Парето-оптимальное восстановление функциональных зависимостей по нечетким данным

Разработан метод восстановления функциональных зависимостей, позволяющий вместо значений функции использовать ее интегральные значения с учетом наличия погрешностей в исходных данных. Моделирование погрешностей выполнено с помощью нечетких величин. Оценки значений функции получены в результате решен...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2013
Main Authors:	Заворотный, А.Л., Касьянюк, В.С.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2013
Series:	Электронное моделирование
Subjects:	Математические методы и модели
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100834
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Парето-оптимальное восстановление функциональных зависимостей по нечетким данным / А.Л. Заворотный, В.С. Касьянюк // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 2. — С. 3-13. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100834
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1008342025-02-23T17:06:58Z Парето-оптимальное восстановление функциональных зависимостей по нечетким данным Заворотный, А.Л. Касьянюк, В.С. Математические методы и модели Разработан метод восстановления функциональных зависимостей, позволяющий вместо значений функции использовать ее интегральные значения с учетом наличия погрешностей в исходных данных. Моделирование погрешностей выполнено с помощью нечетких величин. Оценки значений функции получены в результате решения задачи оптимизации по Парето. Определены критерии состоятельности оценок. Розроблено метод відновлення функціональних залежностей, який дозволяє замість значень функції використовувати її інтегральні значення з врахуванням наявності похибок у вхідних даних. Моделювання похибок виконано за допомогою нечітких величин. Оцінки значень функції отримані в результаті розв’язання задачі оптимізації за Парето. Визначено критерії спроможності оцінок. . A new method of reconstruction of functional relations has been developed. Instead of function’s values this method uses its integral values with allowance for errors in the initial data. Errors in the data are represented with fuzzy values. The function value estimates are achieved due to solving the Pareto-optimization problem. The consistency criteria for the developed estimates have been determined. 2013 Article Парето-оптимальное восстановление функциональных зависимостей по нечетким данным / А.Л. Заворотный, В.С. Касьянюк // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 2. — С. 3-13. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100834 519.6 ru Электронное моделирование application/pdf Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математические методы и модели Математические методы и модели
spellingShingle	Математические методы и модели Математические методы и модели Заворотный, А.Л. Касьянюк, В.С. Парето-оптимальное восстановление функциональных зависимостей по нечетким данным Электронное моделирование
description	Разработан метод восстановления функциональных зависимостей, позволяющий вместо значений функции использовать ее интегральные значения с учетом наличия погрешностей в исходных данных. Моделирование погрешностей выполнено с помощью нечетких величин. Оценки значений функции получены в результате решения задачи оптимизации по Парето. Определены критерии состоятельности оценок.
format	Article
author	Заворотный, А.Л. Касьянюк, В.С.
author_facet	Заворотный, А.Л. Касьянюк, В.С.
author_sort	Заворотный, А.Л.
title	Парето-оптимальное восстановление функциональных зависимостей по нечетким данным
title_short	Парето-оптимальное восстановление функциональных зависимостей по нечетким данным
title_full	Парето-оптимальное восстановление функциональных зависимостей по нечетким данным
title_fullStr	Парето-оптимальное восстановление функциональных зависимостей по нечетким данным
title_full_unstemmed	Парето-оптимальное восстановление функциональных зависимостей по нечетким данным
title_sort	парето-оптимальное восстановление функциональных зависимостей по нечетким данным
publisher	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Математические методы и модели
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100834
citation_txt	Парето-оптимальное восстановление функциональных зависимостей по нечетким данным / А.Л. Заворотный, В.С. Касьянюк // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 2. — С. 3-13. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
series	Электронное моделирование
work_keys_str_mv	AT zavorotnyjal paretooptimalʹnoevosstanovleniefunkcionalʹnyhzavisimostejponečetkimdannym AT kasʹânûkvs paretooptimalʹnoevosstanovleniefunkcionalʹnyhzavisimostejponečetkimdannym
first_indexed	2025-11-24T02:11:33Z
last_indexed	2025-11-24T02:11:33Z
_version_	1849635943442546688
fulltext	ÓÄÊ 519.6 À.Ë. Çàâîðîòíûé, Â.Ñ. Êàñüÿíþê êàíäèäàòû ôèç.-ìàò. íàóê Êèåâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Òàðàñà Øåâ÷åíêî (Óêðàèíà, 03127, Êèåâ, ïð. Àêàäåìèêà Ãëóøêîâà, 4-ä, òåë.(044) 2590530, å-mail: zal_ua@inbox.ru) Ïàðåòî-îïòèìàëüíîå âîññòàíîâëåíèå ôóíêöèîíàëüíûõ çàâèñèìîñòåé ïî íå÷åòêèì äàííûì Ðàçðàáîòàí ìåòîä âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ çàâèñèìîñòåé, ïîçâîëÿþùèé âìåñòî çíà÷åíèé ôóíêöèè èñïîëüçîâàòü åå èíòåãðàëüíûå çíà÷åíèÿ ñ ó÷åòîì íàëè÷èÿ ïîãðåø- íîñòåé â èñõîäíûõ äàííûõ. Ìîäåëèðîâàíèå ïîãðåøíîñòåé âûïîëíåíî ñ ïîìîùüþ íå÷åò- êèõ âåëè÷èí. Îöåíêè çíà÷åíèé ôóíêöèè ïîëó÷åíû â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìè- çàöèè ïî Ïàðåòî. Îïðåäåëåíû êðèòåðèè ñîñòîÿòåëüíîñòè îöåíîê. Ðîçðîáëåíî ìåòîä â³äíîâëåííÿ ôóíêö³îíàëüíèõ çàëåæíîñòåé, ÿêèé äîçâîëÿº çàì³ñòü çíà- ÷åíü ôóíêö³¿ âèêîðèñòîâóâàòè ¿¿ ³íòåãðàëüí³ çíà÷åííÿ ç âðàõóâàííÿì íàÿâíîñò³ ïîõèáîê ó âõ³äíèõ äàíèõ. Ìîäåëþâàííÿ ïîõèáîê âèêîíàíî çà äîïîìîãîþ íå÷³òêèõ âåëè÷èí. Îö³íêè çíà÷åíü ôóíêö³¿ îòðèìàí³ â ðåçóëüòàò³ ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ îïòèì³çàö³¿ çà Ïàðåòî. Âèçíà- ÷åíî êðèòåð³¿ ñïðîìîæíîñò³ îö³íîê. Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: âîññòàíîâëåíèå, ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü, èñêàæåííûå äàí- íûå, íå÷åòêîñòü, ïàðåòî-îïòèìèçàöèÿ. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó âîññòàíîâëåíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè f x( ) èç êëàññà L D2[ ] íà ïðîèçâîëüíîì çàäàííîì íàáîðå çíà÷åíèé àðãóìåíòà x1, ..., xm èç îáëàñòè D. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè, â òîì ÷èñëå è â òî÷êàõ f x( )1 , ..., f xm( ), íåèçâåñòíû, îäíàêî èçâåñòíû èñêàæåííûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèîíàëà y g x f x dx vi i D i� �� ( ) ( ) , i n�1, . (1) Çäåñü g x L Di ( ) [ ]� 2 — èçâåñòíûå ÿäðà ôóíêöèîíàëà; v i — ïîãðåøíîñòè â çíà÷åíèÿõ ôóíêöèîíàëà y i . Çàäà÷à âîññòàíîâëåíèÿ f x( ) ïî äàííûì (1) ðàññìîòðåíà â [1] äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ïîãðåøíîñòè â äàííûõ ìîäåëèðóþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷è- íàìè. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî î ïîãðåøíîñòÿõ èçâåñòíà íåêîòîðàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ èíôîðìàöèÿ, íàïðèìåð ïåðâûé ìîìåíò è êîâàðèàöèîííàÿ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 2 3 � À.Ë. Çàâîðîòíûé, Â.Ñ. Êàñüÿíþê, 2013 ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÅÒÎÄÛ È ÌÎÄÅËÈ ìàòðèöà [2]. Äëÿ ðåøåíèÿ ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ íå âñåãäà ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ òàêîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ ââèäó îòñóòñòâèÿ ñòàòèñ- òè÷åñêîé èíôîðìàöèè. Ýòî âûíóæäàåò îáðàòèòüñÿ ê ýêñïåðòíûì îöåíêàì è ìîäåëèðîâàòü ïîãðåøíîñòè ñ ïîìîùüþ íå÷åòêèõ âåëè÷èí [3] . Ðàññìîòðèì èìåííî òàêîé ñëó÷àé, ò.å. áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî v i , i n�1, , — íå÷åòêèé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R. Ïåðåïèøåì äëÿ óäîáñòâà (1) â âèäå y G x f x dx D � �� ( ) ( ) �, (2) ãäå y y yn� ( ,..., ) ;* 1 G x g x g xn( ) ( ( ),..., ( )) ;� 1 � � �� ( ,..., ) ; 1 n çâåçäî÷êîé îáî- çíà÷åíà îïåðàöèÿ òðàíñïîíèðîâàíèÿ. Ïóñòü èçâåñòíî çàäàííîå ýêñïåðòîì ðàñïðåäåëåíèå ýëåìåíòà �� H R n �, ò.å. � �� R Hn , ãäå H — øêàëà íà îòðåçêå [ , ]0 1 ñ åñòåñòâåííîé óïîðÿäî÷åííîñòüþ, çàäàííîé íåðàâåíñòâîì �, è äâóìÿ ïðàâèëàìè êîìïî- çèöèè: ñëîæåíèåì, ïîíèìàåìûì êàê max, è óìíîæåíèåì, ïîíèìàåìûì êàê min [3]. Ïðè ýòîì áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèÿ �� ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî óáûâàþùåé îòíîñèòåëüíî íîðìû àðãóìåíòà òàê, ÷òî åñëè îøèáêè íåò, òî ðàñïðåäåëåíèå ðàâíî åäèíèöå, à åñëè îøèáêà áåñêîíå÷íî âåëèêà, òî ðàñ- ïðåäåëåíèå ðàâíî íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, ðåàëèçóåòñÿ ïðèíöèï: ÷åì áîëü- øå îøèáêà, òåì ìåíüøå åå âîçìîæíîñòü. Ïðè òàêîé ïîñòàíîâêå çàäà÷è âåêòîð èñêàæåííûõ çíà÷åíèé ôóíêöèî- íàëà y ñàì ñòàíîâèòñÿ íå÷åòêèì ýëåìåíòîì ïðîñòðàíñòâà R n , è ìîæíî âûðàçèòü ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå ÷åðåç ôóíêöèþ �� . Ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ f x( ) ÿâëÿåòñÿ íåèçâåñòíûì ïðîèçâîëüíûì ýëåìåíòîì ïðîñòðàíñòâà R, åãî ðàñïðåäåëåíèå èìååò âèä �� f x . Óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå èìååò âèä �� y D z f x z G x f x dx\| , ( ) ( )� � � � � � � � �� . Òîãäà ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå çàïèøåì â âèäå �� y yz f x z f x, ,, � �� min ( , , ) ( ) ( )\|y D z f x f x z G x f x dx� � � � � � � � � �. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îöåíêè f x( ) äëÿ êàæäîé òî÷êè èç íàáîðà x j , j m�1, , ïî äàííûì (2). Èäåÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû èñïîëüçîâàòü çíà÷åíèÿ À.Ë. Çàâîðîòíûé, Â.Ñ. Êàñüÿíþê 4 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 2 èíòåãðàëîâ (2) îò ôóíêöèè f x( ) äëÿ îöåíêè óñðåäíåííîãî çíà÷åíèÿ f x( ) â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè âûáðàííîé òî÷êè, ò.å. I x f x dxj D � ( ) ( )� , ãäå I x x x x x j j j j j j � � � � ( ) / , , , ; � � � � � � � � 1 2 0 � j — çàäàííàÿ îêðåñòíîñòü óñðåäíåíèÿ äëÿ òî÷êè x j , j m�1, . Óìåíüøàÿ çíà÷åíèå � j , ìîæíî äîáèòüñÿ ëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ èñêîìîé îöåíêè ê çíà÷åíèþ ôóíêöèè f x j( ). Îäèí èç ïîäõîäîâ ê çàäà÷å ïîñòðîåíèÿ äàííîé îöåíêè ñîñòîèò [1] â íàõîæäåíèè òàêîãî âåêòîðà B b bn� ( ,..., )1 èç R n , êîòîðûé ïîçâîëèë áû èíòåðïðåòèðîâàòü By êàê íàèáîëåå òî÷íóþ, â îïðåäåëåííîì ñìûñëå, âåð- ñèþ èíòåãðàëà I x f x dxj D � ( ) ( )� . Óìíîæèâ óðàâíåíèå (2) íà B ñïðàâà è îòíÿâ îò îáåèõ ÷àñòåé I x f x dxj D � ( ) ( )� , ïîëó÷èì óðàâíåíèå By I x f x dx BG x I x f x dx Bj D j D � � � �� ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) , èç êîòîðîãî âèäíî, ÷òî By îòëè÷àåòñÿ îò I x f x dxj D � ( ) ( )� äâóìÿ ñëàãàåìûìè: àðòåôàêòîì ( ( ) ( )) ( )BG x I x f x dxj D �� è ïîãðåøíîñòüþ, ïðåäñòàâëåííîé íå- ÷åòêîé âåëè÷èíîé B�. Ïîñêîëüêó èíôîðìàöèÿ î ôóíêöèè f x( ) èçíà÷àëüíî îòñóòñòâóåò, â êà÷åñòâå îäíîãî èç êðèòåðèåâ îïòèìàëüíîñòè îöåíêè I x f x dxj D � ( ) ( )� â âèäå By ìîæíî ïðèíÿòü óñëîâèå ìèíèìèçàöèè ïî B íîðìû îïåðàòîðíîé íå- âÿçêè BG x I xj B ( ) ( ) min� � , ãäå BG x I x BG x I x BG x I x dxj j j D ( ) ( ) ( ( ) ( ))( ( ) ( ))� � � �� 2 . Ââåäÿ ïî àíàëîãèè ñ ïîíÿòèåì íåîáõîäèìîñòè îøèáêè îöåíèâàíèÿ [3] ïîíÿòèå íåîáõîäèìîñòè êîððåêòíîñòè îöåíèâàíèÿ íå÷åòêîé âåëè÷èíû, ìîæíî ïðèíÿòü åãî â êà÷åñòâå åùå îäíîãî èç êðèòåðèåâ îïòèìàëüíîñòè. Èòàê, íåîáõîäèìîñòüþ êîððåêòíîñòè îöåíèâàíèÿ íå÷åòêîé âåëè÷èíû íà- Ïàðåòî-îïòèìàëüíîå âîññòàíîâëåíèå ôóíêöèîíàëüíûõ çàâèñèìîñòåé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 2 5 çîâåì âåëè÷èíó C s z z f x h I x f x dxn z f x y j( ( )) sup sup min , ( ) ( ) , ( ) �� s z D ( )� � � � � � � � � � � � � � � � �, (3) ãäå s z( )— ñòðàòåãèÿ îöåíèâàíèÿ; h I x f x dx s zj D � ( ) ( ) , ( )� � � � � � � � �— âîçìîæíîñòü îòñóòñòâèÿ îøèáêè, ñîïóòñòâóþùàÿ âûáîðó s z( ) â êà÷åñòâå çíà÷åíèÿ I x f x dxj D � ( ) ( )� äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ f x L D( ) [ ]� 2 (íå÷åòêîå îòíîøåíèå êîððåêòíîñòè); � — èíâîëþöèÿ, îïðåäåëåííàÿ â [3], à èìåííî äóàëüíûé èçîìîðôèçì èç H â ~ H, òàêîé, ÷òî � ( )0 1� , � ( )1 0� , è äëÿ ëþáûõ a b, [ , ]� 0 1 îòíîøåíèÿ a b� ,� �( ) ( )a b� è� �( ) ~ ( )a b� ýêâèâàëåíòíû. Çäåñü ~ H — øêàëà íà [ , ]0 1 , äóàëüíàÿ ê H, ñ îïåðàöèåé ñëîæåíèÿ, ïîíèìàåìîé êàê min, îïå- ðàöèåé óìíîæåíèÿ, ïîíèìàåìîé êàê max, è îòíîøåíèåì ïîðÿäêà ~ � , îáðàò- íûì åñòåñòâåííîìó. Ïî ñóòè, (3) ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì ïî íåîáõîäèìîñòè îò h I x f x dx s zj D � ( ) ( ) , ( )� � � � � � � � �. Ó÷èòûâàÿ âûáîð ñòðàòåãèè â âèäå s z Bz( ) � è óñòðåìèâ èíòåãðàë (3) ê ìàêñèìóìó ïî ñòðàòåãèè îöåíèâàíèÿ, ïîëó÷àåì êðèòåðèé îïòèìàëüíîñòè â âèäå C s z z f x h I x f x dxn z f x y j( ( )) sup sup min , ( ) ( ) , ( ) �� Bz D B� � � � � � � � � � � � � � � � � max. Ïî àíàëîãèè ñ äîêàçàòåëüñòâîì, ïðèâåäåííûì â [3], ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî çàäà÷à C s zn B ( ( )) max ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è C s z z z f x h I x f x dx Bzn f x y j( ( ), ) sup min , ( ) ( ) , ( ) �� D B� � � � � � � � � � � � � � � � � max äëÿ êàæäîãî z R n� . Â èòîãå, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà èíâîëþöèè �, ìîæåì çàïèñàòü çàäà÷ó ( ( ) ( ))( ( ) ( )) minBG x I x BG x I x dxj j D B � � � � � , (4) sup min ( ) ( ) ( ) ( ) , ( )f x D jz G x f x dx h I x f x dx � �� Bz D B� � � � � � � � � � � � � � � � � min, À.Ë. Çàâîðîòíûé, Â.Ñ. Êàñüÿíþê 6 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 2 ðåøèâ êîòîðóþ, ïîëó÷èì îöåíêó I x f x dxj D � ( ) ( )� â âèäå Bz, îïòèìàëüíóþ â ñìûñëå ìèíèìèçàöèè íîðìû îïåðàòîðíîé íåâÿçêè è ìàêñèìèçàöèè íåîá- õîäèìîñòè êîððåêòíîñòè îöåíèâàíèÿ. Ðåøåíèå ýòîé äâóêðèòåðèàëüíîé çàäà÷è ìèíèìèçàöèè áóäåì èñêàòü â âèäå îïòèìèçàöèè ïî Ïàðåòî [1]. Â êà÷åñòâå íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ êîððåêòíîñòè h I x f x dx Bzj D � ( ) ( ) ,� � � � � � � � � ïðèìåì ðàñïðåäåëåíèå �B D B z G x f x dx� � � � � � � � � � � � � � � � �� ( ) ( ) íå÷åòêîé âåëè÷èíû B�. Åãî ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç � ( )� â âèäå � �B D w B z G x f x dx w Bw B z� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ( ) ( ) max ( ) G x f x dx D ( ) ( )� � � � � � � � � � � � ! " , ÷òî ýêâèâàëåíòíî � �B D B z G x f x dx B B z G x f x� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ( ) ( ) ( ) ( ) dx D � � � � � � � � � � � � � � � � �, ãäå B� — âåêòîð, ïñåâäîîáðàòíûé ê B. Ïîäñòàâèâ ïîñëåäíåå âûðàæåíèå â (4), ïîëó÷èì BG x I xj B ( ) ( ) min� � , sup min ( ) ( ) ( ) ( ( )f x D z G x f x dx B B z G x f x � � � �� ) mindx D B� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � . (5) Ðàññìîòðèì âòîðîé êðèòåðèé çàäà÷è (5). Çàïèøåì B B z G x f x dx D � � � � � � � � � �� ( ) ( ) (6) â âèäå ñóììû B Bz B Bw f xG G � � # � ( ( )), ãäå z E G x G x dx zG D # � � � � � � � � � � � � ( ) ( ) ; Ïàðåòî-îïòèìàëüíîå âîññòàíîâëåíèå ôóíêöèîíàëüíûõ çàâèñèìîñòåé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 2 7 w f x G x G x dx z G x f x dxG D D ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � �� ; E — òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð; � � � G x dx D ( ) — îïåðàòîð, ïñåâäîîáðàòíûé ê G x dx D ( ) �� . Âåëè÷èíû z è G x f x dx D ( ) ( )� ÿâëÿþòñÿ èçìåðåííûìè ëèáî ïîñòîÿí- íûìè, âûáîð B íà íèõ íå âëèÿåò. Îäíàêî âûáîð B âëèÿåò íà ñëàãàåìûå â âûðàæåíèè (6), â ÷àñòíîñòè íà âåëè÷èíó B BzG � # . Ïðåäïîëîæèì, íàéäåíî B, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì (5), è ïðè ýòîì B BzG � # �0. Èç ýòîãî ñëå- äóåò, ÷òî R G N B# $%( ) \ ( ) . Èçìåíÿÿ B, ðàñøèðÿåì åãî ÿäðî N B( ) òàê, ÷òîáû íîâîå ÿäðî âåêòîðà B âêëþ÷àëî ñòàðîå è R G N B# &( ) ( ), ò.å. òåïåðü R B R G( ) ( )* & . Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè òàêîì èçìåíåíèè B, ðàñøèðÿþùåì ÿäðî N B( ), íîðìà ïðîåêöèè (6) ìîæåò áûòü ëèáî óìåíüøåíà ëèáî îñòàíåòñÿ áåç èçìåíåíèé. Ñîîòâåòñòâåííî âåëè÷èíà âòîðîãî êðèòåðèÿ â (5) òàêæå ëèáî óìåíü- øèòñÿ, ëèáî îñòàíåòñÿ áåç èçìåíåíèé. Ïîñìîòðèì, êàê ïîâëèÿåò äàííîå èçìåíåíèå âåêòîðà B íà âåëè÷èíó ïåðâîãî êðèòåðèÿ çàäà÷è (5). Ðåøåíèåì çàäà÷è BG x I xj B ( ) ( ) min� � ÿâëÿåòñÿ B I x G x dx Q E G x G x dxj D D � � � � � � � � � � � � � � � � ( ) ( ) ( ) ( ) , ãäå Q q qn� ( ,..., )1 — âåêòîð èç ïðîñòðàíñòâà R n . Î÷åâèäíî, ÷òî âûáèðàÿ Q òàê, ÷òîáû E G x G x dx D � � � � � � � � � � � ( ) ( ) ïðèíàäëåæàëî N Q( ), ïîëó÷àåì B I x G x dxj D � � � � ( ) ( ) (7) è ïðè ýòîì R G N B# &( ) ( ) [4]. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè âûáîðå Â â âèäå (7) çíà÷åíèÿ êðèòåðèåâ îïòèìèçàöèè çàäà÷è (5) íå òîëüêî íå óõóäøàòñÿ, íî, âîçìîæíî, ñòàíóò ëó÷øå. Äîêàæåì, ÷òî (7) ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì ðåøåíèåì. Î÷åâèäíî, ÷òî îïåðà- òîð (7) íàèëó÷øèì îáðàçîì ìèíèìèçèðóåò âûðàæåíèå BG x I xj( ) ( )� � . À.Ë. Çàâîðîòíûé, Â.Ñ. Êàñüÿíþê 8 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 2 Ïîêàæåì, ÷òî äðóãèå îïåðàòîðû íå ëó÷øå ìèíèìèçèðóþò âòîðîé êðè- òåðèé çàäà÷è (5). Èòàê, äëÿ ëó÷øåé ìèíèìèçàöèè âòîðîãî êðèòåðèÿ çàäà÷è (5) ñëåäóåò âûáðàòü òàêîå B, ÷òîáû R G N B# &( ) ( ). Ïðè ýòîì êðèòåðèé ïðèìåò âèä � � � �C B z G x f x dx B Bwn f x D ( ) sup min ( ) ( ) , ( ( ) � � � � � � � � � �� G B f x( ( ))) min � � � � � � � � . (8) Íà ïåðâûé âçãëÿä ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî, èçìåíÿÿ çíà÷åíèå B, ìîæíî ïîâëèÿòü íà âåëè÷èíó B Bw f xG � ( ( )), àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî áûëî ñäå- ëàíî äëÿ B BzG � # , è òàêèì ñïîñîáîì ìèíèìèçèðîâàòü çíà÷åíèå �C Bn ( ). Îäíàêî ýòî íå òàê, ïîñêîëüêó w f x G x G x dx z G x f x dxG D D ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � �� , ò.å. w f xG ( ( )) ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó R G( ), à çíà÷èò, ìîæíî íàéòè f x( ), ïðè êîòîðîì w f x tG G( ( )) � , ãäå tG — çàðàíåå çàäàííûé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà R G( ). Â ÷àñòíîñòè, åñëè G '0, òî w f xG ( ( )) �0 è, ñëåäîâà- òåëüíî, C Bn ( ) �1, ïðè ýòîì B I x G x dxj D � '� � � ( ) ( ) 0. Îäíàêî ýòîò ÷àñòíûé ñëó÷àé ÿâëÿåòñÿ èäåîëîãè÷åñêè âûðîæäåííûì, òàê êàê îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèîíàë (2) íå íåñåò ïîëåçíîé èíôîðìàöèè. Â ëþáîì ñëó÷àå ïîñòðîåííûé âåêòîð B ïðàêòè÷åñêè ñâîäèò ê íóëþ âëèÿíèå ïîãðåøíîñòåé íà îöåíêó. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîãî îïåðàòîðà B, óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèþ R G N B# &( ) ( ), âåëè÷èíà (7) íå áóäåò èçìåíÿòüñÿ, òàê êàê ïîñðåäñòâîì âûáoðà çíà÷åíèÿ f x( ) ìîæíî äîáèòüñÿ, ÷òîáû àðãóìåíò ôóíêöèè � ( )� èìåë îðòîãîíàëüíóþ êîìïîíåíòó èç ïðîñòðàíñòâà R G R B( ) ( )( ñ íàïåðåä çàäàííîé íîðìîé. Èñêëþ÷åíèÿìè ÿâëÿþòñÿ äâà ñëó÷àÿ. Ïåðâûé, ïðè G '0, îïèñàí âûøå è íå ïðîòèâîðå÷èò íàéäåííîìó ðåøåíèþ, âòîðîé — âûáðàòü B òàêèì, ÷òîáû R G N B( ) ( )& ïðè G $ 0. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî íà B óæå íàëîæåíî óñëîâèå R G N B# &( ) ( ), ïîëó÷àåì âåêòîð B '0. Â ýòîì ñëó÷àå, äåéñòâèòåëüíî,�C Bn ( )äîñòèãàåò ñâîåãî ìèíè- ìóìà è C Bn ( ) �1. Íî, âî-ïåðâûõ, íîðìà BG x I xj( ) ( )� � ìîæåò íå äîñòèãàòü ñâîåãî ìèíèìóìà, òàê êàê I x I x G x G x Ej j � �( ) ( )( ( ) ( ) )� �� , à âî-âòîðûõ, Ïàðåòî-îïòèìàëüíîå âîññòàíîâëåíèå ôóíêöèîíàëüíûõ çàâèñèìîñòåé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 2 9 ïðè B '0 îáíóëÿþòñÿ êàê èíôîðìàòèâíàÿ, òàê è øóìîâàÿ ñîñòàâëÿþùèå ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, ñëó÷àé B '0ïðèG $ 0òàêæå èäåîëîãè÷åñêè âûðîæäåí- íûé è åãî ìîæíî íå ðàññìàòðèâàòü, èëè ê çàäà÷å (8) íåîáõîäèìî äîáàâèòü óñëîâèå èñêëþ÷åíèÿ âàðèàíòà B '0, åñëè G $ 0. Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèåì çàäà÷è (8) ÿâëÿåòñÿ âåêòîð Â âèäà (7). Ïðè ýòîì íîðìà îïåðàòîðíîé íå- âÿçêè ðàâíà I x G x G x Ej � ( )( ( ) ( ) )� � , à íåîáõîäèìîñòü êîððåêòíîñòè îöå- íèâàíèÿ ïðèíèìàåò âèä C z G x f x dx B Bw fn f x D G� � � � � � � � � �� sup min ( ) ( ) , ( ( ( ) ( )))x � � � � � � � � . Ðåøèâ çàäà÷ó min ( ) ( ) , ( ( ( ))) � � �z G x f x dx B Bw f x D G� � � � � � � � � � � � � � � � � � � sup ( )f x (9) è ïðèìåíèâ èíâîëþöèþ � ê ïîëó÷åííîìó ðåøåíèþ, íàéäåì âåëè÷èíó íåîáõîäèìîñòè êîððåêòíîñòè îöåíèâàíèÿ. Âûðàæåíèå z G x f x dx D �� ( ) ( ) ìîæíî ðàçëîæèòü íà ñóììó îðòîãîíàëüíûõ êîìïîíåíò: z G x f x dx w f x w f x z D GB GB G B � � � �� # � # # �( ) ( ) ( ( )) ( ( ( )) ), ãäå w f x B Bw f x GB G� � �( ( )) ( ( )); w f x E B B w f x GB G # � � � �( ( )) ( ) ( ( )); z G B# # � � � � � # ( )E B B zG (B B zG � # �0 ïî óñëîâèþ ïîñòðîåíèÿ B). Ïîýòîìó ðåøàÿ çà- äà÷ó (9), ìîæíî âûáðàòü f x( ) òàêèì, ÷òî w f x GB# � �( ( )) 0, ïðè ýòîì îñòàâëÿÿ çíà÷åíèå w f x GB� ( ( )) áåç èçìåíåíèé. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïî äîãîâîðåííîñòè � ( )� ìîíîòîííî óáûâàåò ïî íîðìå àðãóìåíòà, ïðè òàêîì âûáîðå f x( ) óâåëè÷èòñÿ çíà÷åíèå � z G x f x dx D � � � � � � � � �� ( ) ( ) è íèêàê íå èçìåíèòñÿ çíà÷åíèå � ( ( ( )))w f x GB� . À.Ë. Çàâîðîòíûé, Â.Ñ. Êàñüÿíþê 10 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 2 Ñëåäîâàòåëüíî, çàäà÷ó (9) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå min ( ( ( ( )) ), ( ( ( )))) sup ( ) � � �w f x z w f x GB G B GB f x � # # � �� ) , (10) ãäå ) � � # �{ ( ) \| ( ( )) }f x w f x GB 0 . Ïîñêîëüêó èíâîëþöèÿ � ïî îïðåäåëåíèþ ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî óáûâàþùåé ôóíêöèåé íà [ , ]0 1 , èç (10) ñòàíîâèòñÿ î÷å- âèäíûì, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è íå áóäåò ïðåâûøàòü íåêîòîðîãî ÷èñëà �� min ( , ( )) [ , ]r r r 0 1 , âåëè÷èíà êîòîðîãî çàâèñèò îò îïðåäåëåíèÿ èíâîëþöèè. Íàïðèìåð, åñëè çàäàòü èíâîëþöèþ â âèäå ëèíåéíîé ôóíêöèè � ( )r r� �1 , r�[ , ]0 1 , òî ïîëó÷èì * �1 2/ , åñëè çàäàòü èíâîëþöèþ â âèäå ãèïåðáîëû � ( )r r r � � � 1 2 1 , r�[ , ]0 1 , òî * � �3 1 2 è ò. ä. Åñëè âìåñòî çàäà÷è (10) ðåøaòü çàäà÷ó min ( ( ( ( ))), ( ( ( )))) sup ( ) � � �w f x w f x GB GB f x � � �) , òî, î÷åâèäíî, åå ðåøåíèå áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ìíîæåñòâîì ýëåìåíòîâ U f w f x f x GB � � � �{ ~ \| min \| ( ( ( ))) ( ) ) *+,� , (11) òàê êàê ìèíèìóì âûáèðàåòñÿ ìåæäó ôóíêöèåé � ( )� è äóàëüíîé ê íåé ïðè îäíîì è òîì æå çíà÷åíèè àðãóìåíòà. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ çàäà÷è (8), êîãäà z G B# # � �0, ïîëó÷àåì âåëè÷èíó íåîáõîäèìîñòè êîððåêò- íîñòè îöåíèâàíèÿ C w f w fn GB GB � � �� min ( ( ( ~ )), ( ( ~ ))), ~ f U� . (12) Ðàññìîòðèì âîçìîæíîñòü ïîÿâëåíèÿ òàêîãî ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ. Îí ãà- ðàíòèðîâàí, åñëè R G N B# ( �( ) ( ) { }0 . Ïîñêîëüêó ðàíåå ïðè ïîñòðîåíèè B áûëî íàëîæåíî óñëîâèå R G N B# &( ) ( ), ñëåäóåò ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî äàííûé ÷àñòíûé ñëó÷àé íåèçáåæåí òîëüêî ïðè R G N G# �� ( ) ( ) { }0 , èç ÷åãî ñîãëàñíî òåîðåìå Áàíàõà [4] ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò îïåðàòîð, îáðàòíûé îïåðàòîðó G x dx D ( ) �� . Òàêèì îáðàçîì, åñëè â ðàâåíñòâå (1) ÿäðà g xi ( ) òàêèå, ÷òî - �g xi 1( ), òî ðåøåíèåì çàäà÷è (8) ÿâëÿåòñÿ âåêòîð B I x G x dxj D � � � � ( ) ( )1 . Ïðè ýòîì íîðìà îïåðàòîðíîé íåâÿçêè ðàâíà íóëþ, à âåëè÷èíà íåîáõîäèìîñòè êîððåêòíîñòè îöåíèâàíèÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (12). Ïàðåòî-îïòèìàëüíîå âîññòàíîâëåíèå ôóíêöèîíàëüíûõ çàâèñèìîñòåé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 2 11 Ïîñêîëüêó íåÿâíî äàíà îöåíêà ôóíêöèè f x( ) (ìíîæåñòâîì îöåíîê (11)), èñõîäÿ èç àïðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ � ( )� ìîæíî îöåíèòü ñîñòîÿ- òåëüíîñòü ìîäåëè ýêñïåðèìåíòà. Åñëè - � � � � � � � � � �� : ( ) �( )f U z G x f x dx D � 0, òî ìîäåëü ýêñïåðèìåíòà ìîæíî ïðèçíàòü ñîñòîÿòåëüíîé, à ëþáîé ýëåìåíò �f U� — ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêîé f x( ) â � j -îêðåñòíîñòè çàäàííîé òî÷êè x j . Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìîäåëü ýêñïåðèìåíòà ñëåäóåò ïðèçíàòü íåñîñòîÿòåëü- íîé. Ïî äîãîâîðåííîñòè � ( )� ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî óáûâàþùåé ïî íîðìå àðãóìåíòà ôóíêöèåé, ïîýòîìó äëÿ îïðåäåëåííîñòè ìîæíî âûáðàòü îöåíêó �( ) arg min ( ~ ( )) ~ ( ) f x B Bw f x f x U G� � � . (13) Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè � z G x f x dx D � � � � � � � � � �� ( ) �( ) 0, òî ìîäåëü ýêñïåðèìåíòà ñëå- äóåò ïðèçíàòü íåñîñòîÿòåëüíîé, à â ïðîòèâíîì ñëó÷àå — ñîñòîÿòåëüíîé. Âûâîäû Ïîëó÷åííûå îöåíêè (13) ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ äàëüíåéøåãî âîññòàíîâ- ëåíèÿ ôóíêöèè â äðóãèõ òî÷êàõ, ïðèìåíÿÿ ñòàíäàðòíûå ïîäõîäû è ïîëó- ÷àÿ ðåøåíèå â îïðåäåëåííîì êëàññå ôóíêöèé ïî òàáëè÷íî çàäàííûì çíà÷å- íèÿì. Â òî æå âðåìÿ, ìîæíî ðàñøèðÿòü íàáîð çíà÷åíèé àðãóìåíòà x1, ..., xm íîâûìè òî÷êàìè è ïðèìåíÿòü îïèñàííûé ïîäõîä äëÿ ïîëó÷åíèÿ âñå áîëåå òî÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ î ôóíêöèè, êîòîðóþ íåîáõîäèìî âîññòàíîâèòü. A new method of reconstruction of functional relations has been developed. Instead of function’s values this method uses its integral values with allowance for errors in the initial data. Errors in the data are represented with fuzzy values. The function value estimates are achieved due to solv- ing the Pareto-optimization problem. The consistency criteria for the developed estimates have been determined. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Áºëîâ Þ.À., Êàñüÿíþê Â.Ñ. Ìàòåìàòè÷í³ ìåòîäè ³ àëãîðèòìè îáðîáêè â çàäà÷³ ³íòåð- ïðåòàö³¿ íåïðÿìèõ âèì³ðþâàíü. — Êè¿â : Íàóêîâèé ñâ³ò, 2000. — 79 ñ. 2. Ïûòüåâ Þ.Ï. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû èíòåðïðåòàöèè ýêñïåðèìåíòà. — Ì. : Âûñøàÿ øêîëà, 1989. — 315 ñ. À.Ë. Çàâîðîòíûé, Â.Ñ. Êàñüÿíþê 12 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 2 3. Ïûòüåâ Þ.Ï. Âîçìîæíîñòü. Ýëåìåíòû òåîðèè è ïðèìåíåíèÿ. — Ì. : Ýäèòîðèàë ÓÐÑÑ, 2000. — 192 ñ. 4. Ëþñòåðíèê Ë.À., Ñîáîëåâ Â.È. Ýëåìåíòû ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. — Ì. : Íàóêà, 1965. — 520 ñ. Ïîñòóïèëà 17.01.13 ÇÀÂÎÐÎÒÍÛÉ Àíäðåé Ëåîíèäîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, íàó÷. ñîòð. ôàêóëüòåòà êèáåð- íåòèêè Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èì. Òàðàñà Øåâ÷åíêî, êîòîðûé îêîí÷èë â 1999 ã. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — íåêîððåêòíûå çàäà÷è, ìåòîäû âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèî- íàëüíûõ çàâèñèìîñòåé, òåîðèÿ âîçìîæíîñòè, ÷èñëåííûå ìåòîäû, ïðîåêòèðîâàíèå èçìåðè- òåëüíî-âû÷èñëèòåëüíûõ ñèñòåì ñâåðõâûñîêîãî ðàçðåøåíèÿ. ÊÀÑÜßÍÞÊ Âåäà Ñòàíèñëàâîâíà, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, çàâ. ñåêòîðîì òåîðåòè÷åñêîé êèáåð- íåòèêè ôàêóëüòåòà êèáåðíåòèêè Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èì. Òàðàñà Øåâ- ÷åíêî, êîòîðûé îêîí÷èëà â 1983 ã. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìåòîäû ðåãóëÿðèçàöèè íåêîððåêòíûõ çàäà÷, ìåòîäû ìíîãîêðèòåðèàëüíîé îïòèìèçàöèè, ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû îáðàáîòêè è èíòåðïðåòàöèè èçìåðåíèé, èçìåðèòåëüíî-âû÷èñëèòåëüíûå ñèñòåìû ñâåðõâûñî- êîãî ðàçðåøåíèÿ. Ïàðåòî-îïòèìàëüíîå âîññòàíîâëåíèå ôóíêöèîíàëüíûõ çàâèñèìîñòåé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 2 13 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJDFFile false /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /Description << /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <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> /FRA <FEFF005500740069006c006900730065007a00200063006500730020006f007000740069006f006e00730020006100660069006e00200064006500200063007200e900650072002000640065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000410064006f00620065002000500044004600200070006f0075007200200075006e00650020007100750061006c0069007400e90020006400270069006d007000720065007300730069006f006e00200070007200e9007000720065007300730065002e0020004c0065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000500044004600200063007200e900e90073002000700065007500760065006e0074002000ea0074007200650020006f007500760065007200740073002000640061006e00730020004100630072006f006200610074002c002000610069006e00730069002000710075002700410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650074002000760065007200730069006f006e007300200075006c007400e90072006900650075007200650073002e> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /PTB <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> /SUO <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> /SVE <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Парето-оптимальное восстановление функциональных зависимостей по нечетким данным

Institution

Similar Items