Резонансные колебания и виброразогрев гибкой жестко защемленной термовязкоупругой балки с пьезоактуаторами
Розглянуто задачу про вимушені резонансні коливання і дисипативний розігрів жорстко защемленої термов’язкопружної балки з п’єзоелектричними актуаторами при врахуванні геометричної нелінійності в квадратичному наближенні. В’язкопружну поведінку пасивного (без п’єзоефекту) і п’єзоактивного матеріалів...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладная механика |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2014
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100633 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Резонансные колебания и виброразогрев гибкой жестко защемленной термовязкоупругой балки с пьезоактуаторами / И.Ф. Киричок // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 77-86. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860090467573563392 |
|---|---|
| author | Киричок, И.Ф. |
| author_facet | Киричок, И.Ф. |
| citation_txt | Резонансные колебания и виброразогрев гибкой жестко защемленной термовязкоупругой балки с пьезоактуаторами / И.Ф. Киричок // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 77-86. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | Розглянуто задачу про вимушені резонансні коливання і дисипативний розігрів жорстко защемленої термов’язкопружної балки з п’єзоелектричними актуаторами при врахуванні геометричної нелінійності в квадратичному наближенні. В’язкопружну поведінку пасивного (без п’єзоефекту) і п’єзоактивного матеріалів описано в термінах тривалих і комплексних модулів. Для розв’язування нелінійної задачі електров’язкопружності і теплопровідності використано метод квазі-лінеаризації в поєднанні з чисельними методами дискретної ортогоналізації і кінцевих різниць. Досліджено вплив геометричної нелінійності, умов жорсткого закріплення і теплообміну на динамічні характеристики, температуру дисипативного розігріву, термічне руйнування балки та активне демпфування балки за допомогою п’єзоактуаторів.
A problem on forced resonance vibrations and dissipative heating of the rigidly clamed thermoviscoelastic beam with piezoelectric actuators is considered with allowance for geometrical nonlinearity in the quadratic approximation. The viscoelastic behavior of passive (without of piezoeffect) and piezoactive materials is described in terms of longterm and complex moduli. To solve the nonlinear problem of electroelasticity and heat conductivity, the method of quasi-linearization together with numerical methods of discrete orthogonalization and finite differences are used. An effect of geometrical nonlinearity, conditions of fasting and heat exchange on the dynamical characteristics, thermical rupture and active damping of the beam using the actuators is studied.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:22:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
2014 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 50, № 4
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2014, 50, № 4 77
И .Ф .К и р и ч о к
РЕЗОНАНСНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВИБРОРАЗОГРЕВ ГИБКОЙ ЖЕСТКО
ЗАЩЕМЛЕННОЙ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ БАЛКИ С ПЬЕЗОАКТУАТОРАМИ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: term@inmech.kiev.ua
Аbstract. A problem on forced resonance vibrations and dissipative heating of the rig-
idly clamed thermoviscoelastic beam with piezoelectric actuators is considered with allow-
ance for geometrical nonlinearity in the quadratic approximation. The viscoelastic behavior
of passive (without of piezoeffect) and piezoactive materials is described in terms of long-
term and complex moduli. To solve the nonlinear problem of electroelasticity and heat con-
ductivity, the method of quasi-linearization together with numerical methods of discrete
orthogonalization and finite differences are used. An effect of geometrical nonlinearity,
conditions of fasting and heat exchange on the dynamical characteristics, thermical rupture
and active damping of the beam using the actuators is studied.
Key words: thermoviscoelastic beam, forced resonance vibrations, dissipative heating,
piezoelectric actuators.
Введение.
В последние годы значительный интерес получили исследования об активном демп-
фировании механических гармонических колебаний тонкостенных елементов с по-
мощью пьезоэлектрических включений (актуаторов) [10, 19, 20]. Современное состо-
яние научных разработок в области активного демпфирования колебаний тонкостен-
ных элементов из упругих и вязкоупругих материалов отображено в ряде монографий
[10, 19, 20] и многочисленных статьях [1, 6, 8, 9, 11 – 17 и др.]. В условиях эксплуата-
ции таких элементов при интенсивных гармонических амплитудах нагружения стано-
вится необходимым при исследовании процессов их деформирования учитывать эф-
фекты физической и геометрической нелинейностей, а также влияние этих факторов
на работоспособность системы и электрические показатели при ее активном демпфи-
ровании. Построение электротермомеханических моделей динамического поведения
тонкостенных слоистых элементов из вязкоупругих пасивных (без пьезоэффекта) и
пьезоактивных материалов, учитывающих физическую и геометрическую нелинейности,
а также решение некоторых задач представлены в работах [1, 3 – 5, 13 – 15 и др.].
