Байесовская модель статистической оценки показателя безотказности технической системы по результатам испытаний с доработками
Для биномиальной схемы испытаний анализируются традиционные способы оценки вероятности безотказной работы (ВБР) системы по результатам испытаний с доработками (модели роста надежности; модели, учитывающие эффективность проведенных доработок; байесовские марковские модели) и показаны их недостатки. Д...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Техническая механика |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100773 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Байесовская модель статистической оценки показателя безотказности технической системы по результатам испытаний с доработками / Э.Г. Гладкий // Техническая механика. — 2015. — № 3. — С. 54-67. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859982064943628288 |
|---|---|
| author | Гладкий, Э.Г. |
| author_facet | Гладкий, Э.Г. |
| citation_txt | Байесовская модель статистической оценки показателя безотказности технической системы по результатам испытаний с доработками / Э.Г. Гладкий // Техническая механика. — 2015. — № 3. — С. 54-67. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Техническая механика |
| description | Для биномиальной схемы испытаний анализируются традиционные способы оценки вероятности безотказной работы (ВБР) системы по результатам испытаний с доработками (модели роста надежности; модели, учитывающие эффективность проведенных доработок; байесовские марковские модели) и показаны их недостатки. Для определения надежности по результатам испытаний с доработками предложено использовать модифицированный байесовский подход. Отличительной особенностью разработанной модели является использование в качестве априорной информации точечной оценки надежности, определенной на основе анализа эффективности проведенных доработок, и промежутка неопределенности для неизвестного значения априорного среднего квадратического отклонения. Получены расчетные соотношения для определения апостериорной оценки надежности технической системы и ее среднего квадратического отклонения в процессе экспериментальной отработки с учетом доработок и показано практическое применение предложенной математической модели. Разработанная математическая модель позволяет достаточно гибко учитывать влияние на оценку ВБР проводимых в процессе экспериментальной отработки системы доработок.
Для біноміальної схеми випробувань проаналізовано традиційні способи оцінки ймовірності безвідмовної роботи (ЙБР) системи за результатами випробувань з доопрацюваннями (моделі росту надійності, моделі, що враховують ефективність проведених доробок, байєсовські марковські моделі) і показано їх недоліки. Для визначення надійності за результатами випробувань з доопрацюваннями запропоновано використовувати модифікований байєсовський підхід. Відмінною особливістю розробленої моделі є використання в якості апріорної інформації точкової оцінки надійності, яка визначена на основі аналізу ефективності проведених доопрацювань, та проміжку невизначеності для невідомого значення апріорного середнього квадратичного відхилення. Отримано розрахункові співвідношення для визначення апостеріорної оцінки надійності технічної системи і її середнього квадратичного відхилення в процесі експериментального відпрацювання з урахуванням доопрацювань і показано практичне використання запропонованої математичної моделі. Розроблена математична модель дозволяє гнучко враховувати вплив на оцінку ЙБР доопрацювань, що проводяться в процесі експериментального відпрацювання системи.
The traditional techniques of assessments of chances of failure based on the results of development work tests (reliability-growth models, models that take into account the efficiency of development works, Bayesian Markov models) for a binomial test pattern are analysed and their disadvantages are reported. In order to determine the reliability based on the results of development tests, the modified Bayesian approach is proposed. A special feature of the model proposed is to use as a prior information the point estimate of reliability determined by the analysis of the effectiveness of development works and the uncertainty interval for an unknown value of a priori standard deviation. The calculated relations for a posterior evaluation of the technical system reliability and its standard deviation in the process of experimental testing considering development works are obtained and a practical application of the proposed mathematical model is proposed. The developed mathematical model allows the consideration of the effect of development works carried out during experimental system tests on assessments of chances of failure.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:26:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
54
УДК 519.226
Э. Г. ГЛАДКИЙ
БАЙЕСОВСКАЯ МОДЕЛЬ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЯ
БЕЗОТКАЗНОСТИ ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ
ИСПЫТАНИЙ С ДОРАБОТКАМИ
Для биномиальной схемы испытаний анализируются традиционные способы оценки вероятности
безотказной работы (ВБР) системы по результатам испытаний с доработками (модели роста надежности;
модели, учитывающие эффективность проведенных доработок; байесовские марковские модели) и пока-
заны их недостатки. Для определения надежности по результатам испытаний с доработками предложено
использовать модифицированный байесовский подход. Отличительной особенностью разработанной
модели является использование в качестве априорной информации точечной оценки надежности, опреде-
ленной на основе анализа эффективности проведенных доработок, и промежутка неопределенности для
неизвестного значения априорного среднего квадратического отклонения. Получены расчетные соотно-
шения для определения апостериорной оценки надежности технической системы и ее среднего квадрати-
ческого отклонения в процессе экспериментальной отработки с учетом доработок и показано практиче-
ское применение предложенной математической модели. Разработанная математическая модель позволяет
достаточно гибко учитывать влияние на оценку ВБР проводимых в процессе экспериментальной отработ-
ки системы доработок.
