Особливості перехідних процесів в послідовному RLC-колі з синусоїдним джерелом живлення та реверсуванням ємності у режимах, близьких до резонансних
Досліджено процеси в RLC-колі з синусоїдним джерелом живлення, в якому відбувається реверсування ємнісного елементу. Виведено співвідношення для сталих інтегрування розв'язку диференціального рівняння, що описує процеси у колі в залежності від кількості попередніх реверсувань. Наведено залежніс...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Технічна електродинаміка |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут електродинаміки НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100749 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Особливості перехідних процесів в послідовному RLC-колі з синусоїдним джерелом живлення та реверсуванням ємності у режимах, близьких до резонансних / Н.А. Шидловська // Технічна електродинаміка. — 2013. — № 6. — С. 9-13. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100749 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Шидловська, Н.А. 2016-05-26T17:58:11Z 2016-05-26T17:58:11Z 2013 Особливості перехідних процесів в послідовному RLC-колі з синусоїдним джерелом живлення та реверсуванням ємності у режимах, близьких до резонансних / Н.А. Шидловська // Технічна електродинаміка. — 2013. — № 6. — С. 9-13. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1607-7970 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100749 621.3.011.74.005 Досліджено процеси в RLC-колі з синусоїдним джерелом живлення, в якому відбувається реверсування ємнісного елементу. Виведено співвідношення для сталих інтегрування розв'язку диференціального рівняння, що описує процеси у колі в залежності від кількості попередніх реверсувань. Наведено залежність заряду ємності та струму у колі від різниці частот власних коливань кола і вхідної напруги за умови її малості. Показано, що вільна складова перехідного процесу є більш чутливою до неї, ніж вимушена. Наведено графіки напруги на ємності та струму у колі для коливального та аперіодичного режимів при симетричному і несиметричному реверсуваннях. Визначено співвідношення між тривалістю керуючого сигналу та його періодом, при якому має місце розгойдування напруги. Исследованы переходные процессы в RLC-цепи с синусоидальным источником питания, в которой происходят управляемые реверсирования емкостного элемента. Найдены соотношения для постоянных интегрирования решения дифференциального уравнения, описывающего процессы в цепи в зависимости от количества предыдущих реверсирований. Приведены зависимости заряда емкости и тока в цепи от разности частот собственных колебаний цепи и входного напряжения при условии ее малости. Показано, что свободная составляющая переходного процесса более чувствительна к ней, чем вынужденная. На основе анализа графиков напряжения на емкости и тока в цепи для колебательного и апериодического режимов при симметричном и несимметричном реверсировании определено соотношение между длительностью управляющего сигнала и его периодом, при котором происходит раскачивание напряжения. Transients in a RLC-circuit with the sinusoidal power supply in which occur controllable reversing a capacity are explored. Parities for constants of integration of the decision of the differential equation describing processes in a circuit depending on quantity previous reversing are found. Dependences of a charge of capacity and current in a circuit from a difference of frequencies of own fluctuations of a circuit and input voltage under condition of it smallness are resulted. It is shown that the free component of transient is more sensitive to it, than forced. On the basis of the analysis of schedules of voltage on capacity and a current in a circuit for oscillatory and aperiodic modes at symmetric and asymmetrical reversing the parity between duration of an operating signal and its period at which there is a voltage increase is defined uk Інститут електродинаміки НАН України Технічна електродинаміка Теоретична електротехніка