В статье [1], в частности, рассмотрена возможность гашения вынужденных колебаний
шарнирно опертой балки из физически нелинейного материала с помощью пьезоэлек-
трических актуаторов.
В данной статье рассмотрена задача о вынужденных колебаниях и диссипативном
разогреве жестко защемленной гибкой вязкоупругой балки с пьезоэлектрическими
актуаторами при электромеханческом гармоническом нагружении. Исследуется влияние
геометрической нелинейности на динамические и температурные характеристики
балки, коэффициент управления и критические значения амплитуд нагружения, при кото-
рых виброразогрев достигает температуры размягчения пассивного или точки Кюри
пьезоактивного материалов. Задача о термомеханическом поведении однослойной балки
из вязкоупругого материала в геометрически нелинейной постановке рассмотрена в [6].
78
1. Постановка задачи.
Рассмотрим трехслойную гибкую балку шириной b и длиной l . Средний слой тол-
щиной oh изготовлен из пассивного изотропного материала. Внешние слои толщиной
1h изготовлены из пьезокерамики с одинаковыми свойствами и толщинной поляриза-
цией в противоположных направлениях. Балка отнесена к прямоугольной системе ко-
ординат xyz , так что 10 , / 2, / 2 ( 2 )ox l y b z H H h h . Края балки жестко
защемлены. Материалы слоев предполагаем вязкоупругими с независящими от темпе-
ратуры свойствами. Принимаем, что верхний 0( / 2)z h и нижний 0( / 2)z h пьезос-
лои характеризуются значениями пьезомодулей 31d и 31d , соответственно. Внешние
( / 2)z H и внутрнние 0( / 2)z h поверхности пьезослоев покрыты бесконечно
тонкими електродами. Внутренние электроды поддерживаются при нулевом электриче-
ском потенциале 0( / 2) 0h . Электродированные внешние поверхности пьезосло-
ев бесконечно тонкими разрезами с кординатами 0 1 0 1, (0 )x x x x x l разделены на
отдельные участки. На балку действует поверхностное давление coso
zq q q t с
частотой , близкой к резонансной. К внешним электродам электродированного участка
(актуатора) площадью 1 0( )x xs b x x с частотой механического нагружения по-
дведена разность электрических потенциалов ( / 2) ( / 2) Re(2 )i t
aH H V e . Элект-
роды на участках 0 10 ,x x x x l закорочены ( 0)aV . Балка находится в услови-
ях конвективного теплообмена с окружающей средой.
При моделировании электромеханического поведения трехслойной гибкой балки
принимаем, что по всему пакету слоев справедливы гипотезы плоских сечений для
механических величин и адекватные предположения относительно электрических
переменных [2], из которых следует, что электрическая индукция ( constzD C )
является постоянной по толщине слоя. Температуру по толщине пакета постулируем
постоянной. Предполагаем, что деформации малы, но прогибы балки таковы, что в
кинематических соотношениях необходимо учитывать квадраты углов поворота. При
этом уравнения движения являются также нелинейными. Вязкоупругие свойства пасси-
вного и пьезоактивного материалов описываются интегральными операторами линей-
ной вязкоупругости, которые для гармонических процессов деформирования сведены
к операции умножения комплексных величин [ 2 ]
( )( ).B f B iB f if (1)
Здесь и далее одним и двумя штрихами обозначены действительные и мнимые вели-
чины, соответственно; 1 ;i 2 2 1/2( )f f f .
На основании принятых гипотез трехмерные соотношения вязкоупругой поляри-
зованной вдоль оси z пьезокерамики [ 2 ], например, для нижнего слоя имеют вид
11 31 31 33; ; / .E
x x z z x z zc e b E D b e b E E z (2)
Здесь 2
11 11 31 31 11 33 33 31 111 / ; / ; /E E E T Ec s b d s b d s ; 11 31 33, ,E Ts d – соответственно, изо-
термические операторы податливости, пьезомодуля и диэлектрической проницаемости
пьезоматериала. Для верхнего пьезослоя в (2) необходимо 31d заменить на 31d . Поведе-
ние пассивного изотропного материала описываем первой зависимостью из (2), в которой
необходимо положить 11
Ec E , 31 0b ( E – вязкоупругий модуль Юнга). В дальнейшем
знак опускаем.
