Метод построения кода Бергера с повышенной эффективностью обнаружения ошибок в информационных разрядах
Рассмотрен новый класс кодов с суммированием взвешенных информационных разрядов. Определено простое соотношение весов информационных разрядов, позволяющее построить код для обнаружения ошибок в информационных векторах, более эффективный, чем известный классический код с суммированием (код Бергера)....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Электронное моделирование |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100853 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Метод построения кода Бергера с повышенной эффективностью обнаружения ошибок в информационных разрядах / В.В. Сапожников, Вл.В. Сапожников, Д.В. Ефанов, Д.А. Никитин // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 4. — С. 21-34 . — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859943725949517824 |
|---|---|
| author | Сапожников, В.В. Сапожников, Вл.В. Ефанов, Д.В. Никитин, Д.А. |
| author_facet | Сапожников, В.В. Сапожников, Вл.В. Ефанов, Д.В. Никитин, Д.А. |
| citation_txt | Метод построения кода Бергера с повышенной эффективностью обнаружения ошибок в информационных разрядах / В.В. Сапожников, Вл.В. Сапожников, Д.В. Ефанов, Д.А. Никитин // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 4. — С. 21-34 . — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Рассмотрен новый класс кодов с суммированием взвешенных информационных разрядов. Определено простое соотношение весов информационных разрядов, позволяющее построить код для обнаружения ошибок в информационных векторах, более эффективный, чем известный классический код с суммированием (код Бергера). Новый код обладает всеми свойствами классического. Выполнено сравнение возможностей кодов обнаруживать.
Розглянуто новий клас кодів з підсумовуванням зважених інформаційних розрядів. Визначено просте співвідношення ваги інформаційних розрядів, яке дозволяє побудувати код для виявлення похибок в інформаційних векторах, ефективніший, ніж відомий класичний код з підсумовуванням (код Бергера). Новий код має всі властивості класичного. Виконано порівняння можливостей кодів виявляти похибки в схемах функціонального контролю.
A new class of codes with summation of weighted data bits, has been considered in the paper. A simple ratio of data bits’ weights has been defined; it allows us to construct a more efficient (from the standpoint of detecting errors in the data vectors of the code) method, than the well-known classical Berger code. The “weight-based” code has all the properties of the Berger code. Potentialities of the two codes for error detection in concurrent error detection circuits have been compared.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:12:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 681.518.5
Â.Â. Ñàïîæíèêîâ, Âë.Â. Ñàïîæíèêîâ, ä-ðà òåõí. íàóê,
Ä.Â. Åôàíîâ, êàíä. òåõí. íàóê, Ä.À. Íèêèòèí
Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå áþäæåòíîå îáðàçîâàòåëüíîå
ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ
«Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò ïóòåé ñîîáùåíèÿ»
(ÐÔ, 190031, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Ìîñêîâñêèé ïð., 9,
òåë. +7-9117092164, +7-(812) 4578579, e-mail: TrES-4b@yandex.ru)
Ìåòîä ïîñòðîåíèÿ êîäà Áåðãåðà
ñ ïîâûøåííîé ýôôåêòèâíîñòüþ îáíàðóæåíèÿ
îøèáîê â èíôîðìàöèîííûõ ðàçðÿäàõ
Ðàññìîòðåí íîâûé êëàññ êîäîâ ñ ñóììèðîâàíèåì âçâåøåííûõ èíôîðìàöèîííûõ ðàçðÿäîâ.
Îïðåäåëåíî ïðîñòîå ñîîòíîøåíèå âåñîâ èíôîðìàöèîííûõ ðàçðÿäîâ, ïîçâîëÿþùåå ïîñò-
ðîèòü êîä äëÿ îáíàðóæåíèÿ îøèáîê â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ, áîëåå ýôôåêòèâíûé,
÷åì èçâåñòíûé êëàññè÷åñêèé êîä ñ ñóììèðîâàíèåì (êîä Áåðãåðà). Íîâûé êîä îáëàäàåò
âñåìè ñâîéñòâàìè êëàññè÷åñêîãî. Âûïîëíåíî ñðàâíåíèå âîçìîæíîñòåé êîäîâ îáíàðóæè-
âàòü îøèáêè â ñõåìàõ ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ.
Ðîçãëÿíóòî íîâèé êëàñ êîä³â ç ï³äñóìîâóâàííÿì çâàæåíèõ ³íôîðìàö³éíèõ ðîçðÿä³â. Âè-
çíà÷åíî ïðîñòå ñï³ââ³äíîøåííÿ âàãè ³íôîðìàö³éíèõ ðîçðÿä³â, ÿêå äîçâîëÿº ïîáóäóâàòè
êîä äëÿ âèÿâëåííÿ ïîõèáîê â ³íôîðìàö³éíèõ âåêòîðàõ, åôåêòèâí³øèé, í³æ â³äîìèé êëà-
ñè÷íèé êîä ç ï³äñóìîâóâàííÿì (êîä Áåðãåðà). Íîâèé êîä ìຠâñ³ âëàñòèâîñò³ êëàñè÷íîãî.
Âèêîíàíî ïîð³âíÿííÿ ìîæëèâîñòåé êîä³â âèÿâëÿòè ïîõèáêè â ñõåìàõ ôóíêö³îíàëüíîãî
êîíòðîëþ.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ôóíêöèîíàëüíûé êîíòðîëü, íåîáíàðóæèâàåìàÿ îøèáêà, èíôîðìà-
öèîííûå ðàçðÿäû, êîä Áåðãåðà, âçâåøåííûé êîä ñ ñóììèðîâàíèåì, ñâîéñòâà êîäîâ.
Äëÿ ïîâûøåíèÿ íàäåæíîñòè ðàáîòû êîìáèíàöèîííûõ ëîãè÷åñêèõ óñò-
ðîéñòâ îðãàíèçóþòñÿ ñèñòåìû èõ ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ [1—3]. Â òà-
êèõ ñèñòåìàõ èñõîäíàÿ êîìáèíàöèîííàÿ ñõåìà F (x) äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðÿäà
ðàáî÷èõ áóëåâûõ ôóíêöèé f x1( ), f x2( ), …, f xm( ) ñíàáæàåòñÿ áëîêîì äî-
ïîëíèòåëüíîé ëîãèêè G (x), ôîðìèðóþùèì ïî çíà÷åíèÿì âõîäîâ êîíò-
ðîëüíûå ñèãíàëû g1 (x), g2 (x), …, gk (x). Ïðè ýòîì íà âûõîäàõ áëîêà F (x) â
ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ïîÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûé èíôîðìàöèîííûé
âåêòîð äëèíû m, à íà âûõîäàõ êîíòðîëüíîãî áëîêà G (x) — ñîîòâåòñòâóþ-
ùèé åìó êîíòðîëüíûé âåêòîð äëèíû k. Ôàêò ýòîãî ñîîòâåòñòâèÿ óñòàíàâ-
ëèâàåòñÿ ñàìîïðîâåðÿåìîé ñõåìîé òåñòåðà [4].
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 4 21
� Â.Â. Ñàïîæíèêîâ, Âë.Â. Ñàïîæíèêîâ, Ä.Â. Åôàíîâ, Ä.À. Íèêèòèí, 2013
 èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 1 ñõåìå âûõîäû áëîêîâ F x( ) è G x( ) ÷àñòî
ñîïîñòàâëÿþò ñ êîäîâûìè âåêòîðàìè íåêîòîðîãî çàðàíåå âûáðàííîãî ðàâ-
íîìåðíîãî ðàçäåëèìîãî ïîìåõîóñòîé÷èâîãî êîäà [5]. Ïðàâèëà ïîñòðîåíèÿ
âûáðàííîãî êîäà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò òàêèå âàæíûå õàðàêòåðèñòèêè
ñèñòåìû ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ êàê âîçìîæíîñòè ïî îáíàðóæåíèþ
îøèáîê â èíôîðìàöèîííûõ ðàçðÿäàõ è ñëîæíîñòü êîíòðîëüíîãî îáîðó-
äîâàíèÿ. Çàäà÷à ñèíòåçà êîíòðîëåïðèãîäíîé ñõåìû ñâîäèòñÿ ê ïîñòðîå-
íèþ ñèñòåìû ñ ìàêñèìàëüíûì îáíàðóæåíèåì îøèáîê íà âûõîäàõ, ÿâëÿþ-
ùèõñÿ ñëåäñòâèåì ïîòåíöèàëüíîãî âîçíèêíîâåíèÿ ñáîåâ âî âíóòðåííåé
ñòðóêòóðå êîíòðîëèðóåìîãî óñòðîéñòâà, ïðè ìèíèìàëüíîé ñëîæíîñòè
êîíòðîëüíîãî îáîðóäîâàíèÿ. Ïðè ýòîì â ïðîöåññå ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñõå-
ìû íà âûõîäàõ f x1( ), f x2( ), ..., f xm( ), g x1( ), g x2( ), ..., g xk ( ) äîëæíû ôîðìè-
ðîâàòüñÿ âñå íåîáõîäèìûå òåñòîâûå íàáîðû äëÿ îáåñïå÷åíèÿ ñâîéñòâà
ñàìîïðîâåðÿåìîñòè òåñòåðà [4].
