Многоуровневая модель взаимозависимых переходных процессов в цепях электроразрядных установок со стохастической нагрузкой
Разработана модель стохастических переходных процессов в цепях электроразрядных установок, сопротивление нагрузки которых может изменяться случайным образом от разряда к разряду с произвольным количеством альтернативных вариантов. Зарядная и разрядная цепи емкостных накопителей электроэнергии устано...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Технічна електродинаміка |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут електродинаміки НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100643 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Многоуровневая модель взаимозависимых переходных процессов в цепях электроразрядных установок со стохастической нагрузкой / Н.И. Супруновская, Д.С. Иващенко // Технічна електродинаміка. — 2013. — № 5. — С. 5-13. — Бібліогр.: 9 назв. — pос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859907923686195200 |
|---|---|
| author | Супруновская, Н.И. Иващенко, Д.С. |
| author_facet | Супруновская, Н.И. Иващенко, Д.С. |
| citation_txt | Многоуровневая модель взаимозависимых переходных процессов в цепях электроразрядных установок со стохастической нагрузкой / Н.И. Супруновская, Д.С. Иващенко // Технічна електродинаміка. — 2013. — № 5. — С. 5-13. — Бібліогр.: 9 назв. — pос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Технічна електродинаміка |
| description | Разработана модель стохастических переходных процессов в цепях электроразрядных установок, сопротивление нагрузки которых может изменяться случайным образом от разряда к разряду с произвольным количеством альтернативных вариантов. Зарядная и разрядная цепи емкостных накопителей электроэнергии установок представлены динамическими системами, состояния которых циклически изменяются и являются взаимозависимыми. При изменении состояний цепи применялся метод декомпозиции, позволяющий заменить решение сложной задачи решением нескольких взаимосвязанных задач меньшей сложности. Задачи решались с применением метода разностных уравнений и вероятностных оценок электрического сопротивления нагрузки. В качестве примера исследованы переходные процессы в цепях формирователя разрядных импульсов для электроискровой нагрузки.
Розроблено модель стохастичних перехідних процесів у колах електророзрядних установок, опір навантаження яких може змінюватися випадковим чином від розряду до розряду з довільною кількістю альтернативних варіантів. Зарядне і розрядне кола ємнісних накопичувачів електроенергії установок представлено динамічними системами, стани яких циклічно змінюються і є взаємозалежними. При зміні станів кола застосовувався метод декомпозиції, який дозволяє замінити розв’язок складної задачі розв’язком взаємозалежних задач меншої складності. Задачі вирішувалися із застосуванням методу різницевих рівнянь й імовірнісних оцінок електричного опору навантаження. Як приклад досліджено перехідні процеси в колах формувача розрядних імпульсів для електроіскрового навантаження.
With application of a method of the difference equations the multilevel stochastic model is developed for the analysis of the interdependent cyclically repeated transients in circuits of the electro-discharge installations. Electric resistance of load such installations can change from a cycle to a cycle in a random way with any quantity of alternative alternatives. Charge and discharge circuits of the capacitor stores of the electric power of such installations are presented as dynamic systems which states are interdependent and they cyclically change. The basis of offered approach is an idea about representation of process of change of load magnitude in the form of the random processes which instantaneous values are geometrically distributed random quantities. It is accepted the assumption that stochastic change of electric resistance of load occurs during a charge of the capacitor store and probabilities of appearance each of alternative variants of load magnitude are known. At change of circuit states the decomposition method allowing to replace the solution of intricate problem with the solution of the several interconnected problems of smaller complexity is applied. Problem is solved with application of a method of the difference equations and probabilistic assessment of load electric resistance. The transient processes in circuits of the shaper of discharge pulses for an electro-spark dispersion of a layer of metal granules in a liquid are investigated as an example. The expediency of application of a multilevel stochastic model for transient analysis in circuits, which elements electric resistance can change in a random way is proved.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:01:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 5 5
ТЕОРЕТИЧНА ЕЛЕКТРОТЕХНІКА ТА ЕЛЕКТРОФІЗИКА
УДК 621.3.011
МНОГОУРОВНЕВАЯ МОДЕЛЬ ВЗАИМОЗАВИСИМЫХ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В
ЦЕПЯХ ЭЛЕКТРОРАЗРЯДНЫХ УСТАНОВОК СО СТОХАСТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКОЙ
Супруновская Н.И., канд.техн.наук, Иващенко Д.С.
Институт электродинамики НАН Украины,
пр. Победы, 56, Киев-57, 03680, Украина,
e-mail: iednat1@gmail.com
Разработана модель стохастических переходных процессов в цепях электроразрядных установок, сопротив-
ление нагрузки которых может изменяться случайным образом от разряда к разряду с произвольным количе-
ством альтернативных вариантов. Зарядная и разрядная цепи емкостных накопителей электроэнергии уста-
новок представлены динамическими системами, состояния которых циклически изменяются и являются взаи-
мозависимыми. При изменении состояний цепи применялся метод декомпозиции, позволяющий заменить реше-
ние сложной задачи решением нескольких взаимосвязанных задач меньшей сложности. Задачи решались с
применением метода разностных уравнений и вероятностных оценок электрического сопротивления нагрузки.
В качестве примера исследованы переходные процессы в цепях формирователя разрядных импульсов для элек-
троискровой нагрузки. Библ. 9, рис. 3, табл. 1.
Ключевые слова: переходные процессы, разряд конденсатора, случайный процесс.
Введение. Задача анализа переходных процессов в электрических цепях электроразрядных
установок существенно усложняется, если сопротивление их нагрузки изменяется случайным обра-
зом [7]. В то же время очень важно оценивать диапазоны возможного изменения электрических па-
раметров при оптимизации режимов работы электроразрядных установок с емкостными накопителя-
ми энергии, работающих на электроискровую и другие нагрузки, активное сопротивление которых
может изменяться случайным образом от разряда к разряду [6].