та електрофізика Особливості перехідних процесів в послідовному RLC-колі з синусоїдним джерелом живлення та реверсуванням ємності у режимах, близьких до резонансних Особенности переходных процессов в последовательной RLC-цепи с синусоидальным источником питания и реверсированием емкости в режимах, близких к резонансу Features of transients in a series RLC-circuit with the sinusoidal power supply and reversing of capacity in modes close to a resonance Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Особливості перехідних процесів в послідовному RLC-колі з синусоїдним джерелом живлення та реверсуванням ємності у режимах, близьких до резонансних |
| spellingShingle |
Особливості перехідних процесів в послідовному RLC-колі з синусоїдним джерелом живлення та реверсуванням ємності у режимах, близьких до резонансних Шидловська, Н.А. Теоретична електротехніка та електрофізика |
| title_short |
Особливості перехідних процесів в послідовному RLC-колі з синусоїдним джерелом живлення та реверсуванням ємності у режимах, близьких до резонансних |
| title_full |
Особливості перехідних процесів в послідовному RLC-колі з синусоїдним джерелом живлення та реверсуванням ємності у режимах, близьких до резонансних |
| title_fullStr |
Особливості перехідних процесів в послідовному RLC-колі з синусоїдним джерелом живлення та реверсуванням ємності у режимах, близьких до резонансних |
| title_full_unstemmed |
Особливості перехідних процесів в послідовному RLC-колі з синусоїдним джерелом живлення та реверсуванням ємності у режимах, близьких до резонансних |
| title_sort |
особливості перехідних процесів в послідовному rlc-колі з синусоїдним джерелом живлення та реверсуванням ємності у режимах, близьких до резонансних |
| author |
Шидловська, Н.А. |
| author_facet |
Шидловська, Н.А. |
| topic |
Теоретична електротехніка та електрофізика |
| topic_facet |
Теоретична електротехніка та електрофізика |
| publishDate |
2013 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Технічна електродинаміка |
| publisher |
Інститут електродинаміки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Особенности переходных процессов в последовательной RLC-цепи с синусоидальным источником питания и реверсированием емкости в режимах, близких к резонансу Features of transients in a series RLC-circuit with the sinusoidal power supply and reversing of capacity in modes close to a resonance |
| description |
Досліджено процеси в RLC-колі з синусоїдним джерелом живлення, в якому відбувається реверсування ємнісного елементу. Виведено співвідношення для сталих інтегрування розв'язку диференціального рівняння, що описує процеси у колі в залежності від кількості попередніх реверсувань. Наведено залежність заряду ємності та струму у колі від різниці частот власних коливань кола і вхідної напруги за умови її малості. Показано, що вільна складова перехідного процесу є більш чутливою до неї, ніж вимушена. Наведено графіки напруги на ємності та струму у колі для коливального та аперіодичного режимів при симетричному і несиметричному реверсуваннях. Визначено співвідношення між тривалістю керуючого сигналу та його періодом, при якому має місце розгойдування напруги.
Исследованы переходные процессы в RLC-цепи с синусоидальным источником питания, в которой происходят управляемые реверсирования емкостного элемента. Найдены соотношения для постоянных интегрирования решения дифференциального уравнения, описывающего процессы в цепи в зависимости от количества предыдущих реверсирований. Приведены зависимости заряда емкости и тока в цепи от разности частот собственных колебаний цепи и входного напряжения при условии ее малости. Показано, что свободная составляющая переходного процесса более чувствительна к ней, чем вынужденная. На основе анализа графиков напряжения на емкости и тока в цепи для колебательного и апериодического режимов при симметричном и несимметричном реверсировании определено соотношение между длительностью управляющего сигнала и его периодом, при котором происходит раскачивание напряжения.
