Пространственная контактная задача для упругого слоя и цилиндрического штампа с начальными напряжениями
На основі лінеаризованної теорїї пружності отримано розв’язок осесиметричної змішаної задачі про тиск пружнього циліндричного штампу на шар з початковими (залишковими) напруженнями. Дослідження проведені в загальному вигляді для теорії великих початкових деформацій та різних варіантів теорії малих п...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладная механика |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2014
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100628 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Пространственная контактная задача для упругого слоя и цилиндрического штампа с начальными напряжениями / Н.А. Ярецкая // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 30-40. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859869193192603648 |
|---|---|
| author | Ярецкая, Н.А. |
| author_facet | Ярецкая, Н.А. |
| citation_txt | Пространственная контактная задача для упругого слоя и цилиндрического штампа с начальными напряжениями / Н.А. Ярецкая // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 30-40. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | На основі лінеаризованної теорїї пружності отримано розв’язок осесиметричної змішаної задачі про тиск пружнього циліндричного штампу на шар з початковими (залишковими) напруженнями. Дослідження проведені в загальному вигляді для теорії великих початкових деформацій та різних варіантів теорії малих початкових деформацій при довільній структурі пружного потенціалу
Basing on the linearized theory of elasticity, a solution is obtained for an axisymmetric mixed problem on pressure of elastic stamp on a layer with initial (residual) stresses. The study is carried out in the general form for the theory of large (finite) deformations and different variants of the theory of small initial deformations in the case of arbitrary elastic potential.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:50:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
2014 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 50, № 4
30 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2014, 50, № 4
Н .А .Я р е ц к а я
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО СЛОЯ
И ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ШТАМПА С НАЧАЛЬНЫМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ
Хмельницкий национальный университет,
ул. Институтская, 11, 29016, Хмельницкий, Украина;
e-mail: massacran2@ukr.net
Abstract. Basing on the linearized theory of elasticity, a solution is obtained for an axi-
symmetric mixed problem on pressure of elastic stamp on a layer with initial (residual)
stresses. The study is carried out in the general form for the theory of large (finite) deforma-
tions and different variants of the theory of small initial deformations in the case of arbitrary
elastic potential.
Key words: linearized theory of elasticity, initial (residual) stresses, Fredholm equation,
method of successive approximations.
Введение.
Современный анализ подходов к построению теорий и основных результатов
применительно к трехмерной линеаризованной теории устойчивости деформируемых
тел и трехмерной линеаризованной теории распространения упругих волн в телах с
начальными (остаточными) напряжениями изложен в публикациях [2, 8]. С примене-
нием подходов [2, 8] современный анализ результатов выполнен для ряда проблем
линеаризованной механики деформируемых тел: для задач контактного взаимодейст-
вия упругих тел с начальными (остаточными) напряжениями [2, 6]; для теории устой-
чивости локального состояния равновесия черных пород возле их выработок [2] (это
задачи исключительно для неоднородных докритических состояний). Существует
также ряд других обобщающих публикаций по линеаризованной механике деформи-
руемых тел [4, 5, 7, 9 – 15]; выше отмечены публикации, полностью или частично свя-
занные с тематикой настоящей статьи, которая посвящена исследованию контактного
взаимодействия упругих штампов и упругих тел, когда в них действуют также и на-
чальные (остаточные) напряжения.
Контактное действие конечного цилиндрического штампа на полупространство с
начальными (остаточными) напряжениями рассмотрено в [3]. Задача о давлении без
сил трения жесткого кругового штампа на слой с начальными напряжениями пред-
ставлена в [1], где решение пространственной линеаризованной осесимметричной
задачи рассмотрено в общем виде.
Ниже в рамках линеаризованной теории упругости [2, 6] приведено решение
смешанной осесиметричной задачи о давлении упругого цилиндрического штампа на
слой с начальными (остаточными) напряжениями. Рассмотрены случаи, когда слой
лежит на жестком основании без трения и слой скреплен с жестким основанием. Ис-
следования выполнены в общем виде для теорий больших (конечных) начальных де-
формаций и различных вариантов теорий малых начальных деформаций при произ-
вольной структуре упругого потенциала.