Ýôôåêòèâíûì ïðè îðãàíèçàöèè ñèñòåì ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ
ÿâëÿåòñÿ ïðèìåíåíèå êîäîâ ñ ñóììèðîâàíèåì (êîäîâ Áåðãåðà [6]) è èõ
ìîäèôèêàöèé. Ñâîéñòâà äàííîãî êëàññà êîäîâ ïî îáíàðóæåíèþ îøèáîê â
êîíòðîëèðóåìîì ëîãè÷åñêîì óñòðîéñòâå ïîäðîáíî îïèñàíû â [7—11].
Ðàññìîòðèì íîâûé òèï êîäîâ ñ ñóììèðîâàíèåì, îáëàäàþùèõ âñåìè
îñíîâíûìè îñîáåííîñòÿìè êëàññè÷åñêèõ êîäîâ Áåðãåðà è èìåþùèõ ìåíü-
øåå ÷èñëî íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê â èíôîðìàöèîííûõ ðàçðÿäàõ.
Êëàññè÷åñêèå è âçâåøåííûå êîäû ñ ñóììèðîâàíèåì. Ðàññìîòðèì
êëàññè÷åñêèé êîä ñ ñóììèðîâàíèåì — S n m( , )-êîä, ãäå m — äëèíà èíôîð-
ìàöèîííîãî âåêòîðà, n m k� � — îáùàÿ äëèíà êîäîâûõ âåêòîðîâ, k —
äëèíà êîíòðîëüíîãî âåêòîðà. Êîä S n m( , ) îáðàçóåòñÿ ïîñðåäñòâîì ïðèïè-
ñûâàíèÿ ñïðàâà ê èíôîðìàöèîííîìó ñëîâó êîíòðîëüíîãî ñëîâà, êîòîðîå
Â.Â. Ñàïîæíèêîâ, Âë.Â. Ñàïîæíèêîâ, Ä.Â. Åôàíîâ, Ä.À. Íèêèòèí
22 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 4
Ðàáî÷èå
âûõîäû
g1(x)
f2(x)
fm (x)
g2 (x)
ÑÏÒ
f1 (x)
Êîíòðîëüíûå
âûõîäû
x1
x2
xi
F (x)
G (x)
gk (x)
...
...
...
...
...
...
Ðèñ. 1. Ñèñòåìà ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ
ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëó åäèíè÷íûõ èíôîðìàöèîííûõ ðàçðÿäîâ (âåñó r èíôîðìà-
öèîííîãî ñëîâà). Äëèíà êîíòðîëüíîãî ñëîâà çàâèñèò îò m: � �k m� �log ( )2 1
(çàïèñü � �b îçíà÷àåò öåëîå ñâåðõó îò b). Î÷åâèäíî, ÷òî íåñêîëüêèì èíôîð-
ìàöèîííûì âåêòîðàì ñîîòâåòñòâóåò îäíî è òî æå êîíòðîëüíîå ñëîâî. Ïðè
ýòîì èíôîðìàöèîííûå âåêòîðû ðàñïðåäåëåíû ìåæäó êîíòðîëüíûìè âåê-
òîðàìè êðàéíå íåðàâíîìåðíî: îäíî è òî æå êîíòðîëüíîå ñëîâî ñîîòâåòñò-
âóåò C m
r èíôîðìàöèîííûì ñëîâàì.  êà÷åñòâå ïðèìåðà â òàáë. 1 ïðèâåäåíî
ðàñïðåäåëåíèå èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðîâ îòíîñèòåëüíî êîíòðîëüíûõ
âåêòîðîâ äëÿ êëàññè÷åñêîãî êîäà ñ ñóììèðîâàíèåì S (8, 5).
Íåðàâíîìåðíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðîâ ñðåäè
êîíòðîëüíûõ âåêòîðîâ îïðåäåëÿåò äîñòàòî÷íî áîëüøîå çíà÷åíèå îáùåãî
÷èñëà íåîáíàðóæèâàåìûõ èñêàæåíèé â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ [12].
Êàæäîå íåîáíàðóæèâàåìîå èñêàæåíèå â êîäå Áåðãåðà ñîîòâåòñòâóåò ïåðå-
õîäó èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà â äðóãîé èíôîðìàöèîííûé âåêòîð ñ òàêèì
æå êîíòðîëüíûì ñëîâîì, ò.å. ïåðåõîäó âíóòðè îäíîé êîíòðîëüíîé ãðóïïû
(ñì. òàáë. 1).
Òàáëè÷íàÿ ôîðìà çàäàíèÿ êîäà ñ ñóììèðîâàíèåì óäîáíà, òàê êàê äàåò
ïîëíîå ïðåäñòàâëåíèå î ñâîéñòâàõ íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê â èíôîðìà-
öèîííûõ âåêòîðàõ. Ïîñêîëüêó âñå âåêòîðû â ãðóïïå èìåþò îäèí è òîò æå
âåñ, â êîäå Áåðãåðà íå îáíàðóæèâàþòñÿ òîëüêî ðàçíîíàïðàâëåííûå èñêà-
æåíèÿ ÷åòíîé êðàòíîñòè, âêëþ÷àþùèå â ñåáÿ ãðóïïû èñêàæåíèé 0 1� è
1 0� . Íàïðèìåð, â êîäå S (8, 5) Nm = 220, èç íèõ 160 äâóêðàòíûõ è 60 ÷å-
òûðåõêðàòíûõ. Îáùåå ÷èñëî îøèáîê êðàòíîñòè d â êîäå Áåðãåðà âû÷èñ-
ëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå [7] N C Cm d
m d
m
d
d
d
,
/� �2 2. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî äëÿ ëþ-
Ìåòîä ïîñòðîåíèÿ êîäà Áåðãåðà ñ ïîâûøåííîé ýôôåêòèâíîñòüþ îáíàðóæåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 4 23
000 001 010 011 100 101 110 111
00000 00001 00011 00111 01111 11111
00010 00101 01011 10111
00100 01001 01101 11011
01000 10001 10011 11101
10000 00110 10101 11110
01010 11001
01100 01110
10010 10110
10100 11010
11000 11100
Òàáëèöà 1
áîãî êîäà Áåðãåðà äîëÿ íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê êðàòíîñòè d â èíôîð-
ìàöèîííûõ ðàçðÿäàõ îò îáùåãî ÷èñëà îøèáîê äàííîé êðàòíîñòè íå çàâè-
ñèò îò çíà÷åíèÿ m è ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé:
d
m d
d
m d
m
d
d
d
m
m
d
d
d
dN
N
C C
C
C� � �
�
�,
/
/2
2
2
2
2.
(1)
Óêàçàííîå ñâîéñòâî êîäîâ Áåðãåðà ñâÿçàíî ñ ðàñïðåäåëåíèåì èíôîð-
ìàöèîííûõ âåêòîðîâ îòíîñèòåëüíî êîíòðîëüíûõ, ò.å. ëþáûå èíôîðìà-
öèîííûå âåêòîðû ñ âåñîì r èìåþò îäèíàêîâûå êîíòðîëüíûå ñëîâà.
Èñõîäÿ èç ïðèíöèïà ïîñòðîåíèÿ S (n, m)-êîäà ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü
íåîáíàðóæèâàåìûå îøèáêè â åãî èíôîðìàöèîííûõ ðàçðÿäàõ êàê ðàçíî-
íàïðàâëåííûå îøèáêè ÷åòíûõ êðàòíîñòåé, ÷òî íà ïðàêòèêå ìîæåò áûòü
èñïîëüçîâàíî ïðè ïîñòðîåíèè êîíòðîëåïðèãîäíûõ ëîãè÷åñêèõ ñõåì, áëîê
îñíîâíîé ëîãèêè â êîòîðûõ îáëàäàåò ñâîéñòâîì íåçàâèñèìîñòè èëè ìîíî-
òîííîé íåçàâèñèìîñòè âûõîäîâ [13, 14].
Êàê âèäíî èç òàáë. 1, â ðàññìîòðåííîì êîäå S (8, 5) â ñòîëáöàõ 000 è 101
ðàñïîëîæåíî ïî îäíîìó âåêòîðó, â ñòîëáöàõ 001 è 100 — ïî 5 âåêòîðîâ, â
ñòîëáöàõ 010 è 011 — ïî 10 âåêòîðîâ. Ñòîëáöû <110> è <111> â äàííîì
êîäå ÿâëÿþòñÿ ïóñòûìè. Îíè ñîîòâåòñòâóþò íåèñïîëüçóåìûì êîíòðîëü-
íûì âåêòîðàì. Íåðàâíîìåðíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëîâ ïî êîíòðîëüíûì
ãðóïïàì, à òàêæå íàëè÷èå íåèñïîëüçóåìûõ êîíòðîëüíûõ âåêòîðîâ ÿâ-
ëÿþòñÿ ïðè÷èíîé áîëüøîãî ÷èñëà íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê èíôîðìà-
öèîííûõ ðàçðÿäîâ êîäîâ ñ ñóììèðîâàíèåì. Óñòàíîâëåíî, ÷òî ëþáîé êîä
Áåðãåðà íå îáíàðóæèâàåò 50 % äâóêðàòíûõ è 37,5 % ÷åòûðåõêðàòíûõ
èñêàæåíèé èíôîðìàöèîííûõ ðàçðÿäîâ [7].
 ðàáîòå [12] äîêàçàíà òåîðåìà îá îïòèìàëüíîì êîäå, ñîãëàñíî êîòî-
ðîé íàèìåíüøåå ÷èñëî íåîáíàðóæèâàåìûõ èñêàæåíèé èìååò êîä, ñîäåð-
æàùèé íàèáîëåå ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðîâ
íà ãðóïïû âñåõ âîçìîæíûõ êîíòðîëüíûõ âåêòîðîâ. Îïòèìàëüíûé êîä
èìååò
N m k
m m k
,
min ( )� ��2 2 1 (2)
íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê èíôîðìàöèîííûõ ðàçðÿäîâ.
Ýôôåêòèâíîñòü ëþáîãî êîäà ìîæíî ñðàâíèòü ñ ýôôåêòèâíîñòüþ îïòè-
ìàëüíîãî êîäà ïðè çàäàííûõ m è k. Êîýôôèöèåíò ýôôåêòèâíîñòè
ìîæåò
áûòü îïðåäåëåí êàê îòíîøåíèå ÷èñëà íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê â îïòè-
ìàëüíîì êîäå N m k,
min ê îáùåìó ÷èñëó íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê â ðàññìàò-
ðèâàåìîì êîäå N
m k,
:
� N Nm k m k,
min
,
. (3)
Â.Â. Ñàïîæíèêîâ, Âë.Â. Ñàïîæíèêîâ, Ä.Â. Åôàíîâ, Ä.À. Íèêèòèí
24 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 4
Êîä S (8, 5), ïðåäñòàâëåííûé â òàáë. 1, èìååò ýôôåêòèâíîñòü
= 0,4364.
Èçâåñòåí ñïîñîá óìåíüøåíèÿ ÷èñëà íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê â êîäå
Áåðãåðà, îñíîâàííûé íà ïðèìåíåíèè ïðàâèë ìîäèôèêàöèè êîäà, îáåñïå-
÷èâàþùèõ áîëåå ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðîâ
îòíîñèòåëüíî êîíòðîëüíûõ [12]. Ïðè èñïîëüçîâàíèè äàííîãî ñïîñîáà
ïðåäïîëàãàåòñÿ âûïîëíåíèå îïåðàöèé íàä åäèíè÷íûìè ðàçðÿäàìè ïî ñëå-
äóþùåìó àëãîðèòìó ìîäèôèêàöèè:
1. Âû÷èñëÿåì âåñ èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà r.
2. Âûáèðàåì ìîäóëü � �M
m� � �
2 2 21 2 1 12, ,...,
log ( )
.
3. Îïðåäåëÿåì âåñ r ïî âûáðàííîìó ìîäóëþ (r) mod M.
4. Âû÷èñëÿåì ñïåöèàëüíûé ïîïðàâî÷íûé êîýôôèöèåíò � (ñóììó ïî
ìîäóëþ äâà çàðàíåå âûáðàííûõ èíôîðìàöèîííûõ ðàçðÿäîâ).
5. Îïðåäåëÿåì ðåçóëüòèðóþùèé âåñ èíôîðìàöèîííîãî ñëîâà W =
= (r) mod M + �M.
6. ×èñëî W ïðåäñòàâëÿåì â äâîè÷íîì âèäå.
 ìîäèôèöèðîâàííûõ êîäàõ ñ ñóììèðîâàíèåì (RSM (n, m, i)-êîäàõ,
ãäå i — ÷èñëî èíôîðìàöèîííûõ ðàçðÿäîâ â ëèíåéíîé ñóììå êîýôôèöèåíòà
�), ïîëó÷åííûõ ïî óêàçàííîìó àëãîðèòìó, íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê â
íåñêîëüêî ðàç ìåíüøå, ÷åì â êîäàõ Áåðãåðà ïðè òåõ æå çíà÷åíèÿõ m.
Íàïðèìåð, â êîäå RS4 (8, 5, 1) — 96 äâóêðàòíûõ è 16 ÷åòûðåõêðàòíûõ íå-
îáíàðóæèâàåìûõ èñêàæåíèé, à â êîäå RS4 (8, 5, 2) — 64 äâóêðàòíûõ è 48
÷åòûðåõêðàòíûõ íåîáíàðóæèâàåìûõ èñêàæåíèé. Âñåãî â îáîèõ ìîäèôè-
öèðîâàííûõ êîäàõ ïî 112 íåîáíàðóæèâàåìûõ èñêàæåíèé èíôîðìàöèîí-
íûõ ðàçðÿäîâ, ÷òî ïî÷òè âäâîå ìåíüøå, ÷åì â S (8, 5)-êîäå.
Ïðèìåíåíèå óêàçàííîãî àëãîðèòìà ìîäèôèêàöèè ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü
áîëåå áëèçêèå ê îïòèìàëüíûì êîäû ñ ñóììèðîâàíèåì. Îäíàêî îïåðàöèÿ
ïðèìåíåíèÿ ìîäóëÿ M ïðè ïîäñ÷åòå âåñà ïðèâîäèò ê íàðóøåíèþ âàæíîãî
ñâîéñòâà êëàññè÷åñêèõ êîäîâ Áåðãåðà — âîçìîæíîñòè îáíàðóæåíèÿ âñåõ
îäíîíàïðàâëåííûõ îøèáîê â èíôîðìàöèîííûõ ðàçðÿäàõ. Òàê, äëÿ ðàñ-
ñìàòðèâàåìîãî S (8, 5)-êîäà ïðèìåíåíèå ìîäóëÿ M = 4 ïðè ïîäñ÷åòå âåñà â
âåêòîðå <11111> ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî â êîíòðîëüíîì âåêòîðå óìåíüøàåòñÿ
íà åäèíèöó ÷èñëî ðàçðÿäîâ, è âìåñòî çíà÷åíèÿ <101> îí ïðèíèìàåò çíà÷åíèå
<01>. Ýòîìó æå êîíòðîëüíîìó âåêòîðó ñîîòâåòñòâóþò ñëîâà <00001>,
<00010>, <00100>, <01000> è <10000>. Òàêèì îáðàçîì, ïîÿâëÿåòñÿ 2 · 5 = 10
îäíîíàïðàâëåííûõ íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê (ðèñ. 2).
Àíàëîãè÷íî êàæäûé èç âåêòîðîâ ñ âåñîì r = 4 (âåêòîðû <01111>,
<11110>, <11101>, <11011>, <10111>) ïðè ïðèìåíåíèè ìîäóëÿ ñ÷åòà M = 4
îêàçûâàåòñÿ â îäíîé êîíòðîëüíîé ãðóïïå ñ âåêòîðîì <00000>. Äëÿ äàííîé
ãðóïïû ñóùåñòâóåò òàêæå 10 íåîáíàðóæèâàåìûõ îäíîíàïðàâëåííûõ èñêà-
æåíèé â èíôîðìàöèîííûõ ðàçðÿäàõ. Âñåãî äëÿ ìîäóëüíîãî êîäà ñ ñóììè-
Ìåòîä ïîñòðîåíèÿ êîäà Áåðãåðà ñ ïîâûøåííîé ýôôåêòèâíîñòüþ îáíàðóæåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 4 25
ðîâàíèåì ïðè m = 5 èìååòñÿ 20 ïîäîáíûõ îøèáîê, ÷òî ñîñòàâëÿåò 8,33 %
âñåõ íåîáíàðóæèâàåìûõ èñêàæåíèé èíôîðìàöèîííûõ ðàçðÿäîâ äëÿ äàí-
íîãî êîäà.
Ïîòåðÿ ñâîéñòâà ðàçíîíàïðàâëåííîñòè íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê
èíôîðìàöèîííûõ ðàçðÿäîâ ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî íîâûå RSM (n, m, i)-êîäû
íåëüçÿ ãàðàíòèðîâàííî ýôôåêòèâíî ïðèìåíÿòü ïðè ïîñòðîåíèè ñõåì ôóíê-
öèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ ñ ìîíîòîííûìè è ìîíîòîííî íåçàâèñèìûìè âûõî-
äàìè áëîêà îñíîâíîé ëîãèêè F (x).
Äëÿ ïîâûøåíèÿ ýôôåêòèâíîñòè êîäà ñ ñóììèðîâàíèåì ìîæíî ïðèìåíÿòü
èíîé ïðèíöèï ìîäèôèêàöèè. Ïîëîæèì, ÷òî êàæäûé èíôîðìàöèîííûé ðàç-
ðÿä èìååò íåêîòîðûé çàðàíåå ïðèïèñàííûé åìó âåñ wi, à êîíòðîëüíîå ñëîâî
îòîáðàæàåò äâîè÷íîå çíà÷åíèå ñóììàðíîãî âåñà èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà:
W x w
i
m
i i�
�
1
,
ãäå xi — çíà÷åíèå èíôîðìàöèîííîãî ðàçðÿäà (0 èëè 1) [6, 15, 16]. Ìîæíî
ñ÷èòàòü, ÷òî êëàññè÷åñêèé êîä ñ ñóììèðîâàíèåì (êîä Áåðãåðà) — ýòî
÷àñòíûé ñëó÷àé òàêîãî âçâåøåííîãî êîäà.  ðàññìàòðèâàåìîì êîäå S (8, 5)
âñå èíôîðìàöèîííûå ðàçðÿäû èìåþò âåñ wi = 1. Âçâåøåííûé êîä îáîçíà-
÷èì WS n m w w wm( , ,[ , ,..., ])1 2 , ãäå [ , ,..., ]w w wm1 2 — ìàññèâ âåñîâ èíôîðìà-
öèîííîãî âåêòîðà. Òîãäà êîä S (8, 5) — ýòî WS ( , ,[ , , , , ])8 5 1 1 1 1 1 -êîä.
Ïðè íåêîòîðûõ ñîîòíîøåíèÿõ âåñîâ èíôîðìàöèîííûõ ðàçðÿäîâ âçâå-
øåííûé êîä ñ ñóììèðîâàíèåì ñîõðàíÿåò ñâîéñòâî ðàçíîíàïðàâëåííîñòè
íåîáíàðóæèâàåìûõ èñêàæåíèé èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðîâ, à îáùåå ÷èñëî
íåîáíàðóæèâàåìûõ èñêàæåíèé óìåíüøàåòñÿ. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäî-
âàíèÿ ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíî ðàçðàáîòàííîãî ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ
ïîêàçàëè, ÷òî ê êëàññó ïîäîáíûõ êîäîâ ïðèíàäëåæèò ëþáîé âçâåøåííûé êîä
ñ ñóììèðîâàíèåì, ó êîòîðîãî çíà÷åíèå ëþáîãî (íàïðèìåð, ìëàäøåãî) èíôîð-
ìàöèîííîãî ðàçðÿäà ñîñòàâëÿåò wm �3, ò.å.WS n m( , ,[ , ,..., ])1 1 3 -êîä.
Ðàññìîòðèì âçâåøåííûå êîäû WS n m( , ,[ , ,..., ])1 1 3 , èìåþùèå òàêîå æå
÷èñëî êîíòðîëüíûõ ðàçðÿäîâ, êàê è êëàññè÷åñêèå êîäû ñ ñóììèðîâàíèåì
ïðè òåõ æå çíà÷åíèÿõ m. Ó òàêîãî êîäà âåñà íàõîäÿòñÿ â ñîîòíîøåíèè
� �m w w wm
m� � � � � ��
1 2
1
2 12...
log ( )
.
Â.Â. Ñàïîæíèêîâ, Âë.Â. Ñàïîæíèêîâ, Ä.Â. Åôàíîâ, Ä.À. Íèêèòèí
26 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 4
< 0 0 0 0 1 0 0 1 >
< 0 0 0 1 0 0 0 1 >
< 1 1 1 1 1 0 1 >
< 1 0 0 0 0 0 1 >
à á
Ðèñ. 2. Íåîáíàðóæèâàåìûå îøèáêè: à — ðàçíîíàïðàâëåííûå; á — îäíîíàïðàâëåííûå
Ïóñòü äàíWS ( , ,[ , , , , ])8 5 1 1 1 1 3 -êîä. Ïîêàæåì, ÷òî ÷èñëî íåîáíàðóæèâàå-
ìûõ îøèáîê èíôîðìàöèîííûõ ðàçðÿäîâ â íåì ìåíüøå, ÷åì ó êîäà S (8, 5).
Èíôîðìàöèîííûå âåêòîðû, èìåþùèå åäèíè÷íûé ìëàäøèé èíôîðìà-
öèîííûé ðàçðÿä â òàáëèöå, çàäàþùåé WS n m( , ,[ , ,..., ])1 1 3 -êîä, ïðè çàïîë-
íåíèè ñìåùàþòñÿ íà äâå ãðóïïû âïðàâî ïî ñðàâíåíèþ ñ òàáë. 1, çàäàþùåé
S (8, 5)-êîä. ×èñëî èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðîâ â êîíòðîëüíîé ãðóïïå óìåíü-
øàåòñÿ, è îíè áîëåå ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëÿþòñÿ ïî âñåì êîíòðîëüíûì
ãðóïïàì (ðèñ. 3).
Ïðè òàêîì ñìåùåíèè èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðîâ âàæíî òî, ÷òî ñäâèã
îñóùåñòâèëñÿ ðîâíî íà äâå ãðóïïû.  ðåçóëüòàòå ýòîãî ÷åòíîñòü ñóììàð-
íîãî çíà÷åíèÿ âåñà èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà ñî âçâåøåííûìè ðàçðÿäàìè
W îñòàëàñü ðàâíîé ÷åòíîñòè èñòèííîãî âåñà èíôîðìàöèîííîãî ñëîâà r.
Êðîìå òîãî, âåñ W áîëüøå èñòèííîãî âåñà r. Ïîýòîìó ñîõðàíèëîñü ñâîéñò-
âî ðàçíîíàïðàâëåííîñòè íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê.
Ìåòîä ïîñòðîåíèÿ êîäà Áåðãåðà ñ ïîâûøåííîé ýôôåêòèâíîñòüþ îáíàðóæåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 4 27
111
Êîíòðîëüíûå ãðóïïû
000 001 010 011 100 101 110
00000 00001
00010
00100
01000
11111
00110
00011
01010
10010
10100
01100
10000
01111
11110
11101
11011
10111
11000
00101
01001
10001
10011
00111
01011
01101
10101
11001
01110
10110
11100
11010
Ðèñ. 3. Ïåðåðàñïðåäåëåíèå èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðîâ
 òàáë. 2 ïðåäñòàâëåíî çàïîëíåíèå êîíòðîëüíûõ ãðóïï âWS ( , ,[ , , , , ])8 5 1 1 1 1 3 -
êîäå. Êîä WS ( , ,[ , , , , ])8 5 1 1 1 1 3 èìååò 124 íåîáíàðóæèâàåìûå îøèáêè, ÷òî â
1,77 ðàçà ìåíüøå, ÷åì â êëàññè÷åñêîì êîäå Áåðãåðà (WS ( , ,[ , , , , ])8 5 1 1 1 1 1 -êîäå
èëè S (8, 5)-êîäå), èìåþùåì 220 íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê. Âçâåøåííûé
êîä ñ ñóììèðîâàíèåìWS ( , ,[ , , , , ])8 5 1 1 1 1 3 áîëåå áëèçîê ê îïòèìàëüíîìó, ÷åì
S (8, 5)-êîä ââèäó áîëåå ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èíôîðìàöèîííûõ
âåêòîðîâ íà êîíòðîëüíûå ãðóïïû. Êðîìå òîãî, äàííûé âçâåøåííûé êîä
èìååò âñåãî íà 12 íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê èíôîðìàöèîííûõ ðàçðÿäîâ
áîëüøå, ÷åì ëó÷øèé RSM (n, m, i)-êîä [12].
Äëÿ ëþáîãîWS n m( , ,[ , ,..., , ])1 1 1 3 -êîäà ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ñâîéñòâî.
Óòâåðæäåíèå. Âçâåøåííûé êîäWS n m( , ,[ , ,..., , ])1 1 1 3 îáíàðóæèâàåò îä-
íîíàïðàâëåííûå îøèáêè ëþáîé êðàòíîñòè è âñå íå÷åòíûå îøèáêè â èí-
ôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î îñíîâàíî íà àíàëèçå òàáëè÷íîãî ñïîñîáà
çàäàíèÿ êîäà ñ ñóììèðîâàíèåì. Âûïîëíèì åãî íà ïðèìåðå ðàññìîòðåííîãî â
òàáë. 2 WS ( , ,[ , , , , ])8 5 1 1 1 1 3 -êîäà.
 òàáëèöå çàäàíèÿ êîäà ñóùåñòâóåò òðè êëàññà ñòîëáöîâ.
1. Ñòîëáöû âåêòîðîâ, ìëàäøèé ðàçðÿä êîòîðûõ ðàâåí íóëþ. Ýòî ñòîëá-
öû 000, 001 è 010. Ðàâåíñòâî íóëþ ìëàäøåãî ðàçðÿäà îçíà÷àåò, ÷òî â ðå-
çóëüòàòå ñäâèãà â òàáëèöå êîäà Áåðãåðà â ýòîò ñòîëáåö íå ââåäåíî íîâûõ
âåêòîðîâ. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ äàííûõ ñòîëáöîâ ñîõðàíÿåòñÿ ñâîéñòâî îáíà-
ðóæåíèÿ îäíîíàïðàâëåííûõ îøèáîê è îøèáîê íå÷åòíîé êðàòíîñòè â èí-
ôîðìàöèîííûõ ðàçðÿäàõ.
2. Ñòîëáöû èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðîâ, ìëàäøèé ðàçðÿä êîòîðûõ ðà-
âåí åäèíèöå. Ýòî ñòîëáöû ãðóïï 101, 110 è 111. Ðàâåíñòâî åäèíèöå ìëàä-
øåãî ðàçðÿäà ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî ïðè ñäâèãå âåêòîðîâ êîäà Áåðãåðà
âñå ðàññìàòðèâàåìûå âåêòîðû áûëè ïåðåìåùåíû â äàííûé ñòîëáåö èç
äðóãîãî ñòîëáöà. Îíè èìåþò îäèí è òîò æå âåñ, à çíà÷èò, äëÿ äàííûõ
âåêòîðîâ òàêæå ñïðàâåäëèâî ñâîéñòâî îáíàðóæåíèÿ îäíîíàïðàâëåííûõ
îøèáîê è îøèáîê íå÷åòíîé êðàòíîñòè â èíôîðìàöèîííûõ ðàçðÿäàõ.
Â.Â. Ñàïîæíèêîâ, Âë.Â. Ñàïîæíèêîâ, Ä.Â. Åôàíîâ, Ä.À. Íèêèòèí
28 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 4
000 001 010 011 100 101 110 111
00000 00010 00110 00001 00011 00111 01111 11111
00100 01010 01110 00101 01011 10111
01000 01100 10110 01001 01101 11011
10000 10010 11010 10001 10011 11101
10100 11101 11110 10101
11000 11001
Òàáëèöà 2
3. Ñòîëáöû, â êîòîðûõ ðàñïîëîæåíû äâå ãðóïïû âåêòîðîâ: ñ ìëàä-
øèìè ðàçðÿäàìè, ðàâíûìè íóëþ èëè åäèíèöå. Ýòî êîíòðîëüíûå ãðóïïû
100 è 011. Â êàæäîé ãðóïïå âåêòîðû èìåþò îäèí è òîò æå âåñ. Âåêòîðû ñ
íóëåâûì ìëàäøèì ðàçðÿäîì — ýòî âåêòîðû, êîòîðûå ïðè âçâåøèâàíèè íå
ñäâèãàëèñü, à âåêòîðû ñ åäèíè÷íûì ìëàäøèì ðàçðÿäîì, ýòî âåêòîðû,
êîòîðûå áûëè ñäâèíóòû. Â ñòîëáöå 100 åñòü îäèí âåêòîð ñ íóëåâûì ìëàä-
øèì ðàçðÿäîì, <11110>, è ÷åòûðå âåêòîðà ñ åäèíè÷íûì ìëàäøèì ðàçðÿ-
äîì, <00011>, <00101>, <01001>, <10001>; â ñòîëáöå 011 ÷åòûðå âåêòîðà ñ
íóëåâûì ìëàäøèì ðàçðÿäîì — <01110>, <10110>, <11010>, <11100>, è
îäèí âåêòîð ñ åäèíè÷íûì ìëàäøèì ðàçðÿäîì — <00001>. Âåñ âåêòîðîâ ñ
åäèíè÷íûì ìëàäøèì ðàçðÿäîì ìåíüøå âåñà âåêòîðîâ ñ íóëåâûì ìëàäøèì
ðàçðÿäîì íà äâà. Ïîýòîìó â äàííîì ñòîëáöå âñå âåêòîðû èìåþò îäíî è òî
æå ïî ÷åòíîñòè çíà÷åíèå ÷èñëà åäèíè÷íûõ ðàçðÿäîâ.
Ïîñêîëüêó âåñ èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà ñ íóëåâûì ìëàäøèì ðàçðÿäîì
áîëüøå âåñà èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà ñ åäèíè÷íûì ìëàäøèì ðàçðÿäîì,
äàííûå âåêòîðû ÿâëÿþòñÿ íåñðàâíèìûìè. Ïîñëåäíèé ðàçðÿä âåêòîðà ñ åäè-
íè÷íûì ìëàäøèì ðàçðÿäîì áîëüøå ïîñëåäíåãî ðàçðÿäà âåêòîðà ñ íóëåâûì
ìëàäøèì ðàçðÿäîì, à ÷èñëî åäèíèö â ðàçðÿäàõ îò ïåðâîãî äî ïðåäïîñëåäíåãî
ó âåêòîðà ñ íóëåâûì ìëàäøèì ðàçðÿäîì áîëüøå, ÷åì ó âåêòîðà ñ åäè-
íè÷íûì ìëàäøèì ðàçðÿäîì. Ïîýòîìó åñòü õîòÿ áû îäèí ðàçðÿä ó âåêòîðà ñ
íóëåâûì ìëàäøèì ðàçðÿäîì, êîòîðûé áîëüøå ñîîòâåòñòâóþùåãî ðàçðÿäà
ó âåêòîðà ñ åäèíè÷íûì ìëàäøèì ðàçðÿäîì. Ïîñêîëüêó îáà âåêòîðà ÿâ-
ëÿþòñÿ íåñðàâíèìûìè, ñîõðàíÿåòñÿ ñâîéñòâî îáíàðóæåíèÿ îäíîíàïðàâ-
ëåííûõ îøèáîê. Ïðè óâåëè÷åíèè çíà÷åíèÿ m ðàññìàòðèâàåìîå ñâîéñòâî
ñîõðàíÿåòñÿ. Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.
Ñâîéñòâà êîäîâ ñ ñóììèðîâàíèåì ïî îáíàðóæåíèþ îøèáîê â èí-
ôîðìàöèîííûõ ðàçðÿäàõ. Ðàññìîòðèì âîçìîæíîñòè âçâåøåííûõ êîäîâ ñ
ñóììèðîâàíèåì WS n m( , ,[ , ,..., , ])1 1 1 3 ïî îáíàðóæåíèþ îøèáîê â èíôîðìà-
öèîííûõ ðàçðÿäàõ â ñðàâíåíèè ñ àíàëîãè÷íûìè õàðàêòåðèñòèêàìè êîäîâ
Áåðãåðà.
Âçâåøåííûå êîäû ñ ñóììèðîâàíèåì WS n m( , ,[ , ,..., , ])1 1 1 3 ñ òàêèì æå
÷èñëîì êîíòðîëüíûõ ðàçðÿäîâ, êàê è ó êëàññè÷åñêèõ êîäîâ ñ ñóììèðîâà-
íèåì, ìîãóò áûòü ïîñòðîåíû íå ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ m. Ýòîò ôàêò âû-
òåêàåò èç ïðàâèë ïîñòðîåíèÿ îáîèõ êîäîâ. Äëÿ S (n, m)-êîäîâ ÷èñëî êîíò-
ðîëüíûõ ðàçðÿäîâ � �k m� �log ( )2 1 , à äëÿ WS n m( , , [ , , ..., , ])1 1 1 3 -êîäîâ —
� �k W� �log ( )max2 1 , ãäå Wmax — ìàêñèìàëüíûé ñóììàðíûé âåñ èíôîðìà-
öèîííîãî âåêòîðà. Î÷åâèäíî, ÷òî W m mmax ( )� � � � �1 3 2. Òîãäà äëÿ äîñ-
òèæåíèÿ ðàâåíñòâà ÷èñëà êîíòðîëüíûõ ðàçðÿäîâ â îáîèõ òèïàõ êîäîâ
íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå ñîîòíîøåíèÿ m k� �( )2 1 , m k� �( )2 2 . Â ïðîòèâíîì
ñëó÷àå ïðè òàêèõ çíà÷åíèÿõ m WS n m( , ,[ , ,..., , ])1 1 1 3 -êîä áóäåò èìåòü íà îäèí
êîíòðîëüíûé ðàçðÿä áîëüøå, ÷åì S (n, m)-êîä.
Ìåòîä ïîñòðîåíèÿ êîäà Áåðãåðà ñ ïîâûøåííîé ýôôåêòèâíîñòüþ îáíàðóæåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 4 29
 òàáë. 3 ïðèâåäåíû ðàññ÷èòàííûå çíà÷åíèÿ ÷èñåë íåîáíàðóæèâàåìûõ
îøèáîê âî âçâåøåííûõ è â êëàññè÷åñêèõ êîäàõ ñ ñóììèðîâàíèåì Nm,k, à
òàêæå îáùåå ÷èñëî âîçìîæíûõ îøèáîê â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ
îáîèõ êëàññîâ êîäîâ Nm. Ñâîéñòâà ïî îáíàðóæåíèþ îøèáîê â èíôîð-
ìàöèîííûõ âåêòîðàõ îáîèìè êëàññàìè êîäîâ ìîãóò áûòü îöåíåíû ïî
îòíîøåíèþ ÷èñëà íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê â êîäå ê îáùåìó âîçìîæ-
íîìó ÷èñëó îøèáîê â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ ïðè äàííîì çíà÷åíèè m,
ò.å. ïî âåëè÷èíå � èëè ïî êîýôôèöèåíòó ýôôåêòèâíîñòè (3). Êàê âèäíî èç
òàáë. 3, WS n m( , ,[ , ,..., , ])1 1 1 3 -êîäû îáëàäàþò óëó÷øåííûìè õàðàêòåðèñòè-
êàìè ïî îáíàðóæåíèþ îøèáîê â èíôîðìàöèîííûõ ðàçðÿäàõ, î ÷åì ñâèäå-
òåëüñòâóåò âåëè÷èíà � — îòíîøåíèå ÷èñëà íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê â
êëàññè÷åñêèõ êîäàõ Áåðãåðà ê ÷èñëó íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê âî âçâå-
øåííûõ êîäàõWS n m( , ,[ , ,..., , ])1 1 1 3 .
 ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòîâ óñòàíîâëåíî, ÷òî ñîêðàùàåòñÿ íå òîëüêî îáùåå
÷èñëî íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê, íî è ÷èñëî îøèáîê ïî êðàòíîñòÿì.
Ñâîéñòâî 1. Äëÿ ëþáîãî WS n m( , ,[ , ,..., , ])1 1 1 3 -êîäà ÷èñëî íåîáíàðóæè-
âàåìûõ îøèáîê êðàòíîñòè d ìåíüøå ÷èñëà îøèáîê äàííîé êðàòíîñòè â
S (n, m)-êîäå.
Äàííîå ñâîéñòâî îïèñàíî â òàáë. 4, ãäå ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû
d — äîëè íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê êðàòíîñòåé d îò îáùåãî ÷èñëà îøèáîê
òåõ æå êðàòíîñòåé ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ m. Çíà÷åíèÿ d äëÿ S (n, m)-
êîäîâ ïîëó÷åíû ïî ôîðìóëå (1) è íå çàâèñÿò îò äëèíû èíôîðìàöèîííîãî
âåêòîðà, à äëÿ WS n m( , ,[ , ,..., , ])1 1 1 3 -êîäîâ — ðàññ÷èòàíû ñ èñïîëüçîâàíèåì
Â.Â. Ñàïîæíèêîâ, Âë.Â. Ñàïîæíèêîâ, Ä.Â. Åôàíîâ, Ä.À. Íèêèòèí
30 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 4
m k
N m k,
N m
�
�
S (n, m)-êîä
WS n m( , ,[ , , ... , , ])1 1 1 3 -
êîä
S (n, m)-
êîä
WS n m( , ,[ , , ... , , ])1 1 1 3 -
êîä
4 3 54 26 240 0,225 0,10833 2,07692
5 3 220 124 992 0,22177 0,125 1,77419
8 4 12614 8610 65280 0,19323 0,13189 1,46504
9 4 48108 33964 261632 0,18388 0,12982 1,41644
10 4 183732 133344 1047552 0,17539 0,12729 1,37788
11 4 703384 522504 4192256 0,16778 0,12464 1,34618
12 4 2699984 2046308 16773120 0,16097 0,122 1,31944
13 4 10392408 8015128 67100672 0,15488 0,11945 1,2966
16 5 601014854 483155954 4294901760 0,13994 0,1125 1,24394
17 5 2333475148 1896776908 17179738112 0,13583 0,11041 1,23023
18 5 9074873156 7450901576 68719214592 0,13206 0,10843 1,21796
19 5 35344739512 29285551432 274877382656 0,12858 0,10654 1,2069
20 5 137845480244 115169427884 1099510579200 0,12537 0,10475 1,19689
Òàáëèöà 3
ñïåöèàëüíî ðàçðàáîòàííîãî ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ è ðàçëè÷íû ïðè ðàç-
ëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ m. Ñ óâåëè÷åíèåì m çíà÷åíèå d â WS n m( , ,[ , ,..., , ])1 1 1 3 -
êîäàõ íåçíà÷èòåëüíî óâåëè÷èâàåòñÿ.
Ïðè âçâåøèâàíèè ðàçðÿäîâ ïðîèçîøåë ñäâèã èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðîâ
â ñòîðîíó óâåëè÷åíèÿ çíà÷åíèé êîíòðîëüíîãî âåêòîðà, ÷òî îáóñëîâèëî
óìåíüøåíèå ÷èñëà èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðîâ â êîíòðîëüíûõ ãðóïïàõ è,
êàê ñëåäñòâèå, — óìåíüøåíèå ÷èñëà íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê ïî âñåì
êðàòíîñòÿì. Èç òàáë. 4 âèäíî, ÷òî çíà÷åíèå d âWS n m( , ,[ , , ..., , ])1 1 1 3 -êîäàõ
ñ óâåëè÷åíèåì çíà÷åíèÿ m ïðè d = const óâåëè÷èâàåòñÿ, ïðèáëè-
æàÿñü ê ñîîòâåòñòâóþùåé âåëè÷èíå ó S (n, m)-êîäîâ. Óêàçàííîå ñâîéñòâî
WS n m( , ,[ , , ..., , ])1 1 1 3 -êîäîâ ìîæåò áûòü ýôôåêòèâíî èñïîëüçîâàíî ïðè îð-
ãàíèçàöèè ñõåì ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ.
 òàáë. 5 ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ýôôåêòèâíîñòè, ðàññ÷è-
òàííûå ïî ôîðìóëàì (2) è (3), äëÿ êîäîâ S (n, m) èWS n m( , ,[ , ,..., , ])1 1 1 3 . Äàí-
íûå òàáë. 5 ñâèäåòåëüñòâóþò î ïðèîðèòåòå WS n m( , ,[ , ,..., , ])1 1 1 3 -êîäîâ íàä
êëàññè÷åñêèìè êîäàìè Áåðãåðà.
Íà ðèñ. 4 ïðåäñòàâëåíû çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòà ýôôåêòèâíîñòè îò
çíà÷åíèÿ m äëÿ ðàññìîòðåííûõ âûøå êîäîâ ñ ñóììèðîâàíèåì. Êàê âèäèì,
Ìåòîä ïîñòðîåíèÿ êîäà Áåðãåðà ñ ïîâûøåííîé ýôôåêòèâíîñòüþ îáíàðóæåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 4 31
m
Çíà÷åíèÿ d äëÿ îøèáîê êðàòíîñòè d
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
S (n, m)-êîäû
0,5 0,375 0,3125 0,27344 0,24609 0,22559 0,20947 0,19638 0,18547 0,1762
WS n m( , ,[ , ,..., , ])1 1 1 3 -êîäû
4 0,25 0,125
5 0,3 0,175
8 0,375 0,25 0,19531 0,16406
9 0,38889 0,26389 0,20833 0,17622
10 0,4 0,275 0,21875 0,18594 0,16406
11 0,40909 0,28409 0,22727 0,19389 0,17152
12 0,41667 0,29167 0,23438 0,20052 0,17773 0,16113
13 0,42308 0,29808 0,24038 0,20613 0,18299 0,16609
16 0,4375 0,3125 0,25391 0,21875 0,19482 0,17725 0,16365 0,15274
17 0,44118 0,31618 0,25735 0,22197 0,19784 0,18009 0,16635 0,15531
18 0,44444 0,31944 0,26042 0,22483 0,20052 0,18262 0,16874 0,15759 0,14838
19 0,44737 0,32237 0,26316 0,22738 0,20292 0,18488 0,17089 0,15963 0,15033
20 0,45 0,325 0,26563 0,22969 0,20508 0,18691 0,17281 0,16147 0,15209 0,14416
Òàáëèöà 4
õàðàêòåð èçìåíåíèÿ çíà÷åíèÿ
ñ óâåëè÷åíèåì äëèíû èíôîðìàöèîííîãî
âåêòîðà ïðè ïîñòîÿííîì çíà÷åíèè ÷èñëà êîíòðîëüíûõ ðàçðÿäîâ k îäèíàêîâ
äëÿ êîäîâ S (n, m) èWS n m( , ,[ , ,..., , ])1 1 1 3 .
Ñâîéñòâî 2. Äëÿ êîäîâ ñ ïîñòîÿííûì çíà÷åíèåì k ïðîèñõîäèò óâåëè-
÷åíèå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà
îò êîäà ñ ÷èñëîì èíôîðìàöèîííûõ ðàçðÿ-
äîâ m k� �2 1 ê êîäó ñ ÷èñëîì èíôîðìàöèîííûõ ðàçðÿäîâ m k� �2 3.
Íàïðèìåð, ïðè k = 4WS n m( , ,[ , ,..., , ])1 1 1 3 -êîä ñ m = 8 îáëàäàåò íàèìåíü-
øåé ýôôåêòèâíîñòüþ (
= 0,44599), à êàê êîä ñ m = 13 — íàèáîëüøåé (
=
Â.Â. Ñàïîæíèêîâ, Âë.Â. Ñàïîæíèêîâ, Ä.Â. Åôàíîâ, Ä.À. Íèêèòèí
32 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 4
m k
S (n, m)-êîä WS n m( , , [ , , ... , , ])1 1 1 3 -êîä
4 3 0,2963 0,61538
5 3 0,43636 0,77419
8 4 0,30442 0,44599
9 4 0,32992 0,46732
10 4 0,35112 0,4838
11 4 0,36978 0,49779
12 4 0,38685 0,51042
13 4 0,4028 0,52228
16 5 0,22321 0,27766
17 5 0,23002 0,28297
18 5 0,23661 0,28818
19 5 0,24302 0,2933
20 5 0,24926 0,29833
Òàáëèöà 5
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
4 5 8 9 10 11 12 13 16 17 18 19 20 m
(m)
�1
k �3 k � 4 k �5
S (n, m)-êîä
WS (n, m,[1, 1,…,3])-êîä
Ðèñ. 4. Ãðàôèêè çàâèñèìîñòåé êîýôôèöèåíòà
îò äëèíû èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà
= 0,52228). Àíàëîãè÷íîå ñâîéñòâî óñòàíîâëåíî äëÿ ìîäèôèöèðîâàííûõ
êîäîâ ñ ñóììèðîâàíèåì åäèíè÷íûõ ðàçðÿäîâ â ðàáîòå [12].
Âûâîäû
Ïîñòðîåííûé íîâûé êîä ñ ñóììèðîâàíèåì áîëåå ýôôåêòèâåí îòíîñèòåëü-
íî îáíàðóæåíèÿ îøèáîê â èíôîðìàöèîííûõ ðàçðÿäàõ, ÷åì èçâåñòíûé
êëàññè÷åñêèé êîä Áåðãåðà. Íîâûé êîä ïîëó÷åí ïîñðåäñòâîì âçâåøèâàíèÿ
ìëàäøåãî êîíòðîëüíîãî ðàçðÿäà è ñîõðàíÿåò âàæíûå ñâîéñòâà êëàññè÷åñ-
êîãî êîäà Áåðãåðà, à èìåííî âîçìîæíîñòü îáíàðóæåíèÿ ëþáûõ îäíîíà-
ïðàâëåííûõ èñêàæåíèé è èñêàæåíèé íå÷åòíûõ êðàòíîñòåé â èíôîðìà-
öèîííûõ âåêòîðàõ. Ïåðâîå èç ýòèõ ñâîéñòâ íå ñîõðàíÿåòñÿ äëÿ èçâåñòíûõ
ìîäèôèöèðîâàííûõ êîäîâ ñ ñóììèðîâàíèåì, ïðåäëîæåííûõ â ðàáîòàõ [9,
10, 12, 15, 16].
A new class of codes with summation of weighted data bits, has been considered in the paper. A
simple ratio of data bits’ weights has been defined; it allows us to construct a more efficient (from
the standpoint of detecting errors in the data vectors of the code) method, than the well-known
classical Berger code. The “weight-based” code has all the properties of the Berger code. Potenti-
alities of the two codes for error detection in concurrent error detection circuits have been com-
pared.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Goessel M., Graf S. Error Detection Circuits. — London : McGraw-Hill, 1994. — 261 p.
2. Pradhan D.K. Fault-Tolerant Computer System Design. — Prentice Hall, 1996. — 560 p.
3. Lala P.K. Self-checking and Fault-tolerant Digital Design. — University of Arkansas,
2001. — 216 p.
4. Ñàïîæíèêîâ Â.Â., Ñàïîæíèêîâ Âë.Â. Ñàìîïðîâåðÿåìûå äèñêðåòíûå óñòðîéñòâà. —
ÑÏá : Ýíåðãîàòîìèçäàò, 1992. — 224 ñ.
5. Ryan W.E., Shu Lin Channel Codes: Classical and Modern. — Cambridge University Press,
2009. — 708 ð.
6. Berger J.M. À note on error detecting codes for asymmetric channels // Information and
Control. — 1961. — Vol. 4, ¹ 1. — P. 68—73.
7. Åôàíîâ Ä.Â., Ñàïîæíèêîâ Â.Â., Ñàïîæíèêîâ Âë.Â. Î ñâîéñòâàõ êîäà ñ ñóììèðîâàíèåì
â ñõåìàõ ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 2010. — ¹ 6. —
Ñ. 155—162.
8. Ñàïîæíèêîâ Â.Â., Ñàïîæíèêîâ Âë.Â., Åôàíîâ Ä.Â. Ïðåäåëüíûå ñâîéñòâà êîäà ñ ñóììè-
ðîâàíèåì // Èçâ. Ïåòåðáóðãñêîãî óíèâåðñèòåòà ïóòåé ñîîáùåíèÿ. — 2010. — ¹ 3. —
Ñ. 290—299.
9. Áëþäîâ À.À., Ñàïîæíèêîâ Â.Â., Ñàïîæíèêîâ Âë.Â. Ìîäèôèöèðîâàííûé êîä ñ ñóììè-
ðîâàíèåì äëÿ îðãàíèçàöèè êîíòðîëÿ êîìáèíàöèîííûõ ñõåì // Àâòîìàòèêà è òåëåìå-
õàíèêà. — 2012 — ¹ 1. — Ñ. 169—177.
10. Blyudov A., Efanov D., Sapozhnikov V., Sapozhnikov Vl. Properties of code with summation
for logical circuit test organization // Proc. of IEEE East-West Design&Test Symposium
(EWDTS`2012). Kharkov, Ukraine, September 14—17, 2012. — P. 114—117.
Ìåòîä ïîñòðîåíèÿ êîäà Áåðãåðà ñ ïîâûøåííîé ýôôåêòèâíîñòüþ îáíàðóæåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 4 33
11. Ñàïîæíèêîâ Â.Â., Ñàïîæíèêîâ Âë.Â., Åôàíîâ Ä.Â., Áëþäîâ À.À. Ê âîïðîñó îðãàíè-
çàöèè âñòðîåííûõ ñàìîïðîâåðÿåìûõ ñõåì êîíòðîëÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ìîäóëüíûõ êî-
äîâ ñ ñóììèðîâàíèåì // Ìàòåðèàëû êîíôåðåíöèè «Èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè â óï-
ðàâëåíèè» (ÈÒÓ-2012). ÃÍÖ ÐÔ ÎÀÎ Êîíöåðí ÖÍÈÈ «Ýëåêòðîïðèáîð». — ÑÏá. —
2012. — C. 656—661.
12. Áëþäîâ À.À., Åôàíîâ Ä.Â., Ñàïîæíèêîâ Â.Â., Ñàïîæíèêîâ Âë.Â. Ïîñòðîåíèå ìîäèôè-
öèðîâàííîãî êîäà Áåðãåðà ñ ìèíèìàëüíûì ÷èñëîì íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê èíôîð-
ìàöèîííûõ ðàçðÿäîâ // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2012. — 34, ¹ 6. — Ñ. 17—29.
13. Ãåññåëü Ì., Ìîðîçîâ À.À., Ñàïîæíèêîâ Â.Â., Ñàïîæíèêîâ Âë.Â. Èññëåäîâàíèå êîìáè-
íàöèîííûõ ñàìîïðîâåðÿåìûõ óñòðîéñòâ ñ íåçàâèñèìûìè è ìîíîòîííî íåçàâèñèìûìè
âûõîäàìè // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1997. — ¹ 2. — Ñ. 180—193.
14. Sapozhnikov V.V., Morozov A., Sapozhnikov Vl.V., Goessel M. A New Design Method for
Self-Checking Unidirectional Combinational Circuits // J. of Electronic Testing: Theory and
Applications. — 1998. — Vol. 12, ¹ 2. — P. 41—53.
15. Das D., Touba N.A. Weight-Based Codes and their Application to Concurrent Error Detec-
tion of Multilevel Circuits // Proc. 17th IEEE Test Symposium. California, USA, 1999. —
P. 370— 376.
16. Favalli M., Metra C. Optimization of error detecting codes for the detection of crosstalk ori-
ginated errors // Design, Automation and Test in Europe (DATE). March 13—16, 2001. —
P. 290—296.
Ïîñòóïèëà 05.06.13
ÑÀÏÎÆÍÈÊÎÂ Âàëåðèé Âëàäèìèðîâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû «Àâòîìàòèêà è
òåëåìåõàíèêà íà æåëåçíûõ äîðîãàõ» Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà ïóòåé
ñîîáùåíèÿ. Îêîí÷èë Ëåíèíãðàäñêèé èíñòèòóò èíæåíåðîâ æåëåçíîäîðîæíîãî òðàíñïîðòà â
1963 ã. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — íàäåæíîñòíûé ñèíòåç äèñêðåòíûõ óñòðîéñòâ,
ñèíòåç áåçîïàñíûõ ñèñòåì, ñèíòåç ñàìîïðîâåðÿåìûõ ñõåì, òåõíè÷åñêàÿ äèàãíîñòèêà äèñê-
ðåòíûõ ñèñòåì.
ÑÀÏÎÆÍÈÊÎÂ Âëàäèìèð Âëàäèìèðîâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, çàâ. êàôåäðîé «Àâòîìàòèêà è
òåëåìåõàíèêà íà æåëåçíûõ äîðîãàõ» Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà ïóòåé
ñîîáùåíèÿ. Îêîí÷èë Ëåíèíãðàäñêèé èíñòèòóò èíæåíåðîâ æåëåçíîäîðîæíîãî òðàíñïîðòà â
1963 ã. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — íàäåæíîñòíûé ñèíòåç äèñêðåòíûõ óñòðîéñòâ,
ñèíòåç áåçîïàñíûõ ñèñòåì, ñèíòåç ñàìîïðîâåðÿåìûõ ñõåì, òåõíè÷åñêàÿ äèàãíîñòèêà äèñê-
ðåòíûõ ñèñòåì.
ÅÔÀÍÎÂ Äìèòðèé Âèêòîðîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, àññèñòåíò êàôåäðû «Àâòîìàòèêà è òå-
ëåìåõàíèêà íà æåëåçíûõ äîðîãàõ» Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà ïóòåé
ñîîáùåíèÿ, êîòîðûé îêîí÷èë â 2007 ã. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — äèñêðåòíàÿ ìàòå-
ìàòèêà, íàäåæíîñòü è òåõíè÷åñêàÿ äèàãíîñòèêà äèñêðåòíûõ ñèñòåì.
ÍÈÊÈÒÈÍ Äìèòðèé Àëåêñàíäðîâè÷, ñòóäåíò ôàêóëüòåòà òåõíè÷åñêîé êèáåðíåòèêè
Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ïîëèòåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà. Îáëàñòü íàó÷íûõ
èññëåäîâàíèé — äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà, ïðîãðàììèðîâàíèå è ìîäåëèðîâàíèå.
Â.Â. Ñàïîæíèêîâ, Âë.Â. Ñàïîæíèêîâ, Ä.Â. Åôàíîâ, Ä.À. Íèêèòèí
34 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100853 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:12:37Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сапожников, В.В. Сапожников, Вл.В. Ефанов, Д.В. Никитин, Д.А. 2016-05-27T17:25:16Z 2016-05-27T17:25:16Z 2013 Метод построения кода Бергера с повышенной эффективностью обнаружения ошибок в информационных разрядах / В.В. Сапожников, Вл.В. Сапожников, Д.В. Ефанов, Д.А. Никитин // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 4. — С. 21-34 . — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100853 681.518.5 Рассмотрен новый класс кодов с суммированием взвешенных информационных разрядов. Определено простое соотношение весов информационных разрядов, позволяющее построить код для обнаружения ошибок в информационных векторах, более эффективный, чем известный классический код с суммированием (код Бергера). Новый код обладает всеми свойствами классического. Выполнено сравнение возможностей кодов обнаруживать. Розглянуто новий клас кодів з підсумовуванням зважених інформаційних розрядів. Визначено просте співвідношення ваги інформаційних розрядів, яке дозволяє побудувати код для виявлення похибок в інформаційних векторах, ефективніший, ніж відомий класичний код з підсумовуванням (код Бергера). Новий код має всі властивості класичного. Виконано порівняння можливостей кодів виявляти похибки в схемах функціонального контролю. A new class of codes with summation of weighted data bits, has been considered in the paper. A simple ratio of data bits’ weights has been defined; it allows us to construct a more efficient (from the standpoint of detecting errors in the data vectors of the code) method, than the well-known classical Berger code. The “weight-based” code has all the properties of the Berger code. Potentialities of the two codes for error detection in concurrent error detection circuits have been compared. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математические методы и модели Метод построения кода Бергера с повышенной эффективностью обнаружения ошибок в информационных разрядах Article published earlier |
| spellingShingle | Метод построения кода Бергера с повышенной эффективностью обнаружения ошибок в информационных разрядах Сапожников, В.В. Сапожников, Вл.В. Ефанов, Д.В. Никитин, Д.А. Математические методы и модели |
| title | Метод построения кода Бергера с повышенной эффективностью обнаружения ошибок в информационных разрядах |
| title_full | Метод построения кода Бергера с повышенной эффективностью обнаружения ошибок в информационных разрядах |
| title_fullStr | Метод построения кода Бергера с повышенной эффективностью обнаружения ошибок в информационных разрядах |
| title_full_unstemmed | Метод построения кода Бергера с повышенной эффективностью обнаружения ошибок в информационных разрядах |
| title_short | Метод построения кода Бергера с повышенной эффективностью обнаружения ошибок в информационных разрядах |
| title_sort | метод построения кода бергера с повышенной эффективностью обнаружения ошибок в информационных разрядах |
| topic | Математические методы и модели |
| topic_facet | Математические методы и модели |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100853 |
| work_keys_str_mv | AT sapožnikovvv metodpostroeniâkodabergeraspovyšennoiéffektivnostʹûobnaruženiâošibokvinformacionnyhrazrâdah AT sapožnikovvlv metodpostroeniâkodabergeraspovyšennoiéffektivnostʹûobnaruženiâošibokvinformacionnyhrazrâdah AT efanovdv metodpostroeniâkodabergeraspovyšennoiéffektivnostʹûobnaruženiâošibokvinformacionnyhrazrâdah AT nikitinda metodpostroeniâkodabergeraspovyšennoiéffektivnostʹûobnaruženiâošibokvinformacionnyhrazrâdah |