К динамике двухсекционного экипажа в угловом коридоре

Досліджено кінематику зчленованого дволанцюгового транспортного робота з трьома керованими колесами. Рух відбувається в кутовому коридорі. Виконано геометричний синтез гладкої (за першою похідною) програмної траєкторії зі збереженням оптимальної маневреності екіпажу. Розроблено динамічну модель руху...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Прикладная механика
Datum:	2014
Hauptverfasser:	Антонюк, Е.Я., Забуга, А.Т.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2014
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100611
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	К динамике двухсекционного экипажа в угловом коридоре / Е.Я. Антонюк, А.Т. Забуга // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 134-144. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100611
record_format	dspace
spelling	Антонюк, Е.Я. Забуга, А.Т. 2016-05-24T13:34:35Z 2016-05-24T13:34:35Z 2014 К динамике двухсекционного экипажа в угловом коридоре / Е.Я. Антонюк, А.Т. Забуга // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 134-144. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100611 Досліджено кінематику зчленованого дволанцюгового транспортного робота з трьома керованими колесами. Рух відбувається в кутовому коридорі. Виконано геометричний синтез гладкої (за першою похідною) програмної траєкторії зі збереженням оптимальної маневреності екіпажу. Розроблено динамічну модель руху екіпажа за заданною траєкторією. Для загального випадку руху наведено аналітичні вирази реакцій в точках контакту коліс з основою. Відмічено суттєвий вплив радіуса кривизни програмної траєкторії на величини реакцій. The kinematics of joined two-section transport robot with three steering wheels is considered. A motion takes place in an angular corridor. A geometrical synthesis of the smooth by the first derivative program trajectory is carried out with saving the optimal maneuverability of vehicle. A dynamical model of motion on the given trajectory is developed. For the general case of motion, the analytical expressions of reactions at points of wheel contact with ground are given. An essential influence of the curvature radius of the program trajectory on values of reactions is noted. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика К динамике двухсекционного экипажа в угловом коридоре To Dynamics of Two-Section Vehicle in Angular Corridor Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	К динамике двухсекционного экипажа в угловом коридоре
spellingShingle	К динамике двухсекционного экипажа в угловом коридоре Антонюк, Е.Я. Забуга, А.Т.
title_short	К динамике двухсекционного экипажа в угловом коридоре
title_full	К динамике двухсекционного экипажа в угловом коридоре
title_fullStr	К динамике двухсекционного экипажа в угловом коридоре
title_full_unstemmed	К динамике двухсекционного экипажа в угловом коридоре
title_sort	к динамике двухсекционного экипажа в угловом коридоре
author	Антонюк, Е.Я. Забуга, А.Т.
author_facet	Антонюк, Е.Я. Забуга, А.Т.
publishDate	2014
language	Russian
container_title	Прикладная механика
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
format	Article
title_alt	To Dynamics of Two-Section Vehicle in Angular Corridor
description	Досліджено кінематику зчленованого дволанцюгового транспортного робота з трьома керованими колесами. Рух відбувається в кутовому коридорі. Виконано геометричний синтез гладкої (за першою похідною) програмної траєкторії зі збереженням оптимальної маневреності екіпажу. Розроблено динамічну модель руху екіпажа за заданною траєкторією. Для загального випадку руху наведено аналітичні вирази реакцій в точках контакту коліс з основою. Відмічено суттєвий вплив радіуса кривизни програмної траєкторії на величини реакцій. The kinematics of joined two-section transport robot with three steering wheels is considered. A motion takes place in an angular corridor. A geometrical synthesis of the smooth by the first derivative program trajectory is carried out with saving the optimal maneuverability of vehicle. A dynamical model of motion on the given trajectory is developed. For the general case of motion, the analytical expressions of reactions at points of wheel contact with ground are given. An essential influence of the curvature radius of the program trajectory on values of reactions is noted.