Исследования проведены в координатах начального деформированного состояния
Oyi,, которые связаны с лагранжевыми координатами (естественного состояния) соот-
31
ношениями yi = λi xi ( 1, 3)i , где λi – коэффициенты удлинения, определяющие пере-
мещения начального состояния. Принято, что начальные состояния в слое и цилиндре
– однородны и равны, а упругие потенциалы – дважды непрерывно-дифференцируе-
мые функции алгебраических инвариантов тензора деформации Грина [2]. Кроме то-
го, действие штампа вызывает в слое малое возмущение основного напряженно-
деформированного состояния, для которого выполняются условия 11 22
0 0 0;S S
33
0 0;S 1 2 3 .
Величины, относящиеся к упругому штампу, записываем в принятых обозначени-
ях [2] с верхним индексом (1), а величины, относящиеся к предварительно напряжен-
ному слою, с начальными (остаточными) напряжениями – с верхним индексом (2).
§1. Постановка задачи и основные со-
отношения.
Пусть упругий цилиндрический штамп
(рис. 1) радиуса R и высотой Н с начальны-
ми (остаточными) напряжениями вдавлива-
ется в упругий слой под действием силы Р
после возникновения там начальных напря-
жений (возникают до контакта); h1 – толщи-
на слоя в начальном деформированном со-
стоянии (она связана с толщиной h2 в неде-
формированном состоянии соотношением
h1 = λ3h2). Сила приложена к упругому
штампу так, что его свободный торец де-
формируется в направлении оси Oy3 на одина-
ковую величину , а поверхности вне облас-
ти контакта остаются свободными от напря-
жений.
В системе круговых цилиндрических координат (r, θ, zi) ( 1, 2)i , такой поста-
новке задачи соответствуют граничные условия:
1) на торце упругого штампа 1
i iz Hv , где i iv n ( 1, 2)i :
(1) (1)
3 3; 0 (0 )ru Q r R ; (1.1)
2) на границе упругого слоя в области контакта zi = 0:
(1) (2) (1) (2) (1) (2)
3 3 33 33 3 3; ; 0 (0 )r ru u Q Q Q Q r R ; (1.2)
3) на границе упругого слоя вне области контакта zi=0:
(2) (2)
33 30; 0 ( )rQ Q R r ; (1.3)
4) на боковой поверхности упругого штампа r = R:
(1) (1) 1
30; 0 (0 ).rr r i iQ Q z Hv (1.4)
На нижней поверхности слоя, лежащего на жестком основании и скрепленного с
основанием, 3 2 / /i i i iz h v h v
( 1,2),i имеем
(2) (2)
3 30; 0 (0 ) ;ru Q r (1.5)
(2) (2)
3 0; 0 (0 ),ru u r (1.6)
где in корни разрешающего уравнения [2, ф-ла (2.19)].
Рис. 1
32
Равнодействующая внешних сил определяется согласно равенству
1
(2)2
33
0
2 (0, ) .P R Q d
Для определения напряженно-деформированного состояния в упругом цилиндре с
начальными напряжениями используем линеаризованные уравнения [2, с. 78], из ко-
торых следуют выражения для компонентов вектора перемещения и тензора напря-
жения для сжимаемых и несжимаемых тел. Тогда общее решение 1 2 для
случая неравных корней n1 ≠ n2 разрешающего уравнения [2, ф-лы (2.19)] примем в
виде
2 2 2 2 2 2 3 3
1 2 0 1 2 1 2 1 2
8 8 6 8 6
1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 3
r z z r z z z z z z
H H
( ) 1 2
0 0 1 1 1 0 2 2 23
1 1 1
( )
( )sin( ) ( )sin( )
( )
k k
k k k k
k k
I v R
b s I v r z v I v r z v
I v R
0 2 1 3 2( ) ( ) ( )k k k kJ r S z S z
2 2 2 2 2 21
1 1 0 1 1
8 8 6
1 1
( 2 ) ( 2 ) (3 2 )
4 3
z
r z r z r z
H
( )1 2
0 3 0 1 1 1 0 2 1
1 1 1
( )
( )sin( ) ( ) ( ) ;
( )
kk
k k k k k
k k
I v R
s b I v r z v J r S z
I v R
2 2 2 2 2 22
2 2 0 2 2
8 8 6
1 1
( 2 ) ( 2 ) (3 2 )
4 3
z
r z r z r z
H
( )1 2
0 3 0 2 2 2 0 3 2
1 1 1
( )
( )sin( ) ( ) ( ) .