Transients in a RLC-circuit with the sinusoidal power supply in which occur controllable reversing a capacity are explored. Parities for constants of integration of the decision of the differential equation describing processes in a circuit depending on quantity previous reversing are found. Dependences of a charge of capacity and current in a circuit from a difference of frequencies of own fluctuations of a circuit and input voltage under condition of it smallness are resulted. It is shown that the free component of transient is more sensitive to it, than forced. On the basis of the analysis of schedules of voltage on capacity and a current in a circuit for oscillatory and aperiodic modes at symmetric and asymmetrical reversing the parity between duration of an operating signal and its period at which there is a voltage increase is defined
|
| issn |
1607-7970 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100749 |
| citation_txt |
Особливості перехідних процесів в послідовному RLC-колі з синусоїдним джерелом живлення та реверсуванням ємності у режимах, близьких до резонансних / Н.А. Шидловська // Технічна електродинаміка. — 2013. — № 6. — С. 9-13. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT šidlovsʹkana osoblivostíperehídnihprocesívvposlídovnomurlckolízsinusoídnimdžerelomživlennâtareversuvannâmêmnostíurežimahblizʹkihdorezonansnih AT šidlovsʹkana osobennostiperehodnyhprocessovvposledovatelʹnoirlccepissinusoidalʹnymistočnikompitaniâireversirovaniememkostivrežimahblizkihkrezonansu AT šidlovsʹkana featuresoftransientsinaseriesrlccircuitwiththesinusoidalpowersupplyandreversingofcapacityinmodesclosetoaresonance |
| first_indexed |
2025-11-24T10:10:44Z |
| last_indexed |
2025-11-24T10:10:44Z |
| _version_ |
1850456793085378560 |
| fulltext |
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. №6 9
ТЕОРЕТИЧНА ЕЛЕКТРОТЕХНІКА ТА ЕЛЕКТРОФІЗИКА
УДК 621.3.011.74.005
ОСОБЛИВОСТІ ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ В ПОСЛІДОВНОМУ RLC-КОЛІ
З СИНУСОЇДНИМ ДЖЕРЕЛОМ ЖИВЛЕННЯ ТА РЕВЕРСУВАННЯМ ЄМНОСТІ
У РЕЖИМАХ, БЛИЗЬКИХ ДО РЕЗОНАНСНИХ
Н.А. Шидловська, член-кореспондент НАН України
Інститут електродинаміки НАН України,
пр. Перемоги, 56, Київ-57, 03680, Україна, e-mail: shydlovska@mail.ua
Досліджено процеси в RLC-колі з синусоїдним джерелом живлення, в якому відбувається реверсування ємніс-
ного елементу. Виведено співвідношення для сталих інтегрування розв'язку диференціального рівняння, що опи-
сує процеси у колі в залежності від кількості попередніх реверсувань. Наведено залежність заряду ємності та
струму у колі від різниці частот власних коливань кола і вхідної напруги за умови її малості. Показано, що віль-
на складова перехідного процесу є більш чутливою до неї, ніж вимушена. Наведено графіки напруги на ємності
та струму у колі для коливального та аперіодичного режимів при симетричному і несиметричному реверсу-
ваннях. Визначено співвідношення між тривалістю керуючого сигналу та його періодом, при якому має місце
розгойдування напруги. Бібл. 6, рис. 6.
Ключові слова: RLC-коло, реверсування, реактивний елемент.
При створенні джерел реактивної потужності, які є важливою ланкою систем забезпечення
належної якості електричної енергії, використовують реверсування реактивного елемента в послідов-
ному RLC-колі синусоїдної напруги [4]. Аналіз особливостей перехідних процесів у зазначених колах
в режимах, близьких до резонансних, є метою даної роботи. Оскільки при реверсуванні індуктивності
або ємності має місце розрив першого роду [1] функції струму або заряду, для аналізу процесів у за-
значених колах зручно застосувати теорію диференціальних рівнянь з імпульсною дією [3].
Розглянемо послідовне RLC-коло, у якому через певні проміжки часу має місце реверсування
ємності [5]. Оскільки внаслідок реверсувань ємності структура кола не змінюється, то диференціальне
рівняння, що описує процеси у ньому, незалежно від номеру інтервалу між перемиканнями має вигляд
( )
2
1 02 sinmUd q R dq q t
dt L dt LC L
+ + = ω + ϕ , (1)
де q – заряд на конденсаторі; CLR ,, – параметри активного і реактивних елементів; mU – амплі-
туда; 1ω – частота; 0ϕ – початкова фаза напруги джерела живлення.
Розв’язком рівняння (1) буде
( )1 2 1
1 2 1 0sint t
n n mq C e C e U L tλ λ −= + + α ω + ϕ + δ , (2)
де 1 2,λ λ − корені характеристичного рівняння.