Связь деформации xe с продольным u и нормальным w перемещениями имеет вид
21
; ; ; ,
2
x
xx x x x x x
u w
e z
x x x
(3)
79
где x угол поворота.
Из последних двух соотношений (2) с учетом (3) имеем равенство
2
31
1
33 33
1
,
2x x
bC
z z z C
b b
(4)
где 1C постоянная интегрирования.
Удовлетворяя (4) электростатическим граничным условиям ( / 2) ,aH V
0( / 2) 0h с учетом направления поляризации в пьезослоях и второго соотноше-
ния из (2), получим
0 1 31 0 1
33 31
1 1 33
; .
2 2
a a
z x x x
V h h V b h h
D C b b E z
h h b
(5)
В соотношениях (5) верхний и нижний знаки относятся к верхнему и нижнему пьезо-
слоям, соответсвенно.
Вводя вместо механических напряжений (2) интегральные величины усилий
/2
/2
H
x x
H
N b dz
и моментов
/2
/2
H
x x
H
M b zdz
по пакету слоев с учетом зависимостей
(3), (5), имеем
11 11; ;x x x x EN C M D M (6)
3
3 30
11 0 11 11 0 11 33 1 0
3 2 3 2
0 31 0 33 31 33
( ( 2 ); ( 2 2 ); / ;
12
(1 ) ; 3 6 4 ; / ).
E E
E a
bh
C bh E c D E c h h
M bh b V b b
(7)
Уравнения нелинейных колебаний гибкой балки в силу принятых гипотез имеют
вид [10]
2 2
2 2; ; .x x x
z x x x
N Q Mu w
q F Q N
x t x t x
(8)
В уравнениях (8) ;x x x xQ Q N F bH – площадь поперечного сечения балки; xQ
– перерезывающее усилие; 0 0 1 0 1( 2 ); ,bh – удельные плотности пассив-
ного и пьезоактивного материалов, соответственно.
При жестком закреплении краев балки механические граничные условия имеют
вид
0; 0; 0xu w при 0, .x x l (9)
Усредненное за период колебаний и в плоскости поперечного сечения уравнение
энергии рассматриваемой балки представим так:
2
2
1 2 ( )
( )z
c
T T b H
T T W
a t x F
(10)
/2
/2
( )
H
x x x x z z z z
H
b
W e e D E D E dz
F
(11)
– усредненная скорость диссипации; ( ) / 2; ,z – коэффициенты тепло-
обмена на поверхностях / 2; ,z H a – усредненные коэффициенты теплопровод-
ности и температуропроводности; cT – температура внешней среды).
80
Начальное и граничные тепловые условия на краях балки имеют следующий вид:
0 0,( 0); ( ) ( 0, ),l c
T
T T t T T x l
x
(12)
где 0,l –коэффициенты теплообмена; 0T – начальная температура.
2. Построение решения задачи.
При построении решения поставленной задачи разрешающие уравнения электро-
вязкоупругости (3), (6), (8) представим относительно искомых величин , , ,xu w
, ,x x xN Q M , записав соотноношення (3), (6) в таком виде:
21
; ; ;
2
x
c x x x D x D E
u w
J N J M J M
x x x
(13)
11 111 / ; 1 / .c DJ C J D (14)
При нагрузках типа
0 ( ) ( ) cos ( )sin ( 0)zq q x q x t q x t q (15)
пренебрегаем переходными процессами, ограничиваясь рассмотрением квазистацио-
нарных вынужденных колебаний и обусловленного составляющей 0 ( )q x квазистати-
ческого напряженно-деформируемого состояния. Приближенное решение нелиней-
ных уравнений (8), (13), (14) строим в виде гармонического ряда во времени [6].