issn	0032-8243
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100611
citation_txt	К динамике двухсекционного экипажа в угловом коридоре / Е.Я. Антонюк, А.Т. Забуга // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 134-144. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT antonûkeâ kdinamikedvuhsekcionnogoékipažavuglovomkoridore AT zabugaat kdinamikedvuhsekcionnogoékipažavuglovomkoridore AT antonûkeâ todynamicsoftwosectionvehicleinangularcorridor AT zabugaat todynamicsoftwosectionvehicleinangularcorridor
first_indexed	2025-11-25T01:06:21Z
last_indexed	2025-11-25T01:06:21Z
_version_	1850503404743294976
fulltext	2014 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 50, № 2 134 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2014, 50, № 2 Е .Я .А н т о н ю к , А .Т . З а б у г а К ДИНАМИКЕ ДВУХСЕКЦИОННОГО ЭКИПАЖА В УГЛОВОМ КОРИДОРЕ Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: model@inmech.kiev.ua Abstract. The kinematics of joined two-section transport robot with three steering wheels is considered. A motion takes place in an angular corridor. A geometrical synthesis of the smooth by the first derivative program trajectory is carried out with saving the opti- mal maneuverability of vehicle. A dynamical model of motion on the given trajectory is developed. For the general case of motion, the analytical expressions of reactions at points of wheel contact with ground are given. An essential influence of the curvature radius of the program trajectory on values of reactions is noted. Key words: wheeled vehicle, steering wheels, angular corridor, program trajectory, nonholonomic system, dynamical model. Введение. Необходимость создания транспортных средств, в том числе роботов, способных двигаться по узким извилистым проходам, вызвала в современной литературе доста- точно широкий цикл публикаций [1, 2, 4 – 6, 11 – 13, 15]. Исследования посвящены разработке программных траекторий, кинематике и динамике движения, в том числе проверке возможности разрыва фрикционных связей между колесами и опорной по- верхностью. Эти исследования все чаще соотносятся с транспортными сочлененными системами с двумя и тремя рулевыми колесами, что позволяет более успешно выпол- нять задачи реализации сложных траекторий, имеющихся на практике [2, 13]. Типо- вым ограничением для движения экипажа может служить угловой коридор, в котором угол изменения вектора скорости может достигать величины / 2 и более. Трудность прохождения такого препятствия существенно возрастает, если длина секции сопос- тавима с максимально возможной для данного коридора. Известно, что наиболее эффективное прохождение данного коридора с углом по- ворота, равным / 2 , реализуется, когда огибающая множества положений однозвен- ного транспортного средства с двумя рулевыми колесами в процессе поворота являет- ся астроидой [6]. Однако, при строгом осуществлении такого варианта возникают трудности, которые состоят в том, что движение по программной траектории должно быть прерывистым, при этом в процессе остановки угол поворота одного из колес достигает величины 0,5 , после чего экипаж вновь приводится в движение. Другим недостатком такой программной траектории при ее реализации является значитель- ный рост нормальных составляющих реакций неголономных связей в упомянутых положениях. Поэтому в дальнейшем характер программного движения двухзвенной механической системы несколько видоизменяется, т.е. астроида будет только частью полной огибающей, сопряженной в начале и конце с двумя другими кривыми (ролет- тами). Эти кривые не уменьшают предельно возможную проходную длину экипажа, которая обеспечивается астроидой, но понижают величины ускорений и нормальных реакций усилий, реализуемых силами трения контакта колес с основанием. Движение реализуется непрерывно, без остановок. 