке возрастания. В таблице представлены числовые значения первых пяти частот
для случая трехслойного цилиндра и сплошного пьезокерамического цилиндра. Показано
также количество полуволн в окружном направлении ( )m и волн в осевом направле-
нии, ( )n а также, к какой относительной погрешности ( ) при вычислении собствен-
ных частот приведет игнорирование неоднородности. Вариант 1 соответствует много-
слойному цилиндру, а вариант 2 однородному цилиндру из пьезокерамики PZT 4.
№
част.
Вариант 1 m n Вариант 2 m n , %
1 0,1784 1 1 0,1235 1 1 30,8
2 0,1973 2 1 0,1422 2 1 27,9
3 0,2656 0 1 0,1835 0 1 30,9
4 0,3294 0 1 0,2347 0 1 28,7
5 0,3477 3 1 0,2665 1 2 23,4
Как видно из таблицы, первая собственная частота не является собственной часто-
той осесимметричных колебаний. Только лишь третья и четвертая собственные час-
тоты являются частотами осесимметричных колебаний. При этом третья частота яв-
ляется частотой продольных колебаний, а четвертая – частотой крутильных колеба-
ний. Собственные частоты, полученные в данной работе для сплошного цилиндра из
пьезокерамики PZT 4, полностью совпадают с данными, полученными на основании
подхода, разработанного в работе [2]. Естественно, что для проведения такого анализа
требуется значительно больший объем работ. Однако, это компенсируется тем, что на
основании анализа, проведенного в данной работе, кроме собственных частот получе-
на также информация о формах колебаний.
Р Е ЗЮМ Е . Дано розв’язок задачі про поширення неосесиметричних хвиль у шаруватих по-
рожнистих п’єзокерамічних циліндрах з шарами, поляризованими в осьовому напрямі. Запропонова-
но ефективний чисельно-аналітичний метод. Початкова тривимірна задача теорії електропружності в
частинних похідних у випадку представлення компонентів тензора пружності, компонент векторів
переміщень, електричної індукції та електростатичного потенціалу комбінацією стоячих хвиль в
коловому напрямі та бігучих хвиль в осьовому напрямі зведена до крайової задачі на власні значення
у звичайних диференціальних рівняннях. Отриману задачу розв’язано стійким методом дискретної
ортогоналізації у поєднанні з методом покрокового пошуку. Наведено результати чисельного аналізу
дисперсійних відношень в широкому діапазоні зміни геометричних характеристик шаруватих цилін-
дрів з п’єзокерамічними шарами.
59
1. Григоренко А.Я., Лоза И.А., Шульга Н.А. Распространение осесимметричных волн в полом пьезо-
керамическом цилиндре // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1983. – № 3. – С. 35 – 39.
2. Григоренко Я.М., Влайков Г.Г., Григоренко А.Я. Численно-аналитическое решение задач механики
оболочек на основе различных моделей. – К.: Академпериодика, 2006. – 472 с.
3. Ивина Н.Ф., Касаткин Б.А. Нормальные волны в анизотропном пьезоактивном волноводе // Де-
фектоскопия.– 1975. – № 4. – С. 27 – 32.
4. Лоза И.А., Медведев К.В., Шульга Н.А. Распространение неосесимметричных акустоэлектрических
волн в слоистых цилиндрах // Прикл. механика. – 1987. – 23, № 8. – С. 3 – 6.
5. Ambadar A., Ferris C.D. Wave propagation in piezoelectric two-layered cylindrical shell with hexagonal
symmetry. Some application for long bone // J. A. Soc. Amer. – 1965. – 63, N 3. – P. 781 – 792.
6. Berg M., Hagedorn P., Gutschmidt S. On the dynamics of piezoelectric cylindrical shells // J. of Sound
and Vibration, 274, N 1 – 2, 6, July 2004. – P. 91 – 109.
7. Dai H. L., Hong, L., Fu Y. M., Xiao, X. Analytical solution for electromagnetothermoelastic behaviors of
functionally graded piezoelectric hollow cylinder // Appl. Math. Modeling. – 2010. – 34. – P. 343 – 357.
8. Grigorenko A.Ya., Bergulev A.S.,Yaremchenko S.N. Numerical Solution of Bending Problems for Rectan-
gular Plates // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 1. – P. 81 – 94.
9. Grigorenko A.Ya., Loza I.A. Non-Axisymmetric Waves in Layered Hollow Cylinders with Piezoceramic
Radially Polarized Layeres // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 6 – P. 641 – 649.
10. Grigorenko Ya. M., Grigorenko A.Ya., Vlaikov G.G. Problems of mechanics for anisotropic inhomoge-
neous shells on basic of different models. – K.: Akademperiodika, 2009. – 549 p
11. Grigorenko Ya.M., Grigorenko A.Ya. State and Dynamical Problems for Anisotropic Inhomogeneous
Shells with Variable Thickness (review) // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 2. – P. 123 – 193.
12. Heyliger P. R., Brooks S. Exact Solution for Piezoelectric Laminates in Cylindrical Bending // J. Appl.
Месh. –1994. – 63, N 4 – P. 903 – 910.
13. Heyliger P. R., Ramirez G. Free vibrations of laminated circular piezoelectric plates and discs // J. Sound
and Vibration. – 2000. – 229, N 4. – P. 935 – 956.
