Устойчивость установившихся движений изолированной системы, состоящей из вращающегося тела и двух маятников
Досліджено ізольовану механічну систему, що складена із обертового несучого тіла і двох маятників, насаджених на його поздовжню вісь. Така система моделює усунення чи збільшення маятниковими, кульовими чи рідинними (кільцевими) демпферами кута нутації штучного супутника Землі, положення якого у прос...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2014
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100636 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Устойчивость установившихся движений изолированной системы, состоящей из вращающегося тела и двух маятников / Г.Б. Филимонихин, И.И. Филимонихина, В.В. Пирогов // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 117-128. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860199049821421568 |
|---|---|
| author | Филимонихин, Г.Б. Филимонихина, И.И. Пирогов, В.В. |
| author_facet | Филимонихин, Г.Б. Филимонихина, И.И. Пирогов, В.В. |
| citation_txt | Устойчивость установившихся движений изолированной системы, состоящей из вращающегося тела и двух маятников / Г.Б. Филимонихин, И.И. Филимонихина, В.В. Пирогов // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 117-128. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | Досліджено ізольовану механічну систему, що складена із обертового несучого тіла і двох маятників, насаджених на його поздовжню вісь. Така система моделює усунення чи збільшення маятниковими, кульовими чи рідинними (кільцевими) демпферами кута нутації штучного супутника Землі, положення якого у просторі стабілізується обертанням. Виявлено умови зародження, існування і зникнення усталених рухів системи в залежності від її параметрів. Встановлено умови стійкості основного руху (у якому несуче тіло обертається навколо поздовжньої осі, а маятники лежать на одній прямій) і побічних рухів (у яких несуче тіло обертається не навколо поздовжньої осі). Оцінено залишковий кут нутації.
An isolated mechanical system consisting of the rotated bearing body and two pendulums implanted on its longitudinal axis is studied. This system models of decrease or increase by pendulum-, ball-, or fluid-type dampers of the angle of nutation of the space satellite, position of which is stabilized by the rotation. The conditions of origin, existence and collapse of steady-state motions of the system in dependence on its parameters. The conditions of stability of the basic motion (when the bearing body rotates around the longitudinal axis and pendulums are placed on the same line) and secondary motions (when the bearing body does not rotate around the longitudinal axis) are established. The residual angle of nutation is estimated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:10:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
2014 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 50, № 4
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2014, 50, № 4 117
Г . Б .Фи л и м о н и х и н , И .И .Фи л и м о н и х и н а , В .В .П и р о г о в
УСТОЙЧИВОСТЬ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ИЗОЛИРОВАННОЙ
СИСТЕМЫ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА
И ДВУХ МАЯТНИКОВ
Кировоградский национальный технический университет,
пр-т Университетский, 8, 25006, Кировоград, Украина; e-mail: fgb@online.ua
Abstract. An isolated mechanical system consisting of the rotated bearing body and
two pendulums implanted on its longitudinal axis is studied. This system models of decrease
or increase by pendulum-, ball-, or fluid-type dampers of the angle of nutation of the space
satellite, position of which is stabilized by the rotation. The conditions of origin, existence
and collapse of steady-state motions of the system in dependence on its parameters. The
conditions of stability of the basic motion (when the bearing body rotates around the longi-
tudinal axis and pendulums are placed on the same line) and secondary motions (when the
bearing body does not rotate around the longitudinal axis) are established. The residual an-
gle of nutation is estimated.
Key words: rotated bearing body, two pendulums, conditions of stability, basic motion,
secondary motions, residual angle of nutation.
Введение.
В ряде задач искусственные спутники Земли, положение которых в пространстве
стабилизируется вращением, моделируются изолированными механическими систе-
мами (ИС) с вязким внутренним рассеиванием энергии [1 – 15, 20]. Со временем дви-
жение таких ИС устанавливается, после чего они вращаются как одно жесткое целое
вокруг неизменного в пространстве вектора кинетического момента системы. В иде-
альном случае спутник должен вращаться вокруг своей продольной оси, являющейся
главной центральной осью инерции. Такое движение будем называть основным, а
другие установившиеся движения – побочными. Из-за неточного придания начально-
го вращения спутнику возникает угол нутации. Для его устранения используют пас-
сивные демпферы – маятниковые, шаровые, жидкостные (кольцевые) и т.д. [1 – 15,
20]. Однако, добавление в конструкцию спутника подвижных масс изменяет его пове-
дение. Так, в работах [1, 2, 5, 12, 13] показано, что у спутника появляются дополни-
тельные побочные движения, в том числе и вблизи основного движения, изменяется
область устойчивости основного движения.