Ограничимся построением решения в одночастотном приближении для переменных
, , ,x x xA w Q M , характеризующих изгиб балки, и при удержании до второй гар-
моники включительно в рядах для переменных , ,x xB u N плоского деформиро-
вания балки, так что имеем равенства
20 1 1 0
1
cos sin ; ( cos sin ).
k k
k
A A A t A t B B B k t B k t
(16)
Применяя изложенный в [ 6 ] подход, из разрешающих уравнений (8), (13) с гра-
ничными условиями (9) относительно коэффициентов представления (16) получаем
систему нелинейных дифференциальных уравнений порядка 22N . Линеаризуя по-
лученную систему с помощью метода квазилинеаризации [2], приходим к последова-
тельности решений линейных краевых задач вида
1
1
1 1
1 2
( ( ), ) ( , , );
(0) 0; ( ) 0 ( 0,1, 2, ),
n
n n n
E
n n
dY
A J k Y Y F q M Y
dx
B Y B Y l n
(17)
в которых
1 11 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 0 0 0
{ , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,x x x x x x x x x xxY u u u u w w N N N N Q Q M M u w N
00 0
, , }T
x x xQ M – вектор-столбец искомых функций; A и F
– квадратичная матрица
порядка N системы дифференциальных уравнений и вектор-столбец ее правых час-
тей, элементы которых из-за громоздкости не выписываются; 1,n nY Y
– решения на
( 1n )-ой и n -ой итерациях; 1 2,B B – прямоугольные матрицы, которые определяются
из условий (9).
На каждом шаге итерационного процесса задачу (17) решаем с помощью устой-
чивого метода дискретной ортогонализации [2]. При заданных амплитуде и частоте
81
нагрузки в качестве первого приближения имеем решение задачи колебаний в линей-
ной постановке. При расчете амплитудно-частотных характеристик применяем прием
продолжения решения по параметру частоты. Такая схема существенно уменьшает
количество итераций, необходимых для решения нелинейной задачи. После решения
нелинейной задачи вычисляем диссипативную функцию (11), которая в терминах ис-
комых величин имеет вид
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1
1 1 1 1
2 2
0 1 31 31 31 31 33 1
2( )
2
( ) [( ) ( ) ] 2 ( ) / .
x x x x x x x x x x x x
x x a x x a a a
W N N N N M M
F
h h b b b V b b V bb V V h
(18)
Задача теплопроводности (10), (12) с учетом (18) решается методом конечных раз-
ностей с использованием явной схемы.
При активном демпфировании механических колебаний гибкой балки пьезоактуато-
рами необходимо определить амплитуду и фазу электрического потенциала aV для ком-
пенсации действия механической нагрузки. Ограничимся случаем гармонического на-
гружения балки поперечным давлением (15) постоянной амплитуды 0
0( ) ( 0)q x q q и
определим компенсирующий показатель актуатора зависимостью [12]
0 ,a aV k q (19)
в которой ak – коэффициент управления; 1 0( ) /x x l – безразмерный параметр,
характеризущий размер актуатрора по длине балки.
Коэффициент ak вычисляется на основании решения линейной задачи по формуле
[12]
max max/ .a q Ek w w (20)
Здесь maxqw – максимальное значение амплитуды прогиба балки на частоте линейного
резонанса при нагрузке 0 1 ( 0)aq Па V , а maxEw – амплитуда, обусловленная дейст-
вием на электроды пьезоактуатора потенциалов 01 ( 0).aV В q Противофазность
действия электрического нагружения для компенсации поперечного давления учиты-
ваем с помощью зависимости cos( ) cosa aV t V t .
3. Результаты расчетов и их анализ.
Численные расчеты проведены для балки, пассивный слой которой выполнено из
полиметилметакрилата [7] с такими характеристиками:
0 0
10 2
3
0
; ( ) ; ( ) ( 1, 2); 0,308 10 Н/м ; 0;
0,16; 0,145; 0,076; 0,35; 2770 кг/м ; 0,45 Вт / (м C).
k k k k k k
p qE E i E E E k E E k k E
q p
Пьезослои изготовлены из вязкоупругой пьезокерамики типа ЦТСтБС – 2 [14],
электромеханические характеристики которой следующие:
12 2 10
11 31
2 12
33 0 0 0
3
1
(12,5 0,02 ) 10 м / Н; ( 1,6 0,0064 ) 10 Кл/м; 0,37;
0; (21 0,735 ) 10 ; 8,854 10 Ф/м; 20 C;
7520 кг/м ; 0,47 Вт / (м С).
E
E
T
E c
s i d i
i T T
Геометрические размеры балки таковы: 0 0 10,01м; ( 2 )h b H h h .