135 § 1. Программная траектория. На рис. 1 изображен находящийся в угловом коридоре I, II двухзвенный эки- паж ABD , который должен пройти из участка I коридора в II с поворотом на угол, равный / 2 . Как отмечено выше, наиболее эффективными геометрическими возможностями в таком случае обладает маршрут, который формирует огибающую множества положений экипажа в виде астроиды [6]. Именно эта кривая обеспе- чивает наибольшую длину экипажа, кото- рый в состоянии преодолеть такое препят- ствие. Угловая точка C коридора должна находиться вне астроиды. При таком дви- жении двухзвенного экипажа, например, из исходного положения 0 0 0A B D точка A должна двигаться параллельно оси Ox (вправо по рис. 1), а B и D – параллельно Oy вплоть до совпадения B с 1E (движение звена AB при этом будет плоскопарал- лельным). После этого движение прекращается и колесо B должно быть повернуто на угол / 2 (т.е. стать параллельным Ox ); после этого обе точки A и B должны продолжать движение параллельно Ox , а D – параллельно Oy вплоть до совпаде- ния точки D с 1E (движение звена BD на этом участке будет плоскопараллельным). Далее движение вновь прекращается и в процессе остановки колесо D необходимо повернуть на угол / 2 , после чего осуществить прямолинейное поступательное движение двухзвенного экипажа ABD параллельно Ox , что обеспечит полный про- ход его в участок ІІ (рис. 1). Огибающая 1 положений секции AB длиной 1 при описанном плоскопарал- лельном движении будет астроидой [6]   3 22 32 3 1y xy a x a      ; (1.1) 3 3 1 10,5 sin cos ; 0,5 cos sin ;x c CM c c y c CM c ca x a y            2 21cos( ) cos 2 ; arctg ; ;c c c c c c y x y x                2 6 6 3 3 2 2 1 1sin cos 2 sin cosCM c c c c c c c cy x x y           ; (1.2) ,c cx y – координаты угловой точки C коридора, угол c координирует нормаль из точ- ки C к астроиде, точка M определяет пересечение этой нормали с астроидой (1.1)). Огибающая секции BD при описанном программном движении будет опреде- ляться тем же уравнением (1.1) с заменой 1 на 2 , т.е. на длину звена BD . Осталь- ные параметры, т.е. ,x ya a астроиды, образованной звеном BD , принимаются соглас- но (1.2) с сохранением 1 . Длина max (наиболее длинной из секций) робота, способного пройти в угловом коридоре с шириной его участков 1a и 2a (рис. 1), определяется неравенством [6]  3/22 3 2 3 max 1 2 / /a a  . (1.3) Рис. 1 136 Как отмечено выше, движение ро- бота по такому закону должно быть прерывистым с остановками, так как в угловых точках программной траекто- рии при мгновенном повороте в усло- виях наличия скоростей неизбежен неограниченный рост реакций неголо- номных связей системы. Чтобы исклю- чить такой эффект и связанный с ним разрыв фрикционных связей между колесами и опорной поверхностью и реализовать непрерывное движение, целесообразно изменить программную траекторию 1 2E E (рис. 1) для точки A и 0 1 2E E E для B . Для этого достаточно вместо ломаной линии 0 1 3E E E (рис. 1) использовать для программной траектории (рис. 2) 0 0 1 2B A A A , в которой 0 1A A – сопря- гаемая с прямыми 0 0A B и 1 2A A дуга четверти окружности радиуса ( , 1, 2)ir r i  . Такой закон позволит исключить скачкообразное изменение вектора скорости движения в точке 1E (рис. 1, 2) с различными производными dy dx в окрестности слева и справа от нее и тем самым предотвратит «жесткие» удары [14]. При введении дуги 0 1A A расстояния от угловой точки C коридора до огибающих звеньев AB и BD сохранятся неизменными. К части KL астроиды (1.1) (рис. 2) добавятся участки 0B K и 2LA , сопрягаемые в точках K и L с астроидой (т.е. имеющие в этих точках одинаковые с ней первые производные). Отмеченные вводимые участки не снижают максимальную проходную длину max звена AB , которая по-прежнему будет определяться зависимостью (1.3). Сохранят свои выражения также , , ,x y c CMa a   согласно (1.2). Новая огибающая будет начинаться в точке 0B и кончаться в 2A . Конечная точка 3B , выполнившего первую часть маневра однозвенного экипажа, совпадет с точкой 1A . Координаты точек ,j K L определяются зависимостями 3cosj x jx a    ; 3sinj y jy a   ; (1.4) ; ; arcsin ; 1,2 2K k L k k i r i           . Итак, огибающая 0B K положений звена AB (рис. 2), сформированная при дви- жении точки A по дуге четверти