( )
kk
k k k k k
k k
I v R
s b I v r z v J r S z
I v R
Тогда получим формулы для перемещений и усилий
(1) 2 ( ) 1 2
3 0 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2
16 1 1
( )
( ) cos( ) ( ) cos( )
2 ( )
k k
r k k k k k
k k
I v Rr
U b s v I v r z v v I v r z v
H I v R
4 1 5 22
1
1 2
( ) k k
k k k
S z S z
J r
v v
;
(1) 1 1 2 2
3 0
6 1 2
1
1 1
m z m z
U
H n n
2 ( ) 1 2
3 0 1 0 1 1 1 2 0 2 2 2
1 1 1
( )
( )sin( ) ( )sin( )
( )
k k
k k k k k
k k
I v R
b s m I v r z v m I v r z v
I v R
33
1 2 1 2 3 22
0
1 2
( ) k k
k k k
m S z m S z
J r
n n
;
(1)
33 44 1 1 0
6 1 2
1
1
s
Q C m l
H v v
3 ( ) 1 2
3 0 1 0 1 1 1 2 0 2 2 2
1 1 1
( )
( ) cos( ) ( ) cos( )
( )
k k
k k k k k
k k
I v R
b s n I v r z v sn I v r z v
I v R
4 1 5 23
0
1 2
( ) k k
k k k
S z sS z
J r
v v
;
(1) 3 ( ) 1 2
3 44 1 0 3 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1
1 1 1
( )
1 ( )sin( ) ( )sin( )
( )
k k
r k k k k k
k k
I v R
Q C m s b v I v r z v v I v r z v
I v R
3 0
1 2 1 3 2
1 2
1
( )k k k k k
s
J r S z S z
n n
; (1.8)
(1) 3 ( )7 1 2
44 0 3 1 0 1 1 2 2 2
16 1 1
( )
cos( ) (1; ) cos( ) (2; )
2 ( )
k k
rr k k k k k
k k
I v R
Q D b n s z v F r n z v F r
H I v R
4 1 5 22 0
1
1 2
1
( ) k k
k k
S z S zc
J r
r v v
1 0 2 0
0 4 1 5 2
1 2
( )k k k k k
c c c c
J r S z S z
v v
(Jv(x), Iv(x) – функции Бесселя действительного и мнимого аргументов);
2 1 0 2 02
0 2 2 2 2
1 01 2( )
3 3
1 1 2 2 1 0
4 ( )
( ) ( )
( ) (2) (1)
k
k k k kk
k k k k
c c c cv
R J
v sv R v R
b
v H I v R v W v s W
;
0 0
0
1
( ) 1
( ) ( )
( )
k m
k m
k m k m
I v R c
W m c c
I v R v R
(m = 1,2);
0
0 0 1
1
( ; ) ( ) ( )k i k i k i
k i
c
F i x c c I v x I v x
x v
(і = 1, 2); 1 2 1 2
8 6 3 3
1 2 2 1
; ;
m m m m
n n v v
1 2
1 1
v v
;
0 1 0 2
7
1 2
1 2 1 2c c c c
v v
; 2 2
0 0
1 1
1
; ;
1
m l
s s s
m l
34
2
2 1 1 12
1
( ) ch( ) cth sh( ) ;k
k k k
k
lR
S z z z
v
2
4 1 1 12
1
( ) sh( ) cth ch( ) ;k
k k k
k
lR
S z z z
v
2
2
3 2 2 22
21 0
( ) cth sh( ) ch( ) ;k
k k k
k
ln R
S z z z
vn s
2
2
5 2 2 22
21 0
( ) cth ch( ) sh( ) .k
k k k
k
ln R
S z z z
vn s
Напряженно-деформированное состояние в упругом слое с начальными (остаточ-
ными) напряжениями для неравных корней (n1 ≠ n2) определим [2] через гармониче-
ские функции в виде интегралов Ханкеля. Удовлетворив третьему условию (1.2), вто-
рому – (1.3) и условиям (1.5), (1.6), после ряда преобразований имеем
(2)
3 3 0 0
0 0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
F F
u J d G h J d
; (1.9)
(2) (2)
1 033 3
0
( ) ( ) ; 0rQ F J d Q
1 2 1 1
1 44 1 1 1 2 3 0
1 1 2 2
1
(1 ) ; ; ; ;
m m v v
C l m s s s s
m m v v
1 1 1 3
1 3
1
( )
( ) 1 ( ); / ; 2 ; ; ;i i
i
m s sh H
G h q h h h R l
v Rn
2 3 2
2 3 2 3 2 1 3 2 2 1
2 1 2 1 2
(cth cth );
.( ) ( )sh ch ( )ch sh
( sh sh ch ch )
i
s s
q s ss s s s s ss
s
(1.10)
В (1.10) значения коэффициентов ni, mi, c44, li, κ приведены в [2].
