К теории поперечных колебаний пластин с учетом сдвиговых деформаций
На основi безрозмiрних рiвнянь динамiки пластин iз урахуванням деформацiй зсуву та iнерцii повороту, що залежать тiльки вiд одного узагальненого параметра жорсткостi на зсув, вияснено фiзичний сенс «другого спектру» власних частот. Виконано параметричний аналiз в узагальненних параметрах. Basing on...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2014
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100609 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | К теории поперечных колебаний пластин с учетом сдвиговых деформаций / А.И. Маневич, З. Колаковский // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 104-114. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860108279225516032 |
|---|---|
| author | Маневич, А.И. Колаковский, З. |
| author_facet | Маневич, А.И. Колаковский, З. |
| citation_txt | К теории поперечных колебаний пластин с учетом сдвиговых деформаций / А.И. Маневич, З. Колаковский // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 104-114. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | На основi безрозмiрних рiвнянь динамiки пластин iз урахуванням деформацiй зсуву та iнерцii повороту, що залежать тiльки вiд одного узагальненого параметра жорсткостi на зсув, вияснено фiзичний сенс «другого спектру» власних частот. Виконано параметричний аналiз в узагальненних параметрах.
Basing on the dimensionless equations of dynamics of plates with taking into account the shear deformations and rotational inertia, which depend only on one generalized parameter of shear compliance, the physical sense of “the second spectrum” of eigen frequencies is clarified. A parametrical analysis in generalized parameters is carried out.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:32:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
2014 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 50, № 2
104 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2014, 50, №2
А . И . Ман е в и ч 1 , З . К о л а к о в с к и й 2
К ТЕОРИИ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИН
С УЧЁТОМ СДВИГОВЫХ ДЕФОРМАЦИЙ
1 Днепропетровский национальный университет,
просп. Гагарина 72, 49010, Днепропетровск, Украина. e-mail: armanevich@yandex.ru
2 Technical University of Lodz, Department of Strength of Materials,
Stefanowskiego 1/15, 90-924 Lodz, Poland. e-mail: zbigniew.kolakowski@p.lodz.pl
Abstract. Basing on the dimensionless equations of dynamics of plates with taking into
account the shear deformations and rotational inertia, which depend only on one generalized
parameter of shear compliance, the physical sense of “the second spectrum” of eigen fre-
quencies is clarified. A parametrical analysis in generalized parameters is carried out.
Key words: plate, first order shear deformations theory, free oscillations, second spec-
trum, parametrical analysis.
Введение.
Теория пластин с учётом сдвиговых деформаций развивается в течение несколь-
ких десятилетий, начиная с работ [13, 17] («сдвиговая теория первого порядка» или
«теория Рейсснера – Миндлина»; обзоры в [2, 3, 4, 20]). Динамика пластин с учётом
податливости на сдвиг и инерции поворота рассмотрена впервые, по-видимому, в ра-
боте [6]. Позже обширные исследования в этой области выполнены авторами работ
[1, 5, 8, 10 – 12, 16] и другими исследователями. В этих работах представлен, в част-
ности, детальный численный анализ влияния сдвиговой податливости на собственные
частоты колебаний на основе различных вариантов теории.
Следует обратить внимание на следующее обстоятельство. Уже в первых работах
по динамике пластин и стержней с учётом сдвиговых деформаций ([6] и др.) было
установлено существование двух спектров собственных частот (одной и той же про-
странственной форме полного прогиба соответствуют две существенно различные
собственные частоты, как правило, низкая и высокая частоты). Но смысл этих двух
ветвей до настоящего времени полностью не выяснен. Обычно утверждается, что пер-
вая ветвь относится к, преимущественно, изгибным колебаниям и волнам, вторая – к
преимущественно сдвиговым. Но поскольку речь идёт лишь о соотношении изгибной
и сдвиговой компонент, присутствующих в обоих спектрах, различие между двумя
спектрами оказывается чисто количественным. Одновременно в ряде работ отмечены
сомнения относительно значимости второго спектра как для балок Тимошенко, так и
для пластин со сдвиговой податливостью, как не имеющего физического смысла, и
предложено отбрасывать результаты, связанные со второй ветвью собственных частот
[7, 17, 18]. Анализ различных публикаций показывает, что до настоящего времени
отсутствует единая точка зрения на смысл второго спектра собственных значений.