окружности (на участке 1 1 1 / 2     ) и точки B вдоль прямой 0 0B A (рис. 1), описывается параметрическими уравнениями 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1cos sin cos ( cos ) ( )xx a r n          ; (1.5) 1 1( ) tgy xy a x a b    . На участке движения точки A от 1A до 2A и точки B до 0A огибающая положе- ний звена AB будет астроидой (1.1). Рис. 2 137 При дальнейшем движении точки B по дуге 2 окружности ( 1 1 20     ) оги- бающая 2LA может быть описана уравнениями ( 1 2  см. ниже в (2.10))  3 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1cos ( ) sin cos sin ( )xx a r n r n             ; (1.6) 1 2tgyy a x b   . Зависимости ,i in b в (1.5), (1.6) имеют такой вид: 2 2 1 1 1 1 1 1( ) 2 cos cosn r     ; 2 2 2 1 1 1 1 1( ) 2 sin sinn r     ; 1 1 1 1 1sin ( )b r n     ;  2 1 1 2 1 1sin ( ) tgb r n      . Последующее движение двухзвенного экипажа даст аналогичную огибающую для секции BD (длиной 2 ). Следует отметить, что в точках сопряжения прямых с ок- ружностью на программной траектории 0 0 1 2B A A A (рис. 2) будет происходить «мягкий удар» вследствие скачкообразного появления (или исчезновения) нормального уско- рения, обратно пропорционального радиусу r . §2. Динамическая модель. Расчетная схема динамической системы рассматриваемого двухсекционного инерционного робота ABD (рис. 1) с тремя рулевыми колесами в точках , ,A B D изо- бражена на рис. 3, где приняты обозначения: 1 и 2 – углы наклона звеньев 1 и 2, отсчитываемые от горизонтали (звенья условно представлены прямолинейными от- резками AB и BD длиной соответственно 1 и 2 ); 1 2 3, ,   – углы поворота руле- вых колес , ,A B D в горизонтальной плоскости, отсчитываемые от линии звена AB (для 1 и 2 ) и от звена BD для 3 ; 1C и 2C – центры масс звеньев 1 и 2; 1 и 2 – расстояния 1BC и 2BC от точки B до центров масс; 1O и 2O – мгновенные центры скоростей звеньев 1 и 2. Положительный отсчет углов принят в направлении, проти- воположном вращению часовой стрелки. Неголономные связи [1, 4 – 6] в точках , ,A B D между опорной плоскостью и колесами наложены таким образом, что гори- зонтальные векторы линейных скоростей движения точек , ,A B D корпуса робота реализуются в плоскостях колес. Мгновенные центры 1O и 2O скоростей звеньев 1 и 2 лежат на пересечении пер- пендикуляров к плоскостям колес в точках ,A B и ,B D . Уравнения плоскопараллельного движения систем изложены, например, в [4, 16]. Для системы по рис. 3 и с программной траекторией согласно рис. 2 уравнение сформи- руем в векторной форме на основе обще- го уравнения динамики (по Даламберу– Лагранжу) для системы с идеальными связями [3, 7, 8] и представим в виде 1 1 N N i i i i i i i m W r F r        , (2.1) откуда для рассматриваемой (по рис. 3) дискретной системы, движущейся плос- копараллельно, имеем 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 0. C C C C C C A A B B D D m V S m V S J J F S F S F S                              (2.2) Рис. 3 138 В (2.1) и (2.2) обозначено: im – массы i -х звеньев, 1, 2i  ; iW – ускорение центра масс i -го звена; ir – виртуальное перемещение; iF – активные внешние силы, дей- ствующие на соответствующие точки системы; , ,A B DF F F – приведенные усилия, развиваемые двигателями приводов колес; 1 2 ,C CV V  и 1 2 ,C CS S  – ускорения центров 1 2,C C масс звеньев 1 и 2 и их виртуальные перемещения; 1 2,  – виртуальные уг- ловые перемещения звеньев 1 и 2 относительно вертикальных осей; , ,A B DS S S   – виртуальные перемещения точек , ,A B D осей колес; 1 2 ,C CJ J – центральные моменты инерции звеньев 1 и 2 относительно вертикальных осей. Система (2.2) по рис. 2 и 3 имеет одну степень свободы (одна независимая вариа- ция обобщенных координат). Ее положение на плоскости в общем случае описывает- ся тремя обобщенными координатами, например 1 2, ,Ax   . Плоский двухзвенный экипаж в общем случае имеет четыре кинематические (и, соответственно, динамические) структуры, каждая из которых характеризуется двумя неравенствами, составленными из 1 2,  и 1 2 2 3, , ,    . В данном случае при про- хождении