Для біноміальної схеми випробувань проаналізовано традиційні способи оцінки ймовірності без-
відмовної роботи (ЙБР) системи за результатами випробувань з доопрацюваннями (моделі росту на-
дійності, моделі, що враховують ефективність проведених доробок, байєсовські марковські моделі) і
показано їх недоліки. Для визначення надійності за результатами випробувань з доопрацюваннями
запропоновано використовувати модифікований байєсовський підхід. Відмінною особливістю розроб-
леної моделі є використання в якості апріорної інформації точкової оцінки надійності, яка визначена
на основі аналізу ефективності проведених доопрацювань, та проміжку невизначеності для невідомого
значення апріорного середнього квадратичного відхилення. Отримано розрахункові співвідношення
для визначення апостеріорної оцінки надійності технічної системи і її середнього квадратичного ві д-
хилення в процесі експериментального відпрацювання з урахуванням доопрацювань і показано прак-
тичне використання запропонованої математичної моделі. Розроблена математична модель дозволяє
гнучко враховувати вплив на оцінку ЙБР доопрацювань, що проводяться в процесі експериментально-
го відпрацювання системи.
The traditional techniques of assessments of chances of failure based on the results of development work
tests (reliability-growth models, models that take into account the efficiency of development works, Bayesian
Markov models) for a binomial test pattern are analysed and their disadvantages are reported. In order to deter-
mine the reliability based on the results of development tests, the modified Bayesian approach is proposed. A
special feature of the model proposed is to use as a prior information the point estimate of reliability determined
by the analysis of the effectiveness of development works and the uncertainty interval for an unknown value of a
priori standard deviation. The calculated relations for a posterior evaluation of the technical system reliability and
its standard deviation in the process of experimental testing considering development works are obtained and a
practical application of the proposed mathematical model is proposed. The developed mathematical model allows
the consideration of the effect of development works carried out during experimental system tests on assessments
of chances of failure.
Ключевые слова: биномиальная схема испытаний, доработка, вероят-
ность безотказной работы, модель роста надежности, байесовские мето-
ды, эффективность проведенной доработки.
Важным этапом создания сложных технических систем является экспе-
риментальная отработка. Она представляет собой эффективный способ дове-
дения надежности системы до требуемого уровня путем выявления и устра-
нения причин скрытых дефектов, которые привели к отказам. Для устранения
зафиксированных отказов проводятся мероприятия, называемые доработка-
ми. Связаны доработки с частичным изменением конструкции агрегатов и
узлов, входящих в состав системы, условий и режимов ее функционирования,
усилением контроля изготовления элементов системы и ее сборки. Проведе-
ние доработок приводит к ступенчатому изменению надежности технической
системы.
Э. Г. Гладкий, 2015
Техн. механика. – 2015. – № 3.
55
Определение вероятности безотказной работы (ВБР) системы в условиях
проводимых доработок представляет собой важную задачу. Дадим краткую
характеристику некоторым методам, используемым для оценки надежности
систем с учетом проводимых доработок. При этом будем рассматривать би-
номиальную схему испытаний, когда в экспериментах отслеживается только
факт наличия отказов.
1. Модели роста надежности
В практических расчетах используется большое количество моделей ро-
ста надежности (МРН) [1, 2, 5, 6]. Для их построения рассматриваются серии
испытаний между доработками. По оценкам показателя безотказности на
этих этапах строится аппроксимирующая кривая – кривая роста надежности.
На практике широкое распространение нашла экспоненциальная МРН
biaPi exp1 , (1)
где Pi – надежность системы после i-той проведенной доработки; a, b – ко-
эффициенты, определяемые путем обработки статистики по результатам ис-
пытаний. Неизвестные параметры МРН определяются с использованием ме-
тода максимума правдоподобия [1, 5] либо метода наименьших квадратов [4].
Выскажем ряд замечаний относительно МРН. Согласно методике их по-
строения, ход отработки разбивается на серии испытаний между доработка-
ми (рисунок 1). На рисунке n, d – количество испытаний и зафиксированных
отказов в серии испытаний, – количество проведенных доработок системы.
Отказы для каждой серии объединяются в одну общую совокупность, при
этом появление отказов одних и тех же типов в разных сериях не отслежива-
ется. Таким образом, ограничение серии количеством испытаний между i-ой
и (i+1)-ой доработками приводит к потере информации о зафиксированных
типах отказов в предыдущих сериях и о действительной вероятности их по-
явления. К тому же в процессе отработки объемы серий между доработками
могут быть незначительными, а, значит, применение статистических методов
может оказаться недостаточно эффективным.
2. Подход, основанный на оценке вероятности отсутствия отказов
после проведения доработок
Устранить некоторые недостатки МРН позволяет подход, основанный на
оценке вероятности отсутствия отказов после проведения доработок [3, 9].
Для этого подхода характерным является классификация отказов, зафиксиро-
ванных в ходе отработки, по типам проявления. Показатель безотказности в
предположении независимости отказов различных типов определяется по
формуле:
Доработки
Результаты испытаний по сериям
1 2 i i+1
Рис. 1 – Разбиение хода отработки на серии испытаний для моделей роста
надежности
(n0,d0) (ni,di) (n+1,d+1) (n1,d1)
56
k
j
j
j mPP
1
)( )( , (2)
где )()(
j
j mP – вероятность отсутствия отказа с j-ым типом проявления после
проведения по данному типу отказа mj доработок, k – количество типов отка-
зов, по которым проводились доработки.