82
В силу способа нагружения и конструктивной симметрии в рассматриваемой бал-
ке реализуются, в основном, изгибные колебания. Поэтому расчеты проведено для
частот нагружения, близких к первой резонансной частоте изгибной моды колебаний.
На рис. 1 в зависимости от безразмерного параметра пьезоактуатора показаны
рассчитанные на резонансной частоте p кривые изменения максимальной амплиту-
ды прогибов 4(0,5) 10 мEw w (штрих-пунктирные линии) при подводе к внешним
электродам актуатора электрических потенциалов 0
01 ( 0, 0)a aV B V q q и
рассчитанного по формуле (20) коэффициента 210 В/Паa ak k (сплошные линии).
Кривые 1 соответствуют параметрам длины балки, толщины актуатора и частоты:
0,4м ;l 1 3 1 3 10 ( 560с ); 10 ( 565с ); 5 10 ( 652с ),p p p а кривые 2 –
0,2мl ; 1 3 1 3 10 ( 2280с ); 10 ( 2370с ); 5 10 ( 2710с )p p p . Пьезоактуа-
торы на поверхностях / 2z H балки располагали так, чтобы их центр сопадал с
точкой ( 0,5 )x l максимальных прогибов.
Из анализа кривых на рис. 1 и проведенных число-
вых экспериментов следует, что для жестко защемлен-
ной балки оптимальным является минимальной пло-
щади актуатор, который при электрическом нагруже-
нии вызывает максимальные прогибы. Его центр сов-
падает со срединой балки, а площадь характеризуется
параметром 0,55 . Значение этого параметра не за-
висит от относительных значений толщины 1 0h h
пьезо-слоев и длины l балки. Коэффициент управле-
ния ak оптимального актуатора возрастает с увеличе-
нием длины балки. Влиянием толщины пьезослоев при
210 в расчетах ak можно пренебречь. Ниже рас-
четы реализованы для балки длиной 0,4мl с пара-
метрами пьезоактуатора 30,55; 5 10 .
На представленных ниже рис. 2, 3 результаты,
характеризующиеся штриховыми кривыми, соответ-
ствуют решению линейной задачи, а спошными –
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
83
задачи при учете геометрической нелинейности (принято, что 0,l ). На рис. 2
и 3 показаны кривые 1, 2, 3 амплитудно-частотных (АЧХ) и температурно-частотных
(ТЧХ) характеристик относительных максимальных амплитуд 0(0,5 ) /w w l h (рис. 2)
и установившейся 2( / 0,1)at l тепературы виброразогрева 0(0)T T T (рис. 3),
сответственно, рассчитанные в случае механического нагружения с амплитудами
5 6 6
0 0,75 10 ; 0,15 10 ; 0,25 10 Паq ( 0)aV при 210 Вт / (м град) .
На рис. 4 на частоте колебаний 1652с рассматриваемой балки показаны кри-
вые зависимостей максимального значения относительных прогибов 0(0,5 ) /w w l h
от величины амплитуды механической нагрузки 0q .
Анализ графиков на рис. 2 – 4 показывает,
что влиянием геометрической нелинейности в
задаче о вынужденных колебаниях гибкой балки
можно пренебречь при нагрузках, вызывающих
относительные прогибы 0,2w на частоте ли-
нейного резонанса. При увеличении нагрузки
учет геометрической нелинейности приводит к
известному эффекту повышения резонансной
частоты и трансформации АЧХ и ТЧХ в харак-
теристики жесткого типа [6]. При этом макси-
мальные значения амплитуд прогибов на часто-
тах линейного и нелинейного резонансов мало
отличаются. Такой результат является подтвер-
ждением правомерности расчетов коэффициента
управления ak (20) на основании решения ли-
нейной задачи.
Распределение относительных прогибов w
и установившейся температуры виброразогрева
T вдоль оси балки на частоте 1652с и с
параметрами механического нагружения, отве-
чающие кривым 3 (рис. 2), представлены на рис. 5
и 6. Видно, что при жестком защемлении балки
максимальная температура разогрева достигает-
ся в окрестности ее торцов. Учет геометриче-
ской нелинейности (сплошные кривые) на час-
тоте линейного резонанса приводит к снижению
уровня амплитуды прогибов и температуры
виброразогрева.