При классическом подходе возможен анализ каждого переходного процесса в отдельности. Для
исследования последовательности взаимосвязанных переходных процессов, возникающих в электри-
ческих цепях с изменяющейся структурой, в работах [2, 5] было предложено использовать метод раз-
ностных уравнений. Но такой подход не позволяет анализировать переходные процессы, протекаю-
щие при стохастическом изменении параметров цепи.
В таких науках как математическое моделирование, теория вероятностей, теория автоматиче-
ского управления и теория надежности были получены результаты, позволяющие анализировать ди-
намические системы со стохастическими свойствами [1, 3]. А в работе [9] метод разностных уравне-
ний был развит для анализа циклических взаимосвязанных переходных процессов в линейных цепях
электроразрядной установки, сопротивление нагрузки которой может случайным образом принимать
одно из двух альтернативных значений. В то же время часто возникает необходимость анализировать
переходные процессы в цепях, в которых сопротивление нагрузки случайным образом может прини-
мать одно из трех и более значений.
Поэтому целью данной работы являлось дальнейшее развитие метода разностных уравнений
для анализа переходных процессов в цепях электроразрядных установок, электрическое сопротивле-
ние нагрузки которых случайным образом может принимать три и более значений.
Для достижения цели потребовалось:
– представить последовательность процессов, соответствующую двум наиболее вероятным
вариантам стохастического изменения структуры цепи, в виде одного неделимого процесса;
– найти математическое ожидание данного процесса, т.е. вероятность его наступления и его
влияние на электрические характеристики цепи;
– повторять объединение процессов, соответствующих двум наиболее вероятным вариантам
случайного изменения структуры цепи, в один неделимый процесс до тех пор, пока задача не сведет-
ся к анализу двух альтернативных вариантов изменения структуры цепи;
© Супруновская Н.И., Иващенко Д.С., 2013
6 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 5
– применить предложенный в работе [9] подход к анализу стохастических процессов с двумя
вариантами изменения структуры цепи.
Декомпозиция последовательности переходных процессов. В основе предлагаемого под-
хода, как и в работе [9], лежит представление случайного изменения электрического сопротивления
нагрузки между альтернативными вариантами стохастического изменения структуры электрической
цепи. Мгновенными значениями такого процесса являются геометрически распределенные случай-
ные величины – "количество наступлений более вероятных изменений структуры цепи между двумя
соседними наступлениями менее вероятного изменения структуры цепи". Принято также допущение,
что стохастическое изменение электрического сопротивления нагрузки происходит в течение време-
ни между разрядами емкостного накопителя и известны вероятности возникновения каждого из аль-
тернативных вариантов сопротивления нагрузки.
Пусть в рассматриваемой последовательности изменений структуры цепи один из переходов
является стохастическим с тремя альтернативными вариантами. Например, на рис. 1, а показан пере-
ход от процесса A к одному из трех альтернативных процессов: к процессу B с вероятностью pB, к
процессу C с вероятностью pC и к процессу D с вероятностью pD, где pB + pC + pD = 1.
Рис. 1
Для того, чтобы применить модель представления изменений структуры цепи в виде случай-
ного процесса, состоящего из последовательности геометрически распределенных случайных вели-
чин, необходимо выполнить декомпозицию (когда решение одной большой задачи выполняется ре-
шением серии взаимосвязанных меньших задач) последовательности изменений структуры цепи.
Не нарушая общности, можно предположить, что BCD ppp ≥≥ , т.е. цепочка процессов A – B
(после процесса A следует процесс B без процессов C и D) протекает с меньшей либо равной вероят-
ностью, чем цепочки процессов A – C и A – D. Далее для удобства будем рассматривать цепочку из
двух последовательных процессов как один элементарный процесс, т.е. будем говорить о процессах
"A – B", "A – C" и "A – D".
Для того чтобы проанализировать сложную последовательность процессов, протекающих при
наличии трех альтернативных вариантов изменения структуры цепи, в первую очередь, представим два
более вероятных процесса (C и D) в виде одного неделимого процесса "С или D", вероятность наступ-
ления которого равна pC + pD (рис. 1, б). Фактически это позволяет свести задачу к анализу двух альтер-
нативных изменений структуры цепи: A – B и А – "С или D", и использовать подход к анализу подоб-
ных процессов, рассмотренный в работе [9]. Для решения задачи предварительно проанализируем не-
делимый процесс А – "С или D". Данный процесс характеризуется стохастическим изменением струк-
туры цепи с двумя альтернативными вариантами A – C и A – D (рис. 1, в), что также позволяет приме-
нить предложенный ранее подход к анализу процессов [9]. Фактически решение задачи анализа пере-
ходных процессов, возникающих при стохастическом изменении структуры цепи с тремя альтернатив-
ными вариантами, сводится к решению двух задач с двумя альтернативными изменениями структуры
цепи, для решения которых может быть применен предложенный ранее подход.
Таким образом, для анализа переходных процессов, протекающих при стохастическом измене-
нии структуры цепи с тремя альтернативными вариантами, выполняем следующие шаги:
І. Среди трех альтернативных вариантов изменения структуры цепи (А – В, А – С и А –D) вы-
бираем два более вероятных варианта (A – C и A – D), а в случае равновероятных альтернатив выби-
раем два произвольных варианта. Анализируем с помощью предложенного ранее подхода [9] после-
довательность переходных процессов, которая соответствует наступлению этих наиболее вероятных
изменений структуры цепи (A – C и A – D).