14. Hussein M., Heyliger P.R. Discrete Layer Analysis of Axisymmetric Vibrations of Laminated Piezoelec-
tric Cylinders // J. Sound and Vibration. –1996. –192, N 5. – P. 995 – 1013.
15. Kharouf N., Heyliger P.R. Axisymmetric Free Vibrations of Homogeneous and Laminated Piezoelectric
Cylinders //J. Sound and Vibration. – 1994. –174, N 4. – P. 539 – 561.
16. Paul H.S. Torsional vibration of circular cylinder of piezoelectric -quartz // Arch. Mech. Stosow.
1962. – N 5. P. 127 – 134.
17. Paul H.S. Vibration of circular cylindrical shells of piezoelectric silver iodide crystals // J. Acoust. Soc.
Amer. – 1966, 40, N 5. P. 1077 – 1080.
18. Paul H.S., Nelson V.K., Vazhapadi K. Flexural vibration of piezoelectric composite cylinder // J. Acoust.
Soc. Am. – 1996. – 99, N 1. – P. 309 – 313.
Поступила 26.07.2010 Утверждена в печать 26.06.2013
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100604 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T06:03:45Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Григоренко, А.Я. Лоза, И.А. 2016-05-24T13:25:08Z 2016-05-24T13:25:08Z 2014 Неосесимметричные волны в полых слоистых цилиндрах с пьезокерамическими слоями, поляризованными в осевом направлении / А.Я. Григоренко, И.А. Лоза // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 51-59. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100604 Дано розв’язок задачі про поширення неосесиметричних хвиль у шаруватих порожнистих п’єзокерамічних циліндрах з шарами, поляризованими в осьовому напрямі. Запропоновано ефективний чисельно-аналітичний метод. Початкова тривимірна задача теорії електропружності в частинних похідних у випадку представлення компонентів тензора пружності, компонент векторів переміщень, електричної індукції та електростатичного потенціалу комбінацією стоячих хвиль в коловому напрямі та бігучих хвиль в осьовому напрямі зведена до крайової задачі на власні значення у звичайних диференціальних рівняннях. Отриману задачу розв’язано стійким методом дискретної ортогоналізації у поєднанні з методом покрокового пошуку. Наведено результати чисельного аналізу дисперсійних відношень в широкому діапазоні зміни геометричних характеристик шаруватих циліндрів з п’єзокерамічними шарами. A problem on propagation of non-axisymmetric waves in layered hollow piezoceramic cylinders is considered for the layers polarizes in the axial direction. To solve this problem, the effective numerical-analytical method is used. The initial three-dimensional problem of the theory of electroelasticity, which is described by partial differential equations, is reduced to the boundary value problem for ordinary differential equations. This is made by representation of components of elasticity tensor, vectors of displacements, electric induction and electrostatic potential by the combination of standing waves in the circumferential direction and running waves in the axial direction. The last problem is solved by the stable method of discrete orthogonalization combined with the method of incremental search. The results of numerical analysis of dispersion relations are shown for the wide range of changing the geometrical characteristics of layered cylinders with piezoceramic layers. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Неосесимметричные волны в полых слоистых цилиндрах с пьезокерамическими слоями, поляризованными в осевом направлении Non-Symmetric Waves in a Hollow Layered Cylinder with Piezoceramic Layers Polarized in the Axial Direction Article published earlier |
| spellingShingle | Неосесимметричные волны в полых слоистых цилиндрах с пьезокерамическими слоями, поляризованными в осевом направлении Григоренко, А.Я. Лоза, И.А. |
| title | Неосесимметричные волны в полых слоистых цилиндрах с пьезокерамическими слоями, поляризованными в осевом направлении |
| title_alt | Non-Symmetric Waves in a Hollow Layered Cylinder with Piezoceramic Layers Polarized in the Axial Direction |
| title_full | Неосесимметричные волны в полых слоистых цилиндрах с пьезокерамическими слоями, поляризованными в осевом направлении |
| title_fullStr | Неосесимметричные волны в полых слоистых цилиндрах с пьезокерамическими слоями, поляризованными в осевом направлении |
| title_full_unstemmed | Неосесимметричные волны в полых слоистых цилиндрах с пьезокерамическими слоями, поляризованными в осевом направлении |
| title_short | Неосесимметричные волны в полых слоистых цилиндрах с пьезокерамическими слоями, поляризованными в осевом направлении |
| title_sort | неосесимметричные волны в полых слоистых цилиндрах с пьезокерамическими слоями, поляризованными в осевом направлении |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100604 |
| work_keys_str_mv | AT grigorenkoaâ neosesimmetričnyevolnyvpolyhsloistyhcilindrahspʹezokeramičeskimisloâmipolârizovannymivosevomnapravlenii AT lozaia neosesimmetričnyevolnyvpolyhsloistyhcilindrahspʹezokeramičeskimisloâmipolârizovannymivosevomnapravlenii AT grigorenkoaâ nonsymmetricwavesinahollowlayeredcylinderwithpiezoceramiclayerspolarizedintheaxialdirection AT lozaia nonsymmetricwavesinahollowlayeredcylinderwithpiezoceramiclayerspolarizedintheaxialdirection |