Для каждого типа отказов результаты испытаний системы делятся на се-
рии (рисунок 2). Граница серии соответствует номеру изделия, предшеству-
ющему проведению доработки.
Вероятность отсутствия отказа после проведения доработки оценивается
с учетом ее эффективности (привела доработка к устранению причин отказа
или нет). Делается это следующим образом. Пусть имеются 2 серии испыта-
ний: до проведения доработки проведено n1 испытаний, в которых зафикси-
ровано d1 отказов; после доработки проведено n2 испытаний и зафиксировано
d2 отказов. В случае, если доработка неэффективна (не изменила надежно-
сти системы), обе выборки (n1, d1) и (n2, d2) принадлежат одной генераль-
ной совокупности и ВБР системы по данному типу отказов может быть
определена так
21
21
2,1 1ˆ
nn
dd
P
.
Если доработка оказалась эффективной, надежность системы по рас-
сматриваемому типу отказов должна оцениваться только по результатам ис-
пытаний доработанных систем
2
2
2 1ˆ
n
d
P
(формула используется в том числе и для случая, когда d2 = 0).
Путем усреднения информации о безотказности системы до и после до-
работки с использованием теоремы о полной вероятности в [9] определяется
вероятность отсутствия отказа после проведения доработки
1
Т
и
п
ы
о
т
к
а
зо
в
1
2
k
Рис. 2 – Разбиение хода отработки в соответствии с типами отказов
Доработки
Результаты испытаний (n1,d1)
(n1,d1)
1
(n1,d1)
m1
…
),(
11 mm dn…
…
m2
),(
22 mm dn
mk 1
…
…
… ),(
kk mm dn
57
22,1
ˆ)1(ˆˆ PRPRP , (3)
где R – весовой коэффициент, который представляет собой вероятность того,
что проведенная доработка не изменила надежности системы.
Вероятности )()(
j
j mP оцениваются согласно (3) для последней прове-
денной по каждому типу отказов доработки. При этом данные до проведения
последней доработки: количество испытаний и зафиксированных отказов
(n1, d1), пересчитываются с учетом всех предыдущих доработок, проведенных
по данному типу отказов [9].
Весовой коэффициент R, входящий в (3), определяется с использованием
метода проверки статистических гипотез и выражает вероятность выбора ги-
потезы об однородности статистических данных до и после доработки. Он
определяется следующим образом [9]
d
dr
d
n
rd
n
r
n
C
CC
R
ˆ
1
21 , (4)
где ),min(ˆ
1ndd , 21 ddd , 21 nnn .
Величина E = 1–R может рассматриваться как мера эффективности про-
веденных доработок.
Для такого подхода характерным является выделение серий испытаний
по каждому типу отказов отдельно. При этом не учитывается, что для каждо-
го типа отказов система в процессе выделенных серий испытаний может из-
меняться, поскольку могут быть проведены доработки по какому-либо дру-
гому типу отказов. К тому же формула (2) не дает учесть скрытые причины
отказов, которые сохраняются в системе.
Разновидностью указанного способа оценки надежности является под-
ход, основанный на переводе испытаний с отказами, по которым проведены
эффективные доработки, в разряд незачетных и исключении их из общей ста-
тистики результатов испытаний. Испытание, в котором имел место отказ, пе-
реводится в разряд незачетных, если причина отказа установлена, проведены
мероприятия по ее устранению и эффективность этих мероприятий подтвер-
ждена последующими безотказными по данному типу отказов испытаниями.
Эффективность проведенной доработки подтверждается с использованием
метода проверки статистических гипотез. Для некоторого заданного уровня
доверия определяется количество требуемых успешных по данному типу
отказа последующих испытаний [3]. Подобная модель обладает несомненной
простотой и наглядностью. В пользу использования такого подхода свиде-
тельствует тот факт, что выяснить причины отказов помогает устанавливае-
мая на испытываемые системы телеметрия. Она позволяет получать доста-
точно полную информацию о протекающих процессах, а значит, с большой
долей достоверности выяснить причины отказов. Установить причины имев-
ших место отказов также позволяет компьютерное моделирование.
Несмотря на простоту, у последнего подхода имеются существенные не-
достатки. Во-первых, он обладает большой долей дискретности: пока для
подтверждения эффективности не набрано требуемое количество успешных
испытаний, отказ считается зачетным (при этом с каждым безотказным ис-
пытанием уверенность в эффективности проведенных мероприятий возраста-
58
ет). Во-вторых, вопрос перевода отказа в разряд незачетных напрямую связан
с назначением уровня доверительной вероятности , что естественно вносит в
процесс оценки надежности определенную долю субъективизма.
