Фрактальные свойства маршрутов передачи данных в перколяционном кластере масштабно-инвариантной сети
Исследованы перколяционные топологические структуры сложных сетей и выполнена их трансформация во фрактальные макроструктуры. Приведен пример расчета фрактальной размерности маршрута передачи данных в масштабно-инвариантной сети в интервале граничных значений фазового перехода между состояниями «мак...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100863 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Фрактальные свойства маршрутов передачи данных в перколяционном кластере масштабно-инвариантной сети / Ю.Г. Даник, Ю.А. Кулаков, В.В. Воротников // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 5. — С. 57-69. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859673208321474560 |
|---|---|
| author | Даник, Ю.Г. Кулаков, Ю.А. Воротников, В.В. |
| author_facet | Даник, Ю.Г. Кулаков, Ю.А. Воротников, В.В. |
| citation_txt | Фрактальные свойства маршрутов передачи данных в перколяционном кластере масштабно-инвариантной сети / Ю.Г. Даник, Ю.А. Кулаков, В.В. Воротников // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 5. — С. 57-69. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Исследованы перколяционные топологические структуры сложных сетей и выполнена их трансформация во фрактальные макроструктуры. Приведен пример расчета фрактальной размерности маршрута передачи данных в масштабно-инвариантной сети в интервале граничных значений фазового перехода между состояниями «максимальный кластер» и «сеть состоит из нескольких кластеров». Исследована зависимость фрактальной размерности перколяционного кластера от величины стороны квадрата δ-покрытия и значения проводимости сложной сети для определения числа факторов, влияющих на систему.
Досліджено перколяційні топологічні структури складних мереж і виконано їх трансформацію у фрактальні макроструктури. Наведено приклад розрахунку фрактальної розмірності маршруту передачі даних у масштабно-інваріантній мережі в інтервалі граничних значень фазового переходу між станами «максимальний кластер» і «мережа складається з декількох кластерів». Досліджено залежність фрактальної розмірності перколяційного кластера від величини сторони квадрата δ-покриття і значення провідності складної мережі для визначення кількості чинників, що впливають на систему.
The topological percolation structures of complex networks have been studied, and their transformation into fractal macrostructures has been executed. The example of calculation of fractal dimension of the data transfer route is presented in a scale-invariant network in the interval of boundary values of phase transition between the states «a maximal cluster» and «network consists of a few clusters». The dependence of fractal dimension of percolation cluster on the size of δ-coverage square side and the values of conductivity of the complex network has been investigated for determining the number of factors, influencing the system.
|
| first_indexed | 2025-11-30T14:37:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 681.3: 658.56.
Þ.Ã. Äàíèê
1
, Þ.À. Êóëàêîâ
2
, äîêòîðà òåõí. íàóê,
Â.Â. Âîðîòíèêîâ
1
, êàíä. òåõí. íàóê
1
Æèòîìèðñêèé âîåííûé èíñòèòóò èì. Ñ.Ï. Êîðîëåâà
Íàöèîíàëüíîãî àâèàöèîííîãî óíèâåðñèòåòà
(Óêðàèíà, 10004, Æèòîìèð, ïð. Ïîáåäû, 22),
2
Íàöèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óí-ò Óêðàèíû
«Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò»
(Óêðàèíà, 03056, ã. Êèåâ, óë. Ïîëèòåõíè÷åñêàÿ, 16, êîðïóñ 18,
òåë. (044) 4549292, e-mail: ya.kulakov@gmail.com )
Ôðàêòàëüíûå ñâîéñòâà ìàðøðóòîâ
ïåðåäà÷è äàííûõ â ïåðêîëÿöèîííîì
êëàñòåðå ìàñøòàáíî-èíâàðèàíòíîé ñåòè
Èññëåäîâàíû ïåðêîëÿöèîííûå òîïîëîãè÷åñêèå ñòðóêòóðû ñëîæíûõ ñåòåé è âûïîëíåíà èõ
òðàíñôîðìàöèÿ âî ôðàêòàëüíûå ìàêðîñòðóêòóðû. Ïðèâåäåí ïðèìåð ðàñ÷åòà ôðàêòàëüíîé
ðàçìåðíîñòè ìàðøðóòà ïåðåäà÷è äàííûõ â ìàñøòàáíî-èíâàðèàíòíîé ñåòè â èíòåðâàëå ãðà-
íè÷íûõ çíà÷åíèé ôàçîâîãî ïåðåõîäà ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè «ìàêñèìàëüíûé êëàñòåð» è «ñåòü
ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ êëàñòåðîâ». Èññëåäîâàíà çàâèñèìîñòü ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòè ïåð-
êîëÿöèîííîãî êëàñòåðà îò âåëè÷èíû ñòîðîíû êâàäðàòà �-ïîêðûòèÿ è çíà÷åíèÿ ïðîâîäèìîñòè
ñëîæíîé ñåòè äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà ôàêòîðîâ, âëèÿþùèõ íà ñèñòåìó.
Äîñë³äæåíî ïåðêîëÿö³éí³ òîïîëîã³÷í³ ñòðóêòóðè ñêëàäíèõ ìåðåæ ³ âèêîíàíî ¿õ òðàíñôîð-
ìàö³þ ó ôðàêòàëüí³ ìàêðîñòðóêòóðè. Íàâåäåíî ïðèêëàä ðîçðàõóíêó ôðàêòàëüíî¿ ðîçì³ð-
íîñò³ ìàðøðóòó ïåðåäà÷³ äàíèõ ó ìàñøòàáíî-³íâàð³àíòí³é ìåðåæ³ â ³íòåðâàë³ ãðàíè÷íèõ
çíà÷åíü ôàçîâîãî ïåðåõîäó ì³æ ñòàíàìè «ìàêñèìàëüíèé êëàñòåð» ³ «ìåðåæà ñêëàäàºòüñÿ ç
äåê³ëüêîõ êëàñòåð³â». Äîñë³äæåíî çàëåæí³ñòü ôðàêòàëüíî¿ ðîçì³ðíîñò³ ïåðêîëÿö³éíîãî
êëàñòåðà â³ä âåëè÷èíè ñòîðîíè êâàäðàòà �-ïîêðèòòÿ ³ çíà÷åííÿ ïðîâ³äíîñò³ ñêëàäíî¿ ìåðå-
æ³ äëÿ âèçíà÷åííÿ ê³ëüêîñò³ ÷èííèê³â, ùî âïëèâàþòü íà ñèñòåìó.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ñëîæíàÿ ñåòü, ìàñøòàáíî-èíâàðèàíòíàÿ ñåòü, òåîðèÿ ïåðêî-
ëÿöèè, ïåðêîëÿöèîííûé êëàñòåð, ôàçîâûé ïåðåõîä, ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü.
Îäíèì èç ïåðñïåêòèâíûõ íàïðàâëåíèé ìîäåëèðîâàíèÿ ñëîæíûõ ñåòåé
ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå ìåòîäà ìóëüòèôðàêòàëüíîé äèíàìèêè. Â íàñòîÿ-
ùåå âðåìÿ ðàçðàáîòàíû ôðàêòàëüíûå ìîäåëè äëÿ ðåøåíèÿ ìíîãèõ çàäà÷
[1—3]. Ìîäåëè òàêèõ ñèñòåì îñíîâàíû íà îïèñàíèè äèíàìèêè ïðîöåññîâ,
ïðåäñòàâëåííûõ ìóëüòèôðàêòàëüíûìè êðèâûìè. Ïðè ýòîì âåñü ïðîìåæó-
òîê âðåìåíè íàáëþäåíèÿ ðàçáèâàåòñÿ íà èíòåðâàëû ñ îïðåäåëåííûìè çíà-
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 5 57
� Þ.Ã. Äàíèê, Þ.À. Êóëàêîâ, Â.Â. Âîðîòíèêîâ, 2013
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ
ПРОЦЕССЫ И СИСТЕМЫ
÷åíèÿìè ëèíåéíîãî òðåíäà, õàðàêòåðèçóþùåãî òåíäåíöèþ èçìåíåíèÿ èñ-
ñëåäóåìîé âåëè÷èíû. Íà êàæäîì èíòåðâàëå äëÿ çíà÷åíèé âðåìåííîãî ðÿäà
îïðåäåëÿåòñÿ ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü d è óñòàíàâëèâàåòñÿ çàâèñèìîñòü
òàíãåíñà óãëà íàêëîíà ëèíåéíîãî òðåíäà è ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòè èñ-
ñëåäóåìûõ êðèâûõ.  òàêèõ ìîäåëÿõ ó÷èòûâàþòñÿ ïàðàìåòðû, õàðàêòåðè-
çóþùèå óñòîé÷èâîñòü ñèñòåì è ïðîòåêàþùèõ â íèõ ïðîöåññîâ.
 ïîñòðîåíèè ôðàêòàëîâ îáû÷íî ó÷àñòâóþò íåñêîëüêî ñòðóêòóð, ñîñ-
òîÿùèõ èç ðàçëè÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ. Ðàçìåðû ýëåìåíòîâ ñòðóêòóð
òàêæå ðàçëè÷íû. Åñëè ïðåäñòàâèòü ñëîæíóþ ñåòü â âèäå ôðàêòàëîâ ñ
öèêëè÷åñêè ïîâòîðÿþùèìèñÿ ñòðóêòóðàìè, òî çàäà÷à ìîäåëèðîâàíèÿ èõ
ñòðóêòóðû ñâîäèòñÿ ê îïðåäåëåíèþ ìîìåíòà ôàçîâîãî ïåðåõîäà äèññè-
ïàòèâíûõ òîïîëîãè÷åñêèõ ñòðóêòóð ñåòè ñ ïîñëåäóþùèì ñîçäàíèåì ìî-
äåëüíûõ îáúåêòîâ ñ ôðàêòàëüíîé ñòðóêòóðîé è èçó÷åíèåì èõ ãåîìåòðè-
÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê.
Îáçîð ïîñëåäíèõ ïóáëèêàöèé. Àíàëèç ñîâðåìåííîé íàó÷íîé ëèòåðà-
òóðû ïî äàííîé òåìàòèêå ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî äëÿ îïèñàíèÿ ïðî-
öåññîâ, ïðîòåêàþùèõ â òåëåêîììóíèêàöèîííûõ ñåòÿõ (ÒÊÑ), èñïîëüçóþò-
ñÿ îáíàðóæåííûå íà ïðàêòèêå ñâîéñòâà ñàìîïîäîáèÿ èëè ìàñøòàáíîé
èíâàðèàíòíîñòè ñòàòèñòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê. Ýòè ñâîéñòâà ñâÿçûâàþò ñ
îñîáûì êëàññîì ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ — ôðàêòàëüíûìè ïðîöåññàìè. Â
ñâÿçè ñ ýòèì îñîáîå âíèìàíèå ïðèâëåêàþò êîíñòðóêòèâíûå ìåòîäû èññëå-
äîâàíèÿ ôðàêòàëüíîñòè ïðèìåíèòåëüíî ê ñîâðåìåííûì êîìïüþòåðíûì
ïðèëîæåíèÿì ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ íà õàðàêòåð ôîðìèðîâàíèÿ óïðàâëÿþùèõ
âîçäåéñòâèé ïðè ôóíêöèîíèðîâàíèè ñëîæíîé ÒÊÑ.
 ðàáîòå [4] ðàññìîòðåíî ðåøåíèå çàäà÷è äèñòàíöèîííîãî çîíäèðî-
âàíèÿ Çåìëè êëàñòåðàìè ïðîñòûõ íàíîñïóòíèêîâ, îáúåäèíåííûõ â ñåòü.
Àíàëèçèðóþòñÿ ñâîéñòâà áîëüøèõ ñëó÷àéíûõ êëàñòåðîâ îáúåêòîâ, îáðà-
çóþùèõ «ñëîæíóþ ñåòü». Ââåäåíî ïîíÿòèå óïðàâëÿåìîé ïåðêîëÿöèè çîíû
îáñëóæèâàíèÿ, ðåàëèçóåìîé â äâå ôàçû: íà ïåðâîé — ñîçäàåòñÿ ñòîõàñòè-
÷åñêàÿ îñíîâà ñ îòíîñèòåëüíî íåáîëüøîé êîíöåíòðàöèåé íàíîñïóòíèêîâ,
êîòîðàÿ íå îáåñïå÷èâàåò ñòîõàñòè÷åñêîé ïåðêîëÿöèè, à íà âòîðîé — â
ìåæêëàñòåðíûå èíòåðâàëû îïòèìàëüíî ââîäÿòñÿ äîïîëíèòåëüíûå íàíî-
ñïóòíèêè äëÿ ïîëó÷åíèÿ êðàò÷àéøåãî ïåðêîëÿöèîííîãî ïóòè ÷åðåç ñòî-
õàñòè÷åñêè îáðàçîâàííûå êëàñòåðû.
 ðàáîòå [5] ðàññìîòðåíà çàäà÷à ñàìîîðãàíèçàöèè â áåñïðîâîäíûõ
ñåíñîðíûõ ñåòÿõ è ïðåäëîæåíû àëãîðèòìû åå ðåøåíèÿ. Îïðåäåëåíî âðåìÿ
ñàìîîðãàíèçàöèè ñåòè ïðè èñïîëüçîâàíèè óçêîïîëîñíûõ è ñâåðõøèðîêî-
ïîëîñíûõ ñèãíàëîâ â ðàìêàõ ñòàíäàðòà IEEE 802.15.4.
Ðàáîòà [6] ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ ñëîæíûõ ñèñòåì, ðàññìàòðèâàåìûõ
êàê ñåòåâûå ñòðóêòóðû. Óçëû â òàêèõ ñåòÿõ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ýëåìåíòû
ñëîæíûõ ñèñòåì, à ñâÿçè ìåæäó óçëàìè — âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ýëåìåí-
Þ.Ã. Äàíèê, Þ.À. Êóëàêîâ, Â.Â. Âîðîòíèêîâ
58 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 5
òàìè. Ïðèâåäåíû îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ñëîæíûõ ñåòåé è êðàòêî îïè-
ñàíû îñíîâíûå íàïðàâëåíèÿ èçó÷åíèÿ ðåàëüíûõ ñåòåâûõ ñòðóêòóð.
 ðàáîòå [7] ðàññìîòðåí íîâûé êëàññ ñëó÷àéíûõ ãðàôîâ äëÿ ìîäåëèðî-
âàíèÿ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñåòè âî âðåìåíè. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íàáëþ-
äåíèÿ çà ñåòüþ âåäóòñÿ ñ ïîìîùüþ «îêîííîãî» ìåòîäà. Ñ öåëüþ âûÿâëåíèÿ
àíîìàëèé èññëåäîâàíî íîðìàëüíîå ïîâåäåíèå ñòåïåíåé, êîòîðûå ìîæíî
íàáëþäàòü â «îêíàõ» ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè. Èññëåäîâàíà àñèìïòîòèêà
ìàêñèìàëüíîé ñòåïåíè âåðøèí â ãðàôå, êîòîðûé ïîðîæäåí «îêíîì» äàí-
íîãî ðàçìåðà.
 ðàáîòå [8] ïðåäëîæåíà êîíöåïòóàëüíàÿ ìîäåëü äèàãíîñòè÷åñêîé
èíôðàñòðóêòóðû ñ èíòåëëåêòóàëüíûìè ñâîéñòâàìè, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ÿä-
ðîì àäìèíèñòðàòèâíîé ñëóæáû ÒÊÑ, îáåñïå÷èâàþùèì òåñòîâîå, ôóíê-
öèîíàëüíîå äèàãíîñòèðîâàíèå ìîäóëåé è âîññòàíîâëåíèå ðàáîòîñïîñîá-
íîñòè ñèñòåìû îáðàáîòêè äàííûõ ïîñðåäñòâîì ðåêîíôèãóðàöèè ñòðóê-
òóðû ÒÊÑ.
 ðàáîòå [9] ðàññìîòðåí âîïðîñ ñîêðàùåíèÿ ðàñõîäîâ íà ëàâèííóþ ðàñ-
ñûëêó äàííûõ â äèíàìè÷åñêèõ ñåòÿõ ñ ïîìîùüþ ìåõàíèçìà «ïåðêîëÿöèîí-
íîé ëàâèíû». Óñòàíîâëåíî ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïîðîãîì ïåðêîëÿöèè â êëàñ-
ñè÷åñêîì (ñòàòè÷åñêîì) è äèíàìè÷åñêîì ñëó÷àÿõ ÷åðåç èíòåãðàëüíóþ ñòàòèñ-
òè÷åñêóþ õàðàêòåðèñòèêó — ñðåäíþþ âåðîÿòíîñòü àêòèâíîñòè ñâÿçåé.
Òàêèì îáðàçîì, ñëîæíîñòü ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé ïåðêî-
ëÿöèîííûõ è ôðàêòàëüíûõ ñòðóêòóð ñâÿçàíà íå òîëüêî ñ òðóäíîñòÿìè ïðè
èõ ôîðìèðîâàíèè. Ñóùåñòâóþò ïðîáëåìû ñ ëîêàëèçàöèåé è îïðåäåëåíèåì
òàêèõ ñòðóêòóð, òàê êàê îíè íå îáëàäàþò âûðàæåííûìè ðåçîíàíñíûìè
ñâîéñòâàìè. Â ïðèâåäåííîé ëèòåðàòóðå îïðåäåëåíèå ôðàêòàëüíûõ ñâîéñòâ
ïðîöåññîâ ïðîâîäèëîñü ëèøü äëÿ àíàëèçà îäíîé ñèñòåìû. Ðåçóëüòàòû ïðî-
âåðêè ñâîéñòâà ñàìîïîäîáèÿ îäíèõ ïîäñèñòåì (ïîäïðîöåññîâ) â ðàìêàõ äðó-
ãèõ ôðàêòàëüíûõ ñèñòåì (ïðîöåññîâ) â ëèòåðàòóðå íå ïðèâåäåíû.
 ñâÿçè ñ ýòèì ïðåäñòàâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé ôîðìàëèçàöèÿ çàäà÷è è
ðàçðàáîòêà ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà ðàçäåëåíèÿ ñëîæíîé ñåòè, îáëàäàþ-
ùåé ìàñøòàáíî-èíâàðèàíòíûìè ñâîéñòâàìè, íà ïåðêîëÿöèîííûå êëàñòåðû ñ
ïîñëåäóþùèì ïîñòðîåíèåì ìàðøðóòà ïåðåäà÷è äàííûõ ìåæäó óçëàìè ÒÊÑ è
åãî ïðîâåðêîé íà ñâîéñòâî ñàìîïîäîáèÿ äëÿ ïðåäñêàçàíèÿ ïîâåäåíèÿ ñëîæ-
íîé ñåòè â öåëîì.
Ïîíÿòèå ñëîæíîé ñåòè. Ïîä ñëîæíûìè ñåòÿìè ïîäðàçóìåâàþòñÿ ñèñ-
òåìû, ñîñòîÿùèå èç ðåàëüíûõ îáúåêòîâ è ñâÿçåé ìåæäó íèìè [2]. Ñëîæíàÿ
ñåòü ìîäåëèðóåòñÿ ãðàôîì, îäíàêî ýòîò ãðàô, êàê ïðàâèëî, èìååò îïðåäå-
ëåííóþ ñòðóêòóðó è îáëàäàåò õàðàêòåðíûìè ïðèçíàêàìè. Òàêèå ñåòè ïðè-
íÿòî íàçûâàòü áåçìàñøòàáíûìè èëè ìàñøòàáíî-èíâàðèàíòíûìè (scale-
Ôðàêòàëüíûå ñâîéñòâà ìàðøðóòîâ ïåðåäà÷è äàííûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 5 59
free), ïîñêîëüêó ñðåäíÿÿ ñòåïåíü âåðøèíû â íèõ íå ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðíîé,
ò.å. îòñóòñòâóåò õàðàêòåðíûé ìàñøòàá. Íàïðèìåð, äëÿ ìàñøòàáíî-èíâà-
ðèàíòíîé òîïîëîãèè òåëåêîììóíèêàöèîííîé ñåòè õàðàêòåðíî íàëè÷èå ìà-
ëîãî ÷èñëà õàáîâ — âåðøèí íàèáîëüøåé ñòåïåíè — è áîëüøîãî ÷èñëà
âåðøèí ìàëîé ñòåïåíè. Ñëîæíûå ñåòè èìåþò õîðîøî âûðàæåííóþ ñòðóê-
òóðó åñòåñòâåííûõ ñîîáùåñòâ: âåðøèíû ñåòè ðàçäåëåíû íà ãðóïïû, êîòî-
ðûå ñëàáî ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé, íî èìåþò áîëüøóþ ïëîòíîñòü ðåáåð
âíóòðè. Ïðè ýòîì ñëîæíûå ñåòè ãëîáàëüíî ÿâëÿþòñÿ ðàçðåæåííûìè ñ ÷èñ-
ëîì ðåáåð m, ïðîïîðöèîíàëüíûì ÷èñëó âåðøèí n: m = O (n).
Ñëîæíûå ñåòè õàðàêòåðèçóþòñÿ íå ïðîñòî áîëüøèì ÷èñëîì óçëîâ è
ïóòåé ìåæäó íèìè, à çàäà÷è èññëåäîâàíèÿ áîëüøèõ ñåòåé íå èñ÷åðïû-
âàþòñÿ èññëåäîâàíèÿìè èõ òîïîëîãèè è ñâîéñòâ êàæäîãî óçëà. Ïðåæäå
âñåãî, â ñëîæíûõ ñåòÿõ èññëåäóþòñÿ ñîâîêóïíûå ñâîéñòâà è èõ ñòàòèñòè-
÷åñêèå ôåíîìåíû, â ÷àñòíîñòè:
ñòàòèñòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ ñòðóêòóð;
ïóòè, ïðîëîæåííûå ïî âûáðàííûì êðèòåðèÿì êà÷åñòâà;
êëàñòåðû óçëîâ (îáúåêòîâ), ñâÿçàííûõ ïî îïðåäåëåííûì óñëîâèÿì;
ñòàòèñòè÷åñêèå ðàñïðåäåëåíèÿ óçëîâ, ñâÿçåé, êëàñòåðîâ è òðàôèêîâ.
Ïåðêîëÿöèîííûé ôàçîâûé ïåðåõîä â äèññèïàòèâíûõ ñòðóêòóðàõ.
Îäèí èç ðàçâèâàåìûõ ïîäõîäîâ èññëåäîâàíèÿ ñëîæíûõ ñåòåé ñâÿçàí ñ ìî-
äåëüþ «ïðîòåêàíèÿ» ïî èõ ðåáðàì (ñâÿçÿì) èíôîðìàöèîííûõ ïîòîêîâ. Òåî-
ðèÿ ïåðêîëÿöèè ïîçâîëÿåò ðåøàòü çàäà÷è àíàëèçà ñëîæíûõ ñåòåé â ðàìêàõ
ýòîé ìîäåëè.  öåëîì, çàäà÷à ïðîòåêàíèÿ èíôîðìàöèè ÷åðåç ñëîæíóþ ñåòü
ëåãêî ðåøàåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóëèðîâîê òåîðèè ïåðêîëÿöèè [1].
 òàêîé ïîñòàíîâêå ïðè îïðåäåëåííîé êîíöåíòðàöèè èíôîðìàöèè
ïîÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ òðàíçèòíîãî óçëà â çàäàííîé îáëàñòè
ïðîñòðàíñòâà ñòîõàñòè÷åñêîãî ïåðêîëÿöèîííîãî êëàñòåðà, ÷òî ïîçâîëÿåò
ðåøèòü â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïîñòàâëåííóþ çàäà÷ó, ò.å. îïðåäåëèòü ÷èñ-
ëî óçëîâ â êëàñòåðå.
Ìåòîäû îïðåäåëåíèÿ ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòè. Â ñîâðåìåííîé
ëèòåðàòóðå èñïîëüçóåòñÿ íåñêîëüêî îñíîâíûõ îïðåäåëåíèé ôðàêòàëüíîé
ðàçìåðíîñòè: óñðåäíåííàÿ ïîòî÷å÷íàÿ ðàçìåðíîñòü, êîððåëÿöèîííàÿ ðàç-
ìåðíîñòü è ëÿïóíîâñêàÿ (èíôîðìàöèîííàÿ) ðàçìåðíîñòü. Â áîëüøèíñòâå
ðàáîò, ãäå ðåàëüíî âû÷èñëÿåòñÿ ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü, èñïîëüçóåòñÿ îò
2000 äî 20000 òî÷åê. Ïðÿìûå àëãîðèòìû, èñïîëüçóåìûå äëÿ âû÷èñëåíèÿ
ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòè ïî N0 òî÷êàì, îáû÷íî ñîäåðæàò N 0
2 îïåðàöèé è
îáëàäàþò áîëüøîé âû÷èñëèòåëüíîé ñëîæíîñòüþ. Îäíàêî ÷èñëî îïåðàöèé
ìîæíî óìåíüøèòü äî N0 ln (N0) [2].
Îïèñàíî íåñêîëüêî ìåòîäîâ îïðåäåëåíèÿ ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòè
äëÿ âðåìåííîãî ðÿäà [1—3].
Þ.Ã. Äàíèê, Þ.À. Êóëàêîâ, Â.Â. Âîðîòíèêîâ
60 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 5
Ïåðâûé — ýòî êëàññè÷åñêèé êëåòî÷íûé ñïîñîá, êîãäà ãðàôèê íà-
êðûâàþò ñåðèåé ñåòîê è îïðåäåëÿþò ôðàêòàëüíóþ ðàçìåðíîñòü òàê æå, êàê
è äëÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôðàêòàëîâ.
Âòîðîé ñïîñîá ïðåäëîæåí Á. Ìàíäåëüáðîòîì, èññëåäîâàí Ã. Õåðñòîì
è íîñèò íàçâàíèå R/S-ìåòîäà [1, 3]. Îí ïîñòðîåí íà àíàëèçå ðàçìàõà ïàðà-
ìåòðà (íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî çíà÷åíèé íà èçó÷àåìîì îòðåçêå) è
ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî îòêëîíåíèÿ.
Òðåòèé ñïîñîá îñíîâàí íà èçìåíåíèè äëèíû êðèâîé â çàâèñèìîñòè îò
ìàñøòàáà. Åñëè êðèâàÿ áëèçêà ê ôðàêòàëüíîé, òî ïðè óìåíüøåíèè ìàñø-
òàáà äëèíà êðèâîé áóäåò âîçðàñòàòü ïî ïîêàçàòåëüíîìó çàêîíó.
Ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü, â îáùåì ñëó÷àå, ÿâëÿåòñÿ ïîêàçàòåëåì ñëîæ-
íîñòè êðèâîé. Àíàëèçèðóÿ ÷åðåäîâàíèå ó÷àñòêîâ ñ ðàçëè÷íîé ôðàêòàëüíîé
ðàçìåðíîñòüþ è âîçäåéñòâèå íà ñèñòåìó âíåøíèõ è âíóòðåííèõ ôàêòîðîâ,
ìîæíî ïðîãíîçèðîâàòü ïîâåäåíèå ñèñòåìû, äèàãíîñòèðîâàòü è ïðåäñêàçû-
âàòü íåñòàáèëüíîå ñîñòîÿíèå. Ñóùåñòâåííûì ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå êðèòè÷åñ-
êîãî çíà÷åíèÿ ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòè âðåìåííîé êðèâîé, ïðè ïðèáëèæå-
íèè ê êîòîðîìó ñèñòåìà òåðÿåò óñòîé÷èâîñòü è ïåðåõîäèò â íåñòàáèëüíîå
ñîñòîÿíèå. Ïðè ýòîì ïàðàìåòðû áûñòðî âîçðàñòàþò ëèáî óáûâàþò, â çàâè-
ñèìîñòè îò òåíäåíöèè, íàáëþäàåìîé â äàííîå âðåìÿ [3].
Òàêèì îáðàçîì, ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü îïðåäåëåííîé âåëè÷èíû ìî-
æåò áûòü èñïîëüçîâàíà êàê èíäèêàòîð êðèçèñà èëè «ôëàã» êàòàñòðîôû.
Êðîìå òîãî, âåëè÷èíà ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòè ìîæåò ÿâëÿòüñÿ èíäè-
êàòîðîì ÷èñëà ôàêòîðîâ, âëèÿþùèõ íà ñèñòåìó.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ôðàêòàëüíûõ ñâîéñòâ ñëîæ-
íîé ÒÊÑ íåîáõîäèìî ðàçáèòü íà äâà ýòàïà.
Íà ýòàïå I ïîñðåäñòâîì óâåëè÷åíèÿ (íàñûùåíèÿ) óçëîâ â êëàñòåðå
îïðåäåëÿþòñÿ ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ ôàçîâîãî ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ «ñåòü
ïðåäñòàâëÿåò ìàêñèìàëüíûé êëàñòåð» â ñîñòîÿíèå «ñåòü ñîñòîèò èç íå-
ñêîëüêèõ êëàñòåðîâ» [2]. Îñíîâíîå ñâîéñòâî äàííîãî ýòàïà — âîçìîæíîñòü
ïåðåäà÷è äàííûõ â ñëîæíîé ñåòè ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ óçëàìè.
Íà ýòàïå II äëÿ ïîñòðîåííîãî ìàðøðóòà ïåðåäà÷è äàííûõ ìåæäó
óçëàìè ñëîæíîé ñåòè îïðåäåëÿåòñÿ ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü ïóòè ïåðå-
äà÷è äàííûõ äëÿ ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé ôàçîâîãî ïåðåõîäà. Ýòîò ýòàï
ïîçâîëÿåò îöåíèòü êà÷åñòâî ïåðåäà÷è äàííûõ â ñëîæíîé ñåòè.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è I ýòàïà ñîâïàäàåò ñ ïîñòàíîâêîé çàäà÷è òåîðèè
ïåðêîëÿöèè [1, 9]. Èìååòñÿ ðåøåòêà èç ñâÿçåé èëè ìàòðèöà, ñëó÷àéíàÿ îòíî-
ñèòåëüíàÿ ÷àñòü ÿ÷ååê êîòîðîé K — «÷åðíàÿ», ïðîâîäÿùàÿ ïîòîê, à îñòàëüíàÿ
÷àñòü — «áåëàÿ», íå ïðîâîäÿùàÿ ïîòîê. Íåîáõîäèìî íàéòè ìèíèìàëüíóþ
êîíöåíòðàöèþ ÷åðíûõ ÿ÷ååê, ïðè êîòîðîé îáðàçóåòñÿ ñêâîçíîé ïóòü ïî
÷åðíûì ñâÿçÿì, èëè ÿ÷åéêàì ÷åðåç âñþ ìàòðèöó â çàäàííîì íàïðàâëåíèè.
Ôðàêòàëüíûå ñâîéñòâà ìàðøðóòîâ ïåðåäà÷è äàííûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 5 61
Èíûìè ñëîâàìè, òðåáóåòñÿ íàéòè òàêóþ êîíöåíòðàöèþ Kn, ïðè êîòîðîé
âñÿ ìàòðèöà áóäåò ïðîâîäÿùåé. Ïðè äîñòèæåíèè ïðîâîäèìîñòè ñâîéñòâà
òàêîé ñåòè êà÷åñòâåííî è ñêà÷êîì ìåíÿþòñÿ: îáðàçóåòñÿ áåçîïàñíûé ïóòü
(èëè ðàçðóøàåòñÿ), âîçíèêàåò (èëè çàòóõàåò) ýïèäåìèÿ, âîññîçäàåòñÿ ðàç-
ðóøåííàÿ ñîöèàëüíàÿ ñåòü, âîçíèêàåò ïðîáêà â äîðîæíîì äâèæåíèè è òàê
äàëåå. Ïðè ýòîì êîíöåíòðàöèÿ K — äîëÿ ÷åðíûõ óçëîâ ïðè ñëó÷àéíî-
îäíîðîäíîì çàïîëíåíèè ðåøåòêè, èëè ìàòðèöû, — ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòüþ
íàëè÷èÿ ÷åðíîãî îáúåêòà â ÿ÷åéêå ìàòðèöû [1, 3, 6].
Âû÷èñëåíèå ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòè ïåðêîëÿöèîííîãî êëàñòåðà íà
ïðàêòèêå îñóùåñòâëÿåòñÿ íà îñíîâàíèè êîððåëÿöèîííîé ðàçìåðíîñòè:
d
C
c �
�
lim
ln ( )
ln�
�
�0
. (1)
Çäåñü C ( )� — êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ, âû÷èñëÿåìàÿ êàê îòíîøåíèå ÷èñ-
ëà òî÷åê n, ïîïàðíî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó êîòîðûìè ìåíüøå �, ê êâàäðàòó
îáùåãî ÷èñëà òî÷åê N,
C n N( )� � 2, (2)
ãäå � — ðàçìåð ãåîìåòðè÷åñêîé ñòðóêòóðû, êîòîðîé ïîêðûâàåòñÿ ìíî-
æåñòâî òî÷åê.
Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè P x y1 1 1( , ) è P x y2 2 2( , ) îïðåäåëÿåòñÿ òàê:
r x x y y� � � �( ) ( )2 1
2
2 1
2. (3)
Ñëåäîâàòåëüíî, ñíà÷àëà íóæíî ïîäñ÷èòàòü ÷èñëî òî÷åê n, ðàññòîÿíèå ìåæäó
êîòîðûìè íå ïðåâûøàåò r � �, ãäå � — çàäàíî, íàïðèìåð, � = 1, 2, 3... .
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è II ýòàïà â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåçóëüòàòàìè ýòàïà I
ñëåäóþùàÿ.
Ïóñòü åñòü ìíîæåñòâî G â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ðàçìåðíîñòè d. Ýòî
ìíîæåñòâî ïîêðûâàåòñÿ êóáèêàìè ðàçìåðíîñòè d, ïðè ýòîì äëèíà ðåáðà
ëþáîãî êóáèêà íå ïðåâûøàåò íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ �, ò.å. � �i . Ââåäåì çàâè-
ñÿùóþ îò ïàðàìåòðîâ d è � ñóììó ïî âñåì ýëåìåíòàì ïîêðûòèÿ:
ld i
d
i
( )� ��
.
Îïðåäåëèì íèæíþþ ãðàíèöó ýòîé ñóììû:
Ld i
d
i i
( ) inf
,
� �
� �
�
.
Ïðè óìåíüøåíèè ìàêñèìàëüíîé äëèíû �, åñëè ïàðàìåòð d äîñòàòî÷íî
âåëèê, áóäåò âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå lim ( )
�
�
�
�
0
0Ld . Ïðè íåêîòîðîì
Þ.Ã. Äàíèê, Þ.À. Êóëàêîâ, Â.Â. Âîðîòíèêîâ
62 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 5
äîñòàòî÷íî ìàëîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà d áóäåò âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå
lim ( )
�
�
�
� �
0
Ld .
Ïðîìåæóòî÷íîå êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå dx , äëÿ êîòîðîãî
lim ( )
, ,
, ,�
�
�
�
�
�
�
�0
0
L
d d
d d
d
x
x
íàçûâàþò ðàçìåðíîñòüþ Õàóñäîðôà—Áåçèêîâè÷à (èëè ôðàêòàëüíîé ðàçìåð-
íîñòüþ) [1]. Äëÿ ïðîñòûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ ðàçìåðíîñòü Õàóñäîð-
ôà—Áåçèêîâè÷à ñîâïàäàåò ñ òîïîëîãè÷åñêîé (äëÿ îòðåçêà dx �1, äëÿ êâàä-
ðàòà dx � 2, äëÿ êóáà dx � 3 è òàê äàëåå.)
Íåñìîòðÿ íà òî ÷òî ðàçìåðíîñòü Õàóñäîðôà—Áåçèêîâè÷à ñ òåîðå-
òè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ îïðåäåëåíà áåçóïðå÷íî, äëÿ ðåàëüíûõ ôðàêòàëü-
íûõ îáúåêòîâ ðàñ÷åò ýòîé ðàçìåðíîñòè ÿâëÿåòñÿ âåñüìà çàòðóäíèòåëüíûì.
Ïîýòîìó ââåäåì íåñêîëüêî óïðîùåííûé ïîêàçàòåëü — åìêîñòíóþ ðàçìåð-
íîñòü dc . Ïðè îïðåäåëåíèè ýòîé ðàçìåðíîñòè èñïîëüçóþòñÿ êâàäðàòû ñ
ãðàíÿìè îäèíàêîâîãî ðàçìåðà.  ýòîì ñëó÷àå ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
L Nd
dc( ) ( )� � �� , ãäå N ( )� — ÷èñëî êóáèêîâ, ïîêðûâàþùèõ îáëàñòü G.
Ïóòåì ëîãàðèôìèðîâàíèÿ è ïåðåõîäà ê ïðåäåëó ïðè óìåíüøåíèè ãðàíè
êóáèêà � � 0 ïîëó÷àåì
d
N
c � �
�
lim
log ( )
log�
�
�0
,
åñëè ýòîò ïðåäåë ñóùåñòâóåò. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî â áîëüøèíñòâå ÷èñ-
ëåííûõ ìåòîäîâ îïðåäåëåíèÿ ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòè èñïîëüçóåòñÿ èìåí-
íî âåëè÷èíà dc . Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü, ÷òî âñåãäà ñïðàâåäëèâî
óñëîâèå d dx c� . Äëÿ ðåãóëÿðíûõ ñàìîïîäîáíûõ ôðàêòàëüíûõ ñòðóêòóð åì-
êîñòíàÿ ðàçìåðíîñòü è ðàçìåðíîñòü Õàóñäîðôà—Áåçèêîâè÷à ñîâïàäàþò.
Ïîýòîìó èõ íàçûâàþò ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòüþ îáúåêòà [4, 6].
Ïðèìåð ðàñ÷åòà ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòè ïåðêîëÿöèîííîãî êëàñ-
òåðà ñëîæíîé ñåòè è ïðîâåðêà ñâîéñòâ ñàìîïîäîáèÿ ìàðøðóòà ïåðå-
äà÷è äàííûõ. Ïóñòü çàäàíà ÿ÷åèñòàÿ òîïîëîãèÿ ñëîæíîé ñåòè. Èìèòàöèÿ
ôîðìû è ðàçìåðîâ ÿ÷åéêè òîïîëîãèè ðåàëüíîé ñåòè íå òðåáóåòñÿ. Ìîäåëü
èìèòèðóåò ñâÿçíîñòü óçëîâ — îáúåêòîâ ñåòè: îáúåêòû ñåòè ñâÿçàíû, åñëè
ñîïðèêàñàþòñÿ ñòîðîíàìè êâàäðàòà — ÿ÷åéêè ìàòðèöû, â êîòîðîé îíè
íàõîäÿòñÿ. Ïðè âûïîëíåíèè ýòèõ óñëîâèé ïî ìåðå âîçðàñòàíèÿ êîíöåíò-
ðàöèè ÷åðíûõ ÿ÷ååê îáðàçóþòñÿ è ðàñòóò êëàñòåðû ñâÿçàííûõ ÷åðíûõ
îáúåêòîâ — óçëîâ.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôàçîâîãî ïåðåõîäà â ìàñøòàáíî-èíâàðèàíòíîé ñåòè
ìîäåëèðóåì ðàñ÷åò ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòè ñîâîêóïíîñòè ìíîæåñòâà
óçëîâ ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåãî àëãîðèòìà [1].
Ôðàêòàëüíûå ñâîéñòâà ìàðøðóòîâ ïåðåäà÷è äàííûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 5 63
À ë ã î ð è ò ì.
1. Ãåíåðèðóåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ âå-
ëè÷èí.
2. Íàõîäèì öåíòð ìàññ êëàñòåðà.  ñëó÷àå äâóìåðíîãî èçìåðåíèÿ
äàííûõ êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ îïðåäåëÿåì ïî ôîðìóëàì
x
n
x y
n
yc
i
n
i c
i
n
i� �
� �
1 1
1 1
, ,
ãäå n — ÷èñëî óçëîâ â êëàñòåðå; ( , )x yi i — êîîðäèíàòû i-ãî óçëà.
3. Îïðåäåëÿåì ÷èñëî óçëîâ êëàñòåðà m L( ), íàõîäÿùèõñÿ âíóòðè êâàä-
ðàòà ñî ñòîðîíîé L è öåíòðîì â öåíòðå ìàññ êëàñòåðà ( , )x yc c .
4. Óâåëè÷èâàåì çíà÷åíèå L â äâà ðàçà è ïîâòîðÿåì øàãè 3, 4s ðàç, ïîêà
êâàäðàò íå ïîêðîåò êëàñòåð ïîëíîñòüþ.
5. Ñòðîèì çàâèñèìîñòü Ln m( ) îò Ln L( ).
6. Âû÷èñëÿåì ôðàêòàëüíóþ ðàçìåðíîñòü ïî ìåòîäó íàèìåíüøèõ êâàä-
ðàòîâ [1]:
d B
s X Y X Y
f
i i
i
s
i
i
s
i
i
s
� �
�
� � �
1 1 1
�
, � �
�
d B
s
f
B� � ,
ãäå X Li i� ln , Y m Li i� ln ( ),
A
X Y X X Yi
i
s
i
i
s
i
i
s
i i
i
s
�
�
� � � �
2
1 1 1 1
�
, �
�
B
ys2
2
�
�
,
�Y i i
i
s
s
Y A BX2 2
1
1
� � �
�
( ) , � � �
�
�
��
�
�
��
��
s X Xi
i
s
i
i
s
2
1
2
1
.
7. Ïîâòîðÿåì øàãè 1—7 n ðàç ñ ðàçëè÷íûìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè
ñëó÷àéíûõ ÷èñåë.
8. Íàõîäèì ñðåäíåå çíà÷åíèå ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòè.
Íà ðèñ. 1 ïîêàçàíû âàðèàíòû íàñûùåíèÿ êëàñòåðà óçëàìè ñåòè. Îáùåå
÷èñëî óçëîâ ñëîæíîé ñåòè ðàçáèòî íà êëàñòåðû. Íà ðèñ. 1, à, ñåòü ðàçáèòà
íà 400 êëàñòåðîâ, ïðè ýòîì íàáëþäàþòñÿ ïóñòûå ÿ÷åéêè (êëàñòåðû íå
ñîäåðæàò óçëîâ). Íà ðèñ. 1, á, â, ðàçìåð êëàñòåðà óâåëè÷åí. Íà ðèñ. 1, ã, ñåòü
ðàçáèòà íà ÷åòûðå êëàñòåðà, êîòîðûå çàïîëíåíû óçëàìè ðàâíîìåðíî.
Ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññà íàñûùåíèÿ êëàñòåðà óçëàìè, ïî àíàëîãèè ñ
ïîíÿòèåì «ïðîòåêàåìîñòè» â òåîðèè ïåðêîëÿöèè, ñîîòâåòñòâóåò ïðîöåññó
èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ñåòè, â êîòîðîé óçëû â ïðåäåëå ÿ÷åéêè ñòàíîâÿòñÿ
Þ.Ã. Äàíèê, Þ.À. Êóëàêîâ, Â.Â. Âîðîòíèêîâ
64 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 5
äîñÿãàåìûìè (ñåòü ñòàíîâèòñÿ ñâÿçíîé). È íàîáîðîò, ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñ-
ëà íåïðîâîäÿùèõ ÿ÷ååê â ñëîæíîé ñèñòåìå ïðîèñõîäèò ôàçîâûé ïåðåõîä
èç ñîñòîÿíèÿ ïðîâîäèìîñòè, êîãäà ñåòü ñîñòîèò èç îäíîãî ãëîáàëüíîãî
ñâÿçíîãî êëàñòåðà, â ñîñòîÿíèå íåïðîâîäèìîñòè, êîãäà ñåòü ðàñïàäàåòñÿ íà
íåñêîëüêî êëàñòåðîâ.
Íà ðèñ. 2 ïîêàçàíà çàâèñèìîñòü ÷èñëà óçëîâ (ÿ÷ååê), âêëþ÷åííûõ â
êëàñòåð, îò ìàñøòàáà L. Êàê âèäíî èç ýòîé çàâèñèìîñòè, èíòåðåñ ïðåä-
ñòàâëÿåò ïîâåäåíèå ñëîæíîé ñåòè ïðè êðèòè÷åñêîì çíà÷åíèè ln ( ) ...L � 5 9.
Èìåííî â ýòîò ìîìåíò â ñåòè ñêà÷êîîáðàçíî èçìåíÿåòñÿ ñâîéñòâî ïðîâî-
äèìîñòè. Íà ýòîì ýòàï îïðåäåëåíèÿ ïåðêîëÿöèîííîãî êëàñòåðà çàêàí÷èâàåò-
ñÿ. Åãî ðåçóëüòàòîì ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé ðàçìåðîâ
êëàñòåðîâ, ïðè êîòîðûõ ñëîæíàÿ ñåòü ñîõðàíÿåò ñâîþ ïðîâîäèìîñòü.
Íà ñëåäóþùåì ýòàïå àíàëèçèðóåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà ìàðøðóòà
ïåðåäà÷è äàííûõ ìåæäó äâóìÿ ñëó÷àéíûìè óçëàìè À è Â. Èç ðèñ. 3 âèäíî,
÷òî ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ ÷èñëà íåäîñòóïíûõ óçëîâ â ñåòè ãåîìåòðè÷åñêè
Ôðàêòàëüíûå ñâîéñòâà ìàðøðóòîâ ïåðåäà÷è äàííûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 5 65
a á â ã
Ðèñ. 1. Ñëîæíàÿ ñåòü, ñîñòîÿùàÿ èç 400 êëàñòåðîâ (à), 64 êëàñòåðîâ (á), 16 êëàñòåðîâ (â) è
÷åòûðåõ êëàñòåðîâ (ã)
Ln m L( ( ))
Ln L( )
6
5
4
3
2
1
0
0 2 4 6 8 10
Ðèñ. 2. Êðèâàÿ ôàçîâîãî ïåðåõîäà
ôîðìà ìàðøðóòà ïåðåäà÷è äàííûõ ìåæäó óçëàìè À è  èçìåíÿåòñÿ îò
ëèíåéíîãî âèäà ê íåëèíåéíîìó. ×åì áîëüøå íåäîñòóïíûõ óçëîâ â ñåòè,
òåì «çàïóòàííåå» ñòàíîâèòñÿ ïóòü ïåðåäà÷è äàííûõ ìåæäó óçëàìè, à ïðè
ãðàíè÷íîì çíà÷åíèè ôàçîâîãî ïåðåõîäà ìàðøðóò èìååò èçâèëèñòûé è
èçðåçàííûé õàðàêòåð.
Ìàðøðóò ïðîòåêàíèÿ èíôîðìàöèè â ñëîæíîé ñåòè ìåæäó èñòî÷íèêîì
À è àäðåñàòîì Â (ðèñ. 4) èìååò ôîðìó «áåðåãîâîé ëèíèè» [3, 4]. Äëÿ ïðî-
âåðêè ñâîéñòâ òàêîãî ìàðøðóòà ðàñïðîñòðàíåíèÿ èíôîðìàöèè â ñåòè öåëå-
ñîîáðàçíî îïðåäåëèòü åãî åìêîñòíóþ ôðàêòàëüíóþ ðàçìåðíîñòü. Äëÿ ýòî-
ãî èñïîëüçóþò ñëåäóþùèé ìåòîäè÷åñêèé ïðèåì [2]. Ïóñòü íà íåêîòîðîì
ýòàïå ïîêðûòèÿ ôðàêòàëà ïðèøëîñü èñïîëüçîâàòü N ( )� êâàäðàòîâ ñ ãðà-
íÿìè ðàçìåðà �, à íà äðóãîì — N ( )�� ýëåìåíòîâ ñ ãðàíÿìè ðàçìåðà �� .
Ââèäó ïðåäïîëàãàåìîé ñòåïåííîé çàâèñèìîñòè ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå:
N dc( )� ��1 , N dc( )� � �� �1 , ãäå çíà÷åíèå dc ( / )� �� ìîæíî îïðåäåëèòü òàê:
d
N N
c � �
�
�
log ( ( ) / ( ))
log ( / )
� �
� �
. (4)
Þ.Ã. Äàíèê, Þ.À. Êóëàêîâ, Â.Â. Âîðîòíèêîâ
66 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 5
a á
B B
AA B
Ðèñ. 3. Èçìåíåíèå ïðîõîäèìîñòè ñëîæíîé ñåòè â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà äîñòóïíûõ óçëîâ
êëàñòåðà: à — äîñòóïíî 50 % óçëîâ â ñåòè, äëèíà ìàðøðóòà — 48 òðàíçèòîâ; á — äîñòóïíî
40 % óçëîâ â ñåòè, äëèíà ìàðøðóòà — 66 òðàíçèòîâ
B
A
Ðèñ. 4. Ôðàêòàëüíûé õàðàêòåð ïóòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ èíôîðìàöèè â ïåðêîëÿöèîííîì
êëàñòåðå ñëîæíîé ñåòè ïðè ãðàíè÷íîì çíà÷åíèè ôàçîâîãî ïåðåõîäà (ñì. ðèñ. 3, á)
 ñîîòâåòñòâèè ñ (1)—(3), ìàðøðóò ïîêðûò �-ïîêðûòèåì ñî ñòîðîíîé
êâàäðàòà � = 3, 4, 5, 6 (ðèñ. 5) è ðàññ÷èòàíî çíà÷åíèå ôðàêòàëüíîé ðàçìåð-
íîñòè dc . Äëÿ ðàññìîòðåííîãî ïðèìåðà çàâèñèìîñòü ÷èñëà ýëåìåíòîâ ïî-
êðûòèÿ îò ñòîðîíû êâàäðàòà ñëåäóþùàÿ:
� . . . . . . . . 8 7 6 5 4 3 2
N ( )� . . . . . 7 9 11 12 18 23 33
Èçìåíåíèå îòíîøåíèÿ� �/ � èç (4) äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé äëèíû êâàä-
ðàòà ïîêðûòèÿ ôðàêòàëà, �� � �� � �i i, , ...,1 ïðèâåäåíî â òàáëèöå, ãäå òàêæå
ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ N N( ) / ( )� �� ïðè ðàçëè÷íîé äëèíå êâàäðàòà ïîêðûòèÿ
ôðàêòàëà �� � �� � �i i, , ...,1 .
Ïîëó÷åííûå äàííûå ïîçâîëÿþò ïðîñëåäèòü äèíàìèêó èçìåíåíèÿ ôðàê-
òàëüíîé ðàçìåðíîñòè ìàðøðóòà ïåðåäà÷è äàííûõ â çàâèñèìîñòè îò ñêîðîñòè
èçìåíåíèÿ çíà÷åíèÿ �. Ýëåìåíòû ïîêðûòèÿ ìîãóò áûòü èíòåðïðåòèðîâàíû êàê
Ôðàêòàëüíûå ñâîéñòâà ìàðøðóòîâ ïåðåäà÷è äàííûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 5 67
B
A
B
B B
A
AA
A B B
a á
â ã
Ðèñ. 5. Ïîêðûòèå ìàðøðóòà ïåðåäà÷è äàííûõ êâàäðàòàìè ñî ñòîðîíàìè: à — � � 6; á —
� � 5; â — � � 4; ã — � � 3
� � �/ � log ( /� � �� N ( )� N N( ) / ( )� �� log ( ( ) / ( ))N N� ��
8 1 0 7 1 0
7 1,142857 –0,10914 9 0,777778 –0,10914
6 1,333333 –0,19629 11 0,636364 –0,19629
5 1,6 –0,23408 12 0,583333 –0,23408
4 2 –0,41017 18 0,388889 –0,41017
3 2,666667 –0,51663 23 0,304348 –0,51663
2 4 –0,67342 33 0,212121 –0,67342
1 8 –0,97445 66 0,106061 –0,97445
îáëàñòè êëàñòåðîâ â ñîñòàâå ïåð-
êîëÿöèîííîãî êëàñòåðà, â êîòîðûå
âêëþ÷àþòñÿ òðàíçèòíûå óçëû íà
ìîìåíò ïåðåäà÷è äàííûõ. Çàâè-
ñèìîñòü èçìåíåíèÿ çíà÷åíèÿ ôðàê-
òàëüíîé ðàçìåðíîñòè ìàðøðóòà
îò ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ îòíîøåíèÿ
� �� ïðèâåäåíà íà ðèñ. 6.
Àíàëèç ïîëó÷åííûõ ðåçóëü-
òàòîâ ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü äèà-
ïàçîí èçìåíåíèÿ îòíîøåíèÿ äëèí êâàäðàòîâ ïîêðûòèÿ ôðàêòàëà, ïðè êî-
òîðûõ ñîõðàíÿþòñÿ ñâîéñòâà ñàìîïîäîáèÿ, à ýòî, ïî èçâåñòíûì äàííûì çàãðó-
æåííîñòè ñåòè, ïîçâîëÿåò îïðåäåëÿòü ó÷àñòêè ìàðøðóòà, íà êîòîðûõ íàáëþ-
äàþòñÿ ïåðåãðóçêè, è ïðîãíîçèðîâàòü èõ äëèòåëüíîñòü. Îäíèì èç âîçìîæíûõ
íàïðàâëåíèé ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ìîæåò
áûòü èñïîëüçîâàíèå ýòîé èíôîðìàöèè ïðè ðàçáèåíèè óçëîâ, âêëþ÷åííûõ â
ìàðøðóò, íà êëàñòåðû.
Âûâîäû
1. Àíàëèç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî ó
ïåðêîëÿöèîííîãî êëàñòåðà ñëîæíîé ñåòè ïðîÿâëÿþòñÿ ñâîéñòâà ãåîìåòðè-
÷åñêîãî ôðàêòàëà ïðè óìåíüøåíèè ðàäèóñà ïîêðûòèÿ.
2. Àíàëèçèðóÿ ÷åðåäîâàíèå ó÷àñòêîâ ñ ðàçëè÷íîé ôðàêòàëüíîé ðàç-
ìåðíîñòüþ è òî, êàê íà ñèñòåìó âîçäåéñòâóþò âíåøíèå è âíóòðåííèå ôàê-
òîðû, ìîæíî ïðîãíîçèðîâàòü ïîâåäåíèå ñèñòåìû, äèàãíîñòèðîâàòü è ïðåä-
ñêàçûâàòü åå íåñòàáèëüíîå ñîñòîÿíèå.
3. Ïðè ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòè ìåíåå 1,4 íà ñèñòåìó âëèÿåò îäíà èëè
íåñêîëüêî ñèë, äâèãàþùèõ ñèñòåìó â îäíîì íàïðàâëåíèè. Åñëè ðàçìåðíîñòü
ïðèáëèçèòåëüíî 1,5, òî ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ñèñòåìó, ðàçíîíàïðàâëåíû,
íî îò÷àñòè êîìïåíñèðóþò îäíà äðóãóþ, åñëè ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü
çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò 1,6, òî ñèñòåìà ñòàíîâèòñÿ íåóñòîé÷èâîé è ãîòîâà
ïåðåéòè â íîâîå ñîñòîÿíèå.
The topological percolation structures of complex networks have been studied, and their transfor-
mation into fractal macrostructures has been executed. The example of calculation of fractal di-
mension of the data transfer route is presented in a scale-invariant network in the interval of
boundary values of phase transition between the states «a maximal cluster» and «network con-
sists of a few clusters». The dependence of fractal dimension of percolation cluster on the size of
�-coverage square side and the values of conductivity of the complex network has been investi-
gated for determining the number of factors, influencing the system.
Þ.Ã. Äàíèê, Þ.À. Êóëàêîâ, Â.Â. Âîðîòíèêîâ
68 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 5
dc�����)
2,0
1,8
1,4
1,0
0 2 4 6 8 ����
Ëèíèÿ ðåãðåñèè
Ðèñ. 6. Çàâèñèìîñòü ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòè
îò çíà÷åíèÿ � �/ �, �� � � � i , i �1,..., �
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Òàðàñåâè÷ Þ.Þ. Ïåðêîëÿöèÿ: òåîðèÿ, ïðèëîæåíèÿ, àëãîðèòìû. — Ì.: ÓÐÑÑ, 2002. —
109 ñ.
2. Ëàíäý Ä.Â., Ñíàðñêèé À.À., Áåçñóäíîâ È.Â. Èíòåðíåòèêà. Íàâèãàöèÿ â ñëîæíûõ ñåòÿõ:
ìîäåëè è àëãîðèòìû. — Ì.: Êíèæíûé äîì «Ëèáåðêîì», 2009. — 264 ñ.
3. Äîäîíîâ À.Ã., Ëàíäý Ä.Â. Æèâó÷åñòü èíôîðìàöèîííûõ ñèñòåì. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà,
2011. — 256 ñ.
4. Ìîñòîâîé ß.À. Äâóõôàçíûå îïåðàöèè â áîëüøèõ ñåòÿõ íàíîñïóòíèêîâ // Êîìïüþ-
òåðíàÿ îïòèêà. — 2013. — 37, ¹ 1. — Ñ. 129—139.
5. Þðêèí Â.Þ., Ìîõñåíè Ò.È. Èåðàðõè÷åñêèå ïîäõîäû ê ñàìîîðãàíèçàöèè â áåñïðî-
âîäíûõ ñâåðõøèðîêîïîëîñíûõ ñåíñîðíûõ ñåòÿõ íà îñíîâå õàîòè÷åñêèõ ðàäèîèìïóëü-
ñîâ // Òðóäû ÌÔÒÈ. — 2012. — 4, ¹ 3. — Ñ. 151—161.
6. Åâèí È.À. Ââåäåíèå â òåîðèþ ñëîæíûõ ñåòåé//Êîìïüþòåðíûå èññëåäîâàíèÿ è ìîäåëè-
ðîâàíèå. — 2010. — 2, ¹ 2. — Ñ. 121—141.
7. Ãðóøî À.À., Òèìîíèíà Å.Å. Ìîäåëü ñëó÷àéíûõ ãðàôîâ äëÿ îïèñàíèÿ âçàèìîäåéñòâèé â
ñåòè//Èíôîðìàòèêà è åå ïðèìåíåíèÿ. — 2012. — 6, âûï. 4. — Ñ. 57—60
8. Êàðïåíêî Ñ.Ã., Êîâàëåíêî Ì.À., Ìèðîøíèê Ì.À., Ïàí÷åíêî Ñ.Â. Ïîäõîä ê ïðîåêòè-
ðîâàíèþ êîìïüþòåðíûõ ñåòåé ñ èíòåëëåêòóàëüíîé äèàãíîñòè÷åñêîé èíôðàñòðóê-
òóðîé // ²ÒÊÑ. — 2011. — ¹ 6.— Ñ. 51—59.
9. Ãîëóáåâ À.Ñ., Çâÿãèí Ì.Þ., Ìèëîâàíîâ Ä.Ñ. Ýôôåêò ïåðêîëÿöèè â èíôîðìàöèîííûõ
ñåòÿõ ñ íåóñòîé÷èâûìè ñâÿçÿìè. Èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè // Âåñòí. Íèæåãîðîäñêîãî
óí-òà èì. Í.È. Ëîáà÷åâñêîãî. — 2011. — ¹ 3 (2). — C. 260—263.
Ïîñòóïèëà 02.07.13
ÄÀÍÈÊ Þðèé Ãðèãîðüåâè÷, Çàñëóæåííûé äåÿòåëü íàóêè è òåõíèêè Óêðàèíû, Ëàóðåàò ãîñó-
äàðñòâåííîé ïðåìèè â ñôåðå íàóêè è òåõíèêè, ä-ð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð, íà÷àëüíèê Æèòî-
ìèðñêîãî âîåííîãî èí-òà èì. Ñ.Ï. Êîðîëåâà Íàöèîíàëüíîãî àâèàöèîííîãî óíèâåðñèòåòà. Â
1987 ã. îêîí÷èë Æèòîìèðñêîå âîåííîå ó÷èëèùå ðàäèîýëåêòðîíèêè. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäî-
âàíèé — êèáåðíåòè÷åñêèå ñèñòåìû.
ÊÓËÀÊΠÞðèé Àëåêñååâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð, ïðîôåññîð êàôåäðû âû÷èñëèòåëüíîé
òåõíèêè ôàêóëüòåòà èíôîðìàòèêè è âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè Íàöèîíàëüíîãî òåõíè÷åñêîãî
óíèâåðñèòåòà Óêðàèíû «ÊÏÈ».  1971 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü
íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ñâåðõïðîèçâîäèòåëüíûå âû÷èñëèòåëüíûå ñåòè è ñèñòåìû.
ÂÎÐÎÒÍÈÊÎÂ Âëàäèìèð Âëàäèìèðîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò, äîöåíò êàôåäðû àâòî-
ìàòèçèðîâàííûõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ôàêóëüòåòà ãåîèíôîðìàöèîííûõ è êîñìè÷åñêèõ ñèñòåì
Æèòîìèðñêîãî âîåííîãî èí-òà èì. Ñ.Ï. Êîðîëåâà Íàöèîíàëüíîãî àâèàöèîííîãî óíèâåðñèòåòà.
 1994 ã. îêîí÷èë Æèòîìèðñêîå âîåííîå ó÷èëèùå ðàäèîýëåêòðîíèêè. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëå-
äîâàíèé — ìîäåëèðîâàíèå ñëîæíûõ èíôîðìàöèîííûõ ñèñòåì.
Ôðàêòàëüíûå ñâîéñòâà ìàðøðóòîâ ïåðåäà÷è äàííûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 5 69
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100863 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T14:37:21Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Даник, Ю.Г. Кулаков, Ю.А. Воротников, В.В. 2016-05-27T19:30:33Z 2016-05-27T19:30:33Z 2013 Фрактальные свойства маршрутов передачи данных в перколяционном кластере масштабно-инвариантной сети / Ю.Г. Даник, Ю.А. Кулаков, В.В. Воротников // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 5. — С. 57-69. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100863 681.3: 658.56 Исследованы перколяционные топологические структуры сложных сетей и выполнена их трансформация во фрактальные макроструктуры. Приведен пример расчета фрактальной размерности маршрута передачи данных в масштабно-инвариантной сети в интервале граничных значений фазового перехода между состояниями «максимальный кластер» и «сеть состоит из нескольких кластеров». Исследована зависимость фрактальной размерности перколяционного кластера от величины стороны квадрата δ-покрытия и значения проводимости сложной сети для определения числа факторов, влияющих на систему. Досліджено перколяційні топологічні структури складних мереж і виконано їх трансформацію у фрактальні макроструктури. Наведено приклад розрахунку фрактальної розмірності маршруту передачі даних у масштабно-інваріантній мережі в інтервалі граничних значень фазового переходу між станами «максимальний кластер» і «мережа складається з декількох кластерів». Досліджено залежність фрактальної розмірності перколяційного кластера від величини сторони квадрата δ-покриття і значення провідності складної мережі для визначення кількості чинників, що впливають на систему. The topological percolation structures of complex networks have been studied, and their transformation into fractal macrostructures has been executed. The example of calculation of fractal dimension of the data transfer route is presented in a scale-invariant network in the interval of boundary values of phase transition between the states «a maximal cluster» and «network consists of a few clusters». The dependence of fractal dimension of percolation cluster on the size of δ-coverage square side and the values of conductivity of the complex network has been investigated for determining the number of factors, influencing the system. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Вычислительные процессы и системы Фрактальные свойства маршрутов передачи данных в перколяционном кластере масштабно-инвариантной сети Article published earlier |
| spellingShingle | Фрактальные свойства маршрутов передачи данных в перколяционном кластере масштабно-инвариантной сети Даник, Ю.Г. Кулаков, Ю.А. Воротников, В.В. Вычислительные процессы и системы |
| title | Фрактальные свойства маршрутов передачи данных в перколяционном кластере масштабно-инвариантной сети |
| title_full | Фрактальные свойства маршрутов передачи данных в перколяционном кластере масштабно-инвариантной сети |
| title_fullStr | Фрактальные свойства маршрутов передачи данных в перколяционном кластере масштабно-инвариантной сети |
| title_full_unstemmed | Фрактальные свойства маршрутов передачи данных в перколяционном кластере масштабно-инвариантной сети |
| title_short | Фрактальные свойства маршрутов передачи данных в перколяционном кластере масштабно-инвариантной сети |
| title_sort | фрактальные свойства маршрутов передачи данных в перколяционном кластере масштабно-инвариантной сети |
| topic | Вычислительные процессы и системы |
| topic_facet | Вычислительные процессы и системы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100863 |
| work_keys_str_mv | AT danikûg fraktalʹnyesvoistvamaršrutovperedačidannyhvperkolâcionnomklasteremasštabnoinvariantnoiseti AT kulakovûa fraktalʹnyesvoistvamaršrutovperedačidannyhvperkolâcionnomklasteremasštabnoinvariantnoiseti AT vorotnikovvv fraktalʹnyesvoistvamaršrutovperedačidannyhvperkolâcionnomklasteremasštabnoinvariantnoiseti |