Відповідно для струму у колі можемо записати
( )1 2 1
1 1 2 2 1 1 0cost t
n n mi C e C e U L tλ λ −= λ + λ + αω ω + ϕ + δ , (3)
де 0 1 LCω = – частота власних коливань; nn CC 21 , – перша і друга сталі інтегрування після n -го
перемикання; ( )
1/ 222 2 2 2 2
0 1 1R L
−
−⎡ ⎤α = ω − ω + ω⎢ ⎥⎣ ⎦
; ( )12 2
1 0 1arctg / ( )R L
−
⎡ ⎤δ = − ω ω − ω⎣ ⎦ . (4)
При нульовому перемиканні системи в момент часу 0=t початковими умовами є
0 0 0; 0t tq Q i= == = , (5)
а, отже, вирази для відповідних сталих інтегрування набудуть вигляду
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
0 2
10 2 0 1 0
1 2 1 2
0 2
20 1 0 1 0
1 2 1 2
sin cos ;
sin cos .
m
m
Q UC
L
Q UC
L
λ α
= − + λ ϕ + δ − ω ϕ + δ
λ − λ λ − λ
λ α
= − λ ϕ + δ − ω ϕ + δ
λ − λ λ − λ
(6)
© Шидловська Н.А., 2013
10 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. №6
В момент часу 1t відбувається перше реверсування ємнісного елементу. Згідно з законами ко-
мутації [2] струм через індуктивність та напруга (заряд) на ємності не змінять свого значення, проте
(оскільки відбувається реверсування ємнісного елементу) напруга на ньому набуде протилежного
знаку. Отже можемо записати
( ) ( ) ( )11 2 1
10 11 20 21 1 1 0
2 sin
t t mUC C e C C e t
L
λ λ
+ + + = − α ω + ϕ + δ чи ( ) ( )11 2 1
11 10 1 21 20 2 0
t t
C C e C C e
λ λ
− λ + − λ = . (7)
Позначимо 11 10 11 21 20 21;C C C C− = ε − = ε . (8)
Тоді вирази (7) набудуть вигляду
( ) ( )
11 2 1
11 2 1 11 2 1
11 1 21 2
1
10 20 1 1 0 11 21 0 1
0;
2 2 2 sin 2 ,
t t
t t t t
m
e e
C e C e U L t e e q t
λ λ
λ λ λ λ−
⎧⎪ε λ + ε λ =
⎨ + + α ω + ϕ + δ = −ε − ε =⎪⎩
(9)
де ( )0 1q t – заряд на конденсаторі, вирахуваний по співвідношенню для заряду на відрізку часу між
нульовим і першим перемиканнями.
Розв’язуючи систему рівнянь (9), маємо
( )( ) ( )( )1 1 2 1
1 1
11 2 1 1 2 11 1 1 1 22 ; 2 ,t tq t e q t e− −−λ −λε = λ λ − λ ε = − λ λ − λ (10)
звідки знаходимо ( )( ) ( )( )1 1 2 1
1 1
11 10 2 0 1 1 2 21 20 1 0 1 1 22 ; 2 .t tC C q t e C C q t e− −−λ −λ= + λ λ − λ = − λ λ − λ (11)
Розмірковуючи аналогічно, можемо знайти сталі інтегрування для відрізку часу між другим і
третім перемиканнями
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 2 2 1 2 2
1 1
12 10 2 1 2 0 1 1 2 22 20 2 1 2 0 1 1 22 ; 2t t t tC C q t e q t e C C q t e q t e− −−λ −λ −λ −λ= + λ λ − λ + = − λ λ − λ + (12)
і, після узагальнення, між n -м і ( 1+n )-м перемиканнями
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
11 1 1 2
22 1 2 2
1
1 10 2 1 2 0 1 1 2 1
1
2 20 1 1 2 0 1 1 2 1
2 ... ;
2 ... .