2. Метод решения.
Используя решение для цилиндра (1.8) и удовлетворяя третьему условию (1.2),
второму условию (1.4), находим собственные значения задачи (1.1) – (1.6) (для случая
неравных корней n1 ≠ n2)
(2 1)
k
k
H
; k
k R
( 1( ) 0kJ ). (2.1)
Удовлетворив первым условиям (1.2) и (1.3), определим неизвестную функцию
F(η) для (1.9) из парных интегральных уравнений (для неравных корней)
0
0
( )
( ) ( ) ( 1);
F
J d q
0
0
( ) ( ) 0 ( 1)F J d
(2.2)
35
3 1
0 4 0
13 0
( ) ( ) ( )
( ) 1 ( ) ;k k
k
F G h J
q J d
1 2
4
1 2 0
m m
n n s
.
Применение формулы обращения к (2.2) приводит ее к интегральному уравнению
типа Фредгольма второго рода относительно функции F(η), т.е.
3 0
0 0 4 0
13 0
( ) ( ) ( , )( ) 2
( 1) ( ,0) ( , )k k
k
F u G uh uF
du
u
(2.3)
1
0 02 2
0
sin cos sin cos sin
( , ) cos cos ; ( , ) ; ( ,0) .n
n
x x y y y x x
x y t xt ytdt x y x
xx y
Удовлетворив второму граничному условию (1.2), имеем
5
1 0 2
0
( )
( ) ; k k
k
E FF
J d
H R
;
1
0 0
0 0
( ) ( ) ( )kF d J J d
2
3 0 1 0 2 2
, 1 1 1 1 2 1
4 ( )
cth cth
2
k k k k
mn kn n k
m n
s v R J l ll v
l Rv l v v v
1 0 2 02
0 2 2 2 2
1 01 2
3
1 2 2 1 0
( )
( ) ( )
;
( ) (2) (1)
n
n m n m
mn
m k m m
c c c cv
J
v sv R v R
I v R v W v s W
4 2 2 1
1 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1
( ) ( ) ;
( )kn k k n
n k n k
l v v
I v R J
l v R v R
2 1 1 2
5 3 3
1 2 2 1
( )
.
( )
v v s n n
m v m v E
Решение уравнения (2.3) определим используя метод последовательных прибли-
жений для kr , приняв за нулевое приближение функцию
(0)
3
( ) 2
( )
F
p
0 0 4 0
1
( ) ( 1) ( ,0) ( ) .k k
k
p
Последующие приближения определим по формуле
( ) ( 1)
0
0
( ) 2 ( )
( ) ( )
j jF F u
G uh J u du
u
.
Тогда решение (2.3) запишем в таком виде:
( )
0
( ) ( )j
j
F F
. (2.4)
Отметим, что процесс последовательных приближений (2.4) сходится при 1h
(ввиду громоздкости доказательства оно здесь не приводится).