II. Рассматриваем два наиболее вероятных процесса (A – C и A – D) как один неделимый про-
цесс А – "С или D". Вероятность наступления данного процесса равна сумме вероятностей процессов
А
рВ
В
С
D
рС
рD
a
А
C или D
рС+ рD
В рВ
б
А
С
D
рС
рD
в
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 5 7
A – C и A – D. Далее с помощью известного подхода [9] анализируем общую последовательность пе-
реходных процессов в цепи как стохастическую последовательность с двумя альтернативными вари-
антами протекания процессов: A – B и А – "С или D".
Такой подход может быть обобщен на случай произвольных N ≥ 3 альтернативных изменений
структуры цепи. В этом случае объединение двух наиболее вероятных вариантов (а в случае равнове-
роятных альтернатив – произвольных вариантов) в один неделимый процесс позволяет понизить раз-
мерность задачи к анализу N – 1 возможных альтернатив. Такие действия повторяются, пока задача
не сведется к анализу цепи с двумя альтернативными вариантами.
Пример применения предложенного подхода. Предлагаемый подход к анализу переходных
процессов удобно рассмотреть на примере исследования процессов, протекающих в зарядных и раз-
рядных цепях полупроводникового формирователя разрядных импульсов (ФРИ), работающего на
электроискровую нагрузку, сопротивление которой может случайным образом изменяться от разряда
к разряду (рис. 2).
При включении зарядного тиристорного вентиля VT1 в данной схеме начинается колебатель-
ный заряд конденсатора C от источника постоянного напряжения Е через зарядный дроссель L1 и ре-
зистор R1. После завершения заряда конденсатора (ЗК) и закрытия тиристора VT1 включается разряд-
ный тиристор VT2 и начинается колебательный разряд конденсатора на нагрузку, в которой случай-
ным образом может возникать один из трех
режимов: искровой разряд (ИР), холостой
разряд (ХР), представляющий собой слабо-
точный длительный разряд без искрений в
нагрузке и короткое замыкание (КЗ) – силь-
ноточный разряд без искрений в нагрузке.
Эти режимы на рис. 2 реализуются случай-
ным подключением одного из сопротивлений
Rир, Rхр и Rкз. Постоянно включенное в разрядную цепь активное сопротивление Rш позволяет под-
держивать колебательный режим разряда конденсатора.
После завершения колебательного разряда конденсатора процессы циклически повторяются.
Принято допущение, что все указанные сопротивления являются линейными, но вероятность
их возникновения разная, в частности:
с вероятностью
с вероятностью 1
с вероятностью
ир ир
н хр хр ир хр кз
кз кз
R , p
R = R , p , p + p + p =
R , p
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
, (1)
где рир, рхр, ркз – вероятности подключения соответственно сопротивлений Rир, Rхр и Rкз, причем обыч-
но рир >> рхр >> ркз.
Получены и общие аналитические выраже-
ния для исследуемых электрических характеристик
цепи, и конкретные значения при вероятностном
распределении сопротивления нагрузки (таблица)
для рассматриваемой цепи с параметрами: Е =500 В,
L1=100 мкГн, R1 =0,5 Ом, С=100 мкФ, L2 =2,5 мкГн,
Rш =0,33 Ом.
Многочисленные эксперименты показывают, что при реализации таких параметров на лабо-
раторных электроразрядных установках с высотой слоя металлических гранул между электродами не
более трех диаметров гранул с высокой степенью точности можно принимать рир ≈0,9, рхр ≈0,09,
ркз ≈0,01. В промышленных электроискровых установках, высота слоя гранул в которых составляет
более десяти их диаметров, значения рир, рхр, ркз отличаются на 3–5 порядков, что упрощает примене-
ние вероятностных подходов. В данной статье выбран наиболее сложный случай – анализ переход-
ных процессов в лабораторной установке.
Решалась задача определения наиболее вероятного значения напряжения разряда конденсато-
ра в квазиустановившемся режиме установки и диапазона, в котором напряжение разряда конденса-
тора может изменяться с заданной вероятностью.
При решении задачи последовательно выполним следующие действия.
Тип процесса
Вероятность
протекания
процесса
Сопротивление
нагрузки, Ом
Искровой разряд рир = 0,9 Rир = 0,2
Холостой разряд рхр = 0,09 Rхр = 3
Короткое замыкание ркз = 0,01 Rкз = 0,1
Рис. 2
8 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 5
І. Среди трех вариантов структуры цепи выберем два наиболее вероятных варианта. Им соот-
ветствуют искровой и холостой разряды с вероятностями рир и рхр.
Проанализируем переходные процессы, протекающие в разрядной цепи (рис. 2) при наличии
в ней исключительно ИР и ХР конденсатора (т.е. последовательность процессов между двумя КЗ). В
этом случае имеют место следующие переходные процессы:
[(ЗК – ХР) – последовательные (ЗК – ИР)] … [(ЗК – ХР) – последовательные (ЗК – ИР)].
Известно, что напряжение холостого разряда рассчитывается по выражению [9]
схр
0
хр
0
хр eU)U(U −⋅−= , (2)
где хр
0U и хрU – соответственно напряжение на конденсаторе до и после его разряда в холостом ре-
жиме, 24 1хрc Q= π − , ( ) ( ) -1
2хр хр ш хр шQ R R R R L C= + ⋅ ⋅ – добротность разрядного контура в режи-
ме холостого разряда, Rхр – сопротивление нагрузки в холостом режиме.