углового коридора согласно схеме рис. 2 используется структура, соответ- ствующая 2 1 2 3 1 20; 0           . (2.3) В случае равенства нулю левых частей (2.3) имеет место поступательное движе- ние одного или обоих звеньев экипажа. Ввиду того, что движение звеньев AB и BD меняется от плоскопараллельного до поступательного или наоборот, единая общая запись уравнения движения затрудни- тельна, так как некоторые производные от длин и кинематических передаточных функций ( 1 1 2 2 21, ,O C O C u    и другие) при таких переходах принимают неограниченные значения. Поэтому движение рассмотрим в два этапа: на первом этапе независимой координатой примем 1 , на втором – 2 . Соответственно, для первого этапа уравне- ние движения принимает вид   1 11 1 1 21 21 2 21 21 211 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 O C O C C O C O C O C пр m J u u m u u u J                 1 1A O A B O B D DF F F     (2.4) при начальных условиях 1 1 1(0) / 2 (0), (0)      ; 5 1(0) 3 10   . Уравнение движения второго этапа представим в форме   2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 12 12 1 12 12 12 2 1 O C O C O C O C O C C пр m J u u m u u u J                      1 1 212 12A O A B O B D O DF u F u F     (2.5) при следующих начальных условиях в момент времени 1t перехода от первого ко вто- рому этапу:  2 1 3 1 2 ( ) arcsin 1 cos ( ) 2 r t t           ; 2 1 1 1 21 1( ) ( ) ( )t t u t   . (2.6) В (2.4), (2.5) BF и DF рассматриваются как усилия торможения, приведенные к звеньям 1 и 2; моменты инерции прJ экипажа имеют вид 139 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 21 2 21 2 2пр C O C C O CJ J m J u m u     ; (2.7) 2 2 2 2 2 2 2 12 1 12 21 1 1 2пр C O C C O CJ J u m u J m     ; 1 1 2 2 ,O C O C  – расстояния от мгновенных центров скоростей 1O и 2O до центров масс 1C и 2C звеньев 1 и 2; 12 211/u u – кинематические передаточные функции, равные в области конечных значений отношению угловых скоростей 2 к 1 для 21u и 1 к 2 – для 12u . Для структуры согласно (2.3) справедливы зависимости 1 1 2 2 1 cos sin( )O A       ; 1 1 1 2 1 cos sin( )O B       ; 2 2 3 2 1 2 3 cos sin( )O B           ; 1 1 2 1 2 3 2 1 cos cos( ) cos sin( )D             ; (2.8) 1 1 1 1 2 2 1 1 22 sinO C O B O B       ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 22 sin( )O C O B O B           ; 2 1 1 1 2 12 1 2 ; 0 ; 0; 0, 0; O B O B u            1 2 1 2 1 21 1 1 2 0; 0,5 ; ; 0 ;O B O B u              1 1 2cos sinD    . Выражения для производных 1 1 2 2 21, ,O C O C u    по времени получены с помощью системы аналитических вычислений Maple 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 sin cos cos( ) ( ) sin( ) sin( )O A                       ; 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 sin cos cos( ) ( ) sin( ) sin( )O B                       ; (2.9) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2sin cosO B O B O B O B O C O C                . В целом прохождение углового коридора по программной траектории 0 0 0 1 2D B A A A (рис. 2) можно рассматривать состоящим из пяти последовательных участков: 1) 1 1 1 0,5     ; 2) 1 2 1 1 1     ; 3) 1 1 20     ; 4) 1 3 2 1 4     ; 5) 2 1 30     . При этом управляющие воздействия 1 2 3, ,   в форме углов между звеном AB и вертикальными плоскостями колес A и B (для 1 и 2 ) и между звеном BD и плоскостью колеса D (для 3 ) выражаются как функции углов 1 и 2 , т.е. 140 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 4 2 1 3 2 1 4 / 2 , / 2 , ; , 0 ; 0, ; 0, 0 ;                                           1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1 1 2 1 4 2 1 3 2 1 4 / 2 , / 2; / 2 , ; / 2 , 0 ; 0, ; 0, 0 ;                                             (2.10) 1 1 1 1 2 1 1 1 3 2 1 1 2 2 1 4 2 1 3 2 5 2 1 4 0, / 2; 0 , ; / 2 , 0 ; / 2 , ; / 2 , 0 ,                                             где 1 1 1arccos ( / )r    ; 1 2 1arcsin( / )r    ; 1 3 2arccos( / )r    ; 1 4 2arcsin ( / )r    . Углы i определяются зависимостями  1 1 1arccos 1 ( / ) cosr    ; 1 1 1 / 2     ;  3 1 1arcsin 1 ( / )sinr    ; 