n
n
tt t
n n n
tt t
n n n
C C q t e q t e q t e
C C q t e q t e q t e
− −λ−λ −λ
−
− −λ−λ −λ
−
= + λ λ − λ + + +
= − λ λ − λ + + +
(13)
Якщо перемикання відбуваються у моменти часу, коли заряд на конденсаторі досягає певної
величини ∗q , система (13) перетвориться до вигляду
( ) ( ) ( ) ( )1 21 1 1 2 2 1 2 2
1 1
1 10 2 1 2 2 20 1 1 22 ... ; 2 ... .n nt tt t t t
n nC C q e e e C C q e e e− −−λ −λ−λ −λ −λ −λ
∗ ∗= + λ λ − λ + + + = − λ λ − λ + + + (14)
Проаналізуємо процеси у колі в режимі, близькому до резонансного. Введемо позначення:
0 1Δ = ω − ω , де Δ – мала величина; / 2R L h= , і для спрощення формул припустимо 0 0ϕ = . Перепи-
шемо співвідношення (4) з огляду на введені позначення та формули наближених обчислень [1]
( )2
1
2 3
1 1
1 ; .
2 4 2
harctg
h h h
Δ ω + Δ π Δ
α ≈ − δ = − ≈ − +
ω ω Δ
(15)
Скористаємося виразами (15) для запису вимушених складових заряду та струму у співвід-
ношеннях (2), (3)
( )
( )
2 4
31 1 1 1 1 1
1 2 3 4 2 3 2 4
1 1 1 1 1 1
2 4
31 1 1 1 1 1
1 1 2 3 4 3
1
cos sin cos sin cos sinsin ;
2 2 4 4 4 4
sin cos sin cos sin coscos
2 2 4 4 4
m m
m m
U U t t t t t tt
L L h h h h h h
U U t t t t tt
L L h h h h h
⎧ ⎫⎛ ⎞− ω Δ ω Δ ω ω ω Δ ω⎪ ⎪α ω + δ = + + − Δ − +⎨ ⎬⎜ ⎟ω ω ω ω ω ω⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
⎛ ⎞ω Δ ω Δ ω ω ω Δ ω
αω ω + δ = + − − Δ + +⎜ ⎟ω⎝ ⎠
4
1
.
4
t
h
⎧ ⎫⎪ ⎪
⎨ ⎬
ω⎪ ⎪⎩ ⎭
(16)
Враховуючи тільки перший порядок малості по Δ і беручи до уваги формули (6), для сталих
інтегрування 10 20,C C маємо
( ) ( )
( ) ( )
2
10 0 10
1 2 1 1 2 1 2
1
20 0 20
1 2 1 1 2 1 2
;
.
m m m
m m m
U U UC Q C
R Rh Rh
U U UC Q C
R Rh Rh
∗
∗
⎛ ⎞λ
= − + − Δ = − Δ⎜ ⎟λ − λ ω λ − λ λ − λ⎝ ⎠
⎛ ⎞λ
= − + + Δ = + Δ⎜ ⎟λ − λ ω λ − λ λ − λ⎝ ⎠
(17)
Для заряду на відповідному проміжку часу можемо записати
( ) ( ) ( ) ( )
1 21 2
1 2
0 0 1 0 0 1
1 2 1 2
1 sin ; cos ,
t tt t
m mU U e ee eq t q t t i t i t t
Rh Rh
λ λλ λ
∗ ∗
⎧ ⎫ ⎧ ⎫Δ Δ −λ + λ− +
= + + ω = + + ω⎨ ⎬ ⎨ ⎬
λ − λ ω λ − λ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
(18)
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. №6 11
де ( ) t
R
Uee
R
UQq mttm
1
1
12
1
0
21
0 cos1 21 ω
ω
λλ
ωλλ
λλ −+−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
=∗ ; ( ) t
R
Ueei mtt
1
21
21
0 sin21 ω
λλ
λλ λλ ++−
−
=∗ .
