Контактные задачи для пластинки-включения в упругом полупространстве
Наведено розв’язок способом ортогональних многочленів контактної задачі для гнучкої пластинки-включення в пружному півпросторі; при цьому точно виділяється особливість у контактних напруженнях біля країв пластинки. Також роз’вязано задачу про обертання пластинки. Отримані результати можуть бути вико...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2014
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100608 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Контактные задачи для пластинки-включения в упругом полупространстве / С.В. Босаков // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 94-103. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859739996202729472 |
|---|---|
| author | Босаков, С.В. |
| author_facet | Босаков, С.В. |
| citation_txt | Контактные задачи для пластинки-включения в упругом полупространстве / С.В. Босаков // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 94-103. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | Наведено розв’язок способом ортогональних многочленів контактної задачі для гнучкої пластинки-включення в пружному півпросторі; при цьому точно виділяється особливість у контактних напруженнях біля країв пластинки. Також роз’вязано задачу про обертання пластинки. Отримані результати можуть бути використані для розрахунків анкерних плит глибокого заложення і закладних деталей залізобетонних конструкцій.
A solution of the contact problem for the flexible plate is given by the method of orthogonal polynomials. Also, the problem is solved on rotation of the plate, located at the notch of elastic half-space. The feature of solution is that the singularity in contact stresses at the plate ends is separated exactly. The findings can be used in analysis of anker plates of deep horizontal equivalent and batter members of ferroconcrete structures.
|
| first_indexed | 2025-12-01T16:30:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
2014 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 50, № 2
94 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2014, 50, №2
С .В . Б о с а к о в
КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПЛАСТИНКИ–ВКЛЮЧЕНИЯ
В УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
Белорусский национальный технический университет
пр. Независимости, 65, 220027, Минск, Беларусь;
e-mail: sevibo@yahoo.com
Abstract. A solution of the contact problem for the flexible plate is given by the
method of orthogonal polynomials. Also, the problem is solved on rotation of the plate, lo-
cated at the notch of elastic half-space. The feature of solution is that the singularity in con-
tact stresses at the plate ends is separated exactly. The findings can be used in analysis of
anker plates of deep horizontal equivalent and batter members of ferroconcrete structures.
Key words: plate, contact problem, notch in elastic half-space, rigid stamp, singularity
Введение.
Решение плоской контактной задачи для штампа, расположенного в щели упругой
плоскости, впервые опубликовано в статье [13]. В [5] авторы получили приближенное
решение этой задачи с помощью двойных сил, которые создают разрыв сплошности
упругой плоскости. Методом ортогональных многочленов [12] решение получено в
статьях [2, 3]. В монографии [10] рассматриваемая задача классифицируется как зада-
ча об отслоившемся включении и также приведено ее решение. Осесимметричная
задача для круглой пластинки рассмотрена в работе [17]. В работе [4] решена задача
для пластинки вблизи границы упругой полуплоскости. Отметим, что поведению
трещины между двумя материалами посвящены статьи [16, 20], а учету зон контакта
берегов трещины при динамической нагрузке – [17 и др.]. Решения статических задач
о напряженном состоянии пластин и оболочек с учетом упругого основания рассмот-
рены в работах [10, 14, 19, 20].
В данной работе представлены решения двух контактных задач для пластинки-
включения в упругом полупространстве, нагруженной центрально приложенными
силой и моментом, причем для второй задачи решение получено методом Б.Н. Же-
мочкина [8].
1. Рассмотрим пластинку-включение конечной изгибной жесткости D , длиной
2 , прижимаемую вертикальной сосредоточенной силой P к верхней границе упру-
гого полупространства с постоянными E и (pис. 1). Примем, что на контакте пла-
стинки с плоскостью возникают только нормальные контактные напряжения. Извест-
но [1], что вертикальные перемещения границы щели длиной 2 в упругой плоскости
от действия сосредоточенной силы P с точностью до произвольной постоянной оп-
ределяются выражением
2 2 2
2 2
(1 )
( ) ln 1 1 1
P x t x t
V x
E
(1.1)
( x абсцисса точки границы щели, где определяется перемещение; t абсцисса точки
границы щели, где приложена сила). В (1.1) знак “плюс” относится к границе щели, к
которой не приложена сила. На рис. 2 показан график относительных перемещений
обеих границ щели от действия силы P при 0,7t , где * 2(1 / )P P E .
