Хаотические колебания пластинок при их двустороннем взаимодействии с потоком движущейся жидкости
Запропоновано математичну модель взаємодії тонкої пластинки з потоком рідини, що рухається. У моделі коливань пластинки враховано геометрично нелінійне деформування. Взаємодія пластинки з потоком рідини описується гіперсингулярним інтегральним рівнянням. Хаотичні коливання цієї системи досліджено на...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладная механика |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2014
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100620 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Хаотические колебания пластинок при их двустороннем взаимодействии с потоком движущейся жидкости / К.В. Аврамов, Е.А. Стрельникова // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 86-93. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859610924267077632 |
|---|---|
| author | Аврамов, К.В. Стрельникова, Е.А. |
| author_facet | Аврамов, К.В. Стрельникова, Е.А. |
| citation_txt | Хаотические колебания пластинок при их двустороннем взаимодействии с потоком движущейся жидкости / К.В. Аврамов, Е.А. Стрельникова // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 86-93. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | Запропоновано математичну модель взаємодії тонкої пластинки з потоком рідини, що рухається. У моделі коливань пластинки враховано геометрично нелінійне деформування. Взаємодія пластинки з потоком рідини описується гіперсингулярним інтегральним рівнянням. Хаотичні коливання цієї системи досліджено на основі розрахунків перерізів Пуанкаре та спектру показників Ляпунова.
A mathematical model of interaction of a thin plate and a flux of moving fluid is proposed. In the vibrations of the plate, the geometrical nonlinear deformation is taken into account. An interaction of the plate with the flux of fluid is described by the hypersingular integral equation. The chaotic vibrations of this system is studied by use of the Poincare sections and the Lyapunov exponent spectrum.
|
| first_indexed | 2025-11-28T11:58:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
2014 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 50, № 3
86 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2014, 50, № 3
К .В .А в р а м о в , Е .А .С т р е л ь н и к о в а
ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК ПРИ ИХ ДВУСТОРОННЕМ
ВЗАИМОДЕЙСТВИИ С ПОТОКОМ ДВИЖУЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ
Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины,
ул. Дм. Пожарского 2/10, 61046, Харьков, Украина, e-mail: kvavr@kharkov.ua
Abstract. A mathematical model of interaction of a thin plate and a flux of moving
fluid is proposed. In the vibrations of the plate, the geometrical nonlinear deformation is
taken into account. An interaction of the plate with the flux of fluid is described by the hy-
per-singular integral equation. The chaotic vibrations of this system is studied by use of the
Poincare sections and the Lyapunov exponent spectrum.
Key words: geometrically nonlinear vibrations of plates, potential flow of incompressi-
ble inviscous fluid, Lyapunov characteristic exponents, Pioncare sections.
Введение.
Взаимодействие тонкостенных конструкций с движущейся жидкостью или газом
наблюдается в элементах морской техники, энергетике, аэрокосмической технике.
Такое взаимодействие может привести к возникновению флаттера и, как следствие, к
усталостному разрушению конструкции. Поэтому понятен постоянный интерес уче-
ных и инженеров к таким задачам. Большинство публикаций в этой области связано с
односторонним обтеканием пластинки газовым потоком при сверхзвуковых скорос-
тях [6, 7, 11]. В [8] рассмотрена пластина, нагруженная постоянной нагрузкой в плос-
кости и взаимодействующая с потоком. Показано, что, в основном, шести собствен-
ных форм достаточно для адекватного описания поведения системы. Однако, в случае
переходных движений число мод, необходимых для адекватного описания поведения
системы, равняется тридцати.
В статье [4] исследована динамика пластинки при ее двухстороннем взаимодейст-
вии с безвихревым потоком. Для описания потока, обтекающего пластинку, использо-
ван метод дискретных вихрей. В [5] исследовано геометрически нелинейное дефор-
мирование пологих оболочек в покоящейся жидкости. Для моделирования жидкости
применяется метод дискретных вихрей. Пластинка в потоке малых дозвуковых ско-
ростей рассмотрена в [14]. Принято, что поток несжимаемый, невязкий и потенциаль-
ный. Метод дискретных вихрей применен для описания взаимодействия потока с ко-
леблющейся пластинкой. В [9] рассмотрены колебания пластинки, погруженной в
жидкость. Модель колебаний пластинки с конечным числом степеней свободы полу-
чена с помощью метода конечных элементов. Потенциал скоростей жидкости пред-
ставлен в виде сингулярного интеграла. Бифуркации и хаотические колебания плас-
тин и оболочек подробно обсуждаются в монографии [2].