Для компенсации вынужденных колебаний
балки с амплитудами нагрузки 5
0 0,75 10 ;q
6 60,15 10 ; 0,25 10 Па , при которых рассчитаны
АЧХ (рис. 2) и ТЧХ (рис. 3), по формуле (19)
при 20,107 10 В/Паak (рис. 1), находим сле-
дующие значения потенциала: 80,25;160,5;aV
267,5В . АЧХ и ТЧХ, соответствующие элек-
трической нагрузке при этих значениях aV , кри-
выми 1, 2, 3 показаны на рис. 7 и 8. Штрих-
пунктирные кривые 1, 2, 3 рассчитаны для случая
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
84
совместного противофазного воздействия на
балку указанных механической 0q и электричес-
кой aV нагрузок. Видно, что при таком нагру-
жении амплитуды прогибов балки уменьшаются
более, чем на два порядка, а температура вибро-
разогрева – близка к начальной. Этот результат
может быть обоснованием возможности гаше-
ния механических колебаний с помощью пьезо-
актуаторов при подводе к их электродам в про-
тивофазе соответствующей величины разности
электрических потенциалов. При этом величину
компенсирующего электрического потенциала
aV с достаточной для практики точностью
можно рассчитать на основе решения линейной
задачи.
При вынужденных колебаниях тонкостен-
ных слоистых элементов из пассивных и пьезо-
активных вязкоупругих составляющих потеря
работоспособности системы может произойти
из-за достижения температуры виброразогрева
критического значения, при котором либо пас-
сивная составляющая размягчается, достигая
температуры плавления, либо пьезоактивная –
деполяризуется, достигая температуры Кюри.
Поэтому при проектировании таких конструк-
ций одним из условий является определение
критических электромеханических нагрузок,
при которых температура виброразогрева дости-
гает критического значения.
На рис. 9 зависимости установившейся
( 0,1 ) температуры диссипативного разогре-
ва T на торце ( 0x ) и в центре ( 0,5x l ) бал-
ки от амплитуды механической нагрузки 0q на
частоте линейного резонанса 1652c пока-
заны кривыми 1, 2 при 25Вт / (м град) , а
кривыми 3, 4 – при 210Вт / (м град) , соот-
ветственно. Для коэффициента теплообмена
25Вт / (м град) эволюция температуры
виброразогрева T во времени в указаных
точках 0x , 0,5x l механически нагружен-
ной балки показана на рис. 10. Здесь кривые 1, 2
рассчитаны при 6
0 0,2 10 Паq , а кривые 3, 4 –
6
0 0,3 10 Паq .
Для рассматриваемой балки с пьезоактуато-
рами критическая температура размягчения по-
лиметилметакрилата близка к температуре депо-
ляризации пьезокерамики 180 Cp kT T , зна-
чение которой на рис. 9 и 10 отмечено штрих-
пунктирной линией.
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 9
85
Из анализа представленных на этих рисунках ре-
зультатов следует, что учет геометрической нелиней-
ности на до- и резонансных частотах нагружения по
сравнению с результатами решения линейной задачи
приводит к снижению температуры виброразогрева и
тем самым увеличивает значения критической нагруз-
ки 0 kpq q и времени kp , при которых достигает-
ся значение температуры размягчения пассивного или
деполяризации пьезоактивного материалов.
Отметим, что при электрическом возбуждении ко-
лебаний балки с помощью пьезоактуатора зависимости
максимального прогиба (рис. 4) и температуры вибро-
разогрева остаются такими же, если каждому значению
0q поставить в соответствие рассчитанные по формуле
(19) значения электрического потенциала aV .
Заключение.
Представлены приближенная постановка и численное решение задачи о резонанс-
ных вынужденных колебаниях и диссипативном разогреве жеско защемленной вязко-
упругой гибкой балки с пьезоактуаторами при электромеханическом моногармониче-
ском нагружении. Исследовано влияние геометрической нелинейности, условий жест-
кого закрепления и теплообмена на поверхностях балки на динамические характерис-
тики, температуру разогрева, величину критических значений амплитуд нагружения,
при которых виброразогрев достигает температуры размягчения пассивного материа-
ла либо деполяризации пьезоматериала актуатора. Численными расчетами показана
возможность гашения механических колебаний балки с помощью пьезоактуаторов.