95
Рис. 1 Рис. 2
Обозначим ( )p x искомый закон распределения контактных напряжений. Следуя
в дальнейшем последовательности изложения П.И. Клубину [9], составим следующие
разрешающие уравнения:
интегральное уравнение рассматриваемой контактной задачи для вертикальных
перемещений верхней грани щели
( ) ( ) ( , )V x p t K x t dt
; (1.2)
уравнения равновесия
( ) ; ( ) 0p x dx P x p x dx
; (1.3)
дифференциальное уравнение изгиба пластинки
4
4
( )d Y p x
Ddx
; (1.4)
граничные условия для изгибающего момента и поперечной силы на краях пла-
стинки при x
2 3
2 3
0; 0
d Y d Y
M D Q D
dx dx
; (1.5)
условие равенства прогибов пластинки ( )Y x вертикальным перемещениям грани-
цы щели ( )V x
( ) ( )Y x V x . (1.6)
Определим неизвестный закон распределения контактных напряжений в виде ря-
да по полиномам Чебышева первого рода с весом
2
2 23 2
02 4
2
1 1
( ) 1 1
1
m m
m
x x
x
p x A T
x
, (1.7)
где 2mA неизвестные коэффициенты; 2 ( )mT z полиномы Чебышева первого рода
[6]. Заметим, что полиномы Чебышева
2
2 1 2
1 1 , 0,1,2,...m
x
T m
, имеют раз-
рыв в производной при 0x и поэтому отброшены.
96
Тогда второе уравнение равновесия (1.3) удовлетворяется тождественно ввиду
четности принятых полиномов Чебышева, а первое дает (ввиду их ортогональности)
0
2 2
P
A
. (1.8)
Действительно, рассмотрим интеграл
2 2
2 23 2 2
2 4
2
1 1
1 1 1 1
1
m n
x x
x x
T T dx
x
. (1.9)
Сделаем в нем подстановку sinx . Получаем
/2
2 2
/2
2cos
2 2 sin 2 sin
2 2cos
m nT T d
. (1.10)
Если в (1.10) принять 2 sin
2
t
, то придем к известному из теории ортогональ-
ных многочленов свойству ортогональности полиномов Чебышева первого рода [6]
1
2 2
2
1
( ) ( )
( 0);
1
m nT t T t
dt m n
t
( 0); 0 ( )
2
m n m n
, (1.11)
но только с множителем 2 2 . Отметим, что (1.8) является точным решением для
жесткого штампа [13].
Решение дифференциального уравнения (1.4) при условии (1.7) представим в сле-
дующей форме:
2 3
0 0 2 2 4 4 4 3 2 14 4 4 4 4
( ) ( ) ( ) ( ) ... ;
D D D x x x
Y x A F x A F x A F x C C C C
(1.12)
0
3 5
2cos 31cos 3cos 11cos 57 ln 2 cos cos
2 2 2 21
( )
72 2
36cos 2 ln 2 cos cos 6arcsin 2 sin 21sin 2sin 3
2 2
F x
;
2
3 5 7
2 cos 68cos 57 cos 8cos 2cos
2 2 2 2
1
( ) 111 2 ln 2 cos cos
192 2
72 2 cos 2 ln 2 cos cos 48 2 sin arcsin 2 sin
2 2
F x
; (1.13)
97
4
2 3 5 7 9
cos 673cos 455 cos 79cos 10cos 2cos
15 2 2 2 2 2
1
( ) 47 2 ln 2 cos cos
32 2
32 2 cos 2 ln 2 cos cos 2 2 sin arcsin 2 sin
2 2
F x
;
2 2 2
2 2 2
1 1
sin ; cos 1 ; sin (1 1 ); cos (1 1 ).