36
Удовлетворив первым двум граничным условиям (1.2), с учетом ортогональности
бесселевых функций J0(μkρ) и значений интегралов
1
0 0 0 1 0
0 0 0
( , ) ( ) ( ) ( , ); ( , ) ( ) (0, );n k k n n k k kd J J d J d
1
1
0 0
( , )2
cos ( )cos ( , ),j n
j n
u
tdt G uh utdu
u
для определения постоянных χi (і = 0, 1, 2, …), которые входят в (1.8) и (2.4), получим
бесконечную систему алгебраических уравнений
0
( 0, 1, 2, ...)k k kn n k
n
k
. (2.5)
Коэффициенты системы представим в виде
2
0 0 02
0 0 2 3
2 22 2 1
1
3
D D DD
h h h
22
0 2 2 04 2
02 4 5 2
2
( 4 )
5 63 3
D D D DD D
D
h h
22
0 6 4 02 2 4
46 7 2
194 1
11 ... ;
21 1218 15 6
D D D DD D D
D
h h
2 3
2 30 0 0 2
0 4 0 1 1 1 22 3 2 3
4 42 2 1
(0, ) ( ) ( ) ( ) ( )
3n n n n n n
n
D D D D
r r r r
h h h
2
20 2 2 04
1 5 2 3 1 5 23 4 5 3 2
2 21
( )(3 ( ) 2 ( )) ( ) ( )(3 ( ) ( ))
3 3n n n n n n n
n n n
D D D DD
r r r r r r r
h h
2
0 4 2
1 3 6 2 55 6
2
( )(16 ( ) 3 ( )) ( ) ( )
83 n n n n n
nn
D D D
r r r r r
h
(2.6)
2
0 0 4 2
1 1 3 6 5 5 25 7 2
41
( ) ( )(3 ( ) ( )) ( )(3 ( ) 4 ( ))
33 n n n n n n n
nn
D D D D
r r r r r r r
h
6
42
( ) ...
5 n
n
D
r
;
2
3 0 5 32 2
00
1 1 1 2 1
( )
cth cth ; ;
2
k k k k
k
J l l REl v
Rv l v v v l
2 3
2 30 0 0 2
0 1 1 1 22 3 2 3
4 42 2 1
(0, ) ( ) ( ) ( ) ( )
3k k k k k k
k
D D D D
r r r r
h h h
37
2
20 2 2 04
1 5 2 3 1 5 23 4 5 3 2
2 21
( )(3 ( ) 2 ( )) ( ) ( )(3 ( ) ( ))
3 3k k k k k k k
k k k
D D D DD
r r r r r r r
h h
2
0 4 2
1 3 6 2 55 6
2
( )(16 ( ) 3 ( )) ( ) ( )
83 k k k k k
kk
D D D
r r r r r
h
2
0 0 4 2
1 1 3 6 5 5 25 7 2
41
( ) ( )(3 ( ) ( )) ( )(3 ( ) 4 ( ))
33 k k k k k k k
kk
D D D D
r r r r r r r
h
6
42
( ) ...
5 k
k
D
r
;
2 3
2 30 0 0 2
0 4 0 1 1 1 22 3 2 3
4 42 2 1
(0, ) ( ) ( ) ( ) ( )
3k k k k k k
k
D D D D
r r r r
h h h
2
20 2 2 04
1 5 2 3 1 5 23 4 5 3 2
2 21
( )(3 ( ) 2 ( )) ( ) ( )(3 ( ) ( ))
3 3k k k k k k k
k k k
D D D DD
r r r r r r r
h h
2
0 4 2
1 3 6 2 55 6
2
( )(16 ( ) 3 ( )) ( ) ( )
83 k k k k k
kk
D D D
r r r r r
h
2
0 0 4 2
1 1 3 6 5 5 25 7 2
41
( ) ( )(3 ( ) ( )) ( )(3 ( ) 4 ( ))
33 k k k k k k k
kk
D D D D
r r r r r r r
h
6
42
( ) ...