В данной работе впервые аналитически определяются условия зарождения, суще-
ствования, исчезновения и устойчивости различных установившихся движений ИС,
состоящей из вращающегося тела и двух одинаковых математических маятников, на-
саженных на его продольную ось, оценивается остаточный угол нутации. С учетом
аналогии в работе маятниковых, шаровых и жидкостных (кольцевых) демпферов угла
нутации, установленной в работе [5], такая ИС моделирует устранение или увеличе-
ние угла нутации спутника этими демпферами при правильной или неправильной их
установке на спутник.
Близкие к исследуемой проблеме вопросы рассмотрены также в работах [16 – 19].
118
§1. Описание изолированной системы, ее осевой момент инерции.
ИС состоит из тела и двух маятников, образующих маятниковый демпфер угла
нутации (рис. 1). Тело имеет центр масс в точке О, массу M и осевые моменты инер-
ции А, В, С относительно собственных главных центральных осей инерции О. На
продольную ось тела насажены два математических маятника длиной l и массой m/2
каждый (рис. 1, б). Маятники движутся в плоскости О111, параллельной плоскости
О, расположенной на расстоянии b от нее. При повороте маятников относительно
тела на них действуют силы вязкого сопротивления, величина и природа которых, как
показано в работе [4], несущественна для данной задачи.
Рис. 1
На установившихся движениях ИС вращается вокруг оси zG, на которой лежит ее
вектор кинетического момента и центр масс – точка G. На основном движении маят-
ники лежат на прямой 1 и ИС вращается вокруг продольной оси тела, = zG
(рис. 1, а). На побочном движении, в силу симметрии системы, маятники отклонены
от прямой 1 на угол (рис. 1, б) и ось образует с осью zG угол (рис. 1, в).
Поскольку у ИС нет элементов, способных накапливать потенциальную энергию,
то устойчивость установившихся движений можно оценивать по осевому моменту
инерции ИС
GzJ относительно оси zG [1, 4]. На устойчивых установившихся движе-
ниях он должен принимать максимальное или локальное максимальное значение. За-
метим, что в общем случае
GzJ является функцией четырех обобщенных координат,
две из которых (, ) задают положение оси zG относительно осей О, а две 1, 2 –
положение маятников относительно тела. В последующих исследованиях используем
симметрию системы для уменьшения количества ее степеней свободы. При этом учи-
тываем, что на основном движении маятники не отклонены, а на побочном – отклоне-
ны на одинаковые углы 1 = 2 = . Для исследования такого механизма потери устой-
чивости достаточно оставить две обобщенные координаты , , определяющие поло-
жение системы на установившихся движениях. Заметим также, что описанный меха-
низм потери устойчивости включает в себя не все возможные установившиеся движе-
ния. Однако, можно проверить, что на неохваченных движениях осевой момент инер-
ции
GzJ меньше, чем наибольший момент
GzJ на движениях, рассматриваемых ниже.
Осевой момент инерции системы
GzJ определяем как функцию координат , .
Координаты масс маятников относительно осей О (рис. 1, а):
cos ; sin ; .m m ml l b (1.1)
Координаты центра масс системы относительно осей О :
sin
0; ;m m
G G G
m mml mb
M M M M
( M M m ). (1.2)
119
Тензор инерции, осевые и центробежные моменты инерции системы:
относительно осей О –
0 0
0
0
O
J
J J
J J
J ;
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
( ) ( sin );
( ) ( cos );
( ) ;
0; sin ;
m m
m m
m m
m m
J A m A m l b
J B m B m l b
J C m C ml
J J J m mlb
(1.3)
относительно центральных осей GGGG, параллельных осям О , –
2 2
2 2
2 2
( )
( ) ;
( )
G G G G G G
G O G G G G G G
G G G G G G
M
J J
2 2 2
2 2 2 2sin ; sin ; sin ;
G G GG G G
mMl m l
J A J B ml J C
M M
(1.4)
0; sin .
G G G G G G
mMlb
J J J
M
В формулах (1.4) принято:
2 2 2/ ; /G GA A mMb M B B ml mMb M ; 2
GC C ml (1.5)
– главные центральные осевые моменты инерции системы на основном движении.
Единичный вектор Gz , направленный по оси zG , имеет в проекциях на оси GGGG
составляющие T(0, sin ,cos )G z (рис. 1, в). Тогда осевой момент инерции систе-
мы относительно оси zG имеет вид
2 2
T 2 2 21 cos 2 1 cos 2
( ) sin 2
2 2Gz G G G G G G
mlMb m l
J C C B ml u u u
M M
z J z
2 2
2 2 21 cos 2 1 cos 2
( ) sin 2
2 2G G G
m l
C C B ml u mlb u u
M
(1.6)
( sin , [ 1, 1]; / / ).Gu u b b b mb M Mb M (1.7)
Заметим, что b – расстояние от центра масс системы до плоскости маятников.