Также в работе [9] было получено следующее соотношение для напряжения разряда конден-
сатора Uир в момент завершения последнего искрового разряда конденсатора в цепочке взаимосвя-
занных переходных процессов:
( ) ( )( )0 0
( )
( , , ) ( ) 1 ( )
1 ( )
n nирир
хр ир ир ир
ир
хр хрf n
U U n n U d n d n
d n
= + −
−
, (3)
где U0 – начальное напряжение на конденсаторе; nир – количество подряд идущих процессов заряда
конденсатора с последующими искровыми разрядами; nхр – количество рассматриваемых циклов пе-
реходных процессов (под циклом подразумевается последовательность искровых процессов (заряды
и искровые разряды) + один заряд с холостым разрядом); ( ) ( )( ) na c a b
ир
ирd n e e− + − += ;
( ) ( )( ) ( )( ) 1 1a c a b a b b a
ир
n nир ир
f n E e e e e e e− − − + − + −⎛ ⎞⎛ ⎞= − + ⋅ + − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
; 24 1зарa Q= π − ; -1
1 1зарQ R L C= –
добротность зарядной цепи; 24 1ирb Q= π − ; ( )( ) -1
2ир ш ир ширQ R R R R L C= + – добротность разряд-
ного контура в режиме искрового разряда; L1, R1 – значения соответственно индуктивности и актив-
ного сопротивления зарядной цепи.
Определим вероятностные оценки величины nир, представляющие собой геометрически рас-
пределенную случайную величину – "количество наступлений процессов искрового разряда между
двумя соседними наступлениями холостого разряда". В данном случае события наступления искро-
вого разряда и холостого разряда образуют полную группу несовместных событий, поэтому следует
принять в качестве параметра q1 геометрического распределения нормированную вероятность искро-
вого разряда конденсатора q1 = рир /(рир+ рхр), а в качестве параметра р1 – нормированную вероятность
холостого разряда, р1 = рхр /(рир+ рхр).
Математическое ожидание (среднее значение), нижняя и верхняя границы доверительного
интервала для величины nир могут быть получены, исходя из следующих выражений [9]:
▪ среднее значение: [ ] хририр
ср
ир pp
p
qNMn ===
1
1 , (4)
▪ нижняя и верхняя границы доверительного интервала с вероятностью δ:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
11
1 12
pq
qlogn q
min
ир δ , ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−= 2
11
1 1 δ
pq
qlogn q
max
ир . (5,6)
II. Рассмотрим последовательность процессов заряда конденсатора с последующими искровы-
ми или холостыми разрядами (ИР или ХР) как один процесс "Последовательность без коротких за-
мыканий". С учетом этого совокупность всех переходных процессов состоит из следующих последо-
вательностей:
[(ЗК – КЗ) – последовательные (ЗК – ИР)] – [последовательные (ЗК – (ХР или ИР))]
…
[(ЗК – КЗ) – последовательные (ЗК – ИР)] – [последовательные (ЗК – (ХР или ИР))].
Рассмотрим подробнее эти процессы.
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 5 9
– Колебательный заряд конденсатора, при котором напряжение заряда конденсатора Uзар за-
висит от начального на нем напряжения зар
0U как в [5]
aзар
0
зар
0
зар e)UE(E)U(U −⋅−+= . (7)
– Колебательный разряд конденсатора в режиме КЗ, при котором конечное напряжение раз-
ряда конденсатора кзU будет зависеть от начального напряжения кз
0U [6], [8]
kкз
0
кз
0
кз eU)U(U −⋅−= , (8)
где 24 1кзk Q= π − , ( )( ) 1
2кз кз ш кз шQ R R R R L C−= + – добротность разрядного контура при разряде в
режиме КЗ.
– Последовательность процессов заряда конденсатора с дальнейшим ИР его на нагрузку, для
которой в работе [9] было получено выражение для напряжения разряда конденсатора после послед-
него ИР: ( )( ) ( )
0 0
1( , ) 1
a
n nир a b a b
ир b a
ир ирeU U n U e E e
e e
−
− + − +
−
+
= − −
−
. (9)
– Последовательность процессов между двумя процессами КЗ.
Напряжение разряда конденсатора в момент завершения последнего ИР конденсатора в це-
почке взаимосвязанных переходных процессов, протекающих между двумя процессами КЗ, описыва-
ется выражением (3).
Составим разностное уравнение относительно напряжения разряда конденсатора в момент за-
вершения последнего ИР конденсатора в общей последовательности переходных процессов, выпол-
нив рекурсивную подстановку формул (7), (8), (9), (3):
( ) ( ) ( )( )1
( )
( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )
1 ( )
n n nирир ир
n n ир ир ир ир ир
ир
хp хp хpf n
U U s n d n p n d n d n
d n+ = ⋅ + + −
−
, (10)
где ( )( ) na k a b
ир
ирs n e e e− − − += , ( ) ( )( )
( )
( )
1
( ) 1
1
na b b
na k a b
ир a b
ир
ир
e e
p n E e e e
e
− + −
− − − +
− +
⎛ ⎞−
⎜ ⎟= − + +⎜ ⎟−⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Решив разностное уравнение, получим
( )( ) ( )
( )( )( ) ( ) ( )( )
0 0
1( , , , ) ( ) ( )
1 ( ) ( )
( )
1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ,
1 ( )
n nир
кз хp ир ир ир n
ир ир
n n nирn
ир ир ир ир ир
ир
хp кз
хp
хp хp хpкз
U U n n n U s n d n
s n d n
f n
s n d n p n d n d n
d n
= + ×
−
⎛ ⎞
× − + −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
(11)
где nкз – количество рассматриваемых циклов переходных процессов (то есть цепочек переходных
процессов ЗК и ИР, ЗК с последующими ИР или ХР ("Последовательность без коротких замыканий"))
плюс один заряд с разрядом в режиме КЗ.