2 2 2 2
x x x x
Для выполнения граничных условий запишем выражения для поперечной силы и
изгибающего момента
2
2
1
( ) arcsin 1 1
x
Q x P
2 4 1
3
4 cos sin 4 cos (sin 2 sin ) ... ;
2 2 2
A A C
2 2
4 4
2 2
1 1 1 1
1
( ) 1 ln 2 1
2 22 2
x x x x
P x x
M x
+
2
2
arcsin 1 1
x x
+ (1.14)
+ 2
2
1 3
2 cos ( 2cos cos ) 3 2 ln( 2 cos cos )
2 2 2 2
A
+ 2
4
1 3 5
4 cos (10cos 3cos cos ) 2 ln( 2 cos cos )
6 2 2 2 2
A
1 2... C x C .
Выполнение граничных условий (1.5) и условий симметрии при учете (1.14) и
(1.12) дают
2 3 10; sign
2
P x
C C C
. (1.15)
Для практически важного случая жесткого штампа приводим формулы для попе-
речной силы и изгибающего момента в сечениях пластинки
2
2
1 1
( ) arcsin 1 1 sign
2
x
Q x P x
;
2 2
4 4
2 2
1 1 1 1
1
( ) 1 ln 2 1
2 22 2
x x x x
P x x
M x
(1.16)
98
+
2
2
arcsin 1 1
x x
–
2
P x
, 0x ,
причем максимальный изгибающий момент в центре пластинки
max 2 ln(1 2)
2
P
M
превышает аналогичную величину для пластинки на упругой полуплоскости [5].
Подставим (1.7) в интегральное уравнение (1.2), сделаем подстановку
sin ; sinx t и используем спектральное соотношение Г.Я. Попова [10, табл.
А, ф-ла (7.5), с. 300] при / 2 )
/2
/2
cos 3 22ln sin 2 sin ln 2, 0;22 2 2cos
T d nn
2 sin ; 1,2,...22 2
T nnn
. (1.17)
В итоге получаем для перемещений верхнего берега щели равенство
2
2 2
0 2 2
1
1 2 2
( ) 4 2 ln 2 1 1 /n n
n
V x A A T x
E n
. (1.18)
Так как в бесконечной изотропной однородной плоскости перемещения опреде-
ляются с точностью до неопределенной постоянной [5, 12], которой является 4C в
(1.12), приравниваем относительные перемещения верхнего берега щели и прогибы
пластинки
( ) (0) ( ) (0)V x V Y x Y . (1.19)
Обе части полученного соотношения умножим на
2 2 3/4
1 / 1 /
(1 / )
x x
x
2 2
2 1 1 / ,nT x dx
0,1,2,...n , и проинтегрируем в пределах ( , ) . Полу-
ченную систему линейных алгебраических уравнений решаем способом усечения
[12].
Как показано в [9, 12], при применении способа ортогональных многочленов дос-
таточно ограничиться несколькими первыми членами ряда (1.7). Поэтому для первых
трех коэффициентов разложения (1.7) получим
2
0,1164 (2028,3539 )
(42,6311 )(952,8538 )
P
A
; 4
(188,7709 0,6126 )
,
40621,2263 (995,4850 )
P
A
(1.20)
где
3
2(1 )
E
D
показатель гибкости по М.И. Горбунову-Посадову [5]. Структура
получаемой усеченной системы такова, что при 0 все 2 0, 1,2,3,...mA m .
На рис. 3 показаны графики распределения контактных напряжений (а), попереч-
ных сил (б) и изгибающих моментов (в) на полудлине пластинки при 0, 15 по
формулам (1.20).
99
а б
в
Рис. 3
2. Рассмотрим пластинку жесткостью D и шириной 2 , расположенную в щели
бесконечной плоскости с упругими постоянными E и , под действием сосредото-
ченного момента M (рис. 4). Между пластинкой и плоскостью могут возникать толь-
ко сжимающие нормальные напряжения.