В безразмерном виде имеем равенство
2 2 21 cos 2 1 cos 2
1 (1 ) sin 2
2 2
G
G
z
z G
G
J
J B mu mbu m J u
C
(1.8)
2 2( / , / ( ), / , / ).G G G G Gm ml C J C M l B B C b b l (1.9)
В дальнейшем примем, что ВG > AG. Только в этом случае при потере устойчивос-
ти основным движением система начнет поворачиваться вокруг оси G, что соответст-
вует построенной схеме. Такое соотношение имеет место и в случае осесиметричного
тела (A = B). В дальнейшем для краткости будем называть составное тело: сплюсну-
тым, если СG > ВG; сферическим, если СG = ВG; вытянутым, если СG < ВG (вместо тер-
мина «устойчивый спутник» [2 – 4, 13], для которого С >A, B).
120
Вместе с описанной ИС рассмотрим вторую ИС, в которой маятники неподвижны
относительно несущего тела и занимают положение, соответствующее основному
движению. Полагаем, что, пока движение этой ИС не установилось, происходит внут-
реннее вязкое рассеяние энергии (например, из-за бесконечно малых деформаций не-
сущего тела или маятников, как это описано в работе [4]).
§2. Условия устойчивости основного движения изолированной системы.
Введем в рассмотрение коэффициенты
2
11 22 12; 1 ;Ga m J a B a mb . (2.1)
Тогда в окрестности основного движения ( = 0, = 0) с точностью до величин вто-
рого порядка малости, включительно, имеем
2 2
11 12 221 ( 2 )
GzJ a a a . (2.2)
Для устойчивости основного движения необходимо и достаточно, чтобы квадра-
тичная форма 2 2
11 12 222a a a имела минимум. Критерий Сильвестра дает такие
условия устойчивости: 2
11 22 2 11 22 120, 0, 0a a a a a . Из этих условий получаем
2 2
21 0; [ (1 ) ] 0G GB m J B b .
Эти два условия будут выполняться, если будет выполнено условие 2(1 ) 0GJ B b .
В размерном виде имеем такое условие:
2 0G GC B M b (2.3)
или
2 0C B Mb . (2.4)
Заметим, что маятники образуют автобалансир, способный устранять статичес-
кую неуравновешенность тела, расположенную в плоскости маятников. Условие (2.3)
совпадает с условием устойчивости основных движений, полученным для автобалан-
сиров любого типа [12]. Условие (2.4) – конкретизация условия (2.3) для рассматри-
ваемой ИС.
Из (2.4) находим критическое значение b, при превышении которого основное
движение теряет устойчивость
( ) /сb C B M . (2.5)
Заметим, что это значение не зависит от массы маятников. Это значит, что даже маят-
ники бесконечно малой массы, установленные на расстоянии, большем, чем cb , при-
ведут к потере устойчивости (по Ляпунову) основным движением.
В случае второй ИС, в соответствии с работой [4], при сплюснутом составном те-
ле (СG > ВG) устойчиво основное движение, а при вытянутом (СG < ВG) – побочное
движение, на котором = /2 (несущее тело вращается вокруг поперечной оси). Со-
ставное тело на основном движении становится почти сферическим при условии, что
2
0G G
mMb
C B C B
M
,
откуда получаем
* ( )
c
M C B M
b b
mM m
. (2.6)
Если *b b , то устойчиво основное движение, а если *b b – побочное.
121
Для искусственных спутников Земли имеем / 1M m . Из (2.5), (2.6) следует,
что предоставление маятникам возможности свободно вращаться значительно
уменьшает расстояние b, при котором устойчиво основное движение.
§3. Условия зарождения, существования и исчезновения установившихся дви-
жений.
Необходимые условия существования экстремума
GzJ имеют вид
[ (1 cos 2 ) sin 2 (1 cos 2 )]cos 0;G Gz zJ J u
m u b mJu
u
2 2 2(1 )sin 2 2 cos 2 sin 2 0.Gz
G
J
B mu mbu m Ju
(3.1)
Решение системы (3.1), соответствующее основному движению:
0; 0 ( 0)u . (3.2)
Это движение существует при любых значениях параметров системы.
Определим побочные движения.
1-е побочное движение – случай = 0 (u = 0), 0. Из (3.1) получим, что
sin 2 0GzJ
mb
, (3.3)
откуда получаем 1-е побочное движение в виде
/ 2; 0 ( 0)u . (3.4)
Заметим, что это решение существует при любых значениях параметров ИС.