В случае, когда количество повторений цепочки переходных процессов nкз стремится к беско-
нечности, наступает квазиустановившийся режим. Выражение для напряжения в момент завершения
последнего ИР конденсатора в цепочке взаимосвязанных переходных процессов в квазиустановив-
шемся режиме может быть получено исходя из соотношения (11)
( )( )lim ( ) ( ) 0
nn
ир ирn
кзхp
кз
s n d n
→∞
⋅ = , (12)
( )
( ) ( )( )lim
( )1( , ) ( ) ( ) 1 ( )
1 ( )1 ( ) ( )
n nирир
хp ир ир ир ирn
ирир ир
хp хp
хp
f n
U n n p n d n d n
d ns n d n
⎛ ⎞
= + −⎜ ⎟⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
. (13)
Используя выражения (13), (7), (8) и (2), можно получить выражение для напряжения на кон-
денсаторе в момент завершения ХР
( )lim lim( , ) ( ( , ))хр ир a c
хр ир хр ирU n n E E U n n e e− −= − + − , (14)
а также разряда в режиме КЗ в квазиустановившемся режиме работы установки
( )lim lim( , ) ( ( , ))кз ир a k
хр ир хр ирU n n E E U n n e e− −= − + − . (15)
10 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 5
Оценим диапазон изменения остаточного напряжения конденсатора после его колебательного
разряда. Отметим, что это напряжение является отрицательным и может изменяться в широком диа-
пазоне под действием двух факторов:
– изменения сопротивления нагрузки (например, после ХР в нагрузке, характеризующегося
наибольшим ее сопротивлением по сравнению с режимами ИР и КЗ, остаточное напряжение на кон-
денсаторе по модулю будет наименьшим по сравнению с напряжением после режимов ИР и КЗ).
– стохастического изменения количества ИР nир между двумя ближайшими по времени ХР и
количества ХР nхр между двумя ближайшими по времени разрядами в режиме КЗ.
Для определения минимального, среднего и максимального напряжений на конденсаторе не-
обходимо учитывать оба фактора. Например, согласно первому фактору минимальное по модулю
разрядное напряжение конденсатора достигается при ХР (поскольку Rхр > Rир > Rкз, то для остаточных
разрядных напряжений на конденсаторе справедливо обратное соотношение Uкз > Uир > Uхр). В то же
время, напряжение ХР может изменяться в некотором диапазоне ввиду стохастического изменения
величин nир и nхр.
Таким образом, напряжение разряда конденсатора тем меньше по модулю, чем чаще встреча-
ются ХР конденсатора, и чем реже встречаются разряды в режиме КЗ. Изменение частоты наступле-
ния ХР конденсатора можно представить как изменение параметра nир – количества ИР между двумя
соседними ХР конденсатора. Изменение частоты наступления разрядов конденсатора в режиме КЗ
можно представить как изменение параметра nхр – количества ХР между двумя соседними разрядами
в режиме КЗ. Поэтому для определения минимального по модулю напряжения разряда конденсатора
необходимо использовать оценки минимального количества искровых разрядов min
ирn и максимально-
го количества холостых разрядов max
хрn .
Аналогично максимальное по модулю значение разрядного напряжения на конденсаторе дости-
гается в режиме КЗ при условии максимального количества ИР и минимального количества ХР конден-
сатора, т.е. в этом случае необходимо получить и использовать вероятностные оценки axm
ирn и inm
хрn .
Сначала определим вероятностные оценки величины nхр, для которой случайная величина –
"количество наступлений процессов ИР или ХР между двумя соседними наступлениями разряда в
режиме КЗ" − имеет геометрическое распределение с параметрами p2 и q2. Следует принять в качест-
ве параметра q2 геометрического распределения суммарную вероятность искрового и холостого раз-
ряда конденсатора рир+ рхр, а в качестве параметра р2 – вероятность короткого замыкания ркз.
Среднее значение, нижняя и верхняя границы величины nхр могут быть получены исходя из
выражений, выведенных в работе [9].
Среднее значение
[ ] хрирхр
ср
хр ppp/qNMn === 22 . (16)
Нижняя и верхняя границы с вероятностью δ
/min 2 2
22
log ( )
2
q p
хр qn qδ⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎢ ⎥
, /max 2 2
22
log ( )
2
q p
хр qn q δ⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎣ ⎦
. (17,18)
Выражения для расчета границ случайной величины nхр обозначены квадратными скобками
⎡ ⎤ и ⎣ ⎦ , соответствующими округлению до ближайшего большего целого и ближайшего меньшего
целого, так как они по определению могут принимать только целые значения.
Тогда для того, чтобы определить максимальное по модулю напряжение разряда конденсато-
ра maxU , необходимо в выражение (15) для )n,n(U ирхх
кз
lim вместо параметра nир подставить оценку
max
ирn – верхнюю границу доверительного интервала величины nир с заданной вероятностью δ, а вме-
сто параметра nхр подставить оценку min
хрn – нижнюю границу доверительного интервала величины nхр
с заданной вероятностью δ. В результате получим
( )max min max
lim( ( , ))ир a k
хр ирU E E U n n e e− −= − + − . (19)
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 5 11
Для того чтобы определить минимальное по модулю напряжение разряда конденсатора minU ,
необходимо в выражение (14) для )n,n(U ирхх
хр
lim вместо параметра nир подставить оценку min
ирn , а вме-
сто параметра nхр – оценку max
хрn
( )min max min
lim( ( , ))ир a c
хр ирU E E U n n e e− −= − + − . (20)
Среднее значение напряжения на конденсаторе может быть найдено путем подстановки в вы-
ражение (13) параметров ср
ирn и ср
хрn :
( )
( ) ( )( )1 ( ) ( ) 1 ( )
1 ( )1 ( ) ( )
ср
n nирср ср ср ср
ир ир ирсрnср ср ир
ир ир
ср ср
хр хр
ср
хр
f n
U p n d n d n
d ns n d n
⎛ ⎞⎛ ⎞
= + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠−
. (21)
Подставив в выведенные соотношения (19) – (21) численные значения параметров цепи, по-
лучим minU = – 0,066 В, срU = – 212,662 В, maxU = – 375,175 В.
