Модель многошаговых разностно-дифференциальных формул интегрирования с учетом влияния участка разгонавлияния участка разгона
Предложена расширенная математическая модель многошаговых разностно-дифференциальных формул численного интегрирования для анализа влияния участков разгона на решение системы однородных дифференциальных уравнений. Разработан алгоритм их преобразования в эквивалентные по поведению одношаговые численны...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Электронное моделирование |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100897 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Модель многошаговых разностно-дифференциальных формул интегрирования с учетом влияния участка разгонавлияния участка разгона / В.В. Аристов // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 6. — С. 3-26. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860011601629806592 |
|---|---|
| author | Аристов, В.В. |
| author_facet | Аристов, В.В. |
| citation_txt | Модель многошаговых разностно-дифференциальных формул интегрирования с учетом влияния участка разгонавлияния участка разгона / В.В. Аристов // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 6. — С. 3-26. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Предложена расширенная математическая модель многошаговых разностно-дифференциальных формул численного интегрирования для анализа влияния участков разгона на решение системы однородных дифференциальных уравнений. Разработан алгоритм их преобразования в эквивалентные по поведению одношаговые численные формулы. Предложены методы преобразования расширенной блочной матрицы в системную матрицу общей аналитической модели.
Запропоновано розширену математичну модель багатокрокових різницево-диференціальних формул чисельного інтегрування для аналізу впливу ділянок розгону на рішення систем однорідних диференціальних рівнянь. Розроблено алгоритм їх перетворення в еквівалентні по поведінці однокрокові чисельні формули. Запропоновано методи перетворення розширеної блокової матриці в системну матрицю загальної аналітичної моделі.
An augmented mathematical model of multistage difference-differential formulas of numerical integration for the analysis of the effect of speed-up regions on solution of the system of homogeneous differential equations has been proposed. The algorithm of their transformation into equivalent in behavior one-stage numerical formulas has been developed. Methods of transformation of the extended block matrix into the system matrix of the general analytical model have been proposed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:42:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 051.3
Â.Â. Àðèñòîâ, êàíä. òåõí. íàóê
Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03164, Êèåâ, óë. Ãåíåðàëà Íàóìîâà, 15,
òåë. (044) 4243251, å-mail: vasily@aristov.com)
Ìîäåëü ìíîãîøàãîâûõ
ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðìóë
èíòåãðèðîâàíèÿ ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ ó÷àñòêà ðàçãîíà
Ïðåäëîæåíà ðàñøèðåííàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ìíîãîøàãîâûõ ðàçíîñòíî-äèôôåðåí-
öèàëüíûõ ôîðìóë ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ äëÿ àíàëèçà âëèÿíèÿ ó÷àñòêîâ ðàçãîíà íà
ðåøåíèå ñèñòåìû îäíîðîäíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ðàçðàáîòàí àëãîðèòì èõ
ïðåîáðàçîâàíèÿ â ýêâèâàëåíòíûå ïî ïîâåäåíèþ îäíîøàãîâûå ÷èñëåííûå ôîðìóëû. Ïðåä-
ëîæåíû ìåòîäû ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàñøèðåííîé áëî÷íîé ìàòðèöû â ñèñòåìíóþ ìàòðèöó
îáùåé àíàëèòè÷åñêîé ìîäåëè.
Çàïðîïîíîâàíî ðîçøèðåíó ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü áàãàòîêðîêîâèõ ð³çíèöåâî-äèôåðåíö³àëü-
íèõ ôîðìóë ÷èñåëüíîãî ³íòåãðóâàííÿ äëÿ àíàë³çó âïëèâó ä³ëÿíîê ðîçãîíó íà ð³øåííÿ ñèñ-
òåì îäíîð³äíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü. Ðîçðîáëåíî àëãîðèòì ¿õ ïåðåòâîðåííÿ â åêâ³âà-
ëåíòí³ ïî ïîâåä³íö³ îäíîêðîêîâ³ ÷èñåëüí³ ôîðìóëè. Çàïðîïîíîâàíî ìåòîäè ïåðåòâîðåííÿ
ðîçøèðåíî¿ áëîêîâî¿ ìàòðèö³ â ñèñòåìíó ìàòðèöþ çàãàëüíî¿ àíàë³òè÷íî¿ ìîäåë³.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ÷èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå, ìíîãîøàãîâûå ôîðìóëû èíòåãðèðîâà-
íèÿ, ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè, ó÷àñòîê ðàçãîíà, ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà, ñîáñòâåííûå ÷èñëà,
êîëüöåâîé òåñò.
Îäèí èç ñóùåñòâåííûõ ïàðàìåòðîâ ïðè âûáîðå ÷èñëåííîãî ìåòîäà ðåøå-
íèÿ çàäà÷è Êîøè — îáúåì âû÷èñëåíèé ïðàâûõ ÷àñòåé ñèñòåìû îáûêíî-
âåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Íàèáîëåå ýêîíîìè÷íûìè ÿâëÿþò-
ñÿ âàðèàíòû íà îñíîâå ìíîãîøàãîâûõ ïðîãíîçèðóþùèõ è êîððåêòèðóþùèõ
ôîðìóë ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ (Ô×È) [1]. Èõ îáùèé íåäîñòàòîê —
íàëè÷èå ó÷àñòêà ðàçãîíà, ÷òî óñëîæíÿåò àëãîðèòì, è ìîæåò áûòü èñòî÷-
íèêîì ñóùåñòâåííîé äîïîëíèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè, ÷àñòè÷íî èëè ïîë-
íîñòüþ èñêàæàþùåé ðåçóëüòàò ðåøåíèÿ çàäà÷è.
Ïîëàãàÿ øàã èíòåãðèðîâàíèÿ H ïîñòîÿííûì, çàïèøåì îáùåå ïðåä-
ñòàâëåíèå Ô×È â ñëåäóþùåì âèäå:
y a y c H fi
v
n
v i v
s
m
l l
n
sl
s
i l
s
�
�
� �
� �
�
� �� �� � �1
1
1
0
1
1
0
( ) , (1)
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 3
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ И МОДЕЛИ
� Â.Â. Àðèñòîâ, 2013
ãäå av è csl — âåñîâûå êîýôôèöèåíòû ñîîòâåòñòâåííî äëÿ çíà÷åíèé èíòå-
ãðàëà y i v� �1 è ïðîèçâîäíûõ f
i l
s
� �1
( ) ïðè êâàíòîâàííûõ çíà÷åíèÿõ íåçàâèñèìîé
ïåðåìåííîé x x i l H� � � �0 1( ) ; n è ( )n l� 0 — ÷èñëî øàãîâ H ïî íåçàâè-
ñèìîé ïåðåìåííîé, íà èíòåðâàëàõ êîòîðîé äîëæíû áûòü îïðåäåëåíû ñîîò-
âåòñòâåííî çíà÷åíèÿ èíòåãðàëà è ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ñ åå m ïðîèç-
âîäíûìè; l0 — ÷èñëî øàãîâ H íàçàä îò (i+1)-é òî÷êè êâàíòîâàíèÿ (äëÿ
ÿâíûõ ôîðìóë l0 > 0, à äëÿ íåÿâíûõ — l0 � 0).
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü íåÿâíûå Ô×È òîëüêî ïðè l0 = 0. Âàðèàíò (1) ïðè
m > 0 íàçîâåì ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìóëîé (ÐÄÔ), à áåç ó÷åòà
ïðîèçâîäíûõ îò ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè
y a y H c fi
v
n
v i v
l l
n
l i l�
�
� �
�
� �� �� �1
1
1 0 1
0
,
(2)
ò.å. ïðè m = 0, — ðàçíîñòíîé ôîðìóëîé (ÐÔ).
Áóäåì ðàçëè÷àòü âàðèàíòû F-èíòåãðèðîâàíèÿ è A-èíòåãðèðîâàíèÿ,
òàê êàê ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè ìîãóò áûòü ðàçëè÷íûìè: F-èíòåãðèðîâà-
íèå ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ íåçàâèñèìîé ôóíê-
öèè (ñèñòåìû ôóíêöèé) F, ò.å. f x F x( ) ( )� , f x xk k( ) ( )( ) ( )�F , à A-èíòåãðè-
ðîâàíèå — âàðèàíòó ðåøåíèÿ ñèñòåìû îäíîðîäíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé (ÎÄÓ)
� �Y AY, Y Y( )x0 0� , (3)
ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè aij ìàòðèöû A, à èìåííî f x x( ) ( )� AY ,
f x xk k( ) ( )( ) ( )� �
A Y
1 .
Ïðÿìàÿ ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ [1, 2] ôîðìóëû (2) â äðîáíî-ðàöèîíàëü-
íîé çàïèñè èìååò âèä
S p p
c e
e a e
l
n
l
p l
p
v
n
v
p v
0
0
0
1
1
1
( )
( )
( )
�
�
�
�
�
�
�
�
íåçàâèñèìî îò âàðèàíòà èíòåãðèðîâàíèÿ A èëè F.  ñëó÷àå ÐÄÔ ïîäîáíîå
ñîîòíîøåíèå,
S p p
c p e
e a e
l
n
s
m
sl
s p l
p
v
n
v
p v
0
0 0
1
1
1
( )
( )
( )
�
�
� �
�
�
�
� �
�
,
Â.Â. Àðèñòîâ
4 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6
çàïèñûâàåòñÿ òîëüêî äëÿ F-èíòåãðèðîâàíèÿ. Îáùèå ôîðìóëû êîýôôè-
öèåíòîâ â îáîèõ ñëó÷àÿõ èíòåãðèðîâàíèÿ äëÿ ëþáîé ìíîãîøàãîâîé Ô×È
ïðè êàíîíè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé ïðèâåäåíû â
ðàáîòàõ [2, 3].
Ïî ïðÿìîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè S p0( ) ìîæíî íàéòè ñèñòåìíóþ
ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ
R p
S p
0
0
1
1
( )
( )
�
�
�
�
�
(4)
íà îñíîâå îïåðàöèé èíâåðñèè è îáðàùåíèÿ ïðÿìîé. Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ
(4) ïîçâîëÿåò â îáëàñòè ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà îïðåäåëèòü ìàòðèöó B 0
íîâîé ñèñòåìû ÎÄÓ, ðåøåíèå êîòîðîé â òî÷êàõ êâàíòîâàíèÿ x x iH� �0 ( )
ýêâèâàëåíòíî ðåçóëüòàòó ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåìû (3)
� �Y B Y0 , Y Y( )x0 0� , (5)
ãäå
B A A AA0 0 0
0
1( , , ( )) ( )|H R p R p Hp H
r
r
r r� ��
�
�
�� � .
(6)
 òàáë. 1 ïðèâåäåíû êîýôôèöèåíòû av è csl äëÿ ðÿäà ìíîãîøàãîâûõ
Ô×È ñ ðàçëè÷íîé ëîêàëüíîé ïîãðåøíîñòüþ O (H). Íà ðèñ. 1 â âèäå îêðóæ-
íîñòè, îáîçíà÷åííîé 0, ïðåäñòàâëåíà â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ òðàåêòîðèÿ
ðåçóëüòàòà ðåøåíèÿ ðàçëè÷íûìè ìåòîäàìè 1 — 5 ñèñòåìû (3) ñ ìàòðèöåé
âòîðîãî ïîðÿäêà
A �
�0 1
1 0
,
(7)
íàçûâàåìîé «êîëüöåâîé òåñò». Àíàëèòè÷åñêèì ðåøåíèåì ñèñòåìû (3) ïðè
íà÷àëüíîì âåêòîðå ñ êîìïîíåíòàìè y1 0 1( ) � è y2 0 0( ) � ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ
y x x1( ) cos ( )� , à ñèñòåì (5) è (6) ñ óêàçàííîé ìàòðèöåé A — òî÷íîå ñîîò-
íîøåíèå
y x e xx
1( ) cos ( )� � � , (8)
ãäå
� �� �
�
�
�
� ��
r
r
r rH
1
2 1
2 1 11( ) , � �� �
�
�
�
r
r
r rH
0
2
2 1( ) .
Ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ y1 äëÿ êàæäîãî ìåòîäà ïðè H = 1/4 ïðèâåäåíû â
òàáë. 1. Ïîñêîëüêó óêàçàííûå Ô×È äîñòàòî÷íî âûñîêîòî÷íûå, âîçìîæíàÿ
Ìîäåëü ìíîãîøàãîâûõ ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðìóë èíòåãðèðîâàíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 5
Â.Â. Àðèñòîâ
6 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6
Í
î
ì
åð
ì
åò
î
ä
à
Ç
í
à÷
åí
è
å
a v
ï
ð
è
v
Ç
í
à÷
åí
è
å
c s
l
ï
ð
è
l
O
(H
)
Ê
î
ë
ü
ö
åâ
î
é
òå
ñò
1
2
3
4
0
1
2
3
4
1
0
0
0
1
0
8 3
�
4 3
8 3
0
�
1
4 4
5
5
5
H
y
x
(
)
(
)
�
y
x
1
0
9
9
9
6
8
6
2
9
3
8
�
co
s
(
,
)
2
1
0
0
0
2
5
1
7
2
0
3
2
3
3
6
0
�
1
1
3
0
5
3
3
6
0
�
1
9
7
2
0
3 1
6
06
6
H
y
x
(
)
(
)
�
y
e
x
x
1
0
0
0
0
0
1
7
3
8
1
0
0
0
0
0
5
5
4
2
�
�
,
co
s
(
,
)
3
1
0
0
0
0
5
5
2
4
�
5
9
2
4
3
7
2
4
�
3 8
�
2
5
1 7
2
0
5
5
H
y
x
(
)
(
)
�
y
e
x
x
1
0
0
0
0
5
0
6
6
0
9
9
8
7
5
2
9
7
�
�
,
co
s
(
,
)
4
1 2
1 2
�
1 4
1 4
8
9
5
7
2
1
2
4
8
8
3
2
0
9
1
5
0
1
1
5
5
5
2
0
1
6
3
3
6
0
3
8
1
3
1
1
5
5
5
2
0
2
5
8
0
7
1
2
4
8
8
3
2
0
�
4
1
9
1
7
9
6
2
5
6
0
0
1
1
1
1
H
y
x
(
)
(
)
�
y 1
�
�
�
�
e
x
x
3
2
6
1
0
1
3
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
5
,
co
s
(
,
)
�
1
5
4
6
1
4
1
4
7
2
0
1
4
9
7
7
5
1
8
4
0
3
3
7
1
2
8
0
�
8
3
1
0
3
6
8
5
1
4
7
4
1
4
7
2
0
5
1
0
0
0
3 8
1
9
2
4
�
5 2
4
1 2
4
0
1
9 7
2
05
5
H
y
x
(
)
(
)
�
y
e
x
x
1
0
0
0
0
0
2
0
1
5
1
0
0
0
1
0
0
7
5
3
�
,
co
s
(
,
)
Ò
à
á
ëè
ö
à
1
àìïëèòóäíàÿ ïîãðåøíîñòü ðåøåíèÿ ÎÄÓ (3), çàâèñÿùàÿ îò íå÷åòíûõ êîýô-
ôèöèåíòîâ � 2 1r� ðÿäà (6), âèçóàëüíî áóäåò çàìåòíà íà ãðàôèêå 0 òîëüêî
÷åðåç äîñòàòî÷íî áîëüøîå ÷èñëî ïåðèîäîâ.  ìåòîäå 1 äàííûé âèä ïî-
ãðåøíîñòè ðåøåíèÿ îòñóòñòâóåò, òàê êàê âñå íå÷åòíûå êîýôôèöèåíòû
ðàâíû íóëþ. Èçìåíåíèå ÷àñòîòû êîëåáàíèé â ðåçóëüòàòå âëèÿíèÿ ìåòî-
äè÷åñêîé ïîãðåøíîñòè Ô×È çàâèñèò îò ÷åòíûõ êîýôôèöèåíòîâ � 2r è íà
ðèñ. 1 íå îòîáðàæåíî.
Ïîñêîëüêó Ô×È èìåþò ðàçëè÷íûå ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè, ýêâèâà-
ëåíòíûå ìàòðèöû B0(H) äëÿ êàæäîãî øàãà H òàêæå ðàçëè÷íû. Ïîýòîìó
äîëæíû áûòü ðàçëè÷íûìè è çíà÷åíèÿ âåêòîðà ðåøåíèÿ (8). Ïðè ýòîì ðàñ-
õîæäåíèå ñ àíàëèòè÷åñêè òî÷íûì ðåøåíèåì ÎÄÓ (3) óâåëè÷èâàåòñÿ ïðè
âîçðàñòàíèè çíà÷åíèÿ H.
Äëÿ îäíîøàãîâûõ ÐÔ è ÐÄÔ ñîîòíîøåíèÿ (5) è (6) îäíîçíà÷íî îïè-
ñûâàþò ïîâåäåíèå âåêòîðà ðåøåíèÿ ñèñòåìû (3) ïðè ÷èñëåííîì èíòåãðè-
ðîâàíèè ñîîòâåòñòâóþùåé Ô×È. Äëÿ ìíîãîøàãîâûõ ÐÔ è ÐÄÔ ýòà îäíî-
çíà÷íîñòü îòñóòñòâóåò. Óñëîâèåì àäåêâàòíîñòè â òî÷êàõ êâàíòîâàíèÿ àíà-
ëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ÷èñëåííîìó äëÿ ìíîãîøàãîâûõ Ô×È ÿâëÿåòñÿ âû-
áîð ñîãëàñîâàííîãî ó÷àñòêà ðàçãîíà. Äàëåå áåç ïîòåðè îáùíîñòè áóäåì
ñ÷èòàòü, ÷òî â ôîðìóëàõ (1), (2) n n� è ó÷àñòîê ðàçãîíà n-øàãîâîé Ô×È
ðàñïîëîæåí â ïðåäåëàõ ñåòêè àðãóìåíòà { ( ) }x n H x0 01� � � .
Ìîäåëü ìíîãîøàãîâûõ ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðìóë èíòåãðèðîâàíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 7
0,5
0
0,5�
�0,5 0,5
0
1 1s,
4s
2s
5s
A
4
5
2
3s
3
Ðèñ. 1. Ãðàôèêè ðåøåíèé ñèñòåìû ÎÄÓ (3) ìíîãîøàãîâûìè Ô×È (ñì. òàáë. 1) ïðè ñî-
ãëàñîâàííîì (0) è íåñîãëàñîâàííîì (1—5) ðàçãîíå: 1 — ÷åòûðåõøàãîâàÿ ÿâíàÿ ÐÔ Ìèëíà;
2 è 3 — ÷åòûðåõøàãîâûå íåÿâíàÿ è ÿâíàÿ ÐÔ Àäàìñà; 4 — ÷åòûðåõøàãîâàÿ íåÿâíàÿ ÐÄÔ;
5 — òðåõøàãîâàÿ íåÿâíàÿ ÐÔ Àäàìñà; 1s — 5s — ñòàðòîâûå ó÷àñòêè
Ïîä ñîãëàñîâàííûì ó÷àñòêîì ðàçãîíà ïðè A-èíòåãðèðîâàíèè ïîíèìàåì
òàêîé âûáîð çíà÷åíèé{ , , ..., }Y Y Y1 2 1� � �n n , ïðè êîòîðîì Y Y
B
j n
H j ne�
�� ( )
0.
Åñëè ó÷àñòîê ðàçãîíà íå ñîãëàñîâàí ñ óêàçàííûì òðåáîâàíèåì, òî ðåøåíèå
ñèñòåìû (3) ìîæåò ïðèíèìàòü ýêçîòè÷åñêèé âèä, âàðèàíòû êîòîðîãî äëÿ
ìåòîäîâ 1—5 ïðèâåäåíû íà ðèñ. 1.
Ïðè èçìåíåíèè çíà÷åíèé âåêòîðà ðåøåíèÿ íà ó÷àñòêå ðàçãîíà ìîæåò
ñóùåñòâåííî èçìåíÿòüñÿ è âñå ðåøåíèå. Òàê, äëÿ ìåòîäà 1 ïðè øàãå H =
= 1/64 è çíà÷åíèÿõ âåêòîðà íà ó÷àñòêå ðàçãîíà
0 7
0 3
1
0 1
0 9
0 1
1
0
,
,
,
,
,
,
,
,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóåò ãðàôèêó 1 íà ðèñ. 1, ïðè
0
1
1
0
0
1
1
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
, , , — ãðà-
ôèêó 1 íà ðèñ. 2. Ðàçãîí ñòàíîâèòñÿ ñîãëàñîâàííûì ïðè çíà÷åíèÿõ âåêòîðà
0 9989015683
0 046857835
0 9995117585
0 0312
,
,
,
,
,�
�
�
�
�
�
�
� 44913
0 9998779322
0 015624364
1
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
,
,
, �
�
�
�
!
"
è ãðàôè÷åñêè ñîîòâåòñòâóåò èäåàëüíîé åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè 0 íà ðèñ. 1
è 2. Íåñîãëàñîâàííîñòü ðàçãîíà âûçûâàåò íå âñåãäà çàòóõàþùèé ïåðå-
õîäíîé êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ ïîñëå ó÷àñòêîâ ðàçãîíà 2s—5s (ñì. ðèñ. 1)
è ýôôåêò èçìåíåíèÿ íà÷àëüíîãî âåêòîðà Y0 â ÎÄÓ (2) è (5). Ïîýòîìó òðàåê-
Â.Â. Àðèñòîâ
8 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6
Ðèñ. 2. Ãðàôèêè ðåøåíèé ñèñòåìû (3) ìåòîäîì 1 (ñì. ðèñ. 1) ïðè ñîãëàñîâàííîì (0) è íå-
ñîãëàñîâàííîì (1) ðàçãîíå
òîðèè ðåøåíèé 2—5 ïîñëå ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ 2s—5s íå ñîâïàäàþò ñ
åäèíè÷íîé îêðóæíîñòüþ 0.
Ïðè ïðàêòè÷åñêîì èñïîëüçîâàíèè ìíîãîøàãîâûõ Ô×È äëÿ îðãàíèçàöèè
÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îáû÷íî íà ó÷àñò-
êå ðàçãîíà ïðèìåíÿþò êàêîé-ëèáî îäíîøàãîâûé ìåòîä, íàïðèìåð Ðóíãå—
Êóòòû, òîãî æå ïîðÿäêà, ÷òî è îñíîâíûå ôîðìóëû.  áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ
ýòîãî äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ýôôåêò ðàññîãëàñîâàíèÿ îêàçàëñÿ íåçíà÷èòåëüíûì.
Îäíàêî ïðèíöèïèàëüíî îí ñóùåñòâóåò è ìîæåò âûçâàòü äîïîëíèòåëüíóþ
ïîòåðþ òî÷íîñòè èëè ñëîæíîñòü â ïîëó÷åíèè äîñòîâåðíîãî ðåøåíèÿ.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ðàçðàáîòàòü ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè äëÿ àäåê-
âàòíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ìíîãîøàãîâûõ ÐÔ è ÐÄÔ (àëãîðèòìîâ) ÷èñëåí-
íîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ÎÄÓ ñ ó÷åòîì èíôîðìàöèè íà ó÷àñòêå ðàçãîíà.
Ïðèìåíèì ñëåäóþùèé àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è: çàìåíèì ìíîãîøàãî-
âûå ÐÄÔ ýêâèâàëåíòíûìè îäíîøàãîâûìè áëî÷íîãî òèïà, à çàòåì íàéäåì ñèñ-
òåìíóþ ìàòðèöó ðàñøèðåííîé ñèñòåìû ÎÄÓ ñ ó÷åòîì ó÷àñòêà ðàçãîíà.
Ýêâèâàëåíòíîå ïðåîáðàçîâàíèå ìíîãîøàãîâûõ ÐÄÔ â îäíîøà-
ãîâûå. Ïîñêîëüêó ÐÔ (2) — ÷àñòíûé ñëó÷àé ÐÄÔ (1), ïðèìåì çà îñíîâó
ôîðìóëó (1), è äëÿ âàðèàíòà A-èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåìû ÎÄÓ (3) ïðåäñòà-
âèì åå â ìàòðè÷íî-âåêòîðíîé ôîðìå, ó÷èòûâàÿ, ÷òî f A Y
i l
s s
i l� �
�
� ��
1
1
1
( ) è
ïîëàãàÿ n n� :
Y A Y Yi
s
m
s
s s
i
l
n
i i l
l
n
s
m
c H a�
�
� �
�
�
� �
� �
� � �� � � �1
0
0
1 1
1
1
1
1 0
c Hsl
s s
i l
� �
� �
1 1
1A Y .
Âûïîëíèâ ãðóïïèðîâàíèå
E A Y E�
�
�
��
�
�
�� �
�
� �
�
� �
� � �
s
m
s
s s
i
l
n
l
s
m
sl
sc H a + c H
0
0
1 1
1
1 0
� �
� �
�
�
��
�
�
��
1 1
1A Y
s
i l ,
ïîëó÷èì
Y E A Ei
s
m
s
s s
l
n
l
s
m
slc H a + c�
�
� �
�
� �
� �
�
�
��
�
�
��� � �1
0
0
1 1
1
1 0
H s s
i l
� �
� �
�
�
��
�
�
��
1 1
1A Y .
Èçìåíèâ ïîðÿäîê ñóììèðîâàíèÿ ïî i, çàïèøåì
Y E A E Ai
s
m
s
s s
n
s
m
sn
sc H a + c H�
�
� �
�
�
�� �
�
�
��
�
�
��� �1
0
0
1 1
1
0
1 s
i n
�
� �
�
�
��
�
�
�� �
�
1
1Y ...
... �
�
�
��
�
�
��
�
�
�
� ��a + c H
s
m
s
s s
i1
0
1
1 1
E A Y .
Ìîäåëü ìíîãîøàãîâûõ ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðìóë èíòåãðèðîâàíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 9
Îáîçíà÷èâ
�
G E AR
s
m
s
s sc H� �
�
�
��
�
�
��
�
� �
�
�
0
0
1 1
1
, G G E A1 1
0
1 1
, n l R l
s
m
sl
s sa + c H� �
�
� ��
�
�
��
�
�
���
�
,
ïðè
G G E A1 1
0
1 1
, �
�
�
��
�
�
��
�
� ��
�
R n
s
m
sn
s sa + c H , G G E A1 2 1
0
1
1 1
, ,�
�
�
��
�
�
���
�
�
� ��
�
R n
s
m
s n
s sa + c H ,
G G E A1 3 2
0
2
1 1
, ,�
�
�
��
�
�
���
�
�
� ��
�
R n
s
m
s n
s sa + c H , ...
..., G G E A1 1 2
0
2
1 1
, ,n R
s
m
s
s sa + c H�
�
� ��
�
�
��
�
�
���
�
G G E A1 1
0
1
1 1
, n R
s
m
s
s sa + c H�
�
�
��
�
�
��
�
� ��
�
ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå äëÿ âåêòîðà Yi+1 êàê ôóíêöèþ îò äèñêðåòíûõ çíà-
÷åíèé âåêòîðà â ïðåäûäóùèõ òî÷êàõ:
Y G Y G Y G Y G Yi l i n
l
n
i n i n i� � �
�
� � � � �� � � ��1 1 1
1
1 1 1 1 2 2 1 3, , , , n� �3 ...
... ., ,� �� �G Y G Y1 1 1 1n i n i
Ïîñêîëüêó âî âñå ìàòðè÷íûå âûðàæåíèÿ âõîäèò òîëüêî èñõîäíàÿ ìàò-
ðèöà A è åäèíè÷íàÿ äèàãîíàëüíàÿ E, âñå íîâûå ìàòðèöû Gk áóäóò âçàèìíî
ïåðåñòàíîâî÷íûìè. Íàéäåì ñîîòíîøåíèå äëÿ Yi+2:
Y G Y G Y + G Yi
l
n
l i n l
l
n
l i n l n i�
�
� � �
�
�
� � � �� �� �2
1
1 1
1
1
1 1 1, , , 1 �
= i n i n i n n iG Y G Y G Y G Y G1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 1 1, , , , ,...� � � � � � �� � � � � n iY � �1
= i n i n n i n iG Y G Y G Y G Y1 1 2 1 2 3 1 2 1 1 1, , , ,...� � � � � � �� � � � �
+ n i n i n i n nG G Y G Y G Y G Y1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 1, , , , ,...( � � � � � � �� � � � i n i� �1 1G Y, ),
èëè
Y G Y G Y G Yi
l
n
l i n l i n i n+�
�
� � � � � �� � ��2
1
2 2 1 1 2 2 2, , ,
+ i n n i n iG Y G Y G Y2 3 3 2 1 1 2, , ,...� � � �� � � ,
Â.Â. Àðèñòîâ
10 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6
ãäå G G G2 1 1 1 1, , ,= n , G G G G2 2 1 1 2 1 1, , , ,= n � , G G G G2 3 1 1 3 1 2, , , ,= n � , ..., G2 1, n� �
= G G G1 1 1 1 2, , ,n n n� �� , G G G G2 1 1 1 1, , , ,n n n n= � � . Ââåäÿ íóëåâóþ ìàòðèöó
G 01 0, � , çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ìàòðèö G2, l : G G G G2 1 1 1 1, , , ,l l n l= � � .
Èòàê, ñîîòíîøåíèå äëÿ Yi+2 ïðèíèìàåò âèä
Y G Yi
l
n
l i n l�
�
� �� �2
1
2, .
Ñîîòíîøåíèå äëÿ ñëåäóþùåãî øàãà,
Y G Y G Y G Y Gi
l
n
l i n l i n l i n+ +�
�
� � � � � � � � �� ��3
1
2 1 2 1 1 2 2 1 2, , , 2 3 1 3, ...Yi n� � � �
... , ,� �� �G Y G Y2 1 2 1n i n i ,
íàõîäèì, èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå äëÿ ïðåäûäóùåãî øàãà, èç êîòîðîãî
àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ïîëó÷àåì
Y G Y G Y G Y G Yi i n i n i n n i+ +� � � � � � � �� � �3 2 1 2 2 2 3 2 3 4 2 1, , , ,... �
+ n i n i n i n nG G Y G Y G Y G Y2 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 1, , , , ,...( � � � � � � �� � � � i n i� �1 1G Y, ) ,
èëè
Y G Y G Y G Y G Yi
l
n
l i n l i n i n i+�
�
� � � � � � �� � ��3
1
3 3 1 1 3 2 2 3 3, , , , n� �3 ...
... , ,� �� �G Y G Y3 1 1 3n i n i .
Ââåäÿ íóëåâóþ ìàòðèöó G 02 0, � , çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ìàòðèö G3, l :
G G G G3 2 1 2 1, , , ,l l n l= � � . Àíàëîãè÷íî äëÿ n-ãî øàãà ïîëó÷àåì
Y G Y G Y G Y G Yi n
l
n
n l i n l n i n n i n n i+�
�
� � � � � � �� � ��
1
1 1 2 2 3, , , , n� �3 ...
... , ,� �� �G Y G Yn n i n n i1 1 .
Ïðè G 0n� �1 0, çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ìàòðèö Gn l, :
G Gn l n l, ,= � � �1 1 G Gn n l�1 1, , .
Îäíà j-ÿ áëî÷íàÿ èòåðàöèÿ ñ øàãîì nH ñîäåðæèò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü n i-õ
èòåðàöèé ñ øàãîì H. Èòàê, âûðàæåíèÿ äëÿ áëî÷íûõ èòåðàöèé èìåþò âèä
Y G Yi
l
n
l i n l�
�
� �� �1
1
1, , Y G Yi
l
n
l i n l�
�
� �� �2
1
2, , Y G Yi
l
n
l i n l�
�
� �� �3
1
3, , ...
..., Y G Yi n
l
n
n l i n l�
�
� �� �
1
, .
Ìîäåëü ìíîãîøàãîâûõ ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðìóë èíòåãðèðîâàíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 11
Ïðèáàâèì è âû÷òåì èç êàæäîãî óðàâíåíèÿ äëÿ Yi k� çíà÷åíèå Yi k n� � , à
òàêæå óìíîæèì è ðàçäåëèì íà nH. Òîãäà
Y Y G E Y G Y G Yi i n i n i n i nnH +� � � � � � � � �� � � �1 1 1 1 1 1 2 2 1 3(( , , ,) 3 � ...
... ) /, ,� �� �G Y G Y1 1 1 1n i n i nH,
Y Y G Y G E Y G Yi i n i n i n i nnH +� � � � � � � � �� � � �2 2 2 1 1 2 2 2 2 3( (, , ,) 3 � ...
... ) /, ,� �� �G Y G Y2 1 1 2n i n i nH,
Y Y G Y G Y G E Yi i n i n i n i nnH +� � � � � � � � �� � � �3 3 3 1 1 3 2 2 3 3( (, , , ) 3 � ...
... ) /, ,� �� �G Y G Y3 1 1 3n i n i nH, ...,
Y Y G Y G Y G Yi n i n i n n i n n i nnH +� � � � � � �� � � �( ..., , ,1 1 2 2 3 3
... ( ) /, ,� � �� �G Y G E Yn n i n n i nH1 1 ) .
Çàïèøåì áëî÷íóþ èòåðàöèþ â âèäå W GWj j� �1 , ãäå Wj — ðàñøèðåí-
íûé áëî÷íûé âåêòîð, â êà÷åñòâå êîìïîíåíòîâ ñîäåðæàùèé n âåêòîðîâ
Yi n l� � ,
W Y Y Y Y Yj i n i n i n i i� � � � � � � �1 2 3 1�
T
,
W Y Y Y Y Yj i i i i n i n� � � � � � ��1 1 2 3 1�
T
; (9)
G — ðàñøèðåííàÿ áëî÷íàÿ ìàòðèöà,
G
G G G
G G G
G G G
�
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
, , ,
, , ,
, , ,
�
�
� � � �
�
n
n
n n n n
.
Âûïîëíèì ýêâèâàëåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ áëî÷íîãî óðàâíåíèÿ
W GW W EW W G E Wj j j j j j� � � � � � � �1 ( )
� � � � �W G E W W GWj j j jnH nH nH( ) / .
 èòîãå ïîëó÷àåì îäíîøàãîâóþ ïðîöåäóðó
W W GWj j jh� � �1 (10)
÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ðàñøèðåííîé ñèñòåìû ÎÄÓ
� �W GW (11)
Â.Â. Àðèñòîâ
12 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6
ÿâíûì ìåòîäîì Ýéëåðà ñ øàãîì h = n H è âåêòîðîì íà÷àëüíûõ óñëîâèé
W Y Y Y Y Y0 1 2 3 0� � � � �(( ) ) (( ) ) (( ) ) ( ) ( )n H n H n H H�
T
. (12)
Âåêòîð W0 ñîñòîèò èç ñîâîêóïíîñòè íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé ÷àñòíûõ
âåêòîðîâ íà n-øàãîâîì ó÷àñòêå ðàçãîíà, ïðèìåíÿåìîé äëÿ ðåøåíèÿ èñõîä-
íîé ñèñòåìû ÎÄÓ (3) ìíîãîøàãîâîé ÐÄÔ (1), à âåêòîð ðåøåíèÿ Wj ïðåä-
ñòàâëÿåò ñîâîêóïíîñòü (9) n ÷àñòíûõ âåêòîðîâ Ynj+1–n, ..., Ynj–v , ..., Ynj, ñäâè-
íóòûõ ïî àðãóìåíòó x íà âåëè÷èíó vH. Ìàòðèöà G èìååò âèä
G
G E G G
G G E G
G G G
�
�
�1
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
nH
n
n
n n n
, , ,
, , ,
, ,
�
�
� � � �
� , n �E
, (13)
ãäå
G G G Gk l k l k n l, , , ,� �� � �1 1 1 1 ; G 0k� �1 0, , k = 2, ..., n, l = 1, ..., n ;
G G E A1 1
0
1
1 1
, ,l R n l
s
m
s n l
s sa + c H�
�
�
��
�
�
��� �
�
� �
� �� , G E AR
s
m
s
s sc H� �
�
�
��
�
�
��
�
� �
�
�
0
0
1 1
1
.
Ìàòðèöà (13) ðàñøèðåííîé ñèñòåìû ÎÄÓ (11) çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ èñõîä-
íîé ìàòðèöû A, îò êîýôôèöèåíòîâ cs,j ÐÄÔ è îò øàãà ÷èñëåííîãî èíòåãðè-
ðîâàíèÿ H. Ïîðÿäîê ôîðìèðîâàíèÿ ìàòðèöû G ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 3.
Ìîäåëü ìíîãîøàãîâûõ ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðìóë èíòåãðèðîâàíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 13
l = 0 l = 1
k = 1
k = 2
k �1
k
l = 2 l = 3 l n=
0
0
0
0
1,1G 1,2G
1,3G
1,nG
2,1G
,1kG
,3kG
,k nG
2,2G
2,3G
2,nG
+ # #
[1, ]l
... ... ... ... ... ...
...
...
...
...
...
...
Ðèñ. 3. Ñõåìà ôîðìèðîâàíèÿ áëî÷íûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû G
Âàðèàíò ïðîãðàììíîé ðåàëèçàöèè â âèäå ïðîöåäóðû AtoG (A, C, H) íà
ÿçûêå Maple:
AtoG := proc(A1 :: Matrix, C1 :: array, H1 :: algebraic)
local m1, n1, d1, i1, i2, r1, r2, Gr, Gn, B1, B2;
d1, m1 := Dimension(A1): m1, n1 := Dimension(convert(C1, Matrix)):
m1 := m1 - 2: n1 := n1 - 1: Gr := Matrix(d1, d1, []):
for i1 to d1 do Gr[i1, i1] := 1: end do:
B1 := Matrix(d1, d1, []): B1 := Gr:
for r1 from 0 to m1 do B1 := MatrixMatrixMultiply(B1, A1):
Gr: = Gr - B1*C1[r1+2,1]*H1^(r1+1): end do:
Gr := MatrixInverse(Gr): Gn := Matrix(d1*n1, d1*n1, []):
for i2 to n1 do
for i1 to n1 do
if i2 = 1 then
B1 := A1: B2 := Matrix(d1, d1, []):
for r1 to d1 do B2[r1, r1] := C1[1, n1+1 - i1]: end do:
for r1 from 0 to m1 do B2 := B2 + B1*C1[r1+2, n1+2-i1]*H1^(r1+1):
B1 := MatrixMatrixMultiply(B1, A1): end do:
B2 := MatrixMatrixMultiply(Gr, B2):
else if i1=1 then B2 := Matrix(d1, d1, []) else B2 := SubMatrix(Gn,
[((i2-2)*d1+1)..(i2-1)*d1], [((i1-2)*d1+1)..(i1-1)*d1]): end if:
B2 := B2+MatrixMatrixMultiply(SubMatrix(Gn, [((i2-2)*d1+1)..(i2-1)*d1],
[((n1-1)*d1+1)..n1*d1]), SubMatrix(Gn, [1..d1], [((i1-1)*d1+1)..i1*d1])):
end if:
for r1 to d1 do
for r2 to d1 do Gn[((i2-1)*d1+r1), ((i1-1)*d1+r2)] := B2[r1,r2]: end do:
end do:
end do:
end do:
r2 := n1*d1: for r1 to r2 do Gn[r1,r1] := Gn[r1, r1] - 1: end do:
Gn := Gn/(n1*H1): Gn;
end proc:
Ñ ïîìîùüþ äàííîé ïðîöåäóðû äëÿ ëþáîé ìíîãîøàãîâîé Ô×È (1),
çàäàâàåìîé ìàññèâîì åå êîýôôèöèåíòîâ C, è ìàòðèöû A äëÿ ÎÄÓ (3)
ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà ôîðìèðóåòñÿ ìàòðèöà G ëèáî äëÿ êîíêðåòíîãî
çíà÷åíèÿ øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ, ëèáî êàê àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ îò H.
Äëÿ ÿâíîé Ô×È 1 (ñì. òàáë. 1) è ìàòðèöû A (7) èç (13) ïîëó÷àåì ìàòðèöó
G ( )H ,
Â.Â. Àðèñòîâ
14 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6
Ìîäåëü ìíîãîøàãîâûõ ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðìóë èíòåãðèðîâàíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 15
G
(
)
H
H
H
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
0
0
2 3
0
1 3
0
2 3
0
0
2 3
0
1 3
0
2 3
0
0
2 3
1
6 9
0
8 9
2 3
1
6 9
1 3
2 3
0
0
1
6 9
2 3
8 9
1 3
1
6 9
1
6 9
1 3
8 9
2 3
1
2
8
2
7
2
0
2
H
H
H
H
H
H
H
�
�
�
�
�
�
�
9
6
4
2
7
1
6 9
2 3
1
2
8
2
7
1 3
1
6 9
2 3
1
2
8
2
7
8 9
6
4
2
7
2
2
2
H
H
H
H
H
H
H
H
�
�
�
�
�
�
2
2
2
2
2
0 9
2 3
1
2
8
2
7
1
6 9
1
6 9
2 3
1
2
8
2
7
1
0
2
4
2
8
8
8
1
1 3
�
�
�
�
�
H
H
H
H
H
H
H
�
�
�
�
�
�
1
2
8
2
7
1
4
4
5
1
2
8
1
2 3
6
4 9
1
0
2
4
3
2
4
8
1
6
4 9
2 3
2
2
2
2
2
H
H
H
H
H
H
H
�
�
�
�
�
�
1
2
8
2
7
1
6 9
1 3
1
2
8
2
7
1
0
2
4
2
8
8
8
1
2 3
6
4 9
1
4
4
5
1
2
2
2
2
H
H
H
H
H
H
2
8
1
6
4 9
1
0
2
4
3
2
4
8
1
2
2
2
H
H
H
H
H
�
,
(1
4
)
à äëÿ íåÿâíîé Ô×È 5 ïðè øàãå H = 1/8 — ìàòðèöó G:
G �
� �2 66731628 0 01385843 0 00324807 0 06929219 2 6484, , , , , 7746 0 38803627
0 01385843 2 66731628 0 06929219 0 0
�
� �
,
, , , , 0324807 0 38803627 2 64847746
0 00266177 0 01366938
, ,
, ,� � �2 65400740 0 05448847 2 57719585 0 70148679
0 0136693
, , ,
,
� ,
8 0 00266177 0 05448847 2 65400740 0 70148679 2 5771� � �, , , , , 9585
0 00427338 0 01322258 0 01870515 0 05244351 0 1� � �, , , , , 9646635 1 01723056
0 01322258 0 00427338 0 05244351
�
� �
,
, , , 0 01870515 1 01723056 0 19646635, , ,
.
�
(15)
Ïàðà {ÎÄÓ (11) è Ô×È (10)} êâàçèýêâèâàëåíòíà ïàðå {ÎÄÓ (3) è Ô×È
(1)}: îáå îíè èìåþò îäèíàêîâûå çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò âåêòîðîâ ðåøåíèÿ,
îäíàêî ðàçìåðíîñòü èõ âåêòîðîâ îòëè÷àåòñÿ â n ðàç. Íî áîëåå ñóùåñòâåí-
íîå îòëè÷èå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïàðå {ÎÄÓ (3) è Ô×È (1)} ñîîòâåòñò-
âóåò ñèñòåìà ÎÄÓ (5),(6), ýêâèâàëåíòíàÿ òîëüêî ïðè ñîãëàñîâàííîì ðàç-
ãîíå, à ïàðå {ÎÄÓ (11) è Ô×È (10)} — ñèñòåìà ÎÄÓ
� �W BW , W W( )x0 0� , (16)
ýêâèâàëåíòíàÿ ïðè ïðîèçâîëüíîì ðàçãîíå (12), ãäå
B G G GG( , , ( )) ( )| ( )nH R p R p nHE E
p nH
r
r
r r
r
0 0
0
1
0
� � ��
�
�
�
�
�
� � � � �( )nH
r +
r
r
1
1
G .
(17)
Íà ðèñ. 4 ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé ïî ïîëó÷åííûì ñîîò-
íîøåíèÿì äëÿ ÷åòûðåõøàãîâîé Ô×È. Ðàñøèðåííûé âåêòîð (9) ñîäåðæèò n
âåêòîðîâ Yi n l� � , ïîýòîìó íà ðèñ. 4, a, ïðåäñòàâëåíî ïî îäíîé êîìïîíåíòå
êàæäîãî âåêòîðà Yi n l� � . Êðèâûå 1—4 ñîîòâåòñòâóþò ðåøåíèþ ñèñòåìû
ÎÄÓ (16) ñ çàäàííûì ó÷àñòêîì ðàçãîíà (ïðè j = 0). Íà ðèñ. 4, á, êðèâûå 1—4
ïðåäñòàâëåíû â êîîðäèíàòàõ èòåðàöèé i, øòðèõîâàÿ è ïóíêòèðíàÿ êðèâûå
ñîîòâåòñòâóþò ÷èñëåííîìó èíòåãðèðîâàíèþ èñõîäíîé ñèñòåìû ÎÄÓ äàí-
íûì ìíîãîøàãîâûì ìåòîäîì ñ ó÷åòîì ëþáûõ çàäàâàåìûõ çíà÷åíèé âåêòî-
ðà íà ó÷àñòêå ðàçãîíà.
Ïîñêîëüêó íåïðåðûâíîå (íå äèñêðåòíîå) ðåøåíèå ñèñòåìû (16) â îáëàñòè
ñõîäèìîñòè ìåòîäà ïîëó÷åíèÿ ìàòðèöû B àäåêâàòíî îòîáðàæàåò â òî÷êàõ
êâàíòîâàíèÿ i äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ, èññëåäîâà-
íèÿ Ô×È ñ ó÷åòîì ó÷àñòêà ðàçãîíà ìîæíî ïðîâîäèòü íà îñíîâå èññëåäîâàíèé
ñâîéñòâ ìàòðèöû B, íàïðèìåð åå ñîáñòâåííûõ ÷èñåë è âåêòîðîâ.
Ðàññìîòðèì íåÿâíûé ìåòîä Àäàìñà 5 (ñì. òàáë. 1) ñ ìàòðèöåé (7) â óðàâ-
íåíèè (3) ïðè øàãå H = 1/8. Ìàòðèöà B0 (6) ñèñòåìû ÎÄÓ (5), ýêâèâàëåíòíîé
÷èñëåííîìó èíòåãðèðîâàíèþ äëÿ ñîãëàñîâàííîãî ðàçãîíà, èìååò âèä
B 0
0000000634 10000064
10000064 0000000634
�
�, ,
, ,
Â.Â. Àðèñòîâ
16 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6
ñîãëàñíî Ô×È, îòëè÷àþùåéñÿ îò ìàòðèöû (7). Ïîýòîìó ðåøåíèå (5),
íàïðèìåð äëÿ ïåðâîé êîìïîíåíòû âåêòîðà, èìååò âèä Y x1( ) �
� ��e Y x Yx0 000000634
10 2010000064 1000006, ( cos ( , ) sin ( , 4x)) è îòîáðàæàåò ëèøü
âëèÿíèå ìåòîäè÷åñêîé ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè Ô×È 5. Ïðè ó÷åòå
ðàçãîíà èç ðàñøèðåííîé ìàòðèöû (15) ôîðìèðóåòñÿ ñèñòåìíàÿ ìàòðèöà
B �
� � �2167469 2 656626 27 88221 39 72838 0 80596 41075, , , , , , 15
2 656626 2167469 39 72838 27 88221 4107515 0 80� � � �, , , , , , 596
0 213267 0 014194 20 60835 2 585653 2110475 0 94� � �, , , , , , 9314
0 014194 0 213267 2 585653 20 60835 0 949314 21� � � �, , , , , ,
, , , , ,
10475
0 010074 0109448 0162894 0 561436 0 214304� � � �1 428215
0109448 0 010074 0 561436 0162894 1 42821
,
, , , , ,� � � 5 0 214304,
,
èìåþùàÿ ñîáñòâåííûå ÷èñëà
Eig B �
�
�
0000000634065 1000006405
0000000634065 1
, ,
,
i
i ,
, ,
,
000006405
21 84874482 5 774095736
21 84874482 5
� �
� �
i
i ,
, ,
, ,
774095736
20 2199984 0 9600249392
20 2199984 0
� �
� �
i
i 9600249392
,
Ìîäåëü ìíîãîøàãîâûõ ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðìóë èíòåãðèðîâàíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 17
3
2
1
0
1
2
�
�
0 1 2 3 1 0 2 4 6 8 10 12�$ �% �
y
j
4
4
3 3
6
5
1 1
2
2
a á
i
Ðèñ. 4. Ãðàôèêè ñîñòàâíûõ êîìïîíåíòîâ âåêòîðà ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÿâíîé
÷åòûðåõøàãîâîé ôîðìóëå Àäàìñà: 1 è 2 — àïïðîêñèìàöèÿ çíà÷åíèé Y4j è Y4 j–1; 3 è 4 —
àïïðîêñèìàöèÿ çíà÷åíèé Y4 j–2 è Y4 j–3; 5 — àïïðîêñèìàöèÿ çíà÷åíèé Yi ; 6 — ó÷àñòîê
ðàçãîíà Yi ; — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé êîìïîíåíò âåêòîðà íà ó÷àñòêå èíòå-
ãðèðîâàíèÿ (i = 0 � 12); � � � � — íà ó÷àñòêå ðàçãîíà (i = �3 � 0); # — òî÷êè èòåðàöèé j = 1, 2,
3, âûïîëíÿåìûõ ñ øàãîì h = nH (çíà÷åíèÿ ïîëó÷åíû ïî (10))
è ïðè çàäàíèè çíà÷åíèé âåêòîðà
W0
2
2
2
0
1
0
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
, ,
íà íåñîãëàñîâàííîì ó÷àñòêå ðàçãîíà êîìïîíåíòà âåêòîðà ðåøåíèÿ
Y x e xx
1
0 00000065 10140198 10000064 0 067( ) ( , cos ( , ) ,,� �� 21176 10000064sin ( , ))x �
� � ��25 006192374 0960025 01168622620 22e xx, ( , cos ( , ) , sin ( , ))0960025x �
� ��e xx21 84874 007594356 5 774095 00496505, ( , cos ( , ) , sin ( , ))5 774095x
äîïîëíèòåëüíî ñîäåðæèò çàòóõàþùèå ñîñòàâëÿþùèå ñ êðóãîâûìè ÷àñòî-
òàìè 0,960025 è 5,774095, îòëè÷íûìè îò îñíîâíîé (1,0000064).
Äëÿ ÿâíîé ÷åòûðåõøàãîâîé Ô×È 3 (ñì. òàáë. 1) ïðè H = 1/4 ïî ðàñøè-
ðåííîé ìàòðèöå
G �
� � �
�
1 0 093750 0 0 385416 0 0 614583 1 0 572916
0 093750
, , , ,
, � �
�
1 0 385416 0 0 614583 0 0 572916 1
0 0537109 0 093750 1
, , ,
, , ,220811 0 291666 0 352105 0 229166 0 671766 0 531250
0
� �
�
, , , , ,
, , , , , ,093750 0 053710 0 291666 1 220811 0 229166 0 352105 0� � , ,
, , , ,
531250 0 671766
0 049804 0 062978 0 151041 0 165160� � �0 894314 0 121189 0 719509 0 686949
0 062978 0 049804
, , , ,
, ,
�
� 0 165160 0 151041 0 121189 0 894314 0 686949 0 71950, , , , , ,� � � 9
0 064401 0 067454 0 214957 0 214332 0 271146 0 27703, , , , , ,� � 8 0 568369 0 977978
0 067454 0 064401 0 214332 0 214
� �
� �
, ,
, , , , 957 0 277038 0 271146 0 977978 0 568369� �, , , ,
ôîðìèðóåòñÿ ðàñøèðåííàÿ ñèñòåìíàÿ ìàòðèöà
B �
� � � � �4 676477 0 988547 1 390876 0 900651 5 182230 1 0, , , ,, , 85664 6 533703 5 635323
0 988547 4 676477 0 900651 1 39
,
,
,
, , ,� 0876 1 085664 5 182230 5 635323 6 533703
0 528311 0 6
, ,
, ,
� �
�
, ,
12534 2 504530 3 506746 2 072500 3 114853 4 580043 0� � �, , , , , ,806391
0 612534 0 528311 3 506746 2 504530 3 114853� � � �, , , , , � �
� �
2 072500 0 806391 4 580043
0 075599 0 429379 0 2175
, , ,
, , , 14 1152690 3 000125 0 691928 2 969538 1 297262
0 42
� � �
�
, , , , ,
, 9379 0 075599 1152690 0 217514 0 691928 3 000125 1� � � �, , , , , ,297262 2 969538
0 121618 0 278394 0 424387 0 715130 1
,
, , , ,� � � , , , ,
, ,
014791 0 672338 0 712637 1 095964
0 278394 0 121618
�
� � 0 715130 0 424387 0 672338 1 014791 1 095964 0 712637, , , , , ,� �
,
èìåþùàÿ íàáîð ñîáñòâåííûõ ÷èñåë:
Eig B �
� �
� �
0 00050735 0 99875367
0 00050735 0 998753
, ,
, ,
i
i 67
1 23828347 2 47634704
1 23828347 2 47634704
4
� �
� �
�
, ,
, ,
i
i
, ,
, ,
,
56123361 1 24212303
4 56123361 1 24212303
3 668
�
� �
�
i
i
47055 1 56596214
3 66847055 1 56596214
�
� �
i
i
,
, ,
.
Â.Â. Àðèñòîâ
18 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6
Ïîýòîìó â ñïåêòðå ðåøåíèÿ áóäóò ñîäåðæàòüñÿ ÷åòûðå êîìïîíåíòû ñ ðàç-
ëè÷íûìè êðóãîâûìè ÷àñòîòàìè ws è çàòóõàíèåì�s: w1 = 0, 99875367, �1 =
= –0, 00050735; w2 = 2, 47634704, �2 = –1, 23828347; w3 = 1, 24212303, �3 =
= –4, 56123361; w4 = 1, 56596214, �4 = –3,66847055.
Ïåðâàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ îïðåäåëÿåò ðåøåíèå ÎÄÓ (3) ñ ìåòîäè÷åñêîé ïî-
ãðåøíîñòüþ àïïðîêñèìàöèè Ô×È, à îñòàëüíûå n – 1 äëÿ n-øàãîâîé Ô×È —
äîïîëíèòåëüíûå ìåòîäè÷åñêèå ïîãðåøíîñòè ôîðìóëû èíòåãðèðîâàíèÿ.
Åñëè ó÷àñòîê ðàçãîíà ñîãëàñîâàí, òî àìïëèòóäà äîïîëíèòåëüíûõ êîëåáà-
íèé ðàâíà íóëþ. Îäíàêî ýòè äîïîëíèòåëüíûå ïîãðåøíîñòè âîçíèêàþò íå
òîëüêî ïðè ôîðìèðîâàíèè ó÷àñòêà ðàçãîíà, íî è â äàëüíåéøåì ïðîöåññå
÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ, íàïðèìåð â ðåçóëüòàòå ïîãðåøíîñòåé îêðóã-
ëåíèé èëè âîçìóùåíèé â äàííûõ ðåøàåìîé ñèñòåìû ÎÄÓ.
Ðàññìîòðèì ÷åòûðåõøàãîâóþ Ô×È Ìèëíà 1 (ñì. òàáë. 1). Ñèñòåìíàÿ
ìàòðèöà äëÿ (14) ïðè øàãå H = 1/64 èìååò âèä
B �
� � �0 031270 0 000290 0 013903 0 666715 0 027792 0 333, , , ,, , 357 0 013907 0 667004
0 000290 0 031270 0 666715 0 01
� �
�
, ,
, , , , 3903 0 333357 0 027792 0 667005 0 013907
0 013907 0
� �
� �
, , ,
, ,
,
667005 0 003478 0 000290 0 000007 0 667005 0 0 333937
0
, , , , ,� �
, , , , , ,667005 0 013907 0 000290 0 003478 0 667005 0 000007� � � �
� �
0 333937 0
0 0 333937 0 000007 0 667005 0 003478 0 000
,
, , , , , 2897 0 013907 0 667005
0 333937 0 0 667005 0 000007 0
, ,
, , , ,
�
� � 000290 0 003478 0 667005 0 013907
0 013907 0 667005 0
�
� �
, , ,
, , , , , , , ,027792 0 333357 0 013903 0 666715 0 031270 0 000290� � �
0 667005 0 013907 0 333357 0 027792 0 666715 0 013903, , , , , ,� � 0 000290 0 031270, ,
,
à åå ñîáñòâåííûå ÷èñëà —
Eig
1
64
B
�
�
�
�
�
� �
�
�
i
i
0 99999999546975938
0 9999999954
,
, 6975938
1 66696824365243156
1 66696824365243156
�
�
�
i
i
,
,
i
i
i
0 340432055873875594
0 340432055873875594
0 326
,
,
,
�
� 536192308422790
0 326536192308422790�i ,
ñ íóëåâûìè ðåàëüíûìè ñîñòàâëÿþùèìè. Ïîýòîìó íè îäíà èç ÷åòûðåõ
êîëåáàòåëüíûõ ôóíêöèé ïðè ìàëûõ øàãàõ (H < 0,43300891005) äëÿ ÎÄÓ
(3), (7) íå çàòóõàåò.
Íà ðèñ. 5 ïðåäñòàâëåí âèä êîìïîíåíòîâ âåêòîðà ðåøåíèÿ (16). Ýòè
êîìïîíåíòû ÿâëÿþòñÿ îãèáàþùèìè âûñîêî÷àñòîòíûõ êîëåáàíèé ãðàôèêà 1
íà ðèñ. 1 â ñëó÷àå íåñîãëàñîâàííîãî ðàçãîíà. Ïðè ñîãëàñîâàííîì ðàçãîíå êîì-
ïîíåíòû 1—4 òðàíñôîðìèðóþòñÿ â êðèâóþ 5. Èçìåíåíèå ñïåêòðàëüíîãî
ñîñòàâà â çàâèñèìîñòè îò øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ ïðèâåäåíî â òàáë. 2.
Ìîäåëü ìíîãîøàãîâûõ ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðìóë èíòåãðèðîâàíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 19
Âàðèàíòû óñêîðåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ôîðìóëà (17) îïðåäåëÿåò
áàçîâûé âàðèàíò ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàñøèðåííîé ìàòðèöû G â ñèñòåìíóþ
ìàòðèöó B. Ïîñêîëüêó B ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ñèñòåìû ÎÄÓ (16), êîòîðàÿ ïðåä-
ñòàâëÿåò ñîáîé ìîäåëü ñîâîêóïíîñòè ÐÄÔ è èñõîäíîé ÎÄÓ (3), ëþáàÿ ìîäè-
ôèêàöèÿ G è (èëè) àëãîðèòìà ïðåîáðàçîâàíèÿ åå â ìàòðèöó B äîëæíà ïðèâî-
äèòü ê îäíîé è òîé æå ìàòðèöå B. Ñëåäóåò ðàçëè÷àòü äâà òèïà Ô×È. Ïåðâûé
òèï — èññëåäóåìàÿ ìíîãîøàãîâàÿ ÐÄÔ (1), âòîðîé òèï — âñïîìîãàòåëüíàÿ
îäíîøàãîâàÿ Ô×È äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ðàñøèðåííîé ñèñòåìû ÎÄÓ. Îäíàêî
íàçíà÷åíèå âñïîìîãàòåëüíîé Ô×È — íå ÷èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå ðàñ-
øèðåííîé ñèñòåìû, à ïîëó÷åíèå ïîäõîäÿùåãî âàðèàíòà ðàñøèðåííîé ñèñ-
òåìû è èñïîëüçîâàíèå êîýôôèöèåíòîâ åå ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè äëÿ ôîðìè-
ðîâàíèÿ ñèñòåìíîé ìàòðèöû B. Ïîñêîëüêó Ô×È äëÿ áàçîâîãî âàðèàíòà
ñîîòâåòñòâóåò ÿâíîé ôîðìóëå Ýéëåðà (10), ìàòðèöà B (17) ìîæåò áûòü ïðåä-
ñòàâëåíà â âèäå ìàòðè÷íîãî ëîãàðèôìà B E G� �1/ ( ) ln ( )nH nH .
Ìàòðè÷íûé ëîãàðèôì âû÷èñëÿþò òî÷íûìè ìåòîäàìè [4—6] ïîñðåäñò-
âîì íàõîæäåíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë è âåêòîðîâ èëè
æîðäàíîâîé äåêîìïîçèöèè. Ðàññìîòðèì àïïðîêñèìàöèîííûå âàðèàíòû
åãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñòåïåííûìè ðÿäàìè.
Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ äëÿ ìíîãîøàãîâûõ ÐÄÔ ñòåïåííîé ðÿä ìàòðè÷íîãî
ëîãàðèôìà (17) ëèáî íå ñõîäèòñÿ, ëèáî ñõîäèòñÿ êðàéíå ìåäëåííî. Òàê,
äëÿ ìåòîäà 1 (ñì. òàáë. 1) ïðè ìàêñèìàëüíîì øàãå H = 0,15 îí ñõîäèòñÿ çà
46 èòåðàöèé, à äëÿ ìåòîäà 4 ïðè ìàêñèìàëüíîì øàãå H = 1/4 — çà 1120
èòåðàöèé.  òðåõ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ ïðîöåññ âû÷èñëåíèé B ðàñõîäèòñÿ
ïðè ëþáîì øàãå H.
 ðàáîòàõ [2, 4] ðàññìîòðåíû âàðèàíòû âû÷èñëåíèé ìàòðè÷íîãî àëãî-
ðèòìà íà îñíîâå ðÿäîâ, îòëè÷íûõ îò (17), ïîçâîëÿþùèå óâåëè÷èòü øàã H è
Â.Â. Àðèñòîâ
20 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6
3 4
5
1
2
y
x
2
1
0
1
2
3
�
�
�
10 20 30 40 50
Ðèñ. 5. Ãðàôèêè êîìïîíåíòîâ âåêòîðà ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ïî Ô×È 1 (1 — 4): 5 —
ðåøåíèå ÎÄÓ (5)
ñóùåñòâåííî óìåíüøèòü äëèíó ñòåïåííîãî ìàòðè÷íîãî ðÿäà. Ðàññìîòðèì
ìîäèôèêàöèþ ìàòðèöû G äëÿ èíûõ îäíîøàãîâûõ Ô×È ðàçíîñòíîãî è
ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíîãî òèïà.
 à ð è à í ò 1. Âìåñòî ÿâíîé Ô×È Ýéëåðà (10) äëÿ ðàñøèðåííîé
ñèñòåìû ÎÄÓ (11) âîçüìåì îáîáùåííóþ îäíîøàãîâóþ ðàçíîñòíóþ Ô×È.
Ñîãëàñíî (2) ñîîòíîøåíèå äëÿ îäíîøàãîâîé ÐÔ ïðè ðåøåíèè ÎÄÓ ïðèíè-
ìàåò âèä W W G W Wi i
M
i ih c c� �� � �1 00 1 01( ), ãäå h = nH — øàã áëî÷íîãî
èíòåãðèðîâàíèÿ, à G
M — èñêîìàÿ ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà, êîòîðîé ïðèñâîåí
Ìîäåëü ìíîãîøàãîâûõ ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðìóë èíòåãðèðîâàíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 21
H
Çíà÷åíèÿ &s è �s äëÿ íîìåðà ãàðìîíèêè s
1 2 3 4
2
0 1962729422
0
, 0 04451245754
0 814851161
,
,�
0 04451236799
0 814851736
,
,�
0 09184372913
0
,
3/2
0 3122190972
0
, 0 09727593857
0 9034849916
,
,�
0 09727593890
0 9034849873
,
,�
0 1121649872
0
,
1
0 6603337675
0
, 0 2582578957
0 9466318175
,
,�
0 2582578789
0 9466318111
,
,�
0 1439906132
0
,
1/2
0 9945476651
0
, 0 9730475992
0 6116984013
,
,�
0 9730475988
0 6116984011
,
,�
0 20094492
0
,
0,44
0 9968037931
0
, 1181114742
0 2237026060
,
,�
1181114743
0 2237026059
,
,�
0 2109583715
0
,
0,43312
0 9970065692
0
, 1 208761289
0 02815239925
,
,�
1 208761289
0 02815239929
,
,�
0 2121709047
0
,
0,43300891005
0 9970097596
0
, 1 214508689
0
, 1 203921447
0
, 0 212190598
0
,
0,43
0 9970951823
0
, 1 37183338
0
, 1 071360668
0
, 0 2127253952
0
,
1/4
0 9996862882
0
, 1 757665278
0
, 0 5074611598
0
, 0 2505319618
0
,
1/8
0 9999808553
0
, 1 686683212
0
, 0 4007707072
0
, 0 2859316508
0
,
1/64
0 9999999954
0
, 1 6669682436
0
, 0 3404320558
0
, 0 3265361923
0
,
Ïðèìå÷àíèå: íàä ÷åðòîé — çíà÷åíèå ws, ïîä ÷åðòîé — �s.
Òàáëèöà 2
èíäåêñ Ì â îòëè÷èå îò ïðåæíåé G
E . Ýòî ñîîòíîøåíèå äîëæíî áûòü òîæ-
äåñòâåííî ðàâíûì èñõîäíîìó
W W G Wi i
E
ih� � �1 . (18)
Ïîýòîìó h c c hM
i i
E
iG W W G W( )00 1 01� � � , èëè h c h cM E
G E G E( ( ) )00 01� � �
� h E
G , è òîãäà
G E G G
M E Ec c c h� � � �(( ) )00 01 00
1 . (19)
Ïðè c00 = c01 = 1/2 Ô×È (18) áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ôîðìóëå òðàïåöèè ñ
êîýôôèöèåíòàìè �r ñèñòåìíîé êàíîíè÷åñêîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè (ÊÏÔ)
'� 2 1 0r� � , � 2
22 2 1r
r r� �� / ( )}. Òåñòèðîâàíèå ïî òàáë. 1 ñ èñïîëüçîâàíèåì
ìîäèôèêàöèè G E G G
T � � �2 2 00
1( )c h E E è ñâåðòêè
B G G
G
� � �
�
�
�
�
�
�
� �T T T
TR p nH
nH
p nH
r
r
r r
r
r
0
0
1
0
2
2
( )| ( ) ( )
( )
�
2
2 1
2 1r
r
r( )
( )
�
�
G
T
ïîêàçàëî, ÷òî äëÿ òî÷íîñòè, ðàâíîé øåñòè äåñÿòè÷íûì çíàêàì, ÷èñëî
÷ëåíîâ ðÿäà óìåíüøàåòñÿ ïî÷òè íà ïîðÿäîê: øåñòü âìåñòî 46 äëÿ Ô×È 1 è
225 âìåñòî 1120 äëÿ Ô×È 4 (ñì. òàáë. 1).
 à ð è à í ò 2. Âìåñòî Ô×È Ýéëåðà äëÿ ðàñøèðåííîé ñèñòåìû ÎÄÓ
(11) âîçüìåì Ô×È Îáðåøêîâà ñ ó÷åòîì âûñøåé ïðîèçâîäíîé ïåðâîãî
ïîðÿäêà îò ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè
W W G W W G W Wi i
Ob
i i
Ob
i i
h h
� � �� � � � �1
1
1
2
1
1
2 12
( ) (2) ( ) , (20)
ãäå h = nH. Èç (18) è (20) ïîëó÷àåì êâàäðàòíîå ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå
h hE
Ob
E
Ob E
2
1 1
12 2
0
G
G E
G
G G( )2 � �
�
�
��
�
�
�� � � ,
èç êîòîðîãî ñëåäóåò
G G E G E G G
Ob E E E E
h
h
h
h1
2
2
26
2 12
� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�( )) (1 . (21)
Äëÿ ýòîé Ô×È ôîðìóëà êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìíîé ÊÏÔ èìååò âèä [2]
�
( (
r
r
r
r r
r
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
cos cos
( )
2 1
6 2
2 3 11
1
2
.
Â.Â. Àðèñòîâ
22 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6
Ïîýòîìó ñèñòåìíàÿ ìàòðèöà îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ÷åòíûõ êîýôôè-
öèåíòîâ �2r ðÿäîì
B G� �
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
r
r
r Ob r
r
nH
r
0
2
2 1 2 1
0
4 1
6�
(
( ) ( )
cos cos (
( )
( ) ( )
r
r
nH
r
r
r Ob r
()
2 3 2 12 1
2 1
2
2 1 2 1
�
�
�
�
G ,
(22)
êîòîðûé èìååò äîñòàòî÷íî âûñîêóþ ñõîäèìîñòü. Äëÿ âñåõ Ô×È èç òàáë. 1
ðÿä (22) ñõîäèòñÿ â îïðåäåëåííûõ äèàïàçîíàõ øàãà H.
 à ð è à í ò 3. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ íîâîé ðàñøèðåííîé ìàòðèöû G
M
ïåðåïèøåì îäíîøàãîâóþ Ô×È ñ ó÷åòîì ïðîèçâîäíîé ïåðâîãî ïîðÿäêà
(20) â îáîáùåííîì âèäå ñ äâóìÿ íåîïðåäåëåííûìè êîýôôèöèåíòàìè k1 è k2:
W W G W W G W Wi i
M
i i
M
i ik h k h� � �� � � � �1 1 1 2
2
1( ) (2) ( ) .
Ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå
G G E G
M E E
k h
h k� � � ��1
2
1
2
2 1( ( ( )) 1
� � � � � � �E G G2 1 1 2 41 1 1
2
2
2 2( ) ( ) ) )k h k k k hE E( ,
êîòîðîå ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðàçëè÷íûõ ðàñøèðåííûõ
ìàòðèö. Íàïðèìåð, ïðèðàâíÿâ â ïîäêîðåííîì âûðàæåíèè êîýôôèöèåíò
( )1 2 41 1
2
2� � �k k k íóëþ è âûáðàâ k1 = 1/2, ïîëó÷èì k2 = 1\16 è ñîîòíîøåíèå
äëÿ íîâîé ðàñøèðåííîé ìàòðèöû
G G E G E G
M E E E
h
h
h� � � ��
�
�
�
�
�
�8
22
( ) 1 , (23)
ñîîòâåòñòâóþùåå Ô×È
W W G W W G W Wi i
M
i i
M
i i
h h
� � �� � � � �1 1
2
1
2 16
( ) (2) ( ) .
(24)
Ñîîòíîøåíèå (23) áîëåå ïðîñòîå, ÷åì (21), íî öåííîñòü ôîðìóëû (24),
íåñìîòðÿ íà åå ìåíüøóþ òî÷íîñòü, ñîñòîèò â òîì, ÷òî çíà÷åíèÿ êîýôôè-
öèåíòîâ ñèñòåìíîé ÊÏÔ � 2
42 2 1r
r r� �� / ( ) óìåíüøàþòñÿ çíà÷èòåëüíî
áûñòðåå, ÷åì äëÿ ôîðìóëû (20), à ýòî îáóñëîâëèâàåò áîëåå âûñîêóþ ñõî-
äèìîñòü íîâîãî ðÿäà äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñèñòåìíîé ìàòðèöû
B G G� �
��
�
�
�
�
� �
r
r
r M r
r
r
r MnH
r
nH
0
2
2 2 1
0
4
21
2 1 2
� ( ) ( )
( )
( ) ( )2 1r� .
Ìîäåëü ìíîãîøàãîâûõ ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðìóë èíòåãðèðîâàíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 23
Ïîñëåäóþùèå âàðèàíòû ïðåîáðàçîâàíèÿ ìàòðèöû G â ìàòðèöó B ìîæ-
íî ïîëó÷èòü íà îñíîâå èíûõ îäíîøàãîâûõ ôîðìóë èíòåãðèðîâàíèÿ. Òàê,
åñëè âçÿòü çà îñíîâó Ô×È Îáðåøêîâà ñ ó÷åòîì ïåðâîé è âòîðîé ïðîèç-
âîäíûõ, êîòîðàÿ â äàííîì ñëó÷àå áóäåò èìåòü âèä
W W G W Wi i
Ob
i i
h
� �� � � �1
2
1
2
( )
� � � �� �
h hOb
i i
Ob
i i
2
2
1
3
2
1
10 120
( ) ( )G W W G W W) ( ) (2 3 ,
òî ïîëó÷èì âûñîêóþ ñõîäèìîñòü ðÿäà B G�
�
�
��
r
r
r Ob rnH
0
2
2 2 2 1� ( ) ( ) . Îäíàêî
ïðè ýòîì çíà÷èòåëüíî âîçðàñòàåò ñëîæíîñòü ïîëó÷åíèÿ ìàòðèöû G
Ob2 èç
êóáè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
( + )2
G E G G
G
G E
Ob E Ob
E
Obh h h h2 3
2 3
2
2
2
60 120 10
) (
�
�
��
�
�
�� � � �
G
G
E
E
2
0
�
�
��
�
�
�� � � .
Äëÿ ñðàâíåíèÿ â òàáë. 3 ïðèâåäåíî ÷èñëî èòåðàöèé ïðåîáðàçîâàíèÿ
ìàòðèöû G â ìàòðèöó B ñ ïîãðåøíîñòüþ 10–6 ðàçëè÷íûìè ìåòîäàìè äëÿ
Â.Â. Àðèñòîâ
24 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6
Ìåòîä Ôîðìóëà
×èñëî èòåðàöèé ïðè H
2 1 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32
1 Ýéëåðà — — — — 46 12 7
Òðàïåöèè — — — — 6 3 3
Îáðåøêîâà — 125 22 16 6 4 4
(24) 100 32 20 14 6 4 2
2 Îáðåøêîâà 2300 2400 3600 — — — —
(24) 120 170 260 6500 1250 1480 2170
3 Îáðåøêîâà — 210 205 330 690 1600 3600
(24) 70 90 55 80 320 430 420
4 Ýéëåðà — — — 1120 820 690 700
Òðàïåöèè — — — 225 170 155 145
Îáðåøêîâà 110 64 52 46 40 40 40
(24) 54 34 28 26 26 30 26
5 Îáðåøêîâà 1000 1400 2620 — — — —
(24 ) 200 240 330 520 920 1580 2900
Òàáëèöà 3
Ô×È 1— 5 èç òàáë. 1. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ íàèáîëåå ýôôåêòèâíîé ÿâëÿåòñÿ
ìîäèôèêàöèÿ ïî âàðèàíòó 3. Ïðîãðàììà òàêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, îôîðì-
ëåííàÿ â âèäå ïðîöåäóðû ïàêåòà Maple, èìååò ñëåäóþùèé âèä:
EKSystB := proc(G1::Matrix, h1::algebraic, k1::integer, r1::integer)
local G2, B2, B1, B0, f, i1, d1, h0; global n;
Digits:=r1: d1:= RowDimension(G1): f:= (i, j) -> if i=j then 1 else 0 end if:
h0:=h1*n: B0:= Matrix(d1, f)+h0*G1/2 - MatrixPower(evalf((Matrix(d1, f)+h0*G1)),1/2);
G2:=MatrixMatrixMultiply(MatrixInverse(G1),B0)*8/h0^2:B0:=G2: B1:= G2: B2:= MatrixPower(G2, 2):
for i1 from 2 by 2 to k1 do
B1:= evalf[r1](MatrixMatrixMultiply(B1, B2*h0^2)): B0:= B0 + B1/((i1+1)*4^i1)
end do: B0;
end proc:
Âõîäíûìè äàííûìè ïðîãðàììû ÿâëÿþòñÿ ìàòðèöà G
E, øàã H, ðàçðÿä-
íîñòü âû÷èñëåíèé è ÷èñëî ÷ëåíîâ ðÿäà, à ðåçóëüòàòîì — êîìïîíåíòû ñèñ-
òåìíîé ìàòðèöû B.
Âûâîäû
Ïðåäëîæåííàÿ àíàëèòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñîâîêóïíîñòè ìíîãîøàãîâûõ ÐÄÔ è
ÎÄÓ òîæäåñòâåííî îòîáðàæàåò ðåçóëüòàò ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ñ
ó÷åòîì âîçìóùåíèé êàê íà ó÷àñòêå ðàçãîíà, òàê è â ïðîöåññå ïîñëåäóþùèõ
âû÷èñëåíèé. Àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ ìîæíî îïðåäåëÿòü ïî ñîáñòâåííûì
÷èñëàì è âåêòîðàì ýêâèâàëåíòíîé ñèñòåìíîé ìàòðèöû B. Ðàçðàáîòàííûå
ïðîöåäóðû íà ÿçûêå Maple ïîçâîëÿþò óïðîñòèòü ïðîöåññ èññëåäîâàíèé
ìíîãîøàãîâûõ Ô×È.
An augmented mathematical model of multistage difference-differential formulas of numerical
integration for the analysis of the effect of speed-up regions on solution of the system of homoge-
neous differential equations has been proposed. The algorithm of their transformation into equiv-
alent in behavior one-stage numerical formulas has been developed. Methods of transformation
of the extended block matrix into the system matrix of the general analytical model have been
proposed.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Õýììèíã Ð.Ð. ×èñëåííûå ìåòîäû àíàëèçà. — Ì. : Íàóêà, 1968. — 400 ñ.
2. Àðèñòîâ Â.Â. Ôóíêöèîíàëüíûå ìàêðîîïåðàöèè: Îñíîâû èòåðàöèîííûõ àëãîðèòìîâ. —
Êèåâ : Íàóê. äóìêà, 1992. — 280 ñ.
3. Àðèñòîâ Â.Â. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè èòåðàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé îáîáùåííûõ
CORDIC-àëãîðèòìîâ // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2011. — 33, ¹ 1. — Ñ. 3—29.
4. Ãàíòìàõåð Ô.Ð. Òåîðèÿ ìàòðèö. — Ì. : Íàóêà, 1988. — 552 ñ.
Ìîäåëü ìíîãîøàãîâûõ ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðìóë èíòåãðèðîâàíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 25
5. Culver W.J. On the existence and uniqueness of the real logarithm of a matrix // Proc. of the
American Mathematical Society. — 1966. — 17, ¹ 5. — P. 1146—1151.
6. Higham N. The Matrix Logarithm: from Theory to Computation // 6-th European Congress of
Mathematics, July 2012. — 53 p. — http://www.ma.man.ac.uk/~higham
7. Àðèñòîâ Â.Â. Ïðèìåíåíèå êàíîíè÷åñêèõ ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé äëÿ àíàëèçà, ñèíòåçà è
ïðåîáðàçîâàíèÿ èòåðàöèîííûõ àëãîðèòìîâ // Òàì æå. — 1996. — 18, ¹ 4. — Ñ. 74 — 81.
Ïîñòóïèëà 12.09.13
ÀÐÈÑÒÎÂ Âàñèëèé Âàñèëüåâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, âåä. íàó÷. ñîòð. Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â
ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1963 ã. îêîí÷èë Õàðüêîâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé
èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — òåîðèÿ è ðåàëèçàöèÿ èòåðàöèîííûõ àëãîðèòìîâ
ìàêðîîïåðàöèé, ÷èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ñõåìîòåõíèêà è
àðõèòåêòóðà ñïåöèàëèçèðîâàííûõ óñòðîéñòâ, ãåîèíôîðìàöèîííûå ñèñòåìû, ðàäèîòåõíèêà.
Â.Â. Àðèñòîâ
26 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100897 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:42:40Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Аристов, В.В. 2016-05-28T12:27:43Z 2016-05-28T12:27:43Z 2013 Модель многошаговых разностно-дифференциальных формул интегрирования с учетом влияния участка разгонавлияния участка разгона / В.В. Аристов // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 6. — С. 3-26. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100897 051.3 Предложена расширенная математическая модель многошаговых разностно-дифференциальных формул численного интегрирования для анализа влияния участков разгона на решение системы однородных дифференциальных уравнений. Разработан алгоритм их преобразования в эквивалентные по поведению одношаговые численные формулы. Предложены методы преобразования расширенной блочной матрицы в системную матрицу общей аналитической модели. Запропоновано розширену математичну модель багатокрокових різницево-диференціальних формул чисельного інтегрування для аналізу впливу ділянок розгону на рішення систем однорідних диференціальних рівнянь. Розроблено алгоритм їх перетворення в еквівалентні по поведінці однокрокові чисельні формули. Запропоновано методи перетворення розширеної блокової матриці в системну матрицю загальної аналітичної моделі. An augmented mathematical model of multistage difference-differential formulas of numerical integration for the analysis of the effect of speed-up regions on solution of the system of homogeneous differential equations has been proposed. The algorithm of their transformation into equivalent in behavior one-stage numerical formulas has been developed. Methods of transformation of the extended block matrix into the system matrix of the general analytical model have been proposed. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математические методы и модели Модель многошаговых разностно-дифференциальных формул интегрирования с учетом влияния участка разгонавлияния участка разгона Article published earlier |
| spellingShingle | Модель многошаговых разностно-дифференциальных формул интегрирования с учетом влияния участка разгонавлияния участка разгона Аристов, В.В. Математические методы и модели |
| title | Модель многошаговых разностно-дифференциальных формул интегрирования с учетом влияния участка разгонавлияния участка разгона |
| title_full | Модель многошаговых разностно-дифференциальных формул интегрирования с учетом влияния участка разгонавлияния участка разгона |
| title_fullStr | Модель многошаговых разностно-дифференциальных формул интегрирования с учетом влияния участка разгонавлияния участка разгона |
| title_full_unstemmed | Модель многошаговых разностно-дифференциальных формул интегрирования с учетом влияния участка разгонавлияния участка разгона |
| title_short | Модель многошаговых разностно-дифференциальных формул интегрирования с учетом влияния участка разгонавлияния участка разгона |
| title_sort | модель многошаговых разностно-дифференциальных формул интегрирования с учетом влияния участка разгонавлияния участка разгона |
| topic | Математические методы и модели |
| topic_facet | Математические методы и модели |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100897 |
| work_keys_str_mv | AT aristovvv modelʹmnogošagovyhraznostnodifferencialʹnyhformulintegrirovaniâsučetomvliâniâučastkarazgonavliâniâučastkarazgona |