2-е побочное движение – случай = /2. При этом имеем: cos = 0, производная
/ 0
GzJ и u = 1. Тогда 2/ (1 )sin 2 2 cos 2 sin 2 0
Gz GJ B m mb m J ,
откуда получаем равенство
2
2
tg 2
1 G
mb
B m m J
. (3.5)
Окончательно, в размерном виде имеем 2-е побочное движение:
/ 2;
2 2
1 2
arctg
2 ( ) ( )
mMbl
C B M mM b l
. (3.6)
Оно существует при любых значениях параметров ИС.
Из (3.6) видно, что угол = / 4 тогда, когда 2 2( ) ( ) 0C B M mM b l , откуда
следует равенство
2
/ 4
( )M C B
b l
mM
.
Угол / 2 тогда, когда b+.
3-е побочное движение – случай 0 < < / 2 (u 0). Из первого уравнения в (3.1)
находим
sin 2
1 cos 2 (1 cos 2 )
b
u
mJ
. (3.7)
В размерном виде имеем формулу
122
sin 2
[( )(1 cos 2 ) (1 cos 2 )]
Mb
u
l M m m
. (3.8)
Подставив (3.7) во второе уравнение системы (3.1), получим
2
2
( )sin 2
[1 (1 )]
GzJ pv qv r
v mJ v
(3.9)
2 2( (1 )[(1 )(1 ) ]; (1 )[(1 )(1 ) ];G Gp mJ B mJ mb q mJ B mJ mb
4 (1 ); cos 2 , | | 1).Gr p mJ B v v
(3.10)
Новые побочные установившиеся движения будут определяться решениями уравнения
2 0; cos 2pv qv r v . (3.11)
Единственный корень этого уравнения, который может удовлетворять условию | | 1v –
21 2 1 (1 )(1 ) (1 )Gv m J b J B m J m Jb m J
. (3.12)
В размерном виде имеем формулы:
1 2
cos 2 2
( ) /
mb
v M m
M C B M
; 1 1 2
arccos 2
2 ( ) /
mb
M m
M C B M
. (3.13)
Заметим, что функция v (b) монотонно убывает с увеличением b и v (0) = (M + 2m) / M > 1.
Поэтому для малых b это движение не существует. В критических случаях – v = 1.
Исследуем их подробнее.
Когда v = 1, то = 0, = 0 и из (3.13) получим
1 ( ) /v cb b C B M . (3.14)
Из (3.14) следует, что это побочное движение зарождается из основного в точке
1v cb b (на оси b), в которой теряет устойчивость основное движение.
Когда v = –1, то cos2 = –1 2 = , = / 2. Из (3.7) следует, что при этом u =
= sin = 0, откуда получаем, что = 0. Из (3.13) имеем равенство
*
1
c
v
M bM MC B
b b
m M m m
. (3.15)
Из (3.15) следует, что это побочное движение перестает существовать в точке 1vb
(на оси b), где оно сливается с первым побочным движением (3.4). Заметим, что для
реальных спутников имеем: *
1c vb b b .
Таким образом, необходимое условие существования 3-го побочного движения –
1c vb b b . (3.16)
Поскольку 0 < < / 2, то u=sin из (3.8) можно представить в таком виде:
21
[( )(1 ) (1 )]
Mb v
u
l M m v m v
. (3.17)
Подставив в это уравнение v из (3.13), получим формулы
123
21 2
sin ;
M m C B M m C B
u b b
l m M m M
21 2
arcsin .
M m C B M m C B
b b
l m M m M
(3.18)
В критических случаях – u = 0 и u = 1. При cb b или 1vb b – u = sin = 0, что
соответствует полученным выше результатам.
В случае, когда u = 1, из (3.18) получаем, что
2 2
1/2, 1 [( 2 ) ( ) / ( ) 4 ] (2 )ub M m C B M M C B l m m , (3.19)
где индексу 1 при b соответствует знак «» в правой части, а индексу 2 – «».
Введем в рассмотрение параметр * ( ) / (2 )l M C B m .
Рассмотрим возможные случаи: 1) *l l . Тогда 2 2( ) 4 0M C B l m , существуют
неравные между собой b из (3.19), при которых u = 1, и 3-е побочное движение суще-
ствует на таких интервалах: 1, 1[ , ]c ub b b ; 2, 1 1[ , ]u vb b b . Можно проверить, что
при этом 1, 1c ub b и 2, 1 1u vb b .
В точках 1, 1ub b и 2, 1ub b имеем: u = 1 и угол = /2. Следовательно, в этих
точках 3-е побочное движение сливается со 2-м. Таким образом, с ростом параметра b
в точке cb b из основного движения зарождается 3-е побочное движение, которое затем
исчезает в точке 1, 1ub b , сливаясь со 2-м. Затем, в точке 2, 1ub b 3-е побочное движе-
ние зарождается из 2-го, а в точке 1vb b ( 0u , 0 ) – исчезает, сливаясь с 1-м.