В даной статье рассмотрена гибкая пластинка при ее двухстороннем взаимодейст-
вии с потоком невязкой, несжимаемой, потенциальной жидкости. Взаимодействие
жидкости с пластинкой описано гиперсингулярным интегральным уравнением, для
решения которого применен метод Бубнова – Галеркина. Автоколебания пластины
описаны нелинейной динамической системой с конечным числом степеней свободы.
Исследованы хаотические колебания в полученной системе на основе расчета спектра
характеристических показателей Ляпунова и сечений Пуанкаре.
87
1. Математическая модель системы.
Рассмотрим динамику шарнирно-опертой
пластины в потоке невязкой, несжимаемой, без-
вихревой жидкости, которая на некотором рас-
стоянии от пластинки имеет постоянную ско-
рость V (рис. 1). Динамика жидкости описывает-
ся потенциалом скоростей , , ,x y z t . Попе-
речные перемещения пластины обозначим через
( , , )w x y t . Тогда условие непроницания жидко-
сти через поверхность пластины представим так:
2
,
h
z w
w w
V
z x t
(1)
где h толщина пластинки. Используя интеграл
Коши – Лагранжа, получим перепад давлений,
действующий на пластинку, в следующем виде:
,
w
p p
V
t x
(2)
где ,p p давления жидкости на верхнюю и нижнюю стороны пластины; ;
значения потенциала скоростей на верхней и нижней сторонах пластины; w плот-
ность жидкости. На кромках пластинки выполняется следующее соотношение:
p p . Функцию , , ,x y z t представим в виде потенциала двойного слоя так [13]:
2 2 2
1 2 3
1 1
, , , , ,
4 S
x y z t t dS
n x y z
(3)
где n орт нормали к поверхности пластинки; , t плотность цирку-
ляции скорости; 2, 0 ; 0S x y R x a y b область, занимаемая срединной
плоскостью пластинки. Подставив соотношение (3) в (1), в результате получим сле-
дующее гиперсингулярное интегральное уравнение:
2
2 2 2
1 2 3
1 1
, .
4 S
w w
V t dS
x t z n x y z
(4)
После тождественных преобразований это уравнение можно представить так:
1 2 1 2
3 22 2
1 2
, ,1
.
4 S
t d dw w
V
x t x y
(5)
Пластинка, взаимодействующая с потоком, может совершать автоколебания. Для
адекватного описания колебаний пластинки учитывается геометрическая нелиней-
ность. Вследствие этой нелинейности, амплитуды колебаний пластинки в области
флаттера конечны. В этой работе рассматриваются тонкие пластинки. Поэтому сдви-
говыми деформациями и инерцией вращения пренебрегаем; колебания пластинки
опишем уравнениями Кармана. Тогда автоколебания пластинки в потоке жидкости
описываются гиперсингулярным интегральным уравнением (5) и двумя нелинейными
уравнениями в частных производных [13]:
Рис. 1
88
2 22
4
1 1
12
p W
X
h
w w w V
E Eh
21
2 ;YY XX XY XY XX YYF w F w F w
Eh
(6)
241
,XY XX YYF w w w
Eh
(7)
где p плотность материала пластинки; ,E модуль Юнга и коэффициент Пуас-
сона; коэффициент линейного демпфирования; F функция напряжений.
Циркуляцию скорости разложим по собственным формам колебаний шарнирно
опертой пластинки:
1 1
1 2
1 2
1 1
, , ( ) sin sin .
N N
l m
l m
l m
t C t
a b
(8)
Прогиб пластины w разложим по собственным формам ее линейных колебаний так:
1 2
1 2
1 2
1 1
, , ( )sin sin .
s sN N
r r
r r
r x r y
w x y t t
a b
(9)
Соотношения (8, 9) введем в сингулярное интегральное уравнение (5) и восполь-
зуемся методом Бубнова – Галеркина. В результате получим следующую систему ли-
нейных алгебраических уравнений относительно ( )l mC t :
1 1
1 2 1 2 1 1 2 1
1 1
( ) 1, ... ; 1, ...