Р Е ЗЮМ Е Розглянуто задачу про вимушені резонансні коливання і дисипативний розігрів
жорстко защемленої термов’язкопружної балки з п’єзоелектричними актуаторами при врахуванні
геометричної нелінійності в квадратичному наближенні. В’язкопружну поведінку пасивного (без
п’єзоефекту) і п’єзоактивного матеріалів описано в термінах тривалих і комплексних модулів. Для
розв’язування нелінійної задачі електров’язкопружності і теплопровідності використано метод квазі-
лінеаризації в поєднанні з чисельними методами дискретної ортогоналізації і кінцевих різниць. До-
сліджено вплив геометричної нелінійності, умов жорсткого закріплення і теплообміну на динамічні
характеристики, температуру дисипативного розігріву, термічне руйнування балки та активне демп-
фування балки за допомогою п’єзоактуаторів.
1. Жук Я.А., Сенченков И.К. Моделирование стационарных колебаний и диссипативного разогрева
тонкостенных неупругих элементов, содержащих пьезоактивные слои // Прикл. механика. –
2004. – 40, № 5. – С. 80 – 91.
2. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Электротермовязкоупругость. – К.: Наук. думка, 1988. – 320с. –
(Механика связанных полей в элементах конструкций: В 5-ти т.; Т. 4).
3. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф., Козлов В.И. Электромеханические колебания тонкостенных элемен-
тов с пьезоэффектом // Успехи механики: в 6-ти т.; Т. 2. – К.: «ACK», 2006. – С. 185 – 217.
4. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф., Козлов В.И. Влияние температуры диссипативного разогрева на
активное демпфирование вынужденных колебаний неупругих тонких пластин при помощи пье-
зоэлектрических сенсоров и актуаторов / «Актуальні аспекти фізико-механічних досліджень.
Акустика і хвилі». – К.: Наук. думка, 2007. – С. 127 – 152.
5. Карнаухов В.Г., Козлов В. І., Карнаухова Т.В. Моделювання вимушених резонансних коливань і
дисипативного розігріву гнучких вязкопружних пластин із розподіленими п’єзоактуаторами
// Фізико – математичні моделювання та інформаційні технології. – 2008. – Вип. 8. – C. 48 – 67.
6. Сенченков И.К., Киричок И.Ф. Вынужденные нелинейные колебания и диссипативный разогрев
вязкоупругой балки // Прикл. механика. – 1987. – 23, № 1. – С. 91 – 97.
Рис. 10
86
7. Стивенс К. Поперечные колебания вязкоупругого стержня с начальной кривизной под действием
периодической осевой силы // Прикл. механика. Сер. Е, Тр. Амер. о-ва инженеров-механиков. –
1969, – № 4 – С. 168 – 173.
8. Brennan M., Elliot S., Pinnington R. The dynamic coupling between piezoceramic actuators and a beam
// JASA. – 1997. – 102, N 4. – P. 1931 – 1942.
9. Blaguenon A., Lene F., Bernadou M. Active control of a beam using a piezoceramic element // Smart
Mater. Struct. – 1999. – 8. – P. 116 – 124.
10. Gabbert U., Tzou H.S. Smart structures and structronic systems. – Dordrecht: Kluver Acad. Publ., 2001.
– 384 p.
11. Karlash V.L. Forced Electromechanical Vibrations of Rectanqular Piezoceramic Bars with Separated
Electrodes // Int. Appl. Mech. – 2013. – 85, N 3 – P. 360 – 368.
12. Kirichok I. F. Control of Axisymmetric Resonant Vibrations and Self-Heating of Shells of Revolution
with Piezoelectric Sensor and Actuator // Int. Appl. Mech. – 2010 – 46, N 8. – P. 890 – 901.
13. Kirichok I.F. Forced Resonant Vibrations and Self-Heating of Flexible Circular Plate with Piezoactua-
tors // Int. Appl. Mech. – 2012 – 48, N 5. – P. 583 – 591.
14. Kirichok I.F. Forced Monoharmonic Vibrations and Self-Heating of Viscoelastic Flexible Circular Plates
with Piezoelectric Layers // Int. Appl. Mech. – 2013 – 49, N 6. – P. 715 – 725.
15. Lee C.K. Theory of laminated piezoelectric plates for the desingn of distributed sensor/ actuators. Part I:
Governing equations and reciprovel relations // J. Acoust. Soc. Amer. – 1990. – 87, 3. – P. 1144 – 1158.
16. Lee C.K., Moon F.C. Laminated piezopolymer plates for torsion and bending sensor and actuators //
J.Acoust. Soc. Amer. – 1989. – 85, N 6. – P. 2432 – 2439.