2) *l l . Тогда 2 2( ) 4 0M C B l m , не существуют неравные между собой b из
(3.19), при которых u = 1, и 3-е побочное движение существует для любого b из (3.16).
С увеличением параметра b в точке cb b из основного движения зарождается 3-е
побочное, которое затем в точке 1vb b сливается с 1-м, в связи с чем – исчезает.
§4. Осевые моменты инерции на различных установившихся движениях.
На основном движении осевой момент инерции системы имеет вид
(0) 2
Gz GJ C C ml . (4.1)
На 1-м побочном движении –
2
(1) 2 (0) 2 ( )
G Gz G z
M C BmMb mM
J B B ml J b
M M mM
. (4.2)
На 2-м побочном движении –
(2) 2 2[ ( ) 4 ] / 2
G G G G G G GzJ J J J J J (4.3)
2 2 2 2
2 , ,
G G G GG G
mMb m l mMl mMlb
J B ml B J C С J
M M M M
. (4.4)
С учетом (4.4) осевой момент инерции на 2-м побочном движении имеет вид
(2) 2 2 2 2 2 2{( ) ( ) [( ) ( )] 4( ) } (2 )
GzJ C B M mM l b С B M mM l b mMlb M . (4.5)
Чтобы определить
GzJ на 3-м побочном движении, используем (1.6). Запишем это
уравнение в виде
124
2 2
2 2 2 21 1
( ) 1
2 2Gz G G G
v mlMb m l v
J C C B ml u u v u
M M
. (4.6)
Подставив в него v из (3.13) и u из (3.18), после преобразований получим
2
(3) (0)
G Gz z
C B
J J m b
M
;
*
1
*
1, 1 2, 1 1
[ , ], если ;
[ , ] [ , ], если .
c v
c u u v
b b l l
b
b b b b l l
(4.7)
Можно показать, что имеет место равенство
2
2
(3) (1)
G Gz z
Mm C B
J J b
M m M
. (4.8)
§5. Устойчивость установившихся движений.
Для ответа на вопрос, какое установившееся движение будет устойчивым в зави-
симости от величин параметров b и l, сравним между собой осевые моменты инерции
GzJ на разных движениях.
Соотношения между (1) (0), ( , )
G Gz z G GJ J B C :
* (1) * (0) *: ( ) ( )
G Gz zb J b J b и
* (1) (0)
* (1) (0)
[0, ) ( );
( ).
G G
G G
z z G G
z z G G
b b J J B C
b b J J B C
(5.1)
Соотношения между (2) (0),
G Gz zJ J :
2
(2) (0)
20 20 20: ( ) ( )
G Gz z
C B ml
b J b J b
M
и
(2) (0)
20
(2) (0)
20
[0, ) ;
.
G G
G G
z z
z z
b b J J
b b J J
(5.2)
Существенно, что 20 cb b .
Соотношение между (3) (0),
G Gz zJ J : при условии существования (3)
GzJ имеет место не-
равенство (3) (0)
G Gz zJ J , причем знак равенства стоит только в точке cb b .
Соотношения между (2) (1),
G Gz zJ J :
если 2 2( )C B M m l , то
2 2
(2) (1)
21 21 21: ( ) ( )
G Gz z
M C B m l
b J b J b
m M MM
и
(2) (1)
21
(1) (2)
21
[0, ) ;
;
G G
G G
z z
z z
b b J J
b b J J
(5.3)
если 2 2( )C B M m l , то (1) (2)0
G Gz zb J J .
Соотношение между (3) (1),
G Gz zJ J : при условии существования (3)
GzJ имеет место не-
равенство (3) (1)
G Gz zJ J , причем знак равенства стоит только в точке 1vb b .
Соотношения между (3) (2),
G Gz zJ J :
если *l l , то (3) (2)
1/2, 1G Gz z uJ J b b , и (3) (2)
1, 1 2, 1 1[ , ) ( , ]
G Gc u u v z zb b b b b J J ;
если *l l , то 1[ , ]c vb b b (3) (2)
G Gz zJ J .
Заметим, что формально если *l l , то (2) (3) (1)
1, 1 2, 1( , )
G G Gu u z z zb b b J J J .
Следовательно, в зависимости от значений параметров l и b, условно асимптоти-
чески устойчивыми являются такие движения (рис. 2).