N N
n n lm lm n n
l m
a C t b n N n N
, (10)
где
1 2
1 2
1 2
1 2
3 22 2
1 2
sin sin
1
sin sin ;
4n n lm
S S
l m
d d
n x n y a b
a dxdy
a b x y
1 2 1 2 2 2 1 2 1
1 2
1 2
1
1 1
sin sin 0, 25 ( )
s sN N
n n r r r n n n r
r rS
n x n yw w
b V dx dy bV t r
x t a b
1 2 1 1 2 2
1 21 1
0,25 ( ) ;
s sN N
r r r n r n
r r
ab t
2 2r n символ Кронекера;
1 1
1 1 1 1
1 2 1
1 1 1 1
1 1 ( 1)
1 ( 1) .
n r
n r n r
n n r n r n r
Решение системы линейных алгебраических уравнений (10) представим так:
1 2
1 2
1 1
1 1
( ) 1,..., ; 1,..., .
s sN N
r r
lm l m
r r
C C t l N m N
(11)
Если решение (11) ввести в (10), получим системы линейных алгебраических уравне-
ний. Решения этих систем представим так:
89
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
( )
( ) ( )
,, ,
1 1 1 2
0.25 ( ) 0,25 ( )
1, ..., ; 1, ..., ; 1,..., ; 1, ... , .
r r
r r r r
l ml m r r l m r r
s s
y
C Vb t ab t
x
l N m N r N r N
(12)
Параметры
1 2
,
r r
l m и
1 2
,
r r
l m определяются из следующих систем линейных алгебраиче-
ских уравнений:
1 1
1 2
1 2 2 2 1 2 1, 1
1 1
;
N N
r r
l mn n lm r n n n r
l m
a r
(13)
1 1 1 2
1 2 1 1 2 2
( )
,
1 1
;
N N r r
l mn n lm r n r n
l m
a
1 1 2 1 1 21,..., ; 1, ..., ; 1, ..., ; 1, ..., .s sn N n N r N r N (14)
Рассмотрим метод расчета элементов матрицы систем линейных алгебраических
уравнений
1 2n n lma . Коэффициенты
1 2n n lma вычисляются из гиперсингулярных инте-
гралов (10). На основании интегрирования по частям коэффициенты
1 2n n l ma предста-
вим в виде
1 2
1 2 1 2
1
1 22 2 2
1 2
cos sin cos sin
4n n lm
S
n x n y l m
n l a b a b
a d d d x d y
a x y
1 2 1 2
2
1 22 2 2
1 2
sin cos sin cos
.
4 S
n x n y l m
n m a b a b
d d d x d y
b x y
(15)
Используя правила вычисления гиперсингулярных интегралов, представленные в мо-
нографии [1], получаем следующее соотношение:
1 2
1 22 2
1 2
cos sin
cos sin ,
S
l m
l x m ya b
d d R x y
a bx y
1 2
1 22 2
1 2
cos sin
FS
l m
a b
d d
x y
(16)
2 2
2 2
( , ) ln ;
y
y
x x z
R x y dz
x z x
2
1 2 1 2; , ;FS S S S R x x x x y y y y
.
Итак, в правой части уравнения (16) нет особенности в знаменателе; поэтому ин-
тегралы (16) не относятся к гиперсингулярным. Величины
1 2n n lma вычисляются со-
гласно формулам
90
1 2
1 2
1 1 2
1 22 2 2
1 2
cos sin
cos sin
4
F
n n lm
S S
l m
n l n x n y a b
a dx dy d d
a ba x y
1 2
2 2 1
1 22 2 2
1 2
sin cos
cos sin
4
FS S
l m
n m n y n x a b
dx dy d d
b ab x y
(17)
2 1
1 2
2 2
( , ) .
16 mn l n
n l n mab
R x y
a b
Итак, решение гиперсингулярного интегрального уравнения сведено к последова-
тельности решений линейных алгебраических уравнений.