1 1 20     ;  5 2 2arcsin 1 ( / )sinr    ; 2 1 30     . Производные по времени от управляющих воздействий 1 , 2 , 3 для строк в (2.10), содержащих 1 3 5, ,   , имеют вид 1 1 1 1 1 1 2 21 sin cos cos r                 ; 2 1 1 1 1 1 2 1 cos sin sins s s s s s r                     ; 2,3s  . (2.11) В интервале 1 1 20     имеются следующие зависимости между углами 2 и 1 : 2 21 1 2 1 12 2 2 arccos 1 sin sin r r r                    ; 2 22 2 1 2 22 1 2 arcsin 1 sin cos r r r                    . (2.12) Координата центра колеса A определяется выражением 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 5 2 1 4 cos , ; 2 cos cos , 0 ; cos (1 cos ), 0 . X A X X a x a a r                                      (2.13) Методика определения вектора реакций неголономных связей, действующих на колеса двухзвенного робота, изложена в [2]. В несколько иной форме для модели (2.4), (2.5) уравнения реакций приведены в настоящей работе ниже в зависимостях (2.14), (2.15). 141 §3. Численный пример. Для корректности оценки динамической модели и эффективности снижения реак- ций неголономных связей транспортного средства, движущегося в угловом коридоре по сглаженной программной траектории 0 0 0 1 2D B A A A (рис. 2), приняты параметры коридора и динамической системы: 1,6мCx  ; 1,3мCy   ; 1 100кгm  ; 2 10кгm  ; 1 25кгмCJ  ; 2 22кгмCJ  ; 1 1,5м ; 2 1,2м ; 1 1м  ; 2 0,5м  ; 0B DF F  . Приведенное усилие, развиваемое двигателем колеса A , задано зависимостью 0, 0; , 0 ; 0, 2 ; A X A A X X X A x a F P x a a a x         10P H ; Нормальные реакции , ,A B DN N N , действующие на колеса , ,A B D со стороны опор- ной поверхности (направлены перпендикулярно плоскости соответствующего коле- са), могут быть определены на основе кинетостатики после приложения сил и момен- тов сил инерции  1 1 1 2 1 1 11 1 1 1 1 sin( ) ( , ) cosA O C A CN m J f              2 1 1 1 2 1 11 1 cos( ) sinO C A Am F         ;  2 2 2 1 2 2 2 2 22 2 2 3 1 sin( ) ( , ) cosD O C D CN m J f                    2 2 2 2 1 2 2 2 32 2 cos( ) sinO C D Dm F             ; (2.14) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 11 1 2 1 cos( ) sin( ) cos( ) ( , ) sin( )B A A O C AN F N m f                     2 ) ,1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 21 1 2 2 sin( ) cos( cos( ) ( )O C A B O C Dm F m f                     2 2 2 1 2 2 3 2 32 2 sin( ) sin( ) cos( )O C D D Dm N F                  . В (2.14) принято 1 2 1 1 cos arcsinA O C      ; 2 2 1 2 2 2 cos( ) arcsinD O C          . Суммарные реакции сил трения, действующие на колеса , ,A B D в точках их контакта с основанием, могут быть представлены зависимостями 2 2 , , ,J J JR N F j A B D   . Ввиду того, что при 1 2 0   знаменатель в BN по (2.14) также стремится к нулю, необходимо при 1t t перейти ко второй зависимости, т.е. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21 1 1 2 1 sin( ) cos( ) ( , ) sin( ) cos( )B A A O C AN F N m f                     2 ) ,1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 21 1 2 2 cos( ) sin( sin( ) ( )O C A B O C Dm F m f                     2 2 2 1 2 2 3 2 3cos( ) cos( ) sin( )D D Dm N F                 . (2.15) 142 Рис. 4 а в д б г е 143 На рис. 4, а, б, в, г, д, е изображены некоторые переменные, полученные в ре- зультате численного интегрирования уравнения (2.4). Сплошными линиями показаны зависимости траектории с радиусом закругления 0,3мr  ; пунктирными – для 0, 4мr  и точечными – для 0, 25мr  . На рис. 4, б сплошная линия соответствует углу 1 (рад), пунктирная – угловой скорости 1 (с-1). Решение подтверждает, что на величины реакций, действующих на колеса, значительно влияет размер радиуса r закругления траекторий (рис. 2), которые увеличиваются с уменьшением радиуса r . Увеличение этого радиуса позволяет увеличить скорость прохождения углового ко- ридора и повысить устойчивость от опрокидывания. Таким образом, изложенная модель и программа позволяет установить необходи- мые механические характеристики двигателей при заданных параметрах двухсекци- онного экипажа и коэффициенте трения скольжения между колесами и опорной по- верхностью, при которых будет отсутствовать скольжение колес по поверхности, т.