Интегральные уравнения симметричных составляющих трехмерного магнитного поля статора цилиндрического электромагнитного перемешивателя

Векторная система интегральных уравнений для векторов плотности источников k-й симметричной составляющей (СС) магнитного поля статора цилиндрического трехфазного электромагнитного перемешивателя преобразована к скалярной системе интегральных уравнений (СкСИУ) относительно проекции на оси цилиндричес...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Электронное моделирование
Дата:	2013
Автори:	Евдокимов, В.Ф., Петрушенко, Е.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2013
Теми:	Применение методов и средств моделирования
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100848
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Интегральные уравнения симметричных составляющих трехмерного магнитного поля статора цилиндрического электромагнитного перемешивателя / В.Ф. Евдокимов, Е.И. Петрушенко // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 3. — С. 75-89. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859626962124800000
author	Евдокимов, В.Ф. Петрушенко, Е.И.
author_facet	Евдокимов, В.Ф. Петрушенко, Е.И.
citation_txt	Интегральные уравнения симметричных составляющих трехмерного магнитного поля статора цилиндрического электромагнитного перемешивателя / В.Ф. Евдокимов, Е.И. Петрушенко // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 3. — С. 75-89. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Электронное моделирование
description	Векторная система интегральных уравнений для векторов плотности источников k-й симметричной составляющей (СС) магнитного поля статора цилиндрического трехфазного электромагнитного перемешивателя преобразована к скалярной системе интегральных уравнений (СкСИУ) относительно проекции на оси цилиндрической системы координат векторов плотности источников k-й СС магнитного поля с учетом симметрии по координатам Z, Y, X в проекциях плотностей источников k-й СС магнитного поля статора. Областью определения СкСИУ, полученной после указанных преобразований, является часть поверхности магнитопровода статора, которой принадлежат точки M (XM, YM, ZM) с координатами ZM>=0, YM>=0, XM>=0. Это позволяет существенно сократить объем вычислений, связанных с составлением матрицы аппроксимирующей алгебраической системы и ее решением. Векторну систему інтегральних рівнянь для векторів щільності джерел k-ї симетричної складової (СС) магнітного поля статора циліндричного трифазного електромагнітного перемішувача перетворено у скалярну систему інтегральних рівнянь (СкСІР) відносно проекції на осі циліндричної системи координат векторів щільності джерел k-ї СС магнітного поля з урахуванням симетрій по координатам Z, Y, Xв проекціях щільності джерел k-ї СС магнітного поля статора. Областю визначення СкСІР, отриманою після вказаних перетворень, є частина поверхні магнітопроводу статора, якій належать точки MX Y ZM M M( , , ) з координатами ZM. 0, YM. 0, XM. 0. Це дозволяє істотно скоротити об’єм обчислень, пов’язаних із складанням матриці апроксимуючої алгебраїчної системи та її розв’язком. The vector system of integral equations for the vectors of source density of the kth symmetrical component (SC) of magnetic field of the stator of cylindrical three-phase electromagnetic stirrer has been transformed to the scalar system of integral equations (ScSIE) in respect of the projection of density vectors of the sources of kth SC of the magnetic field on the axis of cylindrical system of coordinates with allowance for symmetry on Z, Y, X coordinates in projections of densities of the sources of the kth SC of magnetic field of the stator. Part of the stator core surface, the pointsM X Y Z M M M ( , , )with coordinates ZM 0,YM 0, X M 0 belonging to it, is the domain of definition of ScSIE obtained after the above transformations. This allows reducing considerably the volume of calculations connected with composing the matrix of approximating algebraic system and its solution.
first_indexed	2025-11-29T11:49:13Z
format	Article
fulltext	ÓÄÊ 519.711.3:631.382.2:669.174 Â.Ô. Åâäîêèìîâ, ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû, Å.È. Ïåòðóøåíêî, êàíä. òåõí. íàóê Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû (Óêðàèíà, 03164, Êèåâ, óë. Ãåíåðàëà Íàóìîâà, 15, òåë. (044) 4249160, e-mail:dep_7@ voliacable.com) Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ ñèììåòðè÷íûõ ñîñòàâëÿþùèõ òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà öèëèíäðè÷åñêîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïåðåìåøèâàòåëÿ Âåêòîðíàÿ ñèñòåìà èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ âåêòîðîâ ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ k-é ñèì- ìåòðè÷íîé ñîñòàâëÿþùåé (ÑÑ) ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà öèëèíäðè÷åñêîãî òðåõôàçíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïåðåìåøèâàòåëÿ ïðåîáðàçîâàíà ê ñêàëÿðíîé ñèñòåìå èíòåãðàëüíûõ óðàâ- íåíèé (ÑêÑÈÓ) îòíîñèòåëüíî ïðîåêöèè íà îñè öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò âåêòîðîâ ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ k-é ÑÑ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ ó÷åòîì ñèììåòðèè ïî êîîðäèíàòàì Z, Y, X â ïðîåêöèÿõ ïëîòíîñòåé èñòî÷íèêîâ k-é ÑÑ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà. Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ÑêÑÈÓ, ïîëó÷åííîé ïîñëå óêàçàííûõ ïðåîáðàçîâàíèé, ÿâëÿåòñÿ ÷àñòü ïîâåðõíîñòè ìàãíè- òîïðîâîäà ñòàòîðà, êîòîðîé ïðèíàäëåæàò òî÷êè M X Y ZM M M( , , ) ñ êîîðäèíàòàìè ZM � 0, Y M � 0, X M � 0. Ýòî ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî ñîêðàòèòü îáúåì âû÷èñëåíèé, ñâÿçàííûõ ñ ñîñòàâëåíèåì ìàòðèöû àïïðîêñèìèðóþùåé àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìû è åå ðåøåíèåì. Âåêòîðíó ñèñòåìó ³íòåãðàëüíèõ ð³âíÿíü äëÿ âåêòîð³â ù³ëüíîñò³ äæåðåë k-¿ ñèìåòðè÷íî¿ ñêëàäîâî¿ (ÑÑ) ìàãí³òíîãî ïîëÿ ñòàòîðà öèë³íäðè÷íîãî òðèôàçíîãî åëåêòðîìàãí³òíîãî ïåðåì³øóâà÷à ïåðåòâîðåíî ó ñêàëÿðíó ñèñòåìó ³íòåãðàëüíèõ ð³âíÿíü (ÑêÑ²Ð) â³äíîñíî ïðîåêö³¿ íà îñ³ öèë³íäðè÷íî¿ ñèñòåìè êîîðäèíàò âåêòîð³â ù³ëüíîñò³ äæåðåë k-¿ ÑÑ ìàã- í³òíîãî ïîëÿ ç óðàõóâàííÿì ñèìåòð³é ïî êîîðäèíàòàì Z, Y, X â ïðîåêö³ÿõ ù³ëüíîñò³ äæå- ðåë k-¿ ÑÑ ìàãí³òíîãî ïîëÿ ñòàòîðà. Îáëàñòþ âèçíà÷åííÿ ÑêÑ²Ð, îòðèìàíîþ ï³ñëÿ âêà- çàíèõ ïåðåòâîðåíü, º ÷àñòèíà ïîâåðõí³ ìàãí³òîïðîâîäó ñòàòîðà, ÿê³é íàëåæàòü òî÷êè M X Y ZM M M( , , ) ç êîîðäèíàòàìè ZM � 0, Y M � 0, X M � 0. Öå äîçâîëÿº ³ñòîòíî ñêîðîòèòè îá’ºì îá÷èñëåíü, ïîâ’ÿçàíèõ ³ç ñêëàäàííÿì ìàòðèö³ àïðîêñèìóþ÷î¿ àëãåáðà¿÷íî¿ ñèñòåìè òà ¿¿ ðîçâ’ÿçêîì. Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü, òðåõìåðíîå âðàùàþùååñÿ ìàãíèòíîå ïîëå, ñèììåòðè÷íûå ñîñòàâëÿþùèå, ñîîòíîøåíèÿ ñèììåòðèè, ýëåêòðîìàãíèòíûé ïåðåìåøè- âàòåëü, ìàãíèòîïðîâîä, ñêàëÿðíàÿ ñèñòåìà èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé. Â [1, 2] âåêòîðíàÿ ñèñòåìà èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ âåêòîðîâ ïëîò- íîñòè èñòî÷íèêîâ k-é ñèììåòðè÷íîé ñîñòàâëÿþùåé (ÑÑ) ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà öèëèíäðè÷åñêîãî òðåõôàçíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïåðåìåøèâàòå- ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 3 75 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ И СРЕДСТВ МОДЕЛИРОВАНИЯ � Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî, 2013 ëÿ (ÝÌÏ) ïðåîáðàçîâàíà ê ñêàëÿðíîé ñèñòåìå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé (ÑêÑÈÓ) îòíîñèòåëüíî ïðîåêöèè íà îñè öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîð- äèíàò âåêòîðîâ ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ k-é ÑÑ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Â [3] óêàçàííàÿ ÑêÑÈÓ ïðåîáðàçîâàíà ñ ó÷åòîì ñèììåòðèé ïî êîîðäèíàòå Z â ïðîåêöèÿõ ïëîòíîñòåé èñòî÷íèêîâ k-é ÑÑ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà. Â [4] ïîëó÷åííàÿ â [3] ÑêÑÈÓ ïðåîáðàçîâàíà ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé ñèììåòðèè ïî êîîðäèíàòå Y â ïðîåêöèÿõ íà îñè öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò âåêòîðîâ ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ k-é ÑÑ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Îáëàñòüþ îïðå- äåëåíèÿ íîâîé ÑêÑÈÓ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòü ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà ñòàòî- ðà, ëåæàùàÿ âûøå êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè XOY è ñïðàâà îò êîîðäè- íàòíîé ïëîñêîñòè XOZ, êîòîðîé ïðèíàäëåæàò òî÷êè M X Y ZM M M( , , ) ñ êîîðäèíàòàìè ZM � 0 è YM � 0. Òåïåðü ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííóþ â [4] ÑêÑÈÓ ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé ñèììåòðèè ïî êîîðäèíàòå X â ïðîåêöèÿõ íà îñè öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò âåêòîðîâ ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ k-é ÑÑ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Îá- ëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ íîâîé ÑêÑÈÓ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòü ïîâåðõíîñòè ìàãíèòî- ïðîâîäà ñòàòîðà, êîòîðîé ïðèíàäëåæàò òî÷êè M X Y ZM M M( , , ) ñ êîîðäè- íàòàìè ZM � 0,YM � 0, X M � 0. Ïóñòü òî÷êà M X Y ZM M M( , , ) ëåæèò íàä êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòüþ XOY äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò XYZ. Ïðè ýòîì ZM � 0. Òî÷êà M X Y ZZ M M M( , , )� ñèììåòðè÷íà òî÷êå Ì îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè XOY. Òî÷êà M X Y ZY M M M( , , )� ñèììåòðè÷íà òî÷êå Ì îòíîñè- òåëüíî êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè XOZ. Òî÷êà M X Y ZX M M M( , , )� ñèììåò- ðè÷íà òî÷êå Ì îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè YOZ . Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ, êîòîðûå áóäåì èñïîëüçîâàòü ïðè ïðåîáðàçîâà- íèè èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (ÈÓ) äëÿ ÑÑ ìàãíèòíîãî ïîëÿ: S 2 — âíóòðåííÿÿ áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ìàãíèòîïðîâîäà, S S S2 21 22� � ; S 21 — ÷àñòü ïîâåðõíîñòè S 2, êîòîðîé ïðèíàäëåæèò òî÷êà M Z , ëåæà- ùàÿ ïîä ïëîñêîñòüþ XOY; S 22 — ÷àñòü ïîâåðõíîñòè S 2, êîòîðîé ïðèíàäëåæèò òî÷êà M, ëåæàùàÿ íàä ïëîñêîñòüþ XOY; S 3 (èëè S 32) — âåðõíåå îñíîâàíèå ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò òî÷êà M; S 4 — âíåøíÿÿ áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü ìàãíèòîïðîâîäà, S S S4 41 42� � ; S 41 — ÷àñòü ïîâåðõíîñòè S 4, êîòîðîé ïðèíàäëåæèò òî÷êà M Z , ëåæà- ùàÿ ïîä ïëîñêîñòüþ XOY; S 42 — ÷àñòü ïîâåðõíîñòè S 4, êîòîðîé ïðèíàäëåæèò òî÷êà M, ëåæàùàÿ íàä ïëîñêîñòüþ XOY; S 221 — ÷àñòü ïîâåðõíîñòè S 22, êîòîðîé ïðèíàäëåæèò òî÷êà MY , ëåæà- ùàÿ íàä ïëîñêîñòüþ XOY ñëåâà îò ïëîñêîñòè XOZ ; Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî 76 ISSN 0204—3572. Electronic Modeling. 2013. V. 36. ¹ 1 S 222 — ÷àñòü ïîâåðõíîñòè S 22, êîòîðîé ïðèíàäëåæèò òî÷êà M, ëåæà- ùàÿ íàä ïëîñêîñòüþ XOY ñïðàâà îò ïëîñêîñòè XOZ, S S S22 221 222� � ; (1) S 321 — ÷àñòü âåðõíåãî îñíîâàíèÿ ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà, êîòî- ðîìó ïðèíàäëåæèò òî÷êà MY ; S 322 — ÷àñòü âåðõíåãî îñíîâàíèÿ ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà, êîòî- ðîìó ïðèíàäëåæèò òî÷êà M, S S S32 321 322� � ; (2) S 421 — ÷àñòü ïîâåðõíîñòè S 42, êîòîðîé ïðèíàäëåæèò òî÷êà MY , ëåæà- ùàÿ íàä ïëîñêîñòüþ XOY ñëåâà îò ïëîñêîñòè XOZ ; S 422 — ÷àñòü ïîâåðõíîñòè S 42, êîòîðîé ïðèíàäëåæèò òî÷êà M, ëåæà- ùàÿ íàä ïëîñêîñòüþ XOY ñïðàâà îò ïëîñêîñòè XOZ, S S S42 421 422� � ; (3) S 2221 — ÷àñòü ïîâåðõíîñòè S 222, êîòîðîé ïðèíàäëåæèò òî÷êà M X , ëåæà- ùàÿ íàä ïëîñêîñòüþ XOY ñïðàâà îò ïëîñêîñòè XOZ çà ïëîñêîñòüþ YOZ; S 2222 — ÷àñòü ïîâåðõíîñòè S 222, êîòîðîé ïðèíàäëåæèò òî÷êà M, ëåæà- ùàÿ íàä ïëîñêîñòüþ XOY ñïðàâà îò ïëîñêîñòè XOZ ïåðåä ïëîñêîñòüþ YOZ, S S S222 2221 2222� � ; (4) S 3221 — ÷àñòü ïîâåðõíîñòè S 322, êîòîðîé ïðèíàäëåæèò òî÷êà M X , ëåæàùàÿ íàä ïëîñêîñòüþ XOY ñïðàâà îò ïëîñêîñòè XOZ çà ïëîñêîñòüþ YOZ; S 3222 — ÷àñòü ïîâåðõíîñòè S 322, êîòîðîé ïðèíàäëåæèò òî÷êà M, ëåæà- ùàÿ íàä ïëîñêîñòüþ XOY ñïðàâà îò ïëîñêîñòè XOZ ïåðåä ïëîñêîñòüþ YOZ, S S S322 3221 3222� � ; (5) S 4221 — ÷àñòü ïîâåðõíîñòè S 422, êîòîðîé ïðèíàäëåæèò òî÷êà M X , ëåæàùàÿ íàä ïëîñêîñòüþ XOY ñïðàâà îò ïëîñêîñòè XOZ çà ïëîñêîñòüþ YOZ; S 4222 — ÷àñòü ïîâåðõíîñòè S 422, êîòîðîé ïðèíàäëåæèò òî÷êà M, ëåæà- ùàÿ íàä ïëîñêîñòüþ XOY ñïðàâà îò ïëîñêîñòè XOZ ïåðåä ïëîñêîñòüþ YOZ, S S S422 4221 4222� � . (6) Ïðåîáðàçîâàíèå ÈÓ (13 ) è (16) èç [4] ñ ó÷åòîì ñèììåòðèè ïî êîîð- äèíàòå X â ïëîòíîñòÿõ èñòî÷íèêîâ ÑÑ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Çàïèøåì ÈÓ (13) èç [4] ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâ (4)—(6): 2 222 222 � � Q Q( ) � Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ ñèììåòðè÷íûõ ñîñòàâëÿþùèõ òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 3 77 � � �� S Y Y Z MRC Q M RC Q M 2221 222222 2221 222 22 21[ ( , ) ( , )]� � 1 22212221( )M dsM � � � �� S Y Y Z MRC Q M RC Q M 2222 222222 2222 222 22 22[ ( , ) ( , )]� � 2 22222222( )M dsM � � � �� S Y Y Z MRS Q M RS Q M 3221 322222 3221 222 32 21[ ( , ) ( , )] � 1 32213221( )M dsM � � � �� S Y Y Z MRS Q M RS Q M 3222 322222 3222 222 32 22[ ( , ) ( , )] � 2 32223222( )M dsM � � � �� S Y Y Z MRC Q M RC Q M 3221 322222 3221 222 32 21[ ( , ) ( , )]� � 1 32213221( )M dsM � � � �� S Y Y Z MRC Q M RC Q M 3222 322222 3222 222 32 22[ ( , ) ( , )]� � 2 32223222( )M dsM � � � �� S Y Y Z MRC Q M RC Q M 4221 422222 4221 222 42 21[ ( , ) ( , )]� � 1 42214221( )M dsM � � � �� S Y Y Z MRC Q M RC Q M 4222 422222 4222 222 42 22[ ( , ) ( , )]� � 2 42224222( )M dsM � � �F QZY 2 222 ( ), Q S222 222� . (7) Â ÈÓ (7) ïðèìåì ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ñèììåòðèè: M MM M 2221 22222221 2222( ) ( )� , M MM M 3221 32223221 3222( ) ( )� , � �M MM M 3221 32223221 3222( ) ( )� � , M MM M 4221 42224221 4222( ) ( )� . (8) Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì 2 2222 2222 2222 2222 2222 � � Q S Y XQ RC Q M( ) [ ( , )� � �� Y Z X M MRC Q M M ds( , )] ( )2222 22 22 22222222 2222 � � �� S Y Y Z MRC Q M RC Q M 2222 22222 2222 2222 22 22[ ( , ) ( , )]� � 222 22222222( )M dsM � � �� S Y X Y Z X MRS Q M RS Q M 3222 2222 3222 2222 32 22[ ( , ) ( , )] � 3222 32223222( )M dsM � � � �� S Y Y Z MRS Q M RS Q M 3222 32222 3222 2222 32 22[ ( , ) ( , )] � 222 32223222( )M dsM � Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî 78 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 3 � � � �� S Y X Y Z XRC Q M RC Q M 3222 2222 3222 2222 32 22[ ( , ) ( , )]� � � � � �� M M S YM ds RC Q M 3222 3222 3222 3222 2222 3222( ) [ ( , )� � ��Y Z M MRC Q M M ds( , )] ( )2222 32 22 32223222 3222 � � � �� S Y X Y Z XRC Q M RC Q M 4222 2222 4222 2222 42 22[ ( , ) ( , )]� � � � � �� M M S YM ds RC Q M 4222 4222 4222 4222 2222 4222( ) [ ( , )� � �Y Z M MRC Q M M ds( , )] ( )2222 42 22 42224222 4222 � � F QZYX 2 2222 ( ), Q S2222 2222� . (9) Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: � � �X Y Y YRC Q M RC Q M RC Q M( , ) ( , ) ( ,2222 2222 2222 2222 2222� � 2222X ), � � �X Y Z Y Z YRC Q M RC Q M RC Q( , ) ( , ) (2222 22 22 2222 22 22 2222� � , )M Z X22 22 , � X Y Y YRS Q M RS Q M RS Q M( , ) ( , ) ( ,2222 3222 2222 3222 2222� � 3222X ), � X Y Z Y Z YRS Q M RS Q M RS Q( , ) ( , ) (2222 32 22 2222 32 22 2222� � , )M Z X32 22 , � � �X Y Y YRC Q M RC Q M RC Q M( , ) ( , ) ( ,2222 3222 2222 3222 2222� � 3222X ), � � �X Y Z Y Z YRC Q M RC Q M RC Q( , ) ( , ) (2222 32 22 2222 32 22 2222� � , )M Z X32 22 , � � �X Y Y YRC Q M RC Q M RC Q M( , ) ( , ) ( ,2222 4222 2222 4222 2222� � 4222X ), � � �X Y Z Y Z YRC Q M RC Q M RC Q( , ) ( , ) (2222 42 22 2222 42 22 2222� � , )M Z X42 22 . (10) Ñ ó÷åòîì (10) óðàâíåíèå (9) ïðèìåò âèä 2 2222 2222 2222 2222 2222 � � Q S X YQ RC Q M( ) [ ( , )� � �� X Y Z M MRC Q M M ds( , )] ( )2222 22 22 22222222 2222 � � �� S X Y X Y ZRS Q M RS Q M 3222 2222 3222 2222 32 22[ ( , ) ( , )]� � � � � �� M M S X YM ds RC Q M 3222 3222 3222 3222 2222 3222( ) [ ( , ) � � Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ ñèììåòðè÷íûõ ñîñòàâëÿþùèõ òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 3 79 � � �X Y Z M MRC Q M M ds( , )] ( )2222 32 22 32223222 3222 � � �� S X Y X Y ZRC Q M RC Q M 4222 2222 4222 2222 42 22[ ( , ) ( , )] � � � � � � M M ZYXM ds F Q 4222 42224222 2 2222( ) ( ), Q S2222 2222� . (11) Çäåñü F QZYX 2 2222 ( ) — ïðåîáðàçîâàííàÿ ñ ó÷åòîì ñèììåòðèè ïî êîîðäèíàòå X â ïëîòíîñòÿõ èñòî÷íèêîâ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðàâàÿ ÷àñòü ÈÓ (13) èç [4]. Ïðåîáðàçóåì ÈÓ (16) èç [4] ñ ó÷eòîì ñèììåòðèè ïî êîîðäèíàòå X â ïëîòíîñòÿõ èñòî÷íèêîâ ÑÑ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâ (4)—(6) çàïèøåì 2 222 � � z Q( )� � �� S Y Y Z MZS Q M ZS Q M 2221 2221222 2221 222 22 21[ ( , ) ( , )]� � ( )M dsM2221 2221 � � �� S Y Y Z MZS Q M ZS Q M 2222 2222222 2222 222 22 22[ ( , ) ( , )]� � ( )M dsM2222 2222 � � �� S Y Y Z zCR Q M CR Q M M 2221 222 2221 222 22 21 222[ ( , ) ( , )] ( 1 2221 ) dsM � � �� S Y Y Z zCR Q M CR Q M M 2222 222 2222 222 22 22 222[ ( , ) ( , )] ( 2 2222 ) dsM � � � �� S Y Y Z MZC Q M ZC Q M 3221 322222 3221 222 32 21[ ( , ) ( , )] � 1 32213221( )M dsM � � � �� S Y Y Z MZC Q M ZC Q M 3222 322222 3222 222 32 22[ ( , ) ( , )] � 2 32223222( )M dsM � � �� S Y Y Z MZS Q M ZS Q M 3221 3221222 3221 222 32 21[ ( , ) ( , )]� � ( )M dsM3221 3221 � � � S Y Y Z MZS Q M ZS Q M 3222 3222222 3222 222 32 22[ ( , ) ( , )]� �� ( )M dsM3222 3222 � � �� S Y Y Z MZS Q M ZS Q M 4221 4221222 4221 222 42 21[ ( , ) ( , )]� � ( )M dsM4221 4221 � � �� S Y Y Z MZS Q M ZS Q M 4222 4222222 4222 222 42 22[ ( , ) ( , )]� � ( )M dsM4222 4222 � Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî 80 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 3 � �� S Y Y Z zCR Q M CR Q M M 4221 222 4221 222 42 21 422[ ( , ) ( , )] ( 1 4221 ) dsM � � �� S Y Y Z zCR Q M CR Q M M 4222 222 4222 222 42 22 422[ ( , ) ( , )] ( 2 4222 ) dsM � � �F Qz ZY 2 222( ), Q S222 222� . (12) Â ÈÓ (12) ïðèìåì óñëîâèÿ ñèììåòðèè ñ ó÷åòîì (8) è ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: z zM M( ) ( )2221 2222� � , z zM M( ) ( )4221 4222� � . (13) Òîãäà ÈÓ (12) ïðèìåò âèä 2 2222 � � z Q( )� � �� S Y X Y Z X MZS Q M ZS Q M 2222 2222 2222 2222 22 22[ ( , ) ( , )]� � 2222 22222222( )M ds M � � �� S Y Y Z MZS Q M ZS Q M 2222 222222 2222 2222 22 22[ ( , ) ( , )]� � 22 22222222( )M dsM � � �� S Y X Y Z X zCR Q M CR Q M 2222 2222 2222 2222 22 22[ ( , ) ( , )] ( M dsM2222 2222 ) � � �� S Y Y Z zCR Q M CR Q M M 2222 2222 2222 2222 22 22 2[ ( , ) ( , )] ( 222 2222 ) dsM � � �� S Y X Y Z X MZC Q M ZC Q M 3222 2222 3222 2222 32 22[ ( , ) ( , )] � 3222 32223222( )M ds M � � � �� S Y Y Z MZC Q M ZC Q M 3222 32222 3222 2222 32 22[ ( , ) ( , )] � 222 32223222( )M dsM � � �� S Y X Y Z X MZS Q M ZS Q M 3222 2222 3222 2222 32 22[ ( , ) ( , )]� � 3222 32223222( )M ds M � � �� S Y Y Z MZS Q M ZS Q M 3222 322222 3222 2222 32 22[ ( , ) ( , )]� � 22 32223222( )M dsM � � �� S Y X Y Z X MZS Q M ZS Q M 4222 2222 4222 2222 42 22[ ( , ) ( , )]� � 4222 42224222( )M dsM � � �� S Y Y Z MZS Q M ZS Q M 4222 422222 4222 2222 42 22[ ( , ) ( , )]� � 22 42224222( )M dsM � Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ ñèììåòðè÷íûõ ñîñòàâëÿþùèõ òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 3 81 � �� S Y X Y Z X zCR Q M CR Q M 4222 2222 4222 2222 42 22[ ( , ) ( , )] ( M dsM4222 4222 ) � � �� S Y Y Z zCR Q M CR Q M M 4222 2222 4222 2222 42 22 4[ ( , ) ( , )] ( 222 4222 ) dsM � � � F Qz ZYX 2 2222( ), Q S2222 2222� . (14) Äëÿ äàëüíåéøèõ ïðåîáðàçîâàíèé ÈÓ (14) óäîáíî çàïèñàòü òàê: 2 2222 � � z Q( ) � � �� S Y X Y Z X MZS Q M ZS Q M 2222 2222 2222 2222 22 22[ ( , ) ( , )]� � 2222 22222222( )M dsM � � �� S Y Y Z MZS Q M ZS Q M 2222 222222 2222 2222 22 22[ ( , ) ( , )]� � 22 22222222( )M dsM � � � �� S Y X Y Z X zCR Q M CR Q M 2222 2222 2222 2222 22 22[ ( , ) ( , )] ( )M dsM2222 2222 � � �� S Y Y Z zCR Q M CR Q M M 2222 2222 2222 2222 22 22 2[ ( , ) ( , )] ( 222 2222 ) dsM � � �� S Y X Y Z X MZC Q M ZC Q M 3222 2222 3222 2222 32 22[ ( , ) ( , )] � 3222 32223222( )M dsM � � � �� S Y Y Z MZC Q M ZC Q M 3222 32222 3222 2222 32 22[ ( , ) ( , )] � 222 32223222( )M dsM � � �� S Y X Y Z X MZS Q M ZS Q M 3222 2222 3222 2222 32 22[ ( , ) ( , )]� � 3222 32223222( )M dsM � � �� S Y Y Z MZS Q M ZS Q M 3222 322222 3222 2222 32 22[ ( , ) ( , )]� � 22 32223222( )M dsM � � �� S Y X Y Z X MZS Q M ZS Q M 4222 2222 4222 2222 42 22[ ( , ) ( , )]� � 4222 42224222( )M dsM � � �� S Y Y Z MZS Q M ZS Q M 4222 422222 4222 2222 42 22[ ( , ) ( , )]� � 22 42224222( )M dsM � � � �� S Y X Y Z X zCR Q M CR Q M 4222 2222 4222 2222 42 22[ ( , ) ( , )] ( )M dsM4222 4222 � Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî 82 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 3 � �� S Y Y Z zCR Q M CR Q M M 4222 2222 4222 2222 42 22 4[ ( , ) ( , )] ( 222 4222 ) dsM � � � F Qz ZYX 2 2222( ), Q S2222 2222� . (15) Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: � � �X Y Y YZS Q M ZS Q M ZS Q M( , ) ( , ) ( ,2222 2222 2222 2222 2222� � 2222X ), � � �X Y Z Y Z YZS Q M ZS Q M ZS Q( , ) ( , ) (2222 22 22 2222 22 22 2222� � , )M Z X22 22 , � X Y Y YCR Q M CR Q M CR Q M( , ) ( , ) ( ,2222 2222 2222 2222 2222� � 2222X ), � X Y Z Y Z YCR Q M CR Q M CR Q( , ) ( , ) (2222 22 22 2222 22 22 2222� � , ),M Z X22 22 � X Y Y YZC Q M ZC Q M ZC Q M( , ) ( , ) ( ,2222 3222 2222 3222 2222� � 3222X ), � X Y Z Y Z YZC Q M ZC Q M ZC Q( , ) ( , ) (2222 32 22 2222 32 22 2222� � , ),M Z X32 22 � � �X Y Y YZS Q M ZS Q M ZS Q M( , ) ( , ) ( ,2222 3222 2222 3222 2222� � 3222X ), � � �X Y Z Y Z YZS Q M ZS Q M ZS Q( , ) ( , ) (2222 32 22 2222 32 22 2222� � , )M Z X32 22 , � � �X Y Y YZS Q M ZS Q M ZS Q M( , ) ( , ) ( ,2222 4222 2222 4222 2222� � 4222X ), � � �X Y Z Y Z YZS Q M ZS Q M ZS Q( , ) ( , ) (2222 42 22 2222 42 22 2222� � , ),M Z X42 22 � X Y Y YCR Q M CR Q M CR Q M( , ) ( , ) ( ,2222 4222 2222 4222 2222� � 4222X ), � X Y Z Y Z YCR Q M CR Q M CR Q( , ) ( , ) (2222 42 22 2222 42 22 2222� � , )M Z X42 22 . (16) Ñ ó÷åòîì (16) ÈÓ (15) ïðèìåò âèä 2 2222 2222 2222 2222 � � z S X YQ ZS Q M( ) [ ( , )� �� X Y Z M MZS Q M M ds( , )] ( )2222 22 22 22222222 2222 � � �� S X Y X Y ZCR Q M CR Q M 2222 2222 2222 2222 22 22[ ( , ) ( , )]� � � � � �� z M S X YM ds ZC Q M( ) [ ( , )2222 2222 32222222 3222 � � �� X Y Z M MZC Q M M ds( , )] ( )2222 32 22 32223222 3222 � � � �� S X Y X Y ZZS Q M ZS Q M 3222 2222 3222 2222 32 22[ ( , ) ( , )] � � Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ ñèììåòðè÷íûõ ñîñòàâëÿþùèõ òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 3 83 � � �� M M S X YM ds ZS Q M 3222 3222 4222 3222 2222 4222( ) [ ( , ) � � � �X Y Z M MZS Q M M ds( , )] ( )2222 42 22 42224222 4222 � � �� S X Y X Y ZCR Q M CR Q M 4222 2222 4222 2222 42 22[ ( , ) ( , )]� � � � � z M z ZYXM ds F Q( ) ( )4222 2 22224222 , Q S2222 2222� . (17) Ïðåîáðàçîâàíèå ÈÓ (24 ) è (29) èç [4] ñ ó÷åòîì ñèììåòðèè ïî êîîð- äèíàòå X â ïëîòíîñòÿõ èñòî÷íèêîâ ÑÑ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. ÈÓ (24) è (29) èç [4] ïðåîáðàçóþòñÿ ñ ó÷åòîì ñèììåòðèè ïî êîîðäèíàòå X â ïëîòíîñòÿõ èñòî÷íèêîâ ÑÑ ìàãíèòíîãî ïîëÿ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî ñäåëàíî âûøå äëÿ ÈÓ (13) è (16) èç [4]. Ïîýòîìó ïðèâåäåì îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò ýòèõ ïðåîáðàçîâàíèé äëÿ ÈÓ (24) èç [4]: 2 3222 2222 22223222 2222 � � � Q S MQ M( ) ( )� �� [ ( , ) ( , )] � �X Y X Y Z MZS Q M ZS Q M ds3222 2222 3222 22 22 2222 � � �� S z X Y X YM CR Q M CR Q 2222 2222 3222 2222 3222 ( ) [ ( , ) ( ,� � M dsZ M22 22 2222 )] � � �� S M X Y MM ZC Q M ds 3222 3222 32223222 3222 3222 � ( ) [ ( , )]� � �� S M X Y Z MM ZS Q M ds 3222 3222 3223222 3222 32 22 ( ) [ ( , )] � 2 � � �� S M X Y X YM ZS Q M ZS Q 4222 4222 4222 3222 4222 ( )[ ( , ) ( � � 3222 42 22 4222 , )]M dsZ M � � �� S z X Y X YM CR Q M CR Q 4222 4222 3222 4222 3222 ( ) [ ( , ) ( ,� � M dsZ M42 22 4222 )] � � � F QZYX 3 3222� ( ), Q S3222 3222� , (18) ãäå � � �X Y Y YZS Q M ZS Q M ZS Q M( , ) ( , ) ( ,3222 2222 3222 2222 3222� � 2222X ), � � �X Y Z Y Z YZS Q M ZS Q M ZS Q( , ) ( , ) (3222 22 22 3222 22 22 3222� � , )M Z X22 22 , � X Y Y YCR Q M CR Q M CR Q M( , ) ( , ) ( ,3222 2222 3222 2222 3222� � 2222X ), Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî 84 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 3 � X Y Z Y Z YCR Q M CR Q M CR Q( , ) ( , ) (3222 22 22 3222 22 22 3222� � , ),M Z X22 22 � X Y Z Y Z YZC Q M ZC Q M ZC Q( , ) ( , ) (3222 32 22 3222 32 22 3222� � , ),M Z X32 22 � � �X Y Z Y Z YZS Q M ZS Q M ZS Q( , ) ( , ) (3222 32 22 3222 32 22 3222� � , )M Z X32 22 , � � �X Y Y YZS Q M ZS Q M ZS Q M( , ) ( , ) ( ,3222 4222 3222 4222 3222� � 4222X ), � � �X Y Z Y Z YZS Q M ZS Q M ZS Q( , ) ( , ) (3222 42 22 3222 42 22 3222� � , )M Z X42 22 . � X Y Y YCR Q M CR Q M CR Q M( , ) ( , ) ( ,3222 4222 3222 4222 3222� � 4222X ), � X Y Z Y Z YCR Q M CR Q M CR Q( , ) ( , ) (3222 42 22 3222 42 22 3222� � , )M Z X42 22 . (19) Â ðåçóëüòàòå ïðåîáðàçîâûâàÿ ÈÓ (29) èç [4] ïîëó÷èì 2 3222 3222 � � Q Q( )� � � �� S M X Y X YM ZC Q M ZC 2222 2222 2222 3222 2222 ( )[ ( , ) ( � � Q M dsZ M3222 22 22 2222 , )] � � �� S z X Y X YM SR Q M SR Q 2222 2222 3222 2222 3222 ( ) [ ( , ) ( ,� � M dsZ M22 22 2222 )] � � � S M X Y Z MM ZS Q M ds 3222 3222 32223222 3222 32 22 � ( ) [ ( , )]� � � � S M X Y Z MM ZC Q M ds 3222 3222 32223222 3222 32 22 ( ) [ ( , )] � � � � �� S M X Y X YM ZC Q M ZC 4222 4222 4222 3222 4222 ( )[ ( , ) ( � � Q M dsZ M3222 42 22 4222 , )] � � �� S z X Y X YM SR Q M SR Q 4222 4222 3222 4222 3222 ( ) [ ( , ) ( ,� � M dsZ M42 22 4222 )] � � � F QZYX 3 3222 ( ), Q S3222 3222� , (20) ãäå � � �X Y Y YZS Q M ZC Q M ZC Q M( , ) ( , ) ( ,3222 2222 3222 2222 3222� � 2222X ), � � �X Y Z Y Z YZC Q M ZC Q M ZC Q( , ) ( , ) (3222 22 22 3222 22 22 3222� � , )M Z X22 22 , � X Y Y YSR Q M SR Q M SR Q M( , ) ( , ) ( ,3222 2222 3222 2222 3222� � 2222X ), � X Y Z Y Z YSR Q M SR Q M SR Q( , ) ( , ) (3222 22 22 3222 22 22 3222� � , )M Z X22 22 , � X Y Z Y Z YZS Q M ZS Q M ZS Q( , ) ( , ) (3222 32 22 3222 32 22 3222� � , )M Z X32 22 , Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ ñèììåòðè÷íûõ ñîñòàâëÿþùèõ òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 3 85 � � �X Y Z Y Z YZC Q M ZC Q M ZC Q( , ) ( , ) (3222 32 22 3222 32 22 3222� � , )M Z X32 22 , � � �X Y Y YZC Q M ZC Q M ZC Q M( , ) ( , ) ( ,3222 4222 3222 4222 3222� � 4222X ), � � �X Y Z Y Z YZC Q M ZC Q M ZC Q( , ) ( , ) (3222 42 22 3222 42 22 3222� � , )M Z X42 22 . � X Y Y YSR Q M SR Q M SR Q M( , ) ( , ) ( ,3222 4222 3222 4222 3222� � 4222X ), � X Y Z Y Z YSR Q M SR Q M SR Q( , ) ( , ) (3222 42 22 3222 42 22 3222� � , )M Z X42 22 . (21) Ðåçóëüòàò ïðåîáðàçîâàíèÿ ÈÓ (36) è (41) èç [4] ñ ó÷åòîì ñèììåòðèè ïî êîîðäèíàòå X â ïëîòíîñòÿõ èñòî÷íèêîâ ÑÑ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. ÈÓ (36) è (41) èç [4] ïðåîáðàçóþòñÿ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî ñäåëàíî äëÿ ÈÓ (13) è (16) èç [4]. Ïîýòîìó ïðèâåäåì îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò ýòèõ ïðåîá- ðàçîâàíèé. Äëÿ ÈÓ (36) èç [4], ïîëó÷åíî ñëåäóþùåå óðàâíåíèå: 2 4222 4222 � � Q Q( ) � � �� S M X Y X YM RC Q M RC Q 2222 2222 2222 4222 2222 ( ) [ ( , ) ( � � 4222 22 22 2222 , )]M dsZ M � � �� S M X Y X YM RS Q M RS Q 3222 3222 3222 4222 3222 � ( ) [ ( , ) (� � 4222 32 22 3222 , )]M dsZ M � � �� S M X Y X YM RC Q M RC Q 3222 3222 3222 4222 3222 ( ) [ ( , ) ( � � 4222 32 22 3222 , )]M dsZ M � � �� S M X Y X YM RC Q M RC Q 4222 4222 4222 4222 4222 ( ) [ ( , ) ( � � 4222 42 22 4222 , )]M dsZ M � � � F QZYX 4 4222 ( ), Q S4222 4222� , (22) ãäå � � �X Y Y YRC Q M RC Q M RC Q M( , ) ( , ) ( ,4222 2222 4222 2222 4222� � 2222X ), � � �X Y Z Y Z YRC Q M RC Q M RC Q( , ) ( , ) (4222 22 22 4222 22 22 4222� � , )M Z X22 22 , � X Y Y YRS Q M RS Q M RS Q M( , ) ( , ) ( ,4222 3222 4222 3222 4222� � 3222X ), � X Y Z Y Z YRS Q M RS Q M RS Q( , ) ( , ) (4222 32 22 4222 32 22 4222� � , )M Z X32 22 , � � �X Y Y YRC Q M RC Q M RC Q M( , ) ( , ) ( ,4222 3222 4222 3222 4222� � 3222X ), � � �X Y Z Y Z YRC Q M RC Q M RC Q( , ) ( , ) (4222 32 22 4222 32 22 4222� � , )M Z X32 22 , � � �X Y Y YRC Q M RC Q M RC Q M( , ) ( , ) ( ,4222 4222 4222 4222 4222� � 4222X ), � � �X Y Z Y Z YRC Q M RC Q M RC Q( , ) ( , ) (4222 42 22 4222 42 22 4222� � , )M Z X42 22 . (23) Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî 86 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 3 Â ðåçóëüòàòå ïðåîáðàçîâàíèÿ ÈÓ (41) èç [4] ïîëó÷åíî ñëåäóþùåå ÈÓ: 2 4222 � � z Q( )� � �� S M X Y X YM ZS Q M ZS Q 2222 2222 2222 4222 2222 ( )[ ( , ) ( � � 4222 22 22 2222 , )]M dsZ M � � �� S z X Y X YM RC Q M RC Q 2222 2222 4222 2222 4222 ( )[ ( , ) ( ,� � M dsZ M22 22 2222 )] � � �� S M X Y X YM ZC Q M ZC Q 3222 3222 3222 4222 3222 � ( )[ ( , ) (� � 4222 32 22 3222 , )]M dsZ M � � �� S M X Y X YM ZS Q M ZS Q 3222 3222 3222 4222 3222 ( )[ ( , ) ( � � 4222 32 22 3222 , )]M dsZ M � � �� S M X Y X YM ZS Q M ZS Q 4222 4222 4222 4222 4222 ( )[ ( , ) ( � � 4222 42 22 4222 , )]M dsZ M � � �� S z X Y X YM RC Q M RC Q 4222 4222 4222 4222 4222 ( )[ ( , ) ( ,� � M dsZ M42 22 4222 )] � � � F Qz ZYX 4 4222( ), Q S4222 4222� , (24) ãäå � � �X Y Y YZS Q M ZS Q M ZS Q M( , ) ( , ) ( ,4222 2222 4222 2222 4222� � 2222X ), � � �X Y Z Y Z YZS Q M ZS Q M ZS Q( , ) ( , ) (4222 22 22 4222 22 22 4222� � , )M Z X22 22 , � X Y Y YRC Q M RC Q M RC Q M( , ) ( , ) ( ,4222 2222 4222 2222 4222� � 2222X ), � X Y Z Y Z YRC Q M RC Q M RC Q( , ) ( , ) (4222 22 22 4222 22 22 4222� � , )M Z X22 22 , � X Y Y YZC Q M ZC Q M ZC Q M( , ) ( , ) ( ,4222 3222 4222 3222 4222� � 3222X ), � X Y Z Y Z YZC Q M ZC Q M ZC Q( , ) ( , ) (4222 32 22 4222 32 22 4222� � , )M Z X32 22 , � � �X Y Y YZS Q M ZS Q M ZS Q M( , ) ( , ) ( ,4222 3222 4222 3222 4222� � 3222X ), � � �X Y Z Y Z YZS Q M ZS Q M ZS Q( , ) ( , ) (4222 32 22 4222 32 22 4222� � , )M Z X32 22 , � � �X Y Y YZS Q M ZS Q M ZS Q M( , ) ( , ) ( ,4222 4222 4222 4222 4222� � 4222X ), Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ ñèììåòðè÷íûõ ñîñòàâëÿþùèõ òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 3 87 � � �X Y Z Y Z YZS Q M ZS Q M ZS Q( , ) ( , ) (4222 42 22 4222 42 22 4222� � , )M Z X42 22 , � X Y Y YRC Q M RC Q M RC Q M( , ) ( , ) ( ,4222 4222 4222 4222 4222� � 4222X ), � X Y Z Y Z YRC Q M RC Q M RC Q( , ) ( , ) (4222 42 22 4222 42 22 4222� � , )M Z X42 22 . (25) Âûâîäû Òàêèì îáðàçîì, ïðåîáðàçîâàíà ïîëó÷åííàÿ â [4] ÑêÑÈÓ ñ ó÷åòîì ñîîòíî- øåíèé ñèììåòðèè ïî êîîðäèíàòå X â ïðîåêöèÿõ íà îñè öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò âåêòîðîâ ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ k-é ÑÑ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ íîâîé ÑêÑÈÓ (11), (17), (18), (20), (22), (24) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòü ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà ñòàòîðà, ëåæàùàÿ âûøå êîîðäè- íàòíîé ïëîñêîñòè XOY, ñïðàâà îò êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè XOZ, ïåðåä êîîð- äèíàòíîé ïëîñêîñòüþ YOZ, êîòîðîé ïðèíàäëåæàò òî÷êè M X Y ZM M M( , , ) ñ êîîðäèíàòàìè ZM � 0, YM � 0, X M � 0. Ýòî ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî ñî- êðàòèòü îáúåì âû÷èñëåíèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ ñîñòàâëåíèÿ ìàòðèöû àïïðîê- ñèìèðóþùåé àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìû è åå ðåøåíèÿ. The vector system of integral equations for the vectors of source density of the kth symmetrical component (SC) of magnetic field of the stator of cylindrical three-phase electromagnetic stirrer has been transformed to the scalar system of integral equations (ScSIE) in respect of the projec- tion of density vectors of the sources of kth SC of the magnetic field on the axis of cylindrical sys- tem of coordinates with allowance for symmetry on Z, Y, X coordinates in projections of densities of the sources of the kth SC of magnetic field of the stator. Part of the stator core surface, the points M X Y ZM M M( , , )with coordinates ZM � 0,Y M � 0, X M � 0 belonging to it, is the domain of definition of ScSIE obtained after the above transformations. This allows reducing consider- ably the volume of calculations connected with composing the matrix of approximating algebraic system and its solution. 1. Åâäîêèìîâ Â.Ô., Êó÷àåâ À.À., Ïåòðóøåíêî Å.È., Êó÷àåâ Â.À. Ìîäåëü òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà öèëèíäðè÷åñêîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïåðåìåøèâàòåëÿ ñ ó÷åòîì ðàñïðåäåëåíèÿ òîêîâ íàìàãíè÷åííîñòè ïî ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà. I // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2012. — 34, ¹ 1. — Ñ. 48—51. 2. Åâäîêèìîâ Â.Ô., Êó÷àåâ À.À., Ïåòðóøåíêî Å.È., Êó÷àåâ Â.À. Ìîäåëü òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà öèëèíäðè÷åñêîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïåðåìåøèâàòåëÿ ñ ó÷åòîì ðàñïðåäåëåíèÿ òîêîâ íàìàãíè÷åííîñòè ïî ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà. II // Òàì æå. — 2012. — 34, ¹ 2. — Ñ. 51—75. 3. Åâäîêèìîâ Â.Ô., Ïåòðóøåíêî Å.È., Êó÷àåâ Â.À. Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî âðàùàþùåãîñÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà öèëèíäðè÷åñêîãî ÝÌÏ íà îñíîâå ñèììåò- ðè÷íûõ ñîñòàâëÿþùèõ. I // Òàì æå. — 2012. — 34, ¹ 6. — Ñ. 3—15. Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî 88 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 3 4. Åâäîêèìîâ Â.Ô., Ïåòðóøåíêî Å.È., Êó÷àåâ Â.À. Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî âðàùàþùåãîñÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà öèëèíäðè÷åñêîãî ÝÌÏ íà îñíîâå ñèììåò- ðè÷íûõ ñîñòàâëÿþùèõ. II // Òàì æå. — 2013. — 35, ¹ 1. — Ñ. 15—42. Ïîñòóïèëà 08.04.13; ïîñëå äîðàáîòêè 27.05.13 ÅÂÄÎÊÈÌÎÂ Âèêòîð Ôåäîðîâè÷, ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû, äèðåêòîð Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðî- âàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû. Â 1963 ã. îêîí÷èë Õàðüêîâñêèé ïîëèòåõíè- ÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — òåîðèÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññîâ è ñèñòåì â ýíåðãåòèêå, òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíî-îðèåíòèðîâàííûõ êîìïüþòåðíûõ ñèñòåì, àíàëèç è ñèí- òåç ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìåòîäîâ è ñèñòåì. ÏÅÒÐÓØÅÍÊÎ Åâãåíèé Èâàíîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, ñò. íàó÷. ñîòð., çàâ. îòäåëîì ìîäåëèðî- âàíèÿ çàäà÷ ýëåêòðîìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêè Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû. Â 1960 ã. îêîí÷èë Íîâî÷åðêàññêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò, à â 1963 ã. — Ðîñòîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìîäåëèðîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé. Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ ñèììåòðè÷íûõ ñîñòàâëÿþùèõ òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 3 89
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100848
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0204-3572
language	Russian
last_indexed	2025-11-29T11:49:13Z
publishDate	2013
publisher	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
record_format	dspace
spelling	Евдокимов, В.Ф. Петрушенко, Е.И. 2016-05-27T16:07:17Z 2016-05-27T16:07:17Z 2013 Интегральные уравнения симметричных составляющих трехмерного магнитного поля статора цилиндрического электромагнитного перемешивателя / В.Ф. Евдокимов, Е.И. Петрушенко // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 3. — С. 75-89. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100848 519.711.3:631.382.2:669.174 Векторная система интегральных уравнений для векторов плотности источников k-й симметричной составляющей (СС) магнитного поля статора цилиндрического трехфазного электромагнитного перемешивателя преобразована к скалярной системе интегральных уравнений (СкСИУ) относительно проекции на оси цилиндрической системы координат векторов плотности источников k-й СС магнитного поля с учетом симметрии по координатам Z, Y, X в проекциях плотностей источников k-й СС магнитного поля статора. Областью определения СкСИУ, полученной после указанных преобразований, является часть поверхности магнитопровода статора, которой принадлежат точки M (XM, YM, ZM) с координатами ZM>=0, YM>=0, XM>=0. Это позволяет существенно сократить объем вычислений, связанных с составлением матрицы аппроксимирующей алгебраической системы и ее решением. Векторну систему інтегральних рівнянь для векторів щільності джерел k-ї симетричної складової (СС) магнітного поля статора циліндричного трифазного електромагнітного перемішувача перетворено у скалярну систему інтегральних рівнянь (СкСІР) відносно проекції на осі циліндричної системи координат векторів щільності джерел k-ї СС магнітного поля з урахуванням симетрій по координатам Z, Y, Xв проекціях щільності джерел k-ї СС магнітного поля статора. Областю визначення СкСІР, отриманою після вказаних перетворень, є частина поверхні магнітопроводу статора, якій належать точки MX Y ZM M M( , , ) з координатами ZM. 0, YM. 0, XM. 0. Це дозволяє істотно скоротити об’єм обчислень, пов’язаних із складанням матриці апроксимуючої алгебраїчної системи та її розв’язком. The vector system of integral equations for the vectors of source density of the kth symmetrical component (SC) of magnetic field of the stator of cylindrical three-phase electromagnetic stirrer has been transformed to the scalar system of integral equations (ScSIE) in respect of the projection of density vectors of the sources of kth SC of the magnetic field on the axis of cylindrical system of coordinates with allowance for symmetry on Z, Y, X coordinates in projections of densities of the sources of the kth SC of magnetic field of the stator. Part of the stator core surface, the pointsM X Y Z M M M ( , , )with coordinates ZM 0,YM 0, X M 0 belonging to it, is the domain of definition of ScSIE obtained after the above transformations. This allows reducing considerably the volume of calculations connected with composing the matrix of approximating algebraic system and its solution. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Применение методов и средств моделирования Интегральные уравнения симметричных составляющих трехмерного магнитного поля статора цилиндрического электромагнитного перемешивателя Article published earlier
spellingShingle	Интегральные уравнения симметричных составляющих трехмерного магнитного поля статора цилиндрического электромагнитного перемешивателя Евдокимов, В.Ф. Петрушенко, Е.И. Применение методов и средств моделирования
title	Интегральные уравнения симметричных составляющих трехмерного магнитного поля статора цилиндрического электромагнитного перемешивателя
title_full	Интегральные уравнения симметричных составляющих трехмерного магнитного поля статора цилиндрического электромагнитного перемешивателя
title_fullStr	Интегральные уравнения симметричных составляющих трехмерного магнитного поля статора цилиндрического электромагнитного перемешивателя
title_full_unstemmed	Интегральные уравнения симметричных составляющих трехмерного магнитного поля статора цилиндрического электромагнитного перемешивателя
title_short	Интегральные уравнения симметричных составляющих трехмерного магнитного поля статора цилиндрического электромагнитного перемешивателя
title_sort	интегральные уравнения симметричных составляющих трехмерного магнитного поля статора цилиндрического электромагнитного перемешивателя
topic	Применение методов и средств моделирования
topic_facet	Применение методов и средств моделирования
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100848
work_keys_str_mv	AT evdokimovvf integralʹnyeuravneniâsimmetričnyhsostavlâûŝihtrehmernogomagnitnogopolâstatoracilindričeskogoélektromagnitnogoperemešivatelâ AT petrušenkoei integralʹnyeuravneniâsimmetričnyhsostavlâûŝihtrehmernogomagnitnogopolâstatoracilindričeskogoélektromagnitnogoperemešivatelâ

Интегральные уравнения симметричных составляющих трехмерного магнитного поля статора цилиндрического электромагнитного перемешивателя

Репозитарії

Схожі ресурси