Построим динамическую модель нелинейных колебаний пластинки с конечным
числом степеней свободы. Соотношение (9) введем в (7) и получим линейное неодно-
родное уравнение в частных производных. Решение этого уравнения представим в виде
,p gF F F (18)
где pF частное решение неоднородного уравнения; gF общее решение однород-
ного уравнения. Частное решение неоднородного уравнения имеет следующий вид:
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
(1)
2 2 1 1
, , , 1
0,5 cos cos
SN
p r r p p r r p p
r r p p
F A r p r p
1 2 1 2
(2)
2 2 1 1cos cosr r p pA r p r p
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 2
(3)
2 2 1 1
, , , 1
cos cos
SN
r r p p r r p p
r r p p
r r и p p
r p и r p
A r p p r
(19)
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
(4)
2 2 1 1
, , , 1
cos cos
SN
r r p p r r p p
r r p p
r r и p p
A r p p r
(параметры
1 2 1 2 1 2 1 2
(1) (4), ...,r r p p r r p pA A не приводим для краткости изложения). Общее реше-
ние однородного уравнения gF определим, используя процедуру из [2]. Следуя этой
процедуре и удовлетворяя граничным условиям для пластинки, получаем 0gF .
Если полученное решение (18, 19) подставим в уравнение (6) и применим метод
Бубнова – Галеркина, то в результате получим следующую динамическую систему:
1 2 1 2 1 2 1 2 1,1 1,2
, 1
1 2
, ,... 0
1, ..., ; 1,..., ,
SN
n n lm l m n n lm l m n n lm l m n n
l m
S S
M D K R
n N n N
(20)
1 2
1 2
1,1 1,2, ,... 2 sin sinn n YY XX XY XY XX YY
S
n x n y
R F w F w F w dxdy
a b
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
,
, , , , , 1
;
SN
n n
lmr r p p lm r r p p
r r p p l m
91
1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( , ) ( , )( , )0, 25 ; 0,25 ;
l m l ml m
n n n nn n lm p l n mn W n n l m W n n n n lmM h ab D V b F
1 2 1 2 1 2
22 2
4 2 1 ( , )
2 2
0, 25 ;l m
n n lm l n mn W n n
l m
K D V a b F
a b
1 2 1 21 2 1 2 1 1 2 1 2 1
1 1
( , )( , )( , ) ( , )
1 1; ;
l ml ml m l m
r n r nn n n n r n n n n r
r r
F r F r
1 2
коэффициенты линейного демпфирования .n n lm
2. Численный анализ хаотических колебаний.
Произведем численный анализ колебаний пластинки в потоке воды (рис. 1) при
следующих численных значениях параметров системы:
11 3 3 3 30,04м ; 2 10 Па ; 7,8 10 кг / м ; 1 10 кг / м ; 0,3;p wh E
1 21 1 20,5 м ; 3; 5000 кг / с , , , 1, 2, 3 .s n n lma b N N n n l m
Исследуем устойчивость тривиального состояния равновесия 0 . При
0,0855M оно теряет устойчивость и появляются два дополнительных состояния
равновесия, которые описывают дивергенцию пластинки. Такое ветвление состояний
равновесия соответствует бифуркации типа «вилы» [15]. Результаты анализа состоя-
ний равновесия пластинки представлены на рис. 2, где показана зависимость первой
обобщенной координаты 1 от числа Маха M .
Рис. 2
При 0,11423M в системе возникают хаотические колебания [3]. Они исследу-
ются в диапазоне 0,11423; 0,116M . Для анализа хаотических колебаний рассчи-
таны сечения Пуанкаре системы (20) во всем исследуемом диапазоне M . Сечения
Пуанкаре выбирались так: 2
1, 0 .NR
В качестве примера сечения Пуанкаре при 0,1144M приведены на рис. 3, где
показана 931 точка, описывающая хаотический аттрактор системы. Как следует из
численных расчетов, вид сечений Пуанкаре не изменяется во всем исследуемом диа-
пазоне М .
92
Рис. 3
Рис. 4.