Рис. 4
Обозначим: a граничная точка пластинки, в которой нарушается сплошной кон-
такт плоскости и пластинки. Ставится цель – определить положение этой точки, рас-
пределение контактных напряжений между пластинкой и плоскостью и угол поворота
пластинки от действия момента M .
100
Рассматриваемую задачу для жесткой плиты можно свести к интегральному урав-
нению относительно неизвестного закона распределения контактных напряжений
( )p между плитой и плоскостью
1
2 2 2 2
2
( ) ln 1 1 1 ln 1 1 1
1
E
p d
, , ; , 1 ,
x t a
(2.1)
где неизвестный угол поворота жесткой плиты. В (2.1) в ядро интегрального урав-
нения следует добавить слагаемое, чтобы перемещения вычислить относительно на-
чала координат.
К уравнению (2.1) необходимо добавить уравнение равновесия плиты
1
2
2 ( )
M
p d
(2.2)
и условие контакта между плитой и плоскостью в точке a
( ) 0p . (2.3)
Для гибкой пластинки к этим уравнениям добавляются дифференциальное урав-
нение равновесия с краевыми условиями и уравнение равенства относительных пере-
мещений границы щели прогибам пластинки.
Однако получить аналитическое решение интегрального уравнения (2.1) с выде-
лением особенности, которая обусловлена наложением особенностей у края пластин-
ки и вершины щели [12], с одновременным выполнением условий (2.2) и (2.3) автору
не удалось. Поэтому рассматриваемая задача была решена методом Б.Н. Жемочкина
[8]. С этой целью пластинка разбивалась на равные участки. На контакте пластинки и
плоскости в середине каждого участка ставились жесткие связи, через которые осу-
ществлялся контакт пластинки и границы щели (рис. 5). Принято, что усилие в связи
вызывает равномерную эпюру давлений в пределах участка. Полученную статически
неопределимую систему рассчитывали смешанным методом строительной механики
[11], где за неизвестные принимались усилия в введенных связях, линейное и угловое
перемещения введенного на краю пластинки защемления. Предварительно задавали
положение точки раздела граничных условий (точки a на рис. 5). Если в результате
решения усилия в некоторых связях на контакте пластинки и границы щели получены
растягивающие, задавалось новое положение точки a и производился новый расчет.
Этот итерационный процесс заканчивался тогда, когда усилия во всех связях получе-
ны сжимающие, причем в крайней к середине пластинки связи, близкое к нулю.
Рис. 5
101
В матричной форме система уравнений метода Б.Н. Жемочкина для итерационно-
го решения поставленной задачи имеет следующий вид:
[ ] 0;X
(2.4)
11 12 1
21 22 2
1 2
1
1
[ ] ;
0 0
1 1 0 0
d d b
d d b
b b
2
1 1 2 2
[ ,..., , ,..., , , ];
1 1
T
k k n
E E
X X X X X z
1 1,..., , ,..., , , 0T
k k n
M
;
1,1 1,1 1, 1,1 1, 1 1, 2 1, 1,
11 22
,1 ,1 , , , 1 , 1 , ,
... ...
... ; ... ;
... ...
d d d d
k k k k k k n k n
d d d d
k k k k k k n k n k n n n n
F y F y F y F y
d d
F y F y F y F y
1, 1 1, 1 1, 1,
12
, 1 , 1 , ,
...
... ;
...
u u
k k n n
u u
k k k k k n k n
F y F y
d
F y F y
1,1 1,1 1, 1,
21
,1 ,1 , ,
...