5 k
k
D
r
;
3 0 1
4 0
1
22
( , )kn n k mn km
m
s v R
l
2 3
2 2 (1)0 0 0 2
1 1 1 1 1 1 82 3 2
4 42 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )
2k n n k n k k n
D D D D
r r r r r r r
h h h
2
(2) (1) 2 (3)0 2 2 04
1 8 9 1 84 5 2
2 21
( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , )
24k k n k n k k n
D D D DD
r r r r r
h h
2
(2) (1)2
0 4 1 9 5 86 3
61
( ) ( , ) ( ) ( , )
6 k k n k k n
k
D
D D r r r r
h
2 2
(1,5) (3) 22 0 0 4 6
1 5 8 9 1 107 2 3 2 5
21
( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ...
7206k k k n k n k k n
k k
D D D D D
r r r r r r
h
38
2
1 2
0
sin
( ) ; ( ) ; ( ) 3 cos (2 3)sin ;n k
n k k k k k k
k
D t G t dt r r
4 3
3 2
2
( ) sin cos ( );
5k k k k k kr r
5 2 4 2
4
2 2
( ) ( sin cos ) 5 ( 3)cos (2 10 15)sin ;
3 5k k k k k k k k k k kr
2
5 ( ) (2 )sin 2 cos ;k k k k kr 4 2 2
6 ( ) ( 12 1)sin (4 1) cos ;k k k k k k kr
6 4 2 4 2
7 ( ) ( 30 360 720)sin 6 ( 20 120)cos ;k k k k k k k k kr
( ) 5 1 5 1
8 3 3
( ) ( ) ( ) ( )
( , ) ;m k n n k
k n
k n
mr r r r
r
( ) 1 6 5 5 6 1
9 5 3 3 5
( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( )
( , ) ;m k n n k k n
k n
k n k n
r r r r mr r
r
1 7 6 5 5 6 7 1
10 7 5 3 3 5 5
( ) ( ) 15 ( ) ( ) 15 ( ) ( ) ( ) ( )
( , ) .k n n k n k k n
k n
n n k n k k
r r r r r r r r
r
Таким образом, задача сводится к вычислению квадратур Dn, которые (из-за
сложности )(1
1 xq в элементарных функциях вычислить не представляется возмож-
ным) для потенциалов конкретной структуры допускают числовую реализацию на
ЭВМ. Причем, для слоя, который лежит на жесткой основе без трения (1.5), при
n1 ≠ n2, можно использовать приближенное выражение
2
1
1
2
sh( ) sh( )0, 28
( ) 1
sh( ) sh( )1 1
x x
q x
x x
0
1 2
1 1
; .s s
v v
(2.7)
Используя условие равновесия (1.7), установим связь между осадкой и равнодей-
ствующей нагрузкой Р в таком виде: 1
5 1 02 ( )P E H
Определив неизвестные постоянные χi (і = 0, 1, 2, …) из системы (2.5), вычислим
перемещения и напряжения как в упругом штампе, так и в слое по формулам (1.8) и
(1.9). В результате этого решение представим в виде рядов через бесконечную систе-
му констант, которые определяются из системы регулярных линейных алгебраиче-
ских уравнений (2.5). Причем в системе (2.5) коэффициенты k и kn зависят от ве-
личин, определяющих структуру упругого потенциала, высоту упругого штампа Н и
толщину предварительно напряженного слоя, а свободные члены зависят только от
корней характеристического уравнения n1, n2.
§3.Числовые результаты.
С учетом (2.7) система (2.5) решена методом редукции для потенциала Трелоара
(тело неогуковского типа) для следующих значений параметров: k = n = 16; v = 0,5;
Н = 10; λ1 = (0,7; 0,8; 0,9; 1,0; 1,1; 1,2). На рис. 2 – 4 показано распределение контакт-
ных напряжений и перемещений под штампом 2
33 /R Q P , 3 /U , /rU для
h = 1,6, а на рис. 5, 6 – для h = 4. Причем, значениям λ1 соответствуют кривые снизу
39
вверх по возрастанию λ1. Пунктирные кри-
вые соответствуют слою без начальных
напряжений (λ1 = 1), а сплошные – с на-
чальными (остаточными) напряжениями.
Заключение.
Анализ аналитического решения и
числовые результаты позволяют сформу-
лировать следующие выводы.