Произведен анализ размахов хаотических колебаний; для этого определены
max i и min i . Зависимость max i и min i от M приведена на рис. 4, а
сплошной линией. Пунктирной линией показаны состояния равновесия системы, опи-
сывающие дивергенцию пластинки. Из этого рисунка следует, что хаотические коле-
бания наблюдаются около одного из дивергентных состояний равновесия.
Отметим, что как при дивергентных состояниях [11], так и при хаотических коле-
баниях наибольшие абсолютные величины имеют первая и седьмая обобщенные ко-
ординаты, т.е. эти координаты наиболее «активны».
Для исследования хаотических колебаний выполнен расчет характеристических
показателей Ляпунова. Для этого систему уравнений динамической системы (20) ин-
тегрировали совместно с уравнениями в вариациях. Через некоторые равные проме-
жутки времени производилась ортогонализация решений уравнений в вариациях.
Подробно процедура расчета спектра характеристических показателей изложена в
93
монографии [12]. Результаты расчетов двух максимальных характеристических пока-
зателей Ляпунова при различных значениях M приведены на рис. 4, б. Как видно из
представленных результатов, хаотические колебания имеют два положительных ха-
рактеристических показателя. Величина 3 соответствует нулевому характеристичес-
кому показателю. Итак, во всем диапазоне изменения M хаотические колебания
имеют два положительных характеристических показателя.
Заключение.
В статье исследовано двухсторонее взаимодействие колеблющейся пластины с
потоком движущейся жидкости. Построена математическая модель этого взаимодейс-
твия. Оно описывается гиперсингулярным интегральным уравнением, которое реше-
но методом Бубнова – Галеркина. Рассмотрены колебания пластинки с учетом ее гео-
метрически нелинейного деформирования. Эта нелинейность ограничивает амплиту-
ды колебаний в области флаттера.
Исследованы хаотические колебания пластинки, которые наблюдаются около од-
ного дивергентного состояния равновесия. Для исследования хаоса расчитаны сече-
ния Пуанкаре и спектр характеристических показателей Ляпунова. Показано, что в
спектре наблюдаются два положитеьных характеристических показателя Ляпунова.
Во всем исследуемом диапазоне структура хаотических колебаний не меняется.
Р Е ЗЮМ Е . Запропоновано математичну модель взаємодії тонкої пластинки з потоком рідини,
що рухається. У моделі коливань пластинки враховано геометрично нелінійне деформування. Взає-
модія пластинки з потоком рідини описується гіперсингулярним інтегральним рівнянням. Хаотичні
коливання цієї системи досліджено на основі розрахунків перерізів Пуанкаре та спектру показників
Ляпунова.
1. Кантор Б.Я., Стрельникова Е.А. Гиперсингулярные интегральные уравнения в задачах механики
сплошной среды. − Харьков: Новое слово, 2005. − 250 с.
2. Amabili M. Nonlinear vibrations and stability of shells and plates. − Cambridge: Cambridge University
Press, 2008. − 420 p.
3. Avramov K.V., Karaban V.N. Resonance under Random Vibrations of Discrete Dynamic Systems with
Piecewise – Linear Elastic Characteristic // Int. Appl. Mech. – 1997. – 33, N 7. – P. 584 – 588.
4. Avramov K.V., Strel’nikova E A., Pierre C. Resonant many–mode periodic and chaotic self–sustained
aeroelastic vibrations of cantilever plates with geometrical nonlinearities in incompressible flow //
Nonlinear Dynamics – 2012. – N 70. – P. 1335 – 1354.
5. Breslavsky I. D., Strel’nikova E. A., Avramov K. V. Dynamics of shallow shells with geometrical nonlin-
earity interacting with fluid // Computers and Structures. – 2011.– 89. – P. 496 – 506.
6. Dowell E.H. Flutter of a buckled plate as an example of chaotic motion of a deterministic autonomous
system // J. Sound and Vibration. − 1982. − N 85. − P. 333 – 344.
7. Dowell E.H., Hall K.C. Modeling of fluid – structure interaction // Annual Review of Fluid Mechanics. –
2001. – N 33. – P. 445 – 490.
8. Epureanu B.I., Tang L.S. Paidoussis M.P. Coherent structures and their influence on the dynamics of
aeroelastic panels // Int. J. of Non-linear Mechanics. − 2004. − N 39. − P. 977 – 991.