125
Рис. 2
Случай 1. Если *l l , то устойчиво: [0, ]cb b – основное движение (рис. 2, а);
1, 1[ , ]c ub b b – побочное движение 3 (рис. 2, б); 1, 1 2, 1[ , ]u ub b b – побочное движе-
ние 2 (рис. 2, в); 2, 1 1[ , ]u vb b b – побочное движение 3 (рис. 2, г); 1[ , )vb b –
побочное движение 1 (рис. 2, д). Углы , в зависимости от b изменяются по закону
( )b
1, 1 2, 1 1
1, 1 2, 12 2
1
0, [0, ];
1 1 2
arccos 2 , ( , ) ( , );
2 ( ) /
1 2
arctg , [ , ];
2 ( ) ( )
/ 2, [ , );
c
c u u v
u u
v
b b
mb
M m b b b b b
M C B M
mMbl
b b b
C B M mM b l
b b
(5.4)
( )b
1
2
1, 1 2, 1 1
1, 1 2, 1
0, [0, ] [ , );
1 2
arcsin , ( , ) ( , );
/ 2, [ , ].
c v
c u u v
u u
b b b
M m C B M m C B
b b b b b b b
l m M m M
b b b
Случай 2. Если *l l , то устойчиво: [0, ]cb b – основное движение (рис. 2, а);
1[ , ]c vb b b – побочное движение 3 (рис. 2, б, г); 1[ , )vb b – побочное дви-
жение 1 (рис. 2, д). Углы , в зависимости от b изменяются по закону:
( )b 1
1
0, [0, ];
1 1 2
arccos 2 , ( , );
2 ( ) /
/ 2, [ , );
c
c v
v
b b
mb
M m b b b
M C B M
b b
126
( )b
1
2
1
0, [0, ] [ , );
.1 2
arcsin , ( , )
c v
c v
b b b
M m C B M m C B
b b b b b
l m M m M
(5.5)
Полученные формулы для угла нутации (5.4), (5.5) можно использовать для под-
бора: параметров маятниковых или шаровых автобалансиров при их использовании в
качестве демпферов угла нутации искусственных спутников Земли; параметров и
оценки остаточного угла нутации при использовании жидкостных (кольцевых) демп-
феров.
Пример: оценка остаточного угла нутации для бразильского спутника SACI-2 с
жидкостным демпфером. В первоначальном варианте спутника его расчетные данные
следующие [13]: 25,05 кг мC , 25 кг мB , 85 кгM , 0,066 кгm , 0,18 мb .
Кольцевой демпфер – тороидальная трубка с серединным радиусом 0,095 мl , диа-
метром поперечного сечения трубки 0,019 мd , частично заполнена спиртом мас-
сой 0,066 кгm . Соотношение 2 / 10 1l d , что, в соответствии с результатами
работы [5], свидетельствует о хороших автобалансирующих свойствах этого демпфе-
ра и о применимости формул (5.4), (5.5). Высота спутника 0,6 м, центр масс – посре-
дине, что ограничивает сверху параметр b величиной max 0,6 / 2 0,3 мb .
Расчеты дают следующие величины: * 15,6118мl , 0,0243мcb , 1, 1 0,0246мub ,
* 0,8707мb , 2, 1 31,2475мub , 1 31, 2478мvb .
Поскольку *l l , то угол в зависимости от b изменяется по закону (5.4). Графики
его изменения приведены на рис. 3, где – в градусах; b – метрах (на рис. 3, а – увели-
чения угла нутации при неправильной установке демпфера нутации; на рис. 3, б –
область возникновения остаточного угла нутации ).
Рис. 3
Неустранимый остаточный угол нутации (0,18) 1,332 град . При максимальном
отдалении демпфера от центра масс спутника (0,30) 2,406 град . При этом спут-
ник будет сплюснутым («устойчивым»), поскольку b с запасом меньше предельного
значения * 0,8707мb , однако основное движение потеряет устойчивость уже при
0,0243мcb b .
127
Поскольку в работе [13] числовым моделированием был обнаружен остаточный
угол нутации, то методом проб была обоснована целесообразность изменения вели-
чин осевых моментов инерции спутника: 2 210,1 кг м , 7, 22 кг мC B . Расчеты
показывают, что при этом 0,1841 мcb , что лишь незначительно больше 0,18 мb ,
однако обеспечивает устойчивость основного движения. Заметим, что дальнейшее,
даже весьма незначительное отдаление демпфера от центра масс спутника приведет к
потере устойчивости основным движением.
Проведенные исследования и числовой пример показывают, каким образом и на-
сколько присоединенные тела в виде маятниковых, шаровых или кольцевых демпфе-
ров (автобалансиров) меняют поведение спутника. Необходимо учитывать, что при-
соединенные тела не только увеличивают число возможных установившихся движе-
ний, но и сильно сужают область устойчивости основного движения. Неправильная
установка демпфера на спутник ( cb b ) может привести к неустранимому остаточно-
му углу нутации даже в случае «устойчивого» с большим запасом спутника.