1. Для потенциалов, которые соот-
ветствуют неравным корням n1 ≠ n2 (по-
тенциал Трелоара – тело неогуковского
типа), при λ1 = 1 представленное в работе решение в рамках линеаризованной теории
упругости с учетом начальных напряжений не совпадает с аналогичным решением
для линейного трансверсально-изотропного тела (без начальных напряжений) из-за
несовпадения соответствующих им общих решений.
2. Влияние начальных напряжений на напряженно-деформированное состояние
упругого цилиндрического штампа состоит в следующем: а) начальные напряжения в
слое приводят в случае сжатия ( 1 1 ) к уменьшению напряжений в упругом цилин-
дре, а в случае растяжения ( 1 1 ) – к их увеличению (для перемещений – наоборот);
б) наибольшее влияние начальных напряжений отмечено на боковой поверхности
цилиндрического штампа.
3. Начальные напряжения в упругом слое приводят к существенному изменению
закона распределения контактных напряжений, при этом в случае сжатия контактные
напряжения значительно уменьшаются (в случае растяжения – увеличиваются), а пере-
мещения в случае сжатия значительно возрастают (при растяжении – уменьшаются).
Рис. 2
Рис. 4
Рис. 3
Рис. 5
Рис. 6
40
4. Характер влияния начальных напряжений не зависит от толщины слоя.
5. Более существенное влияние (количественного характера) начальные (остаточ-
ные) напряжения оказывают в высокоэластичных материалах по сравнению с более
жесткими материалами; качественное влияние – имеет идентичный характер.
6. При стремлении начальных (остаточных) напряжений к значениям соответст-
вующим поверхностной неустойчивости слоя и штампа, появляются эффекты «резо-
нансного» характера, которые заключаются в том, что напряжения и перемещения в
контактирующих телах резко изменяются (напряжения стремятся к нулю, а переме-
щения неограниченно возрастают).
Таким образом, в данной работе получены аналитические и графические зависимо-
сти, отражающие влияние начальных напряжений на напряженно-деформированное
состояние системы упругого цилиндра и слоя с начальными (остаточными) напряже-
ниями. Это влияние существенно как для сжимаемых, так и несжимаемых тел, и его
следует учитывать при расчетах на прочность деталей машин и конструкций.
Р Е ЗЮМ Е . На основі лінеаризованної теорїї пружності отримано розв’язок осесиметричної
змішаної задачі про тиск пружнього циліндричного штампу на шар з початковими (залишковими)
напруженнями. Дослідження проведені в загальному вигляді для теорії великих початкових
деформацій та різних варіантів теорії малих початкових деформацій при довільній структурі пружно-
го потенціалу
1. Бабич С.Ю., Рудницкий В.Б. О контактной задаче для предварительно напряженного слоя // Прикл.
механика. – 1987. – 23, №5. – С. 110 – 112.
2. Гузь А.Н., Рудницкий В.Б. Основы теории контактного взаимодействия упругих тел с начальными
(остаточными) напряжениями. – Хмельницкий: ПП Мельник, 2006. – 710 с.
3. Рудницкий Т.В. Контактное взаимодействие конечного цилиндрического штампа и полупростран-
ства с начальными (остаточными) напряжениями // Тез. докл. конф. «Современные проблемы
механики», посвященный 100-летию Л.А. Галина. – М., 2012. – С. 90.
4. Dhaliwal R.S., Singh B.M., Rokne J.G. Axisymmetric contact and crack problems for an initially stressed
Neo-Hookean elastic layer // Int. J. Eng. Sci. – 1980. – 18, N1. – Р. 169 – 179.
5. Gao X.-L., Mao J.C.L. Solution of the Contact Problem of a Rigid Conical Frustum Indenting a Trans-
versely Isotropic Elastic Half-Space // J. Appl. Mech. – 2014. – 81, N 4. – Р. 107 – 119.
6. Gaskins J., Scott B.N., Matthew R.B. Comprehensive Solutions for the Response of Freestanding Beams with
Tensile Residual Stress Subject to Point-Loading // J. Appl. Mech. – 2014. – 81, N3. – Р. 318 – 324.
7. Guz A.N., Babich S.Yu., Rudsnitsky V.B. Contact Problems for Elastic Bodies With Initial Stresses: Focus
on Ukrainian Research // Appl. Mech. Rev. – 1998. – 51, N5. – Р. 343 – 371.