9. Fu Y., Price W.G. Interactions between a partially or totally immersed vibrating cantilever plate and the
surrounding fluid // J. Sound and Vibration. − 1987. − N 118.− P. 495 – 513.
10. Kurilov E., Mikhlin Y. Nonlinear Vibrations of Cylindrical Shells with Initial Imperfections in a Super-
sonic Flow // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, N 9. – P. 1000 – 1008.
11. Martynyuk A.A, Mullazhonov. Revisiting the Theory of Stability of StationaryLlinear Large–Scale Sys-
tems // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 1. – P. 101 – 111.
12. Parker T.S., Chua L.O. Practical numerical algorithms for chaotic systems. – New York: Springer, 1989. – 654 p.
13. Shul’ga N.A. Mixed System of Equations in Kirchhoff’s Theory of the Transverse Vibrations of Plates //
Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 2. – P. 203 – 210.
14. Tang D., Dowell E.H. Limit cycle oscillations of two–dimensional panels in low subsonic flow // Int. J.
of Non-linear Mechanics. − 2002. − 37. − P. 1199 – 1209.
15. Vel’magina N.A. Bifurcations of the Self–Exciting Oscillations of a Wheeled Assembly about Straight–
Line Motion // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 6. – P. 726 –731.
Поступила 26.04.2011 Утверждена в печать 03.12.2013
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100620 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T11:58:04Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Аврамов, К.В. Стрельникова, Е.А. 2016-05-24T15:10:05Z 2016-05-24T15:10:05Z 2014 Хаотические колебания пластинок при их двустороннем взаимодействии с потоком движущейся жидкости / К.В. Аврамов, Е.А. Стрельникова // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 86-93. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100620 Запропоновано математичну модель взаємодії тонкої пластинки з потоком рідини, що рухається. У моделі коливань пластинки враховано геометрично нелінійне деформування. Взаємодія пластинки з потоком рідини описується гіперсингулярним інтегральним рівнянням. Хаотичні коливання цієї системи досліджено на основі розрахунків перерізів Пуанкаре та спектру показників Ляпунова. A mathematical model of interaction of a thin plate and a flux of moving fluid is proposed. In the vibrations of the plate, the geometrical nonlinear deformation is taken into account. An interaction of the plate with the flux of fluid is described by the hypersingular integral equation. The chaotic vibrations of this system is studied by use of the Poincare sections and the Lyapunov exponent spectrum. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Хаотические колебания пластинок при их двустороннем взаимодействии с потоком движущейся жидкости Chaotic Vibrations of Plates Two-Sided Interacting with Flux of Moving Fluid Article published earlier |
| spellingShingle | Хаотические колебания пластинок при их двустороннем взаимодействии с потоком движущейся жидкости Аврамов, К.В. Стрельникова, Е.А. |
| title | Хаотические колебания пластинок при их двустороннем взаимодействии с потоком движущейся жидкости |
| title_alt | Chaotic Vibrations of Plates Two-Sided Interacting with Flux of Moving Fluid |
| title_full | Хаотические колебания пластинок при их двустороннем взаимодействии с потоком движущейся жидкости |
| title_fullStr | Хаотические колебания пластинок при их двустороннем взаимодействии с потоком движущейся жидкости |
| title_full_unstemmed | Хаотические колебания пластинок при их двустороннем взаимодействии с потоком движущейся жидкости |
| title_short | Хаотические колебания пластинок при их двустороннем взаимодействии с потоком движущейся жидкости |
| title_sort | хаотические колебания пластинок при их двустороннем взаимодействии с потоком движущейся жидкости |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100620 |
| work_keys_str_mv | AT avramovkv haotičeskiekolebaniâplastinokpriihdvustoronnemvzaimodeistviispotokomdvižuŝeisâžidkosti AT strelʹnikovaea haotičeskiekolebaniâplastinokpriihdvustoronnemvzaimodeistviispotokomdvižuŝeisâžidkosti AT avramovkv chaoticvibrationsofplatestwosidedinteractingwithfluxofmovingfluid AT strelʹnikovaea chaoticvibrationsofplatestwosidedinteractingwithfluxofmovingfluid |