17. Liu G.R., Peng X.Q., Lam K.Y. Vibration control simulation of laminated composite plates with inte-
grated piezoelectrics // J. Sound and Vibr. – 1999. – 220. – P. 827 – 846.
18. Rao S.S., Sunar M. Piezoelectricity and its use in disturbance sensing and control of structure: A Survey
// Appl. Mech. Rev. – 1994. – 47, N 44. – P. 113 – 123.
19. Tzou H.S. Piezoelectric Shells (Distributed Sensing and Control of Continua). – Dordrecht – Boston –
London: Kluwer Academic Publishers, 1993. – 400 p.
20. Tzou H.S., Anderson G.L. (Eds.) Intelligent Structural Systems. – Dordrecht: Kluwer Academic Publish-
ers, 1992. – 453 p.
Поступила 02.11.2011 Утверждена в печать 03.12.2013
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100633 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:22:27Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Киричок, И.Ф. 2016-05-24T16:44:11Z 2016-05-24T16:44:11Z 2014 Резонансные колебания и виброразогрев гибкой жестко защемленной термовязкоупругой балки с пьезоактуаторами / И.Ф. Киричок // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 77-86. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100633 Розглянуто задачу про вимушені резонансні коливання і дисипативний розігрів жорстко защемленої термов’язкопружної балки з п’єзоелектричними актуаторами при врахуванні геометричної нелінійності в квадратичному наближенні. В’язкопружну поведінку пасивного (без п’єзоефекту) і п’єзоактивного матеріалів описано в термінах тривалих і комплексних модулів. Для розв’язування нелінійної задачі електров’язкопружності і теплопровідності використано метод квазі-лінеаризації в поєднанні з чисельними методами дискретної ортогоналізації і кінцевих різниць. Досліджено вплив геометричної нелінійності, умов жорсткого закріплення і теплообміну на динамічні характеристики, температуру дисипативного розігріву, термічне руйнування балки та активне демпфування балки за допомогою п’єзоактуаторів. A problem on forced resonance vibrations and dissipative heating of the rigidly clamed thermoviscoelastic beam with piezoelectric actuators is considered with allowance for geometrical nonlinearity in the quadratic approximation. The viscoelastic behavior of passive (without of piezoeffect) and piezoactive materials is described in terms of longterm and complex moduli. To solve the nonlinear problem of electroelasticity and heat conductivity, the method of quasi-linearization together with numerical methods of discrete orthogonalization and finite differences are used. An effect of geometrical nonlinearity, conditions of fasting and heat exchange on the dynamical characteristics, thermical rupture and active damping of the beam using the actuators is studied. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Резонансные колебания и виброразогрев гибкой жестко защемленной термовязкоупругой балки с пьезоактуаторами Resonance Vibrations and Dissipative Heating of a Rigidly Clamped Thermoviscoelastic Beam with Piezoactuators Article published earlier |
| spellingShingle | Резонансные колебания и виброразогрев гибкой жестко защемленной термовязкоупругой балки с пьезоактуаторами Киричок, И.Ф. |
| title | Резонансные колебания и виброразогрев гибкой жестко защемленной термовязкоупругой балки с пьезоактуаторами |
| title_alt | Resonance Vibrations and Dissipative Heating of a Rigidly Clamped Thermoviscoelastic Beam with Piezoactuators |
| title_full | Резонансные колебания и виброразогрев гибкой жестко защемленной термовязкоупругой балки с пьезоактуаторами |
| title_fullStr | Резонансные колебания и виброразогрев гибкой жестко защемленной термовязкоупругой балки с пьезоактуаторами |
| title_full_unstemmed | Резонансные колебания и виброразогрев гибкой жестко защемленной термовязкоупругой балки с пьезоактуаторами |
| title_short | Резонансные колебания и виброразогрев гибкой жестко защемленной термовязкоупругой балки с пьезоактуаторами |
| title_sort | резонансные колебания и виброразогрев гибкой жестко защемленной термовязкоупругой балки с пьезоактуаторами |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100633 |
| work_keys_str_mv | AT kiričokif rezonansnyekolebaniâivibrorazogrevgibkoižestkozaŝemlennoitermovâzkouprugoibalkispʹezoaktuatorami AT kiričokif resonancevibrationsanddissipativeheatingofarigidlyclampedthermoviscoelasticbeamwithpiezoactuators |