На рис. 3 показаны результаты численного эксперимента и аналитически рассчитанные по
выражениям (19)–(21) оценки разрядного напряжения на конденсаторе. Получено хорошее совпаде-
ние аналитических и численных результатов.
Отметим, что предложенная модель является наиболее эффективной в случае, когда вероятнос-
ти возникновения альтернативных значений нагрузки значительно отличаются между собой (на 1–5
порядков). В противном случае, по мере уменьшения различия между такими вероятностями, все более
частым становится появление последовательностей, состоящих из менее вероятных переходных про-
цессов, разделенных одиночными более вероятными переходными процессами, что потребует приме-
нения более сложных моделей для точных оце-
нок. Повышение точности оценок возможно за
счет построения стохастической модели, в кото-
рой вводится в рассмотрение еще один случай-
ный процесс, мгновенными значениями которо-
го являются случайные величины – "количество
менее вероятных процессов между двумя сосед-
ними во времени наступлениями более вероят-
ного процесса" (разработка таких моделей пла-
нируется в будущем).
Однако при очень большой (более 5 по-
рядков) разнице между вероятностями наступ-
ления альтернативных вариантов изменения на-
грузки целесообразность применения указанно-
го подхода снижается. Это обусловлено тем, что
количество более вероятных процессов между
двумя соседними во времени менее вероятными
процессами станет настолько велико, что до наступления последних почти всегда будет устанавливать-
ся квазиустановившийся режим. В таком случае нет необходимости находить вероятностные оценки,
т.к. они в подавляющем большинстве случаев будут соответствовать квазиустановившемуся режиму,
для которого возможно применение известного метода разностных уравнений [2, 5]. Данный верхний
предел для разницы между вероятностями зависит от добротности анализируемых цепей.
Заключение. 1. Разработана многоуровневая стохастическая модель для анализа взаимосвя-
занных переходных процессов в цепях электроразрядных установок с емкостными накопителями
энергии, активное сопротивление которых может изменяться случайным образом от разряда к разря-
ду. В модели рационально применение метода декомпозиции для упрощения решения сложной зада-
чи за счет представления ее в виде нескольких менее сложных задач, решаемых на основе метода раз-
ностных уравнений и вероятностных оценок электрического сопротивления нагрузки.
2. Модель позволяет анализировать переходные процессы в электрических цепях со случай-
ным изменением сопротивления нагрузки с N ≥ 3 альтернативными вариантами.
maxU
,t c
, разрU В
400−
300−
200−
100−
0
0.1 0.2 0.3 0.40 0.5
minU
срU
Рис. 3
12 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 5
3. В качестве примера исследованы переходные процессы в цепях тиристорного формирова-
теля разрядных импульсов в нагрузке, стохастическое изменение сопротивления которой имеет три
альтернативных значения. Были получены аналитические выражения и численные значения для ми-
нимального по модулю, среднего и максимального по модулю значений напряжения на конденсаторе
в момент окончания его разряда. Полученные оценки хорошо совпадают с результатами численного
расчета переходных процессов с использованием известных прикладных программ Matlab/Simulink
[8] и аналитических расчетов переходных процессов в линейных электрических цепях с изменяемы-
ми начальными напряжениями заряда накопительных конденсаторов [6, 7].
4. Предложенная стохастическая модель является наиболее эффективной в случае, когда веро-
ятности возникновения альтернативных значений нагрузки значительно отличаются между собой (до
5 порядков). В противном случае для получения достаточно точных оценок требуется применение
более сложных моделей.
1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. – 2-е изд. // Москва:
Высшая школа, 2000. – 480 с.
2. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники //
С-Пб.: Питер, 2003. – Т. 2. – 576 с.
3. Романко В.К. Разностные уравнения // Москва: Бином, 2006. – 112 с.
4. Супруновская Н.И. Энергетические характеристики при изменении начальных условий колебатель-
ного заряда конденсатора от источника постоянного напряжения // Технічна електродинаміка. – 2008. – №4. –
С. 27–33.
5. Тонкаль В.Е., Руденко В.С., Жуйков В.Я., Сучик В.Е., Денисюк С.П., Новосельцев А.В. Вентильные
преобразователи переменной структуры // Киев: Наукова думка, 1989. – 336 с.
6. Шидловский А.К., Супруновская Н.И. Энергетические процессы в электрических цепях разрядноим-
пульсных установок с емкостным накопителем энергии при ограничении длительности его разряда на электро-
искровую нагрузку и ненулевых условиях его заряда // Технічна електродинаміка. – 2010. – №1. – С. 42–48.
7. Шидловский А.К., Щерба А.А., Супруновская Н.И. Энергетические процессы в цепях заряда и разряда
конденсаторов электроимпульсных установок // Киев: Интерконтиненталь-Украина, 2009. – 208 с.
8. Щерба А.А., Супруновская Н.И., Синицин В.К., Иващенко Д.С. Апериодические и колебательные про-
цессы разряда конденсатора при принудительном ограничении длительности токов в нагрузке // Технічна елек-
тродинаміка. – 2012. – № 3. – С. 9–10.
9. Щерба А.А., Иващенко Д.С. Развитие метода разностных уравнений для анализа переходных процес-
сов в цепях электроразрядных установок при стохастическом изменении сопротивления нагрузки // Технічна
електродинаміка. – 2013. – № 3. – С. 3–11.