... ;
...
u u
k k k n k k
u u
n n n k n k
F y F y
d
F y F y
1 2
2 1 2 1 2 1
1 , 1 3 ,..., 1 ; 1 ,1 ,..., 1
2 2 2 2 2 2
c c k k k c
b c b c c
;
2
2
( 1,..., ); 2 1 ( 1,..., ),
2 2
i i
i i
a aMc Mc
i k i k n
2 2
, ,2 2
3 , ; 3 , ,
6 6
i k i k i k
i k k i i k i k
a a a a a a
y a a y a a
где
3
2(1 )
E
D
показатель гибкости по М.И. Горбунову-Посадову [5]; ia рас-
стояние от защемления до связи с номером i ; ,
d
i kF безразмерная функция для опре-
деления перемещений точки i грани щели, в точке k которой приложена равномерно
распределенная по длине участка c единичная сила; ,
u
i kF безразмерная функция для
определения перемещений точки i грани щели, когда в точке k противоположной
грани щели приложена равномерно распределенная по длине участка c единичная
сила. Выражения для безразмерных функций приведены в статье автора [1].
После определения положения точки a раздела граничных условий определяли
контактные напряжения для каждого участка и форму щели, образованную в плоско-
сти изгибаемой моментом пластинкой. При определении формы щели использованы
выражения для безразмерных функций.
Следует отметить, что система разрешающих уравнений для определения неиз-
вестных имеет своеобразную структуру, анализ которой позволяет сделать ряд выво-
дов, ранее отмеченных в работах [7, 10].
102
Эти выводы следующие: 1) угол поворота пластинки линейно зависит от мо-
мента M ; 2) усилия в связях Б.Н. Жемочкина линейно зависят от и, соответствен-
но, от ;M 3) положение точки раздела граничных условий a не зависит от и .M
а б
Рис. 6
На рис. 6 показаны графики распределения контактных напряжений (а) и форма
образовавшейся при этом щели (б) для пластинки с 10 .
Рис. 7
На рис. 7 изображена зависимость положения точки раздела граничных условий
от показателя гибкости . При выполнении расчетов пластинка разбивалась на 20
участков Б.Н. Жемочкина.
Для жесткой плиты ( 0 ) получено:
2
2
(1 )
0,35 ; 1,058
M
a
E
.
Выводы.
На основании спектрального соотношения Г.Я. Попова получено решение кон-
тактной задачи об отслоившем гибком включении в упругой плоскости. При этом
точно выделена особенность в контактных напряжениях у края пластинки.
Способом Б.Н. Жемочкина получено численное решение для гибкой пластинки,
расположенной в щели упругой плоскости и нагруженной сосредоточенным момен-
том. Для жесткой плиты впервые приведены зависимости между моментом и углом
поворота плиты.
103
Р Е ЗЮМ Е . Наведено розв’язок способом ортогональних многочленів контактної задачі для
гнучкої пластинки-включення в пружному півпросторі; при цьому точно виділяється особливість у
контактних напруженнях біля країв пластинки. Також роз’вязано задачу про обертання пластинки.
Отримані результати можуть бути використані для розрахунків анкерних плит глибокого заложення і
закладних деталей залізобетонних конструкцій.
1. Босаков С.В. Расчет заглубленных анкерных плит конечной жесткости // Основания, фундаменты и
механика грунтов. – 1977. – 6. – С. 23 – 24.
2. Босаков С.В. Решение одной контактной задачи для плоскости с щелью // Прикл. механика. – 1977.
– 13, №7. – С. 127 – 129.
3. Босаков С.В. Расчет заглубленных анкерных плит конечной жесткости // Прикл. механика. – 1980.
– 16, №3. – С. 81 – 87.
4. Босаков С.В. Плоская задача расчета анкерных плит неглубокого заложения // Прикл. механика. –
1986. – 22, №1. – С. 45 – 51.
5. Горбунов-Посадов М.И., Маликова Т.А., Соломин В.И. Расчет конструкций на упругом основании.
– М.: Стройиздат, 1984. – 678с.
6. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Наука,
1963. – 1100с.
7. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. – М.: Мир, 1989. – 509с.
8. Жемочкин Б.Н., Синицын А.П. Практические методы расчета фундаментных балок и плит на упру-
гом основании. – М.: Стройиздат, 1962. – 239с.
9. Клубин П.И. Расчет балочных и круглых плит на упругом основании // Инж. сб. – 1952. – №12. – С.
95 – 135.
10. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и
подкреплений. – М.: Наука, 1982. – 341с.
11. Рабинович И.М. Курс строительной механики. Ч.2. – М.: Стройиздат,1954. – 543с.
12. Развитие теории контактных задач в СССР / Под ред. Л.А. Галина. – М.: Наука, 1976. – 493с.
13. Фотиева Н.Н., Лыткин В.А. К расчету анкерных плит глубокого заложения // Основания, фунда-
менты и механика грунтов. – 1969. – №5. – С. 8 – 10.
14. Bespalova E.I., Urusova G.P. Contact Interaction between Pressed Laminated Shells of Revolution and
a Flat Foundation // Int. Appl. Mech. – 2006 – 42, N10 – P. 1137 – 1144.
15. Bosakov S.V. An Approach to the Contact Problem for a Circular Punch on an Elastic Foundation // Int.
Appl. Mech. – 2008. – 44, N4. – P. 413 – 418.
16. Erdogan F. Stress Distribution in Bodner Dissimilar Materials with Cracks // Trans. ASME. J. Appl.
Mech. – 1965. – 32. – P. 403 – 410.
17. Guz A.N., Zozulia V.V. Elastodynamic Unilateral Contact Problems with Friction for Bodies with Cracks
// Int. Appl. Mech. – 2002. – 38, N8. – P. 895 – 932.
18. Rice J.R., Sih G.C. Plane Problem of Cracks in Dissimilar Media // Trans. ASME. J. Appl. Mech. –
1965. – 32. – P. 418 – 423.
19. Yarovaya A.V. Termoelastic Bending of a Sandwich Plate on a Deformable Foundation // Int. Appl.
Mech. – 2006 – 42, N2 – P. 203 – 213.
20. Zhukovskii I. N. Contact Problem for a Plate Situated in the Crack an Infinite Body // Int. Appl. Mech. –
2002. – 38, N8. – P. 895 – 932.
Поступила 10.03.2011 Утверждена в печать 26.06.2013
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100608 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T16:30:15Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Босаков, С.В. 2016-05-24T13:30:35Z 2016-05-24T13:30:35Z 2014 Контактные задачи для пластинки-включения в упругом полупространстве / С.В. Босаков // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 94-103. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100608 Наведено розв’язок способом ортогональних многочленів контактної задачі для гнучкої пластинки-включення в пружному півпросторі; при цьому точно виділяється особливість у контактних напруженнях біля країв пластинки. Також роз’вязано задачу про обертання пластинки. Отримані результати можуть бути використані для розрахунків анкерних плит глибокого заложення і закладних деталей залізобетонних конструкцій. A solution of the contact problem for the flexible plate is given by the method of orthogonal polynomials. Also, the problem is solved on rotation of the plate, located at the notch of elastic half-space. The feature of solution is that the singularity in contact stresses at the plate ends is separated exactly. The findings can be used in analysis of anker plates of deep horizontal equivalent and batter members of ferroconcrete structures. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Контактные задачи для пластинки-включения в упругом полупространстве Contact Problems for the Plate-Inclusion in Elastic Plane Article published earlier |
| spellingShingle | Контактные задачи для пластинки-включения в упругом полупространстве Босаков, С.В. |
| title | Контактные задачи для пластинки-включения в упругом полупространстве |
| title_alt | Contact Problems for the Plate-Inclusion in Elastic Plane |
| title_full | Контактные задачи для пластинки-включения в упругом полупространстве |
| title_fullStr | Контактные задачи для пластинки-включения в упругом полупространстве |
| title_full_unstemmed | Контактные задачи для пластинки-включения в упругом полупространстве |
| title_short | Контактные задачи для пластинки-включения в упругом полупространстве |
| title_sort | контактные задачи для пластинки-включения в упругом полупространстве |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100608 |
| work_keys_str_mv | AT bosakovsv kontaktnyezadačidlâplastinkivklûčeniâvuprugompoluprostranstve AT bosakovsv contactproblemsfortheplateinclusioninelasticplane |