8. Kassir M.K., Sih G.C. Mechanics of fracture. Three-dimensional crack problems // Netherlands Nordhoff
Int. Publ. – 1975. – N 2. – Р. 452.
9. Khotenko E.A. Numerical Analysis of a Nonlinear Elastic Rayleigh Wave // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48,
N 6. – P. 719 – 726.
10. Kurashige M. Circular Crack Problem for Initialy Stressed Neo-Hookean Solid // ZAMM. – 1969. – 49,
N 8. – Р. 671 – 678.
11. Paquet D., Lanteigne J., Bernard M. A New Experimental Method for the Introduction of a
Predetermined Amount of Residual Stresses in Fatigue Test Specimens // J. Appl. Mech. – 2012. – 79,
N 6. – Р. 162 – 171.
12. Rushchitsky J.J., Khotenko E.A. On the Role of Boundary Conditions in the Nonlinear Analysis of a
Rayleigh Wave // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 3. – P. 305 – 318.
13. Vasilikis D., Karamanos S. Discussion: Mechanics of Confined Thin-Walled Cylinders Subjected to
External Pressure // Appl. Mech. Rev. – 2014. – 66, N 1. – Р. 312 – 321.
14. Xiaogang X., Ryo K., Motoj Y. A Contact Force Model With Nonlinear Compliance and Residual Inden-
tation // J. Appl. Mech. – 2013. – 81, N 2. – P. 213 – 219.
15. Zak A. R. Stress in the vicinity of boundary discontinuities in bodies of revolution // J. Appl. Mech. –
1964. – 31, N 1. – Р. 83 – 92.
Поступила 12.04.2013 Утверждена в печать 03.12.2013
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100628 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:50:16Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ярецкая, Н.А. 2016-05-24T16:38:15Z 2016-05-24T16:38:15Z 2014 Пространственная контактная задача для упругого слоя и цилиндрического штампа с начальными напряжениями / Н.А. Ярецкая // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 30-40. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100628 На основі лінеаризованної теорїї пружності отримано розв’язок осесиметричної змішаної задачі про тиск пружнього циліндричного штампу на шар з початковими (залишковими) напруженнями. Дослідження проведені в загальному вигляді для теорії великих початкових деформацій та різних варіантів теорії малих початкових деформацій при довільній структурі пружного потенціалу Basing on the linearized theory of elasticity, a solution is obtained for an axisymmetric mixed problem on pressure of elastic stamp on a layer with initial (residual) stresses. The study is carried out in the general form for the theory of large (finite) deformations and different variants of the theory of small initial deformations in the case of arbitrary elastic potential. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Пространственная контактная задача для упругого слоя и цилиндрического штампа с начальными напряжениями Spatial Contact Problem for an Elastic Layer and a Cylindrical Stamp with Initial Stresses Article published earlier |
| spellingShingle | Пространственная контактная задача для упругого слоя и цилиндрического штампа с начальными напряжениями Ярецкая, Н.А. |
| title | Пространственная контактная задача для упругого слоя и цилиндрического штампа с начальными напряжениями |
| title_alt | Spatial Contact Problem for an Elastic Layer and a Cylindrical Stamp with Initial Stresses |
| title_full | Пространственная контактная задача для упругого слоя и цилиндрического штампа с начальными напряжениями |
| title_fullStr | Пространственная контактная задача для упругого слоя и цилиндрического штампа с начальными напряжениями |
| title_full_unstemmed | Пространственная контактная задача для упругого слоя и цилиндрического штампа с начальными напряжениями |
| title_short | Пространственная контактная задача для упругого слоя и цилиндрического штампа с начальными напряжениями |
| title_sort | пространственная контактная задача для упругого слоя и цилиндрического штампа с начальными напряжениями |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100628 |
| work_keys_str_mv | AT âreckaâna prostranstvennaâkontaktnaâzadačadlâuprugogosloâicilindričeskogoštampasnačalʹnyminaprâženiâmi AT âreckaâna spatialcontactproblemforanelasticlayerandacylindricalstampwithinitialstresses |