3. Байесовские модели оценки надежности по результатам испыта-
ний с доработками
Из всего множества байесовских моделей рассмотрим только следую-
щую процедуру байесовского статистического оценивания надежности тех-
нической системы по результатам испытаний с доработками [10]. Точечные
оценки ВБР в сериях испытаний между доработками P0, …, P полагаются
случайными величинами и интерпретируются как простая марковская после-
довательность. Предполагается, что доработки могут приводить к следую-
щим трем исходам:
Pi < Pi-1; Pi = Pi-1; Pi > Pi-1 ( ,1i ),
где Pi-1, Pi – ВБР, достигнутые для (i–1)-ой и i-ой серий испытаний соответ-
ственно. Вероятности указанных состояний принимаются равными
i = Вер{Pi > Pi-1}; i = Вер{Pi = Pi-1}; 1–i – i = Вер{Pi < Pi-1} для ,1i .
В [10] автором определены априорная начальная (h0(P0)), а также апри-
орные (hi(Pi/Pi-1)) и апостериорные (i(Pi/Pi-1,Ii)) переходные плотности рас-
пределения показателя безотказности для каждой серии испытаний
нP
Ph
1
1
)( 00 ,
1,
1
,
0,
1
)(
1
1
1
1
1
1
ii
i
i
iii
ii
i
ii
iii
PP
P
PP
PP
P
PPh
,
1
0
1
1
1
)()(
)()(
),(
dpIplPph
IPlPPh
IPP
iiii
iiiiii
iii ( ,1i ),
где Pн – начальный уровень надежности технической системы до проведения
испытаний; ddnd
ni ppCIpl )1()( – функция правдоподобия, соответ-
ствующая биномиальной схеме испытаний; Ii – результаты испытаний в i-ой
серии (n, d).
Далее задача сводится к определению безусловной апостериорной плот-
ности )( ii P
1 1
0
1
0
0
1
100
)1(
...,)(...)(
нP
i
i
j
jjj
i
ii dPdPIPPPP .
С ее использованием определяются апостериорная оценка надежности и
ее среднее квадратическое отклонение для i-ой серий испытаний.
59
Приведенная байесовская модель имеет ряд недостатков. Во-первых, как
отмечено в [10], в плане прикладного использования модель имеет суще-
ственную сложность, особенно в общем случае при получении )( ii P . Во-
вторых, разработчик, исходя из субъективных соображений, должен назна-
чить вероятности i, i, от которых существенно зависят оценки ВБР. Однако
несомненным преимуществом такой модели является использование для
оценки надежности в сериях байесовской методологии, что представляется
обоснованным с учетом малых объемов испытаний между проводимыми до-
работками.
4. Модель оценки надежности системы с учетом проводимых дора-
боток, использующая теорию состояния
В работе [7] автором предложена модель точечной оценки надежности
ракет-носителей и их систем, основанная на теории состояний, которая в
некотором смысле обобщает подход, описанный в разделе 2. При построении
расчетных соотношений было принято, что доработка приводит к двум
последствиям: увеличивает надежность системы (доработка эффективная)
либо оставляет надежность на прежнем уровне (доработка неэффективная). В
ракетной технике подобное обстоятельство обусловлено большим объемом
получаемых телеметрических данных и широкими возможностями
компьютерного моделирования физических процессов. Таким образом, при
проведении доработок значение показателя безотказности системы должно
находиться в интервале между оценкой надежности, полученной с учетом
всех имевших место отказов, и оценкой надежности, рассчитаной с учетом
того, что отказы, по которым проведены эффективные доработки, считаются
незачетными.
Будем предполагать, что в испытаниях зафиксировано k типов отказов и
по всем из них проведены доработки. В соответствии с формулой полной ве-
роятности ВБР системы с учетом проводимых доработок будет определяться
следующим образом
)(ˆ...)(ˆ)(ˆ)(ˆˆ
21
1
)(
2
)(
2
1
)(
1
)(
100 kk
C
i
ii
C
i
ii BPPBPPBPPBPPP
kk
, (5)
где
)(ˆ
jP – оценка ВБР с учетом незачетных j типов отказов; )(
)(
jBP – веро-
ятность того, что по j типам отказов проведены эффективные доработки и
отказы указанных типов переведены в разряд незачетных. Оценка
)(ˆ
jP опре-
деляется по формулам
j
i
i
j
i
i
j
dn
dd
P
1
11ˆ ,
если 0
1
j
i
idd , и
60
k
i
i
k
dn
P
1
2
1
1ˆ ,
если все типы отказов переведены в разряд незачетных (di – количество отка-
зов i-го типа, по которым проведены эффективные доработки).
Вероятность )(
)(
jBP будет равна произведению вероятностей проведе-
ния эффективных доработок по j типам отказов и неэффективных доработок
по остальным k–j типам отказов. Например,
k
i
ik EBP
1
)( (Ei – эффектив-
ность проведенной i-той доработки, определяемая выше).
Если отказы каждого типа носили единичный характер, то каждому эле-
менту группы Bj соответствует одна вероятность jP̂ . Формула для расчета
ВБР с учетом доработок в этом случае будет иметь вид
k
j
jjkk
C
i
i
C
i
i
BPPBPPBPPBPPBPPP
kk
01
)(
22
1
)(
1100 )()(ˆ...)(ˆ)(ˆ)(ˆˆ
21
, (6)
где обозначено
i
kC
j
i
jj BPBP
1
)(
)()( .
По-видимому, подобная модель оказывается наиболее эффективной для
точечной оценки надежности для этапа эксплуатации системы, когда количе-
ство испытаний в сериях достаточно велико, а отказов фиксируется незначи-
тельное количество.
К сожалению, такой подход не позволяет так же просто определять сред-
нее квадратическое отклонение полученной точечной оценки надежности
jP̂ . Используя средние квадратические отклонения оценок
iP̂
, можно с ис-
пользованием теоремы о дисперсии записать выражение для
P̂
. Например,
для (6) имеем
k
i
P
i
P i
BP
0
2
ˆ
2)(2
ˆ . (7)
Однако расчеты с использованием (7) показывают, что возможна ситуа-
ция, когда
kPP ˆˆ , то есть среднее квадратическое отклонение точечной
оценки надежности
P̂
оказывается меньше среднего квадратического от-
клонения оценки надежности системы, когда все проводимые доработки счи-
таются эффективными. Недостаток соотношения (7) для определения дис-
персии (или среднего квадратического отклонения) продемонстрируем на
следующем простом примере. Предположим, что у нас в ходе отработки си-
стемы был отмечен один отказ, по которому проведена доработка. Вероят-
ность того, что доработка была эффективной, обозначим через е. Также бу-
дем полагать, что дисперсия оценки надежности системы для случая, когда
61
доработка была неэффективной равна D0, а для случая эффективной доработ-
ки соответственно D1 (D0 > D1). В соответствии с формулой (7) имеем
0
2
1
2 )1( DeDeD .
Исследуем полученное соотношение, для чего проведем преобразование
0010
2
0
2
001
2 2)(2 DeDDDeDeeDDDeD .
Рассмотрим последнее выражение как функцию эффективности прове-
денной доработки е. Она представляет собой квадратичную параболу с вет-
вями, направленными вверх. Найдем абсциссу вершины параболы, для чего
определим производную по е и приравняем ее нулю. Имеем
02)(2 010 DDDe ,
откуда
10
0
*
DD
D
e
.
Из последнего соотношения следует, что абсцисса вершины параболы е*
всегда лежит в интервале [0, 1], а значит, ее ордината оказывается меньше,
чем D1 (рисунок 3). Таким образом, имеется интервал значений e, для кото-
рых дисперсия оценки 2
P̂
оказывается меньше, чем D1 (дисперсии для слу-
чая, когда отказ переведен в разряд незачетных). Последнее выглядит слиш-
ком оптимистичным.
Рис. 3 – Изменение среднего квадратического
отклонения оценки надежности в зависимости от
эффективности проведенной доработки
5. Байесовская модель оценки надежности по результатам испыта-
ний с доработками
Для более эффективного использования в расчетах надежности системы
имеющейся информации по результатам отработки, имеет смысл сохранять
серии испытаний между доработками (после каждой доработки изменяется
испытываемое изделие), отслеживая при этом эффективность проведенных
доработок. С этой целью будем использовать байесовский подход, поскольку
объем испытаний в сериях между доработками чаще всего незначительный.
Таким образом, основными данными для расчета надежности системы в i-ой
0 1 e e*
D0
D1
D(e)
62
серии является опытная информация ni, di. В качестве априорной информа-
ции будем использовать данные об эффективности устранения зафиксиро-
ванных в предыдущих сериях отказов. Для каждого типа отказов (зафиксиро-
ванные в испытаниях отказы предварительно классифицируются по типам)
указанная информация будет включать количество испытаний и количество
отказов до проведения доработки, а также количество испытаний, проведен-
ных после доработки )(
2
)(
1
)(
1 ;,
jjj
ndn kj ,1 . При этом, если отказы одного и
того же типа повторяются после проведенной доработки, такая доработка
полагается неэффективной (или малоэффективной) и серия до проведения
доработки объединяет все предшествующие серии, в которых зафиксированы
отказы данного типа. Такое предположение идет в запас надежности. По-
скольку полагается, что в серии испытаний n2 после доработки отказов не
было (d2 = 0), вероятность того, что доработка не привела к повышению
надежности, будет определяться исходя из (4) следующим образом:
1
1
1
d
n
d
n
C
C
R ,
где n = n1 + n2.
После каждой проведенной серии испытаний значение суммарного коли-
чества зафиксированных типов отказов в общем случае изменяется. Предста-
вим количество зафиксированных типов отказов по сериям в виде вектора
kkK ,...,0 , где ki ki+1, k = k – общее количество зафиксированных в +1
сериях отказов. Соответственно после каждой серии испытаний можно опре-
делить вероятности отсутствия эффективности проводимых мероприятий по
зафиксированным типам отказов. Результат определения указанных вероят-
ностей по всем сериям также целесообразно представить в виде матрицы:
)()()(
1
)1()1()1(
1
)0()0(
1
.........
...............
......
...
0
10
0
kk
kk
k
RRR
RRR
RR
,
где в строках записаны вероятности отсутствия эффекта проводимых дорабо-
ток по сериям, в столбцах – вероятности отсутствия эффекта проводимых
мероприятий по зафиксированным типам отказов. Для нулевой серии все
значения
)0(
iR ( 0,1 ki ) равны 1, поскольку никаких мероприятий по устра-
нению отказов еще не проводилось.
Теперь покажем, каким образом проводится оценка надежности для i-ой
серии испытаний с использованием байесовского подхода [8]. Для данных,
полученных в (i–1)-ой серии испытаний, с использованием формул (5) или
(6) оценивается точечное значение показателя безотказности. Полученное
таким образом значение показателя P̂ трактуется как априорное значение
ВБР. Поскольку для полученной априорной оценки надежности, как было
отмечено выше, не удается указать среднее квадратическое отклонение, по-
ступим следующим образом. Несложно увидеть, что среднее квадратическое
отклонение оценки надежности P̂ , получаемой согласно (5) или (6), нахо-
63
дится в интервале
0
ˆˆ ,
PPk
, где
0P̂
– среднее квадратическое отклонение
для случая, когда проводимые доработки не дали эффекта и в расчете ВБР
учитываются все ki–1 типов отказов;
kP̂
– среднее квадратическое отклоне-
ние для случая, когда ki–1 типов отказов, вследствие проведения эффективных
доработок, переведены в разряд незачетных. Указанное вероятностное пред-
положение будем выражать в виде некоторой априорной плотности распре-
деления h(P). В качестве последней выберем равномерный закон
kPP
Ph
ˆˆ
0
1
)(
.
В соответствии со стандартной байесовской процедурой определим апо-
стериорную плотность распределения среднего квадратического отклонения
с учетом полученной в результате эксперимента информации n и d (данные
по i-ой серии испытаний). Функция правдоподобия для биномиальной схемы
испытаний имеет вид
ddnd
n PPCdnPl )1(),,( .
Проведем перепараметризацию функции правдоподобия относительно
Р, которая связана с оценкой надежности следующим образом
n
PP
P
)1(
.
Из последнего соотношения путем решения квадратного уравнения
022 PnPP
получаем два корня
2
411 2
2,1
Pn
P
, (8)
для которых знак «+» соответствует вероятности Р, а знак «–» соответственно
1 – Р.
С учетом (8) функцию правдоподобия можно переписать так:
d
P
dn
P
d
n
n
P nnCdnl
22 4114112),,( .
В итоге апостериорная функция плотности )( P получается следую-
щим образом:
0
ˆ
ˆ
),,()(
),,()(
)(
P
kP
PPP
PP
P
ddnlh
dnlh
,
0
ˆˆ PPPk
.
Интеграл в знаменателе не выражается в квадратурах, поэтому для его
вычисления необходимо использовать численные процедуры. В качестве
64
апостериорной оценки надежности будем использовать математическое ожи-
дание
0
ˆ
ˆ
)()(*
P
kP
PPP dPP ,
где
1
1
1
)(
2
00
0
0
P
P PP
n
Pnd
PP
– выражение для оценки ВБР, соответству-
ющее полной априорной определенности, когда априорной информации в
виде
0
,0 PP в соответствие ставится априорное бета-распределение
11 1
,
1
pp
B
pf .
Точность полученной апостериорной оценки надежности характеризует-
ся средним квадратическим отклонением, которое определяется следующим
образом
0
ˆ
ˆ
)()(*
P
kP
PPP d
,
где
2
00 1
)(1)(
)(
P
PP
pP
nPP
PP
.
В качестве примера расчета надежности системы по результатам ис-
пытаний с доработками возьмем исходные данные работы [10], включа-
ющие 5 серий по 10 испытаний, в которых проведено 4 доработки, и этап
зачетных испытаний (ЗИ) из 10 испытаний, подтверждающих качество
системы (таблица 1). Перед зачетной серией испытаний доработка изде-
лия не проводилась.
Расчеты показателя безотказности проводились с использованием тради-
ционных статистических методов, а также с использованием модели роста
надежности (1), параметры которой определялись по методу максимума
правдоподобия. Результаты расчетов приведены в таблице 1. Там же приве-
дены значения показателя безотказности, непосредственно заимствованные
из [10].
65
Таблица 1 – Результаты расчета ВБР традиционными методами
Номер
серии i
0 1 2 3 4 ЗИ
Результаты испытаний
ni, di 10, 1 10, 1 10, 1 10, 0 10, 0 10, 0
Статистические оценки надежности по сериям
iP̂
iP̂
0,9
0,0949
0,9
0,0949
0,9
0,0949
0,9167
0,0767
0,9545
0,0434
Оценка надежности системы без учета доработок
Ni, Di
iP̂
iPˆ
10, 1
0,9
0,0949
20, 2
0,9
0,0671
30, 3
0,9
0,0548
40, 3
0,925
0,0416
60, 3
0,95
0,0281
Экспоненциальная модель роста надежности (1)
Pi 0,8597 0,9256 0,9605 0,9791 0,9889
Методика раздела 2
Pi 0,9 0,9237 0,9325 0,96 0,9826
Значения показателя безотказности, заимствованные из работы [10]
iP̂
iP̂
0,9507
0,0256
0,9634
0,0214
0,9752
0,0203
0,9895
0,0198
0,9913
0,0187
0,9925
0,0176
Примечания:
1. В таблице обозначено
i
j
ji nN
1
;
i
j
ji dD
1
.
2. Четвертый этап и этап ЗИ объединены в одну серию, поскольку
между ними доработку системы не проводили.
В работе [10] для указанных исходных данных получены значения ВБР,
которые превышают уровень 0,99. Это явилось следствием того, что началь-
ный уровень надежности системы принимался на уровне 0,9. Слишком опти-
мистичными также представляются значения средних квадратических откло-
нений оценок ВБР, особенно для первых серий.
Значения показателя безотказности, полученные с использованием моде-
ли роста надежности (1), в последних сериях представляются несколько за-
вышенными.
С использованием предложенной в статье методики расчет показателя
безотказности системы проводился для двух случаев: случая А, когда все
зафиксированные отказы относились к разным типам, и случая В, когда в
первой и третьей серии были зафиксированы отказы одного типа. Матрицы
вероятностей, определяющих отсутствие эффекта проведенных доработок
по сериям, выглядят для указанных рассматриваемых случаев следующим
образом:
66
случай А –
508,0345,0172,0
769,0526,0263,0
1690,0345,0
1526,0
1
R ; случай В –
339,0246,0
513,0558,0
690,01
1526,0
1
R .
Результаты расчетов ВБР, полученные с использованием разработанной
методики, приведены в таблице 2. Там же для каждой серии приведены зна-
чения показателя безотказности, определенные с использованием формул (5),
(6) (априорные точечные оценки), а также промежутки неопределенности для
среднего квадратического отклонения точечной оценки надежности.
Таблица 2 – Результаты расчета ВБР с использованием
предлагаемой байесовской модели
Номер
серии i
0 1 2 3 4 ЗИ
ni, di 10, 1 10, 1 10, 1 10, 0 10, 0 10, 0
Случай А. Все зафиксированные отказы разного типа
i
P
ˆ
i*
0,9
0,0949
0,9
0,0649
0,9150
0,0498
0,9467
0,0336
0,9727
0,0212
iP̂
0
ˆˆ ,
PPk
-
0,9224
[0,0476;
0,0671]
0,9304
[0,0333;
0,0548]
0,9579
[0,0250;
0,0416]
0,9780
[0,0167; 0,0281]
Случай В. В первой и третьей сериях произошли отказы одного типа
i
P
ˆ
i*
0,9
0,0949
0,9
0,0649
0,9150
0,0498
0,9271
0,0354
0,9685
0,0219
iP̂
0
ˆˆ ,
PPk
-
0,9224
[0,0476;
0,0671]
0,9096
[0,0333;
0,0548]
0,9531
[0,0250;
0,0416]
0,9775
[0,0167; 0,0281]
Результаты расчета показателя безотказности с использованием предло-
женной методики показывают, что появление в сериях после доработок отка-
зов одного и того же типа существенно влияет на оценки показателя безот-
казности. Так, для случая В, когда в первой и третьей сериях зафиксированы
отказы одного типа, для третьей серии характерно снижение надежности из-
за того, что доработка по первому типу отказов, проведенная после первой
серии, оказалась малоэффективной. Заметим, что ни модель роста надежно-
сти, ни байесовский подход [10], как видно из таблицы 1, не дают возможно-
сти отследить появление отказов одного и того же типа в сериях испытаний.
Из результатов расчетов следует, что при увеличении общего количества
испытаний оценки ВБР для случаев А и В сходятся. Схожие с представлен-
ными в таблице 2 значениями ВБР результаты дает модель раздела 2.
В заключение заметим, что оценка надежности и ее среднее квадратиче-
ское отклонение для всего хода отработки в предположении, что все зафик-
сированные отказы переведены в разряд незачетных, составляют:
67
9831,0ˆ P , 0167,0ˆ P
.
Таким образом, байесовская модель наиболее гибко учитывает проводи-
мые доработки по каждому типу отказов в соответствии с накапливающейся
информацией в процессе испытаний технической системы.
1. Волков Л. И. Надежность летательных аппаратов / Л. И. Волков, А. М. Шишкевич. – М. : Высш. Школа,
1975. – 296 с.
2. Ллойл Л. Надежность. Организация, исследования, методы, математический апарат / Л. Ллойл,
М. Липов. – М. : Советское радио, 1964. – 687 с.
3. Методика определения количества испытаний, потребных для подтверждения эффективности дорабо-
ток. Приложение 16 ОСТ 92-1743-84. 1990. – С. 83 – 93.
4. Методика оценки надежности с использованием модели роста. Приложение 14 ОСТ 92-1743-84. 1990. –
С. 71 –78.
5. Методы отработки научных и народнохозяйственных ракетно-космических комплексов /
В. Ф. Грибанов, А. И. Рембеза, А. И. Голиков и др. ; под общ. ред. В. Ф. Грибанова. – М. : Машиностро-
ение, 1995. – 352 с.
6. Переверзев Е. С. Надежность и испытания технических систем / Е. С. Переверзев. – Киев : Наук. думка.
1990. – 328 с.
7. Перлик В. И. Определение надежности ракеты-носителя на этапе эксплуатации с учетом проводимых
доработок ее систем / В. И. Перлик, Э. Г. Гладкий // Космическая техника. Ракетное вооружение. Сб. на-
уч. тр. – Дн-ск : ГКБ «Южное», 2004. – Вып. 4. – С. 61 – 74.
8. Савчук В. П. Байесовские методы статистического оценивания: Надежность технических объектов /
В. П. Савчук. – М. : Наука, 1989. – 328 с.
9. Северцев Н. А. Надежность сложных систем в эксплуатации и отработке / Н. А. Северцев. – М. : Высш.
шк., 1989. – 432 с.
10. Чернявский В. Б. Байесовская оценка Марковского процесса изменения показателя надежности слож-
ных технических систем при испытаниях с доработками / В. Б. Чернявский // Проектирование и анализ
характеристик летательных аппаратов. Сб. науч. тр. – Днепропетровск : ДГУ, 1992. – С. 38 – 45.
ГП «КБ «Южное», Получено 17.07. 2015,
Днепропетровск в окончательном варианте 25.09.2015
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100773 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9184 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:26:35Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гладкий, Э.Г. 2016-05-26T19:02:31Z 2016-05-26T19:02:31Z 2015 Байесовская модель статистической оценки показателя безотказности технической системы по результатам испытаний с доработками / Э.Г. Гладкий // Техническая механика. — 2015. — № 3. — С. 54-67. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1561-9184 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100773 519.226 Для биномиальной схемы испытаний анализируются традиционные способы оценки вероятности безотказной работы (ВБР) системы по результатам испытаний с доработками (модели роста надежности; модели, учитывающие эффективность проведенных доработок; байесовские марковские модели) и показаны их недостатки. Для определения надежности по результатам испытаний с доработками предложено использовать модифицированный байесовский подход. Отличительной особенностью разработанной модели является использование в качестве априорной информации точечной оценки надежности, определенной на основе анализа эффективности проведенных доработок, и промежутка неопределенности для неизвестного значения априорного среднего квадратического отклонения. Получены расчетные соотношения для определения апостериорной оценки надежности технической системы и ее среднего квадратического отклонения в процессе экспериментальной отработки с учетом доработок и показано практическое применение предложенной математической модели. Разработанная математическая модель позволяет достаточно гибко учитывать влияние на оценку ВБР проводимых в процессе экспериментальной отработки системы доработок. Для біноміальної схеми випробувань проаналізовано традиційні способи оцінки ймовірності безвідмовної роботи (ЙБР) системи за результатами випробувань з доопрацюваннями (моделі росту надійності, моделі, що враховують ефективність проведених доробок, байєсовські марковські моделі) і показано їх недоліки. Для визначення надійності за результатами випробувань з доопрацюваннями запропоновано використовувати модифікований байєсовський підхід. Відмінною особливістю розробленої моделі є використання в якості апріорної інформації точкової оцінки надійності, яка визначена на основі аналізу ефективності проведених доопрацювань, та проміжку невизначеності для невідомого значення апріорного середнього квадратичного відхилення. Отримано розрахункові співвідношення для визначення апостеріорної оцінки надійності технічної системи і її середнього квадратичного відхилення в процесі експериментального відпрацювання з урахуванням доопрацювань і показано практичне використання запропонованої математичної моделі. Розроблена математична модель дозволяє гнучко враховувати вплив на оцінку ЙБР доопрацювань, що проводяться в процесі експериментального відпрацювання системи. The traditional techniques of assessments of chances of failure based on the results of development work tests (reliability-growth models, models that take into account the efficiency of development works, Bayesian Markov models) for a binomial test pattern are analysed and their disadvantages are reported. In order to determine the reliability based on the results of development tests, the modified Bayesian approach is proposed. A special feature of the model proposed is to use as a prior information the point estimate of reliability determined by the analysis of the effectiveness of development works and the uncertainty interval for an unknown value of a priori standard deviation. The calculated relations for a posterior evaluation of the technical system reliability and its standard deviation in the process of experimental testing considering development works are obtained and a practical application of the proposed mathematical model is proposed. The developed mathematical model allows the consideration of the effect of development works carried out during experimental system tests on assessments of chances of failure. ru Інститут технічної механіки НАН України і НКА України Техническая механика Байесовская модель статистической оценки показателя безотказности технической системы по результатам испытаний с доработками Article published earlier |
| spellingShingle | Байесовская модель статистической оценки показателя безотказности технической системы по результатам испытаний с доработками Гладкий, Э.Г. |
| title | Байесовская модель статистической оценки показателя безотказности технической системы по результатам испытаний с доработками |
| title_full | Байесовская модель статистической оценки показателя безотказности технической системы по результатам испытаний с доработками |
| title_fullStr | Байесовская модель статистической оценки показателя безотказности технической системы по результатам испытаний с доработками |
| title_full_unstemmed | Байесовская модель статистической оценки показателя безотказности технической системы по результатам испытаний с доработками |
| title_short | Байесовская модель статистической оценки показателя безотказности технической системы по результатам испытаний с доработками |
| title_sort | байесовская модель статистической оценки показателя безотказности технической системы по результатам испытаний с доработками |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100773 |
| work_keys_str_mv | AT gladkiiég baiesovskaâmodelʹstatističeskoiocenkipokazatelâbezotkaznostitehničeskoisistemyporezulʹtatamispytaniisdorabotkami |