Заключение.
Исследована изолированная механическая система, состоящая из вращающегося
несущего тела и двух маятников, насаженных на его продольную ось. Она моделирует
устранение или увеличение маятниковыми (кольцевыми) демпферами угла нутации
искусственного спутника Земли, положение которого в пространстве стабилизируется
вращением. Установлены условия зарождения, существования и исчезновения уста-
новившихся движений системы в зависимости от параметров системы. Получены ус-
ловия устойчивости основного движения ( в котором несущее тело вращается вокруг
продольной оси, а маятники лежат на одной прямой) и побочных движений (в кото-
рых несущее тело вращается не вокруг продольной оси).
Р Е ЗЮМ Е . Досліджено ізольовану механічну систему, що складена із обертового несучого
тіла і двох маятників, насаджених на його поздовжню вісь. Така система моделює усунення чи
збільшення маятниковими, кульовими чи рідинними (кільцевими) демпферами кута нутації штучно-
го супутника Землі, положення якого у просторі стабілізується обертанням. Виявлено умови зарод-
ження, існування і зникнення усталених рухів системи в залежності від її параметрів. Встановлено
умови стійкості основного руху (у якому несуче тіло обертається навколо поздовжньої осі, а маятни-
ки лежать на одній прямій) і побічних рухів (у яких несуче тіло обертається не навколо поздовжньої
осі). Оцінено залишковий кут нутації.
1. Горошко О.О., Філімоніхіна І.І. Достатні умови усунення автобалансирами кута нутації незрівно-
важеного обертового тіла в ізольованій системі // Вісн. Київ. ун-ту. Сер. фіз-матем. науки. –
2008. –№ 1. – С. 53 – 58.
2. Докучаев Л. В., Рабинович Б.И. Анализ возмущенного движения вблизи границы устойчивости
вращающегося КА типа Авроральный зонд проекта ИНТЕРБОЛ // Космические исследования. –
1999. – 37, № 6. – С. 589 – 597.
3. Мирер С.А., Сарычев В.А. Оптимальные параметры спутника, стабилизируемого вращением, с
демпфером маятникового типа // Космические исследования. – 1997. – 35, № 6. – С. 651 – 658.
4. Рейтер Г.С., Томсон У.Т. Вращательное движение пассивных космических аппаратов / Проблемы
ориентации искусственных спутников Земли. – М.: Наука, 1966. – C. 336 – 350.
5. Філімоніхіна І.І., Горошко О.О. Умови стійкості основних рухів чотирьох обертових ізольованих
систем // Вісн. Київ. ун-ту. Серія: фіз.-матем. науки. – 2008. – № 3. – С. 99 – 105.
6. Biggs J.D., Nadjim H. Optimal geometric motion planning for a spin-stabilized spacecraft // Systems &
Control Letters. – 2012. – 61, N 4. – P. 609 – 616.
7. Chinnery A.E., Hall C.D. The Motion of a Rigid Body with an Attached Spring-Mass-Damper // J. of
Guidance, Control and Dynamics. – 1995. – 18, N 6. – P. 1404 – 1409.
128
8. Cloutier G.J. Nutation damper instability on spin-stabilized spacecraft // AIAA Journal. – 1969. – N 11. –
P. 2110 – 2115.
9. Cloutier G.J. Optimum Design Parameters for a Spin-Stabilized Spacecraft Nutation Damper // J. of
Spacecraft and Rockets. – 1972. – 9, N 6. – P. 466 – 468.
10. Cloutier G.J. Resonances of a two-DOF system on a spin-stabilized spacecraft // AIAA Journal. – 1976. – 14,
N 1. – P. 107 – 109.
11. Cochran J.E., Thompson J.A. Nutation Dampers vs Precession Dampers for Asymmetric Spacecraft //
Journal of Guidance, Control and Dynamics. – 1980. – 3, N 1. – P. 22 – 28.
12. Filimonikhina I.I., Filimonikhin G.B. Conditions for balancing a rotating body in an isolated system with
automatic balancers // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, N 11. – P. 1276 – 1282.
13. Fonseca I.M., Santos M.C. SACI-2 Attitude Control Subsystem // INPE. – 2002. – 3. – P. 197 – 209.
14. Gasbarri P., Teofilatto P. Fluid ring damper for artificial gravity rotating system used for manned space-
craft // Acta Astronautica. – 2009. – 64, N 11. – P. 1286 – 1292.
15. Janssens F.L., Van der Ha J.C. On the stability of spinning satellites // Acta Astronautica. – 2011. – 68,
N 7 – 8. – P. 778 – 789.
16. Luk’yanova T.A., Martynyuk A.A. Sufficient conditions of connective stability of motion on time scale //
Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 2. – P. 232 – 244.