Розмірковуючи аналогічно, одержимо співвідношення для 11 21,C C та ( )1q t , ( )1i t
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 1 11 1
1 2 12 1
2 0 1 1 2 2 2
11 10 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 0 1 1 2 1 1
21 20 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 2 2 sin ;
2 2 2 sin ,
tt m
tt m
q t UC C e e t
Rh
q t UC C e e t
Rh
− λ −λ∗ −λ
∗
− λ −λ∗ −λ
∗
λ ⎧ ⎫Δ λ + λ λ λ
= + + − + + ω⎨ ⎬λ − λ λ − λ λ − λ λ − λ ω⎩ ⎭
λ ⎧ ⎫Δ λ + λ λ λ
= − − − + ω⎨ ⎬λ − λ λ − λ λ − λ λ − λ ω⎩ ⎭
(19)
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1 1 2 11 2
1 1 2 11 2 2 1 1 1 1 2
0 1
1 10 20 1 2 1 1
1 1 2 1
1 2
2 1 1 1 2 1
1 2 1 2 1 2 1
2
cos sin
2
1 2 sin .
t t t tt t m m
t t t tt t t t t tm
q tU Uq t C e C e t e e t
R Rh
U e e e e e e t e e
Rh
λ − λ −∗λ λ
∗ ∗
λ − λ −λ λ λ λ λ λ
Δ
= + − ω + λ − λ + ω +
ω λ − λ ω
⎧ ⎫Δ λ + λ
+ − + + λ + λ + ω λ − λ⎨ ⎬λ − λ λ − λ λ − λ ω⎩ ⎭
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
1 1 2 11 2
1 1 2 11 2 2 1 1 1
1 2 1 2
1 10 1 20 2 0 1
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 1
1 2
2
2 sin cos .
t t t tt t m
t t t tt t t t m m
Ui t C e C e q t e e
Rh
U Ue e e e e e t t
R Rh
λ − λ −λ λ
∗ ∗ ∗
λ − λ −λ λ λ λ
⎧Δλ λ λ + λ
= λ + λ + + + − ×⎨λ − λ λ − λ λ − λ⎩
⎫ Δλ λ
× λ + λ + + + ω + ω⎬λ − λ ⎭
(20)
Зазначимо також, що у виразах (17)−(20) необхідно мати на увазі, що, згідно з формулами
наближених обчислень [1]
2 2 2 2
1,2 1 1 2 1; 2 2 ;h h b h bλ ≈ − ± − ω Δ λ − λ ≈ − ω − Δm
3
21 2 1 1 2
1 2 22 2
1 2 1 2 11
; ;
2 2
b b h bhb b
hh
λ λ ω λ + λΔ Δ
≈ + Δ + + Δ ω ≈ − −
λ − λ λ − λ − ω− ω
(21)
2 2 2 2
1 11 2
2 2 2 2
1 2 1 21 1
; ,
2 2 2 2
h h b h h b
h b h b
− + − ω − Δ − − − ω + Δλ λ
≈ ≈
λ − λ λ − λ− ω − Δ − ω − Δ
де ( ) 1/ 22 2
1 1b h
−
= ω − ω .
Аналізуючи співвідношення (16)−(21), бачимо, що різниця між частотою власних коливань
кола та частотою вимушених коливань Δ більше впливає на вільну складову перехідного процесу.
На рис. 1−6 наведено графіки напруги на ємності та струму через неї в режимах, близьких до
резонансних для восьми перемикань. При цьому період керуючого сигналу вдвічі менший за період
вхідної напруги. На всіх
рисунках крива 1 від-
повідає симетричному
( 2 1 1 0 0,005t t t t− = − = с),
а криві 2 та 3 − несимет-
ричному керуванню ре-
версуванням ємності.
При цьому для кривих 2
виконуються співвідно-
шення 1 0 0,001t t− = с;
2 1 0,009t t− = с;...,
а для кривих 3 –
1 0 0,0025t t− = с;
2 1 0,007t t− = с.