УДК 621.3.011
БАГАТОРІВНЕВА МОДЕЛЬ ВЗАЄМОЗАЛЕЖНИХ ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ У КОЛАХ ЕЛЕКТРОРОЗРЯДНИХ
УСТАНОВОК ІЗ СТОХАСТИЧНИМ НАВАНТАЖЕННЯМ
Супруновська Н.І., канд.техн.наук, Іващенко Д.С.
Інститут електродинаміки НАН України,
пр. Перемоги, 56, Київ-57, 03680, Україна.
e-mail: iednat1@gmail.com
Розроблено модель стохастичних перехідних процесів у колах електророзрядних установок, опір навантажен-
ня яких може змінюватися випадковим чином від розряду до розряду з довільною кількістю альтернативних
варіантів. Зарядне і розрядне кола ємнісних накопичувачів електроенергії установок представлено динамічни-
ми системами, стани яких циклічно змінюються і є взаємозалежними. При зміні станів кола застосовувався
метод декомпозиції, який дозволяє замінити розв’язок складної задачі розв’язком взаємозалежних задач мен-
шої складності. Задачі вирішувалися із застосуванням методу різницевих рівнянь й імовірнісних оцінок елект-
ричного опору навантаження. Як приклад досліджено перехідні процеси в колах формувача розрядних імпульсів
для електроіскрового навантаження. Бібл. 9, табл. 1, рис. 3.
Ключові слова: перехідні процеси, розряд конденсатора, випадковий процес.
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 5 13
MULTILEVEL MODEL OF INTERDEPENDENT TRANSIENTS IN CIRCUITS OF ELECTRO-DISCHARGE
INSTALLATIONS WITH STOCHASTIC LOAD
N.I.Suprunovska, D.S.Ivashchenko
Institute of Electrodynamics National Academy of Science of Ukraine,
Peremohy рr., 56, Kyiv-57, 03680, Ukraine.
e-mail: iednat1@gmail.com
With application of a method of the difference equations the multilevel stochastic model is developed for the analysis of
the interdependent cyclically repeated transients in circuits of the electro-discharge installations. Electric resistance of
load such installations can change from a cycle to a cycle in a random way with any quantity of alternative alterna-
tives. Charge and discharge circuits of the capacitor stores of the electric power of such installations are presented as
dynamic systems which states are interdependent and they cyclically change. The basis of offered approach is an idea
about representation of process of change of load magnitude in the form of the random processes which instantaneous
values are geometrically distributed random quantities. It is accepted the assumption that stochastic change of electric
resistance of load occurs during a charge of the capacitor store and probabilities of appearance each of alternative
variants of load magnitude are known. At change of circuit states the decomposition method allowing to replace the
solution of intricate problem with the solution of the several interconnected problems of smaller complexity is applied.
Problem is solved with application of a method of the difference equations and probabilistic assessment of load electric
resistance. The transient processes in circuits of the shaper of discharge pulses for an electro-spark dispersion of a
layer of metal granules in a liquid are investigated as an example. The expediency of application of a multilevel sto-
chastic model for transient analysis in circuits, which elements electric resistance can change in a random way is
proved. References 9, table 1, figures 3.
Keywords: transients, capacitor discharge, a random process.
1. Venttsel E.S., Ovcharov L.A. Probability theory and its engineering applications. – Moskva: Vysshaia
Shkola, 2000. – 480 p. (Rus)
2. Demirchian K.S., Neiman L.R., Korovkin N.V., Chechurin V.L. Electrical engineering theory. – Sainkt-
Petersburg: Piter, 2003. – Vol. 2. – 576 p. (Rus)
3. Romanko V.K. Difference equations. – Moskva: Binom, 2006. – 112 p. (Rus)
4. Suprunovskaia N.I. Energy characteristics at initial conditions changing during capacitor oscillatory charge
from direct-voltage source // Tekhnichna Еlektrodynamika. – 2008. – №4. – Pp. 27–33. (Rus)
5. Tonkal V.E., Rudenko V.S., Zhuikov V.Ya., Suchik V.E., Denisiuk S.P., Novoseltsev A.V. Valve inverters with
graded structure. – Kiev: Naukova Dumka, 1989. – 336 p. (Rus)
6. Shidlovskii A.K., Suprunovskaia N.I. Energy processes in electric circuits of discharge-pulse systems with
capacitive energy storage at limitation of its discharge duration through electrical spark load and non-zero conditions its
charging // Tekhnichna Еlektrodynamika. – 2010. – № 1. – Pp. 42–48. (Rus)
7. Shidlovskii A.K., Shcherba A.A., Suprunovskaia N.I. Energy processes in charge and discharge circuits of
capacitors of electro-pulse systems. – Kiev: Interkontinental-Ukraina, 2009. – 208 p. (Rus)
8. Shcherba A.A., Suprunovskaia N.I., Sinitsin V.K., Ivashchenko D.S. Aperiodic and oscillatory discharge
processes of capacitor at forced limitation of current duration in load // Tekhnichna Elektrodynamika. – 2012. – № 3. –
Pp. 9–10. (Rus)
9. Shcherba A.A., Ivashchenko D.S. Development of difference equations method for analysis of transient
processes in the circuits of electro-discharge systems at stochastic changing of load resistance // Tekhnichna Elektrody-
namika. – 2013. – № 3. – Pр. 3–11. (Rus)
Надійшла 21.01.2013
Received 21.01.2013
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100643 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1607-7970 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:01:25Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут електродинаміки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Супруновская, Н.И. Иващенко, Д.С. 2016-05-25T05:04:37Z 2016-05-25T05:04:37Z 2013 Многоуровневая модель взаимозависимых переходных процессов в цепях электроразрядных установок со стохастической нагрузкой / Н.И. Супруновская, Д.С. Иващенко // Технічна електродинаміка. — 2013. — № 5. — С. 5-13. — Бібліогр.: 9 назв. — pос. 1607-7970 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100643 621.3.011 Разработана модель стохастических переходных процессов в цепях электроразрядных установок, сопротивление нагрузки которых может изменяться случайным образом от разряда к разряду с произвольным количеством альтернативных вариантов. Зарядная и разрядная цепи емкостных накопителей электроэнергии установок представлены динамическими системами, состояния которых циклически изменяются и являются взаимозависимыми. При изменении состояний цепи применялся метод декомпозиции, позволяющий заменить решение сложной задачи решением нескольких взаимосвязанных задач меньшей сложности. Задачи решались с применением метода разностных уравнений и вероятностных оценок электрического сопротивления нагрузки. В качестве примера исследованы переходные процессы в цепях формирователя разрядных импульсов для электроискровой нагрузки. Розроблено модель стохастичних перехідних процесів у колах електророзрядних установок, опір навантаження яких може змінюватися випадковим чином від розряду до розряду з довільною кількістю альтернативних варіантів. Зарядне і розрядне кола ємнісних накопичувачів електроенергії установок представлено динамічними системами, стани яких циклічно змінюються і є взаємозалежними. При зміні станів кола застосовувався метод декомпозиції, який дозволяє замінити розв’язок складної задачі розв’язком взаємозалежних задач меншої складності. Задачі вирішувалися із застосуванням методу різницевих рівнянь й імовірнісних оцінок електричного опору навантаження. Як приклад досліджено перехідні процеси в колах формувача розрядних імпульсів для електроіскрового навантаження. With application of a method of the difference equations the multilevel stochastic model is developed for the analysis of the interdependent cyclically repeated transients in circuits of the electro-discharge installations. Electric resistance of load such installations can change from a cycle to a cycle in a random way with any quantity of alternative alternatives. Charge and discharge circuits of the capacitor stores of the electric power of such installations are presented as dynamic systems which states are interdependent and they cyclically change. The basis of offered approach is an idea about representation of process of change of load magnitude in the form of the random processes which instantaneous values are geometrically distributed random quantities. It is accepted the assumption that stochastic change of electric resistance of load occurs during a charge of the capacitor store and probabilities of appearance each of alternative variants of load magnitude are known. At change of circuit states the decomposition method allowing to replace the solution of intricate problem with the solution of the several interconnected problems of smaller complexity is applied. Problem is solved with application of a method of the difference equations and probabilistic assessment of load electric resistance. The transient processes in circuits of the shaper of discharge pulses for an electro-spark dispersion of a layer of metal granules in a liquid are investigated as an example. The expediency of application of a multilevel stochastic model for transient analysis in circuits, which elements electric resistance can change in a random way is proved. ru Інститут електродинаміки НАН України Технічна електродинаміка Теоретична електротехніка та електрофізика Многоуровневая модель взаимозависимых переходных процессов в цепях электроразрядных установок со стохастической нагрузкой Багаторівнева модель взаємозалежних перехідних процесів у колах електророзрядних установок із стохастичним навантаженням Multilevel model of interdependent transients in circuits of electro-discharge installations with stochastic load Article published earlier |
| spellingShingle | Многоуровневая модель взаимозависимых переходных процессов в цепях электроразрядных установок со стохастической нагрузкой Супруновская, Н.И. Иващенко, Д.С. Теоретична електротехніка та електрофізика |
| title | Многоуровневая модель взаимозависимых переходных процессов в цепях электроразрядных установок со стохастической нагрузкой |
| title_alt | Багаторівнева модель взаємозалежних перехідних процесів у колах електророзрядних установок із стохастичним навантаженням Multilevel model of interdependent transients in circuits of electro-discharge installations with stochastic load |
| title_full | Многоуровневая модель взаимозависимых переходных процессов в цепях электроразрядных установок со стохастической нагрузкой |
| title_fullStr | Многоуровневая модель взаимозависимых переходных процессов в цепях электроразрядных установок со стохастической нагрузкой |
| title_full_unstemmed | Многоуровневая модель взаимозависимых переходных процессов в цепях электроразрядных установок со стохастической нагрузкой |
| title_short | Многоуровневая модель взаимозависимых переходных процессов в цепях электроразрядных установок со стохастической нагрузкой |
| title_sort | многоуровневая модель взаимозависимых переходных процессов в цепях электроразрядных установок со стохастической нагрузкой |
| topic | Теоретична електротехніка та електрофізика |
| topic_facet | Теоретична електротехніка та електрофізика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100643 |
| work_keys_str_mv | AT suprunovskaâni mnogourovnevaâmodelʹvzaimozavisimyhperehodnyhprocessovvcepâhélektrorazrâdnyhustanovoksostohastičeskoinagruzkoi AT ivaŝenkods mnogourovnevaâmodelʹvzaimozavisimyhperehodnyhprocessovvcepâhélektrorazrâdnyhustanovoksostohastičeskoinagruzkoi AT suprunovskaâni bagatorívnevamodelʹvzaêmozaležnihperehídnihprocesívukolahelektrorozrâdnihustanovokízstohastičnimnavantažennâm AT ivaŝenkods bagatorívnevamodelʹvzaêmozaležnihperehídnihprocesívukolahelektrorozrâdnihustanovokízstohastičnimnavantažennâm AT suprunovskaâni multilevelmodelofinterdependenttransientsincircuitsofelectrodischargeinstallationswithstochasticload AT ivaŝenkods multilevelmodelofinterdependenttransientsincircuitsofelectrodischargeinstallationswithstochasticload |