17. Makarov A.L., Khoroshilov V.S., Zakrzhevskii A.E. Spacecraft dynamics due to elastic ring antenna de-
ployment // Acta Astronautica. – 2011. – 69, N 7 – 8. – P. 691 – 702.
18. Martynyuk A.A., Mullazhonov P.V. Revisiting the theory of stability of stationary linear large-scale sys-
tems // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 1. – P. 101 – 111.
19. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. Bifurcation processes in periodically perturbed systems // Int. Appl. Mech.
– 2013. – 49, N 1. – P. 114 – 124.
20 Taylor R.S. A passive pendulum wobble damping system for a manned rotating space station. // J. of
Spacecraft and Rockets. – 1966. – 3, N 8. – P. 1221 – 1228.
Поступила 13.12.2012 Утверждена в печать 03.12.2013
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100636 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:10:20Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Филимонихин, Г.Б. Филимонихина, И.И. Пирогов, В.В. 2016-05-24T16:48:23Z 2016-05-24T16:48:23Z 2014 Устойчивость установившихся движений изолированной системы, состоящей из вращающегося тела и двух маятников / Г.Б. Филимонихин, И.И. Филимонихина, В.В. Пирогов // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 117-128. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100636 Досліджено ізольовану механічну систему, що складена із обертового несучого тіла і двох маятників, насаджених на його поздовжню вісь. Така система моделює усунення чи збільшення маятниковими, кульовими чи рідинними (кільцевими) демпферами кута нутації штучного супутника Землі, положення якого у просторі стабілізується обертанням. Виявлено умови зародження, існування і зникнення усталених рухів системи в залежності від її параметрів. Встановлено умови стійкості основного руху (у якому несуче тіло обертається навколо поздовжньої осі, а маятники лежать на одній прямій) і побічних рухів (у яких несуче тіло обертається не навколо поздовжньої осі). Оцінено залишковий кут нутації. An isolated mechanical system consisting of the rotated bearing body and two pendulums implanted on its longitudinal axis is studied. This system models of decrease or increase by pendulum-, ball-, or fluid-type dampers of the angle of nutation of the space satellite, position of which is stabilized by the rotation. The conditions of origin, existence and collapse of steady-state motions of the system in dependence on its parameters. The conditions of stability of the basic motion (when the bearing body rotates around the longitudinal axis and pendulums are placed on the same line) and secondary motions (when the bearing body does not rotate around the longitudinal axis) are established. The residual angle of nutation is estimated. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Устойчивость установившихся движений изолированной системы, состоящей из вращающегося тела и двух маятников Stability of Steady-State Motions of an Isolated System Consisting of Rotating Body and Two Pendulums Article published earlier |
| spellingShingle | Устойчивость установившихся движений изолированной системы, состоящей из вращающегося тела и двух маятников Филимонихин, Г.Б. Филимонихина, И.И. Пирогов, В.В. |
| title | Устойчивость установившихся движений изолированной системы, состоящей из вращающегося тела и двух маятников |
| title_alt | Stability of Steady-State Motions of an Isolated System Consisting of Rotating Body and Two Pendulums |
| title_full | Устойчивость установившихся движений изолированной системы, состоящей из вращающегося тела и двух маятников |
| title_fullStr | Устойчивость установившихся движений изолированной системы, состоящей из вращающегося тела и двух маятников |
| title_full_unstemmed | Устойчивость установившихся движений изолированной системы, состоящей из вращающегося тела и двух маятников |
| title_short | Устойчивость установившихся движений изолированной системы, состоящей из вращающегося тела и двух маятников |
| title_sort | устойчивость установившихся движений изолированной системы, состоящей из вращающегося тела и двух маятников |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100636 |
| work_keys_str_mv | AT filimonihingb ustoičivostʹustanovivšihsâdviženiiizolirovannoisistemysostoâŝeiizvraŝaûŝegosâtelaidvuhmaâtnikov AT filimonihinaii ustoičivostʹustanovivšihsâdviženiiizolirovannoisistemysostoâŝeiizvraŝaûŝegosâtelaidvuhmaâtnikov AT pirogovvv ustoičivostʹustanovivšihsâdviženiiizolirovannoisistemysostoâŝeiizvraŝaûŝegosâtelaidvuhmaâtnikov AT filimonihingb stabilityofsteadystatemotionsofanisolatedsystemconsistingofrotatingbodyandtwopendulums AT filimonihinaii stabilityofsteadystatemotionsofanisolatedsystemconsistingofrotatingbodyandtwopendulums AT pirogovvv stabilityofsteadystatemotionsofanisolatedsystemconsistingofrotatingbodyandtwopendulums |