Крива 4 відпові-
дає синусоїді вхідної на-
пруги. Рис. 1−3 відпові-
дають коливальному роз-
ряду ємності з парамет-
рами кола: 1110R −= Ом,
u,B
t, c 0
0
0,01 0,02 0,03
2
-2
-4
4 2
1 3
4
i, A
t, c0,03 0,020,010
0
0,04
-0,04
0,08
2
1
3
Рис. 1
u,B
t, c 0,01 0,02 0,03
0
2
-2
4
-4
6
0
1 2 3
4
i, A
t, c0,01 0,02 0,030
0,05
-0,05
0,1
-0,1
0
1
2
3
Рис. 2
12 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. №6
55 10C −= ⋅ Ф, 1mU = В, πω 1001 = , 0 2ϕ = π , а рис. 4−6 – аперіодичному розряду ( 130R = Ом). Зазна-
чимо, що на рис. 1 та рис. 4 показано криві, відмінність яких від резонансних дуже незначна
( 810−Δ = ), при цьому 202642368,0=L Гн. На інших кривих Δ складає 10% від 1ω . При цьому для
кривих рис. 2 і рис. 5 – у бік збільшення ( πω 1100 = , 0,167473031L = Гн), а для рис. 3 і рис. 6 – у бік
зменшення ( πω 900 = , 253302959,0=L Гн).
Із рисунків видно, що в аперіодичному режимі розряду ємності процес швидко врівно-
важується незалежно від того, має місце симетричне чи несиметричне керування реверсуванням
ємнісного елементу. В той же час, в коливальному режимі роботи кола врівноваження має місце
лише при симетричному керуванні перемиканнями. Обидва режими роботи характеризуються
більшими значеннями напруги на ємності при 10 ωω > .
u,B
t, c0,01 0,02 0,03
0
1
-1
2
-2
-3
3
0
1 2
3
4
t, c
i,A
0,01 0,02 0,03
-0,02
0,02
0
0,04
-0,04
1
2 3
Рис. 3
u,B
t, c0,01 0,02 0,030
0
1
2
3
4
0,5
-0,5
1
-1
t, c
i,A
0,01 0,02 0,03 0
0
1
2
3
0,005
-0,005
Рис. 4
u,B
t, c0,01 0,02 0,030
0
4
1 2
3
0,05
-0,05
-1
1
0,03 t, c
i,A
0,005
0
0 0,01 0,02
-0,005
1
2
3
Рис. 5
u,B
t, c 0,01 0
0,05
-0,05
1
-1
0,02 0,03
0
4
3
1
2
i,A
t, c 0,01 0
0,004
0
0,02 0,03
-0,004
-0,008
0,008
1
2 3
Рис. 6
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. №6 13
Як зазначалося у [6], з параметрами, що забезпечують коливальний режим і 0,032422778L =
Гн при співвідношенні 0,003 с / 0,007 с та 0,007 с / 0,003 с між сигналом та паузою керуючого сигналу
має місце розгойдування напруги. При цьому кількість перемикань, необхідних для досягнення уста-
леного режиму, сягало кількох тисяч. Із рис. 1−3 видно, що при близькості частот 0ω і 1ω аналогічне
розгойдування має місце при співвідношенні між сигналом та паузою 0,001 с / 0,009 с. Це доводить,
що небезпечні для роботи кола співвідношення між сигналом та паузою керуючого сигналу значною
мірою залежать від співвідношення між 0ω і 1ω . Зазначимо також, що аперіодичний режим роботи
кола є найбільш врівноваженим і характеризується відсутністю розгойдувань напруги.
1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. – Москва: Наука, 1981.– 720 с.
2. Поливанов К.М. Физические основы электротехники. – М.-Л.: Госэнергоиздат, 1950. – 558 с.
3. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи.
− М.: Высшая школа, 1989. – 383 с.
4. Шидловский А.К., Федий В.С. Частотно-регулируемые источники реактивной мощности. – Киев: На-
укова думка, 1980. – 304 с.
5. Шидловская Н.А. Процессы в RLC-цепи синусоидального напряжения с управляемым реверсирова-
нием емкости // Техн. електродинаміка. – 2011. – №1. – С. 3–11.