е. переход в неуправляемое движение. Проиллюстрирован динамический эффект при использовании гладкой программной траектории и непрерывного движения с сохра- нением максимально возможных размеров (1.3) звеньев экипажа для прохождения данного коридора. Заключение. Рассмотрена кинематика сочлененного двухзвенного транспортного робота с тре- мя управляемыми колесами. Движение происходит в угловом коридоре. Выполнен геометрический синтез гладкой (по первой производной) программной траектории при сохранении оптимальной маневренности экипажа. Разработана динамическая модель движения экипажа по отмеченной траектории. Для общего случая движения даны аналитические выражения реакций в точках контакта колес с основанием. Отме- чено существенное влияние радиуса кривизны программной траектории на величины реакций. Р Е ЗЮМ Е . Досліджено кінематику зчленованого дволанцюгового транспортного робота з трьома керованими колесами. Рух відбувається в кутовому коридорі. Виконано геометричний синтез гладкої (за першою похідною) програмної траєкторії зі збереженням оптимальної маневреності екіпажу. Розроблено динамічну модель руху екіпажа за заданною траєкторією. Для загального ви- падку руху наведено аналітичні вирази реакцій в точках контакту коліс з основою. Відмічено суттєвий вплив радіуса кривизни програмної траєкторії на величини реакцій. 1. Ларин В.Б. О выборе программной траектории движения составного колесного экипажа // Прикл. механика. – 2010. – 46, N 3. – С. 94 – 101. 2. Ларин В.Б. Определение реакций связей двухзвенного колесного транспортного робота с тремя рулевыми колесами // Прикл. механика. – 2010. – 46, N 4. – С. 96 – 101. 3. Лурье А.И. Аналитическая механика. – М.: Физматгиз, 1961. – 824 с. 4. Almeida F.J., Pereira L., Borges-Sousa J. On the Design of a Hybrid Feedback Control System for a Non- Holonomic Car-like Vehicle // Proc. of the 4th European Control Conf. (ECC97). – Brussels (Belgium), 1997. – P. 1 – 4. 5. Anik’ev I.I., Mikhailova M.I., Sushchenko E.A. Experimental Determination of the Reaction of an Elastic Cantilever-Rod System to a Shock Wave // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 6. – P. 736 – 743. 6. Antonyuk E.Ya., Zabuga A.T. Synthesis of a Program Trajectory for a Wheeled Vehicle to Bypase Side Ob- stacles // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 9. – P. 1065 – 1073. 7. Bloch A.M. Nonholonomic mechanics and control. – New York: Springer – Verlag, 2003. – 483 p. 144 8. Bryson A.E. Jr., Ho-Yu-Chi. Applied Optimal Control. Optimization, Estimation and Control. – Waltham, Massachusetts: Braisdell Publishing Company, 1969. – 544 p. 9. Goldsmith W. Impact. – London, 1960. – 340 p. 10. Jonas A. Zukas, Theodore Nicholas, Hallock F. Swift, Longin B. Greszczuk, Donald R. Curran. Impact Dynamics. – New York, 1982. – 452 p. 11. Hussein I.I., Bloch A.M. Optimal Control of Underactuated Nonholonomic Mechanical Systems // IEEE Trans. Automat. Control. – 2008. – 53, N 3. – P. 668 – 682. 12. Larin V.B. The Control of Manipulators and Wheeled Transport Robots as Systems of Rigid Bodies // Int. Appl. Mech. – 2000. – 36, N 4. – P. 449 – 481. 13. Larin V.B. Control of a Compound Wheeled Vehicle with Two Steering Wheels // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 12. – P. 1413 – 1420. 14. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. Bifurcation Processes in Periodically Perturbed Systems // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 1. – P. 114 – 123. 15. Oriolo G., Panzleri S., Ulivi G. Cyclic Learning control of chained-form systems with application to car- like robots // IFAC 13th Trienni World Congress: Proc. Mobile Robots (San Francisco). – 1996. – P. 187 – 192. 16. Pars L.A. A Treatise on Analytical Dynamics. – London: Heinemann, 1964. – 641 p. Поступила 22.03.2011 Утверждена в печать 26.06.2013

К динамике двухсекционного экипажа в угловом коридоре

Institution

Ähnliche Einträge