В работе [19] был отмечен важный факт: для первого спектра балки Тимошенко
углы сдвига и изгиба имеют одинаковую фазу и складываются, составляя полный
105
угол прогиба; для второго спектра сдвиговые и изгибные углы противоположны по
фазе и приводят к полному углу, равному их разности. Позже это наблюдение для
балок подтверждено в других работах [9, 17]. Для пластин аналогичные утверждения,
насколько авторам известно, не выдвигались, даже в форме результатов иллюстра-
тивных расчётов.
В данной работе на основе безразмерных уравнений динамики пластины (в рам-
ках «теории сдвиговой деформации первого порядка»), зависящих лишь от одного
обобщённого безразмерного параметра сдвиговой податливости, дано строгое обос-
нование качественного различия между двумя спектрами собственных частот (на
примере шарнирно опёртой пластины) и выполнен обобщённый параметрический
анализ.
§1. Постановка задачи. Основные уравнения.
Существуют различные варианты вывода основных уравнений сдвиговой теории
пластин первого порядка (обсуждавшиеся в [2, 3, 20] и др.). Ниже дан простейший
вариант вывода.
Рассмотрим изотропную пластину постоянной толщины h с осями координат x ,
y в срединной плоскости и осью z – по нормали. Пусть ( , )w x y – полный прогиб (от
изгиба и сдвига), ,x y – углы поворота нормальных сечений вследствие изгиба,
,x y – углы сдвига (осреднённые по толщине пластины).
Полные углы поворота нормали к срединной поверхности в двух плоскостях
равны
,x x x
w
w
x
; , y y y
w
w
y
. (1.1)
Перемещения произвольной точки в плоскости пластины выражаются через углы
,x y : u xz ; v yz ; соответственно, деформации ( )z
x ,x xz ; ( )z
y
= ,y yz ; ( )z
xy , ,( )x y y xz . Соотношения упругости при пренебрежении нор-
мальными напряжениями z приводят к выражениям для изгибающих и крутящих
моментов (при обычных правилах знаков для моментов)
, ,( )x x x y yM D ; , ,( )y y y x xM D ; , ,
1
( )
2xy x y y xM D
. (1.2)
Поперечные силы выражаются через осреднённый угол сдвига и затем – через
полный прогиб и углы ,x y :
,( )x x x xQ G h G h w ; ,( )y y y yQ G h G h w (1.3)
(отметим, что здесь, следуя [3, 20], не вводим сдвиговой поправочный коэффициент
k , равный 2 / 3 , 5/6 или 2 /12 , так как под ,x y понимаются осреднённые по
толщине углы сдвига).
Уравнения равновесия для силовых факторов при поперечных колебаниях с учё-
том внешней распределённой поперечной нагрузки ( , , )q x y t имеют вид ( –
плотность)
, , , 0x x y y ttQ Q hw q ; (1.4)
3
,
, , 0
12
x tt
x x xy y x
h
M M Q
; (1.5)
106
3
,
, , 0
12
y tt
xy x y y y
h
M M Q
. (1.6)
Исключая xQ и yQ из (1.5), (1.6) и подставляя в (1.4), получаем разрешающее
уравнение относительно прогиба и углов ( 2 2 2 2 2x y – гармонический
оператор)
33
,,2 2
, , ,( ) 0
12 12
y yttx xtt
x x y y tt
hh
D hw q
. (1.7)
Если ввести потенциальную функцию – «проникающий потенциал» или про-
гиб вследствие изгиба (без сдвига и без учёта возможного, так называемого, «краево-
го потенциала»)
x x
; y y
, (1.8)
уравнение (1.7) принимает вид
3 2
,2 2
, 0
12
tt
tt
h
D hw q
. (1.9)
Второе уравнение получим из первого уравнения (1.4) с учётом соотношений уп-
ругости (1.3)
, , , , ,( ) ( ) 0xx x x yy y y ttG h w G h w h w q ,
откуда с учётом (1.8) следует уравнение
2 2
,( ) 0ttG h w h w q . (1.10)
Уравнения (1.9) и (1.10) составляют разрешающую систему уравнений динамики
сдвиговой теории пластины первого порядка. Исключая из этой системы функцию ,
получаем разрешающее уравнение динамики пластины относительно полного проги-
ба в виде
3 3 3
,2 2 2 2
, , ,
1
12 12 12
tt
tt tt tttt
qh h h q h
w w w w q
G D D D G D D G h G h
. (1.11)
Для классической модели пластины (но с учётом инерции вращения) следует
принять G ; тогда приходим к уравнению
3
2 2 2
, ,12tt tt
h h q
w w w
D D D
, (1.12)
где последнее слагаемое в левой части (1.12) учитывает инерцию вращения (в двух
плоскостях).
Уравнения вида (1.9), (1.10) и разрешающее уравнение (1.11) (или им равносиль-
ные) неоднократно встречались в литературе (в различных обозначениях [6, 16 и др.]).
Следует отметить, что введение одной потенциальной функции (1.8), согласно кото-
рому две независимые функции ,x y выражены через одну функцию , равно-
сильно предположению о полном прогибе как суперпозиции прогибов, вызванных
изгибом и сдвигом. Это предположение, в точности оправданное для балки Тимошен-
ко, для пластины накладывает некоторое ограничение, так как исключает из рассмот-
рения так называемый краевой эффект Рейсснера [14, 20]. Для учёта этого эффекта
107
необходимо дополнить уравнение (1.11) уравнением второго порядка для «краевого
потенциала» (уравнение Гельмгольца) и порядок системы повышается до шестого.
Однако указанный краевой эффект появляется лишь при специальных граничных ус-
ловиях, которые в данной работе не рассматриваются (наличие крутящих моментов на
крае), и приведенные выше уравнения адекватны для решения рассмотренных задач.
Отметим также, что в последние годы теория, основанная на суперпозиции изгибного
и сдвигового прогибов пластины, получила широкое распространение (так называе-
мая “two variable refined plate theory” [8, 16 и др. ]).
Наряду с уравнением (1.11) получим также уравнение относительно изгибного
прогиба , которое может быть использовано для анализа форм колебаний. Исклю-
чая из уравнений (1.9), (1.10) w , получаем уравнение относительно в виде
3 3
2 2 2
, , ,2 212 12tt tt tttt
h h h q
D D D Dk G k G
. (1.13)
Отметим, что операторы в левых частях уравнений для w (1.11) и (1.13) сов-
падают. Можно получить также уравнение относительно сдвигового прогиба S , рав-
ного разности S w , если вычесть из (1.11) уравнение (1.13). Очевидно, что при
этом оператор в левой части уравнения останется тем же (правая часть изменится).
§2. Обобщённые уравнения в безразмерных переменных и параметрах.
Анализ динамики пластины непосредственно на основе уравнений (1.9), (1.10)
или (1.11), (1.13) нецелесообразен ввиду большого количества входящих в них пара-
метров. Введём безразмерные переменные, отнеся координаты и перемещения к тол-
щине пластины и вводя безразмерное время,
x
h
;
y
h
;
w
W
h
;
h
;
c
t
h
; 2 E
c
(2.1)
( c – скорость звука в материале пластины). Вводим также безразмерные параметры
E
G
;
q
q
E
(2.2)
( – параметр, характеризующий податливость балки на сдвиг; для классической
модели пластины Кирхгофа 0 , что соответствует бесконечно большой жёсткости
на сдвиг).
Система уравнений (1.9), (1.10) в безразмерных переменных принимает вид (здесь
и далее 2 обозначает уже оператор Лапласа в безразмерных переменных , )
2 2 2 2 2 2
, ,(1 ) 12(1 ) 12(1 )W q ; (2.3)
2 2
,W W q . (2.4)
Уравнения (1.11) и (1.13) в безразмерных переменных принимают, соответствен-
но, вид
2 2 2 2 2
, , ,1 (1 ) 12W W W W
2 2 2
,12(1 ) (1 )q q q ;
2 2 2 2 2 2 2
, , ,1 12(1 ) (1 ) 12(1 )q . (2.5)
108
Если 0q , то (2.4) примет вид
2 2
,W W . (2.6)
Прогиб от сдвига (нормированный делением на h ), равен разности S W . Из
(2.6) следует, что
2 2 2
,S W W . (2.7)
Полученные выше уравнения содержат только один обобщённый параметр ,
что дает возможность провести исчерпывающий общий анализ решения.
§3. Собственные колебания шарнирно опёртой пластины.
Для выяснения особенностей динамики пластины при учёте сдвига рассмотрим
простейшую задачу о свободных колебаниях прямоугольной пластины, занимающей в
плане область 0 x l ; 0 y b . На краях пластины выполняются условия шарнир-
ного опирания, например, на краях 0x и x l ( 0 и /l h ) имеем для изгиб-
ного прогиба 0 ; , 0 . Как следует из (2.6), (2.7), аналогичные условия вы-
полняются для полного прогиба: 0W ; , 0W , а также для сдвигового прогиба.
Принимая для свободных колебаний 0q , имеем из (2.5) уравнение
2 2 2 2 2 2
, , ,1 12(1 ) (1 ) 0W W W W (3.1)
и аналогичные уравнения для и S . Принимаем решение в виде
( , , ) sin sinmni
mn m nW W e ; ( , , ) sin sinmni
mn m ne ; (3.2)
( , , ) sin sinmni
mn m nS S e
; ; 1,2,... 1,2,...m n
m h n h
m n
b
. (3.3)
Oтметим, что безразмерная частота mn связана с размерной частотой mn соотно-
шением /mn mnc h .
Подстановка (3.2) в (3.1) приводит к частотному уравнению
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4( ) (1 ) ( ) 12(1 ) (1 ) 0m n mn m n mn mn . (3.4)
При отсутствии сдвиговой податливости 0 (но с учётом инерции поворота)
частотное уравнение упрощается и даёт единственное значение частоты (для данных
m и n )
4 2 2
2
,0 2 2 2
(1 )
(1 )( (1 ) 12)
m mn
mn
m mn
, (3.5)
где
n
mn
m
n
m b
. (3.6)
Для общего случая 0 частотное уравнение (3.4) запишем в виде
4 2 0mn mna d c (3.7)
109
( 2(1 )a ; 2 2 2 2(1 )(1 ) 12(1 )m mnd ; 4 2 2(1 )m mnc ). (3.8)
Уравнение (3.7) имеет два корня
2
,1 2mn
d D
a
; 2
,2 2mn
d D
a
; (3.9)
22 2 2 2 2 4 2 2(1 )(1 ) 12(1 ) 4(1 ) (1 )m mn m mnD . (3.10)
Для дальнейшего важно, что дискриминант D может быть представлен также в
форме
22 2 2 2 2 2 2(1 )(1 ) 12(1 ) 48(1 ) (1 )m mn m mnD . (3.11)
Из (3.11) видно, что всегда 0D , оба корня 2
,1mn , 2
,2mn – действительны, а из
(3.8) – (3.10) следует, что оба корня положительны. Для каждой пары m и n есть две
собственные частоты (две ветви или два спектра собственных частот).
§4. О двух спектрах собственных частот.
Для выяснения качественных отличий между двумя ветвями частот рассмотрим
соотношение амплитудных величин mnW , mn и mnS . Подставив выражения (3.2) в
уравнения (2.6) и (2.7), имеем равенства
2 2 2 2 2(1 ) (1 )m mn mn m mn mn mn mnW W ; (4.1)
2 2 2(1 )m mn mn mn mnS W ,
oткуда получим формулы
2
2 2
1
(1 )
mn
mn mn
m mn
W
; (4.2)
2
2 2(1 )
mn
mn mn
m mn
S W
; (4.3)
2 2 2
2
(1 )m mn mn
mn mn
mn
S
. (4.4)
Определим знак числителя 2 2 2(1 )m mn mn в (4.4) для каждого из двух корней
2
,1mn и 2
,2mn по (3.9). Для обоих корней имеем
2 2
2 2 2 2 (1 )
(1 )
2
m mn
m mn mn
a d D
a
. (4.5)
Для определения знака величины (4.5) (учитывая, что 0a ) сравним величины
D и 2e , где 2 22 (1 ) /m mne a d . С учётом обозначений (3.8) тогда имеем
2 2 2 2 2 2 22(1 ) (1 ) [ (1 )(1 ) 12(1 )]m mn m mne =
2 2 2 2(1 )(1 ) 12(1 )m mn ,
110
и с учётом (3.11) получаем
22 2 2 2 2 2 2 2(1 )(1 ) 12(1 ) 48(1 ) (1 )m mn m mnD e
22 2 2 2 2 2 2 2(1 )(1 ) 12(1 ) 48(1 ) (1 ) 0 .m mn m mn
Отсюда следует, что всегда D e . Следовательно, числитель в (4.5) положите-
лен для первой ветви (верхний знак «+») и отрицателен – для второй. Соответственно,
знаки mn и mnS для первой ветви одинаковы и для второй ветви – противоположны.
Также из (4.2) и (4.5) следует, что для первой ветви знаки mn и полного прогиба
mnW совпадают, а для второй – противоположны (знаки mnS и mnW всегда одинако-
вые, см. (4.3)).
Таким образом, доказано, что в первой ветви прогибы от изгиба и сдвига колеб-
лются в фазе (как и полный прогиб, равный их сумме); во второй ветви прогибы от
сдвига и изгиба осциллируют в противофазе, причём прогиб от сдвига доминирует,
вследствие чего полный прогиб колеблется в фазе со сдвиговым прогибом.
В этом состоит качественное отличие собственных форм колебаний (и волн) двух
спектров пластин со сдвиговой податливостью.
§5. Численный анализ в безразмерных переменных и параметрах.
Полученные выше безразмерные уравнения свободных колебаний пластины Ти-
мошенко, зависящие только от одного параметра /E G , позволяют придать ре-
зультатам расчётов большую общность (по сравнению с расчётами, основанными на
уравнениях с несколькими параметрами). Это иллюстрируют приведенные ниже ре-
зультаты численного анализа решения в обобщённых безразмерных параметрах.
Рис. 1
Рассмотрена квадратная пластина b l , для которой влияние параметра сдвиго-
вой податливости на первые собственные значения для обеих ветвей зависит толь-
ко от относительной толщины пластины /h l . Рис. 1 иллюстрирует влияние сдвиго-
вой податливости на первую собственную частоту колебаний квадратной пластины,
нормализованную делением на 11,0 (3.5) (принималось 0,3 ), для различных зна-
чений относительной толщины пластины /h l .
111
Значения безразмерной первой собственной частоты колебаний квадратной пла-
стины (первая ветвь) для разных /h l и трёх значений =0,2; 3 и 50 приведены в
табл. 1.
Таблица 1
11,1
/h l
0,1 3,0 50
0,01 0,0005972 0,0005971 0,0005946
0,015 0,001343 0,001342 0,001330
0,02 0,002388 0,002385 0,002346
0,03 0,005371 0,005359 0,005166
0,05 0,01489 0,01480 0,01346
0,075 0,03342 0,03295 0,02730
Таблица 2
11,1
m
0,1 3,0 50
1 0,002388 0,002385 0,002346
2 0,005967 0,005952 0,005716
3 0,01192 0,01186 0,01098
4 0,02024 0,02007 0,01773
5 0,03091 0,03050 0,02556
Для значения 50 первая собственная частота уменьшается на 10% при
/h l =0,05 и примерно на 27% при / 0,1h l (по сравнению с классической моделью
0 ).
Значения безразмерной собственной частоты ,1 ,1 /mn mn h c для нескольких
значений числа полуволн по длине m при 1n даны в табл. 2.
Очевидно, что увеличение m равносильно уменьшению длины (увеличению
/h , но с одновременным изменением параметра (3.6)), поэтому влияние сдвиго-
вой податливости с увеличением m возрастает.
Для второй ветви зависимости собственной частоты ,2mn от параметра пока-
заны на рис. 2 (для 1m ; 1n ). Кривые построены для двух значений /h l =0,02;
0,1. Влияние параметра /h l на собственную частоту для второго спектра оказывается
значительно меньшим, чем для первого.
112
Рис. 2
Значения безразмерной собственной частоты 1,2 1,2 /m m h c (второй ветви) для
нескольких чисел полуволн по длине m при 1n ( /h l =0,02) даны в табл. 3.
Таблица 3
11,2 (m = 1) 31,2 (m = 3) 51,2 (m = 5)
0,01 34,65 34,70 34,79
0,1 10,96 10,97 11,01
1,0 3,466 3,476 3,495
3,0 2,003 2,014 2,036
5,0 1,552 1,566 1,591
10,0 1,100 1,117 1,150
20,0 0,7804 0,8033 0,8468
30,0 0,6395 0,6668 0,7180
40,0 0,5558 0,5867 0,6439
50,0 0,4988 0,5330 0,5951
Как видно из приведенных данных, собственные частоты для второй ветви на не-
сколько порядков выше, чем для первой. Это – высокочастотная ветвь с совершенно
другим характером деформаций по сравнению с первой (низкочастотной) ветвью.
При изменении длины волны собственная частота для второй ветви меняется не-
значительно.
Рассмотрим влияние параметра сдвиговой податливости на собственные формы,
т.е. на отношения /mn mnW ; /mn mnS ; /mn mnS W . Для первой ветви два первых от-
ношения в зависимости от параметра показаны на рис. 3, а, б ( /h l =0,02; 0,3 ;
1n ).
113
Как видно из рис. 3, изгибный прогиб превалирует в полном прогибе, хотя доля
сдвигового прогиба возрастает с увеличением числа полуволн m .
а б
Рис. 3
Для второй ветви соотношение амплитуд изгибного и сдвигового прогибов
1,2 1,2/m mS квадратной пластины при различных значениях параметра сдвиговой
податливости для /h =0.02 и разных m приведены в табл. 4 ( 1n ; 0,3 ).
Таблица 4
1,2 1,2/m mS
m
0,1 3,0 50
1 -0,99934 -0,99934 -0,99936
2 -0,99835 -0,99836 -0,99849
3 -0,99672 -0,99675 -0,99722
4 -0,99444 -0,99453 -0,99573
5 -0,99152 -0,99174 -0,99420
Видим, что отношение 1,2 1,2/m mS близко к 1 при всех m . Это значит, что из-
гибные и сдвиговые колебания происходят почти с одинаковыми амплитудами, но в
противофазе. При этом полный прогиб пренебрежимо мал.
Выводы.
На основе безразмерных уравнений динамики пластин с учётом сдвиговых де-
формаций и инерции поворота, зависящих только от одного параметра сдвиговой по-
датливости, выяснен физический смысл второго спектра собственных частот. На при-
мере свободных колебаний шарнирно опёртой пластины доказано, что в первом спек-
тре прогибы от изгиба и сдвига колеблются в фазе (как и полный прогиб, равный их
сумме); во второй ветви прогибы от сдвига и изгиба осциллируют в противофазе,
причём прогиб от сдвига доминирует, вследствие чего полный прогиб колеблется в
фазе со сдвиговым прогибом. Выполнен параметрический анализ собственных частот
и собственных форм колебаний в обобщённых параметрах.
114
Р Е ЗЮМ Е . На основi безрозмiрних рiвнянь динамiки пластин iз урахуванням деформацiй
зсуву та iнерцii повороту, що залежать тiльки вiд одного узагальненого параметра жорсткостi на зсув,
вияснено фiзичний сенс «другого спектру» власних частот. Виконано параметричний аналiз в
узагальненних параметрах.
1. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. – 268 с.
2. Васильев В. В. О теории тонких пластин // Изв. РАН. Механика твёрдого тела. – 1992. – №3. –
С. 26 – 47.
3. Васильев В. В. К дискуссии по классической теории пластин // Изв. РАН. Механика твердого тела.
– 1995. – №4. – С. 140–150.
4. Григолюк Э. И., Селезов И. Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек //
Итоги науки и техники. Серия: Механика твёрдых деформируемых тел. Т. 5. – М.: ВИНИТИ,
1973. – 272 с.
5. Доннел Л. Г. Балки, пластины и оболочки. – М.: Наука, 1982. – 567 с.
6. Уфлянд Я. С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин // Прикл.
математика и механика. – 1948. – 12, №3. – С. 287– 300.
7. Abbas, B. A. H., Thomas, J. The second frequency spectrum of Timoshenko beams // J. Sound and Vibr. –
1977. – 51, N 1. – P. 123– 137.
8. Kim S.-E., Thai H.-T., J. Lee. A two variable refined plate theory for laminated composite plates // Com-
posite Structures – 2009. – 89, N 2. – P. 197 – 205.
9. Manevich A. , Kolakowski Z. Free and forced oscillations of Timoshenko beam made of viscoelastic mate-
rial // J. Theor. and Appl. Mech. (Warsaw). – 2011. – 49, N 1. – P. 3 – 16.
10. Mindlin R. D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates //
Trans. ASME. J. Appl. Mech. – 1951. – 18, N1 – P. 31 – 38.
11. Reddy J. N. A refined nonlinear theory of plates with transverse shear deformation // Int. J. Solids and
Struct. – 1984. – 20. – Р. 881 – 896.
12. Reddy J. N., Phan N. D. Stability and vibration of isotropic, orthotropic and laminated plates according
to a higher-order shear deformation theory // J. Sound and Vibr. – 1985. – 98. – P. 157 – 170.
13. Reissner E. On the theory of bending of elastic plates // J. Math. and Phys. – 1944. – 23, N 4. –
P. 184–191.
14. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates // Trans. ASME. J.
Appl. Mech. – 1945. – 67. – P. A69 – A77.
16. Shimpi R. P., Patel H. G. Free vibrations of plate using two variable refined plate theory // J. Sound and
Vibr. – 2006. – 296. – P. 979 – 999.
17. Stephen, N.G. The second spectrum of Timoshenko beam theory – Further assessment // J. Sound and
Vibr. – 2006. – 292, N 1 – 2. – P. 372 – 389.
18. Stephen, N.G., Puchegger S. On the valid frequency range of Timoshenko beam theory // J. Sound and
Vibr. – 2006. – 297, N 3 – 5. – P. 1082 – 1087.
19. Trail-Nash R. W., Collar A. R. The effect of shear flexibility and rotatory inertia on the bending vibra-
tions of beams // Quart. J. Mech. And Appl. Math. –1953. –6, part 2. – P. 186–222.
20. Vasiliev V. V. Modern Conceptions of Plate Theory // Composite Struct. – 2000. – 48, N1. – 3. –
P. 39 – 48.
Поступила 29.11.2010 Утверждена в печать 26.06.2013
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100609 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:32:35Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Маневич, А.И. Колаковский, З. 2016-05-24T13:31:54Z 2016-05-24T13:31:54Z 2014 К теории поперечных колебаний пластин с учетом сдвиговых деформаций / А.И. Маневич, З. Колаковский // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 104-114. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100609 На основi безрозмiрних рiвнянь динамiки пластин iз урахуванням деформацiй зсуву та iнерцii повороту, що залежать тiльки вiд одного узагальненого параметра жорсткостi на зсув, вияснено фiзичний сенс «другого спектру» власних частот. Виконано параметричний аналiз в узагальненних параметрах. Basing on the dimensionless equations of dynamics of plates with taking into account the shear deformations and rotational inertia, which depend only on one generalized parameter of shear compliance, the physical sense of “the second spectrum” of eigen frequencies is clarified. A parametrical analysis in generalized parameters is carried out. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика К теории поперечных колебаний пластин с учетом сдвиговых деформаций To the Theory of Transverse Vibrations of Plates with allowance for Shear Strains Article published earlier |
| spellingShingle | К теории поперечных колебаний пластин с учетом сдвиговых деформаций Маневич, А.И. Колаковский, З. |
| title | К теории поперечных колебаний пластин с учетом сдвиговых деформаций |
| title_alt | To the Theory of Transverse Vibrations of Plates with allowance for Shear Strains |
| title_full | К теории поперечных колебаний пластин с учетом сдвиговых деформаций |
| title_fullStr | К теории поперечных колебаний пластин с учетом сдвиговых деформаций |
| title_full_unstemmed | К теории поперечных колебаний пластин с учетом сдвиговых деформаций |
| title_short | К теории поперечных колебаний пластин с учетом сдвиговых деформаций |
| title_sort | к теории поперечных колебаний пластин с учетом сдвиговых деформаций |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100609 |
| work_keys_str_mv | AT manevičai kteoriipoperečnyhkolebaniiplastinsučetomsdvigovyhdeformacii AT kolakovskiiz kteoriipoperečnyhkolebaniiplastinsučetomsdvigovyhdeformacii AT manevičai tothetheoryoftransversevibrationsofplateswithallowanceforshearstrains AT kolakovskiiz tothetheoryoftransversevibrationsofplateswithallowanceforshearstrains |