6. Шидловська Н.А., Фастова С.С. Про особливості несиметричного керування реверсуваннями реак-
тивних елементів у послідовному RLC-колі // Техн. електродинаміка. – 2011. – №3. – С. 3–9.
ОСОБЕННОСТИ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ RLC-ЦЕПИ С СИНУСОИДАЛЬНЫМ
ИСТОЧНИКОМ ПИТАНИЯ И РЕВЕРСИРОВАНИЕМ ЕМКОСТИ В РЕЖИМАХ, БЛИЗКИХ К РЕЗОНАНСУ
Н.А. Шидловская, чл.-корр. НАН Украины
Институт электродинамики НАН Украины,
пр. Победы, 56, Киев-57, 03680, Украина, e-mail: shydlovska@mail.ua
Исследованы переходные процессы в RLC-цепи с синусоидальным источником питания, в которой происходят управляемые
реверсирования емкостного элемента. Найдены соотношения для постоянных интегрирования решения дифференциаль-
ного уравнения, описывающего процессы в цепи в зависимости от количества предыдущих реверсирований. Приведены за-
висимости заряда емкости и тока в цепи от разности частот собственных колебаний цепи и входного напряжения при ус-
ловии ее малости. Показано, что свободная составляющая переходного процесса более чувствительна к ней, чем вынуж-
денная. На основе анализа графиков напряжения на емкости и тока в цепи для колебательного и апериодического режимов
при симметричном и несимметричном реверсировании определено соотношение между длительностью управляющего сиг-
нала и его периодом, при котором происходит раскачивание напряжения. Библ. 6, рис. 6.
Ключевые слова: RLC-цепь, реверсирование, реактивный элемент.
FEATURES OF TRANSIENTS IN A SERIES RLC-CIRCUIT WITH THE SINUSOIDAL POWER SUPPLY AND REVERSING
OF CAPACITY IN MODES CLOSE TO A RESONANCE
N.A.Shydlovska
Institute of Electrodynamics National Academy of Science of Ukraine,
Peremohy pr., 56, Kyiv-57, 03680, Ukraine, e-mail: shydlovska@mail.ua
Transients in a RLC-circuit with the sinusoidal power supply in which occur controllable reversing a capacity are explored. Parities
for constants of integration of the decision of the differential equation describing processes in a circuit depending on quantity
previous reversing are found. Dependences of a charge of capacity and current in a circuit from a difference of frequencies of own
fluctuations of a circuit and input voltage under condition of it smallness are resulted. It is shown that the free component of
transient is more sensitive to it, than forced. On the basis of the analysis of schedules of voltage on capacity and a current in a circuit
for oscillatory and aperiodic modes at symmetric and asymmetrical reversing the parity between duration of an operating signal and
its period at which there is a voltage increase is defined. References 6, figures 6.
Keywords: RLC-circuit, reversal, reactive component.
1. Bronshtein I.N., Semendiaev K.A. Reference book on mathematics. – Moskva: Nauka, 1981.– 720 p. (Rus)
2. Polivanov K.M. Physical bases of the electrical engineering. – Moskva-Leningrad: Gosenergoizdat, 1950. – 558 p. (Rus)
3. Samoilenko A.M., Krivosheia S.A., Perestiuk N.A. Differential equations: examples and tasks. – Moskva:
Vysshaia shkola, 1989. – 383 p. (Rus)
4. Shidlovskii A.K., Fedii V.S. Frequency requlating reactive power sources. – Kyiv: Naukova dumka, 1980. –
304 p. (Rus)
5. Shidlovskaia N.A. The processes in sin voltage RLC-circuit with controlled reversing of capacity // Tekhnichna
elektrodynamika. – 2011. – №1. – Pp. 3–11. (Rus)
6. Shydlovska N.A., Fastova S.S. Peculiarities of asymmetrical control of reactive components reversal in an RLC-
circuit // Tekhnichna elektrodynamika. – 2011. – №3. – Pp. 3–9. (Ukr)
Надійшла 25